Teoria de Maquinas

El ingenio humano ha desarrollado las máquinas como un desafió para simplificar el trabajo

humano.

En los primeros años de la historia, el hombre usaba las máquinas que hoy denominamos simples,

como única alternativa. Con éstas máquinas podía trasladas objetos, levantar cargas, transportar

agua, irrigar grandes extensiones de terreno o defenderse de las agresiones del enemigo;etc.

Ejemplos de máquinas simples son: la palanca, la cuña, el tornillo, etc.

Con la llegada de la revolución industrial en el S.XVIII y el inventó de la máquinas de vapor,

las máquinas alcanzaron un gran desarrollo, que hoy en día tiende a la automatización.

Diferencia entre máquina y mecanismo

1MÁQUINAS Y MECANISMOSConceptos Generales

Un mecanismo es un conjunto de cuerpos conectados o ensamblados entre sí, de tal modo que un

movimiento de entrada de uno de sus elementos, pueda dar un movimiento de salida

predeterminado. Los mecanismos transmiten y modifican el movimiento.

Una máquina es un mecanismo o una combinación de mecanismos, los cuales además de

transmitir un cierto tipo de movimiento predefinido, también transmiten o modifican un cierto

tipo de energía de entrada en un trabajo útil prefijado. Ejemplo de máquina es una grúa, un

automóvil, una lavadora, etc.

Un mecanismo es parte de una máquina, el cual transmite movimiento de un punto de entrada

hacía un punto de salida. El mecanismo es un conjunto de elementos mecánicos que hacen una

función determinada dentro de en una máquina.

EJEMPLO:

Máquina de lavar ropa

• Mecanismo para abrir las válvulas de admisión

del agua

• Mecanismo que hace girar el tambor

• Mecanismo de centrifugado

Mecanismo del

limpiaparabrisa de un auto Mecanismo del trinquete

Pieza

Cuando un mecanismo se separa en cada una de sus partes, se llega finalmente a obtener una serie

de partes indivisibles, generalmente rígidas (aunque no necesariamente), denominadas Piezas.

Mecanismo de la rueda de

Ginebra

Mecanismo de Watt

El movimiento de salida es una línea

recta

Mecanismo de retorno rápido.

(Utilizado en las máquinas cepilladoras)

Mecanismo de leva

Miembro o eslabón

Es un conjunto de piezas unidas rígidamente entre sí, sin movimiento posible entre ellas.

Constituye la unidad móvil de un mecanismo. Cada eslabón puede estar formado por una o varias

piezas. El eslabón sobre el que actúa la fuerza exterior aplicada se denomina el eslabón conductor,

y el miembro que efectúa el movimiento exterior deseado se denomina eslabón conducido.

Además el eslabón fijo que carece de movimiento, se denomina eslabón tierra o eslabón de

bancada.

La biela de un automóvil es un eslabón

De acuerdo a sus puntos de unión, se clasifican en:

• eslabón binario , el que tiene dos nodos

• eslabón terciario, el que tiene 3 nodos.

• eslabón cuaternario, el que tiene 4 nodos

Una biela se compone de varias piezas, unidas

rígidamente entre sí.

Tipos de movimiento de un eslabón

ROTACIÓN PURA: El cuerpo posee un punto fijo ( centro de giro) que no tiene movimiento con

respecto a tierra. Todos los demás puntos del cuerpo, describen arcos con respecto a éste centro.

TRASLACIÓN PURA: Todos los puntos del cuerpo describen trayectorias paralelas ( rectas o

curvas). Una línea de referencia trazada en el cuerpo cambia de posición lineal, pero no su posición

u orientación angular.

MOVIMIENTO PLANO COMPLEJO: Es una combinación simultánea de rotación y traslación.

Cualquier línea de referencia trazada sobre el cuerpo cambia de posición lineal y angular. Los

puntos del cuerpo se moverán en trayectorias no paralelas y habrá en todo momento un centro de

rotación, que continuamente cambiará de ubicación.

traslación rectilínea

traslacióncurvilínea

rotación pura

Movimiento plano

complejo

Pares Cinemáticos

Un par cinemático es el acoplamiento de dos eslabones en contacto, de modo que sus movimientos

quedan supeditados mutuamente.

Los pares cinemáticos se pueden clasificar según los siguientes criterios:

• por la naturaleza del contacto de los eslabones conectados

• por el tipo de cierre

• por el movimiento relativo que se puede presentar entre los eslabones

conectados( grados de libertad).

Pares cinemáticos según el tipo de contacto

El tipo de contacto entre dos eslabones puede darse a lo largo de una línea, un punto o una

superficie. Según esto se tiene:

• Pares superiores: cuando el contacto entre los eslabones es lineal o puntual. Fig(a)

• Pares inferiores: cuando el contacto entre los eslabones es superficial. Fig(b)

EJEMPLO DE PARES

CINEMÁTICOS EN UN

MECANISMO BIELA-PISTON-

CIGÜEÑAL

• La biela y el pistón

• La biela y el cigüeñal

• El cigüeñal y el bastidor

• El bastidor y el pistón

contacto superficial contacto lineal

EJERCICIO: Clasificar cada uno de los pares mostrados, como pares superiores o inferiores.

Pares Cinemáticos por el tipo de cierre

El movimiento relativo entre los eslabones de un par cinemático, queda asegurado y limitado por el

tipo de cierre. Se tiene:

• Cierre de forma: cuando el contacto queda asegurado por la forma de los dos miembros en

contacto. Por ejemplo, el cirre de un émbolo con un cilindro.

• Cierre de fuerza: Cuando el contacto queda asegurado una fuerza, tal como la fuerza de la

gravedad o la fuerza elástica de un resorte. En la figura se observa, el cierre de fuerza entre

la leva y el elevador de de válvula de un motor.

Tipos de pares cinemáticos por el grado de libertad

Dependiendo del número de grados de libertad que posee el movimiento relativo de los dos

miembros que conforman el par, se clasifican en pares de I, II, III, IV o V grados de libertad o J1,

J2, J3 , J4 o J5

Para ello, téngase un cuenta que un cuerpo rígido en el espacio posee seis grados de libertad

( puede efectuar 6 movimientos independientes: 3 traslaciones según los ejes X, Y y Z ; y tres

rotaciones respecto a los mismos ejes.

Al formarse un par cinemático, un cuerpo libre se ve obligado a permanecer en contacto con otro.

Por tanto, los grados de libertad del primero se reducen, según sea el tipo de par. De los 6

movimientos posibles de un miembro libre, al unirse con otro formando un par, los reducirá a

5,4,3,2,o 1.

X

Y

Z

Par prismático

(GDL=1) J1

Par de revolución o par

revoluta (GDL =1) J1

Par cilíndrico

(GDL=2)J2

Par esférico

(GDL=3) J3

El par permite el giro y el

deslizamiento relativo

entre los elementos

conectados.

(GDL=2) J2

Cadena Cinemática

Conjunto de eslabones interconectados mediantes pares cinemáticos, de modo que proporcionen

un movimiento de salida controlado en respuesta a un movimiento de entrada .

La cadena cinemática puede ser abierta o cerrada.

Representación simplificada de una cadena cinemática

Con el fin de simplificar el estudio de los mecanismos, nunca se dibujan éstos en su totalidad con

la forma y dimensiones de cada uno de los eslabones y pares, sino que se sustituye el mecanismo

por un esquema o diagrama simplificado.

Mecanismo de grúa

Puerta de acceso de una aeronave

Máquina herramienta (“llave de perro”)

Mecanismo del limpiaparabrisa

Máquina cepilladora

Grado de Movilidad de una cadena cinemática plana

Es el número de parámetros de entrada que se deben controlar independientemente, con el fin de

llevar el dispositivo a una posición particular.

FÓRMULA GENERAL(Fórmula de Kutzbah´s):

M = Grado de movilidad

n = Nro total de eslabones de la cadena cinemática (incluyendo el eslabón tierra)

J1 = Nro de pares cinemáticos con un grado de libertad (Juntas completas)

J2 = Nro de pares cinemáticos con dos grados de libertad (semijuntas)

M=3 (n−1 )−2J1−J2

Observaciones:

Si m = 1, el mecanismo se puede impulsar con un solo movimiento de entrada; si m = 2 se

necesitan dos movimientos de entrada para producir un tipo de movimiento; si m = 0, el

movimiento es imposible; si m = -1 o menos, hay restricciones redundantes y forman una

estructura estáticamente indeterminada.

EJEMPLOS: Determinar el grado de movilidad de cada uno de los siguientes mecanismos

(a)

M=0M=1 M= -1

PROBLEMA No.1:

Determinar el grado de movilidad de la siguiente cadena cinemática.

PROBLEMA No.2:

Determinar el grado de movilidad de la cadena cinemática que se muestra en la siguiente figura.

PROBLEMA No.3:

En la siguiente figura se muestra el mecanismo del tren de aterrizaje de un avión. Encuentre su

grado de movilidad.

PROBLEMA No.4:

Determinar el grado de movilidad de la siguiente cadena cinemática.

Paradojas

La fórmula de Kutzbah´s puede ocasionar resultados engañosos, debido a que no presta atención a

los tamaños y formas de los eslabones.

Mecanismos equivalentes

Dos mecanismos son equivalentes, cuando producen el mismo movimiento de salida, y además

poseen el mismo grado de movilidad.

Para determinar el mecamismo equivalente de otro mecanismo, se transforman sus pares

cinemáticos del tipo J2 por pares del tipo J1.

• Por cada par cinemático del tipo J2 en el mecanismo original, se añade dos pares

cinemáticos del tipo J1 más un eslabón que une ambos pares.

• Si los radios de curvatura de los eslabones en contacto son finitos, entonces en cada centro

de curvatura de coloca un par giratorio del tipo J1, unidos por un eslabón adicional.

J2→2J1+1 eslabón adicional

• Si existe un radio de curvatura de longitud infinita, entonces en el punto de contacto se

coloca un par J1 de traslación

EJEMPLOS:

O

2

O3

A

B

r

O

3

O2

A

B

r

O3

O2

BrA

Mecanismo original

Mecanismo equivalente (1era forma)

Mecanismo equivalente(2da forma)

EJEMPLO:

Determinar el mecanismo equivalente a las dos levas cilíndricas que se muestra.

EJEMPLO:

Determinar el mecanismo equivalente de la leva con seguidor de rodillo.

R1

R2

L=R1+R2

EJEMPLO:

Proponer dos mecanismo equivalente al mecanismo de leva con seguidor de plato que se muestra

en la siguiente figura.

PROBLEMA No.5

Determinar el mecanismo que sea equivalente, a cada uno de los mecanismos mostrados.

L=R+r

R

r

(2)

(3)

(2)

(3)

(4)

El rodillo es un eslabón

pequeño que queda

absorbido por (3)

MECANISMO DE 4 ESLABONES (Ley de Grashof)

La condición necesaria para que al menos un eslabón de un mecanismo de 4 eslabones pueda

realizar un movimiento circular completo, se conoce como condición de Grashof y se enuncia

como sigue:

"Si S+L < P+Q entonces, al menos un eslabón del mecanismo podrá realizar un movimiento de

rotación completa”

donde S es la longitud de la barra más corta, L es la longitud de la barra más larga y P, Q son las

longitudes de las otras dos barras.

Existen tres tipos diferentes de mecanismos de Grashof y un solo tipo de mecanismo que no es de

Grashof, que se describen a continuación.

Mecanismos de 4 eslabones que no cumplen la condición de Grashof

Paralelogramo

L1 +L2 = L3 + L4 BC y AD

tienen el mismo sentido de giro

PROBLEMA No.6:

Se disponen de 4 barras cuyas longitudes son: 14 pul ; 5 pul ; 16 pul y 12 pul. a) Determinar

si con las barras mencionadas se puede construir un mecanismo que cumpla con las leyes de

Grashoff; b) Si es posible, ¿cómo conectaría las barras mencionadas para tener un mecanismo

manivela-balancín? Muestre las conexiones e indique el ángulo de barrido del balancín, así como el

ángulo de transmisión en cada posición de volquete; c) ¿Cómo conectaría las barras para tener un

doble balancín? Muestre las posiciones extremas y encuentre el ángulo de transmisión en cada

caso.

PROBLEMA No.7:

Para los mecanismos de 4 barras que se muestra en la siguiente figura, los números sobre cada

eslabón indican su longitud en centímetros. Identificar la naturaleza de cada mecanismo, si es: a)

manivela-balancín; b) doble manivela; c) doble balancín. Justificar su respuesta.

PROBLEMA No.8:

Para el mecanismo que se muestra en la figura, determinar la carrera del punto E, ubicado

sobre el eslabón deslizante.

Triple balancin No.1

Triple balancin

No.2

Triple balancín

No.3Triple

balancín No.4

60º53ºA

C C

D

PROBLEMA No.9:

Se quiere diseñar un mecanismo de manivela – biela – balancín, donde el ángulo de barrido del

balancín sea de 60º, tal como se muestra en la figura. El balancín mide 6cm de longitud, mientras

que la distancia entre los puntos A y D debe ser 10cm. Determinar la longitud de la manivela y la

biela que se requiere, para que el mecanismo funcione según lo indicado.

Inversión de Mecanismos

Una inversión se crea por la fijación de un eslabón diferente en la cadena cinemática. Por tanto, si

partimos de un mecanismos dado, se pueden obtener otros mecanismos derivados, cambiando el

elemento fijo ( tierra). Hay tantas posibilidades de mecanismos , como eslabones tenga la cadena.

A

B

C

D

E

AB=6cmBC=10cmCD=15cmAD=12cmCE=18cm

18cm

PROBLEMA No.10:

Mostrar todas las inversiones cinemáticas posibles de la cadena de Stepehnson.

2 ANÁLISIS DE VELOCIDAD EN MECANISMOS

Cuadrilátero articuladoEJM:

Cuadrilátero de CorrederaMotor

de combustión interna.

Locomotora de Vapor (elemento 3 fijo, se impulsa la rueda 2).

Motor rotatorio (elemento 1 gira respecto a “A”).Bomba de agua (elemento 4 fijo e invertido de exterior a interior).

Métodos para el análisis de velocidades

• Método vectorial

• Método de la velocidad relativa

• Método del Centro Instantáneo de Rotación o Polo de velocidades.

• Método analítico

La conveniencia de la aplicación, a un caso concreto, de un método u otro deberá ser elegida por el

alumno en función de una serie de determinantes que en cada caso deberán ser evaluados; entre

otros cabe destacar:

- Profundidad requerida en el análisis.

- Precisión exigida.

- Rapidez necesaria.

- Disponibilidad de herramientas adecuadas

MÉTODO VECTORIAL

Este método usa los recursos vectoriales para obtener la velocidad de los diferentes elementos

de un mecanismo, para una posición determinada.

Velocidad angular ( w )

Es una cantidad vectorial que mide los cambios en la posición angular de un eslabón.

Todos los puntos pertenecientes a un mismo eslabón, tienen la misma velocidad angular.

(rad/s)

ω=dθdt

La velocidad angular se representa mediante un vector, paralelo al eje de rotación y cuyo sentido se determina por la regla de la mano derecha.

ω

kωω

X

Y

x

y

z

Rotación antihoraria

kω ω

X

Y

x

y

z

Rotación horaria

Relación de velocidadesConsideremos un mecanismo de 4 eslabones.

A

B

C

D

2

3

4

(2)

(4)(3)

La velocidad angular del eslabón de entrada ( 2 ), se transmite a través de toda la cadena cinemática.

Durante el funcionamiento del mecanismo, cada eslabón tendrá su propia velocidad angular, que puede ser constante o variable.

Todos los puntos pertenecientes a un eslabón, tienen la misma velocidad angular.

Con el método vectorial, se relacionan las velocidades de dos puntos pertenecientes al mismo eslabón, donde uno de los puntos debe tener una velocidad conocida.

Consideremos por ejemplo el eslabón (3) de la cadena anterior, y supongamos que se conoce la velocidad del punto B. Entonces:

C

BCBC rVV /3

w

B a respecto C deposición vector r C/B 3

(3)

B

VB

C/Br

Recuerde que el vector posición de C respecto a B, está dado por la diferencia de las coordenadas de los puntos C y B.

¡¡Operación vectorial!!

EJEMPLO:

Determinar la velocidad del extremo A del eslabón que se muestra, sabiendo que gira respecto a O

a una velocidad angular constante de 5 rad/s.

Solución:

EJEMPLO

La manivela AB del mecanismo mostrado, gira en sentido antihorario a razón de 6 rad/s. Para el

instante que se muestra, determinar la velocidad angular del eslabón BD y la velocidad del punto

D.

Solución:

EJEMPLO:

El eslabón AB del mecanismo articulado que se muestra, gira a razón de 10 rad/s en sentido

antihorario. Para el instante mostrado, determinar la velocidad angular del eslabón CD.

Solución:

Calculamos la velocidad de C tomando como punto de referencia a B

Calculamos la velocidad de C tomando como referencia a D (vD = 0):

Igualamos las expresiones de la velocidad de C, separando por componentes:

EJEMPLO:

Los dos discos que se muestran en la figura, están unidos mediante el eslabón de 3 ft de longitud. Si

el disco de la izquierda rueda sin deslizar y tiene una velocidad angular de 2 rad/s en sentido

horario, ¿cuál es la velocidad angular del disco de la derecha?

Solución:

Asumamos que el disco de la derecha y que la barra de conexión, tengan una velocidad angular

antihoraria:

Como los discos ruedan sin deslizar sobre la superficie, el punto de contacto de cada disco con la

superficie tiene velocidad cero.

Relacionando los puntos O y P ( vP = 0):

Relacionamos el punto O con el punto L, donde :

Relacionamos los puntos R y L. Asumiendo que la barra de conexión forma un ángulo con la

horizontal, se tiene:

La velocidad del punto R también se puede calcular desde Q, donde vQ = 0:

Igualando las expresiones de la velocidad de R, tanto en “x” como en “y”, se obtiene:

PROBLEMA No.1:

Si wAB = 2 rad/s y wBC = 4 rad/s, ¿cuál es la velocidad del punto C, de la excavadora? Considere

que la retroexcavadora se encuentra en reposo sobre un terreno horizontal.

RPTA: 10,31 m/s

PROBLEMA No.2:

En el instante mostrado en la siguiente figura, la velocidad angular de los brazos AB y BC son 0,2

rad/s en sentido horario y 0,4 rad/s en sentido antihorario, respectivamente. ¿Cuál es la velocidad

del punto C?

RPTA: 0,347 m/s

PROBLEMA No.3:

La manivela AB está girando en sentido horario con una velocidad angular de 2000 rpm. Para la

posición mostrada, ¿cuál es la velocidad del pistón C?

RPTA: 13,5 m/s

PROBLEMA No.4:

La manivela AB del mecanismo mostrado gira con una velocidad angular constante de 6 rad/s en

sentido horario. Para el instante que se muestra, determinar la velocidad angular de la biela BC.

RPTA: 2,4 rad/s

PROBLEMA No.5:

El eslabón AB del mecanismo mostrado rota en sentido antihorario con una velocidad angular de 4

rad/s. Para el instante mostrado, determinar la velocidad angular de los eslabones BCD y DE, así

como la velocidad del punto C.

RPTAS: 5,51 rad/s ; 3,57 rad/s ; 1629,2 mm/s

PROBLEMA No. 6:

El eslabón AB del mecanismo de la figura rota con una velocidad angular de 12 rad/s en sentido

horario. Para el instante mostrado, determinar la velocidad angular de los eslabones BC y CD.

RPTAS: wBC = 5,33 rad/s; wCD = 4,57rad/s

PROBLEMA No.7:

El disco que se muestra en la figura está girando con una velocidad angular de 8 rad/s en sentido

horario. Para el instante mostrado determinar la velocidad del collar A. ( rA = 500mm; rB =

150mm ; = 30º ; f = 60º)

RPTA: 2,4m/s

PROBLEMA No.8:

Si el eslabón AB gira con una velocidad angular de 5 rad/s en sentido antihorario, determinar la

velocidad del collar C, para el instante en que = 60º y f = 45º. (a = 2 pies ; b = 2,5 pies )

RPTA: 5,18 pie/s

PROBLEMA No.9:

Si el eslabón AB está rotando alrededor del pin A con una velocidad angular wAB = 5 rad/s;

determinar la velocidad de las correderas C y E para el instante en que = 30º. (a = 1 pie; b = 2 pie;

c = 3 pie; d = 4 pie)

RPTA: VE = 9,33 pie/s ; VC = 2,89 pie/s

RPTA:52,06 rad/s; 5,206m/s

PROBLEMA No. 10

En la figura mostrada, el engrane anular está fijo y los engranes piñón y periférico están unidos. La barra conectora gira en sentido antihorario a 60 rpm. Determine la velocidad angular del engrane central y la magnitud de la velocidad del punto A.

PROBLEMA No. 11

En la figura mostrada, la rueda dentada grande está fija. El eslabón AB tiene una velocidad angular antihoraria de 2 rad/s. ¿Cuáles son las velocidades angulares de los eslabones CD y DE?

RPTA: 3 rad/s; 2 rad/s

RPTA: -6,56 pie/s

PROBLEMA No. 13:

El tren de engranes epicíclico que se muestra en la figura, gira debido a la rotación del eslabón de

conexión DE. Si DE tiene una velocidad angular de 5 rad/s en sentido horario, y el engrane F

permanece fijo, determinar la velocidad angular de los engranes A, B y C. (rA = 50mm; rB =

40mm; rC = 30mm)

PROBLEMA No. 12

El engrane piñón A rueda sobre el engrane fijo B con una velocidad angular de 4 rad/s en sentido antihorario. Determinar la velocidad con que se desplaza la cremallera superior C. ( r = 0,3 pies)

RPTAS: wA=14rad/s; wB =28,75rad/s; wC = 26,7 rad/s

PROBLEMA No.14:

El eslabón AB está rotando en sentido antihorario con una velocidad angular de 5 rad/s; mientras el

disco rueda sobre una superficie horizontal. Determinar la velocidad angular del eslabón BC.

RPTA: 1,67rad/s

MÉTODO DE LOS POLOS DE VELOCIDAD

(CENTRO INSTANTÁNEO DE ROTACIÓN)

Como se sabe, el tipo de movimiento que puede tener un eslabón, dentro de un mecanismo, puede ser:

movimiento de traslación ( = 0) EJM. Movimiento de un pistón movimiento de rotación centroidal o no centroidal. EJM. Movimiento de una manivela. movimiento plano general, el cual es una combinación del movimiento de traslación y rotación centroidal. EJM. Movimiento de una biela

Al analizar cualquiera de los movimiento citados, puede considerarse que cada eslabón efectúa un movimiento de rotación alrededor de un centro denominado centro instantáneo de rotación o polo e velocidad.

Por ejemplo, consideremos un mecanismo articulado de 4 eslabones:

El eslabón (2) tiene su centro de giro en el punto A , mientras que el eslabón (4) tiene su centro de giro en el punto D.

Imaginariamente, el eslabón (3) también efectúa un movimiento de rotación alrededor de un centro o polo, que en éste caso está ubicado en el punto P.

(2)

(3)

(4)VB

VC

DA

B

C

VC

VB

P3

B

C

VB = 3. PBVC = 3. PC

Clasificación de los polos de velocidad

Los polos de velocidad pueden ser permanentes o instantáneos.

Son permanentes cuando el polo ocupa una misma posición para cualquier instante del movimiento.

Son instantáneos cuando la ubicación de un polo es válido sólo para un instante determinando, porque un instante después el polo estará en otra posición.

Además los polos se clasifican en polos absolutos y relativos. Los polos absolutos nos permiten calcular la velocidad de un punto cualquiera respecto a tierra; mientras que con los polos relativos se obtiene la velocidad relativa de un punto respecto a otro que no es tierra.

Ubicación de los polos de velocidad

1er caso: Si dos eslabones están conectados directamente mediante un par giratorio, el mismo par se toma como un polo de velocidad.

(2)

(3)

(4)

(1)(1)

P12

P23

P34

P41

OJO:P12 = P21

P23 = P32

P34 = P 43

P 41 = P 14

Polos absolutos=P12 y P41

Polos relativos= P23 y P34

POLOS DE UBICACIÓN DIRECTA

2do caso:Cuando un eslabón efectúa un movimiento de traslación rectilínea ( deslizamiento) respecto a otro, el polo de velocidad de ambos eslabones estará en el infinito, en una línea perpendicular a la dirección del deslizamiento.

(2)

(1)

P21 ( )

(2)

(3)

(4)

(1)(1)

P32 ( )

POLOS DE UBICACIÓN INDIRECTA

Estos polos se ubican mediante construcciones geométricas que detallaremos a continuación.

Previamente es importante saber el número total de polos que presentará un mecanismo de “n”

eslabones, el cual está dado por:

Esta fórmula incluye a los polos de ubicación directa e indirecta.

Para ubicar los polos indirectos, se usa el teorema de Aronhold-Kenedy, que dice:

“Si se considera tres eslabones cuyos movimientos están relacionados entre sí, entonces, se

formarán tres centros de rotación los cuales se encontrarán alineados en una recta”.

Para ayudarnos en la ubicación de los polos indirectos, se usar un círculo que se divide en un

número de partes igual al de eslabones que tenga el mecanismo. En dicho círculo se van trazando

mediantes líneas los eslabones ya ubicados.

3er Caso: Si un eslabón rueda sobre otro, sin resbalar, el polo de velocidad se encuentra ubicado en el punto de contacto del eslabón rodante con la superficie.

(2)

(1)P122

A

B

C

VA = 2. P12AVB = 2. P12BVC = 2. P12C

Nro . de polos=n(n−1 )

2

EJEMPLO:

Ubicar todos los polos de velocidad de un cuadrilátero articulado.

n =4 eslabones #Polos=6

P34

(2)

(3)

(4)

DA

B

C

P12

P23

P41

P24

P13 (1)

(2)

(3)

(4)

P13 = P12 P23 P14 P43

P24 = P23 P34 P21 P14

EJEMPLO:


EJEMPLO:

El mecanismo mostrado en la siguiente figura,tiene las siguientes dimensiones: OA = 200mm ; AB

= 1500mm ; BC = 600mm ; CD = 500mm y BE = 400mm. Si la manivela OA rota a razón de 120

rpm en sentido horario, determinar: a) la velocidad de B, C y D y b) la velocidad angular de los

eslabones AB, BC y CD.

Solución:

wOA = 120 rpm = 12,57 rad/s

Calculamos la velocidad lineal del punto A:

Como el mecanismo tiene 6 eslabones, tendrá 15 polos de velocidad:

EJEMPLO:


Ubicamos los polos de velocidad, tal como se muestra en la siguiente figura:

Mediante mediciones encontramos las siguientes distancias:

a) Velocidad de los puntos B, C y D:

Como A y B pertenecen al mismo eslabón (3), se tiene que:

De modo similar, como B y C pertenecen al mismo eslabón (4), se tiene:

Asimismo, como C y D pertenecen al mismo eslabón (5), se tiene:

b) Velocidades angulares de los eslabones AB, BC y CD:

EJEMPLO:

El mecanismo de empaque que se muestra en la siguiente figura, tiene las siguientes dimensiones:

O1A = 100mm ; AQC = 700mm ; BC = 200mm ; O3C = 200mm ; O2E = 400mm ; O2D = 200mm y

BD = 150mm. La manivela O1A gira a una velocidad angular constante de 100 rad/s. Encontrar la

velocidad del punto E de la manivela en forma de campana que se muestra.

Solución:

Conociendo la velocidad angular de la manivela O1A, determinamos la velocidad lineal del punto

A:

A continuación localizamos los polos de velocidad del mecanismo, tal como se muestra en la

siguiente figura:

Por medición directa del dibujo a escala, obtenemos las siguientes distancias:

Como A y B pertenecen al mismo eslabón, de cumplirse que:

De la misma forma relacionamos la velocidad de los puntos B y D:

De modo similar relacionamos la velocidad de los puntos D y E:

EJEMPLO:

En la siguiente figura se muestra el mecanismo de una máquina de coser, donde las dimensiones

son las siguientes: O1A = 16mm ; = 45º ; distancia vertical entre O1 y O2 = 40mm ; distancia

horizontal entre O1 y O2 = 13 mm; O2B = 23mm ; AB = 35mm ; ángulo O2BC = 90º ; BC =

16mm ; CD = 40mm. D se encuentra en la misma vertical que O1. Para la posición mostrada,

determinar la velocidad de la aguja D, si la manivela gira a razón de 400 rpm.

Solución:

w O1A = 400 rpm = 41,9 rad/s

Como el mecanismo tiene 6 eslabones, tiene 15 polos de velocidad:

Ubicamos los polos de velocidad, tal como se muestra en el siguiente gráfico:

Por medición del gráfico a escala obtenemos las siguientes distancias:

Relacionamos la velocidad de los puntos A y B:

Ahora relacionamos la velocidad de los puntos B y C:

De modo similar relacionamos los puntos C y D:

PROBLEMA No.15:

En el cuadrilátero articulado que se muestra AD = 125mm; AB = 62,5mm; BC = CD = 75mm. Si el eslabón AB rota con una velocidad angular uniforme de 10 rpm en sentido horario, determinar la velocidad angular de los eslabones BC y CD.

RPTAS: 0,63 rad/s; 0,65 rad/s

PROBLEMA No.16:

En el siguiente mecanismo, la longitud de la manivela OB es 100mm y de la biela AB es 400mm. Si la manivela rota en sentido horario con una velocidad angular constante de 10 rad/s, determinar: a) la velocidad de la corredera A y b) la velocidad angular de la biela AB.

RPTAS: a) 0,82m/s; b) 1,78 rad/s

PROBLEMA No.17:

Para el mecanismo de la siguiente figura: CD=65mm; CA = 60mm; DB = 80mm y AB = 55mm. Encontrar la velocidad angular de los eslabones AB y DB, si la manivela CA rota a 100 rpm en sentido antihorario.

RPTAS: 50 rad/s; 27 rad/s

PROBLEMA No:18

Para el mecanismo de la figura, determinar la velocidad angular de los eslabones (3) y (4), así como la velocidad del punto P, si la manivela OB gira a razón de 600 rpm en sentido antihorario.

PROBLEMA No.19:

Para el instante que se muestra, determinar la velocidad angular de los eslabones (3), (4) y (5), así como la velocidad de la corredera (6), si la manivela OB gira a razón de 10 rad/s en sentido antihorario.

PROBLEMA No.20

El mecanismo que se muestra en la figura tiene las siguientes dimensiones: OA = 200mm; AB = 1500mm; BC = 600mm; CD=500mm y BE = 400mm. a) Localizar todos los centros de rotación; b) Si la manivela OA rota con una velocidad angular de 120 rpm en sentido horario, determinar la velocidad de los puntos B, C y D ; así como la velocidad angular de los eslabones AB, BC y CD.

PROBLEMA No. 21:

La manivela OA del mecanismo mostrado en la siguiente figura, gira en sentido horario a razón de

120 rpm. Las longitudes de los diferentes eslabones son: OA = 100mm : AB = 500 mm; AC =

100mm y CD = 750mm. Encontrar: a) la velocidad del punto C ; b) la velocidad de la corredera D

y c) la velocidad angular de los eslabones AB y CD.

RPTAS:

RPTAS:

PROBLEMA No.22

En el mecanismo que se muestra en la figura: AB = 150mm; BC = 300mm; CD = 225mm; CE = 500mm. Cuando la manivela AB rota en sentido antihorario con una velocidad angular constante de 240 rpm, determinar: a) la velocidad de la deslizadera E; b) la velocidad angular de los eslabones BC y CE.

PROBLEMA No.23:

El mecanismo mostrado en la siguiente figura, tiene las siguientes dimensiones: O 1A = 60mm ; AB

= 180mm ; O2B = 100mm ; O2C = 180mm y CD = 270mm. La manivela O1A rota en sentido

horario a razón de 120 rpm. El eslabón D se mueve dentro de una guía vertical. Determinar la

velocidad de D y la velocidad angular del eslabón CD.

RPTAS:

PROBLEMA No.24

En el siguiente mecanismo que se muestra en la figura, la esfera (4) rueda sin resbalar sobre la pared vertical. Si la velocidad angular del eslabón (2) es de 10 rad/s en sentido antihorario calcular la velocidad con que se mueve el eslabón (6) y la velocidad angular de la esfera rodante (4). Cada cuadradito tiene 1 cm de lado.

(2)

(3)

(4)

(5)

(6)

PROBLEMA No.25

En el mecanismo de la figura, la rueda (4) rueda sin rersbalar sobre (1). Si 2 = 5 rad/s, determinar la velocidad de los puntos E y C.

MÉTODO DE LA VELOCIDAD RELATIVAEl método de la velocidad relativa, nos permiten obtener la velocidad absoluta, de un punto

cualquiera de un mecanismo, mediante operaciones de suma y diferencia vectorial.

Volvamos al mecanismo de 4 eslabones, presentado en el método vectorial.

A

B

C

D

2

3

4

(2)

(4)(3)Durante el funcionamiento del mecanismo, cada eslabón tendrá su propia velocidad angular, que puede ser constante o variable.

Con el método de la velocidad relativa, se relacionan las velocidades de dos puntos pertenecientes al mismo eslabón, donde uno de los puntos debe tener una velocidad conocida.

Consideremos por ejemplo el eslabón (3) de la cadena anterior, y supongamos que se conoce la velocidad del punto B. Entonces:

C

BCBC VV /V

B punto al respecto C

punto del relativa velocidadVC/B

3

(3)

B

VB

¡¡Operación vectorial!!

¿Cómo se entiende la velocidad relativa de C respecto a B?

Es la velocidad lineal o tangencial que tendría el punto C, si es que girara respecto a B, asumiendo que B permanece fijo. De éste modo, el punto B se convierte en el centro de giro. Luego V C/ B es un vector perpendicular al radio BC.

3

(3)

B

VB

V C / B

C

____

3C/B BC.ωV

BCBC VV /V

Luego:

VB

V C / B

VB

EJEMPLO No.1:

En el mecanismo de manivela-pistón que se muestra en la figura, la manivela y la biela de conexión

miden 150mm y 400mm de longitud respectivamente. La manivela rota a razón de 360 rpm

sentido horario . Para el instante en que la manivela forme un ángulo de 60º con la horizontal,

determinar: a) la velocidad del pistón ; b) la velocidad angular de la barra de conexión (biela) ; c) la

velocidad del punto C, ubicado sobre la barra de conexión a 300m del punto A; d) la posición del

punto D ubicado sobre la barra de conexión que tiene velocidad mínima.

Solución:

Pasamos la velocidad angular de la manivela a rad/s: wOA =

2 π (360 )60 = 37,7 rad/s.

Calculamos la velocidad del punto A: vA = wOA. OA = 37,7 x 0,15 = 5,655 m/s

A

B

CD

AB

VB/A

VB/A = AB . AB

A/BAB vvv

B/CBC vvv

BC

V C/B

VC/B = BC . BCCD

V D / C

VD / C = CD . CD

D/CCD vvv

Generalizando:

VB

V C/B

VC

V D / CVD

Polígono de velocidades

Dibujamos el polígono de velocidades con los siguientes pasos:

a) Dibujar el mecanismo manivela-pistón a escala, tal como se muestra en la figura.

b) Trazar el vector velocidad del punto A en forma perpendicular a la línea OA e igual a 5,655 m/s

; usando una escala conveniente (1mm=10m/s)

c) Desde la velocidad de A, trazar la velocidad relativa de B respecto a A ( v B/A) en forma

perpendicular al eslabón AB. Desde el punto O trazar la velocidad de B, el cual tiene que ser

paralela a la dirección del deslizamiento, y debe intersecarse con vB/A. El polígono de

velocidades se muestra en la siguiente figura:

d) Para ubicar el punto C, sobre vB/A, observe que:

vc /a

vb /a= AC

AB

Velocidad del pistón ( midiendo en el polígono y convirtiendo con la escala) : vB = 5,9 m/s

Velocidad angular de la barra de conexión:

wAB =

v A /B

AB=2,9

0,4 = 7,25 rad/s

velocidad del punto C: vC = 5,6 m/s

Para encontrar el punto D de velocidad mínima, trazamos una perpendicular a vB/A ,

ubicando el punto D sobre la barra de conexión.

ADAB

=vd /a

v b/a→ AD=11

29x 400=151 ,7mm

EJEMPLO No.2:

Las dimensiones y configuración del mecanismo de 4 eslabones mostrado en la siguiente figura,

son: AB = 300mm; BC = 360mm; CD = 360mm; AD = 600mm ; ángulo BAD = 60º. Si la

manivela AB tiene una velocidad angular de 10 rad/s en sentido horario, determinar la velocidad

angular de los eslabones BC y CD, así como la velocidad del punto C.

Solución:

La velocidad lineal del punto B que gira respecto a A es: vB= w.AB = 10 x 0,3 = 3 m/s

Dibujamos el mecanismo a escala y obtenemos el polígono de velocidades que se muestra. Observe

que la velocidad de B es perpendicular a AB ; la velocidad relativa de C respecto a B (v C/B) es

perpendicular a BC, así como la velocidad vD/C es perpendicular a CD.

Midiendo en el polígono de velocidades, se obtiene:

wBC =

vc /b

BC=2,25

0 ,36 = 6,25 rad/s

wCD =

vd /c

CD= 2,1

0 , 36 = 5,83 rad/s

vC = vd/c = 2,1 m/s

EJEMPLO No.3:

En el mecanismo mostrado en la siguiente figura, la manivela AB gira con una velocidad angular

constante de 240 rpm.. El eslabón CD oscila alrededor del punto fijo D, el cual está conectado al

eslabón AB mediante la barra de conexión BC. El pistón E se mueve verticalmente, tal como se

indica. Para la configuración mostrada, determinar: a) la velocidad del pistón E, b) la velocidad

angular del eslabón CD.

Solución:

Pasando la velocidad angular de AB a rad/s: wAB = 240 rpm = 25,13 rad/s

Calculamos la velocidad lineal del punto B: vB = wAB. AB = 25,13 x 0,15 = 3,77 m/s

Dibujamos el polígono de velocidades a escala, tal como se muestra en la siguiente figura:

Obsérvese que ve/c está relacionado con vd/c a través de la relación:

CECD

=ve /c

v d/c

Midiendo en el Polígono se obtiene:

Velocidad del pistón F : vf = 2 m/s

Velocidad angular del eslabón CD: wCD =

vd /c

CD= 5,9

0 , 45 =13,11 rad/s

EJEMPLO No.4:

En el mecanismo que se muestra en la siguiente figura, las dimensiones de sus diferentes

eslabones son: AB = 30mm ; BC = 45mm ; CD = 40 mm ; AD = 65mm ; CE = 40mm ; ángulo

DAB = 75º. Si la manivela AB rota a 600 rpm en sentido antihorario, determinar la velocidad del

pistón E y la velocidad angular del eslabón CE.

Solución:

Convertimos la velocidad angular de la manivela AB a rad/s: wAB = 600 rpm = 62,83 rad/s

Calculamos la velocidad lineal de B: vB = wAB x AB = 62,83 x 0,03 = 1,885 m/s

Dibujamos el polígono de velocidades, usando una escala adecuada. Donde la velocidad lineal de

B es perpendicular al eslabón AB.

Observe que vc/b es perpendicular al eslabón BC y que v e/c es perpendicular al eslabón CE.

Además que la velocidad del pistón E debe ser vertical.

Midiendo en el polígono se obtiene:

velocidad lineal del pistón: v e = 1,85 m/s

velocidad angular del eslabón CE: wCE =

ve /c

CE=1 ,95

0 ,04 = 48,75 rad/s

EJEMPLO No.5:

El mecanismo que se muestra en la siguiente figura, tiene como dimensiones: OA = 100mm ;

AB=350mm ; BC = 170mm ; BD = CD = 140mm ; OD = 400mm ; CE = 350mm ; ángulo DOA =

60º.

Si en el instante mostrado, el pistón E se mueve hacia arriba a razón de 5 m/s, cuando la manivela

OA forma un ángulo de 60º con la horizontal, determinar la velocidad angular de la manivela OA,

así como su sentido.

Solución:

Trazamos el polígono de velocidades a una escala adecuada. Empezamos trazando la velocidad del

pistón E como un vector vertical hacia arriba (ve = 5 m/s). La velocidad de “e” se descompone en

dos vectores ve/c que es perpendicular a CE y la velocidad de C que es perpendicular a DC.

A continuación relacionamos B con C, para obtener la velocidad de B. Luego relacionamos B con

A, para obtener la velocidad de A.

Luego, la velocidad angular de la manivela OA es:

wOA =

va

OA=10 ,6

0,1 = 106 rad/s 1012,2 rpm

EJEMPLO No.6:

El mecanismo de 4 barras tiene las dimensiones que se indican en la siguiente figura. Si la

manivela OB gira con una velocidad angular constante de 600 rpm en sentido antihorario,

determinar la velocidad del punto P y la velocidad angular de los eslabones (3) y (4) en la posición

indicada.

Solución:

w2 = 600 rpm = 62,83 rad/s

vB = w2. OB = 62,83 x 10 = 628,3 cm/s

Se traza la velocidad de B en una escala adecuada ( 1cm = 148 cm/s). Trazamos la velocidad

relativa de C respecto a B (perpendicular a BC) y la velocidad relativa de D respecto a C

(perpendicular a CD).

Midiendo en el polígono de velocidades, se tiene: vC = vd/c = 915 cm/s

Se puede calcular:

w4 =

vd /c

CD=915

26=35 , 19 rad /s

Midiendo en el polígono se obtiene: v C/B = 835 cm/s w3 = 835/45 = 18,55 rad/s

Para encontrar la velocidad de P, observe que: vP = vB + vP/B = vC + vP/C. Luego trazamos una

línea perpendicular a BP y otra perpendicular a CP, hasta ubicar vP. Midiendo se obtiene que

vP = 600 cm/s

PROBLEMA No. 26:

En el mecanismo de la siguiente figura, la velocidad angular de la manivela OA es de 600 rpm.

Determinar la velocidad lineal de la corredera D y la velocidad angular del eslabón BD, en el

instante en que la manivela forme un ángulo de 75º con la vertical. Las dimensiones de los

diferentes eslabones son: OA = 28mm ; AB = 44mm ; BC = 49mm ; BD = 46mm. La distancia

entre los centros de rotación O y C es de 65mm. La corredera D se mueve en una guía horizontal

que está 11mm debajo del punto fijo C y OC es vertical.

RPTAS: vD = 1,6 m/s ; wBD = 36,96 rad/s.

PROBLEMA No. 27:

El mecanismo que se muestra en la siguiente figura, tiene las siguientes dimensiones: AB = DE =

150mm ; BC = CD = 450mm y EF = 375mm. En el instante en que se muestra, la manivela AB

está formando un ángulo de 45º con la horizontal y gira alrededor del punto fijo A en sentido

horario a una velocidad angular uniforme de 120 rpm. El eslabón DC oscila alrededor del punto fijo

D, el cual está conectado a AB mediante el acoplador BC. El bloque F se mueve dentro de una

guía horizontal, estando unido al eslabón EF. Determinar: a) la velocidad del bloque F ; b) la

velocidad angular del eslabón DC.

RPTAS: vF = 0,7 m/s ; wDC = 5 rad/s

PROBLEMA No. 28:

En el mecanismo mostrado en la siguiente figura, las dimensiones de sus eslabones son: OC =

125mm ; CP = 500mm ; PA = 125mm ; AQ = 250mm y QE = 125mm. La corredera P se mueve

sobre un eje que se encuentra 25mm verticalmente debajo del punto O. La manivela OC rota

uniformemente a razón de 120 rpm en sentido antihorario. La manivela-campana AQE rota

alrededor del punto fijo Q. Determinar nla velocidad del punto E.

RPTAS: vE = 0,7 m/s

PROBLEMA No.29

Para el instante mostrado en la figura, determinar la velocidad del punto B y la velocidad de la corredera C. O2A = AB = AC = 6cm; = 15º. El eslabón (2) tiene una velocidad angular de 24 rad/s en sentido horario.

RPTAS: VC = 74,54 cm/s; VB = 278,186cm/s.

PROBLEMA No.30

En le mecanismo de la figura, determinar la velocidad las deslizaderas C y D; si O2A = 75mm; AB=BC=BD=300mm; 2 = 30º; 3 = 330º y 4 = 45º. Considerar que la manivela (2) gira a una velocidad angular horaria constante de 8 rad/s.

RPTAS: VC = 0,6m/s; VD = 0,19m/s

2

(2)

(3)

(4)

A

B

C

4

VELOCIDAD EN EL CASO DE JUNTAS DESLIZANTES

B B2 , B3 , B4

Consideremos el siguiente mecanismo:

VB3 = VB4

Como (3) y (4) están articulados directamente, la velocidad absoluta de (3) estará definida por la velocidad de (4)

Se observa que (3) rota juntamente con (2), pero también resbala respecto a (2).

2B/3B2B4B vvv

VB3/

B2

VB2

VB

4

45º

O2

A

O4

B

C

(2)

(3)

(4)

(5)

(6)

PR

OB

LE

MA

No

.35:

En e

l me ca

nis mo de la

fi gura, la m

a nivela (2) g

ira con u

na velo cidad

angul ar de

31,41 4

rad /s. P

ara e

l in stant e m

os trado, de

ter minar la velo

cidad del s ó

lido ( 6

).

DA

TO

S: O

2 O4 =

8 ,9cm

; O2 A

= 19,1

c m; O

4 B =

10,2c m

; BC

= 35 ,6cm

.

RP

TA

:VC =

2

02,7

28cm

/s

PROBLEMA No.36:

Para el mecanismo de retorno rápido que se muestra en la siguiente figura, determinar la velocidad de C, si la velocidad angular de la manivela (2) es de 200 rpm en sentido antihorario.DATOS: O2A = 14cm ; BC = 25cm;

PROBLEMA No. 37:

En el mecanismo de Limadora, que se muestra en la siguiente figura, determinar la velocidad del punto B; si la velocidad angular del eslabón (2) es de 25 rpm en sentido horario. OA = 5cm ; = 135º ; OC = OD = 16cm.

O

A

B D

C

(2)

(3)

(4)

(5)

2

(2)

B

ESLABONES EN CONTACTO DIRECTO

Consideremos el siguiente mecanismo de leva – seguidor:

P

A

(3)2

Tangente común

Normal común

P

P P1 , P2

VP2

VP3

VP3 T

VP3N

VP2T

VP2N

Para que los eslabones (2) y (3) se mantengan en contacto, debe cumplirse que las componentes normales de la velocidad VP2 y VP3, deben ser iguales.

N 3PN 2P vv La velocidad con que resbala el eslabón (3) respecto a (2), se obtiene por diferencia de sus componentes tangenciales:

T 3PT 2P3P/2Pdesliz vvv

En el caso de que el eslabón (2) no resbale respecto a (3), se dice que ambos eslabones presentan contacto por rodadura pura, sin resbalamiento. En éste caso:

0vv T 3PT 2P 3P2P vv

PROBLEMA No.38:

Hallar la velocidad angular del seguidor (3) y la velocidad de resbalamiento de (2) respecto a (3), si la leva(2) gira con una velocidad angular de 2 rad/s en sentido antihorario.

PROBLEMA No. 39:

El mecanismo se impulsa de tal modo que vC = 10pul/s hacía la derecha. Hay contacto por rodadura entre (1) y (2), pero puede haber deslizamiento entre (2) y (3). Determinar la velocidad angular del eslabón (3).

A

B

C

D

(2)

(3)

(1)

¾ “

1”1 ¾ “

2 ½ “

V

C

Teoria de Maquinas

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