File grad/analise/2007/teor.tex on October 3, 2007 on [74] pages [1] Andr´ e Toom. Resumo teorico de disciplina MA-521, “Analise 1A” CONTEUDO 1. Afirma¸ c˜ oes e quantores. ................................................ [2] 2. Conjuntos b´ asicos. ...................................................... [5] 3. 1-1 rela¸ c˜ ao. Conjuntos cont´ aveis e n˜ ao cont´ aveis. ...................... [15] 4. Continuidade do conjunto de n´ umeros reais. max, min, sup, inf. ....... [19] 5. Sistema decimal e outros sistemas numericos. .......................... [24] 6. Seq¨ uˆ encias em IR. Limites. ........................................... [27] 7. Pontos de aderˆ encia. .................................................. [31] 8. O criterio de Cauchy para seq¨ uˆ encias. ................................. [34] 9. Conjuntos abertos e fechados em IR . .................................. [36] 10. Limsup, liminf. ...................................................... [40] 11. Seq¨ uˆ encias em IR 2 . Limites e pontos de aderˆ encia.................... [41] 12. Conjuntos abertos e fechados em IR 2 . ............................... [43] 13. Fun¸ c˜ oes IR → IR. Limite e continuidade. ............................ [46] 14. Continuidade uniforme e condi¸ c˜ ao de Lipschitz. ...................... [52] 15. Convergˆ encia de fun¸ c˜ oes. ............................................. [54] 16. Fun¸ c˜ oes IR 2 → IR. Limites e continuidade. ........................... [56] 17. Fun¸ c˜ oes IR → IR . Derivada. ......................................... [57] 18. Integral de Riemann de fun¸ c˜ oes IR → IR . ............................ [61] 19. S´ eries em IR e convergˆ encia deles. ................................... [68] 20. S´ eries de fun¸ c˜ oes e convergˆ encia deles. ............................... [72] Referˆ encias ................................................................ [74] Aviso. Matem´ atica ´ e uma ciˆ encia rigorosa, cujo maior conteudo ´ e argumentos quais provam afirma¸ c˜ oes, tipicalemente gerais. Este arquivo contem o material teorico do curso. Para estudar- l´ o, atividade mental ´ e necessaria. Encontrando uma defini¸ c˜ ao ou um teorema, pensa de exemp- los. Tenta refutar cada teorema. Basicamente um argumento matem´ atico ´ e uma seq¨ uˆ encia de afirma¸ c˜ oes, daquelas cada ´ e ou geralmente conhecida, ou ´ e uma conseq¨ uˆ encia de afirma¸ c˜ oes an- teriores. Quando usamos o metodo de “contradi¸ c˜ ao”, supomos que a afirma¸ c˜ ao, qual queremos provar, ´ e falso e obtemos uma contradi¸ c˜ ao.
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Aviso. Matematica e uma ciencia rigorosa, cujo maior conteudo e argumentos quais provamafirmacoes, tipicalemente gerais. Este arquivo contem o material teorico do curso. Para estudar-lo, atividade mental e necessaria. Encontrando uma definicao ou um teorema, pensa de exemp-los. Tenta refutar cada teorema. Basicamente um argumento matematico e uma sequencia deafirmacoes, daquelas cada e ou geralmente conhecida, ou e uma consequencia de afirmacoes an-teriores. Quando usamos o metodo de “contradicao”, supomos que a afirmacao, qual queremosprovar, e falso e obtemos uma contradicao.
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1. Afirmacoes e quantores.
Na vida cotidiana encontramos muitas afirmacoes vagas ou pessoais, daqueles e
possivel ter opinioes diferentes, por exemplo: Esta roupa e horrivel. Claudio e um
gatao. Pera e mais gostosa que maca. Na matematica lidamos com afirmacoes,
quais sao ou verdadeiras ou falsas. Dado duas afirmacoes A e B , podemos formar
outras: A∧B , o que significa A e B , i.e. ambos sao verdadeiras, A∨B , o que
significa A ou B , i.e. pelo menos um deles e verdadeiro, negacao A = A =
nao A e varias combinacoes delas.
Existe analogia entre formulas algebricas e formulas logicas. Cada formula
algebrica toma valores numericos quais dependem de valores de variaveis incluidas
nela. Analogamente, cada formula logica toma valor “verdadeira” ou “falsa” de-
pendente de veracidade de afirmacoes incluidas nela. Como na aritmetica usamos
tabua de multiplicacao, a seguinte tabua ajuda obter a veracidade da formula se
sabemos veracidades de variaveis logicas incluidas nela. Aqui V e F significam
“verdadeira” e “falsa”:
V = F, F = V,
V ∨ V = V, V ∧ V = V
V ∨ F = V, V ∧ F = F
F ∨ V = V, F ∧ V = F
F ∨ F = F, F ∧ F = F.
O sinal ⇒ significa implicacao logica. Na matematica A ⇒ B significa o mesmo
que A∨ B . Logo A ⇒ B significa o mesmo que B ⇒ A , o que sempre
usamos nas provas pela contradicao.
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(Isto e diferente da vida cotidiana. No uso cotidiano a frase “se 2 × 2 = 5 , eu
sou imperador do Brasil” e um absurdo. Na matematica esta afirmacao e sempre
correta, independentemente de por quem dita: imperador do Brasil ou nao.)
O sinal ⇐⇒ significa equivalencia de afirmacoes. Ela acontece se ambos A ⇒ B
e B ⇒ A sao verdadeiros.
Exercıcio. E verdade que (A ∧B) e equivalente a ( A) ∨ ( B) ?
Exercıcio. E verdade que (A ∨B) e equivalente a ( A) ∧ ( B) ?
Aviso: e possivel provar as duas equivalencias anteriores considerando quatro casos
e enchendo as vazias colunas nesta tabela:
A B (A ∧B) ( A) ∨ ( B)
V V
V F
F V
F F
onde V significa “verdadeiero” e F significa “falso”.
Depois disto, e possivel provar as duas equivalencias embaixo pela inducao.
Exercıcio. Provar que((A1 ∧ A2 ∧ · · · ∧ An)
)⇐⇒
(( A1) ∨ ( A2) ∨ · · · ∨ ( An)
).
Exercıcio. Provar que((A1 ∨ A2 ∨ · · · ∨ An)
)⇐⇒
(( A1) ∧ ( A2) ∧ · · · ∧ ( An)
).
Quantores.
O quantor de universalidade ∀ significa “para todos”.
O quantor de existencia ∃ significa “existe”.
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Negacoes de quantores.
Seja S um conjunto e P (x) e uma afirmacao feita para elementos deste conjunto.
Logo a formula ∀ x ∈ S : P (x) significa que todos elementos de S tem a
propriedade P . Logo a formula ∀ x ∈ S : P (x) significa negacao da formula
anterior, i.e. nao todos elementos de S tem a propriedade P . Isto e mesmo
que existe pelo menos um elemento de S qual nao tem a propriedade P . Entao
temos a equivalencia de afirmacoes:(∀ x ∈ S : P (x)
)⇐⇒
(∃ x ∈ S : P (x)
). (1)
Analogamente obtemos a equivalencia parecida:(∃ x ∈ S : P (x)
)⇐⇒
(∀ x ∈ S : P (x)
). (2)
Exemplo.
x ∈⋃
C∈F
C ⇐⇒ ∃ C ∈ F : x ∈ C
e
x ∈⋂
C∈F
C ⇐⇒ ∃ C ∈ F : x ∈ C.
Observacao. As vezes espressoes algebricas dependem de variaveis, as vezes nao
dependem. Apresentamos varios exemplos.
O valor de somatorio∑10
k=1 k2 nao depende de k .
A afirmacao x2 − 1 = 0 e verdadeira para x = 1 e x = −1 e falsa para todos
outros valores de x . Diferente disto, a veracidade das afirmacoes
∀ x ∈ IR : x2 − 1 = 0 e ∃ x ∈ IR : x2 − 1 = 0
nao depende de x . De fato, a primeira afirmacao e falsa e a segunda afirmacao e
correta. Geralmente, veracidade duma afirmacao nao depende de variavel prece-
dida por quantor.
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2. Conjuntos basicos.
Na vida cotidiana e frequentemente dificil dizer se um objeto pertence a um con-
junto ou nao. Por exemplo, se queremos falar de uma turma de alunos, um aluno
pode ser incluido na lista, mas ausente nas todas aulas.
Na matematica temos um conjunto A se cada objeto x ou pertence ou nao
pertence a A .
