TEORIAS DE MOAGEM E SEPARAO
Teorias de Moagem e Separao
INTRODUO
A cominuio como um processo de britagem e moagem de minerais e
alimentos tem sido praticada pela humanidade h vrios milhares de
anos. Durante os ltimos cem anos a cominuio de minerais e outras
matrias cruas tem sido desenvolvida como a mais importante operao
mecnica da indstria de beneficiamento mineral.
A quantidade total de energia eltrica consumida no mundo
relacionada com a cominuio de cerca de 50 bilhes de kWh ao ano.
Tendo em vista a enormidade deste consumo e o aporte de capital
empregado no s para ger-lo mas tambm para mant-lo necessrio
compreender em profundidade os mecanismos que o envolvem para poder
tentar racionaliz-lo ou at mesmo diminu-lo.
TEORIAS DE COMINUIO
O propsito das teorias de cominuio definir uma descrio numrica
da reduo de tamanho em relao ao consumo de energia. Tem sido
empregado inmeros esforos para relacionar o grau de energia
admitida ou empregada com o grau de cominuio produzido.
Estes esforos tem resultado em certo nmero do que passou a se
denominar de leis. Esta no so leis da mesma natureza da lei de
Newton e nenhuma delas foi conclusivamente provada e desta forma
devem ser realmente denominadas de hipteses ou teorias.
A lei da cominuio de Rittinger ou Teoria da Superfcie, foi
proposta em 1.867. Originalmente a lei de Rittinger estabeleceu
como calcular o trabalho admitido necessrio em relao a taxa de
reduo de tamanho para partculas obtidas durante um processo de
cominuio. Entretanto constitui-se uma prtica comum utilizar a lei
de Rittinger em uma forma ligeiramente modificada dizendo que a
energia admitida em um processo de cominuio proporcional a nova
superfcie produzida.
Em 1.885, Kick publicou a Teoria do Volume, onde se estabeleceu
que a energia admitida requerida para obter uma fratura era
proporcional ao volume ou peso do corpo.
J em 1.951 Frederic C. Bond publicou a Terceira Teoria da
Cominuio. De acordo com Bond, a energia admitida proporcional ao
comprimento da nova fratura produzida. Uma expresso mais prtica que
o trabalho til na fratura de uma partcula de tamanho qualquer
inversamente proporcional a raiz quadrada do dimetro da nova
partcula.
Charles, Holmes bem como Svenson e Murkes chegaram todos a mesma
concluso em 1.957. Estes pesquisadores introduziram uma segunda
constante de forma exponencial, at ento ausente nos clculos, na
relao entre a reduo de tamanho e energia, chegando Quarta Teoria de
Cominuio:
onde
E consumo especfico de energia
X tamanho da partcula
c e n constantes
Esta frmula inclui as trs teorias prvias de cominuio
utilizando-se apenas valores diferentes para a constante n. As
frmulas seguintes foram integradas de forma a calcular o consumo
especfico de energia em um processo de cominuio onde o tamanho da
partcula foi reduzido de Xf, tamanho da alimentao, at Xp, tamanho
do produto.
A lei de Rittinger tem n = -2 e desta forma
A lei de Kick tem n = 1 e desta forma
A lei de Bond tem n = 1,5 e desta forma
O grfico seguinte mostra uma comparao entre estas trs diferentes
teorias de cominuio. Neste grfico as abcissas mostram o tamanho do
produto e as ordenadas o consumo especfico de energia para a
cominuio de um tamanho na alimentao de 1 m at um tamanho de produto
indicado pelas abcissas. A base para os trs mtodos de clculos um
consumo especfico de energia de 10 kWh/t para moagem de um produto
de tamanho de 100 (.
De acordo com a lei de Kick o consumo especfico de energia deve
ser o mesmo a cada vez que reduzimos o tamanho a um dcimo, isto ,
de 1m a 100mm bem como de 10( a 1(. Na verdade isto est muito longe
da experincia prtica e a lei de Kick no pode pois ser vlida em toda
faixa de tamanhos de cominuio.
A terceira lei de cominuio de Bond amplamente usada para moagem
de 25 mm at cerca de 100(. A lei de Rittinger parece ser uma boa
aproximao para moagem fina abaixo de 10( desde que a aglomerao no
se constitua em um problema srio. Para moagem muito fina o consumo
especfico de energia aumenta mais que do que seria esperado pela
lei de Rittinger.
Huki chegou a concluso que todas as trs teorias so vlidas mas
somente em faixas limitadas de tamanhos. Kick para britagem, Bond
para uma moagem entre grossa e fina e finalmente Rittinger para
moagem fina. Isto significa que realmente a Quarta Teoria de
Cominuio proposta por Charles et al deve ser usada com n no como
uma constante mas como uma funo do tamanho da partcula de modo que
n torna-se menor quando o tamanho da partcula reduzido. A proposta
de Huki ilustrada como uma linha tracejada no grfico em concordncia
com os resultados de testes reais de moagem.
Austin et al desenvolveram um modelo matemtico para cominuio
baseado em duas funes, principalmente a funo de seleo e a funo de
fraturamento. A funo de seleo uma proposio da probabilidade da
fratura da partcula durante um intervalo especfico de tempo. A funo
de fraturamento uma proposio de distribuio granulomtrica de
partculas produzidas pela fratura de uma partcula simples
representativa. As duas funes devem ser determinadas
experimentalmente e como so dependentes das condies de moagem e das
dimenses do moinho o modelo matemtico inclina-se muito em direo a
um modelo emprico.
COMINUIO COMO PROCESSO DE PRIMEIRA ORDEM
As quatro teorias de cominuio mostram uma relao entre consumo de
energia e reduo de tamanho. Para clculos prticos de moinhos e
avaliaes de separadores utilizados na moagem em circuito fechado a
F.L.Smidth conclui ser mais til considerar a reduo de tamanho de
partculas pela cominuio como um processo de primeira ordem. Desta
forma
E = consumo especfico de energia
W = ndice de cominuio
Ro = resduo na peneira do material alimentado
Rf = resduo na peneira do material produzido
Baseados nas suposies de que a reduo de tamanho de partculas
pela cominuio um processo de primeira ordem e os resduos dos
peneiramentos dos produtos deste processo mostram linhas retas
quando plotados em um diagrama RRSB com uma inclinao n , o consumo
de energia pela moagem para diferentes resduos pode ser calculado
atravs da seguinte frmula
Es = consumo especfico de energia para moagem em circuito aberto
de resduos de Ro para Rf em peneira de malha k2.
W(k1) = ndice de cominuio para reduo a um resduo na peneira de
malha k1.
n (tan.() = inclinao da curva de distribuio granulomtrica no
grfico RRSB.
Esta frmula est em boa concordncia com a lei de Rittinger para n
= 1. No caso de moagem fina e tratamento de materiais que so
difceis de moer, n ser maior que 1 e o consumo especfico de energia
maior que o calculado pela lei de Rittinger. Por outro lado, uma
moagem mais grossa e tratamento de materiais que sejam fceis de
moer daro valores de n menores que 1 e o consumo especfico de
energia ser menor que o calculado pela lei de Rittinger,
correspondendo talvez a lei de Bond. A frmula anterior tambm pode
ser escrita como
Onde W(k2) = W(k1) x ( k1 / k2 )n
A figura seguinte mostra como um ndice de cominuio W = 10 kWh/t
para uma peneira de 100( varia com abertura da peneira a ser
considerada e o valor de n. Um sistema duplo de coordenadas
logartmicas mostrando W(k) contra a malha ou abertura em micra ir
dar linhas retas de inclinao n.
Pode se provar que para moagem de um material homogneo,
iniciando-se com praticamente 100% de resduo nas peneiras
utilizadas para determinao dos produtos modos, a inclinao da curva
de distribuio granulomtrica no diagrama RRSB ser a mesma da
inclinao obtida no grfico do ndice de cominuio W(k) contra a
peneira (k).
MOAGEM EM CIRCUTO FECHADO
Em moagem em circuito fechado o produto do moinho deve passar
por um separador onde as partculas grossas sero removidas e
retornadas entrada do moinho.
A eficincia dos separadores utilizados para moagem em circuito
fechado de grande importncia, no apenas em termos do consumo de
energia para atingir determinada finura mas tambm em termos da
distribuio granulomtrica do produto final.
Vrios mtodos tem sido desenvolvidos com o propsito de avaliar a
eficincia de separao obtida nos classificadores. As vantagens da
eficincia de separao aplicada na seqncia so que torna possvel
calcular diretamente como o separador influencia o consumo de
energia pela moagem e ao mesmo tempo tambm torna possvel calcular a
influncia da distribuio granulomtrica das partculas do produto
final.
A eficincia do separador pela moagem em circuito fechado ento
definida pelo clculo da reduo do consumo de energia quando se passa
de moagem em circuito aberto para moagem em circuito fechado em
relao a reduo mxima possvel do consumo de energia calculada para um
separador ideal.
