Teoria Evolutionista a Jocurilor cu Aplicatii in Modele de Concurenta Oligopolistica Marius Ochea (THEMA, UniversitØ de Cergy-Pontoise) Timisoara, 27 Aprilie 2016 Marius Ochea, THEMA, UCP () Teoria Evolutionista a Jocurilor Timisoara, 27 Aprilie 2016 1 / 43
43
Embed
Teoria Evolutionista a Jocurilor cu Aplicatii in Modele de Concurenta ...
This document is posted to help you gain knowledge. Please leave a comment to let me know what you think about it! Share it to your friends and learn new things together.
Transcript
Teoria Evolutionista a Jocurilor cu Aplicatii in Modele deConcurenta Oligopolistica
Marius Ochea (THEMA, Université de Cergy-Pontoise)
Timisoara, 27 Aprilie 2016
Marius Ochea, THEMA, UCP () Teoria Evolutionista a Jocurilor Timisoara, 27 Aprilie 2016 1 / 43
Teoria clasica (rationala) a jocurilor
modelare matematica a procesului de luare a deciziilor de catrejucatori rationali intr-un mediu interactiv (strategic)
rationalitate: anticipatii ’rationale’asupra comportamentuladversarului+reactie optimala la aceste anticipatii
1 anticipatii rationale: anticipatii care se dovedesc corecte in echilibru2 reactie optimala: alegerea strategiei (ilor) care maximizeaza functia decastig (utilitate/profit) pornind de la anticipatii formate rational
echilibrul Nash: un profil de strategii in care fiecare jucator alege un"cel mai bun raspuns" (best-reply) tinand cont de anticiparea corectaa strategiei oponentului
Marius Ochea, THEMA, UCP () Teoria Evolutionista a Jocurilor Timisoara, 27 Aprilie 2016 2 / 43
3 echilibre Nash (in strategii pure): (T,T), (M,M), (B,B)
Marius Ochea, THEMA, UCP () Teoria Evolutionista a Jocurilor Timisoara, 27 Aprilie 2016 3 / 43
Anticipatii rationale
fiecare jucator are aceleasi informatii despre joc (strategii, functii decastig, etc) cu cele cunoscute/obtinute prin deductie logica de unteoretician al jocului
in particular, fiecare jucator actioneaza strategic:cunoasterea/anticiparea comportamentului adversarului esteincorporata explicit in analiza jocului si luarea deciziei
implicatie: cunoasterea comuna a rationalitatii adversarului (commonknowledge of rationality)
fiecare jucator stie ca fiecare jucator stie ca....ad infinitum... ca fiecarejucator este rational
Marius Ochea, THEMA, UCP () Teoria Evolutionista a Jocurilor Timisoara, 27 Aprilie 2016 4 / 43
Rationalitate limitata
constrangeri cognitive, informationale, de calcul in analiza uneiinteractiuni strategice
relaxarea presupozitiei legate de anticipatiile rationale
Cum ajung jucatorii sa anticipeze corect comportamentul adversarului?
anticipatii/heuristici adaptative1 anticipatii naive/miopice: strategia aleasa de adversar intr-un jocanterior ca estimator ptr actiunea curenta
2 joc ’fictiv’(fictitious play): distributia istorica a strategiilor adversaruluica predictor ptr strategia curenta
3 joc imitativ: copierea unei strategii care a avut succes in trecut/intr-ointeractiune similara
Marius Ochea, THEMA, UCP () Teoria Evolutionista a Jocurilor Timisoara, 27 Aprilie 2016 5 / 43
Rationalitate limitata
utilizarea iterativa a acestor heuristici genereaza procese evolutive incare comportamentul jucatorilor se modifica permanent
dinamica evolutiva a jocului (evolutionary game dynamics)
intrebari standard in teoria evolutionista a jocurilor:1 convergenta procesului evolutiv?2 stabilitatea punctelor de convergenta?3 convergenta catre echilibrele Nash?4 alti atractori non-Nash: oscilatii (limit cycles), comportament haotic(strange attractors)
Marius Ochea, THEMA, UCP () Teoria Evolutionista a Jocurilor Timisoara, 27 Aprilie 2016 6 / 43
Teoria evolutionista a jocurilor
studiaza evolutia strategiilor in cadrul unei populatii de agentidecizionali dotati cu rationalitate limitata
selectie Darwiniana: strategiile cu utilitate/ castig relativ ridicate inprezent tind sa se raspandeasca in interiorul populatiei
specificatia explicita a acestui proces de selectie: dinamicaevolutionista
tema centrala: care este legatura dintre limita acestui proces siconceptele "statice" din teoria rationala a jocurilor (ex. Nash)?
