Teorema fundamentales: Estabilidad III

8/4/2019 Teorema fundamentales: Estabilidad III

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ESTABILIDAD III CAPITULO I: TEOREMAS FUNDAMENTALES Pg 1

1TEOREMAS FUNDAMENTALES

1.1 CONSIDERACIONES GENERALES.El diseo de Estructuras implica un profundo conocimiento del comportamiento de las

mismas, lo cual hace imprescindible el estudio de las cargas permanentes y accidentales, los

materiales a utilizar ya que sus propiedades hacen a las condiciones de diseo, las necesidades

para el funcionamiento que se le ponen al proyectista y, entre otras cosas el Anlisis de la

Estructura, entendindose por Anlisis el clculo de solicitaciones (Reacciones, Momentos

flectores y torsores, Esfuerzos normales y de corte) y de deformaciones.

El Anlisis de Estructuras es el principal objetivo de la Asignatura, con la salvedad de

que si slo fuera hallar los valores numricos de solicitaciones y deformaciones, no tendramos

mas que explicar el uso de alguno de los Programas para el Clculo de Estructuras que se venden

en el mercado y que cada da son ms potentes.El objetivo de la Asignatura es la formacin ms amplia del estudiante en el

conocimiento de las Estructuras que le permitan poder analizar en la prctica futura los datos

obtenidos con el objetivo de optimizar el diseo y/o salvar los posibles errores que se pudieran

cometer en el proceso de Anlisis y Diseo.

Nos ser necesario en el curso un buen conocimiento de la Esttica y Resistencia de

Materiales, ya vistos en asignaturas anteriores, y la utilizacin de los estados de deformacin del

sistema para lo cual estudiaremos en el presente Captulo algunos Teoremas y Principios

Generales con una presentacin orientada a su aplicacin a Sistemas Estructurales de la

Ingeniera.

1.2-PRINCIPIO DE SUPERPOSICION DE EFECTOS

Si tenemos un slido elstico lineal al cual aplicamos un sistema de fuerzas (causa) se

producirn distintos efectos, como por ejemplo: reacciones de apoyo, tensiones, deformaciones,

solicitaciones, etc.(efectos).

Si pensamos en una estructura podemos decir: El efecto que produce un conjunto de

fuerzas que actan en forma simultnea es igual a la suma de los efectos que produce cada una

de las fuerzas por separado.

En su expresin ms general dice: La relacin entre causa y efecto es lineal.

Como consecuencia de ello:

A una causa C1 le corresponde un efecto E1 y a una causa C2 le corresponde un efecto

E2 a una causa 21 CCC += , con y constantes, le corresponder un efecto

21 EEE += .

El principio implica una absoluta linealidad, para el caso de estructuras, entre las cargas

y las deformaciones, esfuerzos o solicitaciones.

Esta linealidad no se da principalmente en los siguientes casos:

a) Cuando no se cumple la ley de Hooke, o sea, no existe linealidad entre tensionesy deformaciones.

b) Cuando la geometra de la estructura cambia en forma apreciable, y para elequilibrio es necesario tomar en cuenta la modificacin sufrida por el sistema.


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En la mayor parte del curso utilizaremos el principio de Superposicin de efectos para la

resolucin de estructuras (anlisis elstico y campo de las pequeas deformaciones).

Como en el curso se vern problemas de Trabajo de Deformacin y Energa es

importante tener en cuenta que no es aplicable este principio al no existir una relacin lineal

entre las fuerzas y el Trabajo que estas producen al deformar la Estructura.

1.3 TRABAJO Y ENERGIA POTENCIAL DE DEFORMACIN

Para introducirnos en el tema de las deformaciones y de Trabajo y Energa que se

producen, veamos un simple ejemplo unidireccional como el de la figura donde la fuerzaFe escolineal con el eje coordenados

En la primer figura se tiene un sistema

indeformado antes de la aplicacin de la fuerza

Fe y por lo tanto la partcula de masa m seencuentra ens = o origen de coordenadas.

En la segunda figura esta aplicada la

fuerzaFe, con la salvedad de haber sido aplicada

lentamente en forma creciente de manera tal queno se produzcan aceleraciones y velocidades

apreciables y por lo tanto no se genere Energa

Cintica, estando en cada instante en equilibrio la

fuerza exterior Fe con la Fuerza interior Fiequilibrante producida por la resistencia al

alargamiento del resorte que tiene un coeficiente

constante de resorte kmayor que cero.

Fi k s= negativa pues tiene sentido contrario a s.Si evaluamos el trabajo que efecta la fuerzaFi durante su desplazamiento ds

dsskdsFidTi ==

y si queremos el trabajo total deFi:

2s

0

s

0sk

2

1dsskTidTi ===

Este trabajo es negativo pues se realiza en contra de la fuerza Fi del resorte, queequilibra a la Fe. Si hacemos el mismo anlisis del trabajo Te que efecta la carga Fe, por seresta igual y contraria aFi, el mismo valdr:

Fe Fi k s= = Te Ti k s= = 1

2

2

En este anlisis hemos considerado un sistema formado por la partcula m en equilibrio.

Tomemos ahora en el sistema formado por el resorte y la partcula m y tratemos de daruna interpretacin a Te y Ti.

Al trabajo Te de la fuerza externa lo denominamos Trabajo Externo y se produce a lo

largo del desplazamiento externos:

= 2sk2

1Te

Ahora bien, el resorte es una parte (interna) del sistema resorte - partcula que produce

el TrabajoInterno Ti al deformarse de manera tal que:

m

Fe

Fe

Fe

Fi

Fe=0

s

s = 0


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Te Ti k s= = 1

2

2

Podemos decir que el trabajo de la fuerza externa (Te)se gasta en deformar el resorte(elemento interno) que acumula el trabajo en forma de una Energa Elstica Potencial de

Deformacin (U). Si retiramos la fuerzaFe la partcula regresara a su posicin originals = 0 y la

Fi producir un Trabajo positivo producto de la Energa acumulada.En el anlisis producido se cumple:

0TiTe =+ UTiTe ==

Ntese que en todo el proceso no se producen perdidas de trabajo por rozamiento, calor,

etc., y es posible aplicar los Principios Generales del Trabajo y Energa y principalmente el de

Conservacin de la Energa para sistemas conservativos.

Supongamos ahora un Slido Elstico y tratmoslo de visualizar como si estuviera

formado por un conjunto de partculas unidas por elementos o vnculos elsticos (resortes)

internos y tratemos de extrapolar para este caso el ejemplo visto hasta aqu.

Al aplicar fuerzas sobre un slido elstico se producen tensiones internas (, ),deformaciones especficas (, ) y desplazamientos internos de los puntos de aplicacin de lasfuerzas.

Las fuerzas externas efectuarn un Trabajo Externo Te a lo largo de los desplazamientosexternos que se emplea en deformar el slido utilizndose para vencer los rozamientos de los

vnculos externos e internos, producir energa cintica por los movimientos, y acumular Energa

Potencial de Deformacin debida a las tensiones y deformaciones internas.

En general en las Estructuras y para cargas de servicio se pueden hacer las siguientes

consideraciones:

a) Las fuerzas se aplican en forma paulatina de manera que los desplazamientos sonmuy lentos y no se produce Energa Cintica al no existir aceleraciones yvelocidades sensibles.

b) No existen rozamientos en los vnculos externos, y por lo tanto no se gasta ningntrabajo que en caso contrario se disipara como Calor o Energa Trmica.

c) El cuerpo es perfectamente elstico y al no haber deformaciones plsticas lasdeformaciones son reversibles, no existiendo prdidas de Energa por rozamiento de

vnculos internos.

Bajo estas premisas podemos decir que nuestro sistema es conservativo, de manera tal

que: El Trabajo Externo se utiliza para vencer la resistencia de los vnculos internos

PiP1

Pn


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representados por las tensiones internas de manera que al no existir un intercambio de Trabajo y

Energa con el exterior se cumple:

Te + Ti = 0Te = - Ti = U

donde U es la Energa Potencial de Deformacin.De la ltima expresin surge que en valor absoluto se cumple que Te = Ti y en la

bibliografa distintos autores realizan estas igualdades cambiando el signo de Ti.El criterio docente que adoptaremos es que el Trabajo Externo que realizan las fuerzas

exteriores a lo largo de las deformaciones que ellas mismas producen es positivo y se gasta en

vencer la resistencia de las tensiones internas que produce un Ti negativo, trabajo que se acumulacomo Energa Potencial de Deformacin U que puede ser recuperada al eliminar las cargasexternas y volver el slido a su posicin original sin deformacin. Veamos para distintos casos

de solicitaciones las expresiones que nos dan el clculo de los Trabajos y Energa producidos.

1.3.1-ESFUERZOS NORMALESSea una barra simple

traccionada con una fuerza extrema

(P) que va creciendo en formapaulatina desde un valor 0 hasta un valor

finalP.En un instante la carga tendr

un valor(P) donde 0 1 Siendo

= 0 para el inicio de la carga y = 1para la carga final.

El desplazamiento final que

produce la carga finalP ser y dado

que estamos en un material que cumplela Ley de Hooke es valido el Principio

de Superposicin y a una carga (P)

corresponder un corrimiento () porsu dependencia lineal.

Asimismo en una seccin dada

tendremos tensiones internas normales

, cuya resultante conocemos como

esfuerzo normal = dN siendo el rea para coordenada s.

Valuemos el Trabajo Externo en el instante en que con la carga aplicada (P) se

produce un incremento (dP)para pasar a la carga (+d)Pcon un incremento (d).

( ) ( ) ( ) ( ) += dPddPdTe donde el segundo trmino se desprecia por ser un infinitsimo de 2 orden:

( ) ( )dTe P d P d = = (rea sombreada)

l

P

ds

s

(+d)P

(+d)

P

A

B

P

C

P


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ds

(ds)

s

Integrando entre = 0 y = 1 tendremos el Te total

Te P d P d P = = = =

=

=

=

0

1

0

1 1

2(rea ABC)

Analicemos ahora el trabajo interno Ti en el volumen ds en el cual, para la fuerza P

corresponder un esfuerzo normal N que es la resultante de las tensiones normales en la

seccin , producindose para el elemento ds un alargamiento ds cuando la carga sea P y elesfuerzo normal N. Se cumplir

dsN

Eds=

Cuando la carga sea P:

N=

E

N

ds

ds

=

=

Al incrementarse la fuerza un dP se producir un d N y un incremento dedeformacin.

