-
Prof. dr. ing. Toma L. Dragomir, TEORIA SISTEMELOR II -
2014/2015 154
.3.4. Puncte i domenii de echilibru ale sistemelor Punctele i
domeniile de echilibru ale sistemelor corespund situaiei n care
starea sistemului x(t) nu se mai modific n timp. n acest context
spunem c sistemul se gsete ntr-o stare de echilibru sau ntr-un
punct de echilibru, procesele de acumulare asociate variabilelor de
stare fiind n regim permanent constant. Instrumentul de determinare
a acestor puncte este cunoscut: calculul sistemelor n regim
permanent constant (.3.2). n cele ce urmeaz se arat cum se determin
punctele de echilibru i cum se discut existena lor.
Fie sistemele
t)u(t),g(x(t),y(t)),[t t, x)x(t,t)u(t),f(x(t),(t)x 000
(3.66)
i
t)u[t],g(x[t],y[t]t t, t, x]x[t,t)u[t],f(x[t],1]x[t 000 .
(3.67)
O stare xe = const. reprezint un punct de echilibru al unuia
dintre aceste sisteme n condiiile aplicrii unui semnal de intrare
u() dat 1) dac sistemul are proprietatea c odat ce atinge starea xe
el rmne n continuare n aceast stare.
Dac notm cu te momentul cnd sistemul atinge punctul de echilibru
xe, atunci pentru STC avem ),t[t,0)t(x e iar pentru STD avem
Nt,tt,x]t[x]1t[x ee . n consecin, punctul de echilibru xe se
determin ca soluie a uneia din ecuaiile:
),[t t,0t)u(t),,f(x ee (pentru STC) (3.68) Nt,tt ,xt)u[t],,f(x
eee (pentru STD). (3.69)
Dup caz, sistemele (3.68) i (3.69) pot fi compatibile sau
incompatibile. n primul caz ele pot avea o soluie (un singur punct
de echilibru), mai multe soluii, dar n numr finit (mai multe puncte
de echilibru) sau un numr infinit de soluii. Odat determinate
punctele de echilibru xe, ieirea sistemului se obine cu
relaiile:
),[t t, t)u(t),,g(xy(t) ee (pentru STC) , (3.70)
Nt,t t, t)u[t],,g(xy[t] ee (pentru STD) . (3.71)
n cazul sistemelor liniare invariante n timp ecuaiile (3.70) i
(3.71) iau formele
0u(t)BxA e (pentru STC), (3.72)
0 u[t]BxI)(A e (pentru STD). (3.73)
Pentru aceste ecuaii existena unei soluii depinde de matricele A
i B. n particular, dac A, respectiv A-I sunt nesingulare, punctul
de echilibru se obine cu formulele:
u(t)BAx 1e pentru STC) , (3.72')
u[t]BI)(Ax 1e (pentru STD) , (3.73')
dac este ndeplinit condiia xe = const.. O condiie suficient este
de a avea u(t) = const. sau u[t] = const. 1) Notaia u() are
semnificaia u(t) pentru sistemele n timp continuu i u[t] pentru
sistemele n timp discret.
-
Prof. dr. ing. Toma L. Dragomir, TEORIA SISTEMELOR II -
2014/2015 155
Dac matricele A, respectiv A-I din (3.72) i (3.73) sunt
singulare formulele (3.97') i (3.98') nu sunt utilizabile, iar
soluionarea sistemelor depinde de fiecare caz n parte. n
particular, dac 0uB , sistemele (3.72) i (3.73) sunt nedeterminate
avnd o infinitate de soluii. n locul unui punct de echilibru vom
avea un domeniu de echilibru.
Exemplul 1: S se demonstreze c pentru sistemele liniare aflate n
regim liber punctul x = 0 este un punct de echilibru.
Soluie: n regim liber avem u = 0, astfel c ecuaiile (3.72) i
(3.73) devin Axe = 0, respectiv (A-I)xe = 0. n ambele cazuri xe = 0
este o soluie a ecuaiilor rezultate. Dac, n plus, matricele A i A-I
sunt nesingulare, atunci xe = 0 este unicul punct de echilibru al
sistemelor. n astfel de cazuri, dac punctul de echilibru este
atractor, n regim liber sistemele vor ajunge n punctul de echilibru
oricare ar fi starea lor iniial, iar dac este repulsor,
traiectoriile de stare se vor ndeprta de el.
Exemplul 2: S se analizeze existena punctelor de echilibru
pentru: i) sistemul de poziionare elementar
v(t)d(t)
d(t)
P(t)Jv(t)
d(t)(t)v(t)d
I
01
10
0010
(3.74)
ii) sistemul de poziionare masresort din Fig. 130 avnd
MM-ISI
r
0 1 0d(t)d(t) F (t)k 1 0 v(t)v(t)
mmd(t)
d(t) = 1 0 v(t)
(3.75)
Soluie: i) Pentru sistemul (3.74) matricea A =
0010
este
singular. Formula (3.72') nu poate fi folosit. Existena
punctelor de echilibru se studiaz pe baza ecuaiei (3.72) care
devine
. 0 P(t)0 v
P(t)Jv
d
e
Ie
e
00
10
0010 (*)
Dac P(t) = 0, sistemul (*) este nedeterminat i admite o
infinitate de soluii: R
,
0ee
vd .
Din punct de vedere practic rezultatul are urmtoarea
interpretare: sistemul se poate gsi n echilibru numai dac aciunea
pondero motoare P i viteza ve sunt nule. Anularea lui P trebuie s
se produc n momentul cnd v(t) trece prin valoarea 0. n astfel de
cazuri sistemul rmne n poziia de = n care s-a gsit n momentul cnd
cele dou mrimi au devenit simultan nule. Din punct de vedere
teoretic aceasta nseamn c sistemul (3.99) are un domeniu de
echilibru DE ca n Fig. 131:
Dac P(t) 0, atunci sistemul (*) este incompatibil, iar sistemul
de poziionare nu are nici un punct de echilibru.
ii) Punctele de echilibru ale sistemului (3.75) se obin din
ecuaia
ve
d DE
Fig. 131. Domeniul de echilibru al sistemului (3.74) coincide
cu
axa d.
Fig. 130. Sistem mas-resort
-
Prof. dr. ing. Toma L. Dragomir, TEORIA SISTEMELOR II -
2014/2015 156
(t)F
mk
r
00
10
0
10
mvd
e
e
F(t)k1 d
0 v
re
e. (**)
Rezult c n cazul F(t) = F0 = const. sistemul are un singur punct
de echilibru. Altfel, sistemul nu are puncte de echilibru.
Rezultatul poate fi intuit cu uurin plecnd de la Fig. 131: dac fora
F este constant atunci, n limitele elasticitii resortului, sistemul
ajunge ntr-o stare de echilibru n care fora dezvoltat de resort
echilibreaz fora exterioar.
Exemplu 3: S se analizeze existena punctelor de echilibru pentru
sistemul
s[t 1] 1 0 s[t] 1 1 c[t] , t N
v[t 1] 0 1 v[t] p 0 a[t]
.
Soluie: Sistemul dat este un STD pentru care egalitatea (3.73)
ia forma
e
e
s 0 0 1 -1 c[t]
0 0 v -p 0 a[t]
. Constatm c sistemul se poate gsi n echilibru numai
dac c[t] = a[t] = 0. n acest caz se i ve pot lua orice valori,
domeniul de echilibru extinzndu-se peste ntregul domeniu de valori
admisibile ale lui s i v.
.3.5. Liniarizarea dup tangent Metoda liniarizrii dup tangent,
denumit i metoda liniarizrii la mici perturbaii, este cel mai
utilizat instrument de liniarizare a MM cu neliniariti neeseniale,
adic de obinere a unui MM liniar care s aproximeze n vecintatea
unor puncte de funcionare (n particular a unor puncte de echilibru)
comportarea MM neliniar. MM cu neliniariti neeseniale sunt MM
neliniare ale cror expresii sunt derivabile, membru cu membru, n
vecintatea oricrui punct de funcionare. Metoda se bazeaz pe:
i) dezvoltarea n serie Taylor a funciilor din expresiile MM n
vecintatea unui punct de funcionare,
ii) reinerea din dezvoltare a termenilor de grad 0 i de grad 1 i
neglijarea termenilor de ordin superior (notai n continuare cu
TOS).
Prin liniarizarea dup tangent se obin modele matematice de
aproximare a modelelor neliniare iniiale, denumite modele
matematice liniarizate. Variabilele acestora sunt abateri ale
variabilelor de intrare, stare i ieire ale modelului iniial fa de
coordonatele punctului de funcionare n vecintatea cruia s-a fcut
liniarizarea. Din acest motiv, interpretarea rezultatelor obinute
cu ajutorul unui model liniarizat trebuie s in seam de faptul c
rezultatele se refer doar la abateri, Pentru a obine dimensiuni
absolute, compatibile cu modelul iniial, este necesar ca aceste
abateri s se adauge la valorile coordonatelor punctului de
funcionare n vecintatea cruia s-a fcut liniarizarea.
Extensia vecintii n care este valabil un model liniarizat difer
de la punct de funcionare la punct de funcionare i de la sistem la
sistem. Metoda este folosit cu rezultate foarte bune pentru
proiectarea sistemelor de reglare stabilizatoare (sisteme destinate
meninerii funcionrii sistemului de reglare n vecintatea unui punct
de funcionare).
Obiectul acestei seciuni l reprezint doar prezentarea metodei i
exemplificarea folosirii ei.
-
Prof. dr. ing. Toma L. Dragomir, TEORIA SISTEMELOR II -
2014/2015 157
Pentru prezentarea suportului matematic pe care se bazeaz metoda
liniarizrii dup tangnt se consider situaia din Fig. 130. Gf este
graficul unei funcii continue f(x) iar
))x(f,x( ee un punct pe Gf. Tangenta Tf la grafic n acest punct
are ecuaia
x
ee'
y
e )xx()x(f)x(fy
(3.76)
Se observ c ea poate fi folosit pentru a aproxima dependena n
vecintatea punctului ))x(f,x( ee y = f(x). Cu ct variaiile lui x n
vecintatea lui xe sunt mai mici. cu att aproximarea este mai bun.
Deci, notnd yyy e i
xxx e , putem scrie relaia de aproximare:
x)x(fy e . (3.77)
Vom observa c (3.77) este un model liniar n raport cu variabile
x i y , reprezentnd abaterile lui x i y fa de valorile
coordonatelor punctului ))x(f,x( ee .
De la relaia de baz )x(fy , neliniar, se poate ajunge la modelul
(3.77) i prin dezvoltare n serie Taylor. Astfel, considernd un
punct de funcionare de coordonate x = xe + x i y = ye + y,
egalitatea )x(fy poate fi rescris sub forma )xx(fyy ee . Dezvoltnd
membrul drept n serie Taylor n vecintatea lui xe, rezult
ey y e ef(x ) f '(x ) x TOS .
n ipoteza c
2k0(x)fk!x)(
x1lim (k)
k
exx
, , (3.78)
termenii de ordin superior, TOS, se pot neglija. ntruct e ey f(x
) , rezult x)x('fy e , deci tocmai relaia (3.77).
n cazul general ne desprindem de interpretarea geometric dat
anterior i reinem algoritmul de liniarizare, denumit liniarizare
dup tangent, sub urmtoarea form:
Se consider dat un sistem dinamic neliniar cu neliniariti
neeseniale 2) i un punct de funcionare al acestuia. Sistemul
liniarizat care aproximeaz comportarea sistemului neliniar n
vecintatea punctului se obine prin trei operaii:
1) Se particularizeaz ecuaiile sistemului pentru punctul de
funcionare . Fie (G) ecuaiile care rezult prin particularizare.
2) Se dezvolt n serie Taylor fiecare egalitate a sistemului
neliniar, membru cu membru, n vecintatea punctului de funcionare
.
2) Sistemul conine una sau mai multe egaliti ale cror membri
sunt expresii derivabile n raport cu toate mrimile caracteristice
(mrimi de intrare, de stare i de ieire), derivatele satisfcnd n
punctul condiii de forma (3.68).
eyyy
exxx
x
y
O x ex
y
ey
T f
G f
Fig. 132. Referitore la interpretarea geometric a derivatie unei
funcii
-
Prof. dr. ing. Toma L. Dragomir, TEORIA SISTEMELOR II -
2014/2015 158
3) Din egalitile rezultate prin dezvoltare se elimin termenii de
ordin superior iar apoi, pe baza egalitilor (G), se reduc termenii
egali.
Egalitile rezultate n final reprezint sistemul liniarizat. Not:
Dac MM are i ecuaii liniare, ele nu trebuie supuse operaiilor
anterioare ntruct ele i pstreaz forma i n sistemul liniarizat.
Formal, n aceste ecuaii se nlocuiesc u, x i y cu x, u i y.
Cazurile practice de aplicare a algoritmului de liniarizare se
ncadreaz n urmtoarea situaie cu caracter general:
Fie
f(v) = g(w). (3.79)
una dintre ecuaiile neliniare care intr n componena unui sistem
care trebuie liniari-zat. Am notat cu v = [v1, v2, ... , vp]T i w =
[w1, w2, ... , wq]T vectorii alctuii cu mrimile caracteristice care
apar n membrul stng, f(v), respectiv n membrul drept, g(w), al
ecuaiei.
Atunci, parcurgnd succesiv cele trei etape menionate rezult:
1) f(ve) = g(we) (G)
unde ve i we corespund punctului de funcionare ,
2) f(ve)+ f (ve)(v-ve)+TOSf = g(we)+ g (we)(w-we)+TOSg ,
(3.80)
3) f (ve)(v-ve) = g (we)(w-we)
sau
w)w(gv)v(f e'
e' . (3.81)
n relaiile de mai sus f(ve) i g(we)reprezint derivatele de
ordinul I ale funciilor f(v) i g(w) n raport cu v i w, calculate n
punctul de funcionare, iar v i w diferenele
..........w)t(ww)t(w
w)t(ww,..........
v)t(vv)t(v
v)t(vv ee
ee
e
e 22
11
22
11
.
Dup cum f i v (sau g i w) sunt scalare sau vectoriale, distingem
urmtoarele situaii de calcul:
f este o funcie scalar i v o variabil scalar:
evve dv)v(df)v('f ; (3.82)
f este o funcie scalar i v o variabil vectorial:
e
e
vvp1
T
vve vf...
vf
dv)v(df)v('f
; (3.83)
f este o funcie vectorial cu s componente i v o variabil
scalar:
-
Prof. dr. ing. Toma L. Dragomir, TEORIA SISTEMELOR II -
2014/2015 159
e
s
1
vve
vvdvdf
dvdf
dv)v(df)v('f
e
; (3.84)
f este o funcie vectorial cu s componente i v o variabil
vectorial cu p componente:
)v(J
vvvf
vf
vf
vf
vf
vf
vf
vf
vf
dv)v(df)v('f ef
ep
s
2
s
1
s
p
2
2
2
1
2
p
1
2
1
1
1
vve e
, (3.85)
unde Jf(ve) este matricea Jacobi a funciei f n raport cu v,
calculat n punctul de funcionare ve 3).
n particular, dac Tuxv , atunci matricea Jacobi se poate scrie i
sub forma celular:
])v(J)v(J[)v('f eu,fex,fe . (3.86)
n continuare se prezint patru exemple. Exemplele 1 i 2 au un
caracter general. Exemplele 3 i 4 se refer la aplicaii
particulare.
Exemplul 1: Se consider un sistem de forma 0)y,y,u(f cu u, y i f
scalare, f derivabil n raport cu toate argumentele. n ipoteza c
sistemul are ca punct de func-ionare punctul de regim permanent
constant e e e(u , y , y ) t(u, y, y) (u ,y ,0) , s se stabileasc
sistemul liniarizat n vecintatea punctului de funcionare considerat
folosind metoda de liniarizare dup tangent.
Soluie: Sistemul dat are forma (3.79) cu T]y,y,u[v i cu g(w) =
0. Sistemul liniarizat se obine prin particularizarea relaiilor
(3.72) i (3.73).
Rezult f (ve)(v-ve) = 0, adic 0
0
y)(vfy)(vfu)(vf
1a
e'ye
'y
0b
e'u
a
, sau
ubyaya 001 . (3.87)
Relaia (3.87) este rezultatul cutat. n egalitile de mai sus s-a
notat:
yyyy ,yyy ,uuu eee .
Exemplul 2: Fie sistemul neliniar
))t(u),t(x(g)t(y))t(u),t(x(f)t(x
, (3.88)
3) Trebuie fcut distincie ntre matricea Jf(v) numit matrice
Jacobi a funciei f(v) sau matrice jacobian a funciei f(v) i
determinantul Jf(v)din cazul cnd Jf(v) este ptratic i care se
numete jacobianul funciei f(v).
-
Prof. dr. ing. Toma L. Dragomir, TEORIA SISTEMELOR II -
2014/2015 160
cu f i g derivabile n raport cu x i u. Prin ipotez se consider c
sistemul are un punct de funcionare de regim permanent constant
(ue,xe,ye). Deci 0xe . S se determine cu ajutorul metodei de
liniarizare dup tangent MM-ISI liniarizat n vecintatea punctului de
funcionare considerat.
Soluie: Notm cu u = u - ue, x = x - xe i y = y - ye, variaiile
lui u, x i y n raport cu coordonatele lui . Fiecare ecuaie este de
forma (3.69) soluia obinndu-se cu relaiile (3.81) i (3.85). Astfel,
rezult
ugxgy
ufxfx
Dug,J
'u
Cxg,J
'x
Buf,J
'u
Axf,J
'x
, respectiv
uDxCyuBxAx
. (3.89)
Exemplul 3: Pendulul din Fig. 133 se rotete n articulaia
superioar sub aciunea propriei greuti i a momentului exterior M. La
captul braului de de inerie neglijabil i lungime l este fixat o mas
punctiform de valoare m. Se consider c sistemul are orientarea M ,
unde reprezint unghiul format de bra cu verticala, luat n sens
trigonometric. n aceste condiii micarea pendulului este descris de
sistemul:
2m l (t) m g l sin (t) M(t) , (3.90)
n care g este acceleraia gravitaional.
Se cere:
i) S se liniarizeze sistemul (3.90), folosind metoda liniarizrii
dup tangent, n vecintatea unui punct de echilibru4;
ii) S se asocieze sistemului (3.90) o realizare sistemic i s se
liniarizeze rezultatul, folosind metoda liniarizrii dup tangent, n
vecintatea punctului de echilibru 3) de la i).
Soluie: i) MM (5.80) se rescrie sub forma
)t(Mlm
1)t(sinlg)t( 2
, (a)
astfel c punctul de echilibru se obine din egalitatea
)t(Mlm
1sinlg0 2e
. (b)
Din (b) rezult c echilibrul este posibil numai dac .constM)t(M e
i glmMe .
Aplicnd modelului (a) formula (3.82) deducem
2 em l (t) m g l [cos ] (t) M(t) , (c)
n care ee M)t(M)t(M ,)t()t( , cu e determinat prin rezolvarea
ecuaiei (b).
ii) Sistemului (a) i asociem MM-ISI neliniar
4) n cazul de fa prin punct de echilibru se nelege un punct de
funcionare n care toate derivatele temporale ale mrimii de ieire,
respectiv ale mrimilor de stare sunt nule.
Fig. 133. Pendul gravitaional cu
moment exterior de acionare
l
-
Prof. dr. ing. Toma L. Dragomir, TEORIA SISTEMELOR II -
2014/2015 161
(t)x)t(
)t(Mlm
1)t(xsinlg)t(x
)t(x)t(x
1
212
21
5) (d)
Pentru funcia vectorial
M
lm1xsin
lg
x)M,x,x(f
21
2
21 ,
asociat modelului (d), matricea Jacobi calculat n punctul de
echilibru este
2e
eeflm
10coslg
010)M,0,(J .
Aadar, sistemul liniarizat n vecintatea punctului de echilibru
are forma
(t)x)t(
)t(Mlm
10
)t(x)t(x
0coslg
10
)t(x)t(x
1
22
1
e2
1
(e)
Este uor de verificat c prin eliminarea cantitilor x1(t) =
x1(t)-e i x2(t) =x2(t) 0, din (e) se obine (c).
Exemplul 4: Fie sistemul u.uyyyy 502 2 , n care u i y sunt
funcii de timp. Fie un punct de funcionare de regim permanent
constant corespunztor situaiei n care u i y iau valorile u0 i y0. S
se determine, pe baza metodei de liniarizare dup tangent, sistemul
liniarizat n vecintatea punctului de funcionare.
Soluie: Sistemul este neliniar datorit termenilor de gradul II:
yy i 2u . n punctul de
funcionare este valabil egalitatea 0200 u5.0uy (*).
ncadrm sistemul dat n forma canonic (3.69):
uw,yyy
v,u5.0uyyy2y)w(g)u(g
2
)v(f)y,y,y(f
.
Potrivit notaiilor fcute, pentru membrul stng punctul de
funcionare n vecintatea
cruia facem dezvoltarea este
00
0
0
0
y00
yyy
v
, iar pentru membrul drept ][u00 w .
Dezvoltarea n serie Taylor (v. (3.81)) conduce la:
g0uu
020
f0yy
00y
00y
0
TOS)uu(ug
!11u5.0u
TOS)yy(yf
!11)yy(
yf
!11)yy(
yf
!11y
0
0
5) Pentru punctul de echilibru se regsete egalitatea (b).
-
Prof. dr. ing. Toma L. Dragomir, TEORIA SISTEMELOR II -
2014/2015 162
Dup reducerea unor termeni pe baza egalitii (*) i omiterea TOS
se obine:
)uu()5.0u2()yy(1)0y(y21)0y(11 0000 ,
respectiv rezultatul cutat
u)5.0u2(yyy2y 00 .
Abordarea din aceast seciune s-a referit la STC. Ea este
valabil, n spirit, i pentru STD.
Liniarizarea dup tangent este o metoda ce poate fi generalizat
prin ceea ce numim liniarizare n vecintatea unei traiectorii.
Generalizarea se aplic n situaiile n care n mod curent evoluia
unui sistem S se desfoar, cu aproximaie, n vecintatea unei
traiectorii nominale care reprezint, la fel ca i traiectoria real,
o soluie a sistemului S pentru un semnal de intrare dat. n acest
caz variabilele modelului liniarizat sunt abateri fa de traiectoria
nominal, iar pentru a reconstitui traiectoria real este necesar
nsumarea, moment cu moment, a abaterilor ca funcie de timp, cu
coordonatele punctelor de pe traiectorie, de asemenea funcii de
timp.
Considerm simultan sistemele
x(t) f(x(t),u(t)) x[t 1] f(x[t],u[t]) i
y(t) g(x(t),u(t)) y[t] g(x[t],u[t]) (3.91.a)
care, n scriere cu variabil unificat, devin
)u,x(gy)u,x(f'x
(3.91.b)
Presupunem c sistemul (3.91.a) admite, corespunztor unui semnal
de intrare nominal u = u*, traiectoria nominal x* (sau y*), ceea ce
nseamn c:
)u,x(gy)u,x(f'x. (3.92)
Totodat, admitem c din diverse cauze intrarea real a sistemului
difer de cea nominal, adic
u u*.
Ca urmare, traiectoriile reale ale sistemului (3.91.b) vor
diferi de cea nominal, iar y y*. Notnd
yyyxxxuuu ,, ,
egalitatea (3.91.b) devine
)u*u,x*x(gy*y)u*u,x*x(f'x*'x . (3.93)
Dezvoltnd cele dou egaliti n serie Taylor, membru cu membru,
neglijnd termenii de ordin superior i reducnd termenii legai prin
relaiile (3.92), rezult sistemul liniarizat cutat
-
Prof. dr. ing. Toma L. Dragomir, TEORIA SISTEMELOR II -
2014/2015 163
u*)u*,x(Jx*)u*,x(Jyu*)u*,x(Jx*)u*,x(J'x
u,gx,g
u,fx,f . (3.94)
Ji,j(,) reprezint matricea Jacobi a funciei i n raport cu
variabila j. Analiznd acest rezultat vom observa, pe de-o parte, c
el reprezint un sistem variant n timp, iar pe de alt parte, faptul
c dac traiectoria nominal se reduce la un punct de echilibru,
atunci n el se regsesc rezultatele din seciunea anterioar.
