Oct 16, 2015
Teoria de Ensemble - O ensemblemicrocanonico
Fsica Estatstica
UFPel
Fsica Estatstica Teoria de Ensemble - O ensemble microcanonico
Ensemble microcanonico
Sistema isolado
o numero de partculas N e constante
o volume V e fixo
a energia E e uma constante de movimento
Ensemble NVE
Estado do sistema
caracterizado por 3N coordenadas canonicas q1, q2, . . . , q3Ncaracterizado por 3N momentos canonicos p1, p2, . . . , p3N6N variaveis canonicas (p, q)a dinamica do sistema e governada pelas equacoes de Hamilton
H(p, q)pi
= qi
H(p, q)qi
= pi
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Ensemble microcanonico
Espaco de configuracao
espaco de 6N dimensoes
cada ponto representa um possvel estado do sistema
superfcie de energia E :
formada por todos os pontos que satisfazemH(p, q) = E
durante a evolucao temporal, os pontos descrevem um caminho sobre asuperfcie de energa constante E
Sistema macroscopico
1 caracterizado por um numero pequeno de propriedades
N partculasvolume Venergia entre E e E + E
2 um numero muito grande de estados satisfazem estas condicoes
teoria de ensemble de Gibbs
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Ensemble microcanonico
Ensemble de Gibbs
Colecao de um numero grande de copias mentais do sistema, todas identicasmacroscopicamente (mesmo valor de N, V e E), mas que diferem nos seus detalhesmicroscopicos.
Como caracterizar o ensemble?
Atraves de uma distribuicao de pontos no espaco , representada por uma funcaodensidade (p, q, t)
(p, q, t) d3Np d3Nq numero de pontos representativos
No equilbrio, a funcao densidade nao depende explicitamente do tempo
(p, q, t) = (p, q)
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Ensemble microcanonico
Postulado da igual probabilidade a priori
Quando um sistema macroscopico esta em equilbrio, e igualmente provavel deencontra-lo em qualquer um de seus estados acessveis, todos condizentes com ascondicoes macroscopicas que definem o ensemble.
Para o ensemble microcanonico
(p, q) =
constante se E < H(p, q) < E + E
0 para outros casos
Media de ensemble do observavel A
A
d3Np d3Nq A(p, q)d3Np d3Nq (p, q)
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Ensemble microcanonico
Sistema isolado em equilbrio
Sistema com energia entre E e E + E, definido pelo numero de microestados (E)acessveis ao sistema, compatveis com o vnculo de energia fixa
Sistema de 3 partculas fixas
H = H3
i=1
j
Microestado: (+ + +)
1 + + + +3 3H2 + + + H3 + + + H4 + + + H5 + +H6 + +H7 + +H8 3 +3H
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Ensemble microcanonico
Condicao macroscopica
Ensemble de energia total H
(+ + ) (+ +) ( + +)
Probabilidade de que o primeiro spin seja + : P+ = 23
P(yk) =(E; yk)
(E)
Valor medio do parametro y
y =
k
(E; yk) yk
(E).
Volume (adimensional) ocupado pelo ensemble microcanonico no espaco
(E) =1
h3N
E
Ensemble microcanonico
Sistema isolado em equilbrio :
Vnculos mantem o sistema inicialmente com um numero de estados i.
retirando os vnculos, o numero de estados deve aumentar f i
Para um sistema isolado, se retirarmos alguns dos vnculos ao sistema, seusparametros tendem a se reajustarem de tal forma que (y1, y2, . . . , yn) tende paraum valor maximo.
Reversibilidade e irreversibilidade em termos do numero de estados acessveis:
1 Se f = i : os sistemas dentro do ensemble ja estao distribudos com igualprobabilidade. O sistema estaria em equilbrio e o processo e dito reversvel.
2 Se f > i : o sistema tende para a distribuicao mais provavel de equilbrio,quando o numero de estados e f . O processo e dito irreversvel.
