Teoremi sulle funzioni derivabili prof. G. Surace Roma, 19 Febbraio 2009 1 Il teorema di Rolle Teorema 1 (di Rolle). Se una funzione f (x) ´ e continua e derivabile in un in- tervallo chiuso [a, b] e se i valori della funzione sono uguali all’estremo dell’intervallo, cio´ e f (a)= f (b), allora ci sar´a almeno un punto x = c all’interno dell’intervallo in cui la derivata della funzione si annulla, cio´ e f 0 (c)=0. Proof : primo passo : prima di passare alla dimostrazione analitica del teo- rema cerchiamo, innanzitutto, di individuare le ipotesi e la tesi del teorema. Le ipotesi sono sostanzialmente tre: 1. f (x) continua in [a, b]; 2. f (x) derivabile in [a, b]; 3. f (a)= f (b) La tesi da dimostrare ´ e che esite almeno un punto x = c al’interno dell’intervallo [a, b] tale che f 0 (c) = 0. Secondo passo : cerchiamo di dare una interpretazione geometrica del teorema che ci aiuti ad apprezzarne la sua essenza. Il teorema di Rolle ha un semplice significato geometrico. Per ipotesi, in- fatti, f (a)= f (b), cio´ e le ordinate della curva y = f (x) corrispondenti agli estremi dell’intervallo [a, b] sono uguali ed inoltre all’interno di questo inter- vallo la derivata di f (x) esiste, cio´ e la curva ´ e dotata di tangente in ogni suo punto. Il teorema di Rolle afferma che all’interno di questo intervalo vi ´ e almeno un punto in cui la derivata si annulla, in cui cio´ e la tangente alla curva ´ e parallela all’asse x (vedi figura 1). Terzo passo : la dimostrazione analitica di questo teorema affonda le basi nel noto (!) teorema di Weierstrass. Infatti, in base al teorema di Weierstrass una funzione continua in un intervallo [a, b] ammette massimo, M , e minimo, m. Distinguiamo allora due casi: • m = M , cio´ e massimo e minimo coincidono, ovvero la funzione f (x)´ e costante in [a, b]. Tuttavia, se una funzione f (x)´ e costante allora la sua derivata sar´a nulla. Questo significa che non vi sar´a un unico punto in cui la derivata si annulla bens´ ı essa si annuller´ a in tutti i punti dell’intervallo [a, b], quindi anche per x = c. Il teorema ´ e, in questo caso, dimostrato. 1