-
164 Prof. dr. ing. Toma L. Dragomir, TEORIA SISTEMELOR I -
2014/2015
.3.6. Stabilitatea sistemelor 1. Conceptul de stabilitate 1)
1.1. Abordare general Stabilitatea este proprietatea unui sistem de
a ajunge i de a se menine ntr-un regim de funcionare impus prin
semnalele de intrare. Stabilitatea reprezint una dintre proprietile
fundamentale ale unui sistem.
Datorit ineriei sistemului un regim impus nu se poate instala
sau reinstala instan-taneu ci doar temporizat, printr-un proces
tranzitoriu. n acest context:
Problema ajungerii sistemului ntr-un regim de funcionare impus
se pune n ipoteza c sistemul se gsete pn la un moment dat t0 ntr-un
regim de funcionare iniial iar de la momentul t0 i se impune un nou
regim de funcionare prin modificarea formei de variaie n timp a
mrimii de intrare. Dac sistemul este capabil s ajung n noul regim
de funcionare impus atunci el este considerat stabil.
Problema meninerii sistemului ntr-un regim de funcionare impus
apare n ideea c asupra sistemului aflat ntr-un regim de funcionare
impus acioneaz, ncepnd cu un moment dat, perturbaii, pe un interval
de timp limitat superior de momentul t0. ncepnd cu momentul t0
perturbaiile nu mai acioneaz. Regimul de funcionare impus se
consider stabil dac dup momentul t0 sistemul revine n acel
regim.
Sub forma prezentat conceptul de stabilitate este pur calitativ,
iar stabilitatea este asociat unui regim de funcionare. Un sistem
poate avea att regimuri de funcio-nare stabile ct i regimuri de
funcionare instabile. De aceea este firesc s vorbim de stabilitatea
regimului de funcionare i s spunem c un sistem este stabil numai n
msura n care toate regimurile sale de funcionare sunt stabile.
n continuare ne referim la sisteme n timp continuu, finit
dimensionale, neliniare i variante n timp. n cap.1 s-a artat c un
regim de funcionare al unui astfel de sistem este descris prin
ansamblul variaiei mrimilor sale caracteristice pe un interval de
timp finit sau infinit. Pentru regimul de funcionare impus, a crui
stabilitate ne intereseaz, notm cu )t(x* i )t(y* semnalele
corespunztoare
mrimilor de stare i de ieire i cu )t(u* semnalul de intrare
corespunztor. Totodat, notm cu x(t) i y(t) semnalele care descriu
variaiile mrimilor de stare i de ieire n regimul tranzitoriu ce
urmeaz momentului t0, cnd s-a impus noul regim de funcionare sau
cnd a ncetat aciunea perturbaiilor. Acesta este regimul real de
funcionare, denumit i regim perturbat. Dac regimul de funcionare
impus este stabil, atunci valorile curente x(t) i y(t) din regimul
real de funcionare vor parcurge un proces tranzitoriu i vor ajunge
odat cu trecerea timpului s ia valorile impuse )t(x* i )t(y* , sau
cel puin n vecintatea lor.
Pentru a se manifesta, proprietatea de stabilitate trebuie
provocat prin semnalul )t(u* sau prin aciunea perturbaiilor. Odat
provocat, ea poate fi urmrit prin
intermediul diferenelor
)t(x)t(x)t(x * i )t(y)t(y)t(y * . (3.95)
1) n contextul acestei prime pri a leciei de curs recomandm
cititorului lucrarea: Rsvan, V., Four Lectures on Stability,
(Lectures 1), CEAI, Vol. 7, No. 4, pp. 49-54, 2006, accesibil pe
site-ul revistei CEAI: http://www.ceai.srait.ro/index.php/ceai.
-
165 Prof. dr. ing. Toma L. Dragomir, TEORIA SISTEMELOR II -
2014/2015
n acest stadiu al discuiei conceptul de stabilitate poate fi
reformulat astfel:
Un regim de funcionare impus este stabil dac ncepnd cu momentul
t0 diferenele )t(x)t(x)t(x * i / sau )t(y)t(y)t(y * pot fi pstrate
ntre
anumite limite. Dac, n plus 0
)t(xlimt
i / sau 0
)t(ylimt
spunem c
regimul de funcionare este asimptotic stabil 2).
n cazul n care proprietatea este valabil pentru orice regim
impus spunem c sistemul este stabil, respectiv asimptotic
stabil.
Stabilitatea unui sistem privit din punctul de vedere al
variabilelor de stare este numit stabilitate intern. n cazul
urmririi stabiliti prin intermediul diferenei
)t(y)t(y)t(y * vorbim despre stabilitate extern 3).
innd seam de legtura dintre variabilele de stare i cele de ieire
se demon-streaz c stabilitatea intern asimptotic a unui sistem
implic stabilitatea extern a acelui sistem , adic faptul c diferena
)t(y)t(y)t(y * poate fi pstrat, ncepnd
cu un anumit moment '0t , la valori limitate.
1.2. Stabilitatea n sens Liapunov 4)
Conceptul de stabilitate n sens Liapunov se refer la
stabilitatea intern a unui sis-tem i se bazeaz pe investigarea
acesteia cu ajutorul traiectoriilor de stare. Traiec-toriile de
stare reprezint curbe parcurse de vectorul de stare x(t), n spaial
strilor.
Fig. 134 exemplific noiunea de traiectorie de stare pentru trei
sisteme, unul de ordinul I, unul de ordinul II i unul de ordinul
III. n cele trei cazuri avem,
respectiv,
(t)x(t)x(t)x
x(t),(t)x(t)x
x(t)(t)],[xx(t)
3
2
1
2
11 , iar spaiul strilor este o ax, un plan,
respectiv un spaiul cartezian.
2) n relaiile care urmeaz notaia pv are semnificaia unei norme
de tip p n sensul urmtoarei
definiii: Norma de tip p (p =1, 2, ) a vectorului v real sau
complex, n dimensional, este prin
definiie n
1i i1vv ,
n1i
2i2 vv sau ii
vmaxv
., n care iv este modulul compo-
nentei scalare vi 3) Pentru conceptele de stabilitate intern i
stabilitate extern recomandm consultarea urmtoa-rei lucrri de
referin: Ionescu, V., Teoria sistemelor, EDP, Bucureti, 1985. 4)
http://en.wikipedia.org/wiki/Aleksandr_Lyapunov
Fig. 134. Exemple de traiectorii de stare pentru sisteme de
ordinul I, II i III.
-
166 Prof. dr. ing. Toma L. Dragomir, TEORIA SISTEMELOR I -
2014/2015
O formulare riguroas a conceptului de stabilitate intern,
cantitativ, este cea cunoscut n literatur sub denumirea de definiia
stabilitii n sens Liapunov:
Un regim de funcionare )t(x* impus este stabil dac pentru orice
0 ( R )
i orice Rt0 exist R )t,( 0 astfel nct: dac )t,(xx)t(x 00*00
atunci
pentru 0tt avem )t(x)t(x)t(x * . Dac exist cel puin o stare
iniial
0x pentru care implicaia )t,(xx)t(x 00*00 )t(x)t(x)t(x *
pentru 0tt nu este valabil, atunci regimul impus este considerat
instabil.
Dac )t,( 0 este o cantitate care nu depinde de momentul iniial
t0, (notm acest lucru scriind )( ), spunem c regimul impus este
invariant stabil n timp sau c regimul impus este uniform
stabil.
Dac, n plus, pentru orice 0 ( R ) exist un )(0 astfel nct dac
)()t(x 00 atunci i 0)t(xlim
t
spunem c regimul impus este asimptotic
stabil.
n Fig. 135 sunt prezentate, n completarea expunerii anterioare,
dou ilustrri grafice referitoare la conceptul de stabilitate intern
pentru un sistem de ordinul II. Reprezentrile sunt fcute n planul
strilor, la fel ca i n Fig. 134, dar fr a mai reprezenta axele de
coordonate. Curbele 1 reprezint traiectorii de stare )x(x *1
*2
impuse (regimurile de funcionare impuse). Curbele 2 sunt
traiectorii de stare x2(x1) ale regimului real de funcionare.
Momentul t0 este momentul de la care ncepnd urmrim modul n care
traiectoriile x2(x1) tind spre traiectoriile )x(x *1
*2 .5).
n cazul din Fig. 135a regimul )t(x* este stabil ntruct
traiectoria 2 converge nspre tra-iectoria 1. n cazul din Fig. 135b
traiectoria 2 se deprteaz de traiectoria 1. Deci regimul
)t(x* este instabil. Totodat, figura sugereaz i modul n care
trebuie interpretat )t(x .
-0.2
-0.1
0
0.1
0.2
0
x*(to)x(to)
x(t)
x*(t)
x(t)
x*(to)-x(to)
x*(t)-x(t)
1
2
2
1x*(to)
x(t)
x(to)
x(t)
x*(t)-x(t)
x*(to)-x(to)
-a- -b-
Fig. 135. Referitoare la stabilitatea intern comportarea la
modificarea semnalului de intrare.
n acest context, cu referire la spaiul strilor X Rn introducem
urmtoarele notaii:
rS - mulimea punctelor caracterizate prin x 2 < r (=
interiorul unei sfere (hipersfere) de raz r),
rS~ - mulimea punctelor pentru care x 2 = r, (= suprafaa unei
sfere (hipersfere) cu raz r),
5) n accepiunea celor prezentate n seciunea 1 a acestui paragraf
momentul t0 poate avea dou interpretri: i) momentul la care
sistemului i se impune s evolueze pe traiectoria 1, ii) momentul la
care nceteaz perturbaiile care au fcut ca traiectoria real 2 s se
abat de la traiectoria impus 1.
-
167 Prof. dr. ing. Toma L. Dragomir, TEORIA SISTEMELOR II -
2014/2015
rrr S~SS - mulimea punctelor pentru care x 2 r, (= interiorul
unei
sfere (hipersfere) cu raz r).
Pe baz celor de mai sus stabilitatea i instabilitatea n sens
Liapunov pot fi reformulate astfel:
Definiia 1: Starea de repaus x = 0 este stabil dac , astfel nct
dac
Sx0 , atunci S)t(x pentru 0tt . Dac exist cel puin un pentru
care condiia de stabilitate nu este ndeplinit spunem c starea x = 0
este instabil. Observaia 2: Conceptual, legtura dintre sfere i
starea x = 0 este urmtoarea: atunci cnd devine foarte mic, definiia
de mai sus impune sistemului traiectorii perturbate amplasate n
vecintatea strii de repaus x = 0.
Exemplul 1: Pentru un sistem de ordinul II sunt posibile cele
dou evoluii din Fig. 136.
Definiia 2: Starea de repaus x = 0, se numete asimptotic stabil
dac ea e stabil n sens Liapunov i dac exist sfere S cu proprietatea
c 0)( tx cnd t .
Stabilitatea asimptotic garanteaz, n plus fa de stabilitatea n
sens Liapunov, faptul c exist o vecintate a strii de repaus din
care ncepnd evoluia sistemului se face nspre starea de repaus
(traiectoriile perturbate tind spre starea de repaos).
Definiia 3: Spunem c un sistem este marginal stabil sau la
limita stabilitii atunci cnd el este stabil n sens Liapunov dar nu
este asimptotic stabil.
Definiia 4: Spunem c starea de repaos este exponenial stabil dac
ea este asimptotic stabil i, n plus, exist sfere S
~ n care to exk)t(x , cu k, > 0. Exemplul 2: Un sistem al
crui rspuns liber are aspectul din Fig. 137 are starea de repaos
exponenial stabil.
Definiia 5: Spunem c un sistem este stabil n mare sau global
stabil, dac el este asimptotic stabil (exponenial stabil), oricare
ar fi starea iniial ox .
In acest caz, indiferent care ar fi starea iniial, sistemul va
evolua spre starea de echilibru.
Dac sistemul este instabil atunci evoluiile strilor sistemului
se caracterizeaz prin variaii neoscilante sau oscilante cu
amplitudinea tinznd ctre infinit.
Fig. 138 conine reprezentri de principiu care se refer la
stabilitatea regimurilor permanente ale unui sistem autonom de
ordinul II.
Fig. 137. Exemplu de sistem cu starea de repaus exponenial
stabil.
Fig. 136. Exemple de evoluii stabile i instabile la un sistem de
ordinul II.
-
168 Prof. dr. ing. Toma L. Dragomir, TEORIA SISTEMELOR I -
2014/2015
n Fig. 138a sunt ilustrate dou regimuri permanente de funcionare
posibile: un regim redat de traiectoria de stare 1 care corespunde
unui regim permanent periodic (traiectoria
are form nchis), i un regim permanent constant redat de punctul
*ax .
Fig. 138. Referitoare la stabilitatea intern a regimurilor
permanente ale sistemelor de ordinul II.
n figurile 138b i 138c apar, n plus, cteva traiectorii de stare
ale regimurilor perturbate. Ele permit caracterizarea stabilitii
celor dou regimuri permanente:
- n Fig. 138b orice deviaie de la regimul redat de traiectoria 1
se soldeaz cu evoluii care se ndeprteaz de acest regim. Aceasta
nseamn c regimul permanent periodic
este instabil. Traiectoriile din interiorul curbei 1 converg
spre punctul *ax , ceea ce nseamn c regimul permanent constant este
asimptotic stabil n interiorul
traiectoriei de stare 1. Spunem c punctul *ax este un punct
atractor iar domeniul de atracie este interiorul curbei 1.
Traiectoriile de stare din exteriorul curbei 1 se deprteaz tot mai
mult de aceasta, starea sistemului tinznd spre punctul de la
infinit. n exteriorul traiectoriei 1 comportarea sistemului este
instabil.
- n Fig. 138c orice deviaie de la regimul redat de curba 1 se
soldeaz cu traiectorii perturbate care converg spre acest regim.
Aceasta nseamn c regimul periodic este asimptotic stabil. Totodat,
observm c orice traiectorie de stare din interiorul curbei 1 care
rezult prin scoaterea sistemului din regimul permanent constant
reprezentat
de punctul *ax se ndeprteaz de acesta i n final se termin pe
traiectoria 1. Aadar,
regimul permanent constant este instabil. Spunem c *ax este un
punct repulsor.
Observaia 1: Folosind notaiile introduse n seciunea 1.1. regimul
impus este descris prin ecuaiile
0**
*0
****tt.
t)(t),g(x(t)y0x)(txt),(t),u(t),f(x(t)x
, (3.96)
iar regimul real (perturbat) prin ecuaiile
000
*tt,
t)g(x(t),y(t)x)x(tt),(t),uf(x(t),(t)x
. (3.97)
Pentru investigarea stabilitii n sens Liapunov n locul
sistemului (3.97) se poate folosi un nou sistem de variabil de
stare )t(x . Ecuaiile de stare ale noului sistem se obin scznd din
ecuaiile de stare din (3.96), membru cu membru, ecuaiile de stare
din (3.97):
t)(t),xx(t),F(
********
*t)(t),ux(t),(t)f(xt)(t),u(t),f(xt)(t),uf(x(t),t)(t),u(t),f(x(t)x(t)x(t)x
.
n consecin, stabilitatea intern poate fi investigat considernd
sistemul
00*00
* tt,xx)x(tt),(t),x(t),F((t)x x (3.98)
mpreun cu sistemul (3.96) care furnizeaz pe (t)x* . Pentru
sistemul (3.98) regimul
impus este 0tt,0)t(x iar funcia )t(x* apare ca semnal de
intrare. Astfel, problema
-
169 Prof. dr. ing. Toma L. Dragomir, TEORIA SISTEMELOR II -
2014/2015
stabilitii regimului impus este redus la cerina ca sistemul
(3.98) s fie stabil oricare ar fi
(t)x* .6)
Potrivit definiiei stabilitii n sens Liapunov un regim de
funcionare (t)x* asimptotic stabil are o vecintate definit prin
valoarea lui 0 n care este atras evoluia real x(t) a sistemului.
Spunem c regimul impus are caracter atractor. n limbajul sistemului
(3.98) vecintatea atractoare devine o vecintate a punctului 0(t)x*
(punct atractor). n
particular regimul impus poate fi un regim permanent constant,
*a* xconst.(t)x , cu *ax
soluie a sistemului (3.96).
n spiritul observaiei de mai sus, stabilitatea i instabilitatea
n sens Liapunov se re-fer la regimul impus x(t) = 0 al sistemului
(3.88). Pentru simplitate x din (3.98) se noteaz cu x, asfel c
regimul x(t) = 0 devine starea de repaus, x = 0. Aadar, formal, vom
opera cu sisteme de forma
00*00
* tt,xx)x(tt),(t),x(t),F((t)x x , (3.98')
care admit regimul x(t) = 0.
n cazul sistemelor liniare, problema stabiliti interne se poate
trata n mod simplu folosind criteriile de stabilitate din seciunea
2.
1.3. Conceptul de BIBO-Stabilitate
Stabilitatea intern, mai ales sub forma stabilitii n sens
Liapunov, este un concept deosebit de important din punct de vedere
teoretic. El furnizeaz mijloace sistematice de investigare a
stabilitii care au condus la numeroase criterii de stabilitate.
Din punct de vedere experimental stabilitatea intern este ns un
concept cu care, de cele mai multe ori, nu se poate opera. Pe de-o
parte, nu toate variabilele de stare corespund unor mrimi
msurabile, pe de alt parte, numrul regimurilor de funcionare care
ar trebui generate poate fi infinit. Mai mult, producerea unor
situaii experimentale cu variaii ale lui x(t) acoperitoare din
punct de vedere teoretic nu este de regul posibil.
ntruct mrimile de ieire ale unui sistem sunt msurabile,
stabilitatea extern, spre deosebire de stabilitatea intern, se
preteaz la verificare experimental. Din aceast perspectiv, admind c
utilizm un semnal de intrare care poate acoperi un numr mare de
regimuri de funcionare i c regimul asociat semnalului de intrare
este extern stabil, intuim c i regimurile acoperite, mai puin
solicitante, vor fi stabile. Printr-un astfel de raionament ne
apropiem de ideea investigrii experimentale a stabilitii
sistemului.
Observaia 2: Fie (t))u,0x,t(t,t)(t),g(x(t)y**
0* i u(t)),0x,t(t,t)g(x(t),y(t) 0
semnalele de ieire ale sistemelor (3.96) i (3.97). Atunci, din
(3.85) rezult c (t))u,0x,t(t,(t))u,0x,t(t,y(t)
*0
**0 . (3.99)
Aceast relaie ne permite s intuim c pentru condiii de
experimentare reale variaiile mrginite ale mrimii de intrare de
forma:
t],[tt,u(t)u 0max* , (3.100)
pot avea ca efect variaii mrginite y(t) ale mrimii de ieire pe
intervalul ]t,t[ 0 .
Aprofundarea acestei abordri a stabilitii externe a condus la
conceptul de BIBO-stabilitate (Bounded Input Bounded Output
Stability) potrivit cruia:
6) Traiectoria de stare x(t) a sistemului (3.88) corespunztoare
lui x*(t) = 0 se numete traiectorie neperturbat (sau de baz).
Restul traiectoriilor, corespunztoare diferitelor semnale x*(t) 0,
se numesc traiectorii perturbate.
-
170 Prof. dr. ing. Toma L. Dragomir, TEORIA SISTEMELOR I -
2014/2015
Un sistem se consider stabil extern dac pentru orice variaie
mrginit a semnalului de intrare el rspunde cu o variaie mrginit a
semnalului de ieire.
Conceptul de BIBO-stabilitate se utilizeaz practic astfel:
Se aplic sistemului un semnal de intrare (t)u* mrginit n
amplitudine i limitat n durat, adoptat astfel nct s solicite
sistemul ct mai puternic din punctul de vedere al funciei pe care o
ndeplinete i se nregistreaz rspunsul sistemului la aceast
solicitare. Dac rspunsul este mrginit, atunci se consider c
regimurile de funcionare cauzate de funcii de intrare u(t) mai puin
solicitante dect (t)u* vor fi, de asemenea, stabile..
Figurile 139 exemplific conceptul de BIBO stabilitate.
Fig. 139. Referitoare la stabilitatea extern a sistemelor.
Fig. 139a: Pentru un sistem de tip SISO sunt ilustrate un semnal
de intrare (sus) i
rspunsul sistemului la acest semnal (jos). Se observ c max*
u(t)u i c exist un ymax
astfel nct maxy)t(y . n ipoteza c acest tip de comportare este
general valabil, vom considera sistemul BIBO-stabil.
Fig. 139b: La intrarea unui sistem cu dou intrri i dou ieiri se
aplic dou semnale de
intrare (t)u*1 i (t)u*2 (stnga) mrginite n amplitudine (
1max
*1 u(t)u i 2max
*2 u(t)u ) i
se nregistreaz rspunsul sistemului, redat de semnalele (t)y1 i
(t)y2 (dreapta). Se
observ c rspunsul nu verific n ansamblu condiiile 1max*1 y(t)y i
2max
*2 y(t)y . A
doua condiie fiind nclcat nseamn c sistemul nu este BIBO stabil.
Aceasta nu exclude existena unor semnale de intrare fa de care
proprietatea de BIBO stabilitate s fie ndeplinit.
n cele prezentate pn aici n aceast seciune, ne-am referit doar
la sisteme n timp continuu. Conceptele sunt valabile i pentru
sistemele n timp discret. Pentru aceste sisteme urmrirea proceselor
care au loc se realizeaz numai prin intermediul valorilor mrimilor
caracteristice de la momentele de discretizare. Traiectoriile sunt
constituite din puncte discrete i nu din curbe continue.
Conceptele expuse pot fi folosite pentru a obine diferite metode
i criterii de investigare a stabilitii.
-
171 Prof. dr. ing. Toma L. Dragomir, TEORIA SISTEMELOR II -
2014/2015
2. Stabilitatea intern a sistemelor liniare. Criteriul
rdcinilor
2.1. Sisteme n timp continuu
Fie sistemul liniar n timp continuu i invariant n timp:
)t(Du)t(Cx)t(yx)t(x , )t(Bu)t(Ax)t(x 00 (3.101)
n condiiile observaiei 1 din seciunea 1.2, stabilitatea lui se
poate studia pe baza sistemului (3.98) care ia forma:
0000 tt,xx)t(x),t(xA)t(x* . (3.102)
n (3.102) )t(x)t(x)t(x * reprezint abaterea strii impuse fa de
starea curent. n ipoteza c polinomul caracteristic al matricei A
(de tipul n x n),
)AsIdet()s( , (3.103)
are numai rdcini simple si, i = 1;n, soluia ecuaiei (3.102) este
de forma (3.26), adic:
n
1i
tsii0
At ie)x(tex(t) , (3.104)
n care i reprezint vectorul propriu asociat valorii proprii si,
iar i sunt constante scalare care se obin impunnd soluiei (3.104)
condiia )t(x 0 .
Exemplul 17: S se determine traiectoria de stare 0tt,)t(x a
sistemului
0
A
ttx(t),1012
(t)x
pentru condiiile iniiale
0x
02
01
*0x
0 xx
12
)x(t
.
Soluie: Este uor de observat c valorile proprii ale sistemului
sunt s1 = -2 i s2 = 1. n consecin (3.104) ia forma
t2
2t1
t2s22
t1s11
2
1i
tisii e3
1e
01
eeex(t)
.