==ds

dsd)d(d

lo cual implica un trabajo incremental efectuado en contra de las tensiones actuantes:

( )( ) ( )( )

( )( )

=

==

==

ddsE

Ndds

E

NNdsddTi

.dsddsddTi

2

Integrando entre = 0 y = 1 para el volumen ds

dsE

N

2

1dds

E

Ndds

E

NdTi

21

0

21

0

2

===

=

=

=

=

y el Ti en toda la barra:

TiN

Eds

Ti U

N

E ds

s

l

s

l

=

= =

=

=

1

2

1

2

2

0

2

0

La bibliografa que toma un cambio de signo en el Ti lo hace considerando un cambioentre las solicitaciones equilibrantes y las equivalentes que son iguales y de sentido contrario.

A la energa por unidad de volumen se la denomina Energa especfica de deformacin

u y vale:

udU

ds

dTi

ds

N

E E=

=

= + =

1

2

1

2

2

2

2


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y teniendo en cuenta = E

u E= 1

2

2 , o bien u = 1

2

1.3.2-ESFUERZOS DE CORTE

Supongamos una viga sometida a

esfuerzo de corte Q resultante de las

tensiones tangenciales internas a la cual

corresponden distorsiones segn:

=

Q Se

I b

Con Se = Momento esttico de la

seccin superior respecto al eje neutro

baricntrico.

I = Momento de inercia respecto al

mismo eje.

=G

El trabajo interno del diferencial de volumen si las cargas se aplican lentamente ser:

( )( ) ( ) = = = dTi dU b dy dsG

b dy ds1

2

1

2

2

= =

dTi dU Q

G

Se

I bdy ds

1

2

2 2

2

Donde llamando =

ys

yi 2dy

bI

Se =coeficiente de forma que depende

del tipo de seccin

= =dTi dU Q

Gds

1

2

2

para un volumen de longitud ds

==l

2

0ds

G

Q

2

1UTi

para la barra completa

s

l

Pi

QQ

P2P1

ds

ys

yib


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1.3.3-MOMENTO FLECTOR

En este caso si queremos el trabajo

interno en el elemento de longitud ds

tendremos:

( )( ) = =dTi dU Mf d

1

2

ya que en estos casos es el producto del

momento por el giro producido,

apareciendo siempre el al aplicarse en

forma paulatina los esfuerzos.

Remplazando:

dMf

EIds=

= =dTi dU Mf

EIds

1

2

2

En la viga completa:

= = Ti UMf

EIds

l1

2

2

0

1.3.4-MOMENTOS TORSORES

Con cargas paulatinas en el volumen de longitud ds se producir un giro ds con ngulo dedistorsin unitaria:

=Mt

GIp

s

l

Pi

MfMf

P2P1

ds

d

MfMf


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( )( ) = = =dTi dU Mf dsMt

GIpds

1

2

1

2

2

= = Ti UMt

GIpds

l1

2

2

0

Para un elemento en que acten en forma simultanea las 4 solicitaciones, el trabajointerno total cambiado de signo, igual a la energa de deformacin ser:

= = + + + =Ti UMf

EIds

N

Eds

Q

Gds

Mt

GIpds

l

s

l l l1

2

1

2

1

2 01

2

2

0

2

0

2 2

0

Expresin en la que se han sumado los trabajos de las distintas solicitaciones, a pesar de

lo expresado en el ultimo prrafo de 1-2.

Esto es as por que consideramos al Mf, N, Q y Mt solicitaciones de un mismo estado de

cargas P1; P2; .....Pi y no estamos sumando trabajo debido a estados de carga que se van

sumando. Los productos EI; E; G; GIp se denominan rigidez a la Flexin, Esfuerzo Normal,

Corte y Torsin respectivamente y nos indican:

=EI

1Rotacin d para Mf = 1 en una barra de longitud unitaria.

1

E= Alargamiento para N = 1 en una barra de longitud unitaria.

G= desplazamiento para Q = 1 en una barra de longitud unitaria.

1GIp

= Rotacin para Mt = 1 en una barra de longitud unitaria.

Cuando mayor sea la rigidez menor ser la deformacin para una misma solicitacin.

1.4 - PRINCIPIO DE LOS TRABAJOS VIRTUALES

El principio tratado de diversas formas en la bibliografa es una herramienta

poderossima para la esttica y los corrimientos de los cuerpos rgidos o deformables a tal punto

que las condiciones de equilibrio o de la esttica pueden ser demostradas si se acepta este

Principio, o por el contrario, a partir de las condiciones de equilibrio el Principio de los Trabajos

Virtuales puede ser demostrado. Con otras palabras podemos decir que si un cuerpo est en

equilibrio cumplir con el P.T.V. o por el contrario si el cuerpo cumple con este Principio

necesariamente est en equilibrio.

En la Mecnica Racional se enuncia como:

En una partcula en equilibrio bajo un sistema de fuerzas, el trabajo de dichasfuerzas a lo largo de un desplazamiento virtual es nulo


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Explicitemos que definimos como desplazamiento virtual a un desplazamiento ideal,arbitrario, pequeo y compatible con los vnculos donde es:

Ideal: real, arbitrario o debido a cualquier causa.

Pequeo: pequeo, pero no necesariamente infinitsimo de manera tal que las

ecuaciones no pierdan su linealidad por dicha causa.

