Bab 1 Analisis Vektor
Bab 1
Analisis Vektor
Introducing Nama : Sitti Nurrahmi, S.Si, M.ScPanggilan : RahmiTTL : Palu, 21 November 1988S1 : 2006 – 2011 FMIPA Jurusan Fisika UNTAD,
KBK Fisika Material dan Energi.S2 : 2012 – 2015 (Januari) FMIPA Jurusan Fisika
UGM Yogyakarta, KBK Fisika Material dan Instrumentasi.
CP : 085241406390Any questions??
Introducing
Kontrak Perkuliahan Kontrak Perkuliahan :
UTS 35 % UAS 35 %Tugas 20 %Kehadiran 10 %
Kontrak Perkuliahan
Notasi Vektor Vektor A dapat dituliskan dalam bentuk komponen-komponen
vektor satuan sebagai
A = Axax + Ayay + Azaz
Dalam bentuk komponen-komponennya, magnituda vektor A didefinisikan sebagai
|A| =A=
Vektor satuan sepanjang arah A diberikan oleh
222 AzAyAx ++
'|| A
A
A
AaA ==
Notasi Vektor Vektor A dapat dituliskan dalam bentuk komponen-komponen
vektor satuan sebagai
A = Axax + Ayay + Azaz
Dalam bentuk komponen-komponennya, magnituda vektor A didefinisikan sebagai
|A| =A=
Vektor satuan sepanjang arah A diberikan oleh
222 AzAyAx ++
'|| A
A
A
AaA ==
Vektor dapat dijumlahkan dan juga dikurangkan
Aljabar Vektor
A ± B = (Axax + Ayay + Azaz) ± (Bxax + Byay + Bzaz)
= (Ax±Bx)ax + (Ay ± By)ay + (Az ± Bz)azSifat-sifat asosiatif, distributif, dan komutatif
berlakudalam aljabar vektor
C = A+B=B+A
×A + (B + C) = (A + B) + C×k(A + B) = kA + kB, (kl + k2)A = kIA + k2A×A+B = B+A
A+(B+C) = (A+B)+C
Komutatif
Assosiatif
B
Komutatif & AssosiatifContoh : C= A+B=B+AKomunikatif
Contoh : D = A+(B+C) = (A+B)+CAssosiatif
BA A
B
C
C
C
A
B+C
D=A+(B+C)
A+B
D=(A+B)+C
A
C
Hasil perkalian vektor dengan skalar adalah vektor Besar perkalian vektor dengan skalar adalah kelipatan a (skalar)
dari nilai vektor asli Arah vektor yang dihasilkan adalah sama dengan arah vektor asal
bila a > 0, dan berlawanan dengan arah vektor asal bila a < 0 Perkalian vektor dengan skalar memenuhi hukum distributif , yaitu
a (A +B ) = aA + aB
Perkalian Vektor dengan Skalar
Contoh :
B = aA a<0,B berlawanan A
B = aAa > 0,B searah A
A • B = AB cos θ (dibaca sebagai "A titik B")
Hasil perkalian titik atau dot product adalah besaran skalar
Perkalian titik adalah komutatif
Perkalian titik adalah distributif
Perkalian titik memenuhi perkalian skalar
A.(B+C) = A.B + A.C
θcos. BABA =
Perkalian Titik (Dot) Dua Vektor
A.B = B.A
A • kB = k(A •B)
θcosBAC =
A • B = AxBx + AyBy + AzBz
di mana θ adalah sudut antara A dan B yang lebih kecil. Dalam bentuk komponen, perkalian titik adalah sama dengan
Contoh :
Hasil perkalian silang atau cross product adalah besaran vektor yang arah nya tegak lurus kedua vektor asal dengan aturan tangan kanan.
Perkalian silang tidak memenuhi hukum komutatif Perkalian silang adalah distributif
θsinBAAXBC ==
θsinBAAXBC ==
θ = sudut antara A dan B yang lebih kecil.an = Vektor satuan adalah normal terhadap bidang datar A dan
BHasil perkalian silang memenuhi aturan tangan kanan / putaran skrup
Perkalian Silang Dua Buah Vektor
AX(B+C) = AXB + AXC
AXB = -BXA
Contoh :
Perluasan perkalian silang dalam bentuk komponen-komponen vektor akan menghasilkan,
A x B = (Axax + Ayay + Azaz) x (Bxax + Byay + Bzaz)
= (AYBZ – AzBz)ax + (AzBx - AxBz)ay + (AxBy – AyBx)az
Jika A = 2ax + 4ay – 3aZ dan B = ax – ay, carilah A • B dan A x B !
Penyelesaian!
2)0)(3()1)(4()1)(2( −=−+−+=•BA
azayax
azayax
BA 633
011
342 −−−=−
−=×
Contoh :
1. Diberikan vektor A = 2i + 4j dan B = 6j – 4k. Carilah sudut
terkecil antara vektor A dan vektor B menggunakan (a)
perkalian titik, (b) perkalian silang.
Tugas
• Koordinat cartesian tidak cukup !!!• Terdapat beberapa kasus yang akan lebih mudah
penyelesaiannya dengan menggunakan koordinat tabung dan bola
• Sebagai contoh, persoalan kabel yang menggunakan koordinat silindris dan persoalan antena yang memiliki penyelesaian menggunakan koordinat bola.
• Ilustrasi :• Titik P digambarkan dalam 3 buah koordinat• Koordinat cartesian = (x, y, z)• koordinat silindris = (r, φ, z )• koordinat bola = (r,θ,φ)
Sistem koordinat
φ
Pendefinisian Variabel-Variabel Koordinat dalam Tiga Buah
Sistem Koordinat
Bentuk komponen dari sebuah vektor dalam ketiga sistem koordinat : A = Axax + Ayay + Azaz (Cartesian)A = Arar + Aφaφ + Azaz (Silindris)A = Arar + Aθaθ + Aφaφ(Bola)
Z
Y
Xx
y
z
A (x, y, z)
Z
X
z
Yr
Z
X
z
φ
Y
r
φA (r, φ, z)A (r, φ , z) A (r, φ ,θ)
.Bidang-bidang Permukaan
Nilai Konstan untukTiga sistem Koordinat
Arah vektor satuan untuk tiga sistem koordinat
Masing-masing vektor satuan adalah normal terhadap bidang permukaan koordinatnya dan memiliki arah di mana koordinatnya bertambah.
Semua sistem merupakan sistem tangan kanan:ax x aY = aZ ar x aφ = az ar x aθ = aφ
Koordinat cartesian – koordinat silinder
Transformasi skalar antar sistem koordinat
vektor dalam Cartesian :
A = Axax + Ayay + Azaz
Dengan masing-masing komponen merupakan fungsi dari x, y dan z;
vektor dalam Silinder :
zazAaArarAA ++=
φφ
Dengan masing-masing komponen merupakan fungsi dari r, θ dan z;
Untuk mendapatkan komponen sebuah vektor, kita ingat pada pembahasan perkalian titik yang menyatakan bahwa komponennya dapat dicari dengan mengambil perkalian titik
ar a az
ax. cos -sin 0
ay. sin cos 0
az. 0 0 1
φφ φ
φ
Ar = (Axax + Ayay + Azaz) • ar
AΦ = (Axax + Ayay + Azaz)• aΦ
Az = (Axax + Ayay + Azaz) • az
Transformasi skalar antar sistem koordinat
Koordinat cartesian – koordinat bola
vektor dalam Cartesian :
A = Axax + Ayay + Azaz
Dengan masing-masing komponen merupakan fungsi dari x, y dan z;
vektor dalam Silinder :
θθφφ aAaArarAA ++=
Dengan masing-masing komponen merupakan fungsi dari r, θ dan z;
Dengan cara yang sama …
ar a az
ax. Sin θ Cos Cos θ Cos -Sin
ay. Cos θ Sin Cos
az. Cos θ -Sin θ 0
φφ
φ φφ φ
Ar = (Axax + Ayay + Azaz) • ar
A = (Axax + Ayay + Azaz)• a φφ
A θ = (Axax + Ayay + Azaz) • a θ
Sin θ sin
φφ
Diferensial volume pada tiga sistem koordinat
Sebagai contoh, dalam koordinat bola, elemen diferensial permukaan yang tegak terhadap ar adalah,
dS = (r dθ)(r sin θdφ) = r2 sin θdφElemen diferensial garis, dl, adalah diagonal melalui P.Jadi,
dl2 = dx2 + dy2 + dz2 (Cartesian) d12 = dr2 + r2dφ2 + dz2 (Silindris)d12 = dr2 + r2dθ2 + r2 sin2 θ dφ2 (Bola)
Carilah vektor C yang memiliki arah dari M(x1, y1, z1) ke N(x2, y2, z2)!Berapakah magnituda dari vektor ini dan vektor satuan arahnya?
Penyelesaian :Koordinat-koordinat titik M dan N digunakan untuk menuliskan posisi dari kedua vektor A dan B pada Gambar 1-6.Selanjutnya.
C = B – A = (x2 – x1)ax + (y2 – y1)ay + (z2 – z1)az
Magnituda C adalah
Vektor satuannya adalah
212
212
212 )()()(|| zzyyxxCC −+−+−==
212
212
212
121212
)()()(
)()()(
zzyyxx
azzayyaxx
C
Ca zyxC
−+−+−
−+−+−==
Soal-soal dan PenyelesaiannyaSoal 1
Hitunglah jarak antara (5,3π/2,0) dan (5,π/2,10) dalam koordinatsilindris!
Penyelesaian :Pertama carilah posisi Cartesian dari vektor A dan b
Panda gambar diperoleh :A = -5ay, B = 5ay + 10az
Soal 2
Selanjutnya, B – A = 10ay + 10az, dan jarak ekuivalen antara kedua titik
210|| =− AB
Diberikan A = (y – 1 )ax+2xay, carilah vektor pada (2,2,1) dan proyeksinya pada vektor B = 5ax – ay + 2az!
Penyelesaian :A = (2 – 1)ax + 2(2)ay = ax + 4ay. Seperti ditunjukkan pada Gambar, proyeksi sebuah vektor pada vektor kedua dapat diperoleh dengan menyatakan vektor satuan yang searah dengan vektor kedua serta mengambil perkalian titiknya.
Proyeksi A pada B = || B
BAaA B
•=•A
BaB
Proyeksi A pada B
Jadi pada (2,2,1)Proyeksi A pada B =
30
1
)2()1()5(
)2)(0()1)(4()5)(1(
|| 222=
+−+
+−+=•=•
B
BAaA B
Soal 3
Gunakanlah sistem koordinat bola untuk memperoleh luas area dari sebuah lembaran tipis α θ β pada selubung bola dengan jari-jari r = r θ ( Gambar 1-9). Berapakah luas area yang diperoleh jika α = 0 dan β = π?
Penyelesaian :Diferensial elemen permukaan adalah[ lihat Gambar diferensial volume pada tiga sistem koordinat Bola ] dS = r02 sin θ dθ dφ
Selanjutnya,
∫∫ −==πβ
α
βαπφθθ2
0
20
20 )cos(cos2sin rddrA
sehingga saat α = 0 dan β = π, A = 4πr02, yang merupakan luas permukaan bola.
Soal 4