Impunnd condiiile iniiale date rezult
tttt ex
xe
xxee)t(x
02
02202012
21
13
1
03
37
31
01
. (*)
Analiznd expresia (3.104) prin prisma cerinei ca
)t(x,)t(xlim
t00
se constat
c8): i) Dac toate valorile proprii ale matricei A au partea real
strict negativ, adic
n;i,}sRe{ i 10 , atunci )t(x,)t(xlimt
00
, deci sistemul este asimptotic
stabil.
Aceast constatare reprezint o condiie suficient de stabilitate
asimptotic a siste-mului (3.101). Pe o cale similar se ajunge la
concluzia c afirmaia este valabil i n cazul valorilor proprii
multiple.
7) Acest exerciiu este de acelai tip cu cel din .3.2., seciunea
4. 8) Concluzia iv) se bazeaz pe generalizarea formulei (3.104)
pentru cazul rdcinilor multiple.
-
172 Prof. dr. ing. Toma L. Dragomir, TEORIA SISTEMELOR I -
2014/2015
ii) Dac cel puin una dintre valorile proprii ale matricei A are
partea real strict pozitiv, adic 0}sRe{ i , condiia
)t(x,)t(xlim
t00
nu mai poate fi ndepli-
nit, deci sistemul este instabil. Exemplul anterior ilustreaz
clar acest lucru ntruct din formula (*) rezult
00
13
1
03
37
02
0220201 tt
tte
x
xe
xxlim)t(xlim .
Ce se ntmpl n cazul n care polinomul caracteristic are valori
proprii imaginare ? Rspunsul se obine folosind relaia (3.104)
(presupunem c matricea A este real):
iii) Dac toate valorile proprii imaginare sunt simple 9), )t(x
are valori mrginite ntruct vor rezulta unul sau mai muli termeni
armonici i, eventual, un termen constant dac una dintre valorile
proprii este nul. Deci sistemul este stabil (marginal stabil).
Observaia 1: n aplicaiile practice nu suntem siguri de valorile
rdcinilor polinomului ca-racteristic. O rdcina pur imaginar
rezultat prin calcul poate fi aproximarea unei rdcini complex
conjugate cu o parte real pozitiv sau negativ foarte mic, iar
sistemul real poate fi, dup caz, instabil sau stabil. Din acest
motiv n practic modelele de aproximare cu rd-cini imaginare simple
se consider instabile i marginal stabile.
iv) Dac valorile proprii pur imaginare sunt multiple n expresia
lui )t(x termenii armonici sau constani, mai sus menionai, apar
nmulii cu polinoame de variabil timp, iar variaiile lui )t(x nu mai
sunt mrginite. (v. rel. (2.41)). n consecin sistemul este
instabil.
Analizarea stabilitii sistemelor liniare pe baza calculrii
valorilor proprii i a analizei amplasrii lor fa de axa imaginar a
planului complex s corespunztor enunurilor i) iv) de mai sus este
cunoscut sub denumirea de criteriul rdcinilor. Rezumnd, criteriu
rdcinilor, reine c:
Sistemul (3.101) este: asimptotic stabil atunci cnd rdcinile
polinomului caracteristic (s) au partea real strict negativ, stabil
atunci cnd unele rdcini au partea real strict negativ iar restul
sunt pur imaginare, dar simple, i instabil n restul cazurilor.
Aplicarea criteriului n cele trei situaii la care se refer
criteriul rdcinilor este exemplificat n Fig. 140. Ea se refer la
trei sisteme de ordinul III. Polii sistemelor au fost simbolizai
prin puncte reprezentate prin . n planul complex al variabilei
operaionale s, notat cu s, sunt delimitate cele trei mulimi care
prezint interes
9) Presupunem c matricea A este real i ca urmare odat cu o
valoare proprie complex, n particular imaginar, apare i conjugata
sa complex.
Fig. 140. Referitoare la criteriul rdcinilor pentru cazul
sistemelor n timp continuu.
-
173 Prof. dr. ing. Toma L. Dragomir, TEORIA SISTEMELOR II -
2014/2015
din punctul de vedere al criteriului rdcinilor: Cs = {sC /
Re{s}0}.
n prima figur cei trei poli sunt amplasai n Cs, deci sistemul
este asimptotic stabil. n a doua figur un pol este n Cs iar ceilali
doi poli sunt imaginari (se gsesc pe C0), complex conjugai. Ca
urmare sistemul este stabil (marginal stabil). n a treia figur
unul dintre poli este n Ci. Deci sistemul este instabil.
Exemplul 2: Se consider trei sisteme liniare de ordinul III,
nsoite de polinoamele lor caracteristice i rdcinile acestora:
(S1):
(t)x(t)x(t)x
0215y(t)
0.21-1
(0)x(0)x(0)x
,u(t)(t)x(t)x(t)x
(t)x(t)x(t)x
3
2
1
3
2
1
3
2
1
3
2
1
100
4910100010
,
2j--1s2j,-1s-2,s
2j),12j)(s12)(s(s109s4ss(s)
3
21
231
(S2):
(t)x(t)x(t)x
0215y(t)
0.21-1
(0)x(0)x(0)x
,u(t)(t)x(t)x(t)x
(t)x(t)x(t)x
3
2
1
3
2
1
3
2
1
3
2
1
100
248100010
,
-2js2j,s-2,s
2j),2j)(s2)(s(s84s2ss(s)
321
232
(S3):
(t)x(t)x(t)x
0215y(t)
0.21-1
(0)x(0)x(0)x
,u(t)(t)x(t)x(t)x
(t)x(t)x(t)x
3
2
1
3
2
1
3
2
1
3
2
1
100
212100010
,
1s -1,s-2,s
1),1)(s2)(s(s2-s-ss(s)
321
233
2
Este uor de observat c rdcinile ocup, cu aproximaie, poziiile
din Fig. 140. Prin ur-mare, sistemul (S1) este asimptotic stabil,
sistemul (S2) este marginal stabil, iar sistemul S3 este instabil.
Comportarea lor este redat n Fig. 141, att n regim liber, pentru
condi-iile iniiale x1(0)=1, x2(0)=-1 i x3(0)=-0.2, ct i n regim
forat, pentru aceleai condiii iniiale i pentru u(t) = (t). n primul
caz valorile semnalele x1(t), x2(t) i x3(t), respectiv y(t) se
stabilizeaz la valorile de regim permanent constant. n al doilea
caz att mrimile de stare ct li ieirea oscileaz n loc s se
stabilizeze. n fine, n al treilea caz variaiile celor patru mrimi
tind s devin nemrginite.
0 1 2 3 4 5 6 7-1
0
1
2
t [sec]
Sistemul S1 in regim liber: u(t)=0, x1(0)=1, x2(0)=-1,
x3(0)=0.2
x2x3
x1
0.1 y
0 1 2 3 4 5 6 7-1
-0.5
0
0.5
1
1.5Sistemul S1 in regim fortat: u(t)=1, t>=0, x1(0)1,
x2(0)=-1, x3(0)=0.2
x2
x1
x3
0.1 y
-
174 Prof. dr. ing. Toma L. Dragomir, TEORIA SISTEMELOR I -
2014/2015
0 1 2 3 4 5 6 7-2
0
2Sistemul S2 in regim liber: u(t)=0, x1(0)=1, x2(0)=-1,
x3(0)=0.2
t [sec]
x3 x1
0.1 yx2
0 1 2 3 4 5 6 7-2
-1
0
1
2Sistemul S2 in regim fortat: u(t)=1, t>=0, x1(0)=1,
x2(0)=-1, x3(0)=0.2
x2
x3 x1
0.1 y
0 1 2 3 4 5 6 7-300
-200
-100
0
100Sistemul S3 in regim liber: u(t)=0, x1(0)=1, x2(0)=-1,
x3(0)=0.2
t [sec]
0.1 y
x3x1 x2
0 1 2 3 4 5 6 7-200
20
40
60
80Sistemul S3 in regim fortat: u(t)=1, t>=0, x1(0)=1,
x2(0)=-1, x3(0)=-0.2
0.1 y x3x2
x1
Fig. 141. Rspunsuri libere i forate ale sistemelor din cadrul
exemplului 2.
-
175 Prof. dr. ing. Toma L. Dragomir, TEORIA SISTEMELOR II -
2014/2015
3.2. Sisteme n timp continuu de ordinul II autonome
Scopul acestei seciuni este de a exemplific comportarea stabil i
instabil a sistemelor i se a aprofunda terminologia folosit n acest
context, pe cazul sistemelor liniare n timp continuu de ordinul II,
folosind traiectoriile de stare.
Se consider sistemului liniar autonom
00
20
10
02
01
2
1
2221
1211
2
1
x)txxAx
xx
txtx
,xx
aaaa
xx
(
)()(
(3.105)
Punctele sale de echilibru se obin ca soluii ale sistemului
algebric
00
00222121
212111
2
1
2221
1211
ee
ee
x
e
e
A
xaxaxaxa
xx
aaaa
x
e
. (3.106)
Numrul i tipul punctelor de echilibru depind de
determinantul
211222112221
1211 aaaaaaaa
Adet . (3.107)
i) Dac det A 0 , sistemul (3.105) are un singur punct de
echilibru, anume punctul 00 21 x,x .
ii) Dac det A = 0, sistemul (3.106) are o infinitate soluii. n
continuare investigm cazul i). Ne intereseaz legtura calitativ
dintre rdcinile polinomului caracteristic i forma pe care o au
traiectoriile de stare n vecintatea acestui punct de echilibru,
legtur referit prin sintagma tipul punctului de echilibru. Fie 21 ,
rdcinile polinomului caracteristic (valorile proprii ale matricei
A):
2211211222112
2221
1211 aaaasaasasa
aasAsIdets
)()()( ,
iar 21, vectorii proprii corespunztori. n cazul n care cele dou
rdcini sunt distincte, traiectoriile de stare se obin cu formula
(3.26) de descompunere modal:
2
1i
tii iex(t) . (3.108)
Constantele 1 i 2 se determin rezolvnd ecuaia ce rezult impunnd
traiectoriei (3.108) s treac la un moment dat printr-un punct dat,
n particular s satisfac condiii iniiale de forma x(t0) = x0. n
acest caz avem:
20
101
220t2
120t1
210t2
110t1
2
1
20
10
22
210t22
12
110t11 x
x
eeee
xx
e
e .
Not: Construcia traiectoriilor de stare (3. 108) poate fi fcut n
diferite moduri. Ne
referim n continuare la cel bazat pe utilizarea componentelor
modale t1i1 e(t)x' i t222 e(t)x" ale lui x(t), care variaz pe
direciile de pante
k1 = 12/11 i k2 = 22/21 (3.109)
-
176 Prof. dr. ing. Toma L. Dragomir, TEORIA SISTEMELOR I -
2014/2015
ale vectorilor proprii 1 i 2.
Valorile pantelor k1 i k2 se pot obin i ca soluii ale
ecuaiei
0a)ka(aka 212211212 (3.110)
sau reciprocei acsteia.1)
Construcia traiectoriilor de stare se realizeaz n principiu n
trei pai:
i) Se detaliaz componentele modale rescriind expresia (3.108)
sub forma
(t)x(t)xx(t) ''' , (3.111)
n care
12t11
11t11
'2
'1'
ee
(t)x(t)x(t)x i
22t22
21t22
''2
''1''
ee
(t)x(t)x(t)x .
ii) Se reprezint vectorii (t)x' i (t)x" pe direciile de pante k1
i k2 (Fig. 142).
iii) Se aplic, punct cu punct, regula paralelogramului de
compunere vectorial a lui (t)x' i (t)x" (Fig. 143).
n Fig. 142 sunt ilustrate dou drepte suport ale vectorilor
proprii 1 i 2 construite n ipoteza c 0/ 1112 1k , respectiv 0/ 2122
2k . Pe cele dou drepte suport apar
vectorii de poziie OP' , respectiv 'OP' , corespunztori
componentelor x i x, precum i
sensurile de deplasare n timp ale punctelor 'P i ''P n ipoteza c
01 i 02 (punctele P si P se ndeprteaz de origine). Dac 1 0.
