1 BAB I PENDAHULUAN 1.1 Latar Belakang Pelabelan graf dalam teori graf adalah pemberian nilai pada titik, sisi atau titik dan sisi. Pelabelan graf sudah banyak dikaji mulai tahun 60-an. Seperti valuasi- β yang diperkenalkan oleh Rosa pada tahun 1967 [5]. Sejak saat itu, sekitar 250 tulisan mengenai pelabelan banyak bermunculan. Misal G graf dengan himpunan titik V(G) dan himpunan sisi E(G). Pelabelan graceful pada graf G merupakan pemberian nilai pada titik-titiknya dengan bilangan bulat positif {0, 1, 2, 3,..., ) (G E } sedemikian hingga sisinya mendapat label harga mutlak dari selisih pelabelan kedua titik yang menempel pada sisi tersebut. Sebuah graf G disebut graf graceful jika setiap titik dan sisi pada graf G dapat diberi label menurut aturan pelabelan graceful. Dalam hal ini, beberapa pelabelan graceful untuk kelas-kelas graf tertentu telah ditunjukkan seperti pada graf lintasan P n , graf pohon T n dengan n ≤ 16 dan graf sikel C n dengan 4) (mod 3 atau 0 n ≡ [4]. Karena itu penulis tertarik untuk menginvestigasi pelabelan graceful pada kelas-kelas graf yang lain, yaitu: 1. Graf hasil kali kartesius dari G 1 dan G 2 yaitu graf G = G 1 x G 2 . 2. Graf tangga L n , yaitu graf yang dibangun dari hasil kali kartesius graf lintasan P n dan lintasan P 2. 3. Gabungan m buah graf tangga mL n , yaitu graf tak terhubung yang terdiri dari m komponen dimana setiap komponennya adalah graf tangga L n .
This document is posted to help you gain knowledge. Please leave a comment to let me know what you think about it! Share it to your friends and learn new things together.
Transcript
1
BAB I
PENDAHULUAN
1.1 Latar Belakang
Pelabelan graf dalam teori graf adalah pemberian nilai pada titi k, sisi atau titi k
dan sisi. Pelabelan graf sudah banyak dikaji mulai tahun 60-an. Seperti valuasi-
β yang diperkenalkan oleh Rosa pada tahun 1967 [5]. Sejak saat itu, sekitar 250
tulisan mengenai pelabelan banyak bermunculan.
Misal G graf dengan himpunan titi k V(G) dan himpunan sisi E(G). Pelabelan
graceful pada graf G merupakan pemberian nilai pada titi k-titi knya dengan bilangan
bulat positi f {0, 1, 2, 3,..., )(GE } sedemikian hingga sisinya mendapat label harga
mutlak dari selisih pelabelan kedua titi k yang menempel pada sisi tersebut. Sebuah
graf G disebut graf graceful ji ka setiap titi k dan sisi pada graf G dapat diberi label
menurut aturan pelabelan graceful. Dalam hal ini, beberapa pelabelan graceful untuk
kelas-kelas graf tertentu telah ditunjukkan seperti pada graf lintasan Pn, graf pohon Tn
dengan n≤ 16 dan graf sikel Cn dengan 4) (mod3atau0 n ≡ [4]. Karena itu
penulis tertarik untuk menginvestigasi pelabelan graceful pada kelas-kelas graf yang
lain, yaitu:
1. Graf hasil kali kartesius dari G1 dan G2 yaitu graf G = G1 x G2.
2. Graf tangga Ln, yaitu graf yang dibangun dari hasil kali kartesius graf
lintasan Pn dan lintasan P2.
3. Gabungan m buah graf tangga mLn, yaitu graf tak terhubung yang terdiri
dari m komponen dimana setiap komponennya adalah graf tangga Ln.
