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Teorema del Engrane Plano -- Pg. 1 de 28
Repblica Argentina
Universidad de Buenos Aires
Facultad de Ingeniera
Departamento de Ingeniera Mecnica
67.12 - MECANISMOS B
TEOREMA FUNDAMENTAL
DEL ENGRANE PLANO
CURVAS CONJUGADAS
CONFIGURACIN DE RUEDAS DENTADAS
A EVOLVENTE DE CRCULO
EN SUS SECCIONES TRANSVERSALES
Ing. MAYER, Omar E.
[email protected]
DICIEMBRE 2 008
Agradezco a mi actual alumno SANTAROSA Juan Ignacio (
[email protected] ), padrn 87 740, quien se ha servido
escribir expresiones matemticas varias en MathType, realizar
correcciones idiomticas y subindicar y supraindicar variables
varias.
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Teorema del Engrane Plano -- Pg. 2 de 28 INTRODUCCIN
En oportunidad de tratar las Transmisiones de Potencia Mecnica
por Correas, se ha visto que se trata de transmisiones por friccin
indirecta (correa intermedia, poleas en contacto indirecto) y se ha
visto tambin que pueden hacerse por friccin directa si ambas poleas
actan con contacto directo entre s. En ambos casos resultaban
movimientos rotativos continuos, en el caso con correas con el
mismo sentido de rotacin y en el caso sin correas con sentidos de
rotacin opuestos. Tanto en un caso como en el otro, las poleas
resultan elementos cilndricos exteriores, superficies en las cuales
se verifica la friccin, ya sea entre correa y poleas o entre poleas
directamente.
Resulta necesario tambin una cierta interaccin, que se simboliz
con Qy, entre correa y poleas o entre poleas directamente, a
efectos asegurar el arrastre, por friccin, de los elementos
conducidos por parte de los elementos motores. La Transmisin de
Potencia Mecnica con movimientos rotativos continuos puede hacerse
tambin con ruedas dentadas y cadenas. Resultando aqu una transmisin
por enganche entre dientes de ruedas y eslabones de cadena, se
pueden analogizar, en cuanto al movimiento, ruedas dentadas con
poleas y cadena con correa. Formada la cadena por una sucesin de
eslabones, los dientes de la rueda motora enganchan, uno a
continuacin de otro, los eslabones de la cadena, la cual, vindose
obligada a circular junto con la rueda, con sus eslabones, uno a
continuacin del otro, engancha los dientes de la rueda conducida,
obligando a la misma a rotar sobre su eje. Es de uso universal este
tipo de transmisin en bicicletas y comn en motos. Siendo la
transmisin por correa una transmisin asincrnica, en la transmisin
por cadena, la marcha de ambas ruedas resulta sincrnica e
interpretando la transmisin por correa como una marcha sincrnica y
teniendo presente el concepto de circunferencia o cilindro
primitivo, el concepto de relacin de transmisin para ambos tipos de
transmisiones, resulta el mismo: Radios primitivos de ruedas
inversamente proporcionales a las pulsaciones de las mismas. Siendo
que por cadena, ambas ruedas no pueden poseer distintos sentidos de
rotacin (sin cadena intermedia, conforme debe resultar la
configuracin de los dientes de las ruedas, la marcha no es posible)
y que ambas ruedas deben estar dentadas exteriormente, las ruedas
dentadas con lo que da en llamarse perfiles o curvas conjugadas
(engranes) viene a llenar dicho vaco, esto es, marchan entre s sin
elemento intermedio alguno y lo pueden hacer con distintos sentidos
de marcha (ambas ruedas dentadas exteriormente) como con el mismo
sentido (una rueda dentada exteriormente y la otra interiormente).
Al menos respecto al uso de correa o de cadena, les son propios
tambin movimientos diferenciales. Sin estos ltimos, seran tal vez
imposibles el hecho de que un vehculo motorizado de al menos cuatro
ruedas, pudiera describir una trayectoria curva, ms cuando ms
velocidad pueda desplegar el vehculo y/o mas curvatura tenga la
trayectoria y la existencia de robots flexibles. El siguiente
trabajo trata sobre los aspectos geomtrico - analticos que hacen a
la marcha de dos ruedas dentadas a perfiles conjugados como as
tambin a la utilizacin de la evolvente de crculo como perfil
conjugado, en las mismas, cuestiones que, al menos a juicio del
autor, resultan bsicas en la comprensin del tema como as tambin
fundamentales para el mismo.
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Teorema del Engrane Plano -- Pg. 3 de 28
N1=N2T1t I
Rn2
O2
2
curva e2Rp2
Rb2
A2n
O11
Rn1n
A1N
Rb1
T2
Rp1
V1
V2T2
t
curva e1
RECESO
ACCESO
FIGURA 01
TEOREMA DEL ENGRANE PLANO
En la FIGURA 01 anterior, la curva e1 es una curva plana rotando
con pulsacin (velocidad angular) 1 alrededor de O1 (centro de
rotacin de la misma). Como consecuencia de dicha rotacin y de la
configuracin del sistema, arrastra (conduce) a la curva plana e2,
la cual se ve obligada a rotar alrededor de O2 y con una cierta
pulsacin 2, relacionada a 1 como ya se mostrar.
As las cosas, e1 es motora de e2 y sta, conducida por e1.
Siguiendo estndares y / o costumbres internacionales, se subindica
con cifras impares las variables relacionadas a la curva motora e1
y con cifras pares las relacionadas a la curva conducida e2.
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Teorema del Engrane Plano -- Pg. 4 de 28 Sea tambin que las dos
curvas, en cualquier instante de la marcha conjunta, estn siempre
en contacto a travs de un nico punto N (punto genrico) comn a ambas
curvas y no siempre el mismo, a llamar punto de contacto y que en
el mismo, posean tanto una recta normal n - n comn, como as tambin
una recta tangente t - t comn.