Traiectoria de stare dintre cele dou momente este redat de curba
trasat cu verde.
1) Ecuaia (3.111) se obine astfel: Fie o valoare proprie a
matricei
2221
1211
aaaa
A i
2
1 vectorul propriu
corespunztor. Aceasta nseamn c are loc egalitatea: A sau
2
1
2
1
2221
1211
aaaa
. Cele dou egaliti
scalare pot fi rescrise sub forma
1
2
1
2
1
2
2221
1211
aa
aa. Notnd
1
2
k i eliminnd din cele dou cele dou
ecuaii pe , se obine imediat ecuaia (3.111).
Fig. 142. Drepte suport asociate expresiei (3.110).
-
177 Prof. dr. ing. Toma L. Dragomir, TEORIA SISTEMELOR II -
2014/2015
Se cunoate c printr-o transformare de stare adecvat sistemul
(3.105) se poate aduce la forma n care matricea A este diagonal.
Considerm numai valori proprii reale i
presupunem c am efectuat o astfel de transformare. n final
rezult:
'
'
22
11a00aA ,
respectiv vectori proprii i componente modale de forma:
0
'11
1 ,
01111
111
tt' ee)t(x i
'
222
0
222
2222
0t
t''e
e)t(x .
Vectorii proprii sunt n acest caz ortogonali i se suprapun peste
axele de coordonate Ox1 i Ox2 (Fig. 144). Punctul P' se deplaseaz
pe direcia de pant k1=0 reprezentat de axa Ox1, iar P'' pe direcia
de pant 1/k2=0 reprezentat de axa Ox2. Combinarea vectorial are ca
interpretare tocmai reprezentarea punctului P n coordonate
carteziene 2).
n ceea ce privete aspectul traiectoriilor de stare n vecintatea
punctului de echilibru distingem n funcie de 21 , mai multe tipuri
de puncte de echilibru, dup cum 21 , sunt numere reale, imaginare
sau complex-conjugate, respectiv, dup cum prile reale sunt pozitive
sau negative. Astfel, reinem urmtoarele cazuri:
21, sunt reale i au acelai semn, caz n care spunem c punctul de
echilibru este de tip nod (Fig. 145 i Fig. 146);
21, sunt reale i au semne diferite, caz n care vorbim despre
punct de echilibru de tip a (Fig. 147);
21, sunt numere complex-conjugate i vorbim despre punct de
echilibru de tip focar (Fig. 148).
21, sunt imaginare, caz n care spunem c punctul de echilibru
este de tip centru (Fig. 149);
Dac n vecintatea nodurilor i focarelor traiectoriile de stare
sunt orientate nspre punctul de echilibru vorbim despre noduri i
focare atractoare, iar dac orientarea
2) n continuare, pe parcursul prezentrii tipurilor de puncte de
echilibru, coordonatele x1 i x2 corespunztoare realizrii diagonale
sunt notate cu x*1 i x*2, notaiile x1 i x2 folosindu-se pentru
realizarile iniiale, nediagonale, ale sistemelor.
Fig. 144. Drepte suport n cazul realizrilor sistemice diagonale
i utilizarea lor.
Fig. 143. Utilizarea dreptelor suport din Fig. 142.
-
178 Prof. dr. ing. Toma L. Dragomir, TEORIA SISTEMELOR I -
2014/2015
este dinspre punctul de echilibru spre exterior, vorbim despre
noduri i focare repulsoare.
n accepiunea conferit stabilitii interne:
punctele de echilibru atractoare sunt local sau global
asimptotic stabile;
punctele de echilbru repulsoare sunt instabile;
punctele de echilibru de tip a sunt instabile;
punctele de echilibru de tip centru sunt puncte de echilibru
marginal stabile.
Atunci cnd de referim la stabilitate i la caracterul de atractor
sau repulsor al unui punct de echilibru vorbim despre natura
punctului de echilibru.
n continuare sunt prezentate mai multe figuri referitoare la
conceptele introduse mai sus.
-6 -4 -2 0 2 4 6-6
-4
-2
0
2
4
6
x1
x2
B'
A'
A
B
0
-3 -2 -1 0 1 2 3-3
-2
-1
0
1
2
3
x*1
x*2
A
A'
B'
B
0
Traiectoriile de stare din vecintatea nodului atractoare sunt
curbe fr inflexiuni care converg spre punctul de echilibru x=0. Ca
urmare sistemul este asimptotic stabil.
Dreptele AA' i BB' reprezint dreptele suport ale vectorilor
proprii. Pentru forma (1) ele nu sunt ortogonale i nici nu se
suprapun peste axele de coordonate. Pentru forma (2) dreptele
suport sunt ortogonale i se suprapun peste axele de coordonate.
Sgeiile suprapuse peste traiectorii indic sensul de deplasare n
timp a
punctului curent
(t)x(t)x
x(t)2
1 n lungul traiectoriilor care pornesc din diferite puncte
iniiale.
-2 0 2-3
-2
-1
0
1
2
3
x1
x2
A'
B
0
A
B' -2-2-2 0 2
-3
-2
-1
0
1
2
3
x*1
x*2
B
A
B'
A'
0
Traiectoriile de stare din vecintatea nodului repulsoare sunt
curbe fr inflexiuni care converg dinspre punctul de echilibru x=0
spre punctul de la infinit. Sistemul este instabil.
La fel ca i n cazul Fig. 146, dreptele AA' i BB' reprezint
dreptele suport ale vectorilor proprii. Pentru forma (3) ele nu
sunt ortogonale i nici nu se suprapun peste axele de coordonate.
Pentru forma (4) dreptele suport sunt ortogonale i se suprapun
peste axele de coordonate. Sgeiile suprapuse peste traiectorii
indic
sensul de deplasare n timp a punctului curent
(t)x(t)x
x(t)2
1 n lungul traiectoriilor care pornesc din diferite
puncte iniiale.
Fig. 145. Punctul de echilibru x = 0 este de tip nod
atractor.
Sunt reprezentate traiectorii de stare ale sistemului
x....
x
84212041 (1)
i ale realizrii diagonale asociate
xx
1002 (2).
Fig. 147. Punctul de echilibru x = 0 este de tip nod
repulsor.
Sunt reprezentate traiectorii de stare ale sistemului
x....
x
84212041 (1)
i ale realizrii diagonale asociate
xx
1002 (2).
Fig. 146. Punctul de echilibru x = 0 este de tip nod
repuslsor.
Sunt reprezentate traiectorii de stare ale sistemului
x....
x
84212041 (3)
i ale realizrii diagonale asociate
xx
1002 (4).
-
179 Prof. dr. ing. Toma L. Dragomir, TEORIA SISTEMELOR II -
2014/2015
-10 -5 0 5 10-10
-5
0
5
10
x1
x2
A'
B'
B
A
0
-2 0 2-3
-2
-1
0
1
2
3
x*1x*
2
A
B'
A'
B
0
Dreptele AA' i BB' reprezint dreptele suport ale vectorilor
proprii. Pentru forma (5) ele nu sunt ortogonale i nici nu se
suprapun peste axele de coordonate. Pentru forma (6) dreptele
suport sunt ortogonale i se supra-pun peste axele de coordonate. Ca
i n cazurile din Fig. 146 i 147, dreptele suport sunt ele nsele
traiectorii de stare. Sgeiile indic sensul de deplasare a punctului
curent n lungul traiectoriilor care pornesc din diferite puncte
iniiale.
Se observ c sensurile de deplasare pe dreptele suport difer. Pe
una dintre dreptele suport traiectoriile de stare converg spre
punctul de echilibru. Pe cealalt, traiectoriile diverg dinspre
punctul de echilibru nspre punctul de la infinit. Traiectoriile de
stare sunt curbe fr inflexiuni care care se apropie asimptotic de
dreptele suport ale vectorilor proprii. Sensul de deplasare pe
fiecare traiectorie coincide cu sensul de deplasare de pe dreapta
suport din vecintate. Odat scos sistemul din punctul de echilibru,
el nu mai revine n acest punct. Ca urmare sistemul este
instabil.
-5 0 5-6
-4
-2
0
2
4
6
x1
x2
0
-20 0 20
-60
-40
-20
0
20
40
60
x1
x2
n acest caz valorile proprii, vectorii proprii idreptele suport
ale vectorilor prorii sunt imaginare. Traiectoriile de stare sunt
de form melcat. Cnd partea real a valorilor proprii este negativ
(sistemul (7))traiectoriile de stare converg nspre punctul de
echilibru. Sistemul este stabil iar punctul x = 0 este un focar
atractor. Cnd partea real a valorilor proprii este pozitiv
(sistemul (8)) traiectoriile de stare se deprteaz de punctul de
echilibru i tind spre punctul de la infinit. Sistemul este
instabil.
-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4
-1
-0.5
0
0.5
1
x1
x2
Fig. 149. Punctul de echilibru x = 0 este de tip centru.
Traiectoriile corespund sistemului j}0.1j,0.1{
,x
.x
01010 (9). Ele au o form eliptic. Punctul
de funcionare curent
(t)x(t)x
2
1 se deplaseaz pe traiectorii n sensul indicat de sgei.
Regimurile de funcionare
sunt periodice, armonice. Formal, ele sunt impuse prin punctul
de funcionare de la momentul iniial
)(tx)(tx
02
01 .
Punctul de echilibru x = o este marginal stabil.
Fig. 147. Punctul de echilibru x = 0 este de tip a.
Sunt reprezentate traiectorii de stare ale sistemului
x....
x
42636020 (5)
i ale realizrii diagonale asociate
xx
1002 (6).
Fig. 148. Punctul de echilibru x = 0 este de tip focar.
n figura din stnga sunt reprezentate traiectorii de stare ale
sistemului
j}2j,2{
,xx
2112 (7),
iar n figura din dreapta traiectorii de stare ale
siste-mului
3j}3j,1{1
,xx
21010 (8).
-
180 Prof. dr. ing. Toma L. Dragomir, TEORIA SISTEMELOR I -
2014/2015
Analiznd imaginile din planul n cazul punctelor de echilibru de
tip nod i a, constatm c de o parte i se alta a dreptelor suport ale
vectorilor proprii se schimb orientarea concavitii traiectelor.
Dreptele suport divizeaz planul n 4 zone cu concaviti orientate n
mod diferit. n acest context, ele au fost numite separatoare.
Continum investigarea comportrii sistemului (3.106) n cazul i)
cu situaia n care polinomul caracteristic (s) are valori proprii
egale. Aceasta nseamn c elementele matricei A sunt legate prin
egalitatea 0a4a)a(a 211222211 , iar ca urmare ecuaia (3.111) are,
de asemenea, o rdcin dubl. Separatoarele se suprapun. Situaia este
redat prin exemplele din Fig. 150.
-2 0 2-3
-2
-1
0
1
2
3
x1
x2
0
A
A'
-2 0 2
-3
-2
-1
0
1
2
3
x1
x2
A
A'
0
Fig. 150. Punctul de echilibru x = 0 este de tip dublu nod
atractor (stnga sus), respectiv dublu nod repulsor
(jos).
n figura din stnga sunt reprezentate traiectorii de stare ale
sistemului
},{ 334112
,xx (9),
iar n figura de jos dreapta traiectorii de stare ale
sistemului
{1,1}
,xx
4192 (10).
n fiecare caz apare o singur separatoare AA'.
n cazul sistemului (9) traiectoriile din fiecare semiplan
delimitat de separatoare au aceeai concavitate. A fel se petrec
lucrurile i n cazul sistemului (10). Deplasarea pe traiectorii se
face la nceput n acelai sens cu sensul celei mai apropiate poriuni
de separatoare.
n cazul ii), cnd det A = 0, ntruct sistemul (3.106) are o
infinitate soluii sistemul (3.105) are o infinitate de puncte de
echilibru. Ele se gsesc pe una din dreptele
112
112 xa
ax sau 122
212 xa
ax , 01 x i 02 x (3.112)
(v. Fig. 151). Traiectoriile pe care se deplaseaz punctul de
funcionare, atunci cnd
pornete dintr-o poziie iniial
20
10
xx
x(0) , sunt, de
asemenea drepte:
2010
11
211
11
212 xxa
a(t)x
aa
(t)x (3.113)
Punctul de echilibru corespunztor traiectoriei (3.113) se gsete
la intersecia acestei traiectorii cu dreapta (3.112). Analiza
stabilitii regimului perma-nent constant corespunztor punctului de
echilibru rmne ca exerciiu pentru cititor.