Compatible con los vnculos. Los desplazamientos deben cumplir con las condicionesde vinculacin interna o externa de las partculas o el cuerpo.

Es importante explicitar que el sistema de fuerzas en equilibrio que realiza los trabajos

es independiente de los desplazamientos virtuales o de las causas que los producen.

Tratemos de pensar en un slido elstico como si fuera una barra sometida a una fuerza

externa de traccin de valor P que est formada por partculas elsticas de longitud ds como la

AABB.

En una seccin genrica ii las

tensiones que produce la carga P nos dar unesfuerzo normal n = que equilibra a P ouno igual y contrario que equivale a P.

Demos ahora a la barra un

desplazamiento virtual (independiente de la

carga P y de los desplazamientos que produce

dicha carga) que designaremos como *.

El elemento AABB, elstico, que

imaginamos formado por resortes que estn

sufriendo las tensiones que nos dan N,

sufrirn un alargamiento interno virtual * ds= ds*

En cuanto a los trabajos virtuales que

se producen tendremos

Trabajo Virtual Externo:

*P*Te =

mientras que en cada partcula AABB de long. ds se producir un Trabajo Virtual Interno:

( ) ds*ds*N*dsN*dTi ===

y en toda la barra:

( ) ===l

0

l

0

l

0ds*ds*N*dsN*Ti

P

*

l

AA

BB

i iN

N

s

ds

N

AA

BB

ds

B* B*

(ds *


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Estando el cuerpo formado por todas las partculas y siendo la suma de todos los

trabajos nulos:

0*dsN*Pl

0= 0ds**P

l

0=

0*Ti*Te =+

Esta ultima expresin no dice que los Trabajos Virtuales Externos e Internos deben seriguales y de signo contrario y su aplicacin es vlida an en el campo plstico.

Aqu tambin algunos autores cambian el signo del Ti* al considerar las solicitaciones

equivalentes N y expresan el principio como que el Trabajo Virtual externo es igual al Trabajo

Virtual Interno.

1.4.1-CUERPOS RIGIDOS

En el caso presente al no existir deformaciones * el Ti* es nulo y en consecuencia secumplir que:

Te* = 0

expresndose el P.T.V. de la siguiente forma:

Si damos una traslacin virtual a un slido rgido en equilibrio, la suma delos Trabajos del sistema de fuerzas externas en equilibrio a lo largo de losdesplazamientos virtuales es cero.

En cursos anteriores lo hemos aplicando para distintos problemas, entre ellos el Calculo

de las Lneas de Influencia por el Mtodo de la cadena Cinemtica.

1.5-TEOREMA DE CLAPEYRON

Consideremos un Slido elstico al

cual se le puede aplicar el principio de

superposicin, existiendo una relacin

lineal entre cargas y deslizamientos.

Aplicamos un sistema de cargas P1, P2,

, Pi, Pn, y sean 1,2,,n, loscorrimientos correspondientes con las

cargas (aquellos a lo largo se producen los

trabajos) y 1 2, , ,K Ki n son

corrimientos reales

Si las cargas se aplican gradualmente, los valores absolutos de Te y Ti sern iguales ydependern nicamente del estado final de cargas y deslizamientos, y no del orden en que se

aplique las cargas.

Asumamos que las cargas se aplican con un incremento porcentual similar en todas ellas

mediante un parmetro que crece variando desde 0 hasta 1(01)

2

1

i n

__

__

i __n

PiPn

P2P1

RA

RB


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En un instante t estarn aplicadas las cargas:

P P P i Pn1 2 K K

a las que correspondern desplazamientos

1 2 K Ki n

Al crecer las cargas un

d P d P d Pi d Pn 1 2 K K,.

se producirn incrementos de desplazamiento

d d d i d n 1 2 K K,

con un incremento en el Trabajo externo igual al incremento de Energa Potencial de

Deformacin

( )( )dTe dU Pi d i Diferencial de ordeni

n

= = +=

1

2

dTe dU d Pi ii

n

= = =

1

El Trabajo o Energa total durante todo el proceso de carga ser:

Te U Pi i d Pi ii

n

i

n

= = = ==

=

=

1

2 10

1

1

[ ]nPniPiPP2

1UTe 2211 +++++== KK

DondePi es el vector fuerza o momento y i el vector desplazamiento o rotacin.La ltima expresin es el Teorema de CLAPEYRON y nos dice:

El trabajo desarrollado durante la carga de un slido elstico, por un sistemade cargas en equilibrio, es independiente del orden de aplicacin de las cargas,

y su valor es igual a la mitad de la suma del producto del valor final de lasfuerzas por el valor final de los desplazamientos correspondientes de su puntode aplicacin

Reiteramos que desplazamiento correspondiente es aquel en el cual la fuerza desarrolla

su trabajo, o sea colineal con la fuerza.

Otras formas de expresar este trabajo son las siguientes:Denomino como coeficiente de influencia (o flexibilidad) ij al desplazamiento

correspondiente conPi del punto i para una carga unitaria en j dePj=1.El corrimiento del punto i valdr:

i P i P i Pi ii Pn in Pj ijj

n

= + + + + + ==1 1 2 2

1

K K

y Te U Pi Pj iji

n

j

n

= = = =

1

2 1 1


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Te U Pi Pj ijj

n

i

n

= = ==

1

2 11

funcin cuadrtica de las cargas Pi

Anlogamente se pueden definir coeficientes kij que nos den una expresin cuadrtica

de los i de la forma:

Te U kij i jj

n

i

n

= = ==

1

2 11

1.6-TEOREMA DE BETTI (Ley de reciprocidad)

De la relacin del Trabajo con funciones cuadrticas de las fuerzas y deformaciones,

ratificamos lo ya sealado en el tema (1-2) de que no es aplicable el Principio de Superposicin y

por lo tanto el trabajo de deformacin de varias fuerzas no es igual a la suma de los trabajos de

cada una de ellas por separado.

Supongamos que sobre un cuerpo acta un sistema de fuerzas P que producedeformaciones y una energa de deformacin Uigual a un trabajo Te, y dicho sistema de cargas

Pesta formado por la suma de dos estados de carga que llamaremosPyP

P = P+ P

Si es el conjunto de desplazamientos correspondientes a la carga P y es elcorrespondiente a las cargas P se cumplir:

= +

cualquiera sea el orden en que se aplican las fuerzas.

P; producen Te = Uy veamos de aplicarlas cargas P de dos formas distintas:

a) PrimeroPy luegoPU =U+U+ U (a)

Donde Ui, j representa el valor de laenerga o trabajo externo de las cargasPi a lo largode los desplazamientos debido a las cargasPj (i y j

con valores y )

b) PrimeroP y luegoPU =U+U+ U (b)

Como los dos estados finales son iguales,

tambin lo sern los Trabajos finales y de igualar

las expresiones de a) y b) obtendremos:

P

PP

P

P

P

P


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U= U

O sus iguales:

Te=Te

Expresin del Teorema de BETTI:

El trabajo de un estado de cargas en equilibrio P a lo largo de los

desplazamientos producidos por otro estado de cargas en equilibrio Pes igual al trabajo

de las cargas Pa lo largo de los desplazamientos producidos por P.

A estos trabajos se los denomina recprocos o indirectos.

Una aplicacin terica a una viga permite explicitar el significado de las expresiones:

[ ]c2a1 PP2

1U +=

[ ]U P e =1

23

U P Pd f = +1 2

U P b = 3

Caso a)

( )f2d1e3c2a1 PP

2

P

2

P

2

PU ++

+

+

=

Caso b)

b3c2a1e3 P

2

P

2

P

2

PU +

+

+

+=

De la igualdad en los dos casos:

==+= UPPPU bfd 321

Tomando estados finales P y , por teorema de CLAPEYRON:

P1 P2

P

a b c

P3PII

d e f

P1 P3 P2P

a+d b+ec+f


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( ) ( ) ( )[ ]fcebda PPPU +++++= 2312

1

1.7-TEOREMA DE MAXWELL

Este Teorema tratado aqu como un caso particular del Teorema de Betti fue enunciadocon anterioridad a este ultimo. Betti solo generalizo las conclusiones a que haba llegado

Maxwell.

En la figura siguiente de una viga tenemos dos estados de carga y deformaciones, con la

salvedad que ambos estados de cargas son unitarios.

P1=1 11 21 P2=1 12 22

Aplicando el Teorema de Betti:

212121 = PP

y siendo ambas cargas unitarias

2112 =

El valor del corrimiento de un punto 1 segn una cierta direccin P1 debido auna fuerza unitaria aplicada en 2 segn una direccin P2, es igual al valor del corrimientoen 2 segn la direccin P2 , provocado por una fuerza unitaria aplicada en 1 segn unadireccin P1.

Mencionamos especficamente el valor, pues como se aprecia en el ejemplo, la

igualdad no incluye a las unidades, pues 12 es un desplazamiento que se mide en unidades delongitud y 21 es un ngulo que se mide en radianes, ya que cuando hablamos de corrimientosentendemos tanto a un desplazamiento lineal como una rotacin, dependiendo del tipo de vector

carga con el que se evala el trabajo. En otras palabras es un corrimiento correspondientecomo ya que fue mencionado en 1-5 y por lo tanto el vector carga es colineal con el vector

corrimiento.

P1=I

(d

(22

(2111

12II

1 2

P2=1


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1.8-TEOREMA DE CASTIGLIANOConsideremos un slido elstico

que por simplicidad sea una viga como la

de la figura, que esta sometida a un

sistema de fuerzas Pi: P1, P2 ,... Pi,... Pn,al cual corresponde un conjunto de

corrimientos correspondientes 1: 2,...i..., n.

Se cumplir que de acuerdo con

el teorema de Clapeiron ser:

( ) ( )PUPiTeTe == funcin delas fuerzas Pi y por lo tanto derivable

parcialmente respecto a una cualquiera de

ellas, para lo cual debemos hallar el limite

del cociente incremental:

Pi

U

Pi

Ulim

Pi

Telim

PiPi

=

=

00

Aplico entonces en el punto i una fuerza dPi, mientras las otras permanecen constantes,

producindose desplazamientos d1, d2 ,... di,... dn en correspondencia con el sistema defuerzasPi y un trabajo:

=

+==n

j

ordendeinitesimosjdPjdUdTe1

2inf o

Este incremento de Trabajo o Energa por aplicacin del Teorema de Betti ser igual a:

idPidUdTe ==

y en consecuencia:

iPi

U

Pi

Te=

=

que expresa: La derivada parcial del Trabajo de Deformacin respecto de una de las fuerzas,es igual al desplazamiento de su punto de aplicacin medido en la direccin de la fuerza.

A esta ultima expresin se puede tambin llegar a partir de la ecuacin del tema 1.5

= =

==n

k

n

j

kjPjPkUTe1 12

1

==

==n

j

n

k

PjkjPkUTe112

1

+

=

=

=== =

n

j

n

k

n

k

n

j Pi

PjkjPkPjkj

Pi

Pk

Pi

U

Pi

Te

111 12

1

dondeb

a

P

P

es igual a 0 si a b e igual a 1 si a = b

RARB

MA P2 PiP1 Pn

(1 (2 i n

P2 dPiP1 Pn

d1d2 di

dn


16/25


+

=

=

== Pi

PikiPkPjij

Pi

Pi

2

1

Pi

U

Pi

Te n

1k

n

1j

+=

=

==

n

1k

n

1j

PkkiPjij

2

1

Pi

U

Pi

Tey como

==

=n

j

n

j

PkikPjij11

ser: iPi

U

Pi

Te=

=

segn la expresin del tema1.5

En forma semejante s posible expresar lo que se conoce como Segundo Teorema deCastigliano, definido matemticamente mediante la ecuacin:

Pii

U

i

Te

=

=

1.9-TEOREMA DE MENABREA

Sea un slido elstico como el

de la figura con vnculos rgidos que esta

sometido a un sistema de cargas P(P1;P2; P3; ...), Con lo cual se producirnreaccionesR(RA; RB) yX(X1; X2).

Explicitemos las reaccionesX1yX2 eliminando los Vnculos

sobreabundantes, en este caso los apoyosintermedios.

Es inmediato que las X sonfunciones de las P y que los puntos

donde actan los corrimientos x se anularan. Ser adems:

U = U(P, X)

y podremos hacer las derivadas parciales con respecto de lasX, que por Castigliano valdrn:

011

1 =

=

= XTe

X

UX

022

2 =

=

=X

Te

X

UX

RA RBX1 X2

P1 P2 P3A B21

RAX1 X2

P1 P2 P3

RB


17/25


Lo cual implica que si consideramos a la Energa Potencial de Deformacin como una

funcin de las variablesX, dicha Energa cumple con la condicinX

U

necesaria para tomar un

valor extremo mximo o mnimo. Se cumplir que la Energa pasa por un mnimo si:

0==

x

X

U y 0

X

x

X

U2

2

>

=

para la cual debemos interpretar que representa la derivada de un desplazamiento x respecto a lafuerzaX.

Recordando el tema 1.5 estudimoslo para una fuerza genricaPi

inniii2i21i1 PPPPiPi

U++++==

K

iiPi

U=

2

2

corrimiento del punto i para una carga Pi = 1, coeficiente

necesariamente positivo

Anlogamente 02

2 >= xxX

U corrimiento del punto de aplicacin de Xpara un X=1,

con lo cual se cumple que estamos en un caso de mnimos.

En un sistema hiperesttico con vnculos rgidos sometido a fuerzas externas,las reacciones hiperestticas toman valores que hacen mnimo el Trabajo dedeformacin.


18/25


1.10-APLICACIONES DE LOS TEOREMAS DE TRABAJO A SISTEMASESTRUCTURALES

Analizaremos algunas aplicaciones tericas con vistas a su utilizacin docente en el

curso, pensando ya en sistemas estructurales formados por barras.

1.10.1-TRABAJO VIRTUAL INTERNO

Evaluaremos el Trabajo Virtual Interno Ti* de las solicitaciones internas M(momentoflector), Q (esfuerzo de corte),N(esfuerza normal), Mt(momento torsor), en una barra sometidaa un estado de cargas externasP.

El estado de desplazamiento virtual supondremos que es debido a solicitaciones

producidas por cargas virtualesP* que denominamos M*; N*; Q*; Mt* y un incremento de

temperatura ts (superior) y ti (inferior) que nos dar desplazamientos virtuales d*; ds*; *ds y

*ds para un elemento de longitud ds:

a) CargasP*dsEI

M

d

*

* =

dsE

Nds

=

**

dsG

Qds

=

**

dsGIp

Mtds

** =

b) Temperatura ts y ti con tG en el baricentro y coeficiente de dilatacin lineal.dstsaa = '*

dstG'bb

**ds ==

dsticc = '*

dsh

tsti*d =

y se cumplir en ese elemento:

d*

ts

h

ds

tg

ti

a a

b b

cc

P

M

QMtN

Q

Mt

M

N

P*

s ds

d**ds

*ds

ds*


19/25


( ) ( ) ( ) ( )ds*Mtds*Q*dsN*dMdTi =

dsh

tstiMdstNds

GIp

*MtMtds

G

*QQds

E

*NNds

EI

*MM*dTi*dTe G

+++

+

+==

y por lo tanto en la barra:

+

++

+

+==

l

0

l

0

l

0

l

0

l

0

l

0

tGdsNdsh

tstiMds

GIp

*MtMtds

G

*QQds

E

*NNds

EI

*MM*Te*Ti

donde los dos ltimos trminos se deben a efectos de temperatura, con los cuales no

trabajaremos en el curso, pero que no provoca ninguna dificultad especial en su aplicacin.

Explicitemos ahora una propiedad de la expresin;

+++==llll

dsGIp

MtMtds

G

QQds

E

NNds

EI

MMTeTi

0000

******

que por la simetra puede ser considerada el trabajo virtual de las cargas P a lo largo de losdesplazamientos virtuales producidos porP*, o como el trabajo de las cargasP* a lo largo de losdesplazamientos virtuales producidos por un sistema de cargasP.

A esta misma conclusin podramos llegar por el Teorema De Betti, considerando a P

como el estado de cargas y aP* como el estado de cargas .

1.10.2-DESPLAZAMIENTO EN SISTEMAS RIGIDOS

Sea un arco de tres articulaciones de la figura en la cual se a producido undesplazamiento Horizontal *H del apoyoB del lado derecho y se desea conocer el descenso *Ven la articulacin C.

Para ello coloco una cargaP(que puede ser unitaria o no) en el punto Cy que producir

trabajos a travs del corrimiento desconocido V*.P producir las reacciones que forman un sistema en equilibrio con:

H

l H*

f

V*

P

HH

V V

A

C

B


20/25


PV2

1=

f

lP

f

lVH

=

=42

Pensando en los desplazamientos como virtuales y el sistema de cargas como real puedo

aplicar el Principio de los Trabajos Virtuales para rgidos donde:

Te* = 0

*4*0***HVHV

f

lHPTe ===

Este ejercicio podra resolverse de forma geomtrica utilizando los mtodos de cadena

cinemtica.

1.10.3-CALCULO DE UNA REACCION ISOSTATICA

Sea la viga isostatica de la

figura en la cual queremos conocer el

valor de la reaccionRB para el sistema de

cargas P enequilibrio con las reaccionesenA, B, y C.

Elimino el apoyoB explicitando

la reaccin RB como carga externa. Elsistema se convierte en un mecanismo de

1 grado o cadena cinemtica a la cual

doy un desplazamiento virtual cuyo

valor en B es igual a . En este casotambien Te* = 0 :

0

3

2PR

2

P*Te B =+

= P

6

7RB =

No dependiendo naturalmente del desplazamiento virtual arbitrario dado al punto B.

1.10.4-DEFORMACIONES EN SISTEMAS ELASTICOS DE ALMA LLENA

a) DesplazamientosSea un portico sometido a un estado de cargas P que

produce un estado de solicitaciones M, N, Q y dedeformaciones de las cuales deseo conocer el desplazamiento

de un punto generico i en la direccion s-s (s).

Aplico en i una carga virtualP* = 1 en la direccions-s que produce solicitaciones M*, N*, Q*.

Calculo los Trabajos Virtuales de acuerdo con

1.10.1. tomando como cargas lasP* y como desplazamientos virtuales los reales debidos aP:

++===l

0

l

0

l

0

dsG

*QQds

E

*NNds

EI

*MMs*PTe*Ti*-

P

RB

P

PP

/2

l /2 l /3 l /3 l /3

4/32/3

RB

l /2

P

M

Q

N

P s

s

i

i

s


21/25


+

+=

l

0

l

0

l

0

dsG

*QQds

E

*NNds

EI

*MM

t1

1s

b) Rotaciones:Sea el ejemplo anterior donde me interesa

conocer la rotacin de un punto genrico j, como por

ejemplo el nudo (j).

Aplico en j una carga virtual

P* = M* = 1tm,

que produce M*, N*, Q*.

Anlogamente con Ti* dado por unaexpresin similar al caso anterior:

jtm1j*M*Te*Ti ===

+= KK

l

0

dsEI

*MM

tm1

1j

Es de hacer notar que tanto en el caso anterior como en este si el desplazamiento (o la

rotacin) es positivo significa que tiene la direccin de la carga virtual P*= 1, y en caso de sernegativo el sentido es contrario al de la cargaP*.

c) Rotacion relativa de dos secciones:Sea nuestra incgnita la rotacin relativa de la

articulacin k (k) donde:

dik =

Donde i es la rotacin a la izquierda y d es larotacin a la derecha de la n:

La carga virtual a aplicar en k ser un par de

momentos M* igual a +1 tm y 1tm

M*

Q*

N*

P*=1t

M*Q*

N*

MQ

N

Pj

j

P* = M* = 1 tm

M*

Q*

N*

MQ

N

P > 0k

k

M*=1 tm M*=1 tm

k

d

i

k


22/25


dsE

*NNds

EI

*MMtm1tm1itm1

l

0

l

0kd

+==

+=

KKds

EI

*MM

tm1

1 l

0k

1.10.5-DEFORMACIONES EN SISTEMAS ELASTICOS RETICULADOS

En caso de sistemas reticulados, las expresiones del tema 1.10.1. quedan reducidas a;

=

=

==

n

1i

l

0

l

0

dsiE

*NiNids

E

*NN*Te*Ti

donde i indica a la barra de longitud li seccin i y esfuerzos normales constantes en la barra i:Ni = Si; Ni* = Si* de un reticulado de n barras.

liE

*SiSids

E

*SiSids

iE

*NiNi l

0

l

0

=

=

=

==

n

1i

liE

*SiSi*Te*Ti

Sea un reticulado como el de la figura con un estado de cargas P que producesolicitaciones en las barras Si.

Utilizando la expresin ultima donde:

=

==

n

1i

liE

*SiSi*P*Te

P* es la carga virtual que produce trabajo a lo largo del desplazamiento real cuyo

significado se expresa a continuacin para 3 casos:

P

B

A

D

C

i


23/25


a) Desplazamiento de un nudo

Descenso del nudoA: = A

Carga virtualP* = 1 t en el sentido de A

=

=n

1iA li

iE

*SiSi

t1

1

b) Desplazamiento relativo de 2 nudos

Desplazamiento relativo entreB y C = BC

Carga virtual: dos cargasP* = 1 tde sentido contrario

=

=n

1iBC li

iE

*SiSi

t1

1

c) Rotacin de una barra

Rotacin de la barraDC = BCCarga virtual: dos cargasP* = 1 tm/ lDC

=

=n

1i

BC liiE

*SiSi

tm1

1

P*=1 t

A

P=1 tB

C

P=1 t

P*=1 tm/ lCDD

C

lDC

P*=1 tm/ lCD


24/25


1.11-APLICACIN DEL TEOREMA DE CASTIGLIANO AL CALCULO DEDESPLAZAMIENTOS

Partiendo de las ecuaciones de Trabajo y Energa

+

+

+===l

0

2l

0

2l

0

2l

0

2

ds

GIp

Mt

2

1ds

G

Q

2

1ds

E

N

2

1ds

EI

Mf

2

1P

2

1UTe

En adelante y por razones de simplicidad en las expresiones tomaremos solo el trabajo

del primer termino debido a los momentos flectores Mf con lo cual por analoga se podraagregar la influencia deN, Q, Mten forma muy simple para tener las expresiones generales.

Esto tambin podra equivaler a

despreciar los trabajos y por lo tanto las

deformaciones debidas a N, Q, Mt, lo cuales bastante comn y aceptable para sistemas

de alma llena sometidos a flexin.

Con =l

0

2

dsEI

Mf

2

1U ser

( )i

2

dsPi

Mf

EI

Mf

EI

ds

Pi

Mf

2

1

Pi

U=

=

=

i = desplazamiento del punto i en el sentido de la fuerza Pi que puede existir o no, ya quepodra tener un valor 0 (cero)

Por el principio de superposicin ser:

( )s,Pn,,Pi,P,P,qMfMf 21 K=

y llamando Mj(s) al valor del momento flector para Pj = 1, el momento flector para el verdadero

valor de PJ ser ( ) )s(MjPjPjsMf =

( ) ( ) ( ) ( ) ( )s,PMfs,PMfs,PMfs,PMfs,qMfMf nnii2211q ++++++= KK

( )[ ]( )sMi

Pi

sMiP

Pi

Mf

Pi

Mf ii =

=

=

=Diagrama de momento paraPi = 1 en el pto. I.

Entonces:

==

=l

0

l

0

dsMiEI

Mfds

Pi

Mf

EI

Mfi

Expresin idntica a la encontrada por ejemplo en el tema (1-10.4) a)

=l

0

ds*MEI

M

t1

1s ya que en esta representan

M= Momento flector de las fuerzasP(Mf)

M*= Momento flector paraP*=1 MiPi

Mf=

s = desplazamiento correspondiente conP*i correspondiente conPi

is

P1 P2 P3 Pn

q

1 2 in3


25/25


1.12-APLICACIN DEL TEOREMA DE MENABREA

Recordemos que en una estructura hiperesttica con incgnitasXi se cumple:

( )0

Xi

x;fUxi =

= y con dsEI

Mf

2

1U

l

0

2

=

Ser: ==

=

l

0

2

0dsXiMf

EIMf

XiUxi

Sea un sistema hiperesttico como el de la figura en el cual se eligen como incgnitas

hiperestticas:

X1 = Momento flector en C (Mfc)X2 = momento enB (MB)X3 = Reaccin Horizontal enB (HB)

Los sistemas de las dos figuras son

equivalentes siempre que losXi tomen los verdaderosvalores Mfc, MB, HB para los cuales se cumplir:

0x

Ux

11 =

= Rotacin relativa en C

0x

Ux

22 =

= Rotacin apoyo B

0x

Ux

33 =

= Desplaz. horiz. apoyo B

Siendo Mf = Mf (P, q, X1, X2, X3)

Y denominando como: Mo = Mo (P, q) = momento debido a cargas exteriores

)1xi(MiMiXi

Mf===

= Momento debido aXi = 1

332211 MXMXMXMoMf +++=

3

3

2

2

1

1

MX

Mf;M

X

Mf;M

X

Mf=

=

=

( )

( )

( )0dsM

EI

MXMXMXMo

0dsMEI

MXMXMXMo

0dsMEI

MXMXMXMo

3332211

X

2

332211

X

1332211

X

3

2

1

=+++

=

=

+++

=

=+++

=

Sistema de 3 ecuaciones con tres incgnitas que nos permiten calcular lasX1 X2 y X3y por lotanto:

332211 MXMXMXMoMf +++=

qP

HA HB

MA

VA

MB

VB

C

P

HA

MA

VA

X2

VB

q

X3BA

X1

Teorema fundamentales: Estabilidad III

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