Teoria degli Insiemi Docente: Francesca Benanti Ottobre 2017 1 Teoria degli Insiemi La Teoria degli Insiemi ` e una bran- ca della matematica creata alla fine del diciannovesimo secolo principalmen- te dal matematico tedesco Georg Cantor (1845-1918). Inizialmente controversa, ` e arrivata ad avere il ruolo di teoria fondamentale nella matematica moder- na. I concetti di questa teoria, quali per esempio quelli di funzione e di relazione, sono presenti in ogni suo settore. Un insieme ` e una collezione di oggetti determinati e distinti della nostra percezione o del nostro pensiero concepiti come un tutto unico. Tali oggetti si dicono gli elementi dell’insieme. (G. Cantor) 2 Insiemi Insieme: concetto primitivo, nel senso che non pu`o essere definito in termini di altre nozioni pi` u elementari, sinonimo di collezione, raccolta di elementi. Insiemi Numerici: • N = {0, 1, 2, 3, 4 ...} = l’insieme dei numeri naturali, 1
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Teoria degli Insiemi
Docente: Francesca Benanti
Ottobre 2017
1 Teoria degli Insiemi
La Teoria degli Insiemi e una bran-ca della matematica creata alla finedel diciannovesimo secolo principalmen-te dal matematico tedesco Georg Cantor(1845-1918). Inizialmente controversa,e arrivata ad avere il ruolo di teoriafondamentale nella matematica moder-na. I concetti di questa teoria, quali peresempio quelli di funzione e di relazione,sono presenti in ogni suo settore.
Un insieme e una collezione di oggetti determinati e distinti della nostrapercezione o del nostro pensiero concepiti come un tutto unico. Tali oggettisi dicono gli elementi dell’insieme. (G. Cantor)
2 Insiemi
Insieme: concetto primitivo, nel senso che non puo essere definito in terminidi altre nozioni piu elementari, sinonimo di collezione, raccolta di elementi.
Insiemi Numerici:
• N = {0, 1, 2, 3, 4 . . .} = l’insieme dei numeri naturali,
1. Dimostrare le proprieta delle operazioni tra insiemi;
2. SianoA = {x ∈ Z | x4 − 13x2 + 36 = 0}
eB = {x ∈ Z | x|18}.
Determinare A ∪B, A ∩B, A\B e B\A.
3. Siano
A = {a, b}, B = {2, 3} e C = {4, 3}
DeterminareA× (B ∪ C), (A×B) ∪ (A× C), A× (B ∩ C) e (A×B) ∩ (A× C).
Proprieta Distributiva, A ∩ (B ∪ C) = (A ∩B) ∪ (A ∩ C):Verifichiamo
• A ∩ (B ∪ C) ⊆ (A ∩B) ∪ (A ∩ C):
∀x ∈ A ∩ (B ∪ C)⇒ x ∈ A ∧ x ∈ (B ∪ C)⇒
(x ∈ A) ∧ (x ∈ B ∨ x ∈ C)⇒
(x ∈ A ∧ x ∈ B) ∨ (x ∈ A ∧ x ∈ C)⇒
(x ∈ A ∩B) ∨ (x ∈ A ∩ C)⇒ x ∈ (A ∩B) ∪ (A ∩ C)
• (A ∩B) ∪ (A ∩ C) ⊆ A ∩ (B ∪ C):
∀x ∈ (A ∩B) ∪ (A ∩ C)⇒ x ∈ (A ∩B) ∨ x ∈ (A ∩ C)⇒
(x ∈ A ∧ x ∈ B) ∨ (x ∈ A ∧ x ∈ C)⇒
(x ∈ A) ∧ (x ∈ B ∨ x ∈ C)⇒
x ∈ A ∧ (x ∈ B ∪ C)⇒ x ∈ A ∩ (B ∪ C).
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9 Corrispondenze
Definizione: Dati due insiemi A e B si definisce corrispondenza o relazioneR da A in B una legge che associa elementi di A ad elementi di B.