Fig. 151. Punctele singulare ale sistemului (3.106) n cazul
a11a12
-
181 Prof. dr. ing. Toma L. Dragomir, TEORIA SISTEMELOR II -
2014/2015
3.3. Sisteme n timp discret
n cazul sistemului n timp discret
]t[Du]t[Cx]t[yx]t[x , ]t[Bu]t[Ax]t[x 001 (3.114)
n locul sistemului (3.102) obinem sistemul autonom
00001 tt,Nt,xx]t[x],t[xA]t[x* . (3.115)
El are polinomul caracteristic
)AzIdet()z( . (3.116)
n acest caz este semnificativ amplasarea rdcinilor polinomului
caracteristic n raport cu cercul de raz unitar 1z . Printr-un
raionament similar cu cel din cazul STC rezult criteriul rdcinilor
pentru STD i interpretarea din Fig 152:
Dac toate rdcinile polinomului caracteristic (z) sunt n modul
subunitare, adic n;i,zi 11 , atunci ][][ 00 tx,txlim
t
, deci sistemul este asimptotic
stabil. Dac, cu excepia unor rdcini simple amplasate pe cercul
1z , restul rdcinilor sunt n interiorul cercului unitar, sistemul
este stabil (marginal). n restul situaiilor condiia
]t[x,]t[xlim
t00
nu mai poate fi ndeplinit,
sistemul fiind instabil. i n acest caz figura se refer la
sisteme de ordinul III. n planul complex al variabilei operaionale
z, notat cu z, sunt delimitate mulimile: Cs = {zC / z1}.
n prima figur cei trei poli sunt amplasai n Cs, deci sistemul
este asimptotic stabil. n a doua figur un pol este n Cs iar ceilali
doi poli, complex conjugai, sunt pe C0. n consecin, sistemul este
stabil (marginal stabil). n a treia figur unul dintre poli este n
Ci, astfel c sistemul este instabil.
Polinomul caracteristic al unui sistem liniar pune n eviden toi
polii sistemului indiferent de structura acestuia.
n funcie de structura sistemului este ns posibil ca stabilitatea
unui sistem s fie caracterizat numai de o parte din poli i anume de
cei care apar n polinomul minimal al sistemului.
Fig. 152. Referitoare la criteriul rdcinilor pentru sisteme n
timp discret.
-
182 Prof. dr. ing. Toma L. Dragomir, TEORIA SISTEMELOR I -
2014/2015
Observaie: Polinomul minimal al unui sistem. Fie:
BuAxx ' (3.117)
un sistem liniar de ordin n (xRn), 1 2 p, , , rdcinile distincte
ale polinomului caracteris-
tic ( ) det( I A) , iar m1, m2, ..., mp ordinele lor de
multiplicitate. Fiecrei rdcini i i co-respund
iJ in n rang(A I) , i = 1;p celule Jordan. Ca urmare, dac iJn 1
, valorii proprii i
i corespund mai multe celule Jordan. Dac notm cu ' ' '1 2 pm , m
, ,m dimensiunile maxime ale
celulelor Jordan asociate celor p valori proprii, atunci
polinomul minimal al sistemului (3.108) este
'''p21 mmm
1 2 p( ) ( ) ( ) ( ) (3.118).
Celule Jordan ataate unei valori proprii i sunt matrice de
tipul
i
ii i
ii
1 01
, , 0 1 ,0
0 0
.
Ele apar ca i componente ale matricei A transformate n forma de
realizare standard diagonal.
n numeroase situaii, cum este i cazul valorilor proprii simple,
polinomul minimal coincide cu polinomul caracteristic: )()( . n
cazul valorilor proprii multiple este posibil ca cele dou polinoame
s nu mai coincid.
n acest context, n mod riguros, criteriului rdcinilor trebuie s
opereze cu polinomul minimal i nu ce cel caractersitic, astfel c
pentru criteriul rdcinilor vom reine urmtorul enun:
Pentru STC:
Sistemul (3.101) este: asimptotic stabil atunci cnd rdcinile
polinomului minimal (s) au partea real strict negativ, stabil
(marginal), atunci cnd unele rdcini au partea real strict negativ
iar restul sunt rdcini simple pur imaginare i instabil n restul
cazurilor.
Pentru STD:
Sistemul (3.114) este: asimptotic stabil atunci cnd toate
rdcinile polinomului minimal (z) sunt n modul subunitare, adic
n;i,z i 11 , stabil, dac cu excepia unor rdcini simple amplasate pe
cercul 1z , restul rdcinilor sunt n interiorul cercului unitar i
instabil n restul situaiilor. Exemplu: i) S se analizeze
stabilitatea intern a sistemului n timp continuu S din Fig. 153.
ii) S se analizeze stabilitatea modelului n timp discret Sd obinut
ca r.i.s.t. a sistemului S pentru un pas de discretizare h 0.
Fig. 153. Un STC oscilant (S) i STD (Sd) corespunztor, obinut ca
r.i.s.t..
-
183 Prof. dr. ing. Toma L. Dragomir, TEORIA SISTEMELOR II -
2014/2015
Soluie: i) ntruct f.d.t. 1s1sH(s) 2
a sistemului S este ireductibil, polinomul caracte-
ristic i polinomul minimal coincid. Rdcinile polinomului
caracteristic (s) = s2+1 sunt s1,2 = + j. Ele se situeaz pe axa
imaginar a planului complex s. n consecin, sistemul se gsete la
limita de stabilitate. Figura 154 ilustreaz comportarea sistemului
ntr-un regim liber i un regim forat. 3)
ii) Potrivit formulei (3.9) funciei de transfer H(s) i
corespunde realizarea sistemic
minimal
0 1 0x(t) x(t) u(t)
1 0 1y(t) 1 1 x(t)
. R.i.s.t. asociat acestui model se obine cu
relaiile (2.133). Rezult sistemul
x[t]11y[t]
u[t]sinh
cosh1x[t]
coshsinhsinhcosh
1]x[t (3.119)
cu f.d.t.
2
z cosh z sinh z cosh sinh 1H(z)z 2z cosh 1
.
Pentru valorile lui h pentru care cosh +1 f.d.t. H(z) este
ireductibil, iar polinomul carac-teristic i polinomul minimal
coincid. Rdcinile polinomului caracteristic (z) = z2-2zcosh+1 sunt
s1,2 = cosh + jsinh. Ele se situeaz pe cercul de raz unitar al
planului complex z. n consecin sistemul Sd se gsete la limita de
stabilitate.
Pentru cosh=+1 rezult c 21)(z(z) . Ca urmare sistemul Sd are un
pol dublu pe cercul de raz unitar. Polul fiind dublu, se pune
ntrebarea dac modelul Sd este instabil sau marginal stabil (la
limita de stabilitate). Pentru a da un rspuns corect la problema
stabilitii este necesar s analizm fiecare situaie n parte.
Pentru cosh=1, adic pentru h=2k, Sd are un pol dublu n z=1 iar
funcia de transfer devine H(z)=0. Modelul Sd nu mai realizeaz un
transfer intrare-ieire. Investigarea stabilitii se poate realiza
doar cu ajutorul MM-ISI (3.119) care ia forma
x[t]11y[t]
u[t]0
x[t]101
1]x[t0
0 . Lui i corespunde schema bloc din
Fig. 155. Se observ c avem de a face cu un sistem autonom, cu
stri decuplate, alctuit din dou subsisteme identice. Fiecare
3) n textul figurilor 154, 156 i 157 simbolul # denot operaie de
transpunere.
0 5 10 15
-1
0
1
2
t [s]
Comportarea sistemului S: 1. Conditii initiale x(0)=[1, -0.1]#,
u(t) = 0, t real pozitiv; 2. Conditii initiale x(0)=[1, -0.1]#,
u(t) = sigma(t-1), t real pozitiv
2
1
Fig. 154. Comportarea sistemului S n regim liber i regim
forat.
Fig. 155. Schema bloc a sistemului Sd din Fig. 153, pentru
h=2k, kZ.
-
184 Prof. dr. ing. Toma L. Dragomir, TEORIA SISTEMELOR I -
2014/2015
subsistem reprezint o structur marginal stabil caracterizat prin
faptul c pstreaz starea la valoarea iniial (n Fig. 155: x1[t+1] =
x1[t], x1[0] = x10 respectiv x2[t+1] = x2[t], x2[0] = x20 y[t+1] =
y[t]). n consecin, modelul Sd este un sistem marginal stabil
(sistem aflat la limita de stabilitate).
Rezultatul poate fi pus n eviden i cu ajutorul polinomului
minimal. Astfel:
- Din ecuaia caracteristic 0(z) a sistemului, de ordin n=2,
rezult c sitemul are un singur pol, pe 1=1, cu ordinul de
multiplicitate m1=2.
- Polului i corespunde un numr de celule Jordan:
2021001
11001
rang2I)rang(An1n 1J
,
ambele de dimensiune 1m'1 . Ca urmare, polinomul minimal al
sistemului este
(z)1z1)(z'1)(z(z) 1m1 .
- Fiind de gradul I i avnd rdcina pe cer-cul de raz unitar,
sistemul Sd este margi-nal stabil (la limita de stabilitate).
Comporta-rea sistemului este ilustrat n Fig. 156. Iei-rea
sistemului rmne la valoarea constant corespunztoare condiiilor
iniiale: y[t] = y[0] = x1[0] + x2[0] = 1 + (-0.1) = 0.9.
Pentru cosh=-1, adic pentru h=(2k+1),
Sd are un pol dublu n z=-1, funcia de transfer a sistemului
devine H(z)=1
2z
. Ordinul
sistemului fiind n=2, iar gradul numitorului lui H(z) fiind 1,
intuim c i de data aceasta modelul este neminimal i marginal stabil
(la limita de stabilitate). n adevr, MM-ISI
(3.119) devine
x[t]11y[t]
u[t]0
x[t]1-01-
1]x[t2
0 , rezultnd un sistem care nu mai este
autonom. Sd are polul 1=-1, cu ordinul de multiplicitate m1=2.
Polului i corespunde un numr de celule Jordan:
2021001
(-1)-1-001-
rang2I)rang(An1n 1J
,
ambele de dimensiune 1m'1 . Polinomul minimal al sistemului este
(z)1z(z) . Fiind de gradul I i avnd rdcina pe cercul de raz unitar,
Sd este i n acest caz la limita de stabilitate. O imagine despre
comportarea sistemului o ofer Fig. 157.
n concluzie, pentru orice valoare h>0 a pasului de
discretizare modelul Sd este la limita de stabilitate. Comportarea
lui difer n funcie de valoarea parametrului h.
0 5 10 15 20 25 30 35 40-1
0
1
2
3
Comportarea comparativa a sistemului Sd obtinut ca r.i.s.t.
pentru h = pi (curba 2) si a sistemului S (curba 1) la aplicarea
unui semnalal treapta unitara: incepand cu momentul t=1 s.
Conditii initiale: x[0]=[1, -0,1]#.
t [s]
y
1
2
Fig. 157. Cazul h = (2k+1) secunde.
0 5 10 15 20 25 300
0.5
1
1.5
t [s]
y
Comportarea sistemului Sd (h=2*pi s) pentru conditii initiale
x[0]=[1, -0,1]#.
Fig. 156. Cazul h = 2k secunde
-
185 Prof. dr. ing. Toma L. Dragomir, TEORIA SISTEMELOR II -
2014/2015
4. BIBO stabilitatea sistemelor liniare. Criteriul rspunsului la
impuls. Limitm prezentarea din aceast seciune la cazul sistemelor
de tip SISO.
