Teoría de Señales para Comunicaciones

Universidad del Quindío, Madrid Hoyos, Bermúdez López, Giraldo Moreno, Teoría de Señalespara Comunicaciones (Analizador de Espectros) .

Resumen— En el presente informe seexplica el procedimiento llevado a caboen el espacio de laboratorio de laasignatura de fundamentos detelecomunicaciones. Esta práctica delaboratorio pretende que losestudiantes comprendan y analicen lateoría de las señales manipuladas paraestablecer una comunicación. El estudiose realiza a partir de laimplementación de un tono y un tren depulsos en especifico, permitiendocomprender conceptos básicos sobreseñales vistos en teoría como lo es ladensidad espectral de potencia,autocorrelación, las aplicacionesreales de la trasformada de Fourierante señales reales, las cuales soncomparadas con su respectivarepresentación en simulación medianteel software Matlab. Para la elaboraciónde este laboratorio es indispensableaplicar los conceptos teóricosobtenidos en la práctica anterior.

Palabras claves— Densidad espectral depotencia, Señal tono, Transformadarápida de Fourier, Señal real, Señalsimulada, Comparación.

I.INTRODUCCION

La teoría de las señales paracomunicaciones establece lasherramientas fundamentales para eltratamiento, transmisión y recepción deinformación, lo cual permite elestablecimiento de una comunicación

entre sistemas de diferente índole apartir de diferentes lenguajes enparticular. Para comprender elcomportamiento de las señales queestablecen una comunicación esnecesario analizar y entender temasfundamentales como la transformada deFourier, densidad espectral depotencia, teorema del muestreo, entreotros. Lo que se pretende con estapráctica de laboratorio es que elestudiante interactué en la realidadcon señales donde analice los conceptosanteriormente nombrados y así desempeñenuevos conocimientos que le servirán afuturo.

Para la realización de la práctica secontará con una gama de herramientascomo equipos de laboratorio y softwarede simulación que permitirán detallarcomportamientos temporales yespectrales de las señales senoidales yrectangulares. Todos los resultadosexperimentales se exponen a lo largo detexto.

II.OBJETIVOS

Analizar el comportamiento en eldominio del tiempo y en el dominio dela frecuencia de las principalesseñales tratadas entelecomunicaciones, tanto de formateórica, práctica y simulada.

Comprender el concepto de densidadespectral de potencia para lasseñales senoidales y rectangulares,

Teoría de Señalespara Comunicaciones

Jorge Alberto Madrid Hoyos, Iván Fernando Bermúdez López, JuliánDavid Giraldo Moreno

{ jamadridh, ifbermudezl_1, jdgiraldom }@uqvirtual.edu.co

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además de analizarlo de manerageneral para señalesdeterministicas.

Establecer diferencias entre losresultados obtenidos en laimplementación real y los obtenidosmediante la simulación en Matlab.

Implementar herramientas digitales ycomandos de códigos que permitan lavariación de parámetros para lasseñales estudiadas, permitiendo asíanalizar y comprender elcomportamiento de dichas señales bajodiferentes condiciones reales, ya seaen el dominio del tiempo y/o en sucontenido espectral.

III. MATERIALES

Osciloscopio digital OD 571 yconectores propios.

Generador de funciones programablesGF 855 y conectores propios.

Computador con software Matlab.IV. MARCO TEÓRICO

Se ha observado que una señal periódicapuede representarse como suma de ondassenoidales. Las que nos interesaránespecialmente, y en eso se basa elanálisis de Fourier son las que tienenunas frecuencias determinadas. Laselegidas son, la frecuencia quecaracteriza la señal que queremosanalizar y sus múltiplos: el doble, eltriple…

f,2f,3f,4f,5f,…..Y así, cualquier señal podrádescomponerse en una suma como lasiguiente

A0+A1sen (2πf1+δ1)+A2sen (2π:∗2f2+δ2 )+A3sen (2π∗3f3+δ3 )+…….

Esta forma de descomponer una señal sellama la Transformación de Fourier. Laventaja de elegir estas funciones, quese llamarán armónicos, es que analizaruna señal cualquiera para ver suscomponentes con esas frecuencias. Severá la capacidad de Matlab paraobtener las componentes no ya de unaseñal continua, sino de la serie dedatos que la representa –bien o mal- enforma de muestreo. Esto se llamará laTransformación de Fourier Discreta(DFT), y hay muchas formas decalcularla. La más eficiente es laTransformada Rápida de Fourier, la FFTes de gran importancia en una ampliavariedad de aplicaciones, desdeel tratamiento digital deseñales y filtrado digital en general ala resolución de ecuaciones enderivadas parciales o los algoritmos demultiplicación rápida de grandesenteros. Uno de los algoritmosaritméticos más ampliamente utilizadoses la transformada rápida de Fourier,un medio eficaz de ejecutar un cálculomatemático básico y de frecuenteempleo. La transformada rápida deFourier es de importancia fundamentalen el análisis matemático y ha sidoobjeto de numerosos estudios. Laaparición de un algoritmo eficaz paraesta operación fue una piedra angularen la historia de la informática.Algunas aplicaciones que definen a laFFT son: Compresión de imagen y audio,filtrado digital, reducción de ruido enseñales como el ruido blanco,resolución de ecuaciones diferencialesparciales, análisis en frecuencia decualquier señal discreta, ya seaperiódicas o aperiódicas, análisis demateriales y estadística, síntesismediante la transformada inversa IFFT,algoritmos rápidos de convolución y

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correlación, detección de movimiento,entre otros.

Figura 1. Señal sinusoidal en el tiempo con

dicho espectro de frecuencia.

Figura 2. Señal rectangular en el tiempocon dicho espectro de frecuencia.

La Densidad Espectral de una señal esuna función matemática que nos informade cómo está distribuida la potencia ola energía (según el caso) de dichaseñal sobre las distintas frecuenciasde las que está formada, es decir,su espectro. La definición matemática dela Densidad Espectral (DE) es diferentedependiendo de si se trata de señalesdefinidas en energía, en cuyo casohablamos de Densidad Espectral deEnergía (DEE), o en potencia, en cuyocaso hablamos de Densidad Espectral dePotencia (DEP). Aunque la densidadespectral no es exactamente lo mismoque el espectro de una señal, a vecesambos términos se usan indistintamente,lo cual, en rigor, es incorrecto. [1]

ESTIMACION DE LA DENSIDAD ESPECTRALUn problema muy común y con grandesaplicaciones prácticas en procesado deseñal es el de estimar la densidadespectral de potencia de una señal

aleatoria estacionaria. Decimos"estimar" puesto que, como la señal esun proceso estocástico (estacionario)dada la naturaleza estocástica delmismo no es posible determinar conabsoluta precisión su DEP a no ser quedispongamos de un registro de señalinfinito, lo cual no es posible.Las técnicas de estimación se dividenen dos grandes grupos:

No Paramétricas. Están basadassiempre de una u otra forma en elcálculo del periodograma. Calcularla transformada de Fourier (en unordenador es la DFT) de un registrode señal para estimar su espectro esun ejemplo de técnica noparamétrica.

Paramétricas. Consisten en suponerun determinado modelo para elproceso estocástico(modelos AR, MA, ARMA, etc.) y en laestimación de los parámetros deestos modelos mediante técnicasde predicción lineal (filtradolineal óptimo) u otros métodos.

Acerca de los procesos estocásticos no estacionariosLa DE sólo está matemáticamente biendefinida en el caso de señales con unafunción de autocorrelaciónestacionaria, que no dependa de laposición de las variables aleatoriasque componen el proceso sino sólo de ladistancia entre ellas. Es decir, la DEsólo está bien definida para el caso deseñales deterministas y señalesaleatorias estacionarias. [2]

V.PROCEDIMIENTOInicialmente, se generó un tono de laforma Asen(wct) con amplitud de 2Vp yuna frecuencia angular de 2π*1000000,

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se conectó al osciloscopio digital yallí se observó la señal en el tiempo,luego, a través de la herramienta MATH-FFT se observó la transformada rápidade Fourier del tono generado, teniendoen cuenta que en esta etapa el cicloútil de la señal senoidal era de 50%,después, el siguiente paso fue cambiarel ciclo útil del tono a 20%, el cuales el mínimo que se puede generar;asimismo, se vario hasta el otroextremo, es decir hasta el 80%, y setomaron notas de los cambios en elespectro que genera el cambio del cicloútil; continuo a esto, se llevo a caboel mismo procedimiento, con ladiferencia que ya la señal de trabajoera una señal rectangular, igualmentese analizo su contenido espectral y loscambios del ciclo útil, amplitud yfrecuencia.Ahora, la segunda parte dellaboratorio, era generar un tono o unmultitono en matlab, en nuestro caso,se genero un solo tono, igualmente seanalizo su espectro, se modifico lafrecuencia y amplitud, para esta parteno se cambio el ciclo útil, dado que enmatlab cambiar el duty de una funciónsenoidal es un poco complejo y tedioso,después, se genero una señalrectangular en matlab con la función“Square”, la cual en sus argumentospermite modificar el ciclo útil, setomo nota de los cambios observados,además de los cambios en frecuencia yen amplitud de la señal, en cada una delas señales se comparo la densidadespectral de potencia cuando seproducía por la función “FFT” y lafunción “Pwelch”.

Los códigos implementados en matlabfueron los siguientes:

f=4e6; %se define la frecuencia de trabajofs=15*f; %se define la frecuencia de muestreots=1/fs; %periodo de muestreot=0:ts:10/f; %vector de tiempoA=5; %amplitud de la señal x=A*sin(2*pi*f*t); %tono en el tiempoplot(t,x); f1=0:1/ts/length(t):1/ts-1/ts/length(t);xf=fft(x); %transformada rapida de fouriera la señal en el tiempofigureplot(f1,abs(xf)*2/length(t))%magnitudxlim([0 8e6])figurepwelch(x,128,120,length(x),fs,'onesided') %Señal cuadrada--------------------------f2=5e6;fs2=100*f2;ts2=1/fs2;t2=(0:ts2:5/f2);y=2*square(2*pi*f2*t2);figure()plot(t2,y);ylim([-1 1])figure()pwelch(y,128,120,length(y),fs2,'onesided')xf=fft(y); %transformada rápida de Fouriera la señal en el tiempofigure()plot(abs(xf)*2/length(t))%magnitud

VI.. ANÁLISIS Y RESULTADOS

A continuación se presentan las señalesgeneradas en el laboratorio con elgenerador de señales y el osciloscopiodigital, tanto en el tiempo como en lafrecuencia, y en cada una de ellas seanalizara su comportamiento espectral yla consecuencia de los cambiosrealizados sobre estas señales:

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Figura 3. Señal senoidal f=1MHz, A=2Vp

En la figura 3 se observa una senoidalde frecuencia 1MHz y amplitud 2Vp, y surespectivo espectro, el cual tiene elarmónico precisamente en 1MHz como eralo esperado teóricamente, también seobserva que el ciclo útil es del 50%,es decir tenemos simetría en los dossemiciclos de la señal.

Figura 4. Señal senoidal con ciclo útil de20%

Figura 5. Señal senoidal con ciclo útil 80%

En las figura 4 y 5 se observa elcambio del ciclo útil de la señaloriginal, antes de un 50%, ahora con un20% y 80% respectivamente, comparamos yobservamos que al cambiar el cicloútil, genera más componentes enfrecuencia, y es razonable dado que almodificar el duty, lo que se hace esdistorsionar la señal original, lo queproduce más armónicos, asimismo, estecomportamiento es similar a una señaldiente de sierra reflejada en el casode la figura 4, y una señal diente desierra en la figura 5, donde suespectro es algo parecido al observadoen el osciloscopio.

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Figura 6. Señal senoidal con variaciones enfrecuencia y amplitud

En la señal original, teníamos unafrecuencia de 1MHz y una amplitud de2Vp, ahora, se modificaron estosparámetros a una nueva frecuencia de1,5MHz y una nueva amplitud 5Vp, comoconsecuencia de estos cambios, mas alláde los cambios reflejados en el tiempoque ya son conocidos, en la frecuenciase extendió la frecuencia, sabiendo queuna de las propiedades de latransformada de Fourier nos indica quesi se contrae en el tiempo, se expandeen la frecuencia, aumentamos lafrecuencia 500KHz mas, es decir que enel tiempo comprimimos 1/500000, y ahorael pico de la frecuencia se encuentramás alejado del origen, a la frecuenciade la señal, en cuanto a la amplitud,se analizo que existe un aumento en lapotencia, ya que esta depende de laamplitud de la señal en el tiempo, y enel espectro el pico esta mas alto comose observa en la figura 6.

Figura 7. Señal rectangular f=1MHz A=2Vp

En la figura 7 se observa el tren depulsos generado con una frecuencia de1MHz y amplitud 2Vp, su transformadarápida de Fourier teóricamentecorresponde a una señal sinc, la cualen cada nFocon n={1,2,3,…} disminuye suaplitud, entonces, lo observado en elosciloscopio digital si es lo esperado,ya que en cada armónico se ve el cambiode amplitud, cabe resaltar que en estetipo de señales, la mayoría de lapotencia está concentrada en losprimeros 4 armónicos del espectro, enesta figura la señal tiene un cicloútil del 50%.

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Figura 8. Señal rectangular con ciclo útil20%

Figura 9. Señal rectangular con ciclo útilde 80%

En las figuras 8 y 9 se observan loscambios realizados desde el generadordel ciclo útil de la señal rectangular,tenemos un ciclo útil del 20% y 80%respectivamente, en estos casos, veamos

que al reducir el tiempo de unsemiciclo y añadirlo al siguientesemiciclo, parece tener uncomportamiento de un tren de deltas, elcual en su espectro tiene unacaracterística similar en la que losarmónicos van disminuyendo su amplitud,entonces, en cada semiciclo reducido,se asemeja a un delta y como se observaen las figuras, en el momento delflanco ocurre varios armónicos, cuandose termina el pulso y entra en elsegundo semiciclo, no tiene contenidoespectral, y así periódicamente paralos dos casos.

Figura 10. Variaciones de frecuencia yamplitud de la señal rectangular

En la figura 10, se observa el cambiode frecuencia a una de 2MHz y una nuevaamplitud de 5Vp, nuevamente, porpropiedades de transformada de Fourier,se espera que el espectro tenga losarmónicos mas distanciados, ya que secomprimió en el tiempo entonces en lafrecuencia se expande. En cuanto a lapotencia, igualmente, la amplitud de

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los armónicos aumenta dado que laamplitud de la señal en el tiempotambién aumento.

De los códigos implementados en matlabse obtuvieron los siguientesresultados:

Figura 11. Señal seno en el tiempo

Figura13. Espectro de la señal seno confrecuencia fundamental en 1MHz

En las figuras 11 y 12 se observa unafunción senoidal generada en matlab confrecuencia 1MHz, y su respectivoespectro, el cual es el esperado

teóricamente con un solo armónico en lafrecuencia fundamental, como sabemos,para una señal determinística, ladensidad espectral de potencia serelaciona con la transformada deFourier, caso contrario con las señalesaleatorias, las cuales se les debehacer una caracterización con la mediaen ciertos intervalos de tiempo, ahoravamos a comparar esta densidadespectral de potencia con la calculadaa partir de la función “Pwelch”.

Figura 14. Densidad espectral de lafunción seno

En la figura 13 se observa la densidadespectral de potencia de la funciónsenoidal, la potencia como era deesperarse está concentrada su 90% en elarmónico principal que está en 1MHz, ladiferencia entre la FFT y la Pwelch yase especifico anteriormente en el marcoteórico.

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Figura 14. Señal seno en el tiempo con f=4MHz yA=5Vp

En la figura 14 esta la variación delos parámetros de la función senoidalcomo su amplitud y su frecuencia, acontinuación se analizara su densidadespectral de frecuencia de la forma detransformada rápida de Fourier (FFT)como de la función “Pwelch”

Figura15. Espectro de la función ceno frecuenciafundamental 4MHz

Figura16. Densidad espectral de la funciónceno

Nuevamente, la densidad espectral depotencia de ambas formas, tanto FFTcomo Pwelch tienen un comportamientosimilar, la diferencia es el algoritmode cada función para calcular estadensidad, su potencia la concentra enla frecuencia fundamental que es de4MHz para este caso, y como la amplitudde la señal aumento, entonces lapotencia concentrada análogamenteincrementa.

Ahora, se analiza el procedimientoanterior, con la diferencia que lafunción será rectangular con frecuenciade 1MHz y una amplitud de 0.5Vp.

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Figura 17. Señal rectangular en el tiempo

En la figura 17 se observa la señalrectangular con un ciclo útil de 50% ylas características definidasanteriormente.

Figura 18. Señal rectangular con ciclo útilde 80%

En la figura 18 se observa el cambiodel ciclo útil de la funciónrectangular a un 80%, y se analiza quetiene un comportamiento similar a unconjunto de deltas dado que unsemiciclo tiene mucha menor duraciónque el otro semiciclo de la señal.

Figura 19. Pwelch de la función rectangularcon duty 80%

Figura 20. FFT de la función rectangularcon duty 20%

La diferencia entre la transformadarápida de Fourier y la función Pwelches que la función Pwelch no toma encuenta la duración del semiciclo parala densidad espectral de potencia, encambio, la FFT por cada delta en eltiempo, produce un pequeño conjunto dearmónicos, cada impulso del grafico dedensidad espectral de potencia tiene unárea que corresponde a la altura decada line del grafico espectral,respectivamente.

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El comportamiento de la señal rectangular con ciclo útil de 20% es reciproco al 80%

VII. CONCLUSIONES

Conceptualmente se logró determinarque gracias a la transformada rápidade Fourier (FFT) se puede aproximarcualquier función continua como lasuma de funciones periódicas ofunción discreta como serie de puntosde datos, transforma de una funcióndel tiempo en una función de lafrecuencia ya que es muy útil para elanálisis de los fenómenosdependientes del tiempo. Además laFFT permite identificar componentesperiódicos en la señal discreta.Puede identificar una señal periódicaenterrada con bajo ruido aleatorio, oanalizar una señal con variasdiferentes fuentes subyacentes.

La Densidad espectral de potencia deuna función periódica es una seriede funciones de impulso ya que cuyasáreas corresponden al cuadrado de lamagnitud.

Se observó que al realizar el cambiodel ciclo útil se producen másarmónicos en la representaciónespectral, ya que esto distorsionarla señal en el dominio del tiempo.

REFERENCIAS

[1]. Teoría de señales. Soporte digitalpdf. Pagina web disponible en:http://www.gmr.ssr.upm.es/www2 /LECM

/analizador_espectros.pdf. Fecha deconsulta: 11/09/2013.

[2]. Estimación espectral. Densidadespectral de potencia. Página web,disponibleen:http://physionet.cps.unizar.es/~eduardo/docencia/tds/librohtml/estesp.htm. Fecha de consulta: 11/09/2013.

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