Teoremas de la divergencia y del rotor en el planojana/calc3_2011/clase10.pdf · 2011. 4. 5. · definiciones previas terorema de Gauss teorema de green divergencia interpretación

definiciones previas terorema de Gauss teorema de green

Teoremas de la divergencia y del rotor en elplano

Jana Rodriguez HertzCálculo 3

IMERL

5 de abril de 2011

definiciones previas terorema de Gauss teorema de green

divergencia

divergencia

definición (divergencia)

~X : Ω→ R3 campo ~X = (A,B,C)divergencia de ~X

div ~X = ∇.~X = Ax + By + Cz

definiciones previas terorema de Gauss teorema de green

divergencia

divergencia

definición (divergencia)~X : Ω→ R3 campo ~X = (A,B,C)

divergencia de ~X

div ~X = ∇.~X = Ax + By + Cz

definiciones previas terorema de Gauss teorema de green

divergencia

divergencia

definición (divergencia)~X : Ω→ R3 campo ~X = (A,B,C)divergencia de ~X

div ~X = ∇.~X = Ax + By + Cz

definiciones previas terorema de Gauss teorema de green

divergencia

divergencia

definición (divergencia)~X : Ω→ R3 campo ~X = (A,B,C)divergencia de ~X

div ~X = ∇.~X = Ax + By + Cz

definiciones previas terorema de Gauss teorema de green

divergencia

interpretación física

div ~X = tasa de expansión del volumen según el flujo deun gas o fluido

div ~X < 0 el gas se comprimediv ~X > 0 el gas se expandediv ~X = 0 el gas mantiene su volumen

definiciones previas terorema de Gauss teorema de green

divergencia

interpretación física

div ~X = tasa de expansión del volumen según el flujo deun gas o fluidodiv ~X < 0 el gas se comprime

div ~X > 0 el gas se expandediv ~X = 0 el gas mantiene su volumen

definiciones previas terorema de Gauss teorema de green

divergencia

interpretación física

div ~X = tasa de expansión del volumen según el flujo deun gas o fluidodiv ~X < 0 el gas se comprimediv ~X > 0 el gas se expande

div ~X = 0 el gas mantiene su volumen

definiciones previas terorema de Gauss teorema de green

divergencia

interpretación física

div ~X = tasa de expansión del volumen según el flujo deun gas o fluidodiv ~X < 0 el gas se comprimediv ~X > 0 el gas se expandediv ~X = 0 el gas mantiene su volumen

definiciones previas terorema de Gauss teorema de green

divergencia

ejemplo

campo gravitatorio

X (x , y , z) = −mMGr3 (x , y , z) campo gravitatorio

Ax = −mMG( x

r3)

x

= r2−3x2

r5

div ~X = Ax + By + Cz

= −mMGr5 (3r2 − 3x2 − 3y2 − 3z2) = 0

definiciones previas terorema de Gauss teorema de green

divergencia

ejemplo

campo gravitatorio

X (x , y , z) = −mMGr3 (x , y , z) campo gravitatorio

Ax = −mMG( x

r3)

x

= r2−3x2

r5

div ~X = Ax + By + Cz

= −mMGr5 (3r2 − 3x2 − 3y2 − 3z2) = 0

definiciones previas terorema de Gauss teorema de green

divergencia

ejemplo

campo gravitatorio

X (x , y , z) = −mMGr3 (x , y , z) campo gravitatorio

Ax = −mMG( x

r3)

x= r

2−3x2r5

div ~X = Ax + By + Cz

= −mMGr5 (3r2 − 3x2 − 3y2 − 3z2) = 0

definiciones previas terorema de Gauss teorema de green

divergencia

ejemplo

campo gravitatorio

X (x , y , z) = −mMGr3 (x , y , z) campo gravitatorio

Ax = −mMG( x

r3)

x= r

2−3x2r5

div ~X = Ax + By + Cz

= −mMGr5 (3r2 − 3x2 − 3y2 − 3z2) = 0

definiciones previas terorema de Gauss teorema de green

divergencia

ejemplo

campo gravitatorio

X (x , y , z) = −mMGr3 (x , y , z) campo gravitatorio

Ax = −mMG( x

r3)

x= r

2−3x2r5

div ~X = Ax + By + Cz = −mMGr5 (3r2 − 3x2 − 3y2 − 3z2)

= 0

definiciones previas terorema de Gauss teorema de green

divergencia

ejemplo

campo gravitatorio

X (x , y , z) = −mMGr3 (x , y , z) campo gravitatorio

Ax = −mMG( x

r3)

x= r

2−3x2r5

div ~X = Ax + By + Cz = −mMGr5 (3r2 − 3x2 − 3y2 − 3z2) = 0

definiciones previas terorema de Gauss teorema de green

integral curvilínea de una función

integral curvilínea de una función

definición (integral curvilínea de una función)

f : Ω→ R con Ω ⊂ R3

C ⊂ Ω curva orientadaP(t) parametrización de C, t ∈ [a,b]integral curvilínea de f a lo largo de C:∫

Cf ds =

∫ ba

f (P(t))‖Ṗ(t)‖dt

definiciones previas terorema de Gauss teorema de green

integral curvilínea de una función

integral curvilínea de una función

definición (integral curvilínea de una función)

f : Ω→ R con Ω ⊂ R3

C ⊂ Ω curva orientadaP(t) parametrización de C, t ∈ [a,b]integral curvilínea de f a lo largo de C:∫

Cf ds =

∫ ba

f (P(t))‖Ṗ(t)‖dt

definiciones previas terorema de Gauss teorema de green

integral curvilínea de una función

integral curvilínea de una función

definición (integral curvilínea de una función)

f : Ω→ R con Ω ⊂ R3

C ⊂ Ω curva orientada

P(t) parametrización de C, t ∈ [a,b]integral curvilínea de f a lo largo de C:∫

Cf ds =

∫ ba

f (P(t))‖Ṗ(t)‖dt

definiciones previas terorema de Gauss teorema de green

integral curvilínea de una función

integral curvilínea de una función

definición (integral curvilínea de una función)

f : Ω→ R con Ω ⊂ R3

C ⊂ Ω curva orientadaP(t) parametrización de C, t ∈ [a,b]

integral curvilínea de f a lo largo de C:∫C

f ds =∫ b

af (P(t))‖Ṗ(t)‖dt

definiciones previas terorema de Gauss teorema de green

integral curvilínea de una función

integral curvilínea de una función

definición (integral curvilínea de una función)

f : Ω→ R con Ω ⊂ R3

C ⊂ Ω curva orientadaP(t) parametrización de C, t ∈ [a,b]integral curvilínea de f a lo largo de C:

∫C

f ds =∫ b

af (P(t))‖Ṗ(t)‖dt

definiciones previas terorema de Gauss teorema de green

integral curvilínea de una función

integral curvilínea de una función

definición (integral curvilínea de una función)

f : Ω→ R con Ω ⊂ R3

C ⊂ Ω curva orientadaP(t) parametrización de C, t ∈ [a,b]integral curvilínea de f a lo largo de C:∫

Cf ds =

∫ ba

f (P(t))‖Ṗ(t)‖dt

definiciones previas terorema de Gauss teorema de green

teorema

teorema de Gauss

teorema de la divergencia en el plano

~X : Ω∗ → R2 campoΩ ⊂ Ω∗ tal que ∂Ω simple cerrada antihorariaΩ = int∂Ω~n = (ẏ ,−ẋ)√

ẋ2+ẏ2normal exterior a ∂Ω

⇒ ∫∂Ω

~X .~n ds =∫ ∫

Ωdiv ~X dx dy

∫∂Ω−Bdx + Ady =

∫ ∫Ω

(Ax + By ) dx dy

definiciones previas terorema de Gauss teorema de green

teorema

teorema de Gauss

teorema de la divergencia en el plano~X : Ω∗ → R2 campo

Ω ⊂ Ω∗ tal que ∂Ω simple cerrada antihorariaΩ = int∂Ω~n = (ẏ ,−ẋ)√

ẋ2+ẏ2normal exterior a ∂Ω

⇒ ∫∂Ω

~X .~n ds =∫ ∫

Ωdiv ~X dx dy

∫∂Ω−Bdx + Ady =

∫ ∫Ω

(Ax + By ) dx dy

definiciones previas terorema de Gauss teorema de green

teorema

teorema de Gauss

teorema de la divergencia en el plano~X : Ω∗ → R2 campoΩ ⊂ Ω∗ tal que ∂Ω simple cerrada antihoraria

Ω = int∂Ω~n = (ẏ ,−ẋ)√

ẋ2+ẏ2normal exterior a ∂Ω

⇒ ∫∂Ω

~X .~n ds =∫ ∫

Ωdiv ~X dx dy

∫∂Ω−Bdx + Ady =

∫ ∫Ω

(Ax + By ) dx dy

definiciones previas terorema de Gauss teorema de green

teorema

teorema de Gauss

teorema de la divergencia en el plano~X : Ω∗ → R2 campoΩ ⊂ Ω∗ tal que ∂Ω simple cerrada antihorariaΩ = int∂Ω

~n = (ẏ ,−ẋ)√ẋ2+ẏ2

normal exterior a ∂Ω

⇒ ∫∂Ω

~X .~n ds =∫ ∫

Ωdiv ~X dx dy

∫∂Ω−Bdx + Ady =

∫ ∫Ω

(Ax + By ) dx dy

definiciones previas terorema de Gauss teorema de green

teorema

teorema de Gauss

teorema de la divergencia en el plano~X : Ω∗ → R2 campoΩ ⊂ Ω∗ tal que ∂Ω simple cerrada antihorariaΩ = int∂Ω~n = (ẏ ,−ẋ)√

ẋ2+ẏ2normal exterior a ∂Ω

⇒ ∫∂Ω

~X .~n ds =∫ ∫

Ωdiv ~X dx dy

∫∂Ω−Bdx + Ady =

∫ ∫Ω

(Ax + By ) dx dy

definiciones previas terorema de Gauss teorema de green

teorema

teorema de Gauss

teorema de la divergencia en el plano~X : Ω∗ → R2 campoΩ ⊂ Ω∗ tal que ∂Ω simple cerrada antihorariaΩ = int∂Ω~n = (ẏ ,−ẋ)√

ẋ2+ẏ2normal exterior a ∂Ω

⇒ ∫∂Ω

~X .~n ds =∫ ∫

Ωdiv ~X dx dy

∫∂Ω−Bdx + Ady =

∫ ∫Ω

(Ax + By ) dx dy

definiciones previas terorema de Gauss teorema de green

teorema

teorema de Gauss

teorema de la divergencia en el plano~X : Ω∗ → R2 campoΩ ⊂ Ω∗ tal que ∂Ω simple cerrada antihorariaΩ = int∂Ω~n = (ẏ ,−ẋ)√

ẋ2+ẏ2normal exterior a ∂Ω

⇒ ∫∂Ω

~X .~n ds =∫ ∫

Ωdiv ~X dx dy

∫∂Ω−Bdx + Ady =

∫ ∫Ω

(Ax + By ) dx dy

definiciones previas terorema de Gauss teorema de green

teorema

dominio teorema Gauss

el teorema también seaplica a dominios de laforma:

observar las orientacionesde las curvas bordeunión finita de dominioscon borde simple cerradoantihorario

definiciones previas terorema de Gauss teorema de green

teorema

dominio teorema Gauss

el teorema también seaplica a dominios de laforma:observar las orientacionesde las curvas borde

unión finita de dominioscon borde simple cerradoantihorario

definiciones previas terorema de Gauss teorema de green

teorema

dominio teorema Gauss

el teorema también seaplica a dominios de laforma:observar las orientacionesde las curvas bordeunión finita de dominioscon borde simple cerradoantihorario

definiciones previas terorema de Gauss teorema de green

teorema

flujo saliente de un campo a través de una curva

definición (flujo saliente de un campo)

~X : Ω∗ → R2 campoC = ∂Ω conjunto de curvas orientadas como recién~n normal exterior a Ωflujo saliente de ~X a través de C:∫

∂Ω

~X~nds

definiciones previas terorema de Gauss teorema de green

teorema

flujo saliente de un campo a través de una curva

definición (flujo saliente de un campo)~X : Ω∗ → R2 campo

C = ∂Ω conjunto de curvas orientadas como recién~n normal exterior a Ωflujo saliente de ~X a través de C:∫

∂Ω

~X~nds

definiciones previas terorema de Gauss teorema de green

teorema

flujo saliente de un campo a través de una curva

definición (flujo saliente de un campo)~X : Ω∗ → R2 campoC = ∂Ω conjunto de curvas orientadas como recién

~n normal exterior a Ωflujo saliente de ~X a través de C:∫

∂Ω

~X~nds

definiciones previas terorema de Gauss teorema de green

teorema

flujo saliente de un campo a través de una curva

definición (flujo saliente de un campo)~X : Ω∗ → R2 campoC = ∂Ω conjunto de curvas orientadas como recién~n normal exterior a Ω

flujo saliente de ~X a través de C:∫∂Ω

~X~nds

definiciones previas terorema de Gauss teorema de green

teorema

flujo saliente de un campo a través de una curva

definición (flujo saliente de un campo)~X : Ω∗ → R2 campoC = ∂Ω conjunto de curvas orientadas como recién~n normal exterior a Ωflujo saliente de ~X a través de C:

∫∂Ω

~X~nds

definiciones previas terorema de Gauss teorema de green

teorema

flujo saliente de un campo a través de una curva

definición (flujo saliente de un campo)~X : Ω∗ → R2 campoC = ∂Ω conjunto de curvas orientadas como recién~n normal exterior a Ωflujo saliente de ~X a través de C:∫

∂Ω

~X~nds

definiciones previas terorema de Gauss teorema de green

teorema

ejemplo

ejemplo~X = (y3, x5)

calcular el flujo saliente de ~X a través del borde delcuadrado unitario antihorario∫∂�

~X~nds

=∫∫

� div X dx dy = 0

definiciones previas terorema de Gauss teorema de green

teorema

ejemplo

ejemplo~X = (y3, x5)

calcular el flujo saliente de ~X a través del borde delcuadrado unitario antihorario

∫∂�

~X~nds

=∫∫

� div X dx dy = 0

definiciones previas terorema de Gauss teorema de green

teorema

ejemplo

ejemplo~X = (y3, x5)

calcular el flujo saliente de ~X a través del borde delcuadrado unitario antihorario∫∂�

~X~nds

=∫∫

� div X dx dy = 0

definiciones previas terorema de Gauss teorema de green

teorema

ejemplo

ejemplo~X = (y3, x5)

calcular el flujo saliente de ~X a través del borde delcuadrado unitario antihorario∫∂�

~X~nds =∫∫

� div X dx dy

= 0

definiciones previas terorema de Gauss teorema de green

teorema

ejemplo

ejemplo~X = (y3, x5)

calcular el flujo saliente de ~X a través del borde delcuadrado unitario antihorario∫∂�

~X~nds =∫∫

� div X dx dy = 0

definiciones previas terorema de Gauss teorema de green

teorema

teorema de green

teorema del rotor en el plano (Green)

~X : Ω∗ → R2 campoΩ y ∂Ω como en el teo. anterior⇒ ∫

∂Ω

~X−→ds =

∫ ∫Ω

rot ~X .~k dx dy

∫∂Ω

Adx + Bdy =∫ ∫

(Bx − Ay) dx dy

definiciones previas terorema de Gauss teorema de green

teorema

teorema de green

teorema del rotor en el plano (Green)~X : Ω∗ → R2 campo

Ω y ∂Ω como en el teo. anterior⇒ ∫

∂Ω

~X−→ds =

∫ ∫Ω

rot ~X .~k dx dy

∫∂Ω

Adx + Bdy =∫ ∫

(Bx − Ay) dx dy

definiciones previas terorema de Gauss teorema de green

teorema

teorema de green

teorema del rotor en el plano (Green)~X : Ω∗ → R2 campoΩ y ∂Ω como en el teo. anterior

⇒ ∫∂Ω

~X−→ds =

∫ ∫Ω

rot ~X .~k dx dy

∫∂Ω

Adx + Bdy =∫ ∫

(Bx − Ay) dx dy

definiciones previas terorema de Gauss teorema de green

teorema

teorema de green

teorema del rotor en el plano (Green)~X : Ω∗ → R2 campoΩ y ∂Ω como en el teo. anterior⇒ ∫

∂Ω

~X−→ds =

∫ ∫Ω

rot ~X .~k dx dy

∫∂Ω

Adx + Bdy =∫ ∫

(Bx − Ay) dx dy

definiciones previas terorema de Gauss teorema de green

teorema

teorema de green

teorema del rotor en el plano (Green)~X : Ω∗ → R2 campoΩ y ∂Ω como en el teo. anterior⇒ ∫

∂Ω

~X−→ds =

∫ ∫Ω

rot ~X .~k dx dy

∫∂Ω

Adx + Bdy =∫ ∫

(Bx − Ay) dx dy

definiciones previas terorema de Gauss teorema de green

teorema

observación

observaciónel teorema de la divergencia y el del rotor en el plano sonequivalentes

definiciones previas terorema de Gauss teorema de green

teorema

observación 2

observación 2el teorema de Green implica el teorema fundamental paracampos irrotacionales (clase pasada)

definiciones previas terorema de Gauss teorema de green

teorema

observación 3

obervación 3 (fórmula del área)

area(Ω) =∫ ∫

Ωdx dy

=12

∫ ∫∇.(x , y)dx dy

=12

∫∂Ω

(x , y)~nds

=12

∫∂Ω

xdy − ydx

definiciones previas terorema de Gauss teorema de green

teorema

observación 3

obervación 3 (fórmula del área)

area(Ω) =∫ ∫

Ωdx dy

=12

∫ ∫∇.(x , y)dx dy

=12

∫∂Ω

(x , y)~nds

=12

∫∂Ω

xdy − ydx

definiciones previas terorema de Gauss teorema de green

teorema

observación 3

obervación 3 (fórmula del área)

area(Ω) =∫ ∫

Ωdx dy

=12

∫ ∫∇.(x , y)dx dy

=12

∫∂Ω

(x , y)~nds

=12

∫∂Ω

xdy − ydx

definiciones previas terorema de Gauss teorema de green

teorema

observación 3

obervación 3 (fórmula del área)

area(Ω) =∫ ∫

Ωdx dy

=12

∫ ∫∇.(x , y)dx dy

=12

∫∂Ω

(x , y)~nds

=12

∫∂Ω

xdy − ydx

definiciones previas terorema de Gauss teorema de green

teorema

example - teorema Green

ejemplo

~X = (xy2, x + y)

calcular la circulación de ~Xsobre C∫C~X−→ds =

∫∫Ω rot X .

~kdx dy

= 112

definiciones previas terorema de Gauss teorema de green

teorema

example - teorema Green

ejemplo

~X = (xy2, x + y)

calcular la circulación de ~Xsobre C

∫C~X−→ds =

∫∫Ω rot X .

~kdx dy

= 112

definiciones previas terorema de Gauss teorema de green

teorema

example - teorema Green

ejemplo

~X = (xy2, x + y)

calcular la circulación de ~Xsobre C∫C~X−→ds =

∫∫Ω rot X .

~kdx dy

= 112

definiciones previas terorema de Gauss teorema de green

teorema

example - teorema Green

ejemplo

~X = (xy2, x + y)

calcular la circulación de ~Xsobre C∫C~X−→ds =∫∫

Ω rot X .~kdx dy

= 112

definiciones previas terorema de Gauss teorema de green

teorema

example - teorema Green

ejemplo

~X = (xy2, x + y)

calcular la circulación de ~Xsobre C∫C~X−→ds =∫∫

Ω rot X .~kdx dy = 112

definiciones previasdivergenciaintegral curvilínea de una función

terorema de Gaussteorema

teorema de greenteorema