fundamente evolutioniste ale conceptelor de echilibru derivate dinpostulatele rationalitatii
Marius Ochea, THEMA, UCP () Teoria Evolutionista a Jocurilor Timisoara, 27 Aprilie 2016 7 / 43
Dinamici evolutioniste ale jocurilor: model general
Interactiuni binare in cadrul unei populatii (largi) de jucatori
un set finit de strategii pure: I := {1, ...,N}matricea de castiguri: A[n× n]xi (t) : frecventa strategiei i la momentul tx(t) :=xi (t)i∈I : structura populatiei la momentul t
castigul anticipat al strategiei i in cadrul populatiei: fi (x) = (Ax)if (x) : vectorul functiilor de castig
Marius Ochea, THEMA, UCP () Teoria Evolutionista a Jocurilor Timisoara, 27 Aprilie 2016 8 / 43
Dinamici evolutioniste ale jocurilor: protocol de revizuire
evolutia in timp a frecventei strategiei i :
xi = Vi (x) = influx in strategia i - eflux din i
=n
∑j=1xjρji (f (x), x)− xi
n
∑j=1
ρij (f (x), x)
ρij (f (x), x) := protocol de revizuire (Sandholm, 2006)
pentru fiecare pereche de strategii (i , j) defineste rata de comutare(ρij ) de la strategia i (jucata in prezent) la strategia alternativa j
Marius Ochea, THEMA, UCP () Teoria Evolutionista a Jocurilor Timisoara, 27 Aprilie 2016 9 / 43
Dinamica replicativa (Replicator Dynamics)
daca fiecare jucator utilizeaza protocolul de revizuire imitativ :
ρij (f (x), x) = xj [fj (x)−fi (x)]+
la nivelul populatiei, se obtine Dinamica Replicativa (Taylor andJonker, 1978) larg utilizata in biologia evolutionista:
xi = xi [fi (x)−f (x)] = xi [(Ax)i−xAx]
model formal al selectiei Darwiniene...
Marius Ochea, THEMA, UCP () Teoria Evolutionista a Jocurilor Timisoara, 27 Aprilie 2016 10 / 43
Dinamica Raspuns-Optim (Best-Response Dynamics)
un jucator observa distributia prezenta a strategiilor in populatie x(t)apoi calculeaza cel mai bun raspuns y - in strategie pura sau mixta -la aceasta distributie:
BR(x) = argmaxyyf (x)
dinamica best-reply:xi = BR(x)− xi
comportament miopic, deoarece fiecare jucator urmeaza aceastaprocedura de revizuire a strategiei iar distributia reala a populatiei nueste x(t)!
Marius Ochea, THEMA, UCP () Teoria Evolutionista a Jocurilor Timisoara, 27 Aprilie 2016 11 / 43
Dinamica Logit (Perturbed Best-Reply Dynamics)
probabilitatea de modificare a strategiei curente j in alternativa i estedata de protocolul logit:
ρji =exp[βAx)i ]
∑k exp[βAx)k ]
β−parametru care denota intensitatea selectieila nivelul populatie, dinamica logit:
xi =exp[βAx)i ]
∑k exp[βAx)k ]− xi
Marius Ochea, THEMA, UCP () Teoria Evolutionista a Jocurilor Timisoara, 27 Aprilie 2016 12 / 43
Exemplu I: joc de coordonare 3x3
A =
1− ε 0 00 1 00 0 1+ ε
, ε ∈ (0, 1)1. dinamica replicator:
xi = xi [(Ax)i − xTAx], i = 1..3
2. dinamica logit:
xi =exp[βAx)i ]
∑k exp[βAx)k ]− xi , i = 1...3
Marius Ochea, THEMA, UCP () Teoria Evolutionista a Jocurilor Timisoara, 27 Aprilie 2016 13 / 43
joc de coordonare 3x3 + replicator
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1
0.2
0.4
0.6
0.8
1(1,0,0)29%(0,1,0)33.3%(0,0,1)37.7%
(a) Aε[ε = 0.1]
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1
0.2
0.4
0.6
0.8
1(1,0,0)3%(0,1,0)34.4%(0,0,1)62.6%
(b) Aε[ε = 0.8]
Marius Ochea, THEMA, UCP () Teoria Evolutionista a Jocurilor Timisoara, 27 Aprilie 2016 14 / 43
joc de coordonare 3x3 + logit
(1 /3 ,1 /3 ,1 /3)100%
(0,1,0)
(0,0,1)(0,1,0)
(1,0,0)
(a) β = 1
(0. 13, 0.14, 0. 73)100%
(0,1,0)
(1,0,0)
(0,0,1)
(b) β = 10/4
(0.05,0.89,0.06)76.9%(0.03,0.03,0.94)23.1%
(0,1,0) (0,0,1)
(1,0,0)
(c) β = 10/3
(1,0,0) 29%(0,0,1) 37.5%(0,1,0) 33.5%
(0,1,0) (0,0,1)
(1,0,0)
(d) β = 15
Marius Ochea, THEMA, UCP () Teoria Evolutionista a Jocurilor Timisoara, 27 Aprilie 2016 15 / 43
Marius Ochea, THEMA, UCP () Teoria Evolutionista a Jocurilor Timisoara, 27 Aprilie 2016 16 / 43
Exemplu II: PFH+replicator
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1
0.2
0.4
0.6
0.8
1
x
y
(a) Unstable focus,δ = 0.6, ε = 1
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1
0.2
0.4
0.6
0.8
1
x
y
(b) Degenerate Hopf,δ = 1, ε = 1
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1
0.2
0.4
0.6
0.8
1
x
y
(c) Stable focus,δ = 1.1, ε = 1
Marius Ochea, THEMA, UCP () Teoria Evolutionista a Jocurilor Timisoara, 27 Aprilie 2016 17 / 43
Exemplu II: PFH+logit
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1
0.2
0.4
0.6
0.8
1
x
y
(a) Stable focus, δ = 1
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1
0.2
0.4
0.6
0.8
1
x
y
(b) Hopf, δ = 0.399
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1
0.2
0.4
0.6
0.8
1
x
y
(c) Limit cycle, δ = 0.1
ε = 1, β = 10
Marius Ochea, THEMA, UCP () Teoria Evolutionista a Jocurilor Timisoara, 27 Aprilie 2016 18 / 43
Exemplu III: Modele de Concurenta Oligopolistica
Oligopol Cournot (competitie prin cantitate): stabilitatea echilibruluiCournot-Nash investigata din diferite unghiuri:
numarul de firme: Theocharis (1960)
heuristici de decizie/ajustare: best-reply, gradient
anticipatii: rationale, adaptative, naive, tip joc fictiv, etc
functii de cerere si cost ne-lineare
heuristici heterogene: competitie evolutiva intre heuristici peperformanta individuala a fiecareia
Marius Ochea, THEMA, UCP () Teoria Evolutionista a Jocurilor Timisoara, 27 Aprilie 2016 19 / 43
Exemplu III: Oligopolul Cournot
oligopol Cournot cu functii de cerere si cost generale
heuristici introspective vs. heuristici adaptative
existenta si nivelul pragului de instabilitate al echilibrului Cournotdepind de setul de reguli de ajustare/invatare si de costul asociatfiecareia
prezenta jucatorilor rationali tinde sa stabilizeze dinamica
"doi sunt prea putini, trei sunt prea multi" (Theocharis, 1960): uncaz special ptr modelul de oligopol cu functii de cerere si cost liniaresi heuristici omogene
Marius Ochea, THEMA, UCP () Teoria Evolutionista a Jocurilor Timisoara, 27 Aprilie 2016 20 / 43
Structura
un model de oligopol Cournot cu numar arbitrar n de jucatori sifunctii de cerere si cost generale
procese de ajustare/invatare cu memorie scurta
competitia evolutiva dintre procese de ajustare/invatare
simulari1 jucatori rationali vs. jucatori "best-reply"2 rationali vs. best reply vs. imitativi
Marius Ochea, THEMA, UCP () Teoria Evolutionista a Jocurilor Timisoara, 27 Aprilie 2016 21 / 43
Original Cournot analysis
produs omogen, oligopol Cournot cu n firme
functia de cerere inversa P (Q) : cont. dif. P (Q) ≥ 0,P ′ (Q) ≤ 0cantitate totala produsa Q = ∑n
i=1 qi , qi este productia firmei i
functia de cost C (qi ): C (qi ) ≥ 0 ,C ′ (qi ) ≥ 0conditia de optim ptr firma i :
P (Q−i + qi ) + qiP ′ (Q−i + qi )− C ′ (qi ) = 0
functia/corespondenta de reactie a firmei i : qi = R(Q−i ), i = 1, n
in echilibrul Nash simetric q∗,productia totala este Q∗ = nq∗
Marius Ochea, THEMA, UCP () Teoria Evolutionista a Jocurilor Timisoara, 27 Aprilie 2016 22 / 43
Procese de ajustare/invatare
cum invata firma i sa produca echilibrul q∗?
in particular, care sunt estimarile firmei i despre cantitatea totalaprodusa de concurenti Qe−i la momentul cand trebuie sa ia decizia deproductie?
sistem dinamic: qi (t) = R(Qe−i (t)), i = 1, n cu panta:
R ′ (Q−i ) = −P ′ (Q) + qiP ′′ (Q)
2P ′ (Q) + qiP ′′ (Q)− C ′′ (qi ).
puncte fixe: existenta, unicitate, stabilitate
Marius Ochea, THEMA, UCP () Teoria Evolutionista a Jocurilor Timisoara, 27 Aprilie 2016 23 / 43
anticipatii "naive" (utilizate de A. Cournot, 1938):
Qe−i (t) = Q−i (t − 1)
.
Marius Ochea, THEMA, UCP () Teoria Evolutionista a Jocurilor Timisoara, 27 Aprilie 2016 24 / 43
Un proces general de ajustare adaptativ
decizia firmei i asupra productie curente depinde de cantitateaprodusa in perioada imediat anterioara si de cantitatea agregataprodusa de concurenti Q−i in perioada anterioara:
qi ,t = F (qi ,t−1,Q−i ,t−1) .
restrictii pentru functia F (·)1 F (q∗, (n− 1) q∗) = q∗2∣∣F ∗q ∣∣ < 1, F ∗Q ∈ (−1,−δ), unde δ > 0 este o constanta strict pozitiva
3 F ∗q − F ∗Q < 1
Marius Ochea, THEMA, UCP () Teoria Evolutionista a Jocurilor Timisoara, 27 Aprilie 2016 25 / 43
Un proces general de ajustare adaptativ
dinamica de tip "raspuns optim" (best-reply dynamics):
model de invatare de tip gradient (gradient learning):
F (qi ,Q−i ) = qi + λ∂π (qi ,Q−i )
∂qi,
alte procese de invatare: imita-comportamentul mediu, imitacomportamentul de succes, etc.
Marius Ochea, THEMA, UCP () Teoria Evolutionista a Jocurilor Timisoara, 27 Aprilie 2016 26 / 43
Stabilitatea echilibrului Cournot cu ajustari omogene
Propozitia 1 Daca toata firmele utilizeaza procesul de ajustare F (·)echilibrul simetric Cournot-Nash (q∗, . . . , q∗) este stabil (local) daca:∣∣F ∗q + (n− 1) F ∗Q ∣∣ < 1.Pentru un numar de firme n suficient de ridicat, echilibrul Cournot-Nashdevine instabil sub procesul F (·)).
Marius Ochea, THEMA, UCP () Teoria Evolutionista a Jocurilor Timisoara, 27 Aprilie 2016 27 / 43
Ajustari omogene: prag de instabilitate
proposition 1 ne releva imediat structura de piata/numarul decompetitori ptr care echilibrul Counot isi pierde stabilitatea:
n > 1−1+ F ∗qF ∗Q
intuitie: proces de ajustare "miopic": in momentul deciziei niveluluiproductiei pe baza productiei anterioare a adversarilor, un jucatorindividual nu tine seama de faptul ca toti acesti concurenti isi vorrevizui la randul lor decizia de productie
example, functii de cerere si cost lineare, ajustari de tipraspuns-optim: n = 3
panta functiei de reactie: F ∗Q = −12
o deviatie de o unitate suplimentara a unei firme de la cantitatea deechilibru, atrage scaderea productiei cu 1/2 din partea fiecaruiconcurent.
Marius Ochea, THEMA, UCP () Teoria Evolutionista a Jocurilor Timisoara, 27 Aprilie 2016 28 / 43
Ajustari heterogene: competitia intre procese de ajustare
modelarea oligopolului Cournot sub forma unui joc evolutionist
considera o populatia mare de firme din care, in fiecare perioada, nfirme sunt selectate aleatoriu ptr a forma un oligopol Cournot cu njucatori
firmele pot utiliza procese de invatare diferite si le pot schimba pebaza performantei fiecarei reguli de invatare
interactiunea dintre jocul rational si un proces de ajustare cu memoriescurta de tip F ()
ρt ∈ [0, 1] denota proportia jucatorilor rationali in populatia de firme:1− ρt este ponderea firmelor F
Marius Ochea, THEMA, UCP () Teoria Evolutionista a Jocurilor Timisoara, 27 Aprilie 2016 29 / 43
Joc rational
un jucator rational cunoaste ponderea ρt jucatorilor rationali in totalulpopulatiei, decizia de productie a jucatorilor care utilizeara procesul deinvatare F () dar nu cunoaste compozitia exacta a fiecarui oligopol lacare participa
astfel, construieste anticipatii asupra tututor realizarilor posibile aleacestui proces de selectie de n jucatori din intreaga populatie
un jucator rational i alege cantitatea qi care maximizeaza:
n−1∑k=0
(n− 1k
)ρkt (1− ρt )
n−1−k [P ((n− 1− k) qt + kqr + qi ) qi − C (qi )]
conditia de optim:
n−1∑k=0
(n− 1k
)ρkt (1− ρt )
n−1−k × [P ((n− 1− k) qt + (k + 1)qr ) +
+qrP ′ ((n− 1− k) qt + (k + 1)qr )− C ′ (qr )] = 0Marius Ochea, THEMA, UCP () Teoria Evolutionista a Jocurilor Timisoara, 27 Aprilie 2016 30 / 43
Joc rational
solutia q∗i ≡ H(qt , ρt ) este caracterizata de egalitatea intre venitulmarginal anticipat si costul marginal
in echilibrul simetric toti jucatorii rationali produc qr = q∗i
proprietati ale functiei de raspuns optimal H(qt , ρt ):
H (q∗, ρt ) = q∗, (∀)ρtH (qt , 1) = q∗
H (qt , 0) = R ((n− 1) qt )
Marius Ochea, THEMA, UCP () Teoria Evolutionista a Jocurilor Timisoara, 27 Aprilie 2016 31 / 43
Firme rationale vs. firme F()
prin contrast, la momentul t jucatorii F () dispun doar de informatiaasupra cantitatii medii "jucate" qt−1 si a structurii populatiei ρt−1 lamomentul t − 1:
qt = F(qt−1, (n− 1)
(ρt−1H (qt−1, ρt ) +
(1− ρt−1
)qt−1
))
rezultatul competitiei dintre cele doua modele de ajustare estedeterminat de profiturile generate de cele doua procese Πi , i = R,F
deoarece intensitatea informationala/cognitiva/etc. a proceduriirationale este superioara celei a procesului miopic de ajustare vompermite costuri diferentiale de informare sau deliberare κR , κF ≥ 0astfel performanta fiecarei proceduri de decizie este data de
Vi = Πi − κi , i = R,F
Marius Ochea, THEMA, UCP () Teoria Evolutionista a Jocurilor Timisoara, 27 Aprilie 2016 32 / 43
Firme rationale vs. firme F()
performanta fiecarei heuristici este data de
Vi = Πi − κi , i = R,F
proportia jucatori rationali ρt evolueaza in cf. cu o dinamicamonotona de selectie G (·)
unde functia G (x) : R→ [0, 1] este cont. dif si monoton crescatoare
G (0) = 12 , limx→−∞ G (x) = 0, limx→∞ G (x) = 1
Marius Ochea, THEMA, UCP () Teoria Evolutionista a Jocurilor Timisoara, 27 Aprilie 2016 33 / 43
Firme rationale vs. firme F()
evolutia cantitatilor produse si a proportiilor este guvernata deurmatorul sistem dinamic bidimensional:
qt = F(qt−1, (n− 1)
(ρt−1H (qt−1, ρt ) +
(1− ρt−1
)qt−1
))ρt = G (VR ,t−1 − VF ,t−1) = G (ΠR ,t−1 −ΠF ,t−1 − κ)
κ ≡ κR − κF
punct fix: (q∗, ρκ)
unde q∗ este cantitatea de echilibru Cournot-Nashρκ = G (−κ) proportia de echilibru a jucatorilor rationali
Marius Ochea, THEMA, UCP () Teoria Evolutionista a Jocurilor Timisoara, 27 Aprilie 2016 34 / 43
Firme rationale vs. firme F()
Propozitie 2 Echilibrul (q∗, ρκ) modelului de competitie evolutionistaintre jucatori rationali si jucatori adaptativi F () este stabil (local) daca:
n− ρκ (n− 1)[1+ R ′
(Q∗−i
)]1− ρκ (n− 1)R ′
(Q∗−i
) < 1−1+ F ∗qF ∗Q
prezenta jucatorilor rationali intr-o populatie de jucatori adaptativi areun efect stabilizator asupra echilibrului Cournot...
...dar situatii de instabilitate sunt posibile pentru structuri de oligopolcu un nr. mai ridicat de jucatori
Marius Ochea, THEMA, UCP () Teoria Evolutionista a Jocurilor Timisoara, 27 Aprilie 2016 35 / 43
Ilustratie: jucatori rationali vs. jucatori "best-reply"
un model cu selectie endogena a heuristicilor de decizie in carejucatorii F () utilizeaza procesul dinamic tip "raspuns-optim":
F (qi ,Q−i ) = R (Q−i )
prin aplicarea directa a Prop. 2 la cazul specific in care jucatori F ()sunt de tip best-reply ( F ∗q = 0 siF
∗Q = R
′ (Q∗−i ) < 0) obtinem:Corolar Echilibrul (q∗, ρκ) modelului cu selectie endogena intre jucatorirationali si jucatori best-reply este stabil (local) daca:
(1− 2ρκ) (n− 1)R ′ (Q∗−i )> −1.
In absenta diferentelor intre costurile informationale asociate celor douaheuristici , κ = 0, echilibrul (q∗, ρ0) este stabil local ptr toate structurilede oligopol, i.e. (∀)n ≥ 2.
Marius Ochea, THEMA, UCP () Teoria Evolutionista a Jocurilor Timisoara, 27 Aprilie 2016 36 / 43
Jucatori rationali vs. jucatori "best-reply": dinamicaglobala
nivelul critic de instabilitate: n < ψ(CR∗β) = 7eC
R β+1eCR β−1
C I ,CC 6= 0 : costul relativ al heuristicii stabile (imitatie) relativ lacostul heuristicii instabile (best-reply)
Marius Ochea, THEMA, UCP () Teoria Evolutionista a Jocurilor Timisoara, 27 Aprilie 2016 41 / 43
rationali vs. jucatori "best-reply" vs. imitatori
Parametrii: n = 19, a = 17, b = 1, c = 1, CR = 1, CC = 0, C I = 0, β = 3.Conditii initiale: qR0 = 0.3, q
C0 = 0.1, q
I0 = 0.25, ηR0 = 0.5, ηC0 = 0.2.
Marius Ochea, THEMA, UCP () Teoria Evolutionista a Jocurilor Timisoara, 27 Aprilie 2016 42 / 43
Concluzii
pragul critic de instabilitate a echilibrului Cournot este monoton cuproportia jucatorilor rationali din populatie
ptr modelul specific joc rational vs. joc best-reply echilibrul CournotNash este stabil indiferent de structura pietei (nr. jucatorilor) cuconditia ca predictorul rational sa fie obtinut cu cost zero
acest resultat nu este insa generalizabil ptr alte ecologii de heuristici
e.g. modelul cu anticipatii rationale si heuristica tip gradient eq. CNdevine instabil chiar si in absenta costurilor informationale, daca n estesuficient de mare.
cadrul analitic adaptabil ptr studiul altor seturi de heuristici (ex.imitatie)
Marius Ochea, THEMA, UCP () Teoria Evolutionista a Jocurilor Timisoara, 27 Aprilie 2016 43 / 43