Teoria Quântica de Campos em Meios Desordenados · Publica˘c~oesQuantiza˘c~ao estoc asticaMeios desordenadosConclus~oes Teoria Qu^antica de Campos em Meios Desordenados Gast~ao

Publicacoes Quantizacao estocastica Meios desordenados Conclusoes

Teoria Quantica de Campos em MeiosDesordenados

Gastao I. Krein, Gabriel Menezes e Nami F. Svaiter

Instituto de Fısica Teorica - UNESPCentro Brasileiro de Pesquisas Fısicas - RJ

2011

Teoria Quantica de Campos em Meios Desordenados Gastao I. Krein, Gabriel Menezes e Nami F. Svaiter


1 Publicacoes

2 Quantizacao estocastica

3 Meios desordenados

4 Conclusoes



Resultados publicados

“Analog Model for Quantum Gravity Effects: Phonons inRandom Fluids”, G. Krein, G. Menezes e N. F. Svaiter, Phys.Rev. Lett. 105, 131301 (2010).

“Scalar Quantum Field Theory in Disordered Media”, E.Arias, E. Goulart, G. Krein, G. Menezes e N.F. Svaiter,submetido para PRD.



Resultados publicados

“Analog Model for Quantum Gravity Effects: Phonons inRandom Fluids”, G. Krein, G. Menezes e N. F. Svaiter, Phys.Rev. Lett. 105, 131301 (2010).

“Scalar Quantum Field Theory in Disordered Media”, E.Arias, E. Goulart, G. Krein, G. Menezes e N.F. Svaiter,submetido para PRD.



Referencias

“Gravitons and light cone fluctuations”, L. H. Ford, Phys.Rev. D51, 1692 (1995).

“Gravitons and light cone fluctuations. II. Correlationfunctions”, L. H. Ford e N. F. Svaiter, Phys. Rev. D54, 2640(1996)

“Wave propagation in stochastic spacetimes: Localization,amplification, and particle creation”, B. L. Hu and K.Shiokawa, Phys. Rev. D57, 3474 (1998)

“Cosmological and black hole horizon fluctuations”, L. H.Ford e N. F. Svaiter, Phys. Rev. D56, 2226 (1997).

“Quantum light-cone fluctuations in compactifiedspacetimes”, H. Yu, N. F. Svaiter e L. H. Ford, Phys. Rev.D80, 124019 (2009).



Referencias








Referencias








Referencias








Referencias








Quantizacao estocastica markoviana

Formulacao: G. Parisi e Y. S. Wu (1981)

Variedades euclidianas

ϕ(x)→ ϕ(τ, x) ; η(x)→ η(τ, x): os campos estao definidosno seguinte domınio: T d × R +

Limite de equilıbrio τ →∞: obtemos a teoria quantica decampos euclidiana usual.
























Exposicao geral

Equacao de Langevin:

∂

∂τϕ(τ, x) = − δ S

δ ϕ(x)|ϕ(x)=ϕ(τ, x)

+ η(τ, x).

Funcoes de correlacao associadas ao ruıdo:

〈 η(τ, x) 〉η = 0〈 η(τ, x) η(τ ′, x ′) 〉η = 2δ(τ − τ ′)δd(x − x ′)



Exposicao geral

Equacao de Langevin:

∂

∂τϕ(τ, x) = − δ S

δ ϕ(x)|ϕ(x)=ϕ(τ, x)

+ η(τ, x).

Funcoes de correlacao associadas ao ruıdo:

〈 η(τ, x) 〉η = 0〈 η(τ, x) η(τ ′, x ′) 〉η = 2δ(τ − τ ′)δd(x − x ′)



Meios desordenados: por que?

As investigacoes de modelos de teoria de campos em meioscom desordem e uma linha de pesquisa que abre possibilidadesinstigantes que apontam para progressos nos estudos tanto defluidos com flutuacoes como de modelos analogos degravitacao.

Investigar a influencia das flutuacoes aleatorias em modelosanalogos de gravitacao bem como em situacoes particularesdescritas pela Teoria Quantica de Campos como, por exemplo,condensados relativısticos de Bose-Einstein. Por outro lado,sabe-se que o efeito de impurezas e o de proporcionar alocalizacao de ondas classicas e excitacoes elementares,poderıamos tambem investigar o que acontece com o fluxotermico de Hawking dentro deste contexto.



Meios desordenados: por que?

As investigacoes de modelos de teoria de campos em meioscom desordem e uma linha de pesquisa que abre possibilidadesinstigantes que apontam para progressos nos estudos tanto defluidos com flutuacoes como de modelos analogos degravitacao.

Investigar a influencia das flutuacoes aleatorias em modelosanalogos de gravitacao bem como em situacoes particularesdescritas pela Teoria Quantica de Campos como, por exemplo,condensados relativısticos de Bose-Einstein. Por outro lado,sabe-se que o efeito de impurezas e o de proporcionar alocalizacao de ondas classicas e excitacoes elementares,poderıamos tambem investigar o que acontece com o fluxotermico de Hawking dentro deste contexto.



Modelos analogos: ideia geral

Modelos analogos sao considerados interessantes tanto porrazoes experimentais como pelo fato de que podem ser uteispela maneira que iluminam questoes teoricas perplexas.

A essencia de qualquer modelo analogo e a emergencia dealguma “metrica efetiva”que reproduz a nocao deespaco-tempo curvo. Procura-se, entao, por sistemas demateria condensada que poderiam servir como bomlaboratorio para se estudar as previsoes de modelos analogos,como, por exemplo, condensados de Bose-Einstein esuperfluidos.



Modelos analogos: ideia geral

Modelos analogos sao considerados interessantes tanto porrazoes experimentais como pelo fato de que podem ser uteispela maneira que iluminam questoes teoricas perplexas.

A essencia de qualquer modelo analogo e a emergencia dealguma “metrica efetiva”que reproduz a nocao deespaco-tempo curvo. Procura-se, entao, por sistemas demateria condensada que poderiam servir como bomlaboratorio para se estudar as previsoes de modelos analogos,como, por exemplo, condensados de Bose-Einstein esuperfluidos.



Hidrodinamica

Descricao de movimento do fluido: fixa-se cada ponto dofluido e descreve-se como varia com o tempo a velocidade e adensidade nesse ponto (coordenadas eulerianas).

Esta associacao define no fluido um campo vetorial.



Hidrodinamica

Descricao de movimento do fluido: fixa-se cada ponto dofluido e descreve-se como varia com o tempo a velocidade e adensidade nesse ponto (coordenadas eulerianas).

Esta associacao define no fluido um campo vetorial.



Equacoes para um fluido ideal

Equacao da continuidade:

∂ρ

∂t+∇ · (ρv) = 0.

Equacao de Euler:

∂v

∂t+ v · ∇v +

1

ρ∇p =

f

ρ.



Equacoes para um fluido ideal

Equacao da continuidade:

∂ρ

∂t+∇ · (ρv) = 0.

Equacao de Euler:

∂v

∂t+ v · ∇v +

1

ρ∇p =

f

ρ.



Modelo analogo de Unruh (Phys. Rev. Lett., 1981)

O modelo do comportamento de campos quanticos em umcampo gravitacional classico e o movimento de ondas sonorasem um escoamento de fluido convergente.

Por simplicidade, supoe-se um escoamento de fundoesfericamente simetrico, estacionario e convergente.

Linearizando as equacoes do fluido em movimento eresolvendo para ψ(~r , t), ~v = ∇ψ, encontra-se as mesmasequacoes para um campo escalar sem massa em umageometria com metrica:

ds2 =ρ0

c

((c2 − v2

0r )dτ2 − c2dr2

c2 − v20r

− r2(dθ2 + sin2θdφ2)

)onde τ = t +

∫v0rdrc2−v2

0re c e a velocidade do som local,

suposta constante.







ds2 =ρ0

c

((c2 − v2

0r )dτ2 − c2dr2

c2 − v20r


)onde τ = t +

∫v0rdrc2−v2


suposta constante.







ds2 =ρ0

c

((c2 − v2

0r )dτ2 − c2dr2

c2 − v20r


)onde τ = t +

∫v0rdrc2−v2


suposta constante.



Modelos analogos em condensados de Bose-Einstein

Em se tratando de condensados de Bose-Einstein, a partir daequacao de Gross-Pitaevskii, que descreve a dinamica doparametro de ordem do condensado, e a linearizando parapequenas perturbacoes, encontra-se uma equacao para aperturbacao linear do potencial de velocidade semelhante auma equacao para um campo escalar sem massa em umageometria com metrica:

ds2 =ρ0

c

(−(c2 − v2

0 )dτ2 +c2dx2

c2 − v20

+ dy2 + dz2

)onde τ = t +

∫v0dxc2−v2

0e consideramos ~v0 = (v0, 0, 0).



Fluidos com desordem

G. Krein, G. Menezes e N. F. Svaiter (Phys Rev. Lett, 2010):modelo analogo de efeitos de gravitacao quantica utilizandofluidos com desordem.

Fluidos sao laboratorios uteis para se construir modelosanalogos para efeitos em Teoria de Campos; de mesmo modo,fluidos com desordem dotados de propriedades particularespodem simular efeitos de gravitacao quantica.

Considerou-se que a velocidade de propagacao de ondasacusticas em um fluido em repouso flutuava aleatoriamente e,em consequencia, o cone sonico tambem.















Exposicao geral do modelo

Para um fluido ideal, assumindo equilıbrio termodinamico, asequacoes de onda acustica sao obtidas linearizando-se asequacoes da dinamica dos fluidos para pequenas perturbacoesem torno do fluido. Para um fluido em repouso obtemos umaequacao de onda para a pertubacao linear da pressao,ψ(t,~r) ≡ δp(t,~r)(

1

u2

∂2

∂t2−∇2

)ψ(t,~r) = 0.

onde u = (∂p/∂ρ0)1/2 e a velocidade do som. Esta flutuaaleatoriamente:

1

u2(z)=

1

u20

(1 + ν(z)

),

sendo u0 a velocidade do som em um meio homogeneo e ν(z)e uma distribuicao.



A equacao de ondas obtida e similar aquela que poderia serencontrada ao se considerar um espaco-tempo curvo onde ametrica possui uma parte determinista e uma contribuicaoestocastica. Pode-se encontrar uma equacao bastantesemelhante nos estudos de excitacoes elementares em meioselasticos desordenados.

Demonstrou-se que as flutuacoes aleatorias induzem interacaoefetiva entre as excitacoes acusticas outrora livres. Isto ficouevidenciado ao se calcular a funcao de Green causal da teoria.



A equacao de ondas obtida e similar aquela que poderia serencontrada ao se considerar um espaco-tempo curvo onde ametrica possui uma parte determinista e uma contribuicaoestocastica. Pode-se encontrar uma equacao bastantesemelhante nos estudos de excitacoes elementares em meioselasticos desordenados.

Demonstrou-se que as flutuacoes aleatorias induzem interacaoefetiva entre as excitacoes acusticas outrora livres. Isto ficouevidenciado ao se calcular a funcao de Green causal da teoria.



Campo escalar massivo em um meio desordenado

E. Arias, E. Goulart, G. Krein, G. Menezes e N. F. Svaiter(2011): Generalizou-se as consideracoes anteriores para a umcampo escalar generico, tomando-se nao so a velocidade depropagacao da onda como uma distribuicao como tambem amassa do campo escalar em tese.

Equacao de onda proposta:[(1 + µ)

1

u20

∂2

∂ t2−∇2 + (1 + ξ)m2

0

]ϕ(t,~r) = 0. (1)

onde µ = µ(~r) e ξ = ξ(~r) sao distribuicoes gaussianas.

O principal resultado obtido deste modelo foi que a teoria decampos escalar desordenada apresenta uma auto-interacaoefetiva do tipo λϕ4 dependente da frequencia.






1

u20

∂2

∂ t2−∇2 + (1 + ξ)m2

0

]ϕ(t,~r) = 0. (1)








1

u20

∂2

∂ t2−∇2 + (1 + ξ)m2

0

]ϕ(t,~r) = 0. (1)





Conclusoes e perspectivas

Meios com desordem geram interacoes efetivas entre camposlivres.

A teoria de campos em meios com desordem, dentro docontexto de modelos analogos, pode ajudar a obter umamelhor compreensao sobre relatividade geral, teoria de camposem espacos curvos e gravitacao quantica como tambemdesenvolver uma janela observacional para fenomenos queenvolvam espaco-tempo curvo.



Conclusoes e perspectivas

Meios com desordem geram interacoes efetivas entre camposlivres.

A teoria de campos em meios com desordem, dentro docontexto de modelos analogos, pode ajudar a obter umamelhor compreensao sobre relatividade geral, teoria de camposem espacos curvos e gravitacao quantica como tambemdesenvolver uma janela observacional para fenomenos queenvolvam espaco-tempo curvo.


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