A base para os clculos seguintes que a reduo de resduo em
determinada peneira pela moagem pode ser considerada como um
processo de primeira ordem. Testes de laboratrio bem como a
experincia obtida em instalaes de moagem indicam que este
compromisso uma aproximao muito boa para a moagem que acontece em
moinhos tubulares e moinhos de bolas.
Se considerarmos ento a moagem em um circuito aberto em um
moinho tubular como um processo de primeira ordem, podemos calcular
o consumo de energia pela moagem de uma tonelada de material
alimentado com resduo Ro a um produto final com resduo Rf como
Es
O consumo de energia para moagem em circuito fechado pode ser
calculado do mesmo modo, utilizando o ndice de cominuio para reduo
a um determinado resduo. Utilizando-se as indicaes do diagrama,
possvel chegar-se a uma equao contendo, como no caso de moagem em
circuito aberto, resduos para alimentao e produto final e as
caractersticas para o separador, o fator de circulao e o resduo
para a frao grossa
Rt
A moagem em circuito fechado com um separador ideal definida
pois como uma condio em que a frao grossa do separador no contm
qualquer partcula fina que possa passar pela peneira que foi
utilizada para determinar a finura. O consumo de energia para
moagem em circuito fechado com um separador ideal pode pois ser
calculada utilizando-se a mesma equao anterior para moagem em
circuito fechado, com a nica diferena que a frao grossa tem um
resduo de 100% ou uma frao unitria (Rg = 1).
REDUO DE ENERGIA E EFICINCIA DE SEPARADOR
A reduo relativa de energia que pode ser obtida quando de
modifica um circuito aberto para fechado pode ento ser calculada
como
A reduo relativa mxima de energia pode ser calculada do mesmo
modo modificando-se apenas o consumo de energia em circuito fechado
de moagem para consumo de energia em circuito fechado de moagem com
um separador ideal
A eficincia do separador para reduo do consumo de energia por
moagem em circuito fechado pode pois ser calculada de acordo com a
definio da reduo de energia com o separador real em relao a reduo
mxima de energia com o separador ideal, ou seja
A figura seguinte mostra a reduo mxima no consumo especfico de
energia para moagem em circuito fechado comparado com moagem em
circuito aberto em relao ao fator de circulao. As curvas foram
desenhadas para um produto final com diferentes resduos. Com
fatores de circulao crescentes, a reduo mxima de energia comea
aumentar rapidamente. Entretanto, fatores de circulao maiores que 3
no do qualquer aumento adicional significativo.
Se, por exemplo, considerarmos a moagem de farinha crua a um
resduo de 1% na peneira de 200( (70 mesh), a curva para Rf = 1%
indica para a moagem de circuito fechado comparada a circuito
aberto a possibilidade de uma reduo mxima de energia de 75%. No
caso de moagem de cimento a um resduo de 40% em 30( esta reduo ser
de apenas cerca de 30%.
O prximo grfico mostra a eficincia do separador para reduo de
energia em relao ao resduo em determinada malha do material grosso
do separador, com curvas para diferentes finuras do produto final
na mesma malha. As curvas foram estabelecidas para material
alimentado com 100% de resduo na peneira em que est sendo
considerado o produto final e para um fator de circulao de 2,5.
Pode ser visto que a eficincia do separador diminui quando a
frao grossa torna-se mais fina. Se a frao grossa muito fina, existe
at possibilidade de se obter uma eficincia negativa. Isto significa
que neste caso o consumo especfico de energia para a moagem em
circuito fechado maior do que para moagem em circuito aberto.
Utilizando-se os novos conceitos possvel calcular o consumo de
energia para moagem em circuito fechado atravs do consumo de
energia em moagem em circuito aberto se conhecermos a reduo de
energia que pode ser obtida pela aplicao do separador.
Esta reduo de energia igual reduo mxima de energia multiplicada
pela eficincia do separador. Se tambm incluirmos a equao para
moagem em circuito aberto obtemos uma frmula adequada para clculo
do consumo especfico de energia da moagem em circuito fechado.
O consumo de energia em moagem de circuito fechado a um resduo
qualquer em qualquer malha pode ser calculado como
Esta frmula universal de cominuio baseada nos compromissos de
que o processo de reduo a determinado resduo em certa malha um
processo de primeira ordem e de que a curva de distribuio
granulomtrica em um diagrama RRSB uma linha reta com uma inclinao
n.
XEMPLOS DE MOAGEM EM CIRCUITO FECHADO
A influncia do separador no consumo de energia para a moagem at
determinada finura pode ser ilustrado atravs de exemplos. Podemos
pois investigar a moagem para diferentes resduos na malha de 30(.
Para clnquer de cimento comum o ndice de cominuio para reduo a
resduos na malha de 30( da ordem de 75 kWh/t.
A figura seguinte mostra a porcentagem mais fina que 30( em
relao ao consumo especfico de energia. Os clculos foram feitos para
um fator de circulao de 3 e para diferentes valores de eficincia de
separao. Uma eficincia do separador igual a zero corresponde a
moagem de circuito aberto.
As curvas indicam que o consumo especfico de energia obtido ao
se moer a determinada porcentagem mais fina que 30( pode ser
consideravelmente reduzido quando a eficincia do separador
aumentada. Se, por exemplo, considerarmos um resduo de 20% e a
peneira de 30(, o consumo especfico de energia para moagem de
circuito fechado comparado com a moagem em circuito aberto pode ser
reduzido de 52,5 para 47 kWh/t ou 11% se a eficincia do separador
(Vs) de 25%.
Para eficincias maiores do separador e resduos menores, a reduo
do consumo de energia ainda maior:
Eficincia do
Separador% de Reduo no Consumo de Energia
Resduo de 20%Resduo de 10%
25%1113
50%2028
75%3141
100%4154
A influncia do separador na distribuio granulomtrica do produto
final tambm pode ser calculada diretamente. Os exemplos vistos na
figura seguinte so todos calculados para o mesmo consumo especfico
de energia. As curvas de distribuio granulomtrica das partculas
mostram que qualquer mudana essencial comparada com a moagem em
circuito aberto somente pode ser obtida se a eficincia do separador
for alta.
AVALIAO DA PERFORMANCE DO SEPARADOR
Em um separador a ar as partculas finas so separadas das
partculas grossas. Um separador ter pois uma alta eficincia se a
frao fina contiver um baixo contedo ou o menor contedo possvel de
partculas grossas e se a frao grossa contiver um baixo contedo de
partculas finas.
O Fator de Circulao (c) definido como o nmero de vezes que em
mdia uma partcula circula pelo circuito fechado da moagem at
atingir o tamanho ou a finura desejada. A Carga Circulante
conceituada como a relao entre a massa em circulao pelo circuito de
moagem (A) a massa do produto final (F), ou seja,
Desde que o circuito contemple medidores gravimtricos ou balanas
tanto para as matrias cruas como para o retorno do grossos,
podemos, medir diretamente a Carga Circulante atravs de:
Caso no se disponha de balana para os resduos grossos, podemos
determinar o fator de circulao coletando-se amostras do circuito
fechado nos pontos A,F e G determinando-se os resduos em
determinada malha ou peneira. Atravs do balano de massas calculamos
o fator de circulao como
De onde finalmente,
A = F + G ( G = A - F
ARa = FRf + GRg ( ARa = FRf + (A - F)Rg
ARa = FRf + ARg - FRg ( ARa - ARg = FRf - FRg *(-1)
A (Rg - Ra) = F (Rg - Rf)
A/F = (Rg - Rf)/(Rg - Ra)
A tabela a seguir mostra uma experincia realizada com vrias
peneiras e o clculo final do fator circulante:
Peneira ((m)a (%)g (%)f (%)AaF.f + G.gecRF
1,04,73,35,9633,79634,520,12%1,8667,85%
1,56,04,27,7809,10821,481,53%1,9469,37%
2,09,67,012,01294,561308,401,07%1,9267,56%
3,013,39,517,41793,501856,913,53%2,0870,71%
4,016,611,921,42238,512297,172,62%2,0269,68%
6,020,714,227,42791,392877,023,07%2,0371,55%
8,025,116,832,63384,733423,331,14%1,9170,20%
12,030,719,241,74139,904229,142,16%1,9673,42%
16,036,822,149,64962,484984,660,45%1,8772,85%
24,044,924,663,46054,766145,441,50%1,9176,32%
32,055,432,174,87470,697441,090,40%1,8372,98%
48,072,050,490,99709,209748,490,41%1,8868,24%
64,081,063,794,110922,8510805,801,08%1,7662,79%
96,093,084,399,412541,0512468,490,58%1,7457,77%
128,099,495,4100,013404,0913199,981,55%1,1554,38%
Por outro lado, comum calcular a eficincia do separador como a
recuperao do material alimentado na frao fina de partculas menores
que determinado tamanho, ou seja, a relao entre a massa de finos de
determinada finura recuperada como produto final e a massa total
presente no material alimentado ao separador de mesma finura. A
Recuperao de Finos (R.F) pode ser calculada pelos resduos em
determinada malha para os diferentes fluxos de massa do
circuito:
A relao entre a eficincia do separador Vs e a eficincia para
recuperao de finos R.F pode ser vista no grfico seguinte. Parece
que a relao muito dependente do fator de circulao. Isto significa
que por mais que a recuperao de finos aparente para um determinado
separador, ela em si no nos diz nada sobre a influncia do separador
sobre o moinho a menos que o fator de circulao seja tambm
considerado.
