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UNIVERSIDADE FEDERAL DO RIO GRANDEDONORTECENTRODE CIÊNCIAS
EXATAS E DA TERRA
DEPARTAMENTODE FÍSICA TEÓRICA E EXPERIMENTALPROGRAMADE
PÓS-GRADUAÇÃO EM FÍSICA
Tese de Doutorado
Teoria e Aplicações do Gás Relativístico Reduzido na
Cosmologia
Por
Gival Pordeus da Silva Neto
NatalMarço de 2020
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UNIVERSIDADE FEDERAL DO RIO GRANDEDONORTECENTRODE CIÊNCIAS
EXATAS E DA TERRA
DEPARTAMENTODE FÍSICA TEÓRICA E EXPERIMENTALPROGRAMADE
PÓS-GRADUAÇÃO EM FÍSICA
Teoria e Aplicações do Gás Relativístico Reduzido na
Cosmologia
Gival Pordeus da Silva Neto
Orientador: Prof. Dr. Léo GouvêaMedeirosCoorientador: Prof. Dr.
Ronaldo Carlotto Batista
Tese apresentada ao Programa de Pós-graduaçãoem Física do
Departamento de Física Teórica eExperimental da Universidade
Federal do RioGrande do Norte como requisito parcial paraobtenção
do título deDoutor em Física.
NatalMarço de 2020
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Neto, Gival Pordeus da Silva. Teoria e Aplicações do Gás
Relativístico Reduzido naCosmologia / Gival Pordeus da Silva Neto.
- 2020. 170f.: il.
Tese (Doutorado)-Universidade Federal do Rio Grande do
Norte,Centro de Ciências Exatas e da Terra, Programa de
Pós-Graduaçãoem Física, Natal, 2020. Orientador: Dr. Léo Gouvêa
Medeiros. Coorientador: Dr. Ronaldo Carlotto Batista.
1. Gás Relativístico - Tese. 2. Perturbações Cosmológicas -Tese.
3. Matéria Escura Morna - Tese. I. Medeiros, Léo Gouvêa.II.
Batista, Ronaldo Carlotto. III. Título.
RN/UF/BCZM CDU 53
Universidade Federal do Rio Grande do Norte - UFRNSistema de
Bibliotecas - SISBI
Catalogação de Publicação na Fonte. UFRN - Biblioteca Central
Zila Mamede
Elaborado por Raimundo Muniz de Oliveira - CRB-15/429
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UNIVERSIDADE FEDERAL DO RIO GRANDEDONORTECENTRODE CIÊNCIAS
EXATAS E DA TERRA
DEPARTAMENTODE FÍSICA TEÓRICA E EXPERIMENTALPROGRAMADE
PÓS-GRADUAÇÃO EM FÍSICA
A comissão examinadora, abaixo assinada, aprova a tese:Teoria e
Aplicações do Gás Relativístico Reduzido na Cosmologia
Elaborada por:
Gival Pordeus da Silva Neto
Como requisito parcial para obtenção do título de
DOUTOR EM FÍSICA
Comissão Examinadora
—————————————————Prof. Dr. Luciano Casarini
Examinador externo - UFS
—————————————————Prof. Dr. Francisco de Assis de Brito
Examinador externo - UFCG
—————————————————Prof. Dr. Rodrigo F. Lira de Holanda
Examinador interno - DFTE/UFRN
—————————————————Prof. Dr. Raimundo Silva Jr.
Examinador interno - DFTE/UFRN
—————————————————Prof. Dr. Léo GouvêaMedeiros
Examinador interno (Presidente) - ECT/UFRN
NatalMarço de 2020
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À meu avô Constantino Vieira da Costa e ao
colega Matheus Ferreira Venâncio de Araújo
(in memoriam).
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Agradecimentos
Agradeçoa todosquecontribuíramdiretoou indiretamenteparaminha
formação,desde o ensino fundamental à pós-graduação. Em especial,
sou muitíssimo grato aosprofessores LéoGouvêaMedeiros (orientador)
e Ronaldo Carlotto Batista (coorientador) pelaorientação e
dedicação. Agradeço também, ao professor Rodrigo F. Lira de Holanda
por suacontribuição naminha formação, bem como a todos os
professores e funcionários da UFRN.
Sou profundamente grato a meus pais, Raimundo Martins e Maria do
Socorro,meus maiores exemplos de superação, dedicação e
honestidade. Também, de uma formamuito especial, agradeço a minha
esposa Esther, que durante esse trajeto esteve a meu lado,me
apoiando com compreensão e carinho, obrigado pelo seu amor e
paciência. Além desses,sou muito grato aos meus irmãos Jebson e
Rosiéle, assim como aos meus demais familiares,pelo amor, carinho,
amizade e por sempre estarem torcendo pormim.
Agradeço aos amigos da sala Jayme Tiomno (William, Neto, Pierre,
Cristóvão,Francys, Tibério Azevedo, Benjamim e Fabrizio) e Mário
Schenbergem (Gesiel, Ted e Rafael),bem como a Arthur, Arcênio,
Simony, Rilavia, Hebertt, Jefferson, P.H. e Tiberio Magno,
pelosmomentos de descontração, amizade, incentivo e troca de
informações.
Porfim,
agradeçoaoapoiofinanceiroparcialdaCoordenaçãodeAperfeiçoamentode
Pessoal de Nível Superior (CAPES), do Conselho Nacional de
Desenvolvimento Científicoe Tecnológico (CNPq-Brasil nº:
141165/2017-0) e ao Governo do Estado da Paraíba. Melhor,agradeço a
todos(as) os(as) brasileiros(as) que, por meio do pagamento de seus
impostos,contribuíram paraminha formação. Espero um dia poder
retribuí-los.
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Resumo
OGás Relativístico Reduzido (RRG) é uma versão simplificada do
gás relativísticoideal, onde se supõe que todas as partículas
tenham omesmomódulo demomento. Emboraesta seja uma situação muito
idealizada, o modelo resultante preserva a fenomenologia
dadistribuição de Maxwell-Boltzmann e, em algumas situações, pode
ser descrito como umfluido perfeito, sem introduzir grandes erros.
A descrição via fluido perfeito do modeloRRG já era usada para
estudar o movimento térmico da matéria escura, neutrinos massivoe
interação de bárions e fótons antes da recombinação, mostrando-se
em boa concordânciacom trabalhos anteriores baseados no sistema
completo de equações deEinstein-Boltzmann.Para entender esses
resultados e construir uma estrutura mais geral e formal para o
RRG,desenvolvemos umadescrição teórica de perturbações cosmológicas
de primeira ordemparao mesmo, baseada em uma função de distribuição
que codifica a suposição simplificadorade que todas as partículas
possuem o mesmo módulo de momento. A partir dessa funçãoderivamos o
conjunto completo de equações de Einstein-Boltzmannpara o RRGe
estudamosquantidades alémda aproximação de fluido perfeito.
Derivamos uma expressão analítica querelaciona o parâmetro de
movimento térmico à massa da partícula e também
verificamosexplicitamente que os limites não-relativísticos e
ultra-relativísticos são recuperados. Alémdisso, usando o RRG para
descrever matéria escura morna (WDM), mostramos que parapartículas
com m ∼ keV, a aproximação de fluido perfeito é válida em escalas
com k . 10h/Mpc durante a maior parte da evolução do universo. Nós
também determinamos ascondições iniciais para RRG no universo
primordial e estudamos a evolução do potencialem ummodelo de
brinquedo composto apenas por RRG. Por fim, estudamos de forma
semi-analítica a evolução sub-horizonte do contraste de densidade
da WDM em ummodelo comWDM, radiação eΛ, onde aWDM é descrita pelo
RRG.
Palavras Chaves: Gás Relativístico, Perturbações Cosmológicas,
Matéria EscuraMorna.
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Abstract
The Reduced Relativistic Gas (RRG) is a simplified version of
the ideal relativisticgas, where it is assumed that all particles
have the same momentum magnitude. Althoughthis is a very idealized
situation, the resulting model preserves the phenomenology of
theMaxwell-Boltzmann distribution and, in some situations, can be
described as a perfect fluid,without introducing large errors. The
perfect fluid description of RRG model was alreadyused to study the
warmness of darkmatter, massive neutrinos and interaction of
baryons andphotons before recombination, showing very good
agreement with previous works based onthe full Einstein-Boltzmann
system of equations. In order to understand these results
andconstruct amore general and formal framework for RRG,we develop
a theoretical descriptionof first-order cosmological perturbations
of RRG, based on a distribution function whichencodes the
simplifying assumption that all particles have the
samemomentummagnitude.From this function, we derive the full set of
Einstein-Boltzmann equations for RRG and studyquantities beyond the
perfect fluid approximation. We derive an analytical expression
thatrelates the parameter of warmness to the mass of the particle
and we also explicitly verifythat the non-relativistic and
ultra-relativistic limits are recovered. Furthermore, using RRG
todescribe warm darkmatter (WDM), we show that for particles withm
∼ keV, the perfect fluidapproximation is valid on scales with k
< 10h/Mpc, for most of the universe evolution. Wealso determined
the initial conditions for RRG in the early universe and studied
the evolutionof the potential in a toy model composed only by RRG.
Finally, we study in a semi-analyticalway the sub-horizon evolution
of the density contrast of the WDM in a model with WDM,radiation,
andΛ, where theWDM is described by the RRG.
Keywords: Relativistic Gas, Cosmological Perturbations,
WarmDarkMatter.
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Sumário
1 Introdução 11
2 Universo homogêneo, isotrópico e dinâmico 16
2.1 Princípio cosmológico . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . 162.2 Métrica de
Friedmann-Lemaître-Robertson-Walker . . . . . . . . . . . . . . . .
182.3 O redshift cosmológico . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . 192.4 Distâncias e a lei de
Hubble-Lemaître . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
20
2.4.1 Distância de diâmetro angular e de luminosidade . . . . .
. . . . . . . . 222.5 Idade do universo e o tempo retrospectivo . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 242.6 Dinâmica cósmica . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
24
2.6.1 Equação de Einstein . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . 242.6.2 Tensor energia-momento . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 262.6.3 Componentes do
fluido cósmico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
292.6.4 Equações de Friedmann-Lemaître . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . 312.6.5 Modelo cosmológico padrão . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . 33
2.7 Soluções das equações de Friedmann-Lemaître . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . 352.7.1 Soluções com uma única componente . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 362.7.2 Soluções com duas
componente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
2.8 Função de distribuição . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . 392.8.1 Tensor energia-momento via
função de distribuição . . . . . . . . . . . . 412.8.2 Função de
distribuição de equilíbrio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. 43
2.9 Equação de Boltzmann . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . 432.9.1 Oscilador harmônico
não-relativístico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 442.9.2
Equação de Boltzmann na Cosmologia relativística . . . . . . . . .
. . . . 45
-
3 Universo inomogêneo, anisotrópico e dinâmico 48
3.1 Perturbações em um espaço-tempo de FLRW . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . 483.1.1 Perturbação damétrica . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 493.1.2 Perturbação do
tensor energia-momento . . . . . . . . . . . . . . . . . . 503.1.3
Perturbação do tensor de Einstein . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . 53
3.2 Decomposição escalar-vetorial-tensorial . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . 553.3 Equação de Einstein para as
perturbações escalares . . . . . . . . . . . . . . . . 57
3.3.1 A equação relativística de Poisson . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . 593.3.2 A equação para as velocidades . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 593.3.3 A equação para as
perturbações de pressão . . . . . . . . . . . . . . . . . 603.3.4 A
equação para o stress anisotrópico . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . 60
3.4 Equação de conservação para as perturbações escalares . . .
. . . . . . . . . . . 613.4.1 Equação de continuidade . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 613.4.2 Equação de Euler .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
62
3.5 Equação de Boltzmann para as perturbações escalares . . . .
. . . . . . . . . . . 633.5.1 Função de distribuição perturbada
para fótons e neutrinos . . . . . . . . 663.5.2 Tensor
energia-momento via função de distribuição . . . . . . . . . . . .
