1 Teoria dos Jogos Prof. Maurício Bugarin ECO/UnB 2015-II Aula 11 Teoria dos Jogos Maurício Bugarin • Capítulo 2: Jogos Estáticos com Informação Completa (Cap 1 do Gibbons) • Capítulo 3: Jogos Estáticos com Informação Incompleta (Cap. 3 do Gibbons) – 1. Forma Normal e o Conceito de Equlíbrio de Nash Bayesiano • (1. A, B, C) – 2. Aplicações • Duopólio de Cournot • Provisão Voluntária de Controle de Mal Público • Leilões selados de primeiro preço • Leilões selados de segundo preço • Guerra de Nervos com informação incompleta Cap. 3: Jogos Estáticos com Informação Incompleta Roteiro
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Teoria dos Jogos Prof. Maurício Bugarin ECO/UnB 2015-II · 2015-09-18 · 1 Teoria dos Jogos Prof. Maurício Bugarin ECO/UnB 2015-II Aula 11 Teoria dos Jogos Maurício Bugarin •
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Teoria dos Jogos
Prof. Maurício Bugarin ECO/UnB
2015-II
Aula 11 Teoria dos Jogos Maurício Bugarin
• Capítulo 2: Jogos Estáticos com Informação Completa (Cap 1 do Gibbons)
• Capítulo 3: Jogos Estáticos com Informação Incompleta (Cap. 3 do Gibbons) – 1. Forma Normal e o Conceito de Equlíbrio de Nash Bayesiano
• (1. A, B, C) – 2. Aplicações
• Duopólio de Cournot • Provisão Voluntária de Controle de Mal Público • Leilões selados de primeiro preço • Leilões selados de segundo preço • Guerra de Nervos com informação incompleta
Cap. 3: Jogos Estáticos com Informação Incompleta
Roteiro
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Aula 11 Teoria dos Jogos Maurício Bugarin
Definição-Um jogo bayesiano na forma normal (ou estratégica) é:
( ) ( ) ( )( )NiiNiiNii uApTNJ ∈∈∈= ,,,,
Aula 11 Teoria dos Jogos Maurício Bugarin
Exemplo-Leilão selado de primeiro preço
T1=T2=[0, ω] =V1=V2
Valores v1 e v2 são duas variáveis aleatórias independentes e distribuídas entre 0 e ω:
Um equilíbrio da Nash bayesiano desse jogo é um par de estratégias (l1, l2), em que li: Vi→[0, ω], satisfazendo:
(i) Para cada realização do tipo do agente 1, v1∈V1, l1(v1) é a solução (λ1) do seguinte problema de maximização:
( ) { } ( ) { })(Pr21)(Pr 2211122111max
1
vlvvlv =−+>− λλλλλ
(ii) Para cada realização do tipo do agente 2, v2∈V2, l2(v2) é a solução (λ2) do seguinte problema de maximização:
( ) { } ( ) { })(Pr21)(Pr 1122211222max
2
vlvvlv =−+>− λλλλλ
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Aula 11 Teoria dos Jogos Maurício Bugarin
Simplificações e resolução.
(a) Dada a simetria do jogo com relação aos jogadores, procuramos um equilíbrio simétrico, ou seja, um equilíbrio no qual os dois jogadores escolhem a mesmo função estratégia: l1=l2=l.
(b) Supomos que quanto maior for o valor vi, ou seja, quanto mais valor o jogador i atribuir ao objeto, maior será seu lance em equilíbrio, ou seja, a função l é estritamente crescente. Além disso, supomos que l é diferenciável.
Leilão selado de primeiro preço
Aula 11 Teoria dos Jogos Maurício Bugarin
Simplificações e resolução.
(c) Como o lance l é estritamente crescente, dado o valor λi, i=1,2:
Pr[l2(v2)=λ1]= Pr[l1(v1)=λ2]=0, qualquer que seja a realização de vi.
Conclusão: Num equilíbrio de Nash bayesiano simétrico, temos, para i=1,2:
⎪⎩
⎪⎨⎧
=
→
2)(
]1,0[]1,0[: i
iiii v
vlvl!
Leilão selado de primeiro preço
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Propriedades
Eficiente de Pareto
Não dá ao leiloeiro a maior receita possível com informação completa
Maior receita possível:
Receita esperada:
Mas é possível maior receita com informação incompleta?
Leilão selado de primeiro preço
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1
0 01
1
2 dvdvvv
∫ ∫
12
1
0 0
11
22 dvdvvv∫ ∫
1
1
0 021
1
2 dvdvvv
∫ ∫= 11
1
012 dvvv∫=
1
0
31
32 ⎥
⎦
⎤=v
32
=
1
1
0 02
11
22 dvdvv v
∫ ∫= 11
1
01 dvvv∫=
1
0
31
3 ⎥⎦
⎤=v
31
=
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T1=T2=[0,1] =V1=V2
Valores v1 e v2 são duas variáveis aleatórias independentes e uniformemente distribuídas entre 0 e 1:
F1(v)=prob(v1≤v)=v; F2(v)=prob(v2≤v)=v
fi(v)=Fʹ′i(v)=1, i=1,2
p(v1, v2)=p1(v1).p2(v2)=f1(v1).f2(v2)= 1
A1=[0,1]=L1; A2=[0,1]=L2: lances
li: Vi→Li uma estratégia de i
Leilão selado de segundo preço
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( ) ( )( )⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
<
=−
>−
=
)()(se0
)()(se2
)()()(se)(
,,)(),(
2211
2211111
2211111
2122111
vlvl
vlvlvlvvlvlvlv
vvvlvlu
( ) ( )( )⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
<
=−
>−
=
)()(se0
)()(se2
)()()(se)(
,,)(),(
2211
2211221
2211221
2122111
vlvl
vlvlvlvvlvlvlv
vvvlvlu
Leilão selado de primeiro preço
Leilão selado de segundo preço
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Estratégia (fracamente) dominante: li(vi)=vi
Caso 1. Suponha que v1>l2(v2)
Caso 2. Suponha que v1<l2(v2)
Caso 3. Suponha que v1=l2(v2)
Equilíbrio de Nash: l1(v1)=v1, l2(v2)=v2
Leilão selado de segundo preço
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Observações:
Equilíbrio forte: independe da distribuição dos tipos, valores não precisam ser privados
Lances mais agressivos
Mas regra de pagamento mais “leve”
Resultado: Retorno esperado para o leiloeiro?
Leilão selado de segundo preço
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1
0 02
1
2 dvdvvv
∫ ∫ 1
1
0 0
22
1
22 dvv
v
∫ ⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛⎥⎦
⎤= 1
1
0
21 dvv∫=
1
0
31
3 ⎥⎦
⎤=v
31
=
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Receita esperada para o leiloeiro?
Leilão selado de segundo preço
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1
0 02
1
2 dvdvvv
∫ ∫ 1
1
0 0
22
1
22 dvv
v
∫ ⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛⎥⎦
⎤= 1
1
0
21 dvv∫=
1
0
31
3 ⎥⎦
⎤=v
31
=
Leilão selado de primeiro preço
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1
0 0
11
22 dvdvvv∫ ∫ 1
1
0 02
11
22 dvdvv v
∫ ∫= 11
1
01 dvvv∫=
1
0
31
3 ⎥⎦
⎤=v
31
=
Aula 11 Teoria dos Jogos Maurício Bugarin
Receita esperada para o leiloeiro?
Resultado geral: Teorema de equivalência de receitas
Suponha que os valores dos jogadores sejam independentes e identicamente distribuídos num mesmo intervalo e que os jogadores são neutros com relação ao risco. Então qualquer ENB simétrico estritamente crescente de um leilão padrão em que o jogador de tipo 0 tem pagamento esperado 0 leva ao mesmo retorno esperado para o leiloeiro.
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T1=T2=[0,+∞) =V1=V2
Valores v1 e v2 são duas variáveis aleatórias independentes e identicamente distribuídas entre 0 e +∞: