Teory Graph

8/18/2019 Teory Graph

1/25

BAB I

PENDAHULUAN

1.1 Latar Belakang

Teori graf merupakan salah satu bidang matematika yang memiliki pokok

bahasan yang banyak penerapannya pada masa kini. Pemakaian teori graf telah

banyak dirasakan dalam berbagai ilmu. Salah satu topik menarik dalam teori graf

adalah melihat hubungan antara graf dengan suatu matriks. Pada dasarnya

hubungan antara graf dengan suatu matriks adalah terletak pada informasi yang

dapat diberikan, dengan kata lain kita akan merepresentasikan graf dalam suatu

matriks sehingga kita dapat melihat hal-hal yang mungkin dapat dengan mudah

kita ketahui.

Dari teori matriks tersebut dapat dibentuk suatu incidence matrices dan

matriks ketetanggaan dari graf. atriks ketetanggaan merupakan matriks yang

merepresentasikan ketetanggaan dari simpul!simpul yang terdapat pada graf,

yaitu apabila simpul!simpulnya bertetangga maka nilai dari entri pada matriks

adalah 1, "ika tidak bertetangga maka nilainya adalah #. $ncidence matrices tidak

memiliki banyak nilai untuk grafik berarah karena incidence matrices tidak

memberikan petun"uk ke arah mana sisi diarahkan. %adi sebuah incidence matrices

tidak memungkinkan kita untuk menciptakan kembali sebuah grafik berarah.

Selain itu, ada topik lain "uga yang tak kalah menarik yaitu pembahasan

mengenai hypercube dan gray code. Pada umumnya system ini digunakan dalam

prosesor, seperti prosesor pada k, untuk melalui komputer. Secara umum grid

m & n , untuk melalui m+n−2 prosesor. Sebuah konfigurasi yang "auh

lebih baik adalah hypercube. Sebuah n-hypercube dapat digunakan untuk

menghubungkan hingga 'n komputer.

(raph dari sebuah n-hypercube adalah konstruksi rekursif sebagai berikut)

*ntuk n = 1, itu me+akili satu titik oleh 1 dan yang lainnya oleh # sehingga kita

memiliki graph. *ntuk mengkontruksi tabel kebenaran , kita menemukan daftar

semua kremungkinan kombinasi dari pernyataan-pernyataan. *ntuk hal tersebut

kita bisa menggunakan notasi al"abar Boolean di mana "ika kita menggunakan

Teori (raf 1


2/25

notasi ini kita menggatika T dengan 1 dan dengan #, sehingga menghsilkan titik

dari hypercubes dari orde 1,',,dan /, selain menggunakan al"abar Boolean kita

"ubga bisa menggunakan peta 0arnaugh, atau menggunakan kontruksi grid

m

& n .

1.' umusan asalah

2dapun rumusan masalah yang penulis sampaikan berdasarkan latar

belakang di atas adalah )

1. 2pakah yang dimaksud incidence matrices3

2. 2pakah yang dimaksud matriks ketetanggaan3

3. Bagaimanakah pengaplikasian dari hypercubes dan gray code31. Tu"uan Penulisan

Berdasarkan rumusan masalah diatas, maka adapun tu"uan yang ingin

dicapai dari penulisan makalah ini adalah sebagai berikut )

1. emahami apa yang dimaksud dengan incidence matrices.

2. emahami apa yang dimaksud dengan matriks ketetanggaan.

3. engetahui pengaplikasian dari hypercubes dan gray codes.

1./ anfaat Penulisan

Dengan penulisan makalah ini, penulis dan pembaca akan mengetahui

konsep incidence matrices dan matriks ketetanggaan dan aplikasi

hypercubes dan gray codes. Dengan memahami konsep incidence matrices

dan matriks ketetanggaan dan aplikasi hypercubes dan gray code ini,

semoga pembaca dan penulis dapat menerapkan teori ini dalam proses

bela"ar dan pembela"aran.

Teori (raf '


3/25

BAB II

PEMBAHASAN

6.6 Incidence dan Adjacency matrices

Dalam bagian ini kita akan mendefinisikan dua matriks yang berhubungan

dengan graf, yaitu incidence matrices dan matriks ketetanggaan. Dalam setiap

kasus, kita akan menemukan salah satu matriks dan kita akan dapat memperoleh

graf. Bahkan kita akan menemukan matriks ketetanggaan dari graf yang matriks

representasinya hanya dari hubungan yang di+akili oleh graf. Dengan matriks

representasi untuk graf, semua matriks ini akan memiliki entri dari 1 atau #,

sehingga matriks mudah disimpan dalam komputer.

Definisi 6.!

isalkan G adalah graf, B adalah matriks yang pelabelan baris-barisnya oleh titik

dalam graf dan pelabelan kolom oleh sisi dalam graf. 4ntri dalam baris ke i dan

ke j dari kolom B 5dinotasikan dengan Bij6 adalah sama dengan 1 "ika titik ke i

adalah incidence sisi ke j dan # sebaliknya. atriks B disebut incidence matrices

graf G.

"#nt#$ 6.%

isalkan G adalah graf pada (ambar 7.7/, maka incidence matrices ditun"ukkan

pada (ambar 7.78.

FIGURE 6.64

Teori (raf


4/25

FIGURE 6.65

Hal ini mudah dilihat bahwa derajat titik adalah jumlah entri

dalam baris yang berlabel titik karena masing-masing 1 mewakili

incidence titik dalam sebuah sisi. %uga setiap kolom akan memiliki dua entri 1 didalamnya karena setiap sisi adalah incidence kedua titik.

0ita "uga dapat mencakup matriks ketetanggaan untuk graf dengan loop.

Sangat mudah untuk mengatakan dari incidence matrices sisi adalah loop "ika dan

hanya "ika ada satu entri 1 pada pelabelan kolom oleh sisi itu. Perhatikan bah+a

dalam incidence matrices untuk graf dengan loop, "umlah entri dalam baris

berlabel titik puncak yang diberikan tidak me+akili dera"at dari titik "ika ada loop

pada titik itu.

"#nt#$ 6.&

isalkan G adalah graf pada (ambar 7.77 dengan incidence matrices pada

(ambar 7.79

FIGURE 6.66

Teori (raf /


5/25

FIGURE 6.67

Perhatikan bah+a loop di e2 dan e5 menyebabkan pelabelan kolom oleh sisi ini

untuk memiliki satu entri 1 di dalamnya.

$ncidence matrices tidak memiliki banyak nilai untuk graf berarah karena

incidence matrices tidak memberikan petun"uk ke arah mana sisi diarahkan. %adi

sebuah incidence matrices tidak memungkinkan kita untuk menciptakan kembali

sebuah graf berarah. :amun hal ini tidak benar dari matriks ketetanggaan yang

sekarang kita definisikan.

Definisi 6.6'

isalkan G adalah graf 5graf berarah6, B adalah matriks yang pelabelan baris-

barisnya oleh titik dalam graf dan pelabelan kolom oleh titik yang sama dalam

urutan yang sama. 4ntri dalam baris ke-i dan kolom ke- j 5dinotasikan dengan Bij6

adalah sama dengan 1 "ika ada sisi 5sisi berarah6 dari titik puncak ke- i ke titik

puncak ke- j, dan # sebaliknya. atriks B disebut ad"acency matrices dari graf G.

"#nt#$ 6.61

isalkan G adalah graf pada (ambar 7.7;. 2d"acency matrices ditun"ukkan pada

(ambar 7.7


6/25

isalkan G grafik berarah pada (ambar 7.9#. 2d"acency matrices ditun"ukkan

pada (ambar 7.91.

FIGURE 6.70

FIGURE 6.71

Dalam banyak kasus label titik tidak penting. Dalam kasus seperti itu kami

akan memberikan matriks tanpa label. Dengan demikian matriks

adalah ad"acency matrices untuk graf berarah dengan empat titik dan delapan sisi.

0egunaan dari matriks ketetanggaan adalah untuk menemukan lintasan dari

pan"ang k tetap. =ontoh berikut memberi kita petun"uk untuk melakukan hal ini.

isalkan matriks

Teori (raf 7


7/25

%adilah matriks ketetanggaan untuk graf berarah G dengan titik v1 , v2 , v3 ,dan v4.

Lihat, dari contoh

Perhatikan nilai adalah 1 karena dan keduanya 1, yang berarti ada

sebuah sisi dari titik ke titik dan dari ke titik . >leh karena itu ada '

lintasan dari titik ke titik . Secara umum kita dapat melihat bah+a

"ika dan hanya "ika terdapat sedemikian sehingga , atau, dengan

kata lain, ada sisi dari titik ke titik dan dari ke titik . >leh karena itu, ada

' lintasan dari titik ke titik . Tapi untuk kita dapat memiliki

Teori (raf 9


8/25

Sehingga karena tidak ada sisi dari ke dan ke untuk sebarang

tertentu. Dengan kata lain ada ' lintasan dari titik ke titik . 0ami

menyimpulkan bah+a "ika terdapat ' lintasan dari titik ke titik dan

"ika tidak terdapat ' lintasan dari titik ke titik . Dalam model yang

serupa kita melihat bah+a "ika, kita menggunakan perkalian matriks biasa, maka

adalah "umlah nilai-nilai sehingga dan keduanya 1, sehingga "umlah

lintasan dari titik ke titik sepan"ang '.

(e#rema 6.63

isalkan ( adalah sebuah graf berarah dengan titik ?1, ?', ?, . . . ,?n dan matriks

ketetanggaan 2. Terdapat k-lintasan dari ?i ke ? " dimana "ika dan

hanya "ika untuk .

(e#rema6.6)


ketetanggaan 2. Terdapat mk-lintasan dari ?i ke ? " dimana "ika dan

hanya "ika untuk .

(e#rema 6.6

Teori (raf ;


9/25


ketetanggan 2. 2mbil . aka @ 1 "ika

dan hanya "ika terdapat lintasan dari ?i ke ? " .

(e#rema 6.66


ketetanggan 2. 2mbil , di mana $ adalah

matriks identitas perkalian. aka untuk setiap i dan " "ika dan hanya "ika( adalah 5strongly6 connected.

(e#rema 6.6!

isalkan ( adalah sebuah graph dengan titik ?1, ?', ?, . . . ,?n dan matriks

ketetanggaan 2. Seperti sebelumya, misalkan .

0emudian titik dapat diatur 5"ika perlu6 sehingga memiliki bentuk

Dimana masing-masing adalah matriks persegi yang sepan"ang diagonal

utamanya dari dan memiliki semua entri sama dengan 1. Sebagaimana

ditun"ukkan, setiap entri dari yang semua berada di luar dari semua sama

Teori (raf


10/25

dengan #. %uga 2 dapat dibagi men"adi blok dengan ukuran yang sama persis

seperti dan 2 memiliki bentuk

Dimana masing-masing memiliki bentuk yang sama seperti dan merupakan

matriks insiden komponen dari (, dan setiap entri dari 2 yang semua berada di

luar dari sama dengan #.

Bukti

%ika setiap titik ( dalam komponen yang sama ditempatkan bersama-sama,

maka terdapat sebuah lintasan antara dua titik. Blok matriks hanya terdiri

dari titik pelabelan baris dan kolom yang memiliki semua 1As sebagai entri .

Selan"utnya entri lain dalam baris yang sama atau kolom berlabel oleh salah satu

titik yang harus nol karena tidak ada lintasan dari salah satu titik lainnya ke titik

dalam komponen tersebut. 0arena blok Ter"adi di mana titik pelabelan baris

dan kolom adalah komponen yang sama, korespondensi blok saat 2 me+akili

graf atas komponen (. Seperti sebelumnya, dan untuk alasan yang sama, semua

entri lain dalam baris atau kolom yang sama sebagai salah satu titik yang harus

nol.

atriks dapat dihitung dengan

tapi ini bukan metode yang efisien. Sebuah metode yang "auh lebih baik adalah

algoritma arshall , "uga dikenal sebagai oy - algoritma arshall. *ntuk

melihat cara ker"anya, perhatikan matriks ketetanggaan pada (ambar 7.9'.

Teori (raf 1#


11/25

FIGURE 6.!"

atriks 2 merupakan himpunan setiap 1- lintasan. Selan"utnya kita ingin

mencari '-lintasan dimana titik puncak v1 merupakan gabungan dengan 1-lintasan

yang kita sudah punya. 0ita mulailah dengan kolom pertama. 2baikan 1 di baris

pertama, "ika ada 1 dalam baris i ke kolom pertama, maka ada sisi atau 1-lintasan

dari vi ke v1. 0arena ada 1 pada baris ketiga maka ada 1- lintasan dari v ke v1.

0ita sekarang melihat baris pertama. engabaikan 1 di kolom pertama, "ika ada 1

di kolom j maka ada sisi atau 1-lintasan dari v1 ke v ". Terdapat 1 di kolom

keempat, ada sisi dari v1 ke v/. %adi ada '- lintasan dari v melalui v1 ke v/. 0ita

dapat menyatakan ini dengan menempatkan 1 di baris ketiga pada kolom keempat,

"adi sekarang kita memperoleh matriks pada (ambar 7.9.

FIGURE 6.!#

0arena tidak ada selain 1 di kolom pertama atau baris pertama maka kita

telah menyelesaikan langkah ini. Terdapat 1 di setiap baris lain dari kolom

pertama, katakanlah baris ke- i dan "ika terdapat 1 dalam kolom lain dari baris

pertama, katakanlah kolom ke- j, kemudian kita akan menempatkan 1 di baris

ke-i pada kolom ke- j. Dalam contoh kita gunakan sebagai tambahan, kita

menambahkan baris pertama ke baris ketiga. Secara umum "ika ada 1 di baris ke- i

pada kolom pertama, maka kita tambahkan baris pertama ke baris ke-i.

Sekarang kita ingin mencari setiap lintasan dengan pan"angnya atau

kurang dari melalui ?1 dan ?' 5"ika ada6. 0ita mempertimbangkan kolom

kedua. engabaikan 1 di baris kedua, kita mencari 1 di setiap baris yang lain

pada kolom '. 0arena ada 1 di baris /, terdapat 1-lintasan dari ? / ke ?' atau '-

Teori (raf 11


12/25

lintasan dari ?/ melalui ?1 ke ?' , karena itu merupakan "alan kita memperoleh $As.

engabaikan 1 di kolom kedua, kita mencari 1 di setiap kolom lain pada baris '.

0arena ada 1 di kolom , terdapat 1 dari ?' ke ? atau '-lintasan dari ?' melalui

?. Di setiap khasus, terdapat lintasan dari ?/ ke ? seperti titik yang lintasannya

mele+ati ?1 dan ?'. 0ita "uga menun"ukkan dengan menempatkan 1 di keempat

baris pada kolom ketiga sehingga memperoleh matriks pada (ambar 7.9/.

*I+U,E 6.!)

0ita "uga bisa mencapai hal yang sama dengan menambahkan baris kedua

ke baris keempat. %ika terdapat 1 di baris 1 pada kolom ' dan 1 di kolom " pada

baris ', kita akan menambahkan baris ' ke baris i.

Demikian pula kita ingin mencari setiap lintasan pan"angnya / atau

kurang dari / melalui ?1 atau ?' atau ? 5"ika ada6. empertimbangkan kolom

ketiga dan baris ketiga. %ika ada 1 di baris i kolom dan 1 di kolom " baris ,

maka terdapat lintasan dari ?i ke ? yang hanya melalui titik ?1 atau ?' 5 "ika

ada 6. >leh karena itu terdapat lintasan dari ?i ke ? " dan 1 sampai ditempatkan

pada posisi 5i, "6. $ni sama dengan menambahkan setiap baris ke setiap baris

dengan 1 pada kolom . Terdapat 1 di kolom ketiga pada pertama dan keempat

baris, sehingga baris ditambahkan ke masing-masing baris ini. 0ita

memperoleh matri& pada (ambar 7.98.

FIGURE 6.!$

2khirnya sekarang kita ingin mencari setiap lintasan dengan pan"ang /

atau kurang dari nilai yang mele+ati ?1 atau ?' atau ? atau ?/ 5"ika ada6. :ilai

baris ke / ke setiap baris yang lain dimana terdapat 1 pada kolom ke / itu.

Teori (raf 1'


13/25

0ita menya"ikan ' algoritma untuk menghitung .

-ars$a A/#rit$m 1

1. Lihat kolom 1 pada !. Dimana terdapat 1 di sebuah baris pada kolom itu,

"umlahkan baris 1 sampai baris di mana itu ter"adi 1.