663.5.3 Equações hierárquicas de Boltzmann . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . 68
4 Condições iniciais e a evolução das inomogeneidades 73
4.1 Prelúdio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . 734.2 Condições iniciais
adiabáticas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. 74
4.2.1 Resumo das condições inicias: . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . 784.3 Evolução das inomogeneidades damatéria .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79
4.3.1 Perturbações de larga escala . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . 804.3.2 Perturbações de pequena escala . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85
4.4 Espectro de potência damatéria . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . 94
5 Fundamentos teóricos do gás relativístico reduzido 98
5.1 Introdução e justificativa . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . 985.2 EoS do RRG e sua função de
distribuição . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101
5.2.1 EoS do RRG via dinâmica relativística . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . 1015.2.2 Construindo a função de distribuição
do RRG . . . . . . . . . . . . . . . . 103
5.3 RRG versus estatística deMaxwell-Boltzmann . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . 1045.3.1 Background . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1045.3.2 Nível linear
de Perturbação . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
105
-
5.4 RRG no contexto cosmológico de background . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . 1075.4.1 Soluções da equação de Friedmann com
o RRG . . . . . . . . . . . . . . . 109
5.5 A relação entre amassa e o parâmetro b . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . 1125.6 As equações dinâmicas perturbadas do
RRG . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116
5.6.1 Função de distribuição e tensor energia-momento do RRG . .
. . . . . . 1165.6.2 Equações de Einstein e de conservação . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . 1225.6.3 Equação de Boltzmann . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123
6 Aplicações do gás relativístico reduzido na cosmologia 127
6.1 Evolução do Potencial . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . 1276.2 RRG na aproximaçãomorna . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1296.3
Condições iniciais adiabáticas . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . 1326.4 Evolução de pequena escala do RRG
comoWDM . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133
6.4.1 Prelúdio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . 1346.4.2 Cruzando o horizonte em um era
dominada por radiação . . . . . . . . . 1356.4.3 Evolução
sub-horizonte: uma equação deMészáros mais geral . . . . . 137
7 Comentários finais e perspectivas 143
Referências Bibliográficas 146
Apêndices 154
A O gauge e suas transformações 155
A.1 Transformações de gauge . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . 155A.1.1 Transformações das
perturbações escalares e seus invariantes de gauge . 157A.1.2
Transformações das perturbações vetoriais e tensoriais . . . . . .
. . . . 159
A.2 Fixando o gauge . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . 159A.2.1 Gauge Poisson e o gauge
newtoniano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 159A.2.2 Gauge
síncrono . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . 160A.2.3 Transformações entre os dois gauges . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . 161
B Dedução das equações hierárquicas de Boltzmann 162
B.1 Equações hierárquicas dos neutrinos semmassa . . . . . . . .
. . . . . . . . . . 162B.2 Equações hierárquicas dos fótons . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 165
C Perturbações adiabáticas incluindo o RRG 168
-
Capítulo1Introdução
“O conhecimento é finito, o desconhecido é
infinito;intelectualmente estamos em uma ilha no meio de
umilimitado oceano de inexplicabilidade. Nossa tarefa, a
cadageração é reclamar um poucomais de terra.”
T. H. HUXLEY
Pensadores de diferentes épocas sempre se preocuparam em saber
de ondeviemos, como fomos criados e como surgiu o universo. Assim,
a Cosmologia sempre esteveentre as preocupações centrais da
humanidade. Hoje, podemos defini-la como sendo aciência que estuda
a origem, estrutura e a evolução do universo. Seu principal
objetivo éentender como o universo se formou, porque possui as
características que observamos hoje,e saber qual será seu destino
final.
O surgimento da Cosmologia moderna se deu a partir do
desenvolvimento dateoria da Relatividade Geral (RG) publicada por
Einstein em 19151. Essa teoria afirma quea estrutura geométrica do
espaço-tempo se altera na presença de matéria-energia,
efeitosgravitacionais se propagam com a velocidade da luz, e entre
outras coisas, que a curvaturado espaço-tempo desempenha um papel
semelhante o da força gravitacional na teoria daGravitação de
Newton. Para aplicar a RG na descrição do universo, Einstein
considerou ouniverso constituído dematéria comuma geometria finita
e curvada positivamente, tambémsupôs (corretamente) que o universo
é homogêneo em grandes escalas. Além disso, poracreditar
(incorretamente) que o universo era estático, ele acrescentou ao
seu modelo umnovo componente (atualmente conhecido como constante
cosmológica e denotada por Λ)cuja gravidade repulsiva poderia
equilibrar a gravidade atrativa da matéria. A partir
dessaspremissas, Einstein construiu oquehoje é considerado
comooprimeiromodelo cosmológico1Para saber mais sobre a história da
Cosmologia, seus maiores avanços e algumas questões ainda em
aberto, veja[WAGA, 2005].
11
-
Capítulo 1. Introdução 12
relativístico [EINSTEIN, 1917; SOARES, 2012].Logo após o modelo
de Einstein, Friedman [1922], Friedmann [1924] e Lemaître
[1927]2 introduziram modelos cosmológicos dinâmicos (em expansão
ou em contração)baseados na RG. Porém, a concepção de um universo
estático só foi abandonada no início dadécada de 1930,
principalmente após os trabalhos do astrônomo americano Edwin P.
Hubble[HUBBLE, 1929; HUBBLE; HUMASON, 1931], onde foi possível
concluir que há um aumentosistemático da velocidade de recessão
(afastamento) das galáxias com a distância. Diantedisso, a
constante cosmológica introduzida por Einstein parecia
desnecessária.
Ainda na década de 1930, ao analisar a dinâmica do aglomerado de
Coma, Zwicky[1933] obteve uma razão demassa-luminosidademuito alta,
ou seja, amassa dinâmica desseaglomerado é muito maior que a massa
luminosa, indicando assim, que a maior parte damatéria é não
luminosa. Atualmente existem muitas observações de diferentes
naturezas ede diferentes fontes a diferentes escalas de distância
que apontam para a existência dessenovo componente que não emite e
nem interage de forma significativa com a radiaçãoeletromagnética,
o qual denominamos por matéria escura (DM - do inglês Dark
Matter)[BERGSTRÖM, 2000].
Uma outra descoberta que ajudou a consolidar e enriquecer a
Cosmologia foia descoberta e interpretação da Radiação Cósmica de
Fundo (CMB - do inglês CosmicMicrowave Background) em 1965
[PENZIAS; WILSON, 1965; DICKE et al., 1965]. Esse
fóssilremanescente do início do universo, predito por G. Gamow e
colaboradores na década dequarenta [ALPHER; BETHE; GAMOW, 1948;
ALPHER; HERMAN, 1948a; ALPHER; HERMAN,1948b; GAMOW, 1948], é uma
forte evidência que onossouniverso se originoudeumagrandeexpansão
inicial do espaço-tempo, que de forma genérica é chamado de Big
Bang 3.
No final dos anos 80 e início dos anos 90, estudos de
aglomerados de galáxiasem grande escala, estimaram um parâmetro de
baixa densidade da matéria Ωm = �m/�cri =0.15−0.4. Conciliar esse
resultado comaprevisãopadrãoda cosmologia inflacionária [GUTH,1981]
de umuniverso espacialmente plano (Ωtot = 1), exigiu introduzir
umnovo componentede energia com um parâmetro de densidade igual a 1
− Ωm [EFSTATHIOU; SUTHERLAND;MADDOX, 1990]. Evidências indiretas
como essas começaram a se acumular em favor da"volta" de uma
constante cosmológica. Esse cenário ganhou força com a descoberta
emonitoramento das supernovas do tipo Ia (SNe Ia). A análise da
emissão desse tipo desupernova levouàconclusãodeque,
aocontráriodoquese imaginava, nossouniversoestáemum estágio de
expansão acelerada, consistente com um universo plano com ΩΛ ≈ 0.7
[RIESS2Se preferir versões em inglês, veja [FRIEDMAN, 1999;
FRIEDMANN, 1999; LEMAÎTRE, 2013].3Neste processo de expansão, que
teve inicio a cerca de 13 bilhões de anos atrás, o universo passou
pordiversas fases em que ocorreu o predomínio de diferentes tipos
de componentes (partículas) do fluido cósmicoconhecidas [SOUZA,
2004]
G. Pordeus da Silva
-
Capítulo 1. Introdução 13
et al., 1998; PERLMUTTER et al., 1999].Fundamentado nessas e em
outras descobertas e evidências, o modelo
cosmológico atual mais simples e que melhor se ajusta aos dados
observacionais é o modeloΛCDM, também conhecido como modelo Padrão
ou modelo de Concordância Cósmica.Esse por sua vez, considera o
universo dominado por energia escura (na forma de umaconstante
cosmológica Λ, mecanismo causador da expansão acelerada do
universo) e pormatéria escura fria (CDM - do inglês Cold Dark
Matter). Apesar de fornecer um ótimo ajustecomas observações
omesmopossui problemas e questões emaberto, sendooprincipal
delesentender anaturezadas componentes escuras, que juntas
constitui cercade 95%doconteúdodematéria-energia do universo.
Graças aos avanços tecnológicos e científico das últimas
décadas, vivemos na erada cosmologia de precisão, onde observações
astronômicas de alta qualidade são usuais.Dada essa nova realidade,
além dos dois problemas fundamentais já citados, vem
sendorelatadasmuitas discrepâncias observacionais comrespeito
aomodeloΛCDM.Umadasmaisconhecidas é a tensão entre as medições a
partir de observáveis locais (SNe Ia e Cefeidas,ver [RIESS et al.,
2016]) e globais (dados da CMB, ver [ADE et al., 2016]) da
constante deHubble (H0), que nos últimos anos tem se intensificado
bastante e atualmente é superior a3.4� [FREEDMAN, 2017; PORDEUS DA
SILVA; CAVALCANTI, 2018]. Assim como a do H0, hátambém uma tensão
de origem desconhecidas na determinação do parâmetro �8
[BATTYE;CHARNOCK; MOSS, 2015; MACAULAY; WEHUS; ERIKSEN, 2013]. O
que não está claro ése essas anomalias estão relacionadas a erros
sistemáticos desconhecidos, se são efeitosestatísticos ou indícios
de nova físicas. De qualquer modo, tais problemas tem
motivadopesquisas de teorias alternativas e/ou extensões
aomodeloΛCDM, bemcomo a teoria da RG.
O modelo ΛCDM também apresenta problemas na descrição de
estruturasde pequena escalas, entre as discrepâncias observadas
estão as chamadas de Core/Cusp,Diversity, Missing Satellites e
Too-Big-To-Fail Problem (veja [POPOLO; DELLIOU,
2017;BULLOCK;BOYLAN-KOLCHIN, 2017;WEINBERG et al., 2015] para
umadescriçãodetalhada).Esses problemas fizeram emergir a
possibilidade da hipótese CDM falhar em pequenasescalas, e essa
intrigante possibilidade tem instigado vários estudos no sentido de
rever nossacompreensão da natureza da DM. Uma extensão imediata da
hipótese CDM, apontada comouma solução potencial a alguns desses
problemas de pequena escala, é a matéria escuramorna (WDM-do
inglêsWarmDarkMatter), ou seja, a suposição de que as partículas
deDMserem mornas ao invés de frias [LOVELL et al., 2012; LOVELL et
al., 2014; HORIUCHI et al.,2016]. Outra alternativa a hipótese da
CDM sem colisão é amatéria escura auto-interagente4
4Esse modelo considera uma forte auto-interação entre as
partícula de DM nas densas regiões centrais dos halosde galáxias e
aglomerados [WEINBERG et al., 2015].
