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Teoria Cinetica dei gasTeoria Cinetica dei gas

La teoria cinetica (dal greco KINETIKOS = MOVIMENTO) dei gas rappresenta una delle

teorie fisiche di maggior successo: essa ha infatti previsto, in un periodo in cui l'atomicità della materia era ancora considerata con una certa

diffidenza, l'esistenza delle molecole.

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Le tappe fondamentali dell’interpretazione cinetica del calore

1738Daniel Bernoulli(1700-1782) : spiegazione della legge di Boyle col modello cinetico (pressione di un gas come risultato degli urti delle molecole sulle pareti del contenitore)(ignorata per il prevalere del modello ‘statico’ proposto da Newton)

1827 Robert Brown : scoperta del moto “browniano”

Ma solo un secolo dopo si riuscì a capire che tale è una conseguenza degli urti delle molecole dell'acqua contro le particelle in sospensione

1848 J.R.Joule(1818-1889) : equivalenza tra calore ed energia meccanica•abbandono definitivo della teoria del calorico. Scopre la relazione che lega la pressione con il numero, la velocità e la massa dei costituenti molecolari di un gas perfetto

1856 R.Clausius :”sulla natura di quel particolare moto che chiamiamo calore” [fondamenti della moderna teoria cinetica]

1861 J.C.Maxwell - Ludwig Boltzmann : sviluppo dettagliato della teoria matematica [Meccanica statistica]

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La teoria cinetica ‘classica’ costituisce l’ultimo trionfo della meccanica newtoniana nella descrizione dei fenomeni naturali:

anche i fenomeni

microscopici

possono essere affrontati e spiegati sulla base delle

leggi di Newton e dei principi di conservazione

Alcune sue previsioni

non

sono però in accordo con i dati sperimentali: solo lo sviluppo della meccanica quantistica ha potuto fornire una descrizione

pienamente soddisfacente dei fenomeni su scala atomica

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Il modello meccanico di un gas

La teoria cinetica rappresenta un modello, cioè uno strumento di ragionamento e di calcolo formato da un insieme di ipotesi semplificative che aiutano a raffigurare un

sistema fisico.

Il modello meccanico è fondato sulle seguenti ipotesi:

• Le molecole sono assimilabili a sfere rigide

• Il loro numero è così elevato da essere statisticamente significativo

• Le loro dimensioni sono trascurabili rispetto alla distanza media fra esse; in altri termini il volume complessivo delle molecole è trascurabile rispetto al volume totale occupato dal gas

• L’urto delle molecole con le pareti del contenitore è elastico (si conserva l’energia cinetica)

• Tutte le molecole sono di ugual massa• il moto delle molecole non ha direzioni privilegiate (tutte le direzioni sono

ugualmente probabili)

* le molecole non si urtano fra loro

L’abbandono di quest’ultima ipotesi porta ad un sostanziale raffinamento del modello

e infine:

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Applichiamo al modello le leggi di Newton:

ΔtpΔF

ΔtvΔmF amF

=↔=↔⋅=

(la risultante delle forze applicate ad un corpo è uguale alla variazione al secondo della sua quantità di moto)

zy

x

v

L

L

L

S

Si pensi ad 1 sola pallina di massa m in moto con velocità v entro una scatola cubica di lato L

Nell’urto contro la parete di destra, perpendicolare all’asse X, essa subisce una variazione della quantità di moto:

( ) xxxif mvmvmvppp 2−=−−=−=∆

v

v

vx

-vx

forza agente sulla particella in 1 urto:

forza agente sulla parete in 1 urto:t

mvF x

x ∆=

2t

mvF xx ∆

−=2

( 3° principio della dinamica)

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L

L’intervallo di tempo tra due urti consecutivi è:xvLt 2=∆

La forza esercitata in media da 1 particella è dunque: L

mv

vLmv

F x

x

xx

2

22

==

La pressione sulla faccia (di area S=L2) della scatola (di volume V=L3) è:

Vmv

Lmv

LF

SF

P xxxx2

3

2

2 ====

La pressione esercitata dall'insieme delle molecole sulla parete della scatola sarà data da:

Vmv

P x∑=2

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Ragionando in modo analogo per gli urti contro le pareti perpendicolari agli assi y e z otteniamo:

Vmv

P y∑=2

Vmv

P z∑=2

dove la pressione P è la stessa, perché, data la simmetria del sistema e la distribuzione deltutto casuale delle velocità delle molecole, ogni direzione è ugualmente probabile.

Sommando tra loro le tre pressioni P troviamo:

( )V

vvvmP zyx∑ ++

=222

3

Poiché le molecole hanno la stessa massa e che: 2222zyx vvvv ++=

Possiamo scrivere: ∑= 2

3v

VmP (1)

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Introduciamo il valor medio dei quadrati delle velocità molecolari,definito dal rapporto:

Nv

vqm∑=

22

Nv

vqm∑=

2

velocità quadratica mediaUtilizzando la vqm la (1) diventa: 2

3 qmvV

NmP =

E quindi: 2

31

qmNmvPV = Legge di CLAUSIUS

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Energia cinetica e temperatura

Sia 2

21 mvEc = l'energia cinetica di una molecola

L'energia cinetica totale dell'insieme delle molecole è

∑∑ == 22

21

21

qmtotc vNmvmE

Dividendo l'energia cinetica totale per il numero N di molecoleotteniamo l'energia cinetica media di traslazione delle singole molecole del gas:

2

21

qmc mvE =

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E quindi la legge di Clausius può essere riscritta:

cqmqm ENmvNNmvPV32

21

32

31 22 =

==

“il prodotto pressione x volume di un gas è proporzionale all’energia cinetica media delle molecole”

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Teoria CineticaTeoria Cinetica(ipotesi teorica)(ipotesi teorica)

Equazione di stato dei gasEquazione di stato dei gas(risultato sperimentale)(risultato sperimentale)

cENPV32= nRTPV =

moli di

molecole ditot A n

N 23

23 NT

NRRT

NnE

Ac ===

nRTc

EN =32

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La temperatura assoluta risulta dunque essere proporzionale alla sola energia cinetica media del

moto molecolare:

kTEc 23=

avendo definito con k la costante di Boltzmann (costante universale):

123123

11

1038,11002,6

31,8 −−−

−−

⋅⋅=⋅

⋅⋅== KJmol

molKJN

RkAV

Acquista un significato chiaro la nozione di temperatura assoluta !

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0=cEper T = 0 K

kTEc 23=

Cioè allo zero assoluto cessa qualsiasi moto molecolare!

In realtà in queste condizioni le leggi di Newton non danno unadescrizione adeguata del moto di una molecola, bisogna ricorrerealle teorie della fisica quantistica

La temperatura è l'indice macroscopico del moto di agitazione termica molecolare.

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Calcolo delle velocità molecolariA che velocità si muove, in media, una molecola di Ossigeno ( O2 )

a temperatura ambiente ? (T=27 °C = 300 K)

kTvmkTEc 23

21

23 2 =⇒=

mkTvqm

3= massa di una molecolaVelocità quadratica media

(radice quadrata della media dei quadrati delle velocità)

per l’Ossigeno : kgmol

molkgN

kgMP

AVmO

26123

13

103,5106

1032).(.2

−−

−−

⋅≅⋅

⋅⋅==

m/sOv 485103,5

3001038,1326

23

2≈

⋅⋅⋅⋅= −

−

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…e una molecola d’Idrogeno ( H2 ) ?

m/s 20004 161 vv 22 OH22

≅⋅=→= mm OH

mkTvqm

3=

(a parità di temperatura l‘energia cinetica media è la stessa, ma la velocità media è inversamente proporzionale alla radice quadrata della

massa molecolare)

In generale il rapporto tra le velocità quadratiche medie delle molecole di due gas deve essere:

1

2

2

1

mm

vv

qm

qm =

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• L'equazione dei gas perfetti ci dice che a parità di V la pressione p dipende da T e da N, e non dalla natura del gas. Ma dalla teoria cinetica si ricava che per N e V fissati p dipende da mv2

• Dalla relazione

si deduce che a parità di temperatura più piccola è la massa delle molecole più grande è la loro velocità media.

Come risultato la pressione sulle pareti del recipiente è lo stessa

1

2

2

1

mm

vv

qm

qm =

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La verifica sperimentale dell'ultima equazione, per

diversi valori della temperatura, rappresenta dunque

un test per la bontà dei risultati del modello cinetico,

assicura che l'energia cinetica media delle molecole

di un gas, e con essa la pressione, dipendono solo

dalla temperatura e non dalla natura del gas.

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ENERGIA INTERNA Per un gas ideale monoatomico, l’energia cinetica è Per un gas ideale monoatomico, l’energia cinetica è l’unica forma di energia disponibilel’unica forma di energia disponibile

kNTEU c 23== Energia media per N molecoleEnergia media per N molecole

nRTUm 23= Energia media per n moliEnergia media per n moli

poiché

ANRk =

enNN A =

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Teoria Cinetica: conclusioniTeoria Cinetica: conclusioni Usando la meccanica Newtoniana abbiamo

dimostrato La relazione tra p, V e T; La relazione tra temperatura ed energia cinetica L’energia interna di un gas monoatomico

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Distribuzione di Velocita’ Sinora abbiano preso in

considerazione solamente la velocita’ media delle molecole di un gas

Le molecole pero’ avranno una distribuzione di velocita’, e quindi di energia cinetica.

Cioè le velocità possibili delle molecole hanno moduli che vanno da zero a valori molto elevati.

Maxwell (1831-1879), nel 1859, ricavò per primo la funzione di distribuzione delle velocita’ molecolari di un gas

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Una funzione di distribuzione F(x), fornisce la frazione di oggetti che hanno la proprieta’ x

Supponiamo che la funzione qui sotto rappresenti la distribuzione del peso, in kilogrammi, della popolazione italiana.

Allora l'area colorata è la frazione di popolazione con Allora l'area colorata è la frazione di popolazione con un peso compreso tra 50 e 70 Kgun peso compreso tra 50 e 70 Kg

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Aumentando la temperatura, il massimo si sposta verso destraAumentando la temperatura, il massimo si sposta verso destra

Distribuzione delle Velocità Molecolari

2/12 3

=

MRTv

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Aumentando la massa, il massimo si sposta verso sinistraAumentando la massa, il massimo si sposta verso sinistra

Distribuzione delle Velocità Molecolari

2/12 3

=

MRTv