MATEM ´ ATICA V TERCERA PR ´ ACTICA CALIFICADA L A T E X Sarango Veliz, Andy Juan 2016-II UNI - FIEE 1. Determine en el caso que existan los coeficientes a n y b n tales que t 2 =1+ X n≥1 (a n cos 2nt + b n sin 2nt), 0 <t<π SOLUCI ´ ON Hacemos g(t)= f (t) - 1 → f (t)= t 2 a k = 2 π Z π 0 [t 2 - 1] cos ktdt = 4(-1) k k 2 a 0 = 2 π Z π 0 [t 2 - 1]dt = 2(π 2 - 3) 3 1
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MATEMATICA VTERCERA PRACTICA CALIFICADA
LATEX
Sarango Veliz, Andy Juan
2016-II
UNI - FIEE
1. Determine en el caso que existan los coeficientes an y bn tales que
Para la Serie de Fourier de la funcion g(t) es la siguiente :
g(t) =2(π2 − 3)
3+∑k≥1
[4(−1)k
k2cos kt−2[(k2(π2 − 1)− 2)(−1)k + k2 + 2]
k3π·sin kt]
Para que exista la funcion f(t) y pueda tener los parametrosan y bn, debemos hacer el cambio unicamente de k → 2Ω,
entonces reemplazando en ak y bk, tenemos que:
an =1
n2
bn = −πn
Por lo tanto para la Serie de Fourier es:
an =1
n2
bn = −πn
2. Determine la temperatura estacionaria de una placa delgada que ocupala region
Ω = (x, y)/x ≤ 3, y ≥ 0
Si la temperatura en la frontera ubicada en el primer cuadrante esT = 1, en el resto de la frontera es T = 0.
SOLUCION
2
Usando Dirichlet:
f(x, y) =
T = 0 ;x < 3T0 = 1 ;x ≥ 3
Tenemos una ecuacion de solo 2 fronteras:
T (x, y) = Aθ +B
(x < 3)→ T = Aπ +B (θ1 = π)
(x ≥ 3)→ T0 = A(0) +B (θ2 = 0)
T = 0→ 0 = Aπ +B → B = −πA
T0 = 1→ 1 = 0 +B → A =−1
π
T (x, y) = 1− θ
π= 1− arctan(
y
x− 3)1
π
3
3. Determine la serie trigonometrica de q(t), en un circuito serie RLC, sila tension de entrada esta dada por E(t) = er cos t cos(r sin t), L = 2H,R = 1Ω, C = 1
2F .
SOLUCION
La ecuacion diferencial del circuito RLC sera:
2q′′ + q′ + 2q = er cos t cos r sin t
Hallamos primero qh (t) :
2r2 + r + 2 = 0→
r1 = −1
4−√154· i
r2 = −14
+√154· i
Entonces tendremos:
qh (t) = C1e−t/4 cos
(√15t/4
)+ C2e
−t/4 sin(√
15t/4)
Ahora procedemos a hallar qp (t) :
E (t) = er cos t cos r sin t
−π < t < π → T = 2π
4
r sin t = 2nπtT→ r sin t = nt→ r cos tdt = ndt→ r cos t = n
E (t) = en cos (nt) → Cn =1
2π
∫ π
−πen cos (nt)e−i·ntdt =
en
2an = en
bn = 0
a0 = 2π
∫ π0en cos (nt)dt = 0
La serie de Fourier trigonometrica para E (t) sera:
E (t) =∞∑n=1
en cos (nt)
(2D2 +D + 2
)qp (t) =
∞∑n=1
en cos (nt)
qp (t) =1
(2D2 +D + 2)
[∞∑n=1
en cos (nt)
]
Resolviendo por operadores inversos tenemos:
qp (t) =∞∑n=1
−en [2 (n2 − 1) cos (nt)− n sin (nt)]
4n4 − 7n2 + 4
Finalmente tendremos:
q (t) =C1e−t/4 cos
(√15t/4
)+ C2e
−t/4 sin(√
15t/4)
+∞∑n=1
−en [2 (n2 − 1) cos (nt)− n sin (nt)]