G. Pordeus da Silva
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Capítulo 1. Introdução 14
(SIDM - do inglês Self-Interacting Dark Matter), também cotada
como solução potencial aalguns dos problemas de pequena escala
[TULIN; YU, 2018; SPERGEL; STEINHARDT, 2000;ROCHA et al., 2013;
PETER et al., 2013; ZAVALA; VOGELSBERGER; WALKER, 2013; ELBERT
etal., 2015].
A descrição clássica apropriada para as partículas de WDM é a de
um gásrelativístico ideal de partículas massivas, dada pela
estatística Maxwell-Boltzmann. Noentanto, apesar de sua
simplicidade, as equações resultantes a partir dessa descrição
nãopodem ser resolvidas analiticamente no contexto cosmológico,
tanto no background quandoem primeira ordem de perturbação. Porém,
se supormos que todas as partículas do gásrelativístico têm a mesma
energia cinética, ou equivalentemente, o mesmo módulo para
omomento, obtemos uma aproximação simplificada à distribuição de
Maxwell-Boltzmann,que por sua vez vem mostrando ser bastante
eficiente em descrever as características geraisda WDM, e também
uma ferramenta útil para as teorias com algum tipo de nova
física[HIPÓLITO-RICALDI et al., 2018; FABRIS; SHAPIRO;
VELASQUEZ-TORIBIO, 2012; FABRISet al., 2014; REIS; SHAPIRO, 2018;
FABRIS; SHAPIRO; SOBREIRA, 2009]. Esse modeloaproximado de gás
relativístico ideal é chamado de gás relativístico reduzido (RRG -
doinglês Reduced Relativistic Gas), e foi introduzido pela primeira
vez por Sakharov [1966]em aplicações no estudo da CMB. Como veremos
(ver Seção 5.3), o RRG é uma excelenteaproximação a descrição
padrão dado pela estatística de Maxwell-Boltzmann, quandoanalisamos
o gás relativístico próximo ao seu limite ultra-relativístico e
não-relativístico.
Em 2005, o RRG foi reavivado por Berredo-Peixoto, Shapiro e
Sobreira [2005], queobtiveramexplicitamente a sua equaçãode estado
(EoS) e a dependência da suadensidadedeenergia com o fator de
escala, bem como soluções analíticas para o background em
cenárioscosmológicos com radiação e constante cosmológica. Além
dessas, soluções analíticas parao background plano e não plano na
presença de outras duas ou três componentes (constantecosmológica,
matéria ultra relativística e não relativística) foram encontradas
por Medeiros[2012]. Entre as aplicações do RRG, estão a descrição
da interação bárion-fóton antes darecombinação [FABRIS et al.,
2014], a de neutrinos massivos [SLEPIAN; PORTILLO, 2018] eestudos
de matéria relativística em universos anisotrópicos [REIS; SHAPIRO,
2018]. Alémdessas, destaca-se o seu uso na descrição independente
de modelo da WDM [HIPÓLITO-RICALDI et al., 2018], onde foi
encontrado que a função de transferência para o modelo RRGreproduzo
cálculo completodeEinstein-Boltzmannpara relíquias térmicas
com1%precisão.
Dadas essas interessantes aplicações do modelo RRG na
cosmologia, é valiosoestudarmos esse modelo em um arcabouço teórico
mais geral. De fato, ao estudar oRRG além da descrição de fluido
perfeito, podemos ter uma melhor compreensão de suas
G. Pordeus da Silva
-
Capítulo 1. Introdução 15
aproximações e a implementação de novos efeitos, como a
introdução de termos dissipativose de colisão. Pensando nisso,
nesta tese (i) apresentamos uma fundamentação teórica maisgeral
para o RRG, que vai além da aproximação de fluido perfeito, e (ii)
trabalhamos emalgumas aplicações desse modelo no contexto
cosmológico de perturbações. Quanto aoprimeira ponto (i), começamos
construindo uma função de distribuição para o RRG quecodificaa
suposição simplificadoradeque todas as
suaspartículaspossuemomesmomodulode momento, desta derivamos o
conjunto de equações acopladas de Einstein-Boltzmanne verificamos
explicitamente que os seus limites não-relativístico e
ultra-relativístico sãorecuperados. Além disso, a partir poucas
suposições derivamos uma expressão analíticaque relaciona o
parâmetro de movimento térmico do RRG com a massa da partícula
etambémestimamos o quanto essemodelo se desvia da descrição padrão
dado pela estatísticade Maxwell-Boltzmann [PORDEUS DA SILVA;
BATISTA; MEDEIROS, 2019]. Na segundaparte do nosso trabalho, (ii)
estudamos a evolução do potencial Φ(k , t ) em um modelo deuniverso
hipotético onde o RRG descreve de forma aproximada e unificada a
radiação e aCDM, determinamos as condições iniciais para as
quantidades do RRG no universo inicial,estudamos o RRG como uma
descrição alternativa para aWDM e identificamos as condiçõesem que
as quantidades além da aproximação de fluido perfeito podem ser
negligenciadas[PORDEUS DA SILVA; BATISTA; MEDEIROS, 2019]. Por fim,
motivados por sua simples EoS,procuramos soluções semi-analíticas
para as perturbações sub-horizonte do contraste dedensidade em um
modelo com WDM, radiação e constante cosmológica, onde a WDM
émodelada pelo RRG. Nesse parte do estudo, obtivemos uma equação
diferencial análoga adeMészáros paraWDM, bem como sua solução em
termos de funções hipergeométricas.
Esta tese está dividida em sete capítulos. No Capítulo 2,
realizamos um estudosobre a cosmologia moderna baseada na métrica
de Friedmann-Lemaître-Robertson-Walker. Neste ponto, entre outras
coisas, deduzimos as equações de Friedmann-Lemaître,apresentamos
algumas de suas soluções, realizamos um estudo introdutório de
funções dedistribuição e da equação de Boltzmann. No Capítulo 3,
dissertamos sobre perturbaçõeslineares em cosmologia relativística.
Nesse contexto, deduzimos o conjunto completo deequações acopladas
de Boltzmann-Einstein, que descrevem a evolução das
perturbaçõesescalares. Já no Capítulo 4, determinamos as condições
iniciais para todas as perturbaçõesescalares e obtemos soluções que
descrevem como evolui as inomogeneidades da matéria.No Capítulo 5,
abordamos como tema central o arcabouço teórico do RRG com um
enfoqueespecial no cotexto cosmológico. Já, no Capítulo 6,
descrevemos algumas aplicações doRRG no contexto cosmológicos
perturbado. Por fim, no Capítulo 7, apresentamos nossoscomentários
finais e algumas perspectivas futuras.
G. Pordeus da Silva
-
Capítulo2Universo homogêneo, isotrópico edinâmico
“Nenhuma grande descoberta foi feita jamais
semumpalpiteousado.”
ISAAC NEWTON.
Neste capítulo, nosso objetivo é fornecer uma introdução teórica
à estruturamatemática e física dos modelos cosmológicos modernos
que se baseiam na teoria daRG e no Princípio Cosmológico. Portanto,
começamos definindo o Princípio Cosmológicoe apresentado algumas
propriedades geométricas e dinâmicas de um espaço-tempo
deFriedmann-Lemaître-Robertson-Walker. Em seguida, deduzimos a
equação de Friedmann-Lemaître, estudamosalgumasdesuas soluçõese
introduzimosomodelocosmológicopadrão.Por fim, realizamos um estudo
introdutório sobre função de distribuição e equação deBoltzmann no
contexto cosmológico.
2.1 Princípio cosmológico
A teoria da RG é fundamental para construirmos um modelo
cosmológico, poisé a teoria gravitacional que melhor lida com os
paradoxos associados a um espaço que seestende ao infinito, e a que
melhor explica as observações. Tal teoria fornece uma
descriçãogeométrica do espaço-tempo muito difícil de resolver para
uma distribuição arbitrária dematéria-energia. Daí, a fim de
progredir acerca de uma teoria científica do universo,argumentos de
simetria1 são considerados tendo em vista sua simplificação.
Para aplicar sua teoria na descrição do universo, Einstein fez
uso de um princípiosimplificador chamado Princípio Cosmológico, que
consiste na hipótese de que em escala1Hoje, esses argumentos são
amparados em observações
16
-
Capítulo 2. Universo homogêneo, isotrópico e dinâmico 17
suficientemente grande (300/h Mpc, ver Ref. [WU; LAHAV; REES,
1999])2 o universo éespacialmente homogêneo e isotrópico.
Homogeneidade é a afirmação de que o universoparece o mesmo em cada
ponto, enquanto isotropia afirma que o universo parece o mesmoem
todas as direções.
Sabemos que o universo local é não homogêneo e não isotrópico.
No entanto,se formos observar mais e mais distante, em escalas
superiores as das maiores estruturasvisíveis, chamadas de
superaglomerados de galáxias, que possuem diâmetros da ordem de10 a
30 Mpc, a distribuição de galáxias parece ser rigorosamente
homogênea e isotrópica,fundamentando observacionalmente o Princípio
Cosmológico [SOUZA, 2004]. Dadosreferentes a radiogaláxias,
aglomerados de galáxias, quasares e CMB, fornecem fortesevidencias
para o Princípio Cosmológico em grandes escalas [WU; LAHAV; REES,
1999;SCRIMGEOUR et al., 2012; COLES; LUCCHIN, 2002], por exemplo,
flutuações na temperaturada CMB (ver Figura 2.1) indicam que o
nível de anisotropia do universo em grandes escalas éde cerca de
umaparte em105. Portanto, aceitamos oPrincípioCosmológico porque
concordacom as observações.
Figura 2.1: Anisotropias da temperatura daCMBobservadapelo
Planck [Fev. 2015]. A imagemrevela flutuações de temperatura
(mostradas como diferenças de cor) da ordem de 10−5,
quecorrespondem a regiões de densidades ligeiramente diferentes,
que são as sementes de todasas estruturas futuras (extraída da
PLANCK IMAGE GALLERY).
2NaCosmologia,medida de distância normalmente é expressa
emmegaparsec (Mpc), 1Mpc' 3.26×106 anos luz' 3.08 × 1022m.
G. Pordeus da Silva 2.1. Princípio cosmológico
https://www.cosmos.esa.int/web/planck/picture-gallery
-
Capítulo 2. Universo homogêneo, isotrópico e dinâmico 18
2.2 Métrica de Friedmann-Lemaître-Robertson-Walker
Para um sistema de coordenadas arbitrário x �, a forma geral do
elemento de linhainvariante é
ds2 =3∑
µ,�gµ�dx
µdx � ≡ gµ�dx µdx �, (2.1)
onde, gµ� é o tensor métrico do espaço-tempo. Na relatividade
especial, o espaço-tempo éplano e estático, assim, sua métrica é
gµ� = diag(−1,+1,+1,+1), usualmente conhecida comométrica
deMinkowski. Por outro lado, emRG umamétrica não plana depende dos
pontos doespaço-tempo, ou seja, gµ� = gµ�(t , x i ). Essa
dependência é determinada pela distribuição dematéria-energia
nouniverso [BAUMANN, 2018]. Espaçoshomogêneos e
isotrópicospossuemomaior grupode simetria possível, restringindo
fortemente a geometria admissível para essesespaços [HOBSON;
EFSTATHIOU; LASENBY, 2006].
A métrica mais geral que descreve um universo em expansão e que
satisfazestas restrições impostas pelo Princípio Cosmológico, é a
conhecida métrica de Friedmann-Lemaître-Robertson-Walker (FLRW). O
seu elemento de linha expresso em coordenadasesféricas comóveis
possui a seguinte forma [HOBSON; EFSTATHIOU; LASENBY,
2006;WEINBERG, 2008]:
ds2 = gµ�dxµdx � = −dt 2 + a2(t )
[dr 2
1 − kr 2 + r2d�2 + r 2sin2�d�2
], (2.2)
onde x µ = (x0 = t , x1 = r , x2 = �, x3 = �). Essa métrica é
caracterizada por duas quantidades:o fator de escala a(t ) e a
constante k , que determina se o universo é espacialmente plano(k =
0), esférico (k = 1) ou hiperbólico (k = −1) [HOBSON; EFSTATHIOU;
LASENBY, 2006;WEINBERG, 2008]. A Figura 2.2 ilustra superfícies
bidimensionais com k = 1, 0 e−1, que podepossibilitar alguma
intuição das análogas tridimensionais.