N.B. A e detto dominio della corrispondenza,B e detto codominio della corrispondenza.
Esempio:
A = {1, 4,−5} B = {0, 1,−2, 2, 3}
consideriamo la corrispondenza R definita nel modo seguente:
aRb, se b2 = a
dove a ∈ A e b ∈ B.
Allora si ha:
1R 1, 4R 2, 4R − 2
Osservazione: In una corrispondenza da A in B ad un elemento del domi-nio puo essere associato piu di un elemento o nessun elemento del codominio.
Esempio:
A = {1, 4,−5} B = {0, 1,−2, 2, 3}
aRb, se b2 = a
1R 1
4R 2, 4R − 2
6 ∃ b ∈ B | − 5R b
Osservazione: Una corrispondenza da A in B puo essere vista come unsottoinsieme del prodotto cartesiano A×B, ossia
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ARB = {(a, b) | a ∈ A, b ∈ B, aR b} ⊆ A×B
Esempio:
A = {1, 4,−5} B = {0, 1,−2, 2, 3}
aRb, se b2 = a
1R 1, 4R 2, 4R − 2
ARB = {(1, 1), (4, 2), (4,−2)} ⊆ A×B
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10 Relazioni
Definizione: Dato un insieme A si definisce relazione binaria o semplice-mente relazione su A una corrispondenza R da A in se stesso.
Osservazione: Una relazione su A individua un sottoinsieme del prodottocartesiano A× A.
Esempio: Sia
A = {0, 1, . . . , 9}
consideriamo la relazione R definita nel modo seguente:
aR a, se a = 2a
dove a, a ∈ A. Allora
ARA = {(a, a) | a, a ∈ A, a = 2a} =
= {(0, 0), (1, 2), (2, 4), (3, 6), (4, 8)}.
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Osservazione: Una relazione su A puo essere rappresentata anche medianteun grafo in cui i nodi sono gli elementi di A e gli archi le relazioni tra glielementi di A.
Esempio: A = {0, 1, . . . , 9}
ARA = {(a, a) | a, a ∈ A, a = 2a}
11 Proprieta delle Relazioni
• Proprieta Riflessiva: Una relazione R definita su un insieme A eriflessiva se ogni elemento di A e in relazione con se stesso:
∀x ∈ A, xRx.
• Proprieta Simmetrica: Una relazione R definita su un insieme Ae simmetrica se, comunque presi x e y in A, se x e in relazione con yallora y e in relazione con x:
∀x, y ∈ A, xRy ⇒ yRx.
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• Proprieta Antisimmetrica: Una relazione R definita su un insiemeA e antisimmetrica se, comunque presi x e y in A con x 6= y, se x e inrelazione con y allora y non e in relazione con x:
∀x, y ∈ A, x 6= y, xRy ⇒ y 6 Rx.o, equivalentemente, se x e in relazione con y e y e in relazione con xallora x = y
∀x, y ∈ A, xRy, yRx⇒ x = y.
• Proprieta Transitiva: Una relazione R definita su un insieme Ae transitiva se, comunque presi tre elementi in A, x, y, z, se x e inrelazione con y e y con z, allora x e in relazione con z:
∀x, y, z ∈ A, xRy, yRz ⇒ xRz.
12 Relazioni d’ordine
Definizione: Una relazione R su un insieme A per la quale valgono leproprieta riflessiva, antisimmetrica e transitiva e detta relazione d’ordineparziale.
A e detto parzialmente ordinato.
Definizione: Una relazione d’ordine R su un insieme A e detta relazioned’ordine totale se comunque presi due elementi a e b in A si ha aRb o bRa,ossia a e b si possono sempre confrontare.
A e detto totalmente ordinato.
Esempio: Sia A = {1, 2, 3, 6, 12}, consideriamo la relazione R definita nelmodo seguente:
xRy ⇔ x|y, x, y ∈ A.R e una relazione d’ordine parziale su A, infatti
• R e riflessiva:
∀x ∈ A, x|x• R e antisimmetrica:
∀x, y ∈ A, xRy, yRx⇒ x|y, y|x⇒ x = y
• R e transitiva:
∀x, y, z ∈ A, xRy, yRz ⇒ x|y, y|z ⇒ x|z ⇒ xRz
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Graficamente:
N.B. La relazione d’ordine non e totale, infatti 2 6 | 3 e 3 6 | 2, dunque 2 6 R3 e3 6 R2.
Esempio: Sia A = R. Consideriamo la relazione R definita nel modo se-guente:
xRy ⇔ x ≤ y, x, y ∈ A.R e una relazione d’ordine totale su A, infatti
• R e riflessiva:
∀x ∈ A, x ≤ x
• R e antisimmetrica:
∀x, y ∈ A, xRy, yRx⇒ x ≤ y, y ≤ x⇒ x = y
• R e transitiva:
∀x, y, z ∈ A, xRy, yRz ⇒ x ≤ y, y ≤ z ⇒ x ≤ z ⇒ xRz
• e inoltre
∀x, y ∈ A, x ≤ y, oppure y ≤ x.
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13 Relazioni d’equivalenza
Definizione: Una relazione R su un insieme A per la quale valgono leproprieta riflessiva, simmetrica e transitiva e detta relazione d’equivalenza.
Esempi:
1. Sia A un generico insieme. Consideriamo la relazione R definita nelmodo seguente:
xRy ⇔ x = y, x, y ∈ A.
Banalmente si verifica che R e una relazione d’equivalenza su A.
2. Sia A = Z. Consideriamo la relazione R definita nel modo seguente:
aRb⇔ a− b = 2n, n ∈ Z, a, b ∈ A.
R e una relazione d’equivalenza su A, infatti:
• R e riflessiva:
∀a ∈ Z, a− a = 0 = 2 · 0⇒ aRa;
• R e simmetrica:
∀a, b ∈ Z, aRb⇒ a− b = 2 · n, n ∈ Z⇒b− a = −(a− b) = −(2 · n) = 2 · (−n) = 2 · n′, n′ ∈ Z⇒
bRa;
• R e transitiva:
∀a, b, c ∈ Z, aRb e bRc⇒a− b = 2 · n, b− c = 2 · n′, n, n′ ∈ Z⇒
a− c = (a− b) + (b− c) = 2 · n+ 2 · n′ = 2 · (n+ n′) =
2 ·m, m ∈ Z⇒ aRc.
3. Sia A = Z. Consideriamo la relazione R definita nel modo seguente:
aRb⇔ ab ≥ 0, a, b ∈ A.
R non e una relazione d’equivalenza su A, infatti:
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• R e riflessiva:
∀a ∈ Z, aa = a2 ≥ 0⇒ aRa;
• R e simmetrica:
∀a, b ∈ Z, aRb⇒ ab ≥ 0⇒ ba ≥ 0⇒ bRa;
• R non e transitiva:
3R0, 0R(−5) ma 3 6 R(−5).
4. Sia A = Z∗. Consideriamo la relazione R definita nel modo seguente:
aRb⇔ ab > 0, a, b ∈ A.
R e una relazione d’equivalenza su A, infatti:
• R e riflessiva:
∀a ∈ Z∗, aa = a2 > 0⇒ aRa;
• R e simmetrica:
∀a, b ∈ Z∗, aRb⇒ ab > 0⇒ ba > 0⇒ bRa;
• R e transitiva:
∀a, b, c ∈ Z∗, aRb, bRc⇒ ab > 0, bc > 0⇒(ab)(bc) > 0⇒ ab2c > 0⇒ ac > 0⇒ aRc.
Definizione: Sia dato un insieme A e sia R una relazione di equivalenzadefinita in A. Sia a ∈ A, si chiama classe di equivalenza di a il sottoinsiemedi A formato da tutti gli elementi b di A che sono in relazione con a
[a] = {b ∈ A | aRb}.