Um conjunto e chamado de finito se ele tem um numero finito de elementos. Se
este numero e pequeno, podemos denotar o conjunto simplesamente enumerando-
los em chaves, separando-los com virgulas. Por exemplo, o conjuntoa
tem so
um elemento a , o conjuntoa, b
(onde a 6= b ) tem dois elementos a e b etc.
O sinal # significa cardinalidade, qual e uma medida de grandeza de conjuntos.
Para conjuntos finitos a cardinalidade e simplesamente o numero de elementos.
Por exemplo, #a
= 1 , #a, b
= 2 etc. Existe o conjunto vazio denotado
g , qual nao tem elementos. Sua cardinalidade e zero.
Observacao. Lima [Lima, vol. 1] use notacao card (S) no lugar de #S .
Alguns conjuntos infinitos tem notacoes especiais:
INI =1, 2, 3, . . .
o conjunto dos numeros naturais.
ZZ =. . . ,−3,−2,−1, 0, 1, 2, 3, . . .
o conjunto dos numeros inteiros,
QO =m/n : m, n ∈ ZZ , n 6= 0
o conjunto dos numeros racionais.
Para todo numero racional q definimos seu modulo ou valor absoluto denotado
|q| assim:
|q| = q se q ≥ 0,
−q se q < 0.
Usando estas notacoes, podemos definir outros conjuntos de forma:
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x ∈ INI : x < 100
o conjunto de numeros naturais, quais sao menor que 100 .
x ∈ ZZ : |x| > 7
o conjunto de numeros inteiros, cujo modulo e maior que 7 .x ∈ QO : x < 0
o conjunto de numeros racionais, quais sao menor que zero.
Para cada numero racional o seu modulo e igual a distancia entre o ponto qual
representa-lo na reta e o ponto O qual representa zero. O modulo de diferenca
entre dois numeros e a distancia entre os pontos quais representam estes numeros
na reta. Veja pontos X e Y na reta e a distancia |X − Y | entre eles:
|X − Y |︷ ︸︸ ︷X Yw w -
-1 -1/2 0 1/2 1
Para todos conjuntos A e B :
A e subconjunto de B se cada elemento de A pertence a B .
Notacoes para qualquer objeto x e conjuntos A e B :
x ∈ A ou A 3 x : objeto x pertence ao conjunto A ou conjunto A contem ou
inclue objeto x . Neste caso x e chamado de elemento de A .
A ⊂ B ou B ⊃ A : A e um subconjunto de B , i.e. cada elemento de A
pertence a B . O conjunto vazio e subconjunto de todos conjuntos.
A = B : os conjuntos A e B coincidem, i.e. cada elemento de A pertence a B
e cada elemento de B pertence a A . Logo
(A = B) ⇐⇒ ((x ∈ A) ⇐⇒ (x ∈ B)) ⇐⇒((A ⊂ B) ∧ (B ⊂ A)
).
Se temos dois conjuntos A e B , podemos formar outros conjuntos:
A ∩ B : intersecao de A e B . Qualquer objeto x pertence a A ∩ B se ele
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pertence a A e pertence a B .
A ∪ B uniao de A e B . Qualquer objeto x pertence a A ∪ B se ele pertence
a A ou pertence a B . (Pode pertencer a ambos.)
A \ B : a diferenca entre A e B . Qualquer objeto x pertence a A \ B se ele
pertence a A e nao pertence a B .
A ∆ B : a diferenca simetrica definida assim:
A ∆ B = (A \B) ∪ (B \ A).
Ω \ (A ∪B)
A B
A ∩BA \B B \ A
Este desenho e chamado de diagrama de Venn. Ele ajuda visualizar relacoes entre
dois conjuntos arbitrarios e resolver problemas com eles. Consideremos so subcon-
juntios de Ω apresentado com o retangulo. Os dois cırculos apresentam conjuntos
A e B . Eles cortam Ω em quatro partes, quais apresentam os conjuntos
A ∩B, A \B, B \ A, Ω \ (A ∪B).
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A tabela no lado pode ajudar resolver
problemas com tres conjuntos. Aqui o
sinal + significa “pertence” e o sinal −
significa “nao pertence”. As oito linhas
apresentam os oito casos quais podem
acontecer com qualquer elemento de Ω
e correspondem as oito partes, naquelas
os tres cırculos cortam o retangulo no de-
senho.
A B C o conjunto
+ + + A ∩B ∩ C
+ + − A ∩B ∩ Cc
+ − + A ∩Bc ∩ C
+ − − A ∩Bc ∩ Cc
− + + Ac ∩B ∩ C
− + − Ac ∩B ∩ Cc
− − + Ac ∩Bc ∩ C
− − − Ac ∩Bc ∩ Cc
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A B
C
A ∩Bc ∩ Cc Ac ∩B ∩ Cc
Ac ∩Bc ∩ C
A ∩B ∩ Cc
A ∩Bc ∩ C Ac ∩B ∩ C
A ∩B ∩ C
O desenho acima e diagrama de Venn para tres conjuntos. O retangulo apresenta
o conjunto Ω . Os tres cırculos apresentam conjuntos A, B, C quais pertencem a
Ω . Eles cortam Ω em oito partes quais correspondem nas oito linhas da tabela.
Classes de conjuntos.
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Se temos um conjunto F , cujos elementos sao conjuntos, por razoes estilisticas
evitamos de chamar F conjunto e chamamos ele de classe ou familia.
Se temos uma classe F de conjuntos, a uniao de todos elementos de F e a
intersecao de todos elementos de F sao denotadas de
⋃C∈F
C e⋂
C∈F
C.
Exercıcio. E verdade que para todo conjunto A e todo classe de conjuntos F
a)⋂
B∈F
(A \B) = A \⋃
B∈F
B ? b)⋃
B∈F
(A \B) = A \⋂
B∈F
B ?
A lei distributiva para uniao e intersecao. Lidando com numeros, sabemos
que multiplicacao e adicao satisfazem a lei distributiva:
a× (b + c) = (a× b) + (a× c).
Mas nao oposto: geralmente
a + (b× c) 6= (a× c) + (b× c).
Lidando com conjuntos, a mesma lei e verdadeira para uniao e intersecao nas
ambas direcoes:
a ∪ (b ∩ c) = (a ∪ b) ∩ (a ∪ c), a ∩ (b ∪ c) = (a ∩ b) ∪ (a ∩ c).
Exercıcio. a) Provar estas formulas.
b) Provar as generalizacoes destas formulas:
A ∪⋂
B∈F
=⋂
B∈F
(A ∪B), A ∩⋃
B∈F
=⋃
B∈F
(A ∩B).
Geralmente uma operacao denotada ∗ e chamada comutativa se a ∗ b = b ∗ a e
associativa se (a ∗ b) ∗ c = a ∗ (b ∗ c) . Se aplicamos uma operacao com estes
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propriedades varias vezes, nao precisamos parenteses e nao precisamos cuidar de
ordem de termos.
Exercıcio. Provar que operacoes ∩, ∪ e ∆ sao comutativas e associativas.
Produto de dois conjuntos A e B e o conjunto das pares (a, b) , onde a ∈ A
e b ∈ B . Por exemplo, nos livros sobre xadrez o conjunto de quadrinhos de tabua
de xadrez e apresentado como produtoa, b, c, d, e, f, g, h
×1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8
.
Produto de varios conjuntos
S1 × S2 × · · · × Sn
e o conjunto das sequencias de n termos (a1, a2, . . . , an) , onde a1 ∈ S1, a2 ∈
S2, . . . , an ∈ Sn . Por exemplo, se jogamos uma moeda, o conjunto dos resultados
possiveis ecara, coroa
. Se jogamos duas moedas, o conjunto dos resultados
possiveis e o produto dos dois conjuntos iguais:
cara, coroa
×cara, coroa
=
cara, coroa
2.
Se jogamos n moedas, o conjunto ecara, coroa
n. Na teoria da probabilidade
o conjunto de todos casos possiveis e chamado espaco amostral.
Existem produtos infinitos, por exemplo
cara, coroa
INI,
o que e o conjunto de sequencias infinitas, cada termo daquelas e cara ou coroa .
Nunca consideramos os todos conjuntos no mundo. Isto conduza a
paradoxos. Um destes paradoxos: chamemos um conjunto de “estranho” se ele
e seu proprio elemento. Por exemplo, o conjunto de todos conjuntos e estranho.
Denotamos de N a classe de nao-estranhos conjuntos. Seguinte logica, N e ou
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estranho, ou nao-estranho. Vamos provar que ambos casos sao impossiveis. Se
N e estranho, ele e seu proprio elemento, o que e falso pois todos seus elementos
sao nao-estranhos. Se N nao e estranho, ele nao e seu proprio elemento, o que
e falso pois todos conjuntos nao-estranhosseus sao seus elementos.