Uma forma conveniente de se expressar amétrica de FLRWé obtida
introduzindouma nova coordenada radial �, definida pela relação
r = Sk (�) =
1√|k |sin
(√|k | �
)se k > 0 ,
� se k = 0 ,1√|k |sinh
(√|k | �
)se k < 0 .
(2.3)
Feito isso, a métrica (2.2) toma a seguinte forma [HOBSON;
EFSTATHIOU; LASENBY, 2006]
ds2 = −dt 2 + a2(t )[d�2 + Sk (�)2
(d�2 + sin2�d�2
)]. (2.4)
G. Pordeus da Silva 2.2. Métrica de
Friedmann-Lemaître-Robertson-Walker
-
Capítulo 2. Universo homogêneo, isotrópico e dinâmico 19
Linhas inicialmente
paralelas Linhas
inicialmente paralelas
Linhas inicialmente
paralelas
𝛾 + 𝛽 + 𝛼 > 180° 𝛾 + 𝛽 + 𝛼 < 180° 𝛾 + 𝛽 + 𝛼 = 180°
𝑏
𝛽
𝛾 𝛼
𝛽 𝛾 𝛼
𝐶 = 2𝜋𝑏 𝐶 < 2𝜋𝑏
𝑏
𝑘 = +1 𝑘 = 0 𝑘 = −1
𝐶 > 2𝜋𝑏
𝛽 𝛼
𝛾 𝑏
Figura 2.2: Três superfícies bidimensionais: a esférica tem k =
1, a plana tem k = 0 e a emforma de sela tem k = −1. Em superfícies
curvas (k , 0) a soma dos ângulos de um triângulonão é igual a 180
◦, a circunferência de um círculo não é igual a 2� vezes o raio e
as geodésicasque se iniciam paralelas, não permanecem paralelas
(extraída da Ref. [PORDEUS DA SILVA,2018]).
Também é útil introduzir uma nova coordenada de tempo chamada de
tempo conforme �,essa se relaciona com o tempo cósmico t pela
relação
d� =dt
a(t ) . (2.5)
Em termos do tempo conforme, a métrica (2.4) torna-se
ds2 = a2(�)[−d�2 + d�2 + Sk (�)2
(d�2 + sin2�d�2
)]. (2.6)
Note que na forma apresentada, torna-se mais fácil estudarmos
algumas de suaspropriedades, visto que essa métrica possui um cone
de luz radial idêntico ao da métricadeMinkowski, além disso, para k
= 0 ela é amétrica deMinkowski multiplicada por um
fatorconforme.
2.3 O redshift cosmológico
O redshift (desvio para o vermelho) é o deslocamento das linhas
espectrais devidoo aumento no comprimento de onda da radiação3.
Esse fenômeno pode ser produzidopor duas causas distinta, (i)
devido ao efeito do campo gravitacional sobre a radiação,pois ao
deixar um campo gravitacional forte, os fótons sofrem uma perda de
energia, eportanto, o comprimento de onda se desvia para o
vermelho, razão a qual é chamado deredshift gravitacional; e (ii)
devido ao movimento relativo entre a fonte e o observador,que pode
ser devido ao efeito Doppler (advindo do movimento peculiar) ou
devido aomovimento de recessão produzido pela expansão do universo,
ou ainda uma combinação de3Seja ou não a radiação visível, redshift
significa um aumento no comprimento de onda, o que equivale a
umadiminuição da frequência e energia dos fótons.
G. Pordeus da Silva 2.3. O redshift cosmológico
-
Capítulo 2. Universo homogêneo, isotrópico e dinâmico 20
ambos. Quantitativamente o redshift de uma linha espectral é
definido da seguinte forma:z ≡ (�0 − �) /�, onde �0 é o comprimento
de onda medido ao atingir o observador e � ocomprimento de onda
emitido, ou seja, o medido na fonte.
O redshift de interesse neste trabalho é o redshift cosmológico.
Esse é umaconsequênciadaexpansãodouniverso,
quecausaumalongamentonocomprimentodeondados fótonsenquantoesses
estãoemtrânsitoentreopontodeemissãoeodeobservação, comoilustra a
Figura 2.3. Esse alongamento ocorre de formaprogressiva e varia
proporcionalmenteao fator de escala, � ∝ a . Logo, têm-se �0/� =
a0/a(t ), que junto coma definição de z , permiteobter uma
importante relação entre o redshift cosmológico e o fator de
escala4:
1 + z = a0a(t ) , (2.7)
onde a(t ) e a0 são os valores do fator de escala no momento da
emissão t e da observação t0,respectivamente. Emumuniverso
emexpansão, têm-se a0 > a(t ), resultando emum z > 0, ouseja,
um redshift. Caso contrário, em um universo em contração, têm-se a0
< a(t ) resultandoem um z < 0, ou seja, um blueshift.
A B
A
B
Momento da emissão:
𝑎 𝑡 = 𝑎(𝑡𝑒)
Momento da observação: 𝑎 𝑡 = 𝑎(𝑡0)
Figura 2.3: Uma visão esquemática do alongamento do comprimento
de onda dos fótonsenquanto os mesmos se propagam da galáxia A à B
(extraída da Ref. [PORDEUS DA SILVA,2018]).
2.4 Distâncias e a lei de Hubble-Lemaître
Sem perda de generalidade, devido a homogeneidade e isotropia,
consideremosum observador na origem de um sistema de coordenadas de
FLRW, observando uma galáxia4Esta relação é obtida formalmente na
Ref. [LAMBOURNE, 2010, Seç. 8.4.1]
G. Pordeus da Silva 2.4. Distâncias e a lei de
Hubble-Lemaître
-
Capítulo 2. Universo homogêneo, isotrópico e dinâmico 21
distante em uma direção fixa, especificada por valores
particulares de � e �, e em umacoordenada radial r . Dado que o
espaço-tempo de FLRW admite uma foliação global 3+1,com as folhas
dadas por t = constante, a distância própria dp(t ) entre o
observador e agaláxia é o comprimento geodésico espacial entre eles
na hipersuperfície de tempo constantet [LAMBOURNE, 2010; RYDEN,
2016] . Portanto, da métrica (2.2) e (2.4), obtemos que
adistânciaprópria entre oobservador e a galáxianomomento t , ao
longodeumcaminho radiald� = 0 e d� = 0, será
dp(t ) =∫
Sds = a(t )
∫ r0
dr ′√1 − kr ′2
= a(t )∫ �0
d�′ (2.8)
ou seja,
dp(t ) = a(t )� , onde: � = S−1k (r ) =
1√|k |sin−1
(√|k |r
)se k > 0
r se k = 01√|k |sinh−1
(√|k |r
)se k < 0
. (2.9)
A coordenada radial comóvel � é frequentemente chamada de
distância de coordenada oudistância comóvel.
Por outro lado, a velocidade própria vp é dada por
vp(t ) =d[dp(t )]
dt= a
d�
dt+1a
da
dtdp, (2.10)
ou seja, a distância própria de uma fonte podemudar com o tempo
devido dois fatores:
• omovimento peculiar dessa fonte, quantificado pela velocidade
peculiar própria vpec,
vpec ≡ ad�
dt, (2.11)
• e devido a expansão do universo, quantificada pela conhecida
lei de Hubble-Lemaître,
vr(t ) ≡ H (t )dp , (2.12)
aqui vr é a velocidade radial (recessão) da fonte e
H (t ) ≡ 1a
da
dt≡ Ûa
a, (2.13)
é a função de Hubble, cujo valor avaliado no tempo presente (t0)
para o nosso universo
G. Pordeus da Silva 2.4. Distâncias e a lei de
Hubble-Lemaître
-
Capítulo 2. Universo homogêneo, isotrópico e dinâmico 22
é conhecido como constante de Hubble,
H0 ≡ h · 100 km · s−1 ·Mpc−1, (2.14)
onde, h é o parâmetro de Hubble adimensional.
2.4.1 Distância de diâmetro angular e de luminosidade
A distância própria a um objeto astronômico distante não pode
ser medida deforma direta, uma vez que tais objetos são observados
através da luz que emitem, assim nãose pode fazer medições ao longo
de uma superfície de tempo constante, pois a luz leva umtempo
finito para viajar até nós. No entanto, pode-se definir
operacionalmente outros tiposde distâncias, como a distância de
diâmetro angular e de luminosidade que, a princípio,
sãodiretamentemensuráveis [COLES; LUCCHIN, 2002].
Como ilustrado na Figura 2.4, considere uma fonte emissora E com
umacoordenada comóvel fixa � em relação a um observador O.
Assumindo, por simplicidade,que os eixos espaciais são orientados
de modo que � = constante, podemos obter a partir damétrica FLRW
(2.4), que a distância própria entre as duas extremidades do objeto
(diâmetropróprio transversal) nomomento da emissão te é
l =
∫S
ds = a(te)Sk (�)∫ �+∆��
d� = a(te)Sk (�)∆�. (2.15)
A distância de diâmetro angular dA, é definida de modo que o
diâmetro angular∆�, é dado pela relação habitual da geometria
euclidiana, ou seja, ∆� = l/d , e assim dA ≡ l/∆�.Portanto,
comparando essa com a Eq. (2.15), obtemos:
dA(te) = a(te)Sk (�) . (2.16)
Ainda tendo emmente a Figura 2.4, considere que o observador O,
na origem deumsistemade coordenadas de FLRW, observa umsinal de luz
radial (d� = d� = 0) emitido poruma galáxia distante nas
coordenadas (te, �, �, �). Como o sinal de luz viaja ao longo de
umageodésica nula, ou seja, ds2 = 0, obtemos damétrica (2.4)
que:
dt
a(t ) = ±d� ⇒ � =∫ �0
d�′ = −∫ te
t0
dt
a(t ) , (2.17)
onde escolhemos o sinal negativo, vista que o raio de luz viaja
em direção a origem das
G. Pordeus da Silva 2.4. Distâncias e a lei de
Hubble-Lemaître
-
Capítulo 2. Universo homogêneo, isotrópico e dinâmico 23
(a) Geometria associada com a definição da dA (b) Especificação
das coordenadas
Figura 2.4: Geometria associada com a definição da distância de
diâmetro angular dA, comuma dimensão espacial suprimida (extraída
da Ref. [HOBSON; EFSTATHIOU; LASENBY,2006]).
coordenadas. Por outro lado, usando a Eq. (2.7) e (2.13),
podemosmostrar que
dt
a=
dt
da
da
a=
da
H (t )a2 = −1
a0
dz
H (z ) , (2.18)
e assim, da relação (2.17) temos a seguinte expressão para a
coordenada comóvel �,
� = −∫ a(te)
a0
da
a2H (t ) =1
a0
∫ ze0
dz
H (z ) . (2.19)
Portanto, podemos expressar a distância de diâmetro angular
como
dA(ze) =
a0(1+ze)√|k |sin
(√|k |
a0
∫ ze0
dzH (z )
)se k > 0 ,
1(1+ze)
∫ ze0
dzH (z ) se k = 0 ,
a0(1+ze)√|k |sinh
(√|k |
a0
∫ ze0
dzH (z )
)se k < 0 ,
(2.20)
onde, comoveremos, k = −Ωk ,0a20H 20 (ver Eq. (2.62)) e a
evoluçãodoparâmetrodeHubble como z ,H (z ), depende do conteúdo
dematéria-energia do universo (ver Eq. (2.67)).