4n4 − 7n2 + 4
5
4. Halle una transformacion de Mobius que transforme la circunferencia|z| = 1 en la recta Imz = 0.
SOLUCION
|z| = 1→ x2 + y2 = 1
x = cosθ ∧ y = senθ
La transformacion es de la forma:
f(z) =az + b
cz + d
w = f(z) =az + b
cz + d= u+ i · v
Como la imagen debe ser una recta Im(z) = 0→ y = 0⇒ u = 0
Para d = 0 y c 6= 0 garantiza una recta:
f(z) =az + b
cz= u+ i · v
w = f(z) =azz + bz
czz=a|z|2 + bz
c|z|2=a+ bz
c= u+i·v → z = cosθ+isenθ
Comparamos y reemplazando:
Nota (u = 0)Obtenemos que a = −b ; c = 1 y d = 0
w = f(z) =z − 1
z
Transformacion de Mobius
6
5. Demuestre la desigualdad de Bessel que afirma: Si f es cualquier funcionelevada al cuadrado integrable en [−π; π] (es decir, f ∈ L2), entoncessus coeficientes de Fourier aj y bj satisfacen
1
2a20 +
∞∑j=1
(a2j + b2j) ≤1
π
∫ π
−π|f(x)|2dx
Esta desigualdad es fundamental en la teorıa de las series de Fourier.
SOLUCION
Aproximacion mediante una Serie Finita de Fourier.
Sea Sk(t) = a02
+∑k
n=1(an cosnw0t + bn sinnw0t), la suma de los pri-meros (2k + 1) terminos de una Serie de Fourier que representa f(t)en el intervalo −T
2< t < T
2. Si f(t) se aproxima por Sk(t) es decir
f(t) = a02
+∑k
n=1(an cosnw0t+ bn sinnw0t) + εk(t).
→ εk(t) = f(t) − Sk(t) y εk(t) es la diferencia o error entre f(t) y suaproximacion, entonces el error cuadratico medio “Ek” esta definidopor:
Ek =1
T
∫ T2
−T2
[εk(t)]2dt =
1
T
∫ T2
−T2
[f(t)− Sk(t)]2dt
Ek =1
T[
∫ T2
−T2
[f(t)2 − 2f(t)Sk(t) + Sk(t)2]dt]
Ek =1
T
∫ T2
−T2
[f(t)]2dt− 2
T
∫ T2
−T2
f(t)Sk(t)dt+1
T
∫ T2
−T2
[sk(t)]2dt
Entonces tendremos:
2
T
∫ T2
−T2
f(t)Sk(t)dt =2
T
a02
∫ T2
−T2
f(t)dt+2
T
k∑n=1
an
∫ T2
−T2
f(t) cosnw0tdt
7
2
T
k∑n=1
bn
∫ T2
−T2
f(t) sin(nw0t)dt =a202
+k∑
n=1
(a2n + b2n)
1
T
∫ T2
−T2
[Sk(t)]2dt =
1
T
∫ T2
−T2
[a202
+k∑
n=1
(an cosnw0t+ bn sinnw0t)]2dt
Aplicando relaciones de ortogonalidad.
1
T
∫ T2
−T2
[Sk(t)]2dt =
a204
+1
2
k∑n=1
(a2n + b2n)
→ Ek =1
T
∫ T2
−T2
|f(t)|2dt− a204− 1
2
k∑n=1
(a2n + b2n)
Se puede notar que Ek ≥ 0, entonces:
Ek+1 = 1T
∫ T2
−T2
|f(t)|2dt −a204−1
2
∑k+1n=1(a
2n + b2n)
−Ek = 1
T
∫ T2
−T2
|f(t)|2dt −a204−1
2
∑kn=1(a
2n + b2n)
Ek+1 − Ek = −12[a2k+1 + b2k+1]
Se observa que la sucesion Ek contiene solamente terminosno negativos y no es creciente; por consiguiente la sucesion
converge, entonces aplicando lımite:
lımk→∞
εk(t) = lımk→∞
f(t)− lımk→∞
Sk(t) = 0
8
→ lımk→∞Ek = 0 sale de reemplazar → lımk→∞Ek(t) en Ek.
Entonces finalmente reemplazando:
Ek =1
T
∫ T2
−T2
|f(t)|2dt− a204− 1
2
k∑n=1
(a2n + b2n) ≥ 0
lımk→∞
Ek︸ ︷︷ ︸0
=1
T
∫ T2
−T2
|f(t)|2dt− a204− 1
2
∞∑n=1
(a2n + b2n) ≥ 0
“Metodo de Sandwich”Despejando finalmente lo pedido y evaluando en T = 2π.
a202
+∞∑n=1
(a2n + b2n) ≤ 1
π
∫ π
−π|f(t)|2dt
6. Use funciones singulares para hallar la serie de Fourier de la funcionperiodica y use identidad de Parseval para hallar la suma indicada: