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1Teorema de Muestreo (Nyquist)Sabemos que las seales se pueden
descomponer como un sumatorio de senos y cosenos cada uno de una
amplitud, frecuencia y fase diferente. Esto se llama Desarrollo
Serie de Fourier.
Si dichas sinusoides las muestreamos, el caso ms crtico de
muestreo ser aquella de mayor frecuencia (frecuencia mxima fm que
corresponde con el periodo mnimo Tmin=1/ fm) la cual vamos a
llamar:f(t)=A sin(2fm t+ ) donde A: amplitud, t: tiempo y : fase de
la seal.El Teorema de Muestreo formulado por Nyquist 1924 dice: que
si queremos reconstruir una seal de frecuencia mxima fm, debemos de
muestrear a 2fm y la frecuencia de muestreo (sampling) se llama fs
o tambin frecuencia de modulacin.
Ya en 1924 Nyquist demostr por procedimientos puramente tericos
que exista un lmite mximo en el nmero de baudios que podan
transmitirse por un canal, y que dicho lmite era igual al doble de
su ancho de banda. Por ejemplo en el caso de un canal telefnico,
con una anchura de 3 KHz, el mximo es de 6 Kbaudios. Para un canal
de televisin PAL con una anchura de 8 MHz el mximo sera de 16
Mbaudios.Podemos comprender intuitivamente el Teorema de Nyquist si
pensamos que la secuencia de smbolos a transmitir puede fluctuar
entre dos situaciones extremas: transmitir siempre el mismo smbolo
o transmitir cada vez un smbolo con un valor de amplitud opuesto al
anterior. En el primer caso tendramos una seal constante de
frecuencia cero, mientras que en el segundo la frecuencia sera la
mitad que el nmero de smbolos transmitido (ya que dos smbolos
consecutivos formaran una oscilacin completa). As pues la anchura
de banda, que sera igual a la diferencia entre estos dos casos
extremos, sera la mitad del nmero de smbolos transmitidos por
segundo.
Desde otro punto de vista, si yo tengo una seal fm, frecuencia
mxima y tx 10101010101, que se comportara como +-+-+-+-+-+-+-+-en
la seal a transmitir, cada ciclo de la seal es 10 +-, por tanto 2
bits, as q con fm la mxima informacin q obtengo sera 2.fm, que
seran las muestras q realizara en el caso de tener q recuperar las
seal.
En la prctica, cuando se trata de seales moduladas (que es el
tipo de seales que se dan en casi todos los casos en RBB) el nmero
de baudios no puede ser mayor que el ancho de banda del canal. Por
tanto en los ejemplos anteriores (canal telefnico y canal de
televisin PAL) el mximo sera de 3 Kbaudios y 8 Mbaudios,
respectivamente.
Ejemplo1, si un instrumento musical emite tonos (o sinusoides)
de 20KHz, debo muestrear a 40KHz (40.000 muestras por
segundo).Ejemplo 2: los CD de audio muestrean la seal 44.100 veces
por segundo, por tanto pueden captar frecuencias de hasta 22,05
KHzEjemplo3, si la voz humana tiene un espectro de 4Khz, para poder
muestrear y recