Prof. Juliano J. Scremin Teoria das Estruturas - Aula 03 Relações Diferenciais entre Mom. Fletores, Esforços Cortantes e Carregamentos Diagramas de Estado de Momento Fletor (M) e Esforço Cortante (V); Equação da Linha Elástica; Vigas-Gerber: Esquema Funcional 1
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Prof. Juliano J. Scremin
Teoria das Estruturas - Aula 03
Relações Diferenciais entre Mom. Fletores, Esforços Cortantes e Carregamentos
Diagramas de Estado de Momento Fletor (M)
e Esforço Cortante (V); Equação da Linha Elástica; Vigas-Gerber: Esquema Funcional
1
Aula 03 - Seção 1: Diagramas de Estado de Momento Fletor e Esforço Cortante em Vigas
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Convenção de Sinais
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Equilíbrio de uma Porção Infinitesimal de uma Viga
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Relações Diferenciais entre M, V e q(x) (1)
• Aplicação das condições de equilíbrio da estática no plano:
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�𝐹𝐹𝐹𝐹 = 0
�𝐹𝐹𝐹𝐹 = 0
�𝑀𝑀 = 0
• Como não há cargas horizontais a somatória de forças horizontais nula não se aplica ao caso
Relações Diferenciais entre M, V e q(x) (2)
Considerando a aplicação da convenção de sinais do lado do ponto vermelho para forças verticais:
• Considerando cargas “q(x)” no sentido gravitacional:
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Sistema Destrógero Sistema Levógero
𝒅𝒅𝒅𝒅𝒅𝒅𝒅𝒅
= − 𝒒𝒒 𝒅𝒅
𝒅𝒅𝒅𝒅𝒅𝒅𝒅𝒅
= 𝒅𝒅
𝒅𝒅𝒅𝒅𝒅𝒅𝒅𝒅
= 𝒒𝒒 𝒅𝒅
𝒅𝒅𝒅𝒅𝒅𝒅𝒅𝒅
= −𝒅𝒅
Momento Fletor devido a Carga Distribuída q(x)
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𝒅𝒅 𝒅𝒅 Área de
carregamento expressa em função de “x”
Braço de alavanca da área de
carregamento expressa em função
de “x”
Pontos de Singularidade
• Em termos práticos, são pontos nos quais os diagramas de estado de momento fletor, esforço cortante ou de qualquer outro esforço interno em um modelo estrutural não se apresentam como funções diferenciáveis.
• Neste caso, o esforço interno precisa ser representado por funções por partes, o que implica na divisão do diagrama em dominios limitados por estas singularidades.
• Assim sendo, entre cada par de singularidades no modelo estrutural, o diagrama de estado será representado por diferentes funções matemáticas.
• De igual forma, entre cada par de pontos de singularidade teremos sistemas de coordenadas diferentes.
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Pontos de Singularidade - Exemplos
A. Apoios; B. Vínculos internos – rótulas e engastes; C. Cargas concentradas; D. Momento fletor concentrado; E. Pontos de término de cargas distribuídas em meio a viga; F. Pontos de variação de carga distribuída; G. Ponta de balanço;
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Pontos de Singularidade – Sistemas de Eixos Locais
Conforme mencionado, entre cada par de pontos de singularidade será determinado um novo sistema de coordenadas cartesianas, tal como no exemplo abaixo.
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Aula 02 - Seção 02: Equação da Linha Elástica
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Linha Elástica (1)
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Trecho de uma barra sujeita à flexão pura
Linha Elástica (2)
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Da Resistência dos Materias temos:
𝝈𝝈 =𝒅𝒅𝑴𝑴𝑰𝑰
𝜎𝜎 – tensão normal à seção transversal;
E – módulo de elasticidade; 𝜀𝜀 – deformação longitudinal; M – momento fletor; dx – comprimento longitudinal
infinitesimal; ∆dx – variação do comprimento
logitudinal inf.; y – distância das fibras até a linha
neutra;
𝜺𝜺 =𝝈𝝈𝑬𝑬
𝜺𝜺 =∆𝒅𝒅𝒅𝒅𝒅𝒅𝒅𝒅
(1) (2) (3)
LN
Linha Elástica (3)
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Substituindo (1) e (2) em (3) temos:
LN
𝝈𝝈 =𝒅𝒅𝑴𝑴𝑰𝑰
𝜺𝜺 =𝝈𝝈𝑬𝑬
𝜺𝜺 =∆𝒅𝒅𝒅𝒅𝒅𝒅𝒅𝒅
(1) (2) (3)
∆𝒅𝒅𝒅𝒅𝒅𝒅𝒅𝒅
=𝒅𝒅𝑴𝑴𝑰𝑰𝑬𝑬
Trocando as posições de dx (inf.) e y:
∆𝒅𝒅𝒅𝒅𝑴𝑴
=𝒅𝒅𝒅𝒅𝒅𝒅𝑰𝑰𝑬𝑬
Linha Elástica (4)
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LN
Da figura ao lado pode-se escrever:
∆𝒅𝒅𝒅𝒅𝑴𝑴
=𝒅𝒅𝒅𝒅𝒅𝒅𝑰𝑰𝑬𝑬
𝒅𝒅𝝋𝝋 =𝒅𝒅𝒅𝒅𝒓𝒓
=∆𝒅𝒅𝒅𝒅𝑴𝑴
Logo:
∆𝒅𝒅𝒅𝒅𝑴𝑴
=𝒅𝒅𝒅𝒅𝒓𝒓
=𝒅𝒅𝒅𝒅𝒅𝒅𝑰𝑰𝑬𝑬
E ainda:
𝟏𝟏𝒓𝒓
=𝒅𝒅𝑬𝑬𝑰𝑰
Linha Elástica (5)
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Nesta expressão o termo 𝟏𝟏𝒓𝒓 é definido como curvatura, ou
seja, curvatura é de fato o inverso do raio de curvatura;
Nos livros de cálculo diferencial e integral a definição matermática de curvatura em coordenadas cartesianas é dada por :
𝟏𝟏𝒓𝒓
=𝒅𝒅𝟐𝟐𝒗𝒗𝒅𝒅𝒅𝒅𝟐𝟐
𝟏𝟏 + 𝒅𝒅𝒗𝒗𝒅𝒅𝒅𝒅
𝟐𝟐𝟑𝟑𝟐𝟐
𝟏𝟏𝒓𝒓
=𝒅𝒅𝑬𝑬𝑰𝑰
Entretanto, considerando que na Teoria das Estruturas são considerados apenas “pequenos deslocamentos” o quadrado de dv/dx é desprezível a parte inferior da expressão acaba reduzida ao valor 1:
𝟏𝟏𝒓𝒓≈𝒅𝒅𝟐𝟐𝒗𝒗𝒅𝒅𝒅𝒅𝟐𝟐
𝟏𝟏𝟑𝟑𝟐𝟐≈𝒅𝒅𝟐𝟐𝒗𝒗𝒅𝒅𝒅𝒅𝟐𝟐
Linha Elástica (6)
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Assim sendo:
𝟏𝟏𝒓𝒓
=𝒅𝒅𝑬𝑬𝑰𝑰
• Saliente-se que “v” é uma função matemática que representa as deflexões de cada um dos infinitos pontos “x” ao longo da linha neutra de uma viga.