A distância de luminosidade dL, assim como a de diâmetros
angular, é construídade maneira a preservar uma propriedade
geométrica do espaço euclidiano5, sua expressãodifere de dA por um
fator de (1 + z )2, ou seja,6
dL(ze) = (1 + ze)2dA(ze) , (2.21)5Nesse caso, é definida demodo
a preservar a lei euclidiana do inverso do quadrado para a
diminuição da energiaradiativa (luz) com a distância, ou seja, l =
L/A = L/(4�d2L).6Para uma dedução detalhada, veja as Refs.
[WEINBERG, 2008; HOBSON; EFSTATHIOU; LASENBY, 2006].
G. Pordeus da Silva 2.4. Distâncias e a lei de
Hubble-Lemaître
-
Capítulo 2. Universo homogêneo, isotrópico e dinâmico 24
essa equação é conhecida como relação de dualidade de distância,
ela obedece ao Teoremada Reciprocidade [ELLIS, 2007] e é
independente da cosmologia adotada.
2.5 Idade do universo e o tempo retrospectivo
Fazendo uso da Eq. (2.18) e da relação a/a0 = 1/(1 + z ),
podemos obter umaexpressão que represente a idade do universo em um
z qualquer, ou seja,
t (z ) =∫ t0
dt ′ = −∫ z∞
a
a0
dz ′
H (z ′) =∫ ∞
z
dz ′
(1 + z ′)H (z ′) , (2.22)
aqui consideramos o cenário Bib-bang, onde tinicial ' 0
corresponde a um a ' 0, ouequivalentemente, um z = ∞. Por outro
lado, a idade total do universo t0, é obtida tomandoz = 0 na
equação anterior,
t0 =
∫ ∞0
dz ′
(1 + z ′)H (z ′) . (2.23)
A relação de tempo retrospectivo é definida como a diferença
entre a idade douniverso hoje (t0) e sua idade quando um raio de
luz foi emitido em um particular redshift(t (z )). Assim,
subtraindo a Eq. (2.22) da Eq. (2.23), têm-se a relação tempo
retrospectivo,
tL(z ) = t0 − t (z ) =∫ z0
dz ′
(1 + z ′)H (z ′) . (2.24)
2.6 Dinâmica cósmica
A dinâmica da geometria do espaço-tempo é caracterizada
inteiramente pelofator de escala a(t ). Como sabemos, na teoria da
RG a geometria e a matéria-energia sãorelacionadas pela equação de
campo gravitacional de Einstein, ou simplesmente, equação
deEinstein. Assim, para determinar a função a(t ), devemos resolver
a equação do Einstein napresença damatéria-energia contida nesse
espaço-tempo.
2.6.1 Equação de Einstein
Na presença de uma constante cosmológica diferente de zero, a
equação deEinstein é dada por [HOBSON; EFSTATHIOU; LASENBY,
2006]
Gµ� + Λgµ� = Rµ� −12 gµ�R + Λgµ� = 8�GTµ� , (2.25)
G. Pordeus da Silva 2.5. Idade do universo e o tempo
retrospectivo
-
Capítulo 2. Universo homogêneo, isotrópico e dinâmico 25
ondeGµ� é o tensor de Einstein, que contém as propriedades
geométricas do espaço-tempo,Tµ� o tensor de energia-momento, que
representa a distribuição da matéria-energia, G aconstante
Gravitacional, Λ a constante cosmológica, R o escalar de curvatura
de Ricci e porfim, Rµ� é o tensor de Ricci, dado pela expressão
R� � = ∂�Γ�� � − ∂�Γ��� + Γ
� �Γ
�
� − Γ
��Γ
�
� , (2.26)
onde Γµ�� é a conexãométrica, definida em termos damétrica da
seguinte forma:
õ�� =
12 g
µ �(∂�g �� + ∂�g �� − ∂�g��) . (2.27)
Note que, uma vez definida a métrica, é possível obter toda a
parte geométricada equação de campo de Einstein. De fato, usando a
métrica FLRW Eq. (2.2), obtemos asseguintes conexões não nulas:
Γ0i j = H gi j Γi0j = Γ
i0j = H �
ij Γ
233 = − cos(�) sin(�)
Γ111 =kr
1−kr 2 Γ122 = −r
(1 − kr 2
)Γ133 = −r
(1 − kr 2
)sin2(�)
Γ221 = Γ221 =
1r Γ
332 = cot(�) Γ331 = Γ313 =
1r
(2.28)
Dessas, obtemos os seguintes termos para o tensor de Ricci:
R00 = −3 Üaa
, Ri0 = R0j = 0 , Ri j = gi j(2H 2 + Üa
a+ 2 k
a2
), (2.29)
e, como o escalar de Ricci é dado pela contração R = R �� =
g��R��, temos:
R = 6( Üa
a+H 2 +
k
a2
). (2.30)
Finalmente, substituindo as Eq.s (2.29) e (2.30) na equação de
Einstein (2.25),obtemos:
H 2 +k
a2− Λ3 =
8�G3 T00 , (2.31)
0 = 8�GT0j = 8�GTi0 (2.32)
egi j
(H 2 + 2 Üa
a+
k
a2− Λ
)= −8�GTi j . (2.33)
Para estudarmos a dinâmica cósmica baseado nessas equações,
precisamos de antemãodeterminar o tensor energia-momento e suas
componentes.
G. Pordeus da Silva 2.6. Dinâmica cósmica
-
Capítulo 2. Universo homogêneo, isotrópico e dinâmico 26
2.6.2 Tensor energia-momento
O tensor de energia-momento na forma tensorial mais geral,
medido porum observador que se move com quadrivelocidade u �, pode
ser expresso como [ELLIS;MAARTENS; MACCALLUM, 2012; MAARTENS,
1996]
Tµ� = (� + P + �)uµu� + (P + �) gµ� + uµq� + u�qµ + �µ� ,
(2.34)
sujeito aos vínculos
q �u� = 0 , ���u � = 0 , ��� = ��� e � �� = 0 , (2.35)
onde:
• � é a densidade de energia (a densidade de massa de repouso
mais a energia internatotal, energia química, etc.);
• P é a pressão isotrópica;
• q� é a densidade do momento (devido a processos como difusão e
condução de calor),que (devido à equivalência de massa e energia) é
também o fluxo de energia relativo auµ ;
• � é a pressão viscosa volumétrica;
• ��µ é o tensor de stress anisotrópico devido a efeitos como
viscosidade, fluxo livre oucamposmagnéticos7;
• u � é a quadrivelocidade comóvel, definida comou µ ≡ dx µ/d�,
onde � é o tempo próprioque por definição é ds2 = −d�2, de modo
que,
(u µ)2 = −(
dx µ
ds
)2= −
(dx µ
dt
dt
ds
)2=
(dx µ
dt
)2 ( 11 − gi j dx
i
dtdx j
dt
). (2.36)
Assim, no referencial do cento de massa de repouso do fluido,
onde o momento totalmedido emrelação a esse referencial é zero,
temosdx i/dt = 0 e, portanto,u µ = (1, 0, 0, 0).Isso implica que u�
= g�µu µ = (−1, 0, 0, 0) e u µuµ = −1. É importante destacar
queessa última relação é completamente geral e independem do
sistema de coordenadase do sistema gravitacional (cosmologia,
BuracosNegros, etc) estudado. Isso é fácil de ser
7A pressão viscosa volumétrica �, é o traço de ��µ , ou seja, �
�� = �. Mas como colocamos � em evidência juntocom a pressão P ,
impomos que ��µ é de traço nulo.
G. Pordeus da Silva 2.6. Dinâmica cósmica
-
Capítulo 2. Universo homogêneo, isotrópico e dinâmico 27
demonstrado, basta ver que
ds2 = gµ�dxµdx � = gµ�
dx µ
d�
dx �
d�d�2 ⇒ u µuµ =
ds2
d�2= −1 . (2.37)
Note que, da Eq. (2.35) temos que q �u � = 0 ⇒ q0 = 0 e que ���u
� = 0 ⇒ ��0 =�0� = 0. O princípio Cosmológico manifestado na
métrica de FLRW gµ�, também impõemfortes vínculos ao tensor
energia-momento, pois das Eq.s (2.31), (2.32) e (2.33)
podemosconcluir que T0i = g0i = 0, Ti j = gi j = 0 para todo i , j
e, portanto, Tµ� ∝ gµ�. Assim,da Eq. (2.34) temos que qi = T0i/u0 =
0 e que �i j = Ti j = 0 para todo i , j . Além disso,devido a
homogeneidade e isotropia T00 e Ti i só podem depender do tempo t .
Portanto, otensor energia-momentomais geral consistente com
amétrica de FLRW, é umfluido perfeitocom viscosidade volumar.
No entanto, a pressão viscosa volumétrica �, assim como a
densidade domomentoq�, está relacionadaaprocessosdissipativos
(vermaisdetalhesnaRef. [MAARTENS,1996]), por essa razão vamos
negligencia-lo daqui em diante. Dito isso, oTµ� resultante é
Tµ� = (� + P )uµu� + P gµ� , (2.38)
onde esse tensor energia-momento é característico de umfluido
perfeito. Emgeral, a física deum fluido perfeito é determinado pela
Eq. (2.38) e por uma equação de estado (EoS) do tipoP = P (S, �),
ondeS é a entropia. Apesar da formadefluidoperfeito, o tensor
energia-momento(2.38) é compatível comprocessos irreversíveis8, o
que implica que esse tipodeprocessopodeocorrer em um universo de
FLRW [ELLIS; MAARTENS; MACCALLUM, 2012]. Um processo éreversível9
quando sua EoS é função apenas da pressão P = P (�) (EoS
barotrópica).
Para encontramos o a(t ), necessitamos de uma outra equação além
das duas jáapresentadas, Eq. (2.31) e (2.33), pois temos três
incógnitas �, P e a . Na cosmologia, é habitualusarmos uma EoS
linear barotrópica do tipo
P = w � , com w = constante , (2.39)
onde w é o parâmetro da EoS. Considerando essa nova equação,
fechamos o sistema com 3equações independentes.
Oparâmetrow tambémestá relacionadoà velocidadedo
somadiabáticodofluido8Isto é, que ocorre com alteração na entropia
(∆S > 0).9Isto é, que ocorre sem alteração na entropia
(isentrópico)
G. Pordeus da Silva 2.6. Dinâmica cósmica
-
Capítulo 2. Universo homogêneo, isotrópico e dinâmico 28
[COLES; LUCCHIN, 2002]c2s =
(∂P
∂�
)s
, (2.40)
onde s denota derivação a entropia constante. Em um fluido onde
w = constante, cs =√
w .Note que o caso w > 1 é fisicamente impossível, pois
implicaria que cs > 1 (aqui c ≡ 1 é avelocidade da luz). Se w
< 0, então a Eq. (2.40) não está mais relacionada à velocidade
dosom. Existem, no entanto, situações fisicamente importantes nas
quais a matéria-energia secomporta como um fluido comw < 0, como
veremosmais adiante.
Conservação do tensor energia-momento
Como expressamos anteriormente, já temos um sistema fechado de
equaçõespara determinar a(t ). No entanto, podemos derivar uma
outra equação importante (que éfrequentemente útil no encurtamento
de cálculos) usando o fato da conservação do tensorenergia-momento
exigir que
∇µT µ� = 0 . (2.41)
Note que ao desenvolvermos u�(∇µT µ�) usando o T µ� dado pela
Eq. (2.38), bem como o fatode que ∇µ g µ� = 0 e que ∇µ(u �u�) = 0⇒
u�∇µu � = 0, obtemos a componente paralela au�, queé na verdade a
equações de continuidade, ou seja,
∇µ (�u µ) + P∇µu µ = 0 . (2.42)
Por outro lado, a parte ortogonal, que é a equações de movimento
do fluido, obtemossubtraindo da total ∇µT µ�, a parte paralela u µu
�(∇µT µ �), isto é,
∇µT µ� + u �u �(∇µT µ �) = 0 ⇒ (� + P )u µ∇µu � = − (g µ� + u µu
�) ∇µP . (2.43)
Essa última equação é zero em ambos os lados, uma vez queu µ∇µu
� = 0 (equaçãoda geodésica) e (g µ� + u µu �) ∇µP = 0, pois g 00 =
−u0u0 e∇i P = 0, uma vez que P é uma funçãoapenas de t . Isso
implica que por não haver um gradiente de pressão, as partículas
fluidas(galáxias) seguem geodésicas [HOBSON; EFSTATHIOU; LASENBY,
2006]. Por outro lado, seusarmos o fato de que � = �(t ), u µ = (1,
0, 0, 0) e que ∇µu � = ∂µu � + Γ��µu�, a equação decontinuidade Eq.