'. Lihat kolom ' dari matriks yang dibangun pada 516. Dimana ada 1 di

deretan kolom itu , "umlahkan baris ' sampai baris di mana itu ter"adi 1.

. Lihatlah kolom dari matriks yang dibangun pada 5'6. Dimana ada 1 di

deretan kolom itu, "umlahkan baris sampai baris di mana itu ter"adi 1.

/. Lan"utkan proses ini untuk melihat kolom berikutnya dalam matriks yang

dibangun sebelumnya dan di mana ada 1 di deretan kolom itu, tambahkan

baris sesuai dengan kolom yang diperiksa ke baris di mana 1 ter"adi.8. Lan"utkan sampai semua telah diperiksa

etode kedua menggunakan fakta yang di mulai dengan baris pertama dan kolom

dan "ika ada 1 baris i pada kolom pertama dan 1 kolom " pada baris pertama,

maka kita menempatkan 1 di baris ke-i kolom " pada matriks. Dengan kata lain

"ika 2i1 @ 1 dan 21" @ 1, maka himpunan 2i" @ 1. %ika sudah satu, maka kita

meninggalkannya 1. Cal ini setara dengan untuk setiap i dan setiap ",

, karena adalah 1 "ika dan hanya "ika 2i1 @ 1 dan

21" @ 1 dan # sebaliknya. enggunakan baris kedua dan kolom kita akan

menemukan nilai-nilai baru untuk 2i" dengan menggunakan oleh

. elan"utkan proses ini, kita dapat menggunakan

algoritma dengan mengikuti pseudocode.

-ars$a A/#rit$m 2

or @ 1 to

or @ 1 to

or @ 1 to

@ 5 6

4ndfor

4ndfor

4ndfor

Teori (raf 1


14/25

6.! Hy0erces and /ray c#de

Definisi 6.6% "arak diantara dua titik dalam sebuah graph adalah pan"ang dari

lintasan terpendek diantara dua titik.

Definisi 6.6& diameter dari sebuah graph adalah "arak terlebar diantara

sebarang dua titik dalam graph.

Pada umumnya prosesor tunggal hanya mampu melaksanakan satu

program pada satu +aktu, tetapi dalam banyak kasus kumpulan prosesor dapat

dihubungkan untuk ber"alan secara parallel sehingga program yang berbeda

dapat di"alankan di +aktu yang sama dan informasi dipertukarkan antar

prosesor. Suatu cara untuk terhubung ke komputer adalah dengan

menggabungkan mereka dalam seri sebuah cincin. etode ini memiliki

kelemahan dalam menyampaikan informasi dari satu prosesor ke yang lain,

mungkin perlu mele+ati beberapa prosesor untuk melakukannya. Dalam kasus

terburuk, informasi mungkin harus mele+ati setengah dari prosesor. Sedikit

perbaikan akan menggunakan kotak atau persegi pan"ang atau array prosesor

di mana prosesor ditempatkan pada setiap titik pada kotak. =ontoh kotak

seperti diberikan pada Ga"bar #.$%.

Ga"bar #.$%

$ni merupakan perbaikan, tetapi masih sering diperlukan untuk ber"alan

melalui se"umlah prosesor untuk menyampaikan informasi dari satu prosesor

ke prosesor yang lain. Ditun"ukkan sebelumnya 4 & 5 grid, mungkin perlu

untuk mele+ati delapan prosesor termasuk prosesor akhir. Secara umum, untuk

grid " & n, mungkin perlu untuk melalui " ' n-2 prosesor .

Sebuah konfigurasi yang "auh lebih baik adalah hypercube. Sebuah n-

hypercube dapat digunakan untuk menghubungkan hingga 'n komputer. (raph

Teori (raf 1/


15/25

dari sebuah n-hypercube adalah konstruksi rekursif sebagai berikut) *ntuk n =

1, itu me+akili satu titik oleh 1 dan yang lainnya oleh # sehingga kita memiliki

graph pada Ga"bar #.$1.

1

#

Ga"bar #.$1

Dengan demikian titik kami terdiri dari semua 1-string dari # dan 1.

*ntuk n @ ', kami me+akili titik dengan 11,1#,#1. Dan ## sehingga kita

memiliki graph pada Ga"bar #.$2 .

5#,#6 5#,16

51,#6 51,16

Ga"bar #.$2

Dengan demikian titik kami terdiri dari semua '-string dari # dan 1.

*ntuk n @ , kami me+akili titik-titik oleh 111,11#,1#1,1##,#11,#1#,##1,###,

sehingga kita memiliki graph pada Ga"bar #.$3.

Ga"bar #.$3

Teori (raf 18


16/25

Dengan demikian,titik kami terdiri dari semua -string dari # dan 1.

Perhatikan bah+a dua titik adalah ad"acent, "ika yang satu dapat diubah ke

yang lain dengan mengubah satu simbol dalam the string.

Dalam bab 1, ketika mengkonstruksi tabel kebenaran, kami menemukan

daftar semua kemungkinan kombinasi dari pernyataan-pernyataan.

%ika kita menggunakan notasi al"abar Boolean dan menggantikan T dengan 1

dan dengan #, kita menemukan bah+a kita menghasilkan titik dari

hypercubes dari order 1,',, dan /, yang kita singkat sebagai berikut.

>rder 1 >rder ' >rder >rder /

1

#

11

1##1

##

111

11#1#1

1##

#11

#1#

##1

###

1111

111#11#1

11##

1#11

1#1#

1##1

1###

#111

#11#

#1#1

#1##

##11

##1#

###1

####

0ami bahkan telah mendefinisikan apa artinya untuk poin ini men"adi

ad"acent untuk n @ ', , dan /. Perhatikan peta 0arnaugh)

( )(

* 11 1#

)p #1 ##

0ita fokus terhadap kotak mana yang ad"acent. %ika kita kembali

menggunakan 1 untuk T dan # untuk dan memberikan nilai p diikuti dengan

nilai E, maka nilai-nilai dalam me+akili di mana setiap kotak adalah benar.

Teori (raf 17


17/25

>leh karena itu setiap titik adalah ad"acent dengan titik lain "ika titik tersebut

ad"acent sebagai titik pada '-kubus.

Demikian pula untuk tiga ?ariabel dimana nilai p, E, dan r diberikan dalam

order, kita memiliki

( ( )( )(

* 111 11

#

1## 1#1

)p #1

1

#1

#

### ##1

r )r )r r

dan mengingat bah+a, untuk peta 0arnaugh, tabel +rapped around

sehingga kedua u"ung dianggap ad"acent, lagi dua titik ad"acent dalam tabelhanya "ika titik tersebut ad"acent sebagai titik pada -kubus.

engingat peta 0arnaugh untuk empat ?ariabel dan memberikan p, E, r,

dan s dalam order, kita sama memiliki

+ ( )( )(

p 111

1

11#

1

1##

1

1#1

1

p 111

#

11#

#

1##

#

1#1

#

)s

)p #11

#

#1#

#

###

#

##1

#

)s

)p #11

1

#1#

1

###

1

##1

1

s

)r )r

dan sekali lagi mengingat bah+a, untuk peta 0arnaugh, tabel +rapped around

sehingga kedua u"ung dianggap ad"acent dan bagian atas dan ba+ah adlah

ad"acent, kemudian lagi dua titik ad"acent di tabel hanya "ika mereka

berdekatan sebagai titik pada / -kubus.

Dengan menggunakan metode di atas, kita membangun urutan titik untuk

k '1- kubus dari urutan k-kubus sebagai berikut)

1. Tempatkan 1 di depan setiap titik dalam barisan titik di k-kubus. Titik

ad"acent di k-kubus tetap ad"acent dengan 1 di depan titik tersebut

dalam k F1- kubus.

Teori (raf 19


18/25

'. Tempatkan # di depan setiap titik dalam barisan titik di k-kubus. Titik

ad"acent di k-kubus tetap ad"acent dengan # di depan mereka dalam k F1-

kubus.

. Tempatkan bentuk barisan pada 5'6 setelah bentuk barisan pada 516.

0ita sekarang telah menemukan metode untuk mengkonstruksi

hypercubes dan untuk n = 1,2,3 dan 4, kita dapat menggunakan Peta

0arnaugh untuk menun"ukkan ketika titik ad"acent. *ntuk nG /, kita dapat

menggunakan langkah-langkah 516 - 56 di atas yang menghasilkan titik.

isalkan kita memiliki sebuah disk yang berputar, yang terbagi ke dalam

sektor, dan serangkaian sikat atau sinar laser mengirimkan kembali informasi

digital tentang seberapa "auh disk telah diputar. %ika string biner merekam penomoran sector ad"acent secara substansial berbeda, dalam arti bah+a ada

banyak perubahan dari digit indi?idual untuk pergi dari satu sektor ke

berikutnya, pembacaan diambil hanya seperti sektor ini berubah bisa

menghasilkan nomor sama sekali berbeda dari "umlah salah satu penentuan

sektor ini hanya memiliki satu perubahan digit antar sektor ad"acent.

Secara umum, bagaimanapun, titik dalam daftar di atas tidak ad"acent

satu sama lain. :amun kita dapat mengubah ini dengan membuat sedikit

perubahan dalam bagian 5'6 di atas. *ntuk membentuk titik dari k F1- kubus,

bukan menempatkan # di depan daftar untuk k-kubus, kita membalikkan daftar

untuk titik dari k-kubus sebelum menempatkan # di depan masing-masing

simpul. Sebagai contoh, dalam membentuk titik dari '-kubus, kita

menempatkan 1 di depan kolom untuk 1-cube )

1

#

dan kemudian membalikkan kolom untuk mendapatkan

#

1

Dan penempatan sembarang # didepan "adi hasil akhirnya

Teori (raf 1;


19/25

*ntuk mendapatkan titik untuk kubus berdimensi-, kita menempatkan

1 di depan list di atas untuk kubus berdimensi-' kemudian menempatkan # di

depan list terbalik untuk kubus berdimensi-'. Casil akhir dari kubus

berdimensi-

$ni mudah untuk membuktikannya cara ini akan selalu memberikan kita

urutan titik untuk kubus berdimensi- k yang mana kita akan sebut dengan

k -list , yang 516 setiap titik pada urutan adalah tetangga 5ad"acent6 untuk

titik berikutnya dan yang ke 5' 6 titik pertama pada urutan adalah tetangga

untuk titik terakhir pada urutan tersebut. enggunakan induksi kita mulai

dengan mengamati urutan titik pada kubus berdimensi-1 memang memiliki

seEuential properties . kita anggapk

- list untuk kubus yang berdimensi-

k memiliki properties. 0etika kita meletakan 1 di depan setiap titik pada

k - list untuk titik pada kubus berdimensi-

k , setiap titik pada urutan ini

tentu merupakan tetangga dengan urutan berikutnya. %uga ketika kita

membalikkan setiap titik tetap tetangga dengan titik berikutnya dan ketika #

Teori (raf 1


20/25

adalah diletakkan di depan setiap elemen pada list ini kebalikan titik,

kemudian setiap titik pada list tetap bertetangga dengan titik berikutnya.

4lemen pertama pada kebalikan untuk kubus berdimensi- k sama dengan

elemen terakhir pada k -list asli dengan 1 di depannya. Perbedaannya hanya

pada digit pertama dan dari sini bertetangga. Serupa elemen terakhir. Sama

dengan elemen pertama padak

-list dan 1 diletakkan di depan urutan elemen

pertama struktur dari kubus berdimensi- n di sebut (ray code untuk n.

Dengan demikian aturan kita untuk menkonstruksikan (ray code untuk

k +1 adalah

516 enempatkan 1 di depan setiap titik dalam list- k dari kubus

berdimensi- k . Tititk merupakan ad"acent pada kubus berdimensi- k

adalah tetap ad"acent dengan 1 di depannya pada kubus berdimensi-

k +1 .

5'6 enempatkan # di depan setiap titik terbalik dalam k -list dari

kubus berdimensi- k . Titik yang merupaka ad"acent pada kubus

berdimensi- k adalah tetap ad"acent dengan # di depannya pada kubus

berdimensi- k +1 .