2
1.2 Perumusan Masalah
Permasalahan yang akan diajukan dalam penulisan skripsi adalah menyelidiki
apakah sebuah graf sederhana dan hingga terutama kelas graf tangga (ladder), graf
gabungan m buah graf tangga dan graf hasil kali kartesius G1 x G2 khususnya jika
G1=Pm dan G2=Pn adalah graf graceful.
1.3 Tujuan
Mendapatkan perumusan pelabelan graceful dari graf tangga (ladder), graf
gabungan m buah graf tangga dan graf hasil kali kartesius Pm x Pn.
1.4 Manfaat
Manfaat dari pelabelan graceful diantaranya yang berkenaan dengan masalah
pengkodean, misalnya pembacaan kode sinar-X, sistem alamat pada jaringan
komunikasi dan pendesainan sirkuit [5].
3
BAB II
TINJAUAN PUSTAKA
2.1 Pengertian Graf
Graf G didefinisikan sebagai pasangan himpunan (V(G), E(G)) dimana
V(G) adalah himpunan tak kosong dari unsur-unsur yang disebut titi k (vertex ) dan
E(G) adalah himpunan dari pasangan tak terurut (u,v) dari titi k-titi k u,v di V (G)
yang disebut sisi (edge). Selanjutnya sisi e = (u,v) pada graf G ditulis e = uv.
Sebagai contoh, Gambar 2.1 adalah graf tak berarah.
v1 v4 e4 v5
G:
e1 e3
v2 e2 v3
Gambar 2.1 Graf G dengan 5 Titik dan 4 Sisi
2.2 Konsep Dasar
Banyaknya titi k di graf G disebut order n dari graf G yaitu Vn = . Graf
dengan order hingga dinamakan graf hingga. Sebagai contoh, Gambar 2.1 adalah
graf berorder 5.
Loop dalam suatu graf terjadi apabila suatu titi k v dihubungkan dengan
dirinya sendiri atau e = vv. Jika terdapat lebih dari satu sisi yang menghubungkan
dua titi k, maka sisi tersebut dinamakan sisi rangkap (multiple edges). Gambar 2.2
menunjukkan e5 adalah loop dan e3, e4 adalah sisi rangkap. Graf G dikatakan graf
sederhana apabila tidak memuat loop dan sisi rangkap.
v1 v4 e5
e1 e4 e3
v2 e2 v3
Gambar 2.2 Graf dengan Loop dan Sisi Rangkap
4
Dua titi k u dan v di graf G dikatakan tetangga (adjacent) apabila ada sisi e
yang menghubungkan titi k u dan v. Sisi e pada graf G dikatakan menempel
(incident) dengan kedua titi k yang dihubungkan.
Derajat (degree) suatu titi k v di graf G adalah banyaknya sisi yang
menempel dengan titi k v, yang dinotasikan dengan deg (v). Jika dalam graf G
setiap titi knya mempunyai derajat yang sama, maka graf G disebut graf reguler.
Contoh pada Gambar 2.3 menunjukkan graf reguler.
v1
e1 e3
v2 e2 v3
Gambar 2.3 Graf Reguler
Jalan (walk) pada graf G dinotasikan W (G) adalah barisan hingga yang
diawali dan diakhiri dengan titi k dimana unsur-unsurnya saling bergantian antara
titi k dan sisi, sedemikian hingga vivi+1 adalah sisi di G untuk setiap i = 0, 1,
2,…,n-1, yaitu : W (G) = v0, e1, v1, e2, v2, e3,…, vn-1, en, vn dengan 0≥n
Jika dijalan W (G) berlaku v0 = vn maka W (G) disebut jalan tertutup dan
dikatakan jalan terbuka ji ka nvv ≠0 .
v1 e5 v4 e6 v5
e1 e4 e3
v2 e2 v3
Gambar 2.4 Gambar untuk Mengilustrasikan Jalan (walk)
Sebuah jalan dikatakan lintasan (path) ji ka semua titi knya berbeda sedangkan jika
setiap sisinya yang berbeda maka jalan tersebut dinamakan jejak (trail ). Sikel
(cycle) didefinisikan sebagai suatu lintasan yang tertutup.