Por esta causa, na cada pesquisa matematica temos um conjunto bastante grande,
qual pode ser chamado Ω e consideramos so seus sub-conjuntos. Neste caso,
para cada sub-conjunto S ⊂ Ω o conjunto Ω \ S e denotado de Sc e chamado
complementar de S . Logo, quando escrevemos “para todos conjuntos”, queremos
dizer “para todos subconjuntos dum Ω ”, onde Ω cada vez deve ser escolhido na
maneira apropriada.
Exercıcio. Provar para todos conjuntos A, B, C :
A ∩B = (Ac ∪Bc)c, A ∪B = (Ac ∩Bc)c.
Exercıcio. Provar para toda famılia F de conjuntos: ⋂S∈F
S
c
=⋃
S∈F
Sc,
⋃S∈F
S
c
=⋂
S∈F
Sc.
Classes de equivalencia. (Aqui o sentido de palavra “equivalencia” e diferente
de equivalencia de afirmacoes.)
Uma relacao ∗ entre alguns elementos dum conjunto S e chamada reflexiva se
para cada a ∈ S : a ∗ a ;
comutativa se para cadas a, b ∈ S : a ∗ b ⇒ b ∗ a ;
transitiva se para cada a, b, c ∈ S : a ∗ b, b ∗ c ⇒ a ∗ c .
Uma relacao ∗ entre alguns elementos dum conjunto S e chamada relacao de
equivalencia se
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a) (reflexidade) para cada a ∈ S : a ∗ a ;
b) (comutatividade) para cadas a, b ∈ S : a ∗ b ⇒ b ∗ a ;
c) (transitividade) para cada a, b, c ∈ S : a ∗ b, b ∗ c ⇒ a ∗ c .
Teorema sem provar: se temos uma relacao de equivalencia num conjunto S ,
logo existe uma familha F de conjuntos tais que:
a) a uniao de todos elementos de F e S ;
b) intersecao de cadas dois elementos diferentes de F e vazia.
Exemplos.
a) Se S e o conjunto de triangulos e x ∗ y se os triangulos x e y tem areas
iguais, logo ∗ e relacao de equivalencia.
b) Se S e o conjunto de triangulos e x∗y se os triangulos x e y tem perimetros
iguais, logo ∗ e relacao de equivalencia.
c) Se S e o conjunto de habitantes duma cidade e x ∗ y significa que x e y sao
visinhos, logo ∗ nao e relacao de equivalencia.
Exercıcio. Seja S = ZZ . Para cada caso seguinte descobrir, se a relacao ∗ e
relacao de equivalencia e se e, descrever os classes de equivalencia.
a) x ∗ y se x− y e par.
b) x ∗ y se x− y e ımpar.
c) x ∗ y se x− y e multiplo de 7.
Exercıcio. Seja S = ZZ 2 e seus elementos sao denotados (x, y) onde x, y ∈ ZZ .
Para cada caso seguinte descobrir, se a relacao ∗ e relacao de equivalencia e se e,
descrever os classes de equivalencia.
a) (x, y) ∗ (p, q) se x + y = p + q .
b) (x, y) ∗ (p, q) se x · q = y · p .
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Voce provavelmente ja reparou a semelhanca entre notacoes da logica e da teoria
de conjuntos. Esta semelhanca tem sentido. Para cada conjunto A podemos
considerar a afirmacao x ∈ A . Logo
x ∈ (A ∪B) e equivalente a (x ∈ A) ∨ (x ∈ B)
e
x ∈ (A ∩B) e equivalente a (x ∈ A) ∧ (x ∈ B).
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3. 1-1 relacao. Conjuntos contaveis e nao contaveis.
Disemos que existe uma 1-1 relacao entre dois conjuntos A e B se existe uma
regra, tal que para cada elemento de A corresponde exatamente um elemento de
B e vice versa. Dois conjuntos, para aqueles tal relacao existe, sao chamados
equivalentes. Tambem dizemos que eles tem a mesma cardinalidade. Por exemplo,
todos conjuntos finitos com a mesma quantidade de elementos sao equivalentes e
sua cardinalidade e o numero de elementos de cada um deles:
#1, 2, 3
= #
a, b, c
= #
Argentina, Brasil, Columbia
= 3.
Definicao. n! (pronunciado “eni fatorial”) e definido para todos n = 0, 1, 2, 3, . . .
assim:
n! =
1 se n = 0,
1 · 2 · 3 · . . . · n se n = 1, 2, 3, . . .
Definicao. 1-1 relacao de um conjunto par ele mesmo e chamado de permutacao
deste conjunto.
Exercıcio. Para cada conjunto finito com n elementos existem n! permutacoes
dele.
Mais dificeis sao conjuntos infinitos. Um conjunto e chamado contavel se ele e
equivalente ao conjunto INI =1, 2, 3, . . .
.
Em outras palavras, qualquer conjunto S e contavel se os elementos dele podem
ser escritos na forma duma sequencia infinita: S =a1, a2, a3, . . .
com termos
diferentes. Todos conjuntos contaveis tem a mesma cardinalidade.
Observacao. Lima [Lima, vol. 1] chama de conjuntos enumeraveis todos conjuntos
finitos e contaveis.
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Teorema. ZZ , o conjunto dos numeros inteiros, e contavel.
Teorema. O produto INI × INI e contavel.
Consequencia: O produto de dois conjuntos contaveis e contavel.
Lema. Se A ⊂ B e A e infinito e B e contavel, logo A e contavel.
Teorema. O conjunto QO de numeros racionais e contavel.
Exercıcio. Explicar o sentido da formula
# INI = # ZZ = #QO.
Exercıcio. Temos uma sequencia S1, S2, S3, . . . de conjuntos contaveis. Provar
que sua uniao S1 ∪ S2 ∪ S3 ∪ . . . e contavel tambem.
Exercıcio. Provar que estes conjuntos sao equivalentes:
cara, coroa
ne
0, 1
n.
Exercıcio. Provar que estes conjuntos sao equivalentes:
cara, coroa
INIe
0, 1
INI.
Teorema. O conjunto0, 1
INInao e contavel. Logo existem conjuntos nao
contaveis, cuja cardinalidade e mais de cardinalidade de N .
Prova pela contradicao usando o metodo diagonal de Cantor. Seja todos elementos
de0, 1
INIsao ordenados numa sequencia a1, a2, a3, . . . Cada deles e uma
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sequencia: ak = (ak1, ak
2, ak3, . . .) Logo temos uma sequencia de sequencias:
a1 = (a11, a1
2, a13, . . .)
a2 = (a21, a2
2, a23, . . .)
a3 = (a31, a3
2, a33, . . .)
.....................................
Agora consideremos um elemento de0, 1
INIdefinido como sequencia
1− a11, 1− a2
2, 1− a33, . . .
Observe que esta sequencia nao pode coincidir com nenhum termo da sequencia
a1, a2, a3, . . . pois ela tem o primeiro termo diferente do primeiro termo de a1 ,
o segundo termo diferente do segundo termo de a2 , o terceiro termo diferente do
terceiro termo de a3 etc. Entao temos contradicao qual mostra que nossa suponha
foi falsa: e impossivel colocar todos elementos de0, 1
INInuma sequencia.
Teorema. O conjunto dos numeros reais nao e contavel.
Exercıcio. Uma sequencia a1, a2, a3, . . . e chamada periodica se existem numeros
naturais p, s tais que
∀ n ≥ s : an = an+p.
Provar que o conjunto de periodicos elementos de0, 1
INIe contavel.
Exercıcio. Apresentar uma 1-1 relacao entre0, 1
INIe0, 1, 2, 3
INI.
Definicao. Dizemos que o conjunto A caiba no conjunto B se existe B′ ⊂ B e
uma 1-1 relacao entre A e B′ .
Teorema (sem provar). Entre cadas dois conjuntos pelo menos um caiba noutro.
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Teorema (sem provar). Temos dois conjuntos A e B . Se A caiba em B e B
caiba em A , existe 1-1 relacao entre A e B .
Devido a estes teoremas, para cadas dois conjuntos A e B ha so tres possibili-
dades:
a) A caiba em B e B caiba em A . Neste caso dizemos que A e B sao
equivalentes e suas cardinalidades sao iguais: #A = #B .
b) A caiba em B , mas B nao caiba em A . Neste caso dizemos que cardinalidade
de A e menos que cardinalidade de B : #A < #B .
c) A nao caiba em B , mas B caiba em A . Neste caso dizemos que cardinalidade
de A e mais que cardinalidade de B : #A > #B .