56 enematkan urutan dibentuk 5'6 setelah urutan dibentuk pada 516

5/6 Setiap urutan sepasang titik pada kubus berdimensi- k +1 dengan

kubus berdimensi- k +1 merupakan ad"acent. %uga titik pertama pada

list berdimensi- k +1

ad"acent untuk titik terakhir pada list.

isalkan , -list dan kebalikan -list masing-masing adalah,

Teori (raf '#


21/25

dan

=atatan bah+a elemen pertama pada setiap list sama dengan elemen

terakhi pada list. enambahkan 1 di depan setiap titik pada list pertama dan #

di depan setiap titik pada list kedua dan menempatkan list kedua pada akhir

list pertama, kika memilik

Dan kita memiliki konstruksi untuk /- gray code

111 11' 1'' 1'1 ''1 ''' '1'

11 11111 1111# 111## 111#1 11##1 11### 11#1#

1' 1#111 1#11# 1#1## 1#1#1 1###1 1#### 1##1#

'' ##111 ##11# ##1## ##1#1 ####1 ##### ###1#

Teori (raf '1


22/25

2+al, kita menyebutkan sambungan komputer dalam grid atau mesh.

Dengan grid kita menun"ukan graph dengan m & n susunan titik yang

serupa itu tetangga dari dua titik dalam baris yang sama atau kolom yang

merupakan tetangga dari titik dalam graph. ungkin untuk m≤2i

dan

n≤2 j

untuk konsep subgraph dari kubus berdimensi- k +1 apakah

m & n merupakan grid3 0ita menemukan ini kontruksi peta 0arnaug. $ni

dengan mudah melengkapi label baris dengan elemen pertama m pada gray

code untuk k dan label kolom dengan elmen pertama n pada gray code

untuk l . 4lemen ( i , j ) t h pada grid adalah i label baris dan di ikuti

j label kolom. Demikianlah "ika kita menginginkan kontruksi grtid &9, itu

didapat dari

Dimana elemen ( i , j ) th pada grid merupakan elemen ( i , j ) th pada table. 0ita

memiliki contoh yang di sertai dengan teorema

(E,EMA 6.!' Setiap grid m & n adalah subgraph dari kubus yang

berdimensi- i+ j , dimana m≤2i

dan n≤2 j

.

(E,EMA 6.!1 Setiap hypercube untukn≥1 merupaka graps bipartisi

dimana dis"oint dari kumpulan titik terdiri dari kumpulan setiap titik yang di+akili oleh string yang berisi satu bilangan genap dan kumpulan setiap titik

yang di +akili oleh string berisi satu bilangan gan"il.

Teori (raf ''


23/25

BAB III

PENU(UP

.1 Simpulan

Dari rumusan masalah dan pembahasan di atas penulis dapat menarik kesimpulan sebagai berikut)

1. 2d"acency arices dari suatu graf berlabel dengan p titik

simpul, adalah matriks berukuran p&p, dengan "ika dan

untuk hal yang lain.

Teori (raf '


24/25

'. $ncidence atrices dari suatu graf berlabel dengan titik simpul

dan E sisi, adalah matriks berukuran E&E, dengan "ika entri

terkait dengan dan untuk hal yang lain.

. Definisi 6.6% "arak diantara dua titik dalam sebuah graph adalah

pan"ang dari lintasan terpendek diantara dua titik.

Definisi 6.6& diameter dari sebuah graph adalah "arak terlebar diantara

sebarang dua titik dalam graph.

(HE,EMA 6.!' Setiap gridm & n adalah subgraph dari

kubus yang berdimensi- i+ j , dimana m≤2i

dan n≤2 j

.

(E,EMA 6.!1 Setiap hypercube untuk n≥1 merupaka graps

bipartisi dimana dis"oint dari kumpulan titik terdiri dari kumpulan

setiap titik yang di +akili oleh string yang berisi satu bilangan genap

dan kumpulan setiap titik yang di +akili oleh string berisi satu bilangan

gan"il.

.' Saran

Dengan memahami konsep incidence matrices, matriks ketetanggaan dan

hypercube.. Diharapkan pembaca dan penulis dapat menerapkan teori ini dalam

proses bela"ar dan pembela"aran. Serta dalam penulisan makalah ini masih "auh

dari kesempurnaan, kritik dan saran pembaca sangat diharapkan untuk

penyusunan makalah berikutnya.

Daftar Pustaka

2nderson, %ames 2. iscrete /athe"atics 0ith o"binatorics.

http)HHdigilib.its.ac.idHpublicH$TS-*ndergraduate-'#


25/25

Teory Graph

Documents