(2.42) pode ser escrita como
Û� + 3H (� + P ) = 0 . (2.44)
Essa equação também pode ser obtida a partir da primeira lei da
termodinâmica dU = −P dV
G. Pordeus da Silva 2.6. Dinâmica cósmica
-
Capítulo 2. Universo homogêneo, isotrópico e dinâmico 29
(processo adiabático dQ = 0), ondeU = �V eV ∝ a3.Porfim,podemos
resolver analiticamenteaEq. (2.44)usandoaEq. (2.39), feito isso
obtemos:� = �0
(a
a0
)−3(1+w ), (2.45)
onde �0 ≡ �(a = a0)éadensidadedeenergiamedidahoje.
Assumindoqueascomponentesdofluidocósmiconão interagementre si, essa
equaçãopode ser aplicadade forma independentepara cada um
deles.
2.6.3 Componentes do fluido cósmico
Ouniversoépreenchidocomumamisturadediferentescomponentesdematéria-energia.
É útil classificar as diferentes componentes por sua contribuição
para a pressão, oumelhor, pelo valor doparâmetrow da suaEoS. As
principais componentes presentes nofluidocósmico são:
• Matéria não-relativística (NR): o termo matéria
não-relativística ou simplesmentematéria (m) é usado para qualquer
componente cuja a pressão seja desprezível frentea densidade de
energia, ou seja, P � �. Esse é o caso de um gás não-relativístico
departículas (poeira) onde a densidade de energia é dominada pela
sua massa. Nessecaso, o parâmetro da EoS (tipo poeira) é: wm ' 0,
logo, da Eq. (2.45) obtemos �m =�m,0 (a/a0)−3, ou seja, a densidade
de energia é diluída somente devido o aumento dovolume causado pela
expansão,V ∝ a3.
– Matéria bariônica (b): matéria comum, constituída de elétrons,
prótons enêutrons. Tecnicamente é incorreto, pois os elétrons são
léptons. No entanto,os núcleos são muito mais pesados que os
elétrons, logo a maior parte da massados átomos advém dos
bárions.
– Matéria escura (DM): matéria não bariônica, fracamente
interagente com aradiação eletromagnética (não visível), geralmente
considerada uma nova espéciede partícula pesada, mas o que
realmente é, ainda não se sabe. Quando nosreferirmos a CDMusaremos
o subscrito "c".
• Matéria ultra-relativística (UR): o termo ultra-relativístico
ou, de forma genérica,radiação (r ), é usado aqui para denotar
qualquer componente cuja a EoS é Pr = �r /3.10
Esse é o caso de um gás de partículas relativísticas, para as
quais a densidade de energiaé dominada pela energia cinética (ou
seja, o momento é muito maior do que a massa).
10Essa EoS é obtida diretamente da mecânica estatística
relativística no limite onde as massa das partículas
sãodesprezíveis.
G. Pordeus da Silva 2.6. Dinâmica cósmica
-
Capítulo 2. Universo homogêneo, isotrópico e dinâmico 30
Neste caso, como wr = 1/3, obtemos da Eq. (2.45) que �r = �r ,0
(a/a0)−4, onde o fatorextra de a−1, quando comparado ao caso
não-relativístico, vem do redshift que essacomponente sofre, pois E
∝ 1/� ∝ 1/a .
– Fótons (): partícula de spin 1, um bóson, sem massa, e que
transporta umquantum do campo eletromagnético. Sendo sem massa,
eles são sempre ultra-relativísticos. No passado distante da
história do universo, os fótons dominarama dinâmica de expansão e
hoje esses são detectados na forma de uma radiaçãocósmica de fundo
(CMB).
– Neutrinos (�): partícula eletricamente neutra, praticamente
desprovida de massa,de spin igual a 1/2 que interage somente
através da interação fraca e da gravitação.Durante a maior parte da
história do universo, os neutrinos se comportaramcomo matéria
ultra-relativística. Apenas recentemente suas pequenas massas
setornaram relevantes, requerendo assim, um tratamento mais
refinado (partículasrelativísticas).
• Energia escura (Λ): resultados da análise da CMB, indicam
fortemente que o universoé plano, ou seja, sua densidade total é
muito próxima da crítica. Por outro lado, osdados das análises das
SNe Ia, indicam que o universo se encontra atualmente em umafase de
expansão acelerada, sugerindo que ele não é predominantemente
compostopor matéria NR (bariônica e escura). Assim, a combinação
desses e de outros dadosevidenciam que a componente escura é uma
mistura de dois constituintes, matériaescura e um misterioso
componente de pressão negativa chamado de energia
escura,responsável pela expansão acelerada do universo. Sua
modelagem mais simples éatravés da constante cosmológica (Λ), onde
sua pressão é expressa como
PΛ = −�Λ = −Λ
8�G . (2.46)
É comum e prático mover este termo para o lado direito da Eq.
(2.25) e tratá-lo comouma contribuição para o tensor
energia-momento, demodo que
T (Λ)µ� =Λ
8�G gµ� = �Λgµ� . (2.47)
Aqui consideramos que cada um desses componentes é modelado como
umfluido perfeito não interagente, exceto pela gravitação. Desse
modo, o tensor energia-
G. Pordeus da Silva 2.6. Dinâmica cósmica
-
Capítulo 2. Universo homogêneo, isotrópico e dinâmico 31
momento de um fluido demúltiplos componentes é dado simplesmente
por
Tµ� =∑
l
(Tµ�
)l =
∑l
[(�l + Pl )uµu� + Pl gµ�
](2.48)
=
(∑l
�l +∑
l
Pl
)uµu� +
∑l
Pl gµ� (2.49)
Assim, o fluidomulticomponente pode ser modelado como um único
fluido perfeito com
� =∑
l
�l e P =∑
l
Pl . (2.50)
2.6.4 Equações de Friedmann-Lemaître
Usando o tensor energia-momento de um fluido perfeito Eq. (2.38)
na Eq. (2.31),obtemos
H 2 =8�G3
(� +
Λ
8�G
)− k
a2. (2.51)
Já substituindo a Eq. (2.38), juntamente com a equação anterior,
na Eq. (2.33), temos
Üaa= −4�G3
[(� +
Λ
8�G
)+ 3
(P − Λ8�G
)]. (2.52)
Essas duas equações, juntamente com a EoS de cada componente,
governam a dinâmica douniverso, determinando a evolução temporal do
fator de escala a(t ), e são conhecidas comoas equações de
Friedmann-Lemaître.
Escrevendo as Eqs. (2.51) e (2.52) usando o tempo conforme
introduzido naEq. (2.5), obtemos
H2 = 8�G3 a2(� +
Λ
8�G
)− k , (2.53)
ea ′′
a=4�G3 a
2[(� +
Λ
8�G
)− 3
(P − Λ8�G
)]− k , (2.54)
onde a "′" denota a derivada com relação ao tempo conforme � eH
é parâmetro de Hubbleconforme, definido como
H ≡ a′
a= aH . (2.55)
G. Pordeus da Silva 2.6. Dinâmica cósmica
-
Capítulo 2. Universo homogêneo, isotrópico e dinâmico 32
Parâmetros cosmológicos
Ao assumirmos
�tot =
(� +
Λ
8�G
)=
∑l
�l , (2.56)
sendo l = {r ,m,Λ} = {, c ,b , �,Λ}, podemos obter da Eq. (2.51)
que:
k
a2H 2=
(8�G3H 2
�tot − 1). (2.57)
Nota-se dessa expressão que o universo é espacialmente plano (ou
seja, k = 0) somente se adensidade total �tot for igual a uma
densidade crítica �cri, dada por:
�crit =3H 28�G , (2.58)
cujo valor atual em termos de h é:
�0,crit =3H 208�G = 1.88 × 10
−29 h2gramascm3
(2.59)
= 2.8 × 1011 h2 M�Mpc3
. (2.60)
É conveniente definirmos parâmetros adimensionais de densidade
da seguinteforma:
Ωl ≡�l�crit
=8�G3H 2
�l . (2.61)
Além disso, é também prática comum definir o parâmetro
adimensional de densidade decurvatura como
Ωk ≡ −k
a2H 2= Ωk ,0
H 20H 2
(a
a0
)−2. (2.62)
Assim, podemos escrever aEq. (2.57) em termosdosparâmetros
adimensionais dedensidade,ou seja,
Ωk = 1 −Ωtot ⇒ Ωk +Ωr +Ωm +ΩΛ = 1 , (2.63)
G. Pordeus da Silva 2.6. Dinâmica cósmica
-
Capítulo 2. Universo homogêneo, isotrópico e dinâmico 33
onde concluirmos que:
Ωtot = 1 ⇒ Ωk = 0 ⇔ plano (k = 0)Ωtot > 1 ⇒ Ωk < 0 ⇔
esférico (k = 1)Ωtot < 1 ⇒ Ωk > 0 ⇔ hiperbólico (k = −1)
.
(2.64)
Por outro lado, substituindo as Eqs. (2.45) e (2.59) na Eq.
(2.61), obtemos:
Ωl = Ω0,lH 20H 2
(a
a0
)−3(1+!l ). (2.65)
Fazendouso dessa equação juntamente comas informações da
Subseção 2.6.3 e da Eq. (2.63),obtemos que:
E (Ω0,l , a) ≡H
H0=
√Ω0,k
(a
a0
)−2+Ω0,r
(a
a0
)−4+Ω0,m
(a
a0
)−3+ΩΛ , (2.66)
ou
E (Ω0,l , z ) =√Ω0,k (1 + z )2 +Ω0,r (1 + z )4 +Ω0,m (1 + z )3
+ΩΛ , (2.67)
onde, E (Ω0,l , a) é a função de Hubble adimensional.Geralmente,
o estudo da aceleração do universo é realizado através da
definição
do parâmetro de desaceleração q ,
q ≡ −a ÜaÛa2 = −a2
Ûa2Üa
a= − 1
H 2· Üa
a, (2.68)
onde, usando a Eq. (2.52) e alguns dos parâmetros já
apresentados, podemosmostrar que:
q =12
∑l
Ωl (1 + 3!l ) =Ωm
2 +Ωr −ΩΛ. (2.69)
Parao tempopresente t = t0, torna-se: q0 = Ω0,m/2+Ω0,r −ΩΛ.
Sendoassim, a taxade expansãodo universo é constante se q0 = 0,
desacelerada se q0 > 0, e acelerada se q0 < 0.
2.6.5 Modelo cosmológico padrão
O modelo cosmológico padrão ΛCDM, é composto de CDM, bárions,
radiação(fótons e neutrinos sem massa) e energia escura (na forma
de constante cosmológicaΛ). Como mostra a Figura 2.5, observações
sugerem fortemente que o universo atual éespacialmente plano ou
muito próximo disso. Por exemplo, testes com dados do Planck
G. Pordeus da Silva 2.6. Dinâmica cósmica
-
Capítulo 2. Universo homogêneo, isotrópico e dinâmico 34
emcombinação comBAO11mostramque |Ω0,k | < 0.005 em95%de
confiança estatística [ADEet al., 2016]. Portanto, como os efeitos
da curvatura espacial sãomais insignificantes ainda nopassado
(visto que a curvatura é ∝ a−2, enquanto que a �m ∝ a−3 e �r ∝
a−4), omodeloΛCDMconsidera de fato o universo espacialmente plano,
demodo que tenhamos
H (Ω0,l , z ) = H0√Ω0,r (1 + z )4 +Ω0,m (1 + z )3 + (1 −Ω0,r
−Ω0,m) . (2.70)
Figura 2.5: Restrições no plano Ω0,m–ΩΛ com dados do Planck e
BAO. Os contornosvermelhos restringem firmemente a curvatura
espacial do nosso universo, mostrando sermuito compatível com uma
curvatura plana, indicada pela linha tracejada cinza (extraída
daRef. [ADE et al., 2016]).
Quanto aos demais parâmetros, Aghanim et al. [2018]
estimaramusandoos dadosextraídos da CMB pelo satélite Planck em
combinação comBAO os seguintes valores em 68%de confiança
estatística:
Ω0,m = 0.3111 ± 0.0056 , ΩΛ = 0.6889 ± 0.0056 e H0 = 67.66 ±
0.42km/sMpc , (2.71)
sendo queΩ0,m = Ω0,b +Ω0,c , cuja estimativa dissociada éΩ0,bh2
= 0.02242±0.00014 eΩ0,c h2 =0.11933 ± 0.00091. Quanto a radiação,
temos que 12
Ω0,r = Ω0, +Ω0,� = Ω0,
[1 + 78N
eff�
(411
) 43]' 9.116 × 10−5 , (2.72)
11Sigla do inglês que significa Baryon Acoustic
Oscillations.12Essa relação, Eq. (2.72), é derivada em detalhes na
Ref. [PIATTELLA, 2018, Cap. 3].
G. Pordeus da Silva 2.6. Dinâmica cósmica
-
Capítulo 2. Universo homogêneo, isotrópico e dinâmico 35
uma vez que, o número efetivo de neutrinos cosmológicos é N eff�
= 3.0395 [MANGANO et al.,2002] eΩ0, ' 2.469 × 10−5 h−2 paraTCMB =
2.725 K [KOMATSU et al., 2011].
Legenda:Ωr (a)Ωm (a)ΩΛ(a)
10-6 10-5 10-4 0.001 0.010 0.100 10.0
0.2
0.4
0.6
0.8
1.0
a/a0
Ω l(a)=ρ
l(a)/ρ
cri(a) Era da Radiação Era da Matéria Era
daΛ(a) Evolução dos parâmetros de densidadesΩl (a)
Legenda:q(a)
10-6 10-5 10-4 0.001 0.010 0.100 1-1.0-0.50.0
0.5
1.0
a/a0
q(a)
Era da Radiação Era da Matéria
EradaΛ
Desacel.: q > 0
Acel.:q<0
(b) Evolução do parâmetro de desaceleração q(a)
Figura 2.6: Evolução dos parâmetros adimensionais de densidades
(Eq. (2.65)) e dedesaceleração (Eq. (2.69)) com o fator de escala,
usando os valores dos parâmetrosapresentados na Eq. (2.71) e
(2.72). As linhas verticais tracejadas roxas em a/a0 = 2.931 ×10−4,
0.767 e 1, indicam a era de equivalência entre matéria e radiação,
matéria e constantecosmológica e o tempo presente,
respectivamente.
Portanto, concluímos que hoje 69% da matéria-energia do nosso
universo éproveniente da constante cosmológica, 26% de CDM, 4.9% de
matéria bariônica e menos de0.1% na forma de radiação. Isso implica
que, nosso universo encontra-se em uma fase deexpansão acelerada
(q0 = −0.532) e com uma idade total de t0 ' 13.78 G anos. Além
disso,como bem mostra a Figura 2.6, em um passado distante (a/a0 �
2.931 × 10−4) a dinâmicado nosso universo foi completamente
dominada pela componente de radiação, portantoencontrava-se em uma
fase de expansão desacelerada (q ' 1). Logo depois (2.931 × 10−4
�a/a0 � 0.767), sua dinâmica é predominantemente dominada pela
matéria, assim continuaem uma fase de expansão desacelerada (q '
1/2). Só mais recentemente a/a0 > 0.767 suadinâmica é dominada
pela constante cosmológica e o nosso universo sai de uma fase
deexpansão desacelerada para uma acelerada (q ' −1).
2.7 Soluções das equações de Friedmann-Lemaître
As equações de Friedmann-Lemaître podem ser resolvidas
exatamente paramuitoscasosdistintos. Nesta seção,
encontraremossoluçõesparaumuniversoespacialmenteplano k = 0, ou
seja,
H 2 =8�G3 �tot . (2.73)
G. Pordeus da Silva 2.7. Soluções das equações de
Friedmann-Lemaître
-
Capítulo 2. Universo homogêneo, isotrópico e dinâmico 36
2.7.1 Soluções com uma única componente
Durante a maior parte de sua história, o nosso universo foi
dominado por umaúnica componente (primeiro radiação, depois matéria
e depois constante cosmológica; verFigura (2.6)). Para um universo
de uma única componente �l , a Eq. (2.73) se reduz a( Ûa
a
)2=8�G3 �l = H
20Ω0,l
(a
a0
)−3(1+wl ). (2.74)
Integrando essa equação, lembrandoquenesse casoΩ0,l = 1, obtemos
adependência do fatorde escala com o tempo cósmico t .
Universo dominado pormatéria
Para um universo dematéria (wl = 0), temos da Eq. (2.74) que
a(t ) = a0(
t
t0,m
)2/3, onde: t0,m =
23H0
. (2.75)
Usando essa relação, podemosmostrar ainda que
�m = �0,m
(t
t0,m
)−2=
16�Gt 2
e que a(�) ∝ �2 , (2.76)
onde � é o tempo conforme d� = dt /a(t ).
Universo dominado por radiação
Para um universo de radiação (wl = 1/3), temos da Eq. (2.74)
que
a(t ) = a0(
t
t0,r
)1/2, onde: t0,r =
12H0
. (2.77)
Usando essa relação, podemosmostrar ainda que
�r = �0,r
(t
t0,r
)−2=
332�Gt 2
e que a(�) ∝ � . (2.78)
Universo dominado por constante cosmológica
Para um universo somente com constante cosmológica (wl = −1),
temos daEq. (2.74) que
a(t ) = a0e H0(t−t0,Λ) = a0e√Λ3 (t−t0,Λ) e a(�) ∝ −�−1 ,
(2.79)
note que nesse caso não há singularidade big-bang em um tempo
finito no passado.
G. Pordeus da Silva 2.7. Soluções das equações de
Friedmann-Lemaître
-
Capítulo 2. Universo homogêneo, isotrópico e dinâmico 37
Na Tabela 2.1, apresentamos de forma resumida as soluções para
um universoplano durante a era dominada pela matéria, radiação e
constante cosmológica.
Tabela 2.1: Soluções da Friedmann-Lemaître para um universo
espacialmente planoconstituído de uma única componente.
Componente wl ≡ Pl/�l �l (a) a(t ) a(�)
Matéria 0 �m,0(
aa0
)−3a0
(t
t0,m
)2/3∝ �2
Radiação 1/3 �r ,0(
aa0
)−4a0
(t
t0,r
)1/2∝ �
Energia escura (Λ) −1 �Λ a0e H0(t−t0,Λ) ∝ −�−1
2.7.2 Soluções com duas componente
Universo dominado por radiação +matéria
Como pode ser observado na Fig. 2.6(a), a mistura de radiação
mais matériaditou a dinâmica do universo por um grande período de
tempo, só mais recentementeessas componentes perderam o seu
protagonismo. A matéria e a radiação foram igualmenteimportantes em
aeq = Ωr ,0/Ωm,0 = 2.931 × 10−4. Será útil ter uma solução exata
descrevendo aera da transição.
Consideremos, portanto, umuniverso espacialmente plano
preenchido comumamistura dematéria e radiação,
�tot = �r + �m =�eq
2
[(a
aeq
)−3+
(a
aeq
)−4]. (2.80)
Para resolver a evolução do fator de escala, é conveniente mudar
para o tempo conforme,deste modo as equações de Friedmann Eq.
(2.53) e (2.54) são(
a ′
a
)2=8�G3 a
2 (�m + �r ) , (2.81)
ea ′′
a=4�G3 a
2�m . (2.82)
Note que, �ma3 = constante = (�eq/2)a3eq, assim, podemos
escrever a Eq. (2.82) como
a ′′ =4�G3
�eq
2 a3eq . (2.83)
G. Pordeus da Silva 2.7. Soluções das equações de
Friedmann-Lemaître
-
Capítulo 2. Universo homogêneo, isotrópico e dinâmico 38
Integrando essa equação, obtemos como solução
a(�) = �G3 �eqa3eq�
2 +C1� +C2 , (2.84)
onde, impondo a(� = 0) = 0, fixamosC2 = 0. Daí, substituindo
aEq. (2.80) e (2.84) naEq. (2.81)e em seguida tomando � = 0,
fixamos
C1 =
(4�G3 �eqa
4eq
)1/2. (2.85)
Logo, podemos escrever a Eq. (2.84) como segue
a(�) = aeq
[(�
�?
)2+ 2
(�
�?
)], (2.86)
onde�? ≡
(�G
3 �eqa2eq
)−1/2=
�eq√2 − 1
. (2.87)
Observe quepara � � �eq, recuperamos o comportamento típico de
umdomínio de radiação,ondea ∝ �, enquantoquepara � � �eq,
recuperamosocomportamento típicodeumdomíniodematéria, a ∝ �2.
Universo dominado pormatéria + constante cosmológica
A dinâmica do universo recente, é muito bem descrita por uma
misturada componente de matéria e constante cosmológica (ver Fig.
2.6(a)). Nesse cenário,considerandoΩΛ > 0 podemos expressar a
Eq. (2.73) como
t (a) = 1H0
√Ω0,m
∫ a/a00
√xdx√
1 + ΩΛΩ0,m
x3=
2/3H0√ΩΛ
∫ √ ΩΛΩ0,m
(a
a0
)30
du√1 + u2
, (2.88)
cuja solução é
t (a) = 2/3H0√ΩΛ
sinh−1√ΩΛ
Ω0,m
(a
a0
)3 (2.89)=
2/3H0√ΩΛ
ln√ΩΛ
Ω0,m
(a
a0
)3+
√1 + ΩΛΩ0,m
(a
a0
)3 . (2.90)
G. Pordeus da Silva 2.7. Soluções das equações de
Friedmann-Lemaître
-
Capítulo 2. Universo homogêneo, isotrópico e dinâmico 39
Invertendo para a(t ), obtemos
a(t ) = a0(Ωo,m
ΩΛ
)1/3 [sinh
(3H0√ΩΛ
2 t)]2/3
. (2.91)
Observe que para t � 2/(3H0√ΩΛ), recuperamos o comportamento
típico de um domínio
de matéria, onde a(t ) ≈(3H0√Ω0,m2 t
)3/2, enquanto que para t � 2/(3H0
√ΩΛ), recuperamos o
comportamento típico de um domínio da constante cosmológica, a(t
) ≈ a0(Ωo,m4ΩΛ
)1/3e H0√ΩΛt .
2.8 Função de distribuição
Como sabemos, o estado macroscópico de um sistema é descrito por
poucasvariáveis, conhecidas como varáveis de estado, são elas a
energia, pressão, temperatura, etc.Por outro lado, o exato
estadomicroscópicodeumsistema tridimensional, é determinadopor6N
variáveis, são elas as coordenadas emomentos canônicos
q = (q1,q2, · · · ,q3N ) e p = (p1, p2, · · · , p3N ) ,
(2.92)
onde N representa o número de partículas do sistema. Daí, tendo
em vista que para
cadaestadomacroscópicoháumnúmeroenormedeestadosmicroscópicoscorrespondentes,
poispara cada ponto no espaço de fase termodinâmico há um número
enorme de possibilidadesno espaço de fase microscópico, se faz
necessário um tratamento estatístico do sistema paratornar precisa
a correspondência entre esses dois estado [ALDROVANDI, 2006].
Como sabemos, o princípio da incerteza da mecânica quântica
impõe um limitepara o volumemínimo de uma célula no espaço de fase,
esse volume é dado porV = (2�~)3,onde ~ é a constante de Planck
reduzida13. Nesse contexto, amedida do volume do espaço defase
é
d3N qd3N p
V3N = Π3Ni=1
dqi dpiV3N =
dq1dq2 · · ·dq3N dp1dp2 · · ·dp3NV3N . (2.93)
Podemos caracterizar a tendência de um determinado sistema estar
em uma sub-região doespaço de fase, definindo uma função dinâmica F
(t ,q , p) tal que
F (t ,q , p)d3N qd3N p
V3N , (2.94)
seja aprobabilidadedo sistemaestar no instante t emumacélula de
volume d3N qd3N pV3N em torno
de (q , p) no espaço de fase [ALDROVANDI, 2006]. Essa função é
conhecida como função de13Na Ref. [PIATTELLA, 2018, Subseção
3.3.1], o autor apresenta o cálculo do volumeV dessa célula
fundamental.
G. Pordeus da Silva 2.8. Função de distribuição
-
Capítulo 2. Universo homogêneo, isotrópico e dinâmico 40
distribuição (ou densidade) do espaço de fase.Ao considerar um
sistema deN partículas não interagentes, ou que as interações,
se existirem, são de curto alcance (atuando somente durante as
colisões), podemos escrevera função de distribuição deN partículas
F , como
F (t , ®q1, ®q2, · · · , ®qN , ®p1, ®p2, · · · , ®pN ) = f1(t ,
®q1, ®p1) · f2(t , ®q2, ®p2) · · · · · fN (t , ®qN , ®pN )
= f1(t , ®q1, ®p1)N , (2.95)
onde ®p1 = (p1, p2, p3), ®p2 = (p4, p5, p6), · · · , ®pN =
(p3N−2, p3N−1, p3N ) e ®q1 = (q1,q2,q3),®q2 = (q4,q5,q6), · · · ,
®qN = (q3N−2,q3N−1,q3N ) são, respectivamente, os vetores vulgares
deposição emomento das N partículas no espaço de fase. Na prática,
isso implica que podemospassar a trabalhar coma função de
distribuição de uma única partícula, que por economia denotação,
chamaremos de f (t , ®q , ®p). Por ser comumente interpretada como
uma densidade deprobabilidade, essa função deve satisfazer
f (t , ®q , ®p) ≥ 0 e∫
d3qd3p
(2�~)3f (t , ®q , ®p) = 1 . (2.96)
Se uma grandeza macroscópica B(®x , t
)tiver uma análoga microscópica
b( ®q , ®p; ®x , t ), então B(®x , t ) será amédia de b( ®q ,
®p; ®x , t ) [ALDROVANDI, 2006],
B(®x , t
)=
〈b
(®x , t
)〉=
∫d3qd3p
(2�~)3b
( ®q , ®p; ®x , t ) f (t , ®q , ®p ) . (2.97)Essa expressão dá o
valor macroscópico observável de toda função dinâmica
microscópica.A toda funçãomicroscópica b
( ®q , ®p; ®x , t ) há uma correspondemacroscópica B (®x , t )
dada pelaEq. (2.97). Por outro lado, o inversa não verdade, pois
existem funções macroscópicas quesão coletivas por natureza
(entropia, temperatura, etc), ou seja, são características globais
dosistema, logo, essas não tem análogas microscópicas [ALDROVANDI,
2006].
Portanto, a função f (t , ®q , ®p) é um elemento de ligação
entre o microscópicoe o macroscópico. Ela contêm a dinâmica
microscópica que caracteriza o ensemble[ALDROVANDI, 2006]. Assim
sendo, a partir dessa função, podemos obter
quantidadesmacroscópicas como a densidade numérica de partículas
n
(t , ®x
), densidade de energia
�(t , ®x
)e pressão P
(t , ®x
). Por exemplo, se o vetor ®q representa as 3 coordenadas
cartesianas
da partícula, a densidade microscópica no ponto ®x será �3( ®q −
®x ) , logo, a densidade
macroscópica é
n(t , ®x
)=
∫d3qd3p
(2�~)3�3
( ®q − ®x ) f (t , ®q , ®p ) = ∫ d3p(2�~)3
f(t , ®x , ®p
). (2.98)
G. Pordeus da Silva 2.8. Função de distribuição
-
Capítulo 2. Universo homogêneo, isotrópico e dinâmico 41
Ao levarmos em conta a degenerescência de possíveis graus de
liberdade interno da partículags (por exemplo, spin, isospin, etc),
a densidade numérica de partículas torna-se:
n(t , ®x
)= gs
∫d3p
(2�~)3f
(t , ®x , ®p
). (2.99)
Já a densidade de energia, é obtida a partir da seguinte
integração:
�(t , ®x
)= gs
∫d3p
(2�~)3E (p)f
(t , ®x , ®p
), (2.100)
onde, E (p) ≡√
p2 +m2 é a energia de uma partícula de massa m e commódulo de
momentopróprio (ou físico) p. A pressão por sua vez, é dada pela
integração
P(t , ®x
)= gs
∫d3p
(2�~)3p2
3E (p) f (t , ®x , ®p) . (2.101)
Note que para os fótons, onde E (p) = p, obtemos combinando as
Eqs. (2.100) e (2.101) oresultado conhecido para a EoS de um
componente UR, isto é P = �/3 .
2.8.1 Tensor energia-momento via função de distribuição
EmRG,umaexpressão geral parao tensor energia-momento emtermosda
funçãode distribuição, é dada por [DODELSON, 2003; PIATTELLA,
2018]:
T µ � = gs
∫dP1dP2dP3
(2�~)31√
−det[g��
] P µP�P 0 f (t , ®x , ®p) , (2.102)onde det
[g��
]é o determinante da métrica e P � o quadrimomento comóvel,
definido como
P � ≡ dx �/d�, onde � é um parâmetro afim. Para uma partícula de
massa m, temos � = �/m,onde � é o tempo próprio. O momento comóvel
P i pode ser expresso como P i = C p̂ i , ondeC é uma constante e
p̂ i = p̂i é o vetor direção unitário do momento comóvel e próprio,
quesatisfaz �i j p̂ j p̂ i = 1.
Por outro lado, sendo amagnitude domomento próprio definido
por
p ≡√
gi j P i P j , (2.103)
da equação de dispersão
P2 = gµ�P µP � = g00P 0P 0 + gi j P i P j = −E 2 + p2 = −m2 ,
(2.104)
G. Pordeus da Silva 2.8. Função de distribuição
-
Capítulo 2. Universo homogêneo, isotrópico e dinâmico 42
a energia é− E 2 = g00P 0P 0 ⇒ E =
√−g00P 0 = P 0. (2.105)
Considerando, por simplicidade, a métrica FLRW com k = 0, da
Eqs. (2.103) obtemos
p ≡√
a2�i jC p̂ iC p̂ i = aC ⇒
p i ≡ pp̂ i = aC p̂ i = aP i ⇒
P i =p
ap̂ i =
p i
aou Pj = g j µP � = a2�j i P i = ap�j i p̂ i = app̂ j = ap j .
(2.106)
Dito isso, podemos reescrever a Eq. (2.102) em termos domomento
próprio p, emvez do quadrimomento comóvel P �. Assim, considerando
essas relações e nossamétrica comk = 0, temos que
dP1dP2dP3 = a3dp1dp2dp3 = a
3d3p , (2.107)√−det
[g��
]= a3 e P
µP�P 0
=P µP�
E, (2.108)
logo, podemos reescrever oT µ � como
T µ � = gs
∫d3p
(2�~)3P µP�
Ef (t , ®x , ®p) , (2.109)
demodo que,
• para � = µ = 0:
T 00 = −gs∫
d3p
(2�~)3E f (t , ®x , ®p) = −�
(t , ®x
), (2.110)
• para µ = 0 e � = i :
T 0i = a gs
∫d3p
(2�~)3pp̂i f (t , ®x , ®p) , (2.111)
• para µ = j e � = i :
T j i = gs
∫d3p
(2�~)3p2
Ep̂ j p̂i f (t , ®x , ®p) . (2.112)
A pressão é obtida ao tomamos o traço espacial e dividimos por 3
a última equação, ouseja,
P(t , ®x
)=�i jT j i
3 = gs∫
d3p
(2�~)3p2
3E f (t , ®x , ®p) . (2.113)
Em um universo homogêneo e isotrópico, a função de distribuição
f de seuscomponentes não pode depender das coordenadas espaciais ®x
e tampouco da direção domomento p̂ i . No entanto, pode depender do
módulo p, ou equivalentemente, da energia
G. Pordeus da Silva 2.8. Função de distribuição
-
Capítulo 2. Universo homogêneo, isotrópico e dinâmico 43
E . A razão disso, é que para esse tipo de espaço-tempo, o T 00
e �i jT j i/3 não dependem dascoordenadas espaciais e nem
angulares, como discutimos na Subseção 2.6.2. No caso emque f = f
(t , p), é possível mostrar a partir da Eq. (2.111) e (2.112) que T
0i = T i 0 = T i j = 0para todo i , j , conduzindo a um tensor
energia-momento típico de fluido perfeito. A seguir,apresentaremos
funções de distribuição que no equilíbrio (∂f /∂t = 0) são
consistentes comum universo homogêneo e isotrópico.
2.8.2 Função de distribuição de equilíbrio
Um sistema de partículas está em equilíbrio térmico quando as
partículastrocarem energia e momento com eficiência. Isso leva a um
estado de máxima entropia, emque as funções de distribuição são
dadas pelas distribuições de Fermi-Dirac e Bose-Einstein14
[BAUMANN, 2018]
feq (p) =1
eE−µ
T + 1(férminos) e feq (p) =
1e
E−µT − 1
(bósons). (2.114)
onde T é a temperatura e µ o potencial químico. Em altas
energias (E − µ � T ), quandoo número provável de partículas por
estado é muito menor que um, ambas as funções dedistribuição se
aproximam da distribuição clássica deMaxwell-Boltzmann
feq (p) '1
eE−µ
T
(Maxwell-Boltzmann), (2.115)
isso é alcançado quando têm-se baixa concentração de partículas
e/ou altas temperaturas.
2.9 Equação de Boltzmann
A equação de Boltzmann é uma equação cinética que rege a
dinâmica da funçãode distribuição no espaço de fase, em sua forma
diferencial, ela é dada por
df (t , ®x , ®p)dt
= C [f (t , ®x , ®p)] . (2.116)
O lado direito C [f (t , ®x , ®p)] contém todos os termos de
colisões possíveis, que em geral, sãofunções complicadas das
funções de distribuição dos vários componentes [DODELSON,2003]. Na
ausência de colisões, essa equação torna-se:
df (t , ®x , ®p)dt
= 0 . (2.117)
14Como cada espécie de partícula possui seus valores de m, µ, T
, bem como sua própria função de distribuição,cada uma delas terá
sua própria n, � e P .
G. Pordeus da Silva 2.9. Equação de Boltzmann
-
Capítulo 2. Universo homogêneo, isotrópico e dinâmico 44
Isso implica que o número de partículas em um elemento de volume
do espaço de fase nãomuda com o tempo, comomostra, por exemplo, a
Eq. (2.134).
2.9.1 Oscilador harmônico não-relativístico
Nesta subseção, apresentamos um exemplo simplificado da equação
deBoltzmann, extraído da Ref. [DODELSON, 2003, 4.1]: o oscilador
harmônico não-relativísticounidimensional. Como indica o autor,
mesmo com uma á