Teorija Igara Graficka Metoda

Grafiko rjeavanje igara (2,n)

Dr. sc. Tunjo Peri

Metodom dominacije ne moemo reducirati sve igre na matricu reda (2,n) kao to je u sluaju slijedee matrice:*Pretpostavmo da igra 1 ima samo dvije iste strategije, tada je njegova mjeovita strategija (x1, 1-x1)Oekivana vrijednost za prvog igraa, ako drugi igra odabere strategiju I je E(x1,y1)=4x1-2(1-x1)=6x1-2. Analogno tomu, E(x1,y2)=1-x1, E(x1,y3)= 3x1-1.

Drugi igraI (y1)II (y2)III (y3)Prvi igraI (x1)402II (1-x1)211

Redak 1Redak 243210-1-243210-1-2Odabir strategije prvog igraa*

Drugi igraIIIIIIPrvi igraI402II211

Redak 1Redak 243210-1-243210-1-20,250,500,75Na apscisi su prikazani koeficijenti udjela prve i drude strategije prvog igraa*

Drugi igraIIIIIIPrvi igraI402II211

Redak 1Redak 243210-1-243210-1-20,250,500,75*

Drugi igraIIIIIIPrvi igraI402II211

Redak 1Redak 243210-1-243210-1-20,250,500,75*

Drugi igraIIIIIIPrvi igraI402II211

Redak 1Redak 243210-1-243210-1-20,250,500,75*

Drugi igraIIIIIIPrvi igraI402II211

Redak 1Redak 243210-1-243210-1-20,250,500,75*

Drugi igraIIIIIIPrvi igraI402II211

Redak 1Redak 243210-1-243210-1-20,250,500,75*

Drugi igraIIIIIIPrvi igraI402II211

Redak 1Redak 243210-1-243210-1-20,250,500,75*

Drugi igraIIIIIIPrvi igraI402II211

Red 1Red 243210-1-243210-1-20,250,500,75PQST*

Drugi igraIIIIIIPrvi igraI402II211

Redak 1Redak 243210-1-243210-1-20,250,500,75PQST0,5Vertikalna koordinata najvie toke na ovoj povrini (gdje je dobit prvog igraa najvea), u ovom sluaju S, daje vrijednost igre (0,5).*

Drugi igraIIIIIIPrvi igraI402II211

Redak 1Redak 243210-1-243210-1-20,250,500,75PQST0,5Normala povuena kroz taku S dijeli horizontalnu os na dva dijela to nam govori o proporciji s kojom e prvi igra upotrijebiti strategiju I i II. Veliina prvog dijela (do osi II) ukazuje na to da e strategiju I izabrati u 50%, a strategiju II takoer u 50% sluajeva. Time smo odredili mjeovitu strategiju prvog igraa. *

Drugi igraIIIIIIPrvi igraI402II211

Redak 1Redak 243210-1-243210-1-20,250,500,75PQST0,5Na grafu vidimo da kroz najviu toku povrine PQST, tj. taku S, prolaze samo strateki pravci II i III. To znai da samo ove strategije drugog igraa sudjeluju u odreivanju vrijednosti igre, tako da drugi igra nikada nee izabrati strategiju I.**Analitiki: uti i zeleni pravac opredjeljuju optimalnu strategiju pa se vrijednost za x1 i x2 moe izraunati ako za prvog igraa izjednaimo odgovarajue oekivane vrijednosti: E(x1,y2)=E(x1,y3). Prema tome: 1-x1=3x1-1, a odavde je x1=1/2. Odavde se jednostavno izraunava vrijednost igre: 1-1/2=1/2.

Drugi igraIIIIIIPrvi igraI402II211

Time matricu igre reduciramo na oblik:*

Drugi igraIIIIIIPrvi igraI402II211

Time matricu igre reduciramo na oblik:*

Drugi igraIIIIIPrvi igraI02II11

Matricu moemo rijeiti postupkom za rjeavanje igara reda 2 x 2 i na taj nain odrediti mjeovitu strategiju za drugog igraa. *Oekivana vrijednost drugog igraa je:E(y1, x1)=2(1-y1)=2-2y1; E(y1,x2)=y1-(1-y1)=2y1-1

Drugi igraII(y1)III (1-y1)Prvi igraI02II11

Stupac IIStupac III210-1210-1*

Drugi igraIIIIIPrvi igraI02II11

210-1210-10,250,500,75Stupac IIStupac III*

Drugi igraIIIIIPrvi igraI02II11

210-1210-10,250,500,75Stupac IIStupac III*

Drugi igraIIIIIPrvi igraI02II11

210-1210-10,250,500,75Stupac IIStupac III*

Drugi igraIIIIIPrvi igraI02II11

210-1210-10,250,500,75Stupac IIStupac III*

Drugi igraIIIIIPrvi igraI02II11

210-1210-10,250,500,75Stupac IIStupac IIIMSa grafa vidimo da se najnia vrijednost gubitka drugog igraa nalazi u toki M*Analitiki: optimalna vrijednost se postie u toki gdje se sijeku pravci oekivanih vrijednosti drugog igraa: E(y1,x1)=E(y1,x2).Prema tome: 2-2y1=2y1-1, a odavde je y1=3/4, y2=1/4.