Por exemplo, se o fator de circulao for muito baixo como em
torno de 1,5, uma separao com Recuperao de Finos de 70 a 75% ainda
assim no ter influncia positiva no consumo especfico de energia
para a moagem.
Finalmente, a Recuperao de Grossos, R.G, definida ento como:
EFICINCIA DE COMINUIO
extremamente decepcionante aprender-se que a eficincia de
cominuio normalmente inferior a 1% se calcularmos a energia
efetivamente empregada na gerao de novas superfcies em relao ao
total de energia empregada neste processo.
Claim e Stairmand publicaram um estudo no qual a britagem livre
onde as partculas so fraturadas atravs de uma compresso lenta e uma
pequena taxa de reduo de tamanho representa a menor energia
admitida praticvel para um determinado grau de cominuio.
Se escolhermos este processo como 100% eficiente, os processos
ordinrios de cominuio operam com as seguintes eficincias:
interessante notar que britadores de rolos operam com muito mais
eficincia do que outros moinhos. Esta mquina, contudo, somente
utilizada para britagem, onde o consumo de energia sempre baixo e
at ento impossvel de ser utilizada para moagem fina.
dE = - c x Xn x dX
1 1
E = c x ( --- - --- )
Xp Xf
Xf
E = c x ln ---
Xp
1 1
E = 2c x ( ---- - ---- )
(Xp (Xf
dR Ro
----- = -C x R ou ainda E = W x log. ----
dE Rf
Es = W(k1) * (k1/k2)n * log [Ro(k2)/Rf(k2)]
Ro(k2)
Es = W(k2) x log --------
Rf(k2)
MOINHO
Ro
Es = W x log.-----
Rf
1
Ro
1
Rf
MOINHO
1
Ro
C
Rt
C
Rm
S
Ec
Rf
1
C - 1
Rg
Rt
Ec = C x W x log ----
Rm
Ro + (C-1)xRg
Ec = C x W x log -------------------
Rf + (C-1)xRg
Rg = 100%
C - 1
Rf
1
Eci
S
Rm
C
Rt
C
Ro
1
MOINHO
Rt
Eci = C x W x log ----
Rm
Ro + (C-1)
Eci = C x W x log ---------------
Rf + (C-1)
Es - Ec
B = ----------
Es
Es - Eci
Bmax = ----------
Es
B Es - Ec
Vs = ------- = -----------
Bmax Es - Eci
Ec = Es x (1 B)
Vs = B / Bmax B = Vs x Bmax
Ro
Ec = W x log ----- x (1 Vs x Bmax)
Rf
Ro(k2)
Es = W(k1) x (k1/k2)n x log -------- x (1 Bmax(Rf) x Vs(Rf))
Rf(k2)
c = A / F
F + G
A = F + G c = -------------
F
A = F + G ou ainda A x Ra = F x Rf + G x Rg
Rg - Rf
c = ----------
Rg Ra
R.F = F / A = (F.f) / (A.a) = (f.a) / (F.A) = [(100 - Rf) / (100
- Ra)].[(1 / c).(100%)]
100 - Rf 100
R.F = ------------- x -------
100 Ra c
Rg (c 1)
R.G = ------ x -------- x 100
Ra c
Britador de rolos 80%
Britador de martelos 22%
Moinho de barras 13%
Moinho de bolas 8%
Moinho de energia fluida 2%
Comparao entre diferentes
teorias de cominuio
Variao do ndice de cominuio (Wk) com a inclinao n da curva de
distribuio granulomtrica e tamanho da malha da peneira (k).
Eficincia do separador para reduo de energia em moagem em
circuito fechado Vs, em relao ao resduo do material de retorno (Rg)
em diferentes finuras do produto (Rf).
Influncia da eficincia do separador no consumo de energia em
moagem de circuito fechado.
Influncia da eficincia do
separador na distribuio granulomtrica do produto
final.
F = 72,89 t/hG = 61,96 t/hA = 134,85 t/hc = 1,85
Vistas externa e interna de um moinho de barras.
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