Teori Ring 1 I RING DAN LAPANGAN (RING AND FIELDS) Definisi dan Beberapa Contoh Ring Pada teori group, kita hanya mengenal satu operasi, yang dalam struktur aljabar hanya mengenal satu operasi pada sembarang himpunan yang tak kosong yang memenuhi sifat-sifat tertentu. Struktur aljabar yang terdiri dari himpunan tak kosong dan menggunakan dua operasi biner tambah dan kali dinotasikan secara berturut-turut + dan • dinamakan Ring. Pada bagian ini akan kita membahas ring, dan beberapa jenis-jenis ring diantaranya daerah integral (Integral Domain dan Lapangan). Definisi (Ring). Suatu ring (R,+,•) adalah himpunan R bersama dengan dua operasi biner + dan •. Yang dibaca dengan tambah dan kali yang didefinisikan pada R sedemikian sehingga sifat-sifat berikut berlaku. 1. <R,+> merupakan grup abelian (group komutatif) 2. (a • b) ∈ R 3. a • (b • c) = (a • b) • c 4. a • (b + c) = a • b + a • c dan (b + c ) • a = b • a + c • a Catatan: (i) Untuk pembahasan selanjutnya, penulisan a•b sering ditulis ab bila operasi • merupakan perkalian yang kita kenal sehari-hari dan a + (-b) ditulis a - b. (ii) Identitas operasi jumlah pada ring (R, +, •) disimbolkan dengan “0” dan disebut unsur nol dari ring. (iii) Invers penjumlahan dari a di R disimbol –a dan disebut unsur negatif dari a.
This document is posted to help you gain knowledge. Please leave a comment to let me know what you think about it! Share it to your friends and learn new things together.
Transcript
Teori Ring
1
I RING DAN LAPANGAN
(RING AND FIELDS)
Definisi dan Beberapa Contoh Ring Pada teori group, kita hanya mengenal satu operasi, yang dalam struktur
aljabar hanya mengenal satu operasi pada sembarang himpunan yang tak kosong
yang memenuhi sifat-sifat tertentu. Struktur aljabar yang terdiri dari himpunan tak
kosong dan menggunakan dua operasi biner tambah dan kali dinotasikan secara
berturut-turut + dan • dinamakan Ring. Pada bagian ini akan kita membahas ring,
dan beberapa jenis-jenis ring diantaranya daerah integral (Integral Domain dan
Lapangan).
Definisi (Ring).
Suatu ring (R,+,•) adalah himpunan R bersama dengan dua operasi biner
+ dan •. Yang dibaca dengan tambah dan kali yang didefinisikan pada R
sedemikian sehingga sifat-sifat berikut berlaku.
1. <R,+> merupakan grup abelian (group komutatif)
2. (a • b) ∈ R
3. a • (b • c) = (a • b) • c
4. a • (b + c) = a • b + a • c dan (b + c ) • a = b • a + c • a
Catatan:
(i) Untuk pembahasan selanjutnya, penulisan a•b sering ditulis ab bila operasi
• merupakan perkalian yang kita kenal sehari-hari dan a + (-b) ditulis a - b.
(ii) Identitas operasi jumlah pada ring (R, +, •) disimbolkan dengan “0” dan
disebut unsur nol dari ring.
(iii) Invers penjumlahan dari a di R disimbol –a dan disebut unsur negatif dari
a.
Drs. Rusli, M.Si. 2
(iv) Jika kita mengatakan bahwa R ring, yang dimaksud adalah R adalah
himpunan tak kosong dengan dua operasi biner + dan • sedemikian
sehingga (R, +, •) ring.
Beberapa Contoh
Contoh: Berikut ini adalah contoh himpunan tak kosong yang merupakan ring
dengan operasi yang diberikan
1) < Z, + , • > 6) < M(2,Z), + , • >
2) < Q, + , • > 7) < Z[√2], + , • >
3) < R, + , • > 8) < fR, + , • >
4) < C, + , • > 9) < RxS, + , • >, dengan R dan S
masing-masing merupakan ring
5) < Zn, + , • >
• Jika pada ring R, terdapat unsur 1 sedemikian sehingga a • 1 = 1 • a = a,
∀a ∈ R, maka R adalah Ring dengan unsur kesatuan (Ring with unit
.element.)
• Jika pada ring R, berlaku sifat a • b = b • a, ∀a,b ∈ R, maka R dikatakan
Ring Komutatif (Comutative Ring).
Teorema 1. Misalkan R ring, 0 adalah unsur nol di R dan a, b, c ∈ R
(a) 0a = a0 = 0
(b) a(-b) = (-a)b = -(ab)
(c) (-a)(-b) = ab
(d) a(b – c) = ab – ac dan (a – b)c = ac – bc.
Jika R mempunyai unsur kesatuan, maka
(e) (-1)a = -a
(f) (-1)(-1) = 1
Bukti
Teori Ring
3
Misalkan R ring dengan operasi tambah dan kali, serta misalkan bahwa identitas
untuk operasi jumlah dan kali berturut-turut adalah 0 dan 1, maka ∀ a, b, c ∈R, kita
peroleh:
(a) kita dapat menulis,
a0 = a(0 + 0) [ sifat unsur 0 di R ]
a0 = a0 + a0 [ sifat distribusi kanan ]
0 + a0 = a0 + a0 [ sifat unsur 0 di R ]
a0 = 0 [ karena R grup terhadap +, maka –a0 di R, tambahkan
kedua ruas dengan –a0 ]
Dengan cara sama, 0a = (0 + 0)a = 0a + 0a, dengan menggunakan sifat
distribusi kiri, diperoleh 0a = 0.
(b) Pertama-tama akan ditunjukkan a(-b) = -(ab). Perhatikan bahwa:
ab + a(-b) = a[b + (-b)] = a0 = 0 (dengan menggunakan sifat distribusi kanan
dan bagian (a) pada lemma ini. Dengan demikian diperoleh bahwa a(-b) = -ab.
Dengan cara sama ab + (-a)b = [a + (-a)]b = 0b = 0, diperoleh (-a)b = -ab.
(c) (-a)(-b) = -(a(-b) (menurut bagian (b))
= -(-(ab)) (menurut bagian (b))
= ab
(d) a(b – c) = a[b + (–c)] (definisi operasi pengurangan)
= ab + a(-c) (sifat distibusi kanan)
= ab + (-ac) (menurut bagian (b))
= ab – ac (definisi operasi pengurangan)
Dengan cara sama (a – b)c = ac – bc.
(e) Misalkan bahwa R mempunyai unsur kesatuan 1, maka:
a + (-1)a = 1a + (-1)a
= [1 + (-1)]a
= 0a
= 0
Ini berarti bahwa (-1)a = -a.
(f) Jika dipilih a = -1 pada bagian (e), diperoleh (-1)(-1) = 1.
Drs. Rusli, M.Si. 4
INTEGRAL DOMAIN DAN SUBRING
Definisi
Jika R ring komutatif dan a∈R, a≠0. a dikatakan unsur pembagi nol jika
terdapat b ∈R, b ≠ 0 ∋ ab=0.
Definisi
Ring komutatif dengan unsur kesatuan dikatakan Daerah Integral (Integral
Domain) jika tidak mempunyai unsur pembagi nol.
Definisi
R ring, R dikatakan Ring Pembagian (Division Ring) jika unsur-unsur tak
nol merupakan grup terhadap perkalian.
Contoh
1. <Z,+,•>, <Q,+,•>,<R,+,•> merupakan daerah integral
2. <Z6,+,•> bukan daerah integral
Teorema Jika R integral domain, a,b,c ∈ R, a≠0 dan ab=ac, maka b=c.
Definisi
S himpunan S ⊆ R, diakatakan subring dari R jika S merupakan ring
terhadap operasi pada R.
Contoh <2Z,+,•> subring dari <Z,+,•> dan <Z,+,•> subring dari <Q,+,•>
Teorema R ring, S ⊆ R, S subrung jhj S memenuhi sifat berikut:
1. S≠∅
2. ∀a,b ∈ S, a+b∈S dan a•b∈S
3. ∀a∈S, -a ∈S
Contoh
R =: <fR,+,•>, S =:{f ∈ R⏐f(1)=o}, maka S subring.
Contoh 2.1.1 R adalah himpunan bilangan bulat terhadap operasi tambah dan kali
biasa, maka R merupakan ring komutatif dengan unsur kesatuan.
Teori Ring
5
Contoh 2.1.2 R = {2z : z∈Z} terhadap operasi penjumlahan dan perkalian biasa
merupakan ring komutatif tetapi tidak mempunyai unsur kesatuan.
Contoh 2.1.3 R adalah himpunan bilangan rasional terhadap opearsi penjumlahan
dan perkalian biasa merupakan ring komutatif dengan unsur kesatuan
Contoh 2.1.4 R adalah himpunan bilangan bulat modulo 7 terhadap penjumlahan
dan perkalian mod 7 merupakan ring komutatif dengan unsur kesatuan.
Contoh 2.1.5 R adalah himpunan bilangan bulat modulo 6 terhadap penjumlahan
dan perkalian mod 6 merupakan ring komutatif dengan unsur kesatuan.
Contoh 2.1.6 Misalkan F adalah himpunan semua fungsi dari f : R→R, dengan
operasi penjumlahan dan perkalian fungsi, maka F merupakan ring komutatif.
Contoh 2.1.7 Misalkan R adalah himpunan bilangan bulat modulo n, maka R
merupakan ring komutatif terhadap operasi penjumlahan dan perkalian mod n.
Contoh 2.1.8 Misalkan R adalah himpunan bilangan kompleks dengan operasi
penjumlahan dan perkalian biasa, R merupakan ring komutatif dengan unsur
kesatuan.
Contoh 2.1.9 Misalkan R adalah himpuanan matriks ordo nxn unsur bilangan bulat
merupakan ring yang tak komutatif dengan unsur kesatuan terhadap operasi
penjumlahan dan perkalian matriks.
Contoh 2.2.1 Jika Z6 adalah himpunan himpunan bilangan bulat modulo 6. Selidiki
apakah Z6 merupakan ring dengan unsur pembagi nol.
Drs. Rusli, M.Si. 6
Contoh 2.2.2 Jika Z5 adalah himpunan bilangan bulat modulo 5. . Selidiki apakah
Z6 merupakan ring tanpa unsur pembagi nol.
Contoh Misalkan R=Z5, Buktikan bahwa R=Z5 merupakan ring pembagian.
Tunjukkan bahwa <Z,+,•>, <Q,+,•>,<R,+,•> merupakan daerah integral
Tunjukkan bahwa <Z6,+,•> bukan daerah integral
Buktikan bahwa jika R adalah ring tanpa pembagi nol jika dan hanya jika
hukum penghapusan berlaku.
Buktikan bahwa jika R adalah lapangan, maka R merupakan ring tanpa unsur
pembagi nol.
Bukti
Misalkan R lapangan, maka R merupakan ring komutatif dengan unsur
kesatuan dimana setiap unsur tak nolnya memiliki invers di R terhadap
operasi perkalian.
Ambil a, b dua unsur sebarang di R, dengan ab=0. Sekarang jika a≠0, maka
a-1 ada, sehingga ab=0 mengakibatkan a-1(ab) = a-10 sehingga kita punya
b=0. Jadi jika a≠0, ab=0, maka b=0. Dengan cara sama bila b≠0, maka b-1
ada, sehingga ab=0 mengakibatkan (ab)b-1 = 0b-1 sehingga kita punya a=0.
Dengan demikian jika b≠0, ab=0, maka a=0. Sehingga dapat disimpulkan
bahwa R tanpa pembagi nol.
Teorema 2.2.5. Daerah Integral (D) yang hingga merupakan lapangan.
Bukti
Sebelum kita membuktikan teorema ini, kita kembali pada pengertian daerah
integral merupakan ring komutatif sedemikian sehingga ab=0 jika dan hanya jika
paling sedikit satu dari a=0 atau b=0. Sedangkan lapangan merupakan ring
Teori Ring
7
komutatif dengan unsur kesatuan yang mana setiap unsur tak nol mempunyai
invers. Dengan demikian untuk membuktikan bahwa daerah integral yang hingga
itu merupakan lapangan, kita harus menunjukkan bahwa
(a) 1 ∈D, sedemikian sehingga a1=a, untuk setiap a∈D.
(b) untuk setiap a≠0, a∈D, terdapat b∈D, sedemikian sehingga ab=1.
Misalkan {x1, x2, …, xn}adalah semua unsur-unsur D dan misalkan a≠0∈D. karena
D ring, maka x1a, x2a, …, xna semuanya juga termuat di D.
Claim x1a, x2a, …, xna semuanya berbeda. Ambil xia, xja dua unsur D dengan xia =
xja untuk i≠j, maka (xi - xj)ja=0. Karena D daerah integral dan a≠0, maka xi - xj = 0,
sehnigga xi = xj. Kontradiksi dengan xi ≠ xj.untuk i≠j. Jadi x1a, x2a, …, xna
semuanya berbeda. Dengan demikian D tepat mempunyai n buah unsur yang
berbeda. Dengan kata lain untuk setiap y∈D, dapat ditulis sebagai y = xia, untuk
suatu xi ∈D. Karena a∈D, maka a=xioa, untuk suatu xio∈D. Karena D komutatif,
maka a = xioa = axio. Sekarang jika sebagai y = xia, untuk suatu xi ∈D, dan y xio= (xi
a) xio= xi (a xio) = xi a= y. Jadi xio merupakan unsure kesatuan dari D dan kita tulis 1.
Sekarang 1∈D, dengan menggunakan fakta bahwa setiap unsur di D, merupakan
perkalian dengan suatu unsur lain dengan a. Dengan kata lain 1∈D, maka terdapat
b∈D, sedemikian sehingga 1=ba, dan karena D komutatif maka 1=ba=ab. Dengan
demikian teorema telah terbukti.
Akibat 2.2.6. Zp Lapangan jhj p bilangan prima.
Bukti
Berdasarkan teorema di atas, cukup kita tunjukkan bahwa ZP merupakan daerah
integral. Ambil a,b dua unsur sebarang dari Zp dengan ab=0, maka ab habis dibagi
oleh p dan karena p prima maka p harus membagi a atau b. Dengan kata lain jika p
membagi a maka a = 0 dan jika p membagi b maka b=0. Jadi ∀a,b∈Zp, dan ab=0
maka a=0 atau b=0. Dengan demikian Zp merupakan daerah integral karena unsur-
unsur dari Zp hingga maka Zp merupakan lapangan.
Drs. Rusli, M.Si. 8
Pertanyaan
(a) apakah Ring Z[√2] merupakan daerah integral
(b) apakah Ring Z[√2] merupakan lapangan
(c) apakah Ring Q[√2] merupakan sublapangan dari R
Teorema 2.2.8 Setiap lapangan adalah daerah integral
Bukti
Misalkan F adalah lapangan, maka F adalah ring komutatif. Selanjutnya ambil a, b
unsur-unsur sebarang di F dengan ab=0.akan ditunjukan bahwa a=0 atau b=0.
Misalkan a≠0, karena F lapangan maka a-1∈F. Dengan demikian a-1 (ab)= a-1 0=0.,
atau b=0. Dengan cara sama ditunjukkan jika b≠0 maka a=0
Definisi
Daerah Integral D dikatakan mempunyai karakteristik 0 (nol) jika
na=0, dengan a ≠0dan n bilangan bulat hanya dipenuhi oleh n=0.
Latihan
Selidiki apakah Z, Q, R, C dan Zn mempunyai karakteristik nol.
Definisi
DaerahIintegral D dikatakan mempunyai karakteristik hingga jika
terdapat bilangan bulat positif n sehingga na=0, ∀a∈D
Teorema 2.2.9. Karakteristik daerah integral yang hingga selalu hingga.
Teori Ring
9
Bukti
Misalkan D adalah daerah integral yang hingga dan misalkan 1 unsur kesatuan di D,
maka menurut definisi karakteristik D akan hingga atau tak hingga. Dengan
demikian order dari 1 (D dipandang sebagai grup komutatif terhadap operasi
penjumlahan) adalah 0 atau hingga. Sekarang karena order setiap unsur grup hingga
adalah hingga, dan karena 1 unsur D, maka order dari 1 hingga sebut n,yaitu n1 =
0. Sekarang ambil a∈K sebarang, maka,
na = a + a+ …+a sebanyak n suku
= 1a+ 1a+ …+1a sebanyak n suku
= (1 + 1+ … + 1) a
= (n1)a
= 0a (karena n1=0)
= 0 (karena 0 a = 0, ∀a ∈D)
Jadi n adalah bilangan bulat positif terkecil sedemikian sehingga na =
0, ∀a∈D. Karenanya karakteristik dari D hingga.
Teorema 2.2.10. Jika D integral domain, maka karakteristik dari D adalah 0 atau
prima.
Bukti
Misalkan D adalah integral domain dan a sebarang unsur D. Sekarang kasus
jika order dari a adalah 0, bila D dipandang sebagai grup terhadap operasi
penjumlahan, maka karakteristik dari D adalah 0. Dengan ini teorema telah
terbukti. Selanjutnya jika order dari a adalah hingga sebut n, bila D
dipandang sebagai grup terhadap operasi penjumlahan, maka karakteristik
dari D adalah n dan akan kita tunjukkan bahwa D merupakan bilangan
prima. Andaikan n komposit, dan misalkan n = n1n2 dengan n1≠1, n2≠1 dan
Drs. Rusli, M.Si. 10
n1<n, n2<n. Sekarang karena n merupakan karakteristik dari D, maka n
merupakan bilangan bulat positif terkecil sedemikian sehingga na=0, ∀a∈D,
a≠0. Sehingga kita punya
na = 0
⇒ n1n2 a = 0
⇒ (n1n2 a)b = 0b, ∀b∈D, b≠0.
Definisi
S himpunan S ⊆ R, diakatakan subring dari R jika S merupakan ring
terhadap operasi pada R.
Contoh <2Z,+,•> subring dari <Z,+,•> dan <Z,+,•> subring dari <Q,+,•>
Teorema 2.2.11 R ring, S ⊆ R, S≠∅, S subring jhj S memenuhi sifat berikut:
4. ∀a,b ∈ S, a+b∈S dan a•b∈S
5. ∀a∈S, -a ∈S
Bukti
Misalkan
Contoh
R =: <fR,+,•>, S =:{f ∈ R⏐f(1)=o}, maka S subring.
Definisi
K Himpunan bagian tak kosong dari F adalah sublapangan jika K
adalah lapangan terhadap operasi yang sama pada F.
Teorema 2.2.7. Subhimpunan K dari lapangan F adalah sublapangan dari F jhj
Teori Ring
11
(i). ∀a,b ∈K, berlaku a-b∈K
(ii) ∀ a,b ∈K dan b ≠ 0, berlaku ab-1∈K
Bukti
(syarat perlu). Misalkan K adalah sub lapangan dari F, maka terhadap
operasi yang dengan F, K juga merupakan lapangan. Karenanya untuk setiap
b ∈K, berlaku -b∈K. Jadi a+(-b) ∈ K untuk setiap a, b ∈ K. karena a - b = a
+ (-b) ∈ K. Juga untuk setiap b ∈ K dan b ≠ 0, maka b-1 ada dan di K.
Karenanya ab-1 ∈ K, untuk setiap a, b ∈ K.
Sebaliknya (syarat cukup). Misalkan K himpunan bagian unsur tak kosong
dari F sedemikian sehingga
(i) a∈K, b∈K⇒a – b ∈ K.
(ii) a∈K, 0≠b ∈ K⇒ab-1∈K
2
Homomorfisma, Ideal dan Ring Faktor
2.1 Homomorfisma
Pada saat mempelajari grup, kita telah mengenal konsep
homomorfisma pada suatu grup. Konsep homomorfisma ini juga merupakan
suatu konsep yang sangat penting dalam ring. Kita kembali pada
homomorfisma grup, didefinisikan sebagai pemetaan yang memenuhi relasi
φ(ab)=φ(a)φ(b). Karena ring memiliki dua operasi, maka definisi
homomorfisma pada ring diberikan sebagai berikut.
Drs. Rusli, M.Si. 12
Definisi 2.1.1
Misalkan R dan R’ masing-masing merupakan ring. Pemetaan
φ:R→R’ dikatakan homomorfisma jika untuk setiap a,b ∈R.