Considerm pentru nceput STC:
00 0
t,
)t(du)t(xc)t(y
x)(x , )t(bu)t(Ax)t(xT
. (3.120)
Rspunsul acestui sistem la semnalul de intrare 0t),t(*u se obine
cu relaia
(2.17.2). Dac inem seama de funcia rspuns cauzal la impuls T
At
0 , t 0 h(t)
c e b , t 0
definit prin relaia (2.24'), rspunsul (2.17.2) devine:
)t(udd)(u)t(h)(xec)t(y *t
*AtT 0
0 . (3.121)
Investignd aceast formul potrivit conceptului de BIBO -
stabilitate se obine urmtorul rezultat cunoscut sub denumirea
criteriul rspunsului la impuls:
O condiie suficient ca sistemul (3.120) s fie BIBO stabil este
ca
0
d)(h
s ia valori finite, adic funcia rspuns la impuls unitar a
sistemului s fie absolut convergent (Criteriul rspunsului la impuls
pentru STC).
Observaie: (Demonstraia enunului). Potrivit conceptului de BIBO
stabilitate introdus n seciunea 1.3 a acestui paragraf rspunsul
y(t) al sistemului (3.120) la o intrare
0t),t(*u mrginit trebuie s fie mrginit. Semnalul )t(*u fiind
mrginit deducem c i termenul )t(*ud este mrginit. Ca urmare,
trebuie s fie mrginit suma
t
0
*AtT d)(u)t(h)0(xec . ntruct, )0(x i )t(*u sunt cantiti
independente,
rezult c, pe de-o parte rspunsul liber )0(xec AtT trebuie s fie
mrginit, iar pe de
alt parte, c rspunsul forat t
* d)(u)t(h0
trebuie s fie mrginit.
innd seama de restricia (3.100) rezult c
t
0max
t
0
*t
0
*t
0
* d)t(hud)(u)t(hd)(u)t(hd)(u)t(h ,
respectiv inegalitatea t
0max
t
0
* d)(hud)(u)t(h . Proprietatea trebuind s fie
adevrat pentru orice t > 0, iar integrala modulului fiind
monoton cresctoare deducem c
00
d)(hud)(u)t(h max* . (3.122)
-
186 Prof. dr. ing. Toma L. Dragomir, TEORIA SISTEMELOR I -
2014/2015
Aadar, pentru ca termenul t
0
* d)(u)t(h s fie mrginit atunci cnd 0t),t(*u
este mrginit este necesar i suficient ca
0
d)(h s ia valori finite, adic funcia
rspuns la impuls unitar a sistemului (3.120) s fie absolut
convergent.
Din faptul c h(t) = bec AtT H(s) = b)AsI(c 1T , rezult c o
condiie suficient pentru ca h(t) s fie absolut convergent este ca
toate valorile proprii ale matricei A, adic toi polii lui H (s), s
ndeplineasc condiia 0}sRe{ i . n consecin:
O condiie suficient pentru ca sistemul (3.120) s fie BIBO stabil
este ca el s fie asimptotic stabil.
Reciproca nu este adevrat.
Considerm n continuare STD:
]t[du]t[xc]t[y
x][x , ]t[bu]t[Ax]t[xT
001 (3.123)
Prin raionamente similare cu cele din cazul timp continuu rezult
c:
i) O condiie suficient ca sistemul (3.123) s fie BIBO stabil
este ca
0t
h[t] s ia valori finite, adic funcia rspuns la impuls unitar
a
sistemului s fie absolut convergent.(Criteriul rspunsului la
impuls pentru STD).
ii) O condiie suficient pentru ca sistemul (3.123) s fie BIBO
stabil este ca el s fie asimptotic stabil.
Aceasta nseamn verificarea condiiei n;i,z i 11 . n locul
verificrii condiiei
0t]t[h mrginit. Reciproca nu este adevrat.
Exemplul 1: S se analizeze stabilitatea intern i existena
proprietii de BIBO stabilitate pentru sistemul de poziionare
descris de modelul matematic (3.74).
Soluie: Matricea A =
0010
a sistemului (3.74) are valorile proprii 1 = 2 = 0 situate
pe
axa imaginar. Fiind o valoare proprie dubl, sistemul este
instabil i, probabil, nu are proprietatea de BIBO -
stabilitate.
Matricea de tranziie a sistemului fiind Ate10t1
)t(
, funcia rspuns la impuls are
expresia tJ1
J0
10t1
01bec)t(hI
1I
AtT
. Este uor de observat c
0
d)(h .
Ca urmare criteriul rspunsului la impuls nu este aplicabil.
Pentru aprofundare determinm formula de calcul a rspunsului
sistemului aflat n condiii iniiale oarecari, x1(0) i x2(0), la un
semnal de intrare dat, u*(t), t > 0. Cu formula (3.121)
obinem:
-
187 Prof. dr. ing. Toma L. Dragomir, TEORIA SISTEMELOR II -
2014/2015
fortat raspunsul
t
0
*
Iliber raspunsul21
t
0
*
I2
1 d)(u)(tJ1t(0)x(0)xd)(u)(t
J1
(0)x(0)x
10t1
01y(t)
Se observ c att rspunsul liber ct i rspunsul forat au n cazul
general variaii nemrginite.
De exemplu, dac condiiile iniiale sunt nule iar intrarea este
impulsul dreptunghiular
1)(t(t)(t)u* rezult rspunsul dat de formula (3.124), avnd
graficul din Fig. 158.
)(1,t,)21
(tJ1
1][0,t,2t
J1
)(1,t,d)(tJ1
1][0,t,d)(tJ1
d1)](t[(t)(tJ1
y(t)
I
2
I1
0I
t
0It
0I. (3.124)
Exemplul 2: S se analizeze stabilitatea intern i existena
proprietii de BIBO stabili-
tate pentru sistemul
]t[x]t[x
01]t[y
]t[ua0
]t[x]t[x
0010
]1t[x]1t[x
2
1
2
1
2
1
.
Soluie: i n acest caz A =
0010
iar valorile proprii sunt z1 = z2 = 0. Datorit faptului c
valoarea proprie este n interiorul cercului de raz unitar
sistemul este asimptotic stabil i are proprietatea de BIBO -
stabilitate.
Pentru aprofundare, calculm matricea de tranziie i artm c este
aplicabil criteriul rspunsului la impuls.
Astfel, matricea de tranziie a sistemului este:
2t,0000
1t,0010
0t,1001
At . Ca urmare, funcia
rspuns la impuls unitar (2.69) obine expresia
0 0.5 1 1.5 2 2.5 30
0.5
1
1.5
2
2.5
t [sec]
y
Fig. 158. Graficul rspunsului (3.124)
-
188 Prof. dr. ing. Toma L. Dragomir, TEORIA SISTEMELOR I -
2014/2015
2t,a2t0,
2t,a0
0010
01
1t,a0
1001
01
}4,3,{0,t,0
][
th .
n consecin, ah[t]0t
, adic o valoare finit. Potrivit criteriului rspunsului la
impuls
sistemul este BIBO-stabil.
Formula de calcul a rspunsului sistemului aflat n condiii
iniiale oarecari, x1(0)=x10 i x2(0)=x20, la un semnal de intrare
dat, u*[t], t N. Se obine cu formula (2.63.2):
3t3],[tua
2t,01t,x0t,x
Nt,[u1]h[txx
A01
0t,xx
01
y[t]
*
02
01
*1t
0
*
02
01t
02
01
.
Se observ cu uurin c rspunsul liber,
2t,01t,x0t,x
[t]x 0201
, este mrginit i c dac
intrarea este mrginit, atunci i rspunsul forat,
3t3],[tua2}1,{0,t0,
[t]y *f , este mrginit.
-
Prof. dr. ing. Toma L. Dragomir, TEORIA SISTEMELOR II, -
2014/2015 189
5. Criterii de stabilitate pentru sisteme liniare
5.1. Teorema fundamental a stabilitii sistemelor liniare
n .3.6, seciunile 2.1 i 3.3 s-a precizat criteriul rdcinilor
pentru sisteme liniare n timp continuu, respectiv pentru sisteme
liniare n timp discret. Sub denumirea de teorema fundamental a
stabilitii sistemelor liniare nelegem enunul care opereaz potrivit
criteriului rdcinilor i folosind variabila operaional unificat ""
cu polinomul minimal al sistemelor liniare 1). n cadrul teoremei
fundamentale a stabilitii rdcinilor polinomului minimal li se impun
aceleai condiii ca i rdcinilor polinomului caracteristic din cazul
criteriului rdcinilor. Sistemele pentru care dependena dintre
intrri i ieiri se realizeaz prin intervenia tuturor variabilelor de
stare ale sistemului se numesc sisteme minimale 2). Pentru
sistemele minimale polinomul minimal i polinomul caracteristic
coincid.
Etapele de aplicare a teoremei fundamentale a stabilitii
sistemelor liniare sunt urmtoarele:
1. Se determin polinomul minimal )( al sistemului liniar.
2. Se determin spectrul polinomului minimal, adic mulimea
rdcinilor acestui polinom: n,...,, 21 (n gradul polinomului).
3. Se examineaz amplasarea spectrului n raport cu urmtoarele
zone ale planului complex "" :
sC (semiplanul stng al planului complex s sau interiorul
cercului unitar din planul complex z),
oC (axa imaginar a planului complex s sau cercul unitar din
planul complex z),
iC (semiplanul drept al planului complex s sau exteriorul
cercului unitar din planul complex z).
4. Se concluzioneaz asupra stabilitii n sens Liapunov, astfel:
dac spectrul sC , sistemul este asimptotic stabil;
dac iC , i intersectat cu oC are doar elemente simple,
sistemul
este la limita de stabilitate (marginal stabil), dac spectrul
intersectat cu iC este diferit de mulimea vid ( iC ),
i/sau intersectat cu oC are elemente multiple, sistemul este
instabil. Metodele numerice de analiz a stabilitii sistemelor
liniare se bazeaz pe teorema fundamental sau pe interpretri
grafo-analitice derivate din aceasta. Pentru analiza stabilitii n
ingineria reglrii se folosesc numeroase procedee de analiz derivate
din teorema fundamental a stabilitii care ocolesc utilizarea direct
a acesteia, cunoscute sub denumirea de criterii de stabilitate. La
nivelul acestui curs
1) V. i notele explicative din culegerea de probleme Aplicaii 2.
2) Un sistem minimal este att controlabil ct i observabil. Practic,
un sistem de tip SISO este minimal atunci cnd funcia sa de
transfer, dup efectuarea tuturor simplificrilor posibile (ntre
numrtor i numitor) are gradul numitorului egal cu ordinul
sistemului.
-
Prof. dr. ing. Toma L. Dragomir, TEORIA SISTEMELOR II, -
2014/2015 190
vom distinge criterii de stabilitate pentru STC i criterii de
stabilitate pentru STD, iar n fiecare caz criterii de stabilitate
algebrice si criterii de stabilitate frecveniale. Ca principale
criterii de stabilitate algebrice ne vom referi la criteriul lui
Hurwitz (pentru STC) i la criteriul lui Jury (pentru STD). Dintre
criteriile frecveniale vom trata doar criteriul lui Nyquist. 5.2.
Criteriul de stabilitate Hurwitz
Considerm un sistem liniar n timp continuu, minimal, cu
polinomul caracteristic scris n form monic (coeficientul lui ns
este 1):
01
11
1 ...)( asasassn
nn . (3.125)
Cu ajutorul coeficienilor care apar n polinomul (3.125)
construim urmtorul determinant de ordinul n:
0
31
42
531
000
00010
a...
...aa
...aa
...aaa
H nnnn
nnn
n
.
nH se numete determinant Hurwitz.
Not: Construcia determinantului se ncepe cu diagonala principal.
Apoi, calat pe ele-mentele diagonalei principale, se construiesc
coloanele. Pe diagonala principal, indicii elementelor descresc cu
cte o unitate, iar pe coloane ei cresc cu cte o unitate.
Considerm minorii de nord-vest (au colul din stnga sus comun)
extrai din nH :
11 naH , 2
312 1
n
nnaaa
H ,
31
42