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Teoria delle Equazioni e Teoria di Galois

Stefania Gabelli

Teoria delle Equazioni

e Teoria di Galois

~ Springer

STEFANIA GABELLI

Dipartimento di Matematica Università degli Studi Roma Tre, Roma

ISBN 978-88-470-0618-8 ISBN 978-88-470-0619-5 (eBook)

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Prefazione

L'algebra è nata come lo studio della risolubilità delle equazioni polinomiali e tale è essenzialmente rimasta fino a quando Evariste Galois - matematico geniale dalla vita breve e avventurosa - ha definitivamente risolto questo pro­blema, ponendo allo stesso tempo le basi per la nascita dell'algebra moderna intesa come lo studio delle strutture algebriche.

La Teoria di Galois classica viene oggi insegnata a vari livelli nell'ambito dei Corsi di Laurea in Matematica. Questo libro di testo è stato di conseguenza scritto per essere usato in modo flessibile.

La prima parte è dedicata allo studio degli anelli di polinomi ed è una rielaborazione di appunti scritti alcuni anni fa in collaborazione con Florida Girolami. La seconda parte contiene le nozioni di base della Teoria dei Campi e potrà essere utile agli studenti di tutti i corsi più avanzati di Algebra, Geo­metria e Teoria dei Numeri. I gruppi di Galois e la corrispondenza di Galois vengono studiati nella parte centrale del testo, con molti esempi dettaglia­ti. Nella quarta parte, dedicata alle applicazioni, grande spazio è riservato al problema della risolubilità per radicali - con particolare attenzione alle equa­zioni di grado basso ed alle equazioni cicliche - come pure al problema della costruibilità delle figure piane con riga e compasso. Questi argomenti possono essere svolti anche nell'ambito di corsi di Matematiche Complementari per l'indirizzo didattico. Infine, nelle appendici, vengono richiamate le nozioni di Teoria dei Gruppi e di Teoria degli Insiemi che sono state utilizzate nel testo.

Il libro contiene anche alcune note storiche. Gli esercizi proposti alla fine di ogni paragarafo (alcuni dei quali risolti) costituiscono un necessario strumento di verifica.

Ringrazio sentitamente Carmelo Antonio Finocchiaro per utili suggerimen­ti e per l'esecuzione dei disegni.

Roma, giugno 2008 Stefania Gabelli

Introduzione

Un' equazione polinomiale di grado n su un campo K è un'equazione che si ottiene uguagliando a zero un polinomio di grado n a coefficienti in K, ovvero

f(X) := anXn + an_1Xn- 1 + ... + ao = O.

Se i coefficienti di f(X) sono indeterminate algebricamente indipendenti su un sotto campo F di K, l'equazione f(X) = O si chiama l'equazione polinomiale generale di grado n su F; in caso contrario, si dice che essa è un' equazione speciale, o particolare. Ogni equazione di grado n a coefficienti numerici fis­sati è un'equazione speciale e può essere ottenuta dall'equazione generale di grado n sul campo dei numeri razionali, dando particolari valori numerici ai coefficienti.

Risolvere l'equazione polinomiale f(X) = O significa trovare, in un op­portuno campo contenente K, le radici di f(X), cioè degli elementi a tali che

f(a) := anan + an_lan- 1 + ... + ao = O.

Questi elementi si chiamano le soluzioni dell'equazione. Se è possibile risolvere l'equazione generale di grado n sui razionali, allora

è possibile risolvere tutte le particolari equazioni di grado n a coefficienti numerici. Ad esempio, le ben note formule per le soluzioni a e (3 dell'equazione generale di secondo grado

che sono

a=

aX2 + bX + c = O,

-b+ Vb2 - 4ac

2a

-b - Vb2 - 4ac (3=-----

2a forniscono, specificando le variabili a, b e c, le soluzioni di tutte le possibili equazioni di secondo grado a coefficienti numerici.

Il Teorema Fondamentale dell'Algebra, dimostrato per la prima volta in modo completo da Carl Friedrich Gauss nel 1797, asserisce che ogni equa­zione polinomiale a coefficienti numerici ha soluzioni nel campo dei numeri complessi.

VIII Introduzione

I primi risultati utili al fine di determinare le soluzioni di equazioni po­linomiali con metodi puramente algebrici furono ottenuti dagli arabi, tra il IX e il XIV secolo. Vale la pena di notare, per inciso, che la parola Algebra deriva dal termine arabo al-jabr che indica l'operazione di spostare i termini di un'equazione da una parte all'altra del segno di uguaglianza.

Già nell'antichità era noto come risolvere alcune equazioni particolari di se­condo grado a coefficienti razionali, ma le formule risolutive per l'equazione ge­nerale di secondo grado furono scoperte dal matematico arabo AI-Khawarizmi, che visse tra i secoli V I I I e I X e dal cui nome sembra sia derivato il termine algoritmo. Esse furono poi divulgate da Leonardo Pisano, detto il Fibonacci, nel libro XV del suo Liber Abaci (1202).

Usando il linguaggio algebrico moderno, il procedimento di AI-Khawarizmi per risolvere ad esempio un'equazione del tipo

X2 +2pX = c,

con p e c numeri razionali positivi, è dato dalla seguente successione di passi:

X2 +2pX = c

X 2 + 2pX + p2 = C + p2

(X + p)2 = C + p2

X +p= JC+p2

X = Jc+p2 -p.

Notiamo che, per l'ipotesi restrittiva su p e c, questa equazione è in realtà un'equazione di tipo particolare; ma, per la mancanza del concetto di numero negativo, era allora necessario distinguere tra diversi casi.

Successivamente, il maggior progresso si ebbe in Italia durante il Rinasci­mento, ad opera della scuola matematica bolognese; in quel periodo furono infatti scoperte le formule algebriche per risolvere le equazioni polinomiali di terzo e quarto grado. Poiché in queste formule compaiono, oltre alle usuali o­perazioni di addizione e moltiplicazione, soltanto estrazioni di radici di indice opportuno, si usa dire che le equazioni di grado al più uguale a quattro sono risolubili per radicali.

Metodi generali per la risoluzione delle equazioni polinomiali di terzo grado del tipo

X 3 +pX=q,

con p e q numeri razionali positivi, furono trovati per la prima volta attorno al 1515 da Scipione del Ferro, che tuttavia non li rese pubblici. Successivamente, le formule risolutive furono riscoperte da Niccolò Fontana, detto Tartaglia, che le comunicò a Gerolamo Cardano a condizione che questi le mantenesse segre­te. Tuttavia Cardano, convinto della loro importanza, e venuto a conoscenza del fatto che esse erano già state dimostrate da Scipione del Ferro, le rese note pubblicando le nel suo libro Ars Magna del 1545. Inoltre Cardano estese

Introduzione IX

il metodo di Tartaglia per risolvere anche le equazioni del tipo X 3 = pX + q e X 3 + q = pX. Successivamente, Raffaele Bombelli ripubblicò queste formule con l'aggiunta di alcuni commenti esemplificativi nel secondo capitolo del suo libro Algebra, nel 1572.

Se i coefficienti dell'equazione X 3 + pX + q = O sono numeri reali, al­lora le radici sono tutte reali oppure una radice è reale e due radici sono non reali, complesse coniugate. Questo dipende dal segno del discriminante dell'equazione, cioè del numero

Tale numero è nullo se e soltanto se f(X) ha radici reali multiple. Nel caso in cui D(f) < O, f(X) ha una radice reale e due radici non reali (complesse coniugate). Se D(f) > O, allora f(X) ha tre radici reali distinte; tuttavia, se questo accade, l'espressione fornita dalle formule di Tartaglia-Cardano con­tiene necessariamente numeri complessi non reali. Per questo motivo il caso in cui D(f) > O venne denominato casus irriducibilis.

Poiché nel casus irriducibilis la quantità A permetteva di determinare correttamente, tramite le formule risolutive, le soluzioni razionali di un'equa­zione di terzo grado ma tale quantità non compariva più nel risultato finale, non sembrò subito necessario attribuirle un significato proprio. I numeri com­plessi furono pienamente accettati dalla comunità matematica soltanto più di un secolo dopo: l'espressione numero immaginario fu usata per la prima volta da René Descartes nel suo Discours de la Methode (1637), mentre il termine numero complesso sembra sia dovuto a Gauss, che per primo definÌ rigorosa­mente i numeri complessi e ne studiò le proprietà (Disquisitiones Arithmeticae, 1801).

Fu Ludovico Ferrari, un discepolo di Cardano, a dimostrare per primo che l'equazione generale di quarto grado può essere risolta per mezzo di radicali quadratici e cubici: le sue formule risolutive furono pubblicate per la prima volta da Cardano nell' Ars Magna.

In seguito molti matematici si adoperarono per determinare formule ri­solutive per le equazioni polinomiali di grado superiore: tra questi Leonhard Euler, Joseph-Louis Lagrange e Friedrich Gauss. I loro successi riguardarono però soltanto equazioni di tipo particolare. Ad esempio Gauss, nel suo trattato Disquisitiones Arithmeticae mostrò che tutte le equazioni del tipo xn -1 = O sono risolubili per radicali.

Di particolare importanza si rivelò a posteriori il lavoro di Lagrange. Nel­la sua memoria Refléxions sur la résolution algébrique des equations (1770), egli diede un metodo unitario per risolvere le equazioni di secondo, terzo e quarto grado fondato sulle proprietà di simmetria delle radici, ponendo cosÌ le basi dello studio dei gruppi di permutazioni. Benché questi stessi metodi per­mettessero di risolvere anche alcune equazioni particolari di grado superiore al quarto, lo stesso Lagrange si rese ben presto conto che essi non poteva­no essere estesi per studiare le equazioni generali di ogni grado. Infatti il suo procedimento portava a risolvere alcune equazioni ausiliarie che, nel caso

X Introduzione

delle equazioni di terzo e quarto grado erano di grado inferiore a quello del­l'equazione data, mentre nel caso delle equazioni di quinto grado risultavano generalmente di grado superiore.

Il primo ad osservare che non sarebbe stato possibile trovare formule radi­cali per le soluzioni dell'equazione generale di quinto grado fu Paolo Ruffini. A partire dal 1799, egli pubblicò varie dimostrazioni, tutte incomplete, di que­sto fondamentale risultato. Successivamente, a partire dal 1824, Niels Henrik Abel, che forse non era a conoscenza dei lavori di Ruffini, diede indipen­dentemente altre dimostrazioni di questo stesso teorema; tali dimostrazioni furono considerate corrette dai contemporanei, ma ad un successivo riesame si rivelarono anche esse incomplete. Maggiori dettagli si possono trovare in [31,39].

Il Teorema di Ruffini-Abel non escludeva però la possibilità che, dando specifici valori numerici ai coefficienti del polino mio generale di quinto grado, si ottenesse ogni volta un'equazione risolubile per radicali. Il contributo fonda­mentale di Evariste Galois alla teoria delle equazioni algebriche è stato quello di formulare dei criteri per stabilire in modo inequivocabile se una particolare equazione a coefficienti numerici fosse o meno risolubile. I suoi risultati rese­ro definitivamente chiaro che non tutte le equazioni polinomiali a coefficienti numerici di grado maggiore di quattro sono risolubili per radicali.

La teoria sviluppata da Galois è essenzialmente contenuta nel suo lavoro Memoire sur les conditions de résolubilité des équations par mdicaux, che risale al 1830 ma che fu pubblicato postumo da Joseph Liouville soltanto nel 1846. Galois fu infatti ucciso in duello nel 1832, all'età di soli venti anni, dopo una vita breve e avventurosa [40]. Dna traduzione italiana delle sue opere è stata pubblicata nel 2000 a cura di Laura Toti Rigatelli [9].