LUEGO Y DENTRO DE CIERTAS LIMITACIONES A TRATAR, LAS CURVAS NO
PIERDEN EL CONTACTO EN NINGN INSTANTE.
NOTA: Se demuestra que no es posible la marcha tal cual se ha
descrito, con dos puntos de contacto. En tal caso, el sistema se
traba. Para la comprobacin analtica de tal hecho, no hay ms que
componer la razn de ambos movimientos, aplicando lo que a
continuacin se trata. Las condiciones impuestas (marcha continua)
implican que las velocidades lineales del punto de contacto N,
considerado el mismo como perteneciente a una u otra curva y en la
direccin de la recta normal comn n - n, deben ser iguales entre s:
N1 = N2.
Origen de N1 = N2 : punto N
Siendo que los vectores representativos 1 y 2 de las pulsaciones
1 y 2 son de sentido opuesto entre s y que los vectores Rb1 y Rb2,
vectores posicin de los puntos A1 y A2, son normales a la recta n -
n, resulta:
1 21 1 2 2= = uur uur uur uur uuur uuurLLb bN R N R
1 1 2 2 1 1 2 2= = = = uur uur uur uur
LL LL LLN N N N
1 1 2 2= =uur uuurLLb b b bR R R R ;
1 21 2 1 2 1 2* *b bN N N N R R = = =
uur uur
Rb2 Radio base curva e2 conducida y si m = Relacin de transmisin
= ---- = -----------------------------------------
Rb1 Radio base curva e1 motora
Resulta: 2
1
1
2
b
b
Rm
R= =
Nota: Resulta tambin (no en este trabajo) de
utilizarse como relacin de transmisin, la expresin: 1
2
2
1
1 bb
Ri
m R= = =
Siendo los tringulos O1.A1.I y O2.A2.I semejantes entre s, se
obtiene:
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Teorema del Engrane Plano -- Pg. 5 de 28
2
1
2
1
.
.b
b
R O IR O I
=
-----
Si Oi.I = Rpi = RADIO PRIMITIVO resulta:
2 2
1 1
1
2
b p
b p
R Rm
R R= = =
1 HIPTESIS: Sea: m = ---- = CONSTANTE
2
--------- ------ ------ y sea O1.O2 = O1.I + O2.I = Rp1 + Rp2 =
CONSTANTE
Nota: La constancia de m implica nicamente la constancia del
cociente o de la relacin entre las pulsaciones de ambas curvas y NO
por ello, la constancia del valor absoluto y/o relativo de
cualquiera de ellas.
TESIS: El punto I (punto primitivo comn), definido como la
interseccin de las rectas n - n y O1.O2, ES FIJO y no depende del
lugar en donde se encuentre el punto de contacto N entre ambas
curvas, ni tampoco de la direccin de la recta n - n.
DEMOSTRACIN:
Siendo 2
2 1
1
*p p pp
Rm R R m
R= =
y siendo 1 2 1 21 2 1 2. .p p p pO O R R R O O R= + =
Con lo que 1 1 1 2* .+ = =p pm R R O O CONSTANTE
( ) ( )1 21 2 1 2. * .
1 1= =+ +LLp p
O O m O OR Rm m
Siendo, por hiptesis, constantes m y O1.O2, resultan constantes
Rp1 y Rp2 y por estar fijados ambos valores por el punto I, ste
RESULTA FIJO, de donde la tesis queda demostrada. Por ser
absolutamente generales los valores puestos en juego, la posicin
del punto I no depende de la del punto de contacto N ni de la
direccin de la recta n - n, contenedora la misma del punto N en
todo instante, se entiende mientras la marcha conjunta de ambas
curvas resulte posible.
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Teorema del Engrane Plano -- Pg. 6 de 28
DENOMINACIONES
N: Punto instantneo de contacto entre ambas curvas.
n - n: Recta de presin.
O1.O2: Lnea (recta) de centros de rotacin.
I: Punto primitivo comn.
Rn: Radio punto de contacto.
Rp: Radio primitivo.
Rb: Radio base.
Notas: 1) Rp1 y Rp2 dependen de la posicin del punto I. 2) Rb1 y
Rb2 dependen de la posicin de la recta n - n y los mismos pueden
ser constantes o no (direccin de la recta n - n constante o no). 3)
Rn1 y Rn2 dependen de la posicin del punto N, el mismo sobre la
recta n - n. Siendo de desplazarse el punto de contacto N durante
la marcha conjunta de ambas curvas, si n - n es de direccin
constante, Rn1 y Rn2 resultan variables.
CIRCUNFERENCIAS PRIMITIVAS
Supuestas dos circunferencias Cp1 y Cp2 a llamarse PRIMITIVAS
(ver FIGURA 02 adjunta, siguiente pgina), de radio Rp1 la Cp1 y de
radio Rp2 la Cp2, SOLIDARIAS ambas a las curvas e1 y e2
respectivamente y en consecuencia, rotando con sus centros en O1 y
en O2 respectivamente, las mismas son tangentes entre s en el punto
primitivo comn I y se mueven con la misma velocidad tangencial,
cuestin que hace valedero decir que las circunferencias primitivas
ruedan, una sobre la otra, sin resbalar entre si y que describen el
mismo arco de circunferencia en el mismo tiempo de rotacin
conjunta, de donde resulta una transmisin sincrnica de movimiento,
no como las transmisiones a friccin (por correas y poleas o por
poleas con contacto directo), que resultan asincrnicas.
Si Vt: Velocidad tangencial circunferencias primitivas
1 1 2 21 2= = uur uur uuur uur uur uuurLLt p t pV R V R
1 1 2 21 2= = LLt p t pV R V R
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Teorema del Engrane Plano -- Pg. 7 de 28
N1=N2 T1=
T2I
O2
circunferenciaprimitiva Cp2
2
tRp2
Rb2
A2n
O1
n
A1
1
Rb1
t
V1=V2
circunferenciaprimitiva Cp1Rp1
FIGURA 02
RECESO
ACCESO
1 1
2 2
1
2
**
= =t pt p
V Rm
V R
1*m 1 2
1= =L L t tluego V V
Los valores de Vt1 = Vt2 resultan ser las desproyecciones de N1
= N2 sobre la normal a O1.O2, por ser Rp1 y Rp2 las desproyecciones
de Rb1 y Rb2 sobre O1.O2.
( ) ( )1 21 2cos cos= =LLb bp ppc pcR R
R R
( ) ( )( ) ( )
1 2
1 2
1 2
1 1 2 2
1 1 2 2
1 2
* *
* *cos * *cos
*cos *cos
b b
p pc p pc
t pc t pc
R N N R
R N N R
V N N V
= = == = == = =
( ) ( )1 21 2cos cos= = =LL t tpc pcN Nluego V V
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Teorema del Engrane Plano -- Pg. 8 de 28
DENOMINACIN: pc: ngulo de presin circunferencial.
Nota: Si durante la marcha vara la direccin de la recta n - n y
no vara 1, no varan Vt1 = Vt2 por ser Vt = * Rp y Rp constante por
ser fijo el punto primitivo comn I. En tal caso, N1 = N2 varan
(conservando siempre la igualdad de sus valores vectoriales) por
variar pc.
Definiciones:
Acceso: Zona previa, en el sentido de la marcha de las curvas,
al punto primitivo comn I o a la lnea de centros O1.O2
Receso: Zona posterior, en el sentido de la marcha de las
curvas, al punto
primitivo comn I o a la lnea de centros O1.O2.
DESLIZAMIENTO ENTRE e1 Y e2 EN EL ACCESO
En la FIGURA 01, el punto de contacto N como perteneciente a la
curva e1, se mueve tangencialmente sobre la misma con la velocidad
T1 y como perteneciente a la curva e2, se mueve de la misma manera
sobre ella con la velocidad T2.
Ambas velocidades T surgen de la descomposicin de las
velocidades V del punto de contacto, como perteneciente a una u
otra curva, normales a los respectivos vectores posicin Rn del
punto de contacto N, en las direcciones n - n y t - t.
Componente de V segn n - n: N
Componente de V segn t - t: T
= = + = uur ur uur uur ur uur ur uurL L Ln bsiendo Vt R N T y N
R ( )= = ur ur uur ur uur ur uur uurL L n b n bse tiene T R R R
R
Siendo 1 1 2 21 2. . = =uuur uur uuuur uuur uuur uuuuur
LLn b n bR R A N R R A N
Resulta 1 1 1 2 2 2. .= = ur uur uuuur uur uur uuuuur
LLT A N T A N
1 1 1 2 2 2* . * .= =LLT A N T A N
El movimiento del punto N de contacto puede describirse entonces
como una traslacin del mismo sobre la recta n - n, ms una rotacin
alrededor de A con radio AN (supuesto perteneciente a la curva e1,
corresponden N1 y A1).
De la misma FIGURA 01 se deduce que estando el punto N en el
acceso, T2 T1 y que en consecuencia la curva e2 resbala sobre la
curva e1 (el perfil conducido resbala sobre el motor).
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Teorema del Engrane Plano -- Pg. 9 de 28
Dividiendo las expresiones de T2 y T1 entre s y siendo m = 1 /
2:
1 1 1 1
2 2 2 2
. .* *
. .T A N A NmT A N A N
= =
El resbalamiento de la curva o perfil e2 sobre e1 aumenta con el
aumento de la cercana del punto N al punto A1, siendo indeterminado
el cociente T2 / T1 cuando N coincide con A1, por resultar T1 = 1 *
A1.N = 0, de donde conviene (incluso como condicin de borde) que el
punto A1 sea excluido como posible punto de contacto.
Excluyndose del contacto al punto A1, el punto N slo podr
ubicarse, en la zona de acceso, en el tramo A1.I, verificndose
entonces, en dicho tramo y zona:
1 1 12 1
2 2 2
. .* 1
. .T A N A NT T m mT A N A N
=
DESLIZAMIENTO ENTRE LAS CURVAS e1 Y e2 EN EL PUNTO PRIMITIVO
COMN I
1 1 1 2 2 2* . * .= =L L L LEn estas condiciones T A I T A I
Por semejanza de los tringulos: O1.A1.I y O2.A2.I ya tratada,
resulta:
2
2 1 1
2 1 2
1
. . ..
b
b b b
RA I A I A IR R A I R
= = Como 21
b
b
Rm R= , resulta
2 2
1 1
1 2
2 1
.
.b p
b p
R R A ImR R A I
= = = =
Dividiendo las expresiones de T2 y T1 entre s:
1 1 1
2 2 2
.*
.= =T A I m
T A I
1*m 1 2
1= =T T
Esta cuestin enuncia que Estando las curvas o perfiles e1 y e2
en el punto primitivo comn I, las mismas no resbalan entre s,
verificndose as una rodadura pura entre ambas en dicho punto.
Corresponde aplicar a este caso la FIGURA 02 vista al definir las
circunferencias primitivas.
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Teorema del Engrane Plano -- Pg. 10 de 28
DESLIZAMIENTO ENTRE e1 Y e2 EN EL RECESO
Representando esta situacin la FIGURA 03 siguiente, resulta T1
T2, por lo que ahora en el receso la curva motora es la que resbala
sobre la conducida, por moverse a mayor velocidad sobre la recta
tangente comn t - t.
T1V1 T1I
Rn2
2O2
Rp2t
Rb2 n
N1=N2
A2 T2
Rn1
O1
Rp1A1
n
Rb1
1
V2
t
N
FIGURA 03
RECESO
ACCESO
Resulta tambin, a como el punto A1, el punto A2 excluido como
posible punto de contacto.
Siendo: 2 1T T se tiene: 1 12 2
.* 1
.T A NmT A N
=
de donde, en la zona de receso: 2
1
.
.A N mA N
De la exclusin de los puntos A1 y A2, surge que la existencia
del punto N slo es posible en el tramo A1.A2, excluidos sus puntos
extremos A1 y A2, condiciones de borde adems.
DEFINICIN: SEGMENTO DE ENGRANE EXTREMO (TRAMO A1.A2): Segmento
de recta de presin (recta n n) donde puede verificarse el contacto
puntual entre las dos lneas curvas e1 - e2, conforme todas las
condiciones establecidas (normal comn, tangente comn, m = 1 / 2
constante y O1.O2 constante).
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Teorema del Engrane Plano -- Pg. 11 de 28
Suponiendo el punto N fuera del tramo A1.A2, surge que las
curvas e1 y e2, tangencialmente se mueven en sentidos opuestos o en
contrasentido, como muestra la FIGURA 04 siguiente.
V1
N1=N2t
2
Rn2
O2
Rb2Rp2
T1 I
n
A2
Rn1
Rb1
A1
n
t
Rp1 T2
V2O1
1N
FIGURA 04
RECESO
ACCESO
Atendiendo al choque resultante, los posibles puntos de contacto
fuera del segmento A1.A2 resultan NO convenientes (dentro de dicho
segmento, ambas curvas, siempre sobre la recta tangente comn t-t,
caminan siempre con el mismo sentido).
DIAGRAMA DE VELOCIDADES T
Siendo respectivamente T1 y T2 funciones lineales de A1.N y de
A2.N, siempre y cuando 1 y / o 2 sean constantes, resultan los
diagramas respectivos como muestran las FIGURAS 05 y 06
siguientes.
CURVAS CONJUGADAS
Durante la marcha, las curvas e1 y e2 (la primera siempre
empujando a la segunda) van cambiando de posicin simultneamente y
as lo har el punto N de contacto sobre ellas y sobre la recta n -
n, debiendo ser nico en cada instante de la marcha. En cada posicin
del punto de contacto, las curvas deben tener una normal y una
tangente comunes que contengan a dicho punto y adems la normal, sin
tener por qu ser esta de direccin constante, deber pasar siempre
por el punto primitivo comn I, siempre con O1.O2 y m constantes
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Teorema del Engrane Plano -- Pg. 12 de 28
T1A2
Rp2
I
2O2
Rb2
A2
n
O1
T2A1
A1
n
1
Varia
cin
T1
T1I =
T2IVa
riaci
n T2
Rp1
FIGURA 05
RECESO
ACCESO
I
2m, 1, 2:CONSTANTES
ACCESO
Rp2
FIGURA 06
RECESO
O2
A2Rb2
O11
T2A1
n
A1
T2 --
T1
T2I -
- T1I
= 0
T1A2
T1 --
T2
Rp1
n
Se denomina CURVAS CONJUGADAS a los pares de curvas que cumplen
dichas condiciones: un nico punto de contacto, una normal comn y
una tangente comn en dicho punto de contacto.
Las circunferencias primitivas Cp1 y Cp2 son un par de curvas
conjugadas; en todo instante el punto de contacto respectivo
coincide con el punto primitivo comn I; la normal comn es la lnea
de centros O1.O2 y la tangente comn, la recta normal a dicha lnea y
ambas pasantes por o continentes de I.
CURVAS CONJUGADAS A EVOLVENTE DE CRCULO
Sea un crculo base Cb (FIGURA 07 siguiente) de radio Rb (asciese
este Rb con el Rb visto al tratar las figuras anteriores, es el
mismo) con una recta tangente n - n (asciesela con la vista al
tratar las figuras anteriores, es la misma) que va rodando sobre el
crculo base sin resbalar, de manera tal que siendo los puntos B0,
B1, B2, .... los sucesivos puntos de tangencia entre ambos, se
verifica:
--------- arco B0.B1 = segmento B1.A1
---------
arco B0.B2 = segmento B2.A2 ---------
arco B0.B3 = segmento B3.A3
La curva que une los sucesivos puntos Ai (sucesivas posiciones
del punto A0 perteneciente a la recta n - n), constituye la
evolvente de crculo buscada. La misma resulta ser el lugar
geomtrico de las sucesivas posiciones de un punto de
-
Teorema del Engrane Plano -- Pg. 13 de 28 una recta, que
haciendo tangencia en un crculo (crculo base), rueda sobre el mismo
sin resbalar. Ntese que esta curva, conforme su definicin y
generacin, slo puede ser exterior al crculo.
t4 n4 B5B4
t8
n8
t6A6
t7
t8A8
n7
t7A7
n5A5
t6
t5
A4t4t5
n6 n0
t9t9A9 A10t10
n9 n10
FIGURA 07
n3
A0B0
A3
A2
B2B1
B3
n0 Rb
B9
B6
B7
B8
B10
Cb
Siendo A0 el punto de arranque de la evolvente, resulta:
B0.B9 = Rb * r (ngulo en radianes)
------------
B9.A9 = Rb * tg ()
------------ como B0.B9 = B9.A9 resulta r = tg()
Esta ltima expresin corresponde entonces a la expresin matemtica
de la evolvente de crculo, cualquiera sea el punto B.
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Teorema del Engrane Plano -- Pg. 14 de 28
PROPIEDADES:
Dos evolventes de un mismo crculo, son paralelas entre s.
Las rectas BA son normales a la evolvente en el punto A y en
dicho punto, la evolvente tiene una recta tangente, normal a su
normal.
El segmento BA es radio instantneo de curvatura de la evolvente
en A y B es centro instantneo de curvatura de la evolvente en el
mismo punto A.
Aplicadas e1 y e2 a un engrane entre ambas, ambas de crculos
base Cb1 y Cb2 y de radios Rb1 y Rb2 respectivamente, e1 y e2
resultan ser un par de curvas conjugadas, verificndose la
existencia de una normal n - n y de una tangente t - t comunes,
ambas de direccin constante durante un movimiento de engrane entre
las mismas.
------------ ------------ B5.B4 = B5.A5 -- B4.A4
O2 n
2 Cb2
Rp1
Rb2
Rp2e2
t I
e1
N
A2
Rb1
A1
O1
n
t
1
FIGURA 08
RECESOACCESO
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Teorema del Engrane Plano -- Pg. 15 de 28
En la FIGURA 08 anterior, la curva e1 (evolvente del crculo base
Cb1) rotando con pulsacin 1, empuja a la curva e2 (evolvente del
crculo base Cb2), la cual, rotando con pulsacin 2 por la accin de
e1, por lo ya visto verifica: 1
2
2
1
b
b
RR
=
El punto instantneo de contacto resulta ser N y la recta n - n
es normal comn a ambas evolventes e1 y e2, por ser tangente comn a
los respectivos crculos bases Cb1 y Cb2.
Las rotaciones de e1 y e2 resultan alrededor de los centros O1 y
O2 respectivamente, centros tambin de los crculos base Cb1 y Cb2,
los cuales pueden ser supuestos solidarios a sus evolventes e1 y
e2.
Durante la marcha, la recta n - n no cambia de direccin (curvas
conjugadas particulares), el punto de contacto N se desplaza sobre
dicha recta, desde la zona de acceso a la zona de receso; sobre la
curva e1 hacia afuera de la misma o hacia su cabeza y sobre la e2
hacia adentro o hacia su raz y la recta t - t se desplaza paralela
a s misma, desde el acceso hacia el receso. La curva e1 resulta ser
la motora y la e2, la conducida.
LIMITACIONES EN EL CONTACTO ENTRE e1 Y e2
En las FIGURA 09A y 09R siguientes, supuesto coincidente el
punto de contacto N con A1 o A2 respectivamente, en A1 est haciendo
contacto el punto ms bajo de la evolvente e11 y en A2 el ms bajo de
la evolvente e22, por lo que el contacto entre e1i y e2i no es
posible fuera del segmento A1.A2.
El par e10 - e20 no respeta las condiciones, por no ser normal
e10 a n - n (obsrvese bien, la apreciacin inmediata puede resultar
dificultosa, ambas curvas se cruzan), lo mismo sucede con el par
e13 - e23, por no ser normal e23 a n - n.
Los pares e11 - e21 y e12 - e22 pueden tambin representar los
instantes extremos del contacto posible de un nico par de
evolventes, constituyndose as los puntos A1 y A2 en los puntos de
contacto inicial y final respectivamente.
No se hace necesario entonces, un tramo de e1i ms all de Ar1.A2
(ver evolvente e12) y un tramo de e2i ms all de Aa2.A1 (ver
evolvente e21); por lo que ambas evolventes pueden estar limitadas
por circunferencias de cabeza de radios mximos Rc1mx = O1.A2 para
las evolventes e1i y Rc2mx = O2.A1 para las e2i.
Surge entonces que, de verificarse la ley del engrane, las
evolventes e1i slo pueden rotar con centro en O1, el ngulo 1a + 1r;
mientras que las e2i con centro en O2, el ngulo 2a + 2r, valiendo
por tratarse del mismo tiempo (marcha sincrnica):
1 11
2 2 2
a r
a r
m
+= = +
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Teorema del Engrane Plano -- Pg. 16 de 28
Rp1
Cb2
Rb2
2a
O2
e21
I
n
A2
Cp2
Cp1
Cb1
1e10e11
1ae20A1Rb1
O1
n
FIGURA 09A
RECESO
ACCESO
Cp1
Aa2
Rp2
Supuestas solidarias las evolventes a los crculos bases
respectivos, para que stos den una vuelta completa a efectos no
perder continuidad en el movimiento de los crculos, ser necesario
disponer de una cantidad entera Z de evolventes sobre cada uno de
ellos, de manera tal que cuando un par de evolventes o perfiles,
uno de una rueda y el otro de la otra, salga del contacto en el
punto A2 o en un punto anterior, el par siguiente ya est en
contacto, habindolo iniciado en el punto A1 o en un punto
posterior.
PASO BASE CIRCUNFERENCIAL
La FIGURA 10 siguiente muestra dos pares de evolventes e1 - e2
en contacto simultneo, el mismo dentro del segmento de engrane
mximo A1.A2.
-
Teorema del Engrane Plano -- Pg. 17 de 28
O2
FIGURA 09R
2e23
n
e22
Rb2
Cb2
ACCESO Rp2
A2
2r
Cp2I
Cp1
RECESO
1r
1 Ar1
Rb1
A1 Rp1
O1
Cb1n
e12
e13
La distancia entre ambos puntos de contacto y por las
propiedades vistas al tratar las evolventes, resulta ser igual a
los arcos de circunferencias base A1a.A1p y A2a.A2p, sobre Cb1 y
Cb2 respectivamente.
--------- --------- siendo: A1.Np = A1.A1p y A1.Na = A1.A1a
--------- --------- A2.Np = A2.A2p y A2.Na = A2.A2a
---------
resulta: tbc = Na.Np = A1a.A1p = A2a.A2p
---------- Siendo Na.Np, A1a.A1p y A2a.A2p, el paso a que se
encuentran
-
Teorema del Engrane Plano -- Pg. 18 de 28 las evolventes sobre
los respectivos crculos base, ser necesario, a efectos no perder
continuidad de movimiento alguna, que las evolventes de una rueda
estn al mismo paso que las de la otra, debiendo cumplirse
adems:
---------- ---------- Na.Np = A1a.A1p = A2a.A2p A1.A2
tbce1p
RECESO
A2A2a
ACCESO
Rb2
O2
A2pta
pcRp2
tbc
Nae2p
tp INp
n
e2ata
A1a
O1 1
tbcA1
A1p tp
Rb1pc Rp1
e1a
FIGURA 10
n
2 Cb2
Cb1
Tambin se verifica y con pc = ngulo de presin circunferencial: (
) ( )1 21 2 1 2. . . * tanb b pcA A A I A I R R = + = + Se hace
necesario entonces una distribucin uniforme de evolventes a lo
largo de Cb1 y de Cb2, conforme cierto pase base circunferencial
tbc, igual para ambos crculos base, de manera tal que siendo Z1 la
cantidad de evolventes e1 y Z2 la cantidad de evolventes e2, se
verifique: ( ) ( )1 21 2. * tanbc b b pct A A R R = +
1,2
1,21,21,2
2 * ** 2 * *= = bbc b bc
Rt Z R t
Z
-
Teorema del Engrane Plano -- Pg. 19 de 28
1 2 2
1
2
1 2 1
2* * 2* *= =L L b b bb
R R R Zde dondeZ Z R Z
2 2
1 1
1 2
2 1
= = = =L L L L b pb p
R R Zpor lo que mR R Z
Siendo 2* * b
bcRt
Z= a la relacin 2*bc bt RZ =
se la denomina Mdulo Base Circunferencial Mbc: 2*bc b
bct RM
Z= = ( ) **cos :
2*= =L Lbcb p pc Z tsiendo R R resulta ( ) ( )
*2* * *cos * 2* *cos
bcp pc bc p
pc
Z tR Z t R = = Si ( )cos bc pcpc
t t = tpc = paso primitivo circunferencial
resulta: 2* * *p pcR Z t = resultando as tpc el paso entre
evolventes medido sobre la circunferencia primitiva (paso primitivo
circunferencial).
2*= =pc p pct R
MZ Mpc = Mdulo Primitivo Circunferencial
En funcin de que ( )cos = = =L L pcbc bcpc bc pcpctt tt M M
( )* cos=LL bc pc pcresulta M M
Recapitulando y siendo: Db = Dimetro Crculo Base. Dp = Dimetro
Circunferencia Primitiva.
2 * * * 2 *= = = =LLb b b bbc bcR D R Dt MZ Z Z Z
;
2* * * 2*= = = =LLp p p ppc pcR D R D
t MZ Z Z Z
;
* 2* * 2*= = = =LLbc b b pc p pZ M R D Z M R D ;
-
Teorema del Engrane Plano -- Pg. 20 de 28
( )*cos= = =L L pcbcb p pc bc pc ttR R M M ; ( ) ( )* cos * cos=
=LLbc pc pc bc pc pct t M M ;
Nota: De los mismos valores de tbc (Mbc) y de pc (evidente) para
ambas ruedas, surge la igualdad de tpc (Mpc).
CIRCUNFERENCIAS DE CABEZA Al tratar las FIGURAS 09A y 09R, se
vio que era conveniente y necesario limitar superiormente las
evolventes, con una circunferencia de cabeza de radio Rc2mx = O2.A1
en el caso de la rueda conducida y Rc1mx = O1.A2 en el de la
motora.
Siendo: ( )1 21 2
. * tan .= =LLb pc pA I R O I R
( ) ( ) ( )( )2 2 22 2 1 2 1. . 2* . * . *sinmxc pcR O I A I O I
A I = + +
( )( )( ) ( )
2
2 1
2 1
2
22 * tan
2* * *sin * tan
=
LLmx
p
c b pc
p b pc pc
R
resulta R R
R R
( )( )( ) ( )
1
1 2
1 2
2
22 * tan
2* * *sin * tanmx
p
c b pc
p b pc pc
R
R R
R R
=
SEGMENTO DE ENGRANE AR A1.A2
Llamando Rc al radio de la circunferencia de cabeza y si el
mismo resulta ser igual a (Rp + Mpc), se tiene:
( )* * * 22 2
pc pcc p pc pc
M Z MR R M M Z= + = = +
Si Rc2 O2.A1 = Rc2mx y/o Rc1 O1.A2 = Rc1mx, el contacto entre
evolventes se verificar sobre un segmento AR de la recta de presin
n - n, menor o igual a A1.A2., tal como muestra la FIGURA 11
siguiente.
-
Teorema del Engrane Plano -- Pg. 21 de 28
tbc
e1p
e2a
A2tbc A2a
Rb2
O2
A2pta
pcRp2
Nae2pCc1
Rc2 R
tp INp
n
ta
A1a
O1 1
tbcA1
Cc2A
A1p tp
Rb1pc Rp1e1a
Rc1
RECESOACCESO
FIGURA 11
2 Cb2
Cb1n
El punto A, interseccin de la circunferencia de cabeza Cc2 y la
recta de presin n - n, resulta ser el inicio del contacto o engrane
entre las evolventes; y el punto R, interseccin de la
circunferencia de cabeza Cc1 y la recta de presin n - n, la
finalizacin; y las circunferencias de cabeza se cortan entre s, por
ser de radios mayores que las primitivas correspondientes,
tangentes ellas entre s en el punto primitivo I.
Siendo, por propiedad de los tringulos obtusngulos:
( ) ( )( ) ( )2 2 22 2 22* * *sin 0p pc p cAI R AI R R+ + =
( ) ( )( ) ( )1 1 12 2 22* * *sin 0p pc p cIR R IR R R+ + =
( )* * 22 2
= = +LL LLpc pcp cM M
y R Z R Z ( )* *cos= + =LL bc pc pcAR AI IR t M ;
operando, resulta:
-
Teorema del Engrane Plano -- Pg. 22 de 28
( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( )
2
2 2
2
1 1
2 1
2 * tan 4* 1
2* * 2 * tan 4* 1
* tan
pc
pcbc
pc
Z Z
AR Z Zt
Z Z
+ + + = + + + +
A efectos de asegurar continuidad (instantes con un diente en
contacto intercalados con instantes con dos dientes en contacto) en
el movimiento: debe resultar al menos AR tbc, por lo que: ( AR /
tbc ) 1, luego:
( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( )
2
2 2
2
1 1
2 1
2 * tan 4* 1
2* 2 * tan 4* 1
* tan
pc
pc
pc
Z Z
Z Z
Z Z
+ + + + + + +
DEFINICIN:
AR; Segmento de engrane: Segmento de recta de presin donde se
verifica el contacto entre evolventes
Si Z2 y Z1 tienden a (cremalleras), todas las circunferencias
tienden a formar una lnea recta (cremalleras) y aqu es donde AR
(que aumenta con el aumento
de Z1 y/o de Z2) toma su mximo valor: ( )2* sinpc pcM
(FIGURA 12 siguiente).
A
Cc1 R
Cp1Cp2 Mpc
Mpcn
pc
n a O1 Cc2
a O2
FIGURA 12
DURACIN DE ENGRANE Plano de engrane. Las circunferencias
resultan ser secciones transversales de cilindros, de donde, as
como se definieron curvas evolventes de circunferencias base, se
pueden concebir superficies evolventes de cilindros base. Si estas
superficies son paralelas a los ejes longitudinales de dichos
cilindros y definido el plano de engrane como el plano formado por
el segmento de engrane AR y la longitud b de los cilindros -
superficies evolventes, estas, tomadas de a pares, una
-
Teorema del Engrane Plano -- Pg. 23 de 28 de un cilindro base y
la otra del otro, harn contacto a lo largo de una lnea recta, a
llamar lnea de contacto (LC), visible en dicho plano y paralela a
la direccin de los ejes longitudinales de los cilindros. En la
FIGURA 13 siguiente, representativa la misma de un plano de
engrane, se han dibujado sobre LC flechas varias; las mismas
representan el movimiento de la lnea de contacto LC durante la
marcha de los cilindros. Las lneas de contacto de las superficies
evolventes, nacen en AA (acceso), se desplazan por el plano de
engrane, del acceso al receso (de izquierda a derecha en la figura)
y mueren en RR (receso).
Se define como duracin de engrane , a la relacin AR / tbc,
funcin de Z1, Z2 y pc como se ha visto.
ACCESO
mov
imie
nto
Lcm
ovim
ient
o Lc
A R
Lc
A
b
R
FIGURA 13(Plano de Engrane)
RECESO
La misma expresa cuntos pares de evolventes se encuentran
simultneamente en contacto, conforme sea la relacin AR / tbc y el
instante observado. Supngase 2 > > 1; por ser mayor a 1,
resulta asegurada la continuidad de la marcha; 2 > > 1
implica la existencia, en forma alternativa, de un par y de dos
pares de evolventes en contacto. Supngase adems dos instantes
distintos como se muestra en la FIGURA 14 siguiente.
Por ser tbc < AR < 2 * tbc, la/s lnea/s de contacto
estar/n separada/s, tanto de AA como de RR, distancias menores a
tbc, en estas condiciones podr/n existir una o dos lnea/s de
contacto, presentndose ambas situaciones en forma alternativa. La
FIGURA 15 siguiente muestra de manera rayada, la zona donde puede
existir una nica lnea de contacto (alrededor de la lnea primitiva
comn) y en tal caso, suceder lo mismo en el plano de engrane
ntegro.
Un valor de entre 0 y 1 no garantiza continuidad de movimiento,
por la existencia de instantes con cero pares de evolventes en
contacto; no resultando aconsejable 3 < < 2, por
imprecisiones de fabricacin y montaje; corporalmente
(matemticamente no existen inconvenientes) resulta difcil (se
requiere elevar la precisin continuamente) iniciar el contacto en
un tercer par de perfiles, existiendo ya dos en contacto, incluso
tambin por la deformacin que experimentan stos si
-
Teorema del Engrane Plano -- Pg. 24 de 28 se transmite
potencia.
Por ser mximo el segmento de engrane AR, cuando lo que engranan
son dos cremalleras (FIGURA 12) as lo ser la duracin de engrane
.
mov
imie
nto
LcA R
-
Teorema del Engrane Plano -- Pg. 25 de 28
si pc = 20 ; Z1 = Z2 = 30 ; = 1,6535 ; Z1 = Z2 = 15 ; = 1,4814 ;
Z1 = Z2 = 3 ; = 1,0512 ; Z1 = Z2 = 2 ; = 0,9643
TRANSMISIN de POTENCIA Las superficies a evolvente de crculo
como han sido tratadas hasta ahora, por ser superficies, no estn
capacitadas para transmitir fuerzas (momentos torsores, potencia).