Drugi igraIIIIIPrvi igraI02II11

210-1210-10,250,500,75Stupac IIStupac IIIMVrijednost igre je kao i na prvom grafu.1/2*

Drugi igraIIIIIPrvi igraI02II11

210-1210-10,250,500,75Stupac IIStupac IIIMNormala povuena kroz taku M dijeli horizontalnu os na dva dijela to nam govori da e drugi igra izabrati strategiju II u 75% sluajeva, a strategiju III u 25% sluajeva. 1/2Tako je rjeenje igre: P = [ ]; Q =[0 ]; C (P,Q) = .*

Drugi igraIIIIIPrvi igraI02II11

Grafiko rjeavanje igara (m,2)

P=*

-3330-144-2

*

Stupac 1Stupac 243210-1-243210-1-2-3-30,250,500,75*

-3330-144-2

Stupac 1Stupac 243210-1-243210-1-2-3-30,250,500,751*

-3330-144-2

Stupac 1Stupac 243210-1-243210-1-2-3-30,250,500,751CDEF*

-3330-144-2

M2x2 =M4x2 =*

30-14

-3330-144-2

M2x2 =ili*

3 (e)0 (f)-1 (g)4 (h)

P = Q = *

Redak IRedak II43210-143210-10,250,500,75Grafiki metoda za odreivanje optimalne mjeovite strategije i vrijednosti igre igraa I1 za matricu igre M2x2 izgleda ovako:*

30-14

Redak IRedak II43210-143210-10,250,500,75*

30-14

Redak IRedak II43210-143210-10,250,500,75C(P,Q)=3/2p=3/81-p=5/8*

30-14

Redak IRedak II43210-143210-10,250,500,75C(P,Q)=3/2p=3/81-p=5/8Zona dobitka za igraa I1*

30-14

Stupac IStupac II43210-143210-10,250,500,75Grafika metoda za odreivanje optimalne mjeovite strategije i vrijednosti igre igraa I2 za matricu igre M2x2 izgleda ovako:*

30-14

Stupac IStupac II43210-143210-10,250,500,75*

30-14

Stupac IStupac II43210-143210-10,250,500,75C(P,Q)=3/2Q=1/21-q=1/2Zona gubitka za igraa I2*

30-14

Rjeavanje igara mxn

U sluaju da igra m x n (m > 2, n > 2) nema sedlastu taku niti se postupkom dominacije moe svesti na oblik 2 x n, odnosno m x 2, za rjeavanje se koristi linearno programiranje.

Postupak rjeavanja emo objasniti na slijedeoj matrici plaanja:Da bismo mogli rijeiti ovu igru moramo prvo eliminirati negativne koeficijente, to u naem sluaju postiemo tako to emo svaki element poveati za 2. Tako emo dobiti novu matricu plaanja.Ova promjena nee utjecati na strategije prvog igraa pi, i = 1,2,3 i drugog igraa qj, j= 1,2,3,4, jer izvrena transformacija jednako pogaa i prvog i drugog igraa, s tim to transformaciju moramo uzeti u obzir kod odreivanja vrijednosti igre.*

Kada problem promatramo iz aspekta drugog igraa on oekuje da ostvari to manji gubitak, to se moe prikazati slijedeim suatavom nejednadbi:4q1 + q2 + 2q4 vq1 + q2 + 3q3 v 2q2 + q3 + 4q4 vpri emu je v vrijednost igre nakon transformacije matrice (nakon to smo svaki element poveali za 2).Kako zbroj proporcija mora biti 1 dobivamo jo jednu jednadbu, tj. q1 + q2 + q3 +q4 = 1*

Ako izvrimo smjenu uj = qj / v, j = 1,,4, prethodne etiri nejednadbe/jednadbe, nakon dijeljenja sa v, moemo napisati kao:4u1 + u2 + 2u4 1u1 + u2 + 3u3 1 2u2 + u3 + 4u4 1u1 + u2 + u3 + u4 = 1/v.Poto je cilj drugog igraa minimizirati vrijednost igre, odnosno maksimizirati njenu recipronu vrijednost 1/v, optimalna strategija drugog igraa se moe odrediti rjeavanjem slijedeeg problema linearnog programiranja:z = u1 + u2 + u3 + u4 max 4u1 + u2 + 2u4 1 u1 + u2 + 3u3 1 2u2 + u3 + 4u4 1 uj 0gdje je qj = uj v, j = 1,,4.

*

Primjenom simpleks metode za rjeavanje ovog modela dobiveno je sljedee rjeenje:u1 = 0,1429 , u2=0,4286, u3=0,1429, u4=0;u1+u2+u3+u4=0,7144. Prema tome:

Budui da je , imamo:q1=0,1429 x 1,4=0,20,q2=0,4286 x 1,4=0,60,q3=0,1429 x 1,4=0,20,q4=0 x 1,4=0,00

*

Za odreivanje optimalne kombinacije strategija igraa I1 potrebno je rijeiti sljedei model linearnog programiranja:

Dobiveno je sljedee rjeenje: u1=0,1905, u2=0,2381, u3=0,2857. Poto je onda je *

Iz imamo: p1=0,1905 x 1,4=0,2667, p2=0,2381 x 1,4=0,3333, p3=0,2857 x 1,4=0,4000. *

************************************************