2.3 Graf Terhubung (Connected Graph)
Graf G dikatakan terhubung (connected) ji ka setiap dua titi k u,v di G,
terdapat lintasan yang menghubungkan kedua titi k tersebut. Graf G dikatakan graf
5
tak terhubung (disconnected) ji ka ada dua titi k di G yang tidak mempunyai
lintasan.
u1 v1 v2
u2 u3 v3 v4
(a) (b)
Gambar 2.5(a) Graf Terhubung dan 2.5(b) Graf Tak Terhubung
Gambar 2.5(a) adalah graf terhubung dan Gambar 2.5(b) adalah graf tak
terhubung.
Graf K dikatakan subgraf dari graf G ji ka semua titi k di K dan semua sisi
di K adalah titi k dan sisi di G. Sebagai contoh pada Gambar 2.6, K1 adalah subgraf
dari G tetapi K2 bukan subgraf G karena ada sisi ac di E(K2) yang bukan sisi di
E(G).
a b a a b
G : K1 : K2 :
c d c d c d
Gambar 2.6 Graf dan Subgrafnya
Kompenen dari graf G adalah subgraf terhubung maksimum dari G. Jadi
graf terhubung mempunyai paling banyak satu komponen sedangkan graf tak
terhubung paling sedikit mempunyai dua komponen. Contoh, pada Gambar 2.5(a)
menunjukkan graf terhubung dan Gambar 2.5(b) menunjukkan graf tak terhubung
dengan dua komponen.
2.4 Operasi pada Graf
Operasi dalam teori graf yang diperlukan dalam penulisan skripsi ini,
diantaranya gabungan graf dan hasil kali kartesius dua graf. Misal G1 dan G2
adalah graf saling asing yang artinya V(G1) ∩ V(G2) = φ dan E(G1) ∩ E(G2) = φ.
6
2.4.1 Gabungan Graf
Gabungan dua graf G1 dan G2 yang dinotasikan G = G1�
G2 mempunyai
himpunan titi k : � )( )() ( 21 GVGVGV = dan himpunan sisi
: � )( )()( 21 GEGEGE = .
Untuk gabungan m buah graf terhubung dinotasikan sebagai graf � m
iiG
1=
.
Jika pada gabungan m buah graf memenuhi kondisi G1=G2=G3=...=Gm=G maka
graf � m
iiG
1=
akan dinotasikan dengan mG, yaitu graf tak terhubung dengan m
komponen. Contoh gabungan dua graf ditunjukkan pada Gambar 2.7.
v1 v2 u1 u2 v1 v2 u1 u2
G1: G1: G1�
G2:
v3 v4 u3 u4 v3 v4 u3 u4
Gambar 2.7 Gabungan Dua Graf
2.4.2 Hasil Kali Kar tesius Dua Graf
Hasil kali kartesius dari graf G1 dan G2 adalah graf yang dinotasikan
G1xG2 dan mempunyai himpunan titi k V={ (v1, v2) v1∈V(G1), v2∈V(G2)}
dimana titi k (u1, u2) dan (v1, v2) bertetangga di G1 x G2 jika:
[ u1 = v1 dan u2 tetangga v2 ] atau [ u2 = v2 dan u1 tetangga v1 ].
Untuk memberikan gambaran tentang hasil kali kartesius dari dua graf lintasan
G1 dan G2, yaitu G1 x G2 ditunjukkan oleh Gambar 2.8.
(u1,u2) (u1,v2)
G1: u1 v1 G1 x G2 :
G2: u2 v2
(v1,u2) ( v1,v2)
Gambar 2.8. Graf Hasil Kali Kartesius G1 x G2
7
2.5 Kelas-Kelas Graf
Kelas-kelas graf yang diperlukan dalam penulisan skripsi ini, diantaranya