Se hace necesario entonces, construir cuerpos con ellas y con los
cilindros que las sustentan. A dichos cuerpos, compuestos por
dientes y cilindros de raz de los mismos, se los llama ruedas
dentadas y se denomina mecanismos a engranes a por lo menos un par
de ruedas dentadas que engranan entre s conforme el teorema
fundamental del engrane. Habiendo consumo de potencia en la rueda
conducida, la rueda motora deber entregar al mecanismo, la misma
potencia ms las prdidas que se producen en los flancos de los
dientes en contacto, por deslizamiento entre los mismos (diferencia
de velocidades T, como se analiz). Supuestas nulas dichas prdidas,
siendo N la potencia puesta en juego y Mt el momento torsor, en un
mecanismo de dos ruedas en engrane se verifica:
2
1 2
1
11 2
2
* * tt tt
MN M M
M = = =
por lo que si se aumenta el momento torsor, se reduce la
velocidad angular y viceversa. Finalmente:
2 2 2
1 1 1
1 2
2 1
b p t
b p t
R R MZmR R Z M
= = = = =
CONFIGURACIN de RUEDAS DENTADAS de DIENTES RECTOS La FIGURA 16
siguiente muestra el dentado de una rueda dentada exteriormente
(resulta de haber tambin con dentado interior) y en ella
resultan:
Cc: Circunferencia de cabeza de radio Rc
Cp: Circunferencia primitiva de radio Rp Cre: Circunferencia raz
de evolvente de radio Rre (depende del proceso de
tallado de los dientes y a dicho radio se encuentran los puntos
mas bajos de la evolvente tallada: Rre Rb)
Cr: Circunferencia raz de diente de radio Rr
Cb: Circunferencia base de radio Rb
b: Ancho / espesor de rueda
tpc: Paso primitivo circunferencial: Arco de circunferencia
primitiva, comprendido por puntos homlogos de dos dientes
consecutivos
-
Teorema del Engrane Plano -- Pg. 26 de 28
bCpCre
CbCr
CrCb
Cre
kCc
Cp h wvll
CreCr
Cp
tpcCc
FIGURA 16
Acuerdo de raz:
Curva de acuerdo entre la raz de la evolvente y la
circunferencia de raz de diente; en cada uno de sus encuentros con
ambos elementos, tiene una recta tangente y una normal comn con los
mismos. Su geometra depende del proceso de tallado de la rueda y de
la geometra del diente tallador.
Con procesos de tallado por generacin, la evolvente tallada
resulta ser conjugada de la evolvente del diente tallador, la
circunferencia de cabeza tallada, conjugada de la circunferencia /
lnea de raz del diente tallador; la circunferencia de raz tallada,
conjugada de la circunferencia / lnea de cabeza del diente tallador
y el acuerdo de raz tallado, conjugado del acuerdo de cabeza del
diente tallador
nicas circunferencias visibles : Cc y Cr
Circunferencias no visibles : Cp, Cre y Cb
Total circunferencias caracteristicas : 5 (Cinco) Un diente se
compone de un lleno y de un vaco y lo que se talla son los
vacos.
ll: Lleno del diente. Se define sobre la circunferencia
primitiva
v: Vaco del diente. Se define sobre la circunferencia primitiva
Dado que en dos ruedas que engranan entre s, ambas circunferencias
primitivas ruedan entre s sin resbalar, matemticamente es lcito
hacer ll = v, constructivamente es necesario v > ll, a efectos
evitar enclavamientos entre los dientes de ambas ruedas.
k: Altura de cabeza = Rc -- Rp (Mpc para construcciones
generales). La cabeza del diente va de la circunferencia de cabeza
a la circunferencia primitiva.
w: Altura de raz = Rp -- Rr. La raz del diente va de la
circunferencia primitiva a la circunferencia de raz.
Puesto que la circunferencia de cabeza de una rueda NO acciona
(no roza) la de raz de la otra y viceversa, se hace w > k,
denominndose juego de cabeza
-
Teorema del Engrane Plano -- Pg. 27 de 28 a la diferencia.
w = 1,166 * Mpc o w = 1,25 * Mpc para construcciones generales.
Juego de cabeza resultante = 0,166 * Mpc o 0,25 * Mpc
h = altura de diente = k + w = Rc -- Rr h = 2,166 * Mpc o 2,25 *
Mpc
Dado que Rre Rb y Rre > Rr, puede suceder que Rr Rb o Rr Rb
(ver FIGURA 17 siguiente)
*1, 25* 1, 25*
2= = = L LL pcpc r p pc
M ZSi w M R R w M
( )* 1, 25* * 2,52 2
= = = = pc pcr p pc rM Z M
R R w M R Z
( ) ( )*cos * *cos2= =LL pcb p pc pcMSiendo R R Z
para Rb = Rr, resulta: ( )2,5
1 cos pcZ =
Cantidades de Z mayores a la de la expresin, aseguran Rr > Rb
y por el contrario, cantidades menores hacen Rr < Rb.
Para pc = 20, resulta Z = 41,454
FIGURA 17
Lleno de dientecon Rr > Rb
Lleno de dientecon Rr < Rb = Rre
NOTA: Las figuras utilizadas en este trabajo no dibujan la
evolvente de crculo bajo la forma de una curva (es imposible, se
necesita infinita cantidad de puntos, como as tambin de normales y
tangentes, adems tiempo), las dibujan como una sucesin de lneas
rectas, tangentes las mismas a la curva (rectas t t) y normales a
las rectas tangentes (rectas n-n) a los crculos base. Un diente
tallado con cremallera herramienta resulta con flancos conformados
por lneas rectas en una cantidad finita y previamente definida.
-
Teorema del Engrane Plano -- Pg. 28 de 28
OTRA: CONDICIN N1 = N2: Siendo de referencia la FIGURA 01, por
ser la recta t t tangente a ambas curvas, el punto N de contacto
entre las mismas y como perteneciente a una u otra curva se
desplaza sobre cada una de ellas durante la marcha conjunta de las
mismas, esto es, sobre la recta t t (desplazndose esta tambin) con
la velocidad T respectiva a cada curva. Como la trayectoria final
del punto N est dada por la direccin de la velocidad V, conforme es
la curva que se considere, ambas trayectorias, cada una de ellas,
pueden ser consideradas como compuestas por trayectorias
componentes sobre la recta t t y sobre la recta n n, ambas normales
entre s. No resultando, a excepcin de en el punto primitivo comn I,
las direcciones de V1 y V2 coincidentes entre s, para que las
curvas no pierdan el contacto, resulta indefectiblemente necesario
que N1 = N2, en direccin, magnitud y sentido.