Por exemplo,
# g < #a
< #a, b
< . . . < # INI < . . . < #
0, 1
INI.
Entao todas as cardinalidades formam um conjunto ordenado. Se passar o con-
junto de cardinalidades na ordem de crescimento, comecamos em zero - a cardi-
nalidade do conjunto vazio, passamos todos numeros naturais - cardinalidades de
conjuntos finitos e... o que depois?
Exercıcio. Provar que a primeira cardinalidade depois de todos numeros naturais
e a cardinalidade de conjuntos contaveis.
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4. Continuidade do conjunto de numeros reais. max, min, sup, inf.
Conjuntos ordenados. Um conjunto S e chamado ordenado se para cadas
dois elementos diferentes dele, denotados x 6= y , exatamente um de dois casos
seguintes acontece:
ou x < y , o que e mesmo que y > x ,
ou x > y , o que e mesmo que y < x ,
com condicao de transitividade
(x ≤ y, y ≤ z) ⇒ x ≤ z,
onde x ≤ y significa x < y ou x = y .
Por exemplo, os conjuntos INI , ZZ , QO sao ordenados.
Pergunta: e possivel ordenar ZZ 2 ? Resposta: possivel, mas inutil. Por exemplo,
podemos definir: (x, y) < (a, b)) se x < a ou x = a, y < b .
Exercıcio. provar transitivide desta ordenacao.
Exercıcio. Seja q numero racional tal que q ≥ 0 e ∀ n ∈ INI : q < 1/n. Provar
que q = 0 .
Por que precisamos de numeros reais? Por que nao somos satisfeitos
com numeros racionais? Explicamos isso nas duas maneiras conectadas.
Chamemos um conjunto ordenado S de continuo se ele satisfaz duas condicoes.
A primeira condicao e simples: para cadas a, b ∈ S , onde a < b , deve existir
c ∈ S tal que a < c < b . E evidente que QO satisfaz esta condicao: podemos
tomar c = (a + b)/2 .
O que de segunda condicao, vamos apresentar-lo em duas maneiras.
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Se temos um conjunto ordenado S , sua corte e apresentacao S = Smenor ∪ Smaior
onde
∀ x ∈ Smenor, y ∈ Smaior : x < y.
Chamemos Smenor de classe menor e Smaior de classe maior. Chamemos de
buraco uma corte onde a classe menor nao tem maximo e a classe maior nao tem
minimo.
Seguinte Dedekind, queremos um conjunto ordenado sem buracos, qual inclue
todos numeros racionais.
Apresentamos a mesma dificuldade na outra maneira. Se temos um conjunto orde-
nado S , chamemos de segmento fechado [a, b] o conjuntox ∈ S : a ≤ x ≤ b
.
Chamemos de sequencia segmentos fechados encaixados ou sequencia de s.f.e. uma
sequencia
[a1, b1] ⊃ [a2, b2] ⊃ [a3, b3] ⊃ . . .
onde cada segmento contem o proximo segmento. Outra maneira de apresentar a
segunda condicao:
Para cada sequencia de s.f.e. a intersecao de todos segmentos deve ser nao-vazio.
Mostremos que o conjunto QO nao satisfaz nenhuma versao da segunda condicao.
Apresentamos uma sequencia de s.f.e.
[a1, b1] ⊃ [a2, b2] ⊃ [a3, b3] ⊃ . . .
tal que a intersecao de todos segmentos e vazia. Definimos os segmentos pela
inducao. Base de inducao: seja a1 = 1 e b1 = 2 .
Passo de inducao: seja temos an e bn . Denotamos mn = (an + bn)/2 e com-
paramos m2n com 2 . Pois mn e racional, m2
n e 2 nao podem ser iguais. Logo
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temos so dois casos:
Se m2n < 2 , definimos an+1 = mn e bn+1 = bn .
Se m2n > 2 , definimos an+1 = an e bn+1 = mn .
Entao os todos [an, bn] sao definidos. Observe que bn − an = 1/2n−1 para todos
n . Logo a intersecao de todos segmentos [an, bn] nao pode ter mais que um
elemento. Mas nao pode ter mesmo um elemento, pois se tivesse, seu quadrado
seria 2 , o que e impossivel.
Explicamos a conexao entre as duas apresentacoes. Para cada sequencia de s.f.e.
[an, bn] chamemos de classe menor e de classe maior os conjuntos
Qmenor =q ∈ QO : ∃ n : q < an
, Qmaior = QO \Qmenor.
Clases Qmenor e Qmaior nao podem ter elementos comuns. e sua uniao e QO .
Qmenor nao tem maximo. A sequencia [an, bn] defina um buraco se Qmaior nao
tem minimo.
Esta situacao nao e unica, mas muito tipica em QO . E possivel provar que o
conjunto de buracos em QO e infinito e mesmo nao contavel. Agora concertamos
a situacao. Declaramos cada buraco de numero irracional. Numeros racionais
e irracionais juntos sao chamados de numeros reais. Denotamos o conjunto de
numeros reais de IR . Numeros reais fazem um conjunto ordenado e continuo.
Exemplo. O numero real√
2 e irracional. Os numeros reais√
3, 3√
2,√
3 −√
2
sao irracionais tambem.
Exemplo. Consideremos uma sequencia de numeros racionais x1, x2, x3, . . . , onde
xn =
(1 +
1
2n
)2n
.
E facil provar que esta sequencia cresce, i.e. x1 < x2 < x3 < . . . E possivel provar
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tambem que todos seus termos sao menor que 3. Logo podemos definir uma corte
onde
Rmenor =r ∈ IR : ∃ n : r < xn
e Rmaior = IR \Rmenor.
Esta corte define um numero irracional importantissimo denotado e . Aproxi-
madamente e = 2, 718 . . .
Definicao. Para cada numero real x denotamos:
|x| = x se x ≥ 0,
−x se x < 0.
[x] - o maximo numero inteiro, qual nao e maior que x ;
]x[ - o minimo numero inteiro, qual nao e menor que x .
Exemplos: se x e inteiro, logo [x] =]x[= x .
Se 0 < x < 1 , logo [x] = 0 e ]x[= 1 .
Se −1 < x < 0 , logo [x] = −1 e ]x[= 0 .
Exercıcio. Quais valores pode tomar ]x[−[x] ?
Exercıcio. Quais valores pode tomar [x2]− [x]2 ?
max, min, sup, inf.
Chamemos um conjunto S ⊂ IR limitado se existem numeros A e B tais que
A ≤ x ≤ B para todos x ∈ S .
Exercıcio. Dados n conjuntos de numeros reais, daqueles cada e limitado. Provar
que seu uniao e intersecao tambem sao limitados.
Exercıcio. Dada uma familha F de subconjuntos de IR , daqueles cada e limi-
tado. Podemos concluir que a uniao destes conjuntos e limitada? Podemos con-
cluir que a intersecao deles e limitada?
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Para cada conjunto limitado nao-vazio S ⊂ IR , chamemos um numero f cota
superior de S se x ≤ f para todos x ∈ S .
Denotamos de F o conjunto de cotas superiores de S . Pois S e limitado e
nao-vazio, ambos conjuntos IR \S e S sao nao-vazios, logo eles fazem uma corte
no conjunto de numeros reais. Logo existe fronteira entre eles, chamada supremo
de conjunto S e denotada sup S . Definimos inf S o infimo de S analogamente.
Se S nao tem nenhuma cota superior, dizemos que sup S = ∞ . Analogamente,
se S nao tem nenhuma cota inferior, dizemos que inf S = ∞ .
Teorema. Se um conjunto de numeros reais e nao vazio, ele tem um supremo e
um infimo (talvez, infinitos).
Exercıcio. Provar que qualquer conjunto nao pode ter mais que um maximo ou
mais que um supremo. Tambem provar que o maximo e o supremo de mesmo
conjunto sao iguais se ambos existem.
Teorema. Seja o conjunto IR apresentado como uniao de dois conjuntos S1 e
S2 tais que cada elemento de S1 e menor que cada elemento de S2 . Entao, so
dois casos sao possiveis: ou S1 tem maximo e S2 nao tem minimo, ou S1 nao
tem maximo e S2 tem minimo.
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5. Sistema decimal e outros sistemas numericos.
Cada numero natural mais que um pode ser usado como base de sistema nu-
merica. O sistema numerica mais usada e decimal. Neste sistema temos dez
algarizmos 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 e podemos escrever cada numero natural como