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Ensemble microcanonico
Interacao termica entre sistemas macroscopicos
Sistema isolado : A + A
= A(0)
Energia constante : E + E
= E(0)
(E) : numero de estados acessveis de A,no intervalo E e E + E
(E) : numero de estados de A
, entre E
e E+ E
A e A
estao em equilbrio entre si
Postulado de igual probabilidade a priori noequilbrio :
A(0) pode ser encontrado em qualquer um dosseus estados acessveis
P(E) = C(0)(E)
P(E) = C(E)(E) = C(E)(E(0) E)
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Interacao termica entre sistemas macroscopicos
Sistema isolado : A + A
= A(0)
Energia constante : E + E
= E(0)
(E) : numero de estados acessveis de A,no intervalo E e E + E
(E) : numero de estados de A
, entre E
e E+ E
A e A
estao em equilbrio entre si
Postulado de igual probabilidade a priori noequilbrio :
A(0) pode ser encontrado em qualquer um dosseus estados acessveis
P(E) = C(0)(E)
P(E) = C(E)(E) = C(E)(E(0) E)
P(E) apresenta um maximo:
ln PE
=1PPE
= 0
ln P(E) = ln C+ln (E)+ln (E)
ln (E)E
+ ln (E)
EEE
= 0
Como E = E(0) E,
ln (E)E
ln (E)
E = 0
(E) = (E)
(E) ln E
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Interacao termica entre sistemas macroscopicos
(E) ln E
(E) inverso de energiaparametro adimensional T
kBT 1 ,
onde kB e uma constante positiva comdimensao de energia, chamada deconstante de Boltzmann,
1kBT
= ln E
1T
=kB ln E
=SE
,
Entropia do sistema :
S kB ln Com isto, a condicao de equilbrio entreA e A, expressa pelo maximo daprobabilidade P(E),
ln P(E) = ln C + ln (E) + ln (E)
pode tambem ser expressa em termosda entropia,
S + S = maximo
ou, em termos do parametro T,
T = T
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Ensemble microcanonico
Algumas propriedades derivadas
S = kB ln
como S e maxima
2 ln E2
< 0
como = ln E
E
< 0
se =1
kBT T
E> 0
A temperatura absoluta aumenta com aenergia!
Obs. Sistemas de spins fixos nao obedecem a esta
propriedade
Sistema num estado r
Er = Er(x1, x2, . . . , xn)
processo quasi-estatico x x + dx
dEr =n=1
(Erx
)dx
Trabalho infinitesimal
dWr = dEr =n=1
X, r dx
Forca generalizada no estado r
X, r = Erx
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Trabalho macroscopico quasi-estatico
dW =n=1
X dx X = Erx
Forca generalizada media
Numero de microestados
= (E, x1, x2, . . . , xn)
d ln = ln E
dE +n=1
ln x
dx
kB d ln = kB ln E
dE+kBn=1
ln x
dx
d(kB ln ) = kB dE +n=1
(kB ln x
)dx
Primeira lei da termodinamica
dS =1T
dE +1T
n=1
X dx
Como S = kB ln
kB ln x
=1T
X
ou seja ln x
= X
x = V X = px = N X =
p = ln V
= ln N
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Ensemble microcanonico
Gas ideal monoatomico classico
= BVNE3N/2
ln = ln B + N ln V +3N2
ln E
p = ln V
p =NV
pV = NkBT
= ln E
=3N2
1E
E = 32
NBT
N osciladores classicos unidimensionais
(E) = CEN2
ln = ln C + (N 2) ln E
= ln E
= (N 2) 1E
E NBT
CV = T(ST
)V
= BT( ln T
)V
CV = BT(N 2)
E
(ET
)V
CV BT NNBT NB CV = NB
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Ensemble microcanonico
Obtencao do equilbrio
A(0) = A + A E(0) = E + E
(0) = (E, V) (E, V)
ln (0) = ln (E, V) + ln (E, V)
S(0) = S + S
Entropia e maxima no equilbrio
d ln (0) = d (ln + ln ) = 0
d ln = d ln
d ln = ln E
dE + ln V
dV
ln x
= X
d ln = dE + p dV
d ln = dE + p dV
Como
dE = dE e dV = dV( ) dE + ( p p) dV = 0
ou seja, no equilbrio
= e p = p
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