Osservazione: [a] 6= ∅, infatti a ∈ [a].
Esempi:
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1. Sia A un generico insieme. Consideriamo la relazione R definita nelmodo seguente:
xRy ⇔ x = y, x, y ∈ A.
Sia a ∈ A, allora
[a] = {b ∈ A | aRb} = {b ∈ A | a = b} = {a}.
2. Sia A = Z. Consideriamo la relazione R definita nel modo seguente:
aRb⇔ a− b = 2n, n ∈ Z, a, b ∈ A.
Determiniamo [3]:
[3] = {x ∈ Z | 3Rx} = {x ∈ Z | 3− x = 2n, n ∈ Z} =
{x ∈ Z | x = 3− 2n = 3 + 2n′ = 2n′′ + 1, n′′ ∈ Z} =
{x ∈ Z | x = 2n+ 1, n ∈ Z} =
{tutti gli interi dispari}
3. Sia A = Z∗. Consideriamo la relazione R definita nel modo seguente:
aRb⇔ ab > 0, a, b ∈ A.
Determiniamo [−5] e [−2]:
[−5] = {x ∈ Z∗ | (−5)Rx} = {x ∈ Z∗ | (−5)x > 0} =
{x ∈ Z∗ | x < 0} = Z−
Analogamente
[−2] = {x ∈ Z∗ | (−2)Rx} = {x ∈ Z∗ | (−2)x > 0} =
{x ∈ Z∗ | x < 0} = Z− = [−5].
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Domanda: Quando due classi di equivalenza coincidono?
Criterio: Sia R una relazione di equivalenza definita su un insieme A.∀a, b ∈ A,
[a] = [b]⇔ aRb.
Dimostrazione:
(⇒): bRb⇒ b ∈ [b] = [a]⇒ b ∈ [a]⇒ aRb.
(⇐): Dimostriamo dapprima che [a] ⊆ [b]. ∀c ∈ [a]⇒ aRc. Ma per ipotesiaRb. Dunque, per la proprieta simmetrica, si ha che bRa. Allora bRa eaRc. Per la transitivita di R, si ha bRc. Dunque c ∈ [b]. In modo analogo sidimostra che [b] ⊆ [a]. In conclusione si ha [a] = [b].
Definizione: Sia dato un insieme A e sia R =∼ una relazione di equivalenzadefinita in A. Si definisce insieme quoziente di A modulo ∼ l’insieme di tuttele classi di equivalenza
A/ ∼= {[a]∼ | a ∈ A}.
Esempi:
1. Sia A un generico insieme. Consideriamo la relazione ∼ definita nelmodo seguente:
x ∼ y ⇔ x = y, x, y ∈ A.
Sia a ∈ A, allora [a] = {a}.Dunque
A/ ∼= {[a] | a ∈ A} = {{a} | a ∈ A}.
2. Sia A = Z. Consideriamo la relazione ∼ definita nel modo seguente:
a ∼ b⇔ a− b = 2n, n ∈ Z, a, b ∈ A.
Determiniamo [0]:
[0] = {x ∈ Z | 0 ∼ x} = {x ∈ Z | 0− x = 2n, n ∈ Z} =
{x ∈ Z | x = −2n = 2n′, n′ ∈ Z} =
{x ∈ Z | x = 2n, n ∈ Z} = {tutti gli interi pari}
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Determiniamo [1]:
[1] = {x ∈ Z | 1 ∼ x} = {x ∈ Z | 1− x = 2n, n ∈ Z} =
{x ∈ Z | x = 1− 2n = 1 + 2n′, n′ ∈ Z} =
{x ∈ Z | x = 2n+ 1, n ∈ Z} = {tutti gli interi dispari}Dunque
Z/ ∼= {[0], [1]}.
3. Sia A = Z∗. Consideriamo la relazione ∼ definita nel modo seguente:
Risultato: Sia dato un insieme A e sia ∼ una relazione di equivalenzadefinita in A. Allora l’insieme quoziente A/ ∼ e una partizione di A, ossiae una famiglia di sottoinsiemi di A non vuoti, a due a due disgiunti e la cuiunione e tutto A.
14 Funzioni
Definizione: Dati due insiemi A e B si chiama applicazione o funzione daA in B una corrispondenza che associa ad ogni elemento di A uno ed un soloelemento di B. Si scrive:
f : A→ B
a→ b
dove a ∈ A. Si scrive anche f(a) = b.
N.B. A e detto dominio della funzione,
B e detto codominio della funzione.
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Esempio: Dati gli insiemi
A = {−2,−1, 0, 1, 2} e B = {−4,−3,−2,−1, 0, 1, 2, 3, 4}
si consideri la corrispondenza
f : A→ B
definita da
f(x) = x2, ∀x ∈ A.
f e un’applicazione, infatti ad ogni elemento di A corrisponde uno ed un soloelemento di B
f(−2) = 4 ∈ B, f(−1) = 1 ∈ B, f(0) = 0 ∈ B,
f(1) = 1 ∈ B, f(2) = 4 ∈ B.
Graficamente:
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Criterio: Per verificare che una corrispondenza f : A→ Be un’applicazione bisogna verificare
• ∀x ∈ A, ∃f(x) ∈ B;
• ∀x ∈ A, ∃!f(x) (e unico):
x = y ⇒ f(x) = f(y)
Esempi:
1. Consideriamo la corrispondenza
f : Z→ Z
definita daf(x) = 2x, ∀x ∈ Z.
f e un’applicazione, infatti
• ∀x ∈ Z, 2x ∈ Z⇒ f(x) = 2x ∈ Z.
• Siano x, y ∈ Z. Se x = y ⇒ 2x = 2y ⇒ f(x) = f(y)
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2. Consideriamo la corrispondenza
f : Q→ Q
definita daf(a
b) = 5
a
b, ∀a
b∈ Q.
f e un’applicazione, infatti
• ∀ab∈ Q, 5a
b∈ Q⇒ f(a
b) ∈ Q.
• Siano ab, cd∈ Q. Se a
b= c
d⇒ 5a
b= 5 c
d⇒ f(a
b) = f( c
d)
3. Consideriamo la corrispondenza
f : R→ R
definita da
f(x) =5
2− x, ∀x ∈ R.
f non e un’applicazione, infatti
• f(2) 6∈ R
4. Consideriamo la corrispondenza
f : Q→ Q
definita daf(a
b) = 2b, ∀a
b∈ Q.
f non e un’applicazione, infatti
• ∀ab∈ Q, 2b ∈ Q⇒ f(a
b) ∈ Q.
• 12
= 36
ma f(12) = 4 6= f(3
6) = 12
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Definizione: Dati due insiemi A e B ed f : A→ B un’applicazione. Si diceche f e iniettiva se elementi distinti del dominio hanno immagini distinte nelcodominio, ossia
∀x, y ∈ A, x 6= y ⇒ f(x) 6= f(y).
Esempi:
INIETTIVA NON INIETTIVA
Criterio: f : A→ B e iniettiva se, ∀x, y ∈ A,
f(x) = f(y)⇒ x = y
Esempi:
1. Consideriamo l’applicazione
f : Z→ Z
definita daf(x) = 3x+ 1, ∀x ∈ Z.
f e iniettiva, infatti
Siano x, y ∈ Z. Se
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f(x) = f(y)⇒
3x+ 1 = 3y + 1⇒ 3x = 3y ⇒ x = y
2. Consideriamo l’applicazione
f : Z→ Z
definita daf(x) = x2, ∀x ∈ Z.
f non e iniettiva, infatti
1 6= −1 ma f(1) = 1 = f(−1)
Definizione: Dati due insiemi A e B ed f : A→ B un’applicazione. Si diceche f e surgettiva o suriettiva se ogni elemento del codominio e immagine diqualche elemento del dominio, ossia
∀b ∈ B, ∃a ∈ A t.c. f(a) = b.
Esempi:
SURGETTIVA NON SURGETTIVA
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Criterio: f : A→ B e surgettiva se, ∀b ∈ B ∃x ∈ A, taleche l’equazione
f(x) = b
ha soluzione.
Esempi:
1. Consideriamo l’applicazione
f : Z→ Z
definita daf(x) = x+ 6, ∀x ∈ Z.
f e surgettiva?
∀b ∈ Z ∃x ∈ Z t.c. x+ 6 = b?
Risolviamox+ 6 = b
si ottiene
x = b− 6 ∈ Z
dunque
∀b ∈ Z ∃x = b− 6 ∈ Z t.c. f(b− 6) = b
f e surgettiva.
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2. Consideriamo l’applicazione
f : Z→ Z
definita daf(x) = 3x+ 1, ∀x ∈ Z.
f e surgettiva?
∀b ∈ Z ∃x ∈ Z t.c. 3x+ 1 = b?
Risolviamo3x+ 1 = b
si ottiene
x =b− 1
36∈ Z
dunque f non e surgettiva, infatti per b = 5 si ha x = 436∈ Z
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Definizione: Dati due insiemi A e B ed f : A→ B un’applicazione. Si diceche f e biunivoca se e iniettiva e surgettiva.
Esempi:
1.
2. Consideriamo l’applicazione
f : Z→ Z
definita daf(x) = x+ 6, ∀x ∈ Z.
f e biunivoca
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Definizione: Dati due insiemi A e B ed f : A→ B un’applicazione biu-nivoca. Si definisce funzione inversa di f , e si indica f−1, l’applicazionef−1 : B → A che associa ad ogni elemento di B, b ∈ B, quell’unico elementoa ∈ A di cui e immagine tramite la f , ossia f(a) = b.
∀b ∈ B, f−1(b) = a, dove a ∈ A e f(a) = b
Esempio:
f f−1
Esempio: Consideriamo l’applicazione
f : Z→ Z
definita daf(x) = x+ 6, ∀x ∈ Z.
Abbiamo visto che f e biunivoca
La funzione inversa
f−1 : Z→ Ze definita da
f(x) = x− 6, ∀x ∈ Z.
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Definizione: Siano f : A→ B e g : B → C due applicazioni. Allora l’ap-plicazione g ◦ f : A→ C definita da
g ◦ f(x) = g(f(x)), ∀x ∈ A
e detta applicazione composta.
Esempio: Consideriamo
f : Z∗ → N
f(x) = x2, ∀x ∈ Z∗g : N→ Q
g(x) = 3x+52, ∀x ∈ N
g ◦ f : Z∗ → Q
g ◦ f(x) = g(f(x)) = g(x2) =3x2 + 5
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Esercizi:
1. Delle seguenti relazioni su N verificare quali tra le proprieta riflessiva,simmetrica, anti-simmetrica e transitiva sono valide:
a) xRy ⇔ x|y;
b) xRy ⇔ hanno lo stesso numero di cifre;
c) xRy ⇔ x− y = 3n per qualche naturale n;
d) xRy ⇔ hanno un divisore comune diverso da 1.
2. Su Z si definisca la seguente relazione:
xRy ⇔ λx− 3y = 1
con λ ∈ Z. Dire per quale valore di λ la relazione R e simmetrica:
a) λ = 0;
b) λ = 12;
c) λ = −3;
d) λ = 2.
3. Delle seguenti funzioni dire quali sono iniettive e quali surgettive:
a) f : R→ R, definita da f(x) = 4x+ 1;
b) g : R∗ → R, definita da g(x) = 2x;
c) h : Z∗ → R, definita da h(x) = 1x2+1
;
4. Siano f : R→ R e g : R→ R due funzioni definite da f(x) = (x− 1)2
e g(x) = x+ 1. Determinare le funzioni composte f ◦ g, g ◦ f , f ◦ f eg ◦ g.