Galois riprese e sviluppò i metodi di Lagrange, associando ad ogni equa­zione polinomiale un particolare gruppo di permutazioni sulle radici (quello che oggi viene chiamato il gruppo di Calois dell'equazione) e caratterizzando le equazioni risolubili per radicali attraverso determinate proprietà di questo gruppo. In questo processo apparve per la prima volta evidente l'importan­za di quei particolari sottogruppi di un gruppo che vengono oggi chiamati sottogruppi normali.

L'annuncio, dato da Liouville nel 1843, della imminente pubblicazione della memoria di Galois diede grande impulso allo studio dei gruppi di permutazioni. In particolare Augustin-Louis Cauchy pubblicò intorno al 1845 una serie di lavori che contenevano risultati di grande importanza per il successivo sviluppo della teoria dei gruppi astratti.

In seguito alla loro divulgazione, i risultati di Galois furono ampiamente commentati e semplificati e alla fine del XIX secolo vennero pubblicati vari trattati universitari su questi argomenti. Tra tutti ricordiamo il monumentale lavoro di Camille Jordan Tmité des substitutions et des équations algébriques, del 1870. In Italia la formazione algebrica di molti matematici del XX secolo fu grandemente influenzata dal trattato di Luigi Bianchi Lezioni sulla teoria dei gruppi di sostituzioni e delle equazioni algebriche secondo Calois, apparso

Introduzione XI

nel 1899. Un'esposizione in linguaggio moderno della memoria di Galois sulla risolubilità delle equazioni polinomiali è contenuta in [7].

L'opera di Galois favorì anche la nascita della teoria dei campi, che si sviluppò principalmente in Germania ad opera di Heinrich Weber, Richard Dedekind e Leopold Kronecker durante il secolo XIX. Le basi della moderna teoria dei campi astratti furono successivamente poste da Ernst Steinitz nella sua fondamentale memoria Algebraische Theorie der Korper del 1910, in cui venivano ampiamente illustrate anche le connessioni di questa nuova teoria con i risultati di Galois.

La presentazione della Teoria di Galois che viene oggi più frequentemente proposta, e che seguiremo in questo testo, è dovuta ad Emil Artin e risale alla fine degli anni trenta. Essa fu pubblicata in due quaderni di lezioni: Foun­dations oJ Galois Theory (1938) e Galois Theory (1942). Attraverso il lavoro di Artin, la Teoria di Galois perse definitivamente il suo carattere computa­zionale e si trasformò in una teoria riguardante le relazioni esistenti tra gli ampliamenti di campi e i loro gruppi di automorfismi, divenendo cosÌ una disciplina del tutto generale, di cui la risolubilità per radicali delle equazioni polinomiali è soltanto una delle possibili applicazioni.

Per approfondimenti storici sugli sviluppi della Teoria di Galois, si può consultare [37].

Indice

Parte I ANELLI DI POLINOMI

1 Anelli e campi: nozioni di base. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 3 1.1 Anelli e ideali . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 1.2 Anelli quoziente e omomorfismi di anelli. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 1. 3 Ideali primi e massimali . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 11 1.4 Divisibilità in un dominio. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 15

1.4.1 Massimo comune divisore ........................... 16 1.4.2 Domini a fattorizzazione unica. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 17 1.4.3 Domini a ideali principali. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 19

1.5 Il campo delle frazioni di un dominio. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 21 1.6 La caratteristica di un anello. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 23 1. 7 Esercizi ................................................ 24

2 Anelli di polinomi ......................................... 29 2.1 Polinomi a coefficienti in un anello ......................... 29

2.1.1 Polinomi in più indeterminate ....................... 31 2.1.2 Il grado di un polinomio ............................ 33 2.1.3 Polinomi invertibili e irriducibili. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 35

2.2 Polinomi a coefficienti in un campo. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 36 2.2.1 Divisione euclidea e massimo comune divisore ......... 36 2.2.2 Fattorizzazione unica ..... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 41

2.3 Funzioni polinomiali e radici di polinomi ... . ............... 43 2.3.1 Il valore di un polinomio ........... . .............. , 43 2.3.2 Funzioni polinomiali . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 45 2.3.3 Radici di polinomi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 46 2.3.4 Radici multiple ................................... 50 2.3.5 Formule di interpolazione. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 51 2.3.6 Cambio di variabile. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 54

2.4 Polinomi a coefficienti complessi ...... . ......... . ......... , 56 2.4.1 Polinomi a coefficienti reali. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 58

XIV Indice

2.4.2 Radici complesse dell'unità. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 60 2.5 Polinomi su un dominio a fattorizzazione unica. . . . . . . . . . . . .. 63

2.5.1 Il lemma di Gauss. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 63 2.5.2 Criteri di irriducibilità . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 67 2.5.3 Fattorizzazione su Q . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 70

2.6 Il teorema della base di Hilbert ............................ 74 2.7 Polinomi simmetrici ..................................... 78

2.7.1 Funzioni simmetriche .............................. 84 2.7.2 Il polinomio generale. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 86 2.7.3 Il discriminante di un polinomio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 87 2.7.4 Il risultante di due polinomi ........................ 90

2.8 Polinomi in infinite indeterminate ......................... 95 2.9 Esercizi................................................ 97

Parte II TEORIA DEI CAMPI

3 Ampliamenti di campi ..................................... 109 3.1 Isomorfismi di campi ..................................... 109 3.2 Ampliamenti di campi ................................... 111 3.3 Elementi algebrici e trascendenti .......................... 114

3.3.1 Numeri trascendenti ............................... 115 3.3.2 Il polinomio minimo di un elemento algebrico ......... 119

3.4 Ampliamenti semplici .................................... 120 3.5 Ampliamenti finiti ....................................... 123

3.5.1 Ampliamenti quadrati ci ................... . ........ 125 3.5.2 Ampliamenti biquadratici .......................... 125 3.5.3 Ampliamenti del tipo Q( Va, Vb) .................... 126 3.5.4 Il composto di due campi ........................... 128

3.6 Ampliamenti algebrici finitamente generati ................. 130 3.6.1 Un ampliamento algebrico che non è finito ............ 131

3.7 Esercizi ................................................ 131

4 Campi di spezzamento ..................................... 135 4.1 Costruzione di un campo di spezzamento ................... 135 4.2 Estensione di isomorfismi ................................. 141

4.2.1 Isomorfismi in <C .............•..•................. 144 4.2.2 Isomorfismi tra campi di spezzamento ................ 147

4.3 Campi finiti ............................................ 150 4.3.1 Polinomi irriducibili su Fp .......................... 154 4.3.2 Gli automorfismi di un campo finito ................. 157

4.4 Ampliamenti ciclotomici .................................. 159 4.4.1 Irriducibilità del polinomio ciclotomico ............... 163 4.4.2 Irriducibilità del polinomio X n - a .................. 165 4.4.3 Gli automorfismi di un ampliamento ciclotomico ...... 169

Indice XV

4.4.4 Un teorema di Dirichlet ............................ 170 4.4.5 Un teorema di Wedderburn ......................... 171

4.5 Esercizi ................................................ 172

5 Ampliamenti algebrici ..................................... 179 5.1 Chiusure algebriche e campi algebricamente chiusi ........... 179

5.1.1 Isomorfismi tra chiusure algebriche .................. 183 5.2 Ampliamenti normali .................................... 186

5.2.1 Chiusura normale ................................. 189 5.3 Ampliamenti separabili ................................... 191

5.3.1 Campi perfetti .................................... 193 5.3.2 Il teorema dell'elemento primitivo ................... 194 5.3.3 Il grado di separabilità ............................. 197 5.3.4 Ampliamenti puramente inseparabili ................. 200 5.3.5 Chiusura separabile ................................ 202 5.3.6 Norma e traccia ................................... 204

5.4 Ampliamenti di Galois ................................... 207 5.5 Esercizi ................................................ 210

6 Ampliamenti trascendenti ................................. 215 6.1 Dipendenza algebrica .................................... 215 6.2 Basi di trascendenza ..................................... 218 6.3 Il teorema degli zeri di Hilbert ............................ 221 6.4 Il teorema di Liiroth ..................................... 224 6.5 Gli automorfismi del campo complesso ..................... 225 6.6 Esercizi ................................................ 226

Parte III LA CORRISPONDENZA DI GALOIS

7 La corrispondenza di Galois ............................... 231 7.1 Il gruppo di Galois di un ampliamento ..................... 231 7.2 Campi fissi ............................................. 234

7.2.1 Il lemma di Artin ................................. 237 7.2.2 Chiusura inseparabile .............................. 239

7.3 Il teorema fondamentale della corrispondenza di Galois ....... 241 7.3.1 Il caso non finito .................................. 246 7.3.2 Un teorema di estensione ........................... 249 7.3.3 Alcuni esempi ..................................... 251

7.4 Esercizi ................................................ 257

8 Il gruppo di Galois di un polinomio ........................ 261 8.1 I gruppi di Galois finiti come gruppi di permutazioni ......... 261

8.1.1 Alcuni esempi ..................................... 264 8.2 Calcolo del gruppo di Galois di un polinomio ................ 275

8.2.1 Riduzione modulo p ............................... 278

XVI Indice

8.3 Il problema inverso ...................................... 280 8.3.1 Polino mi su tQ con gruppo di Galois totale ............ 280 8.3.2 Polinomi su tQ con gruppo di Galois abeliano ......... 285 8.3.3 Un polinomio su tQ con gruppo di Galois isomorfo al

gruppo delle unità dei quaternioni ................... 290 8.4 Esercizi ................................................ 292

Parte IV APPLICAZIONI

9 Risolubilità per radicali delle equazioni polinomiali ........ 299 9.1 Ampliamenti radicali ..................................... 299 9.2 Risolubilità per radicali .................................. 305 9.3 Equazioni di terzo grado ................................. 311

9.3.1 Le formule di Tartaglia-Cardano .................... 312 9.3.2 Il "casus irriducibilis" .............................. 313 9.3.3 Formule trigonometriche ........................... 316

9.4 Equazioni di quarto grado ................................ 317 9.4.1 Le formule di Ferrari ............................... 318 9.4.2 Le formule di Descartes ............................ 319 9.4.3 Il gruppo di Galois di un polinomio di quarto grado .... 322

9.5 Equazioni di grado primo risolubili per radicali .............. 325 9.5.1 Equazioni di quinto grado .......................... 329

9.6 Come risolvere un'equazione risolubile per radicali ........... 332 9.6.1 Equazioni cicliche ................................. 333 9.6.2 Risolventi di Lagrange ............................. 335 9.6.3 Calcolo delle radici p-esime dell'unità ................ 338

9.7 Esercizi ................................................ 339

lO Il teorema fondamentale dell'algebra ....................... 345

Il Costruzioni con riga e compasso ........................... 347 11.1 Punti costruibili ......................................... 347

11.1.1 Alcune costruzioni geometriche ...................... 348 11.2 Caratterizzazione algebrica dei punti costruibili ............. 352 11.3 Numeri complessi costruibili .............................. 356 11.4 Costruzioni impossibili ................................... 358 11.5 Costruibilità dei poligoni regolari .......................... 360 11.6 Esercizi ................................................ 364

Indice XVII

Parte V APPENDICI

12 Complementi di teoria dei gruppi . ......................... 369 12.1 Azioni di gruppi ......................................... 369

12.1.1 Il coniugio e l'equazione delle classi .................. 371 12.1.2 p-gruppi finiti ..................................... 374

12.2 I teoremi di Sylow ....................................... 374 12.3 Gruppi risolubili ......................................... 377

12.3.1 Gruppi semplici ................................... 380 12.4 Gruppi abeliani finiti .................................... 382

12.4.1 Il gruppo delle unità di Zn ......................... 385 12.5 Esercizi ............................. . . ................. 386

13 La cardinalità di un insieme ............................... 389 13.1 La cardinalità del numerabile ............................. 391 13.2 La cardinalità del continuo ............................... 394 13.3 Operazioni tra cardinalità ................................ 398

Riferimenti bibliografici . ....................................... 401

Indice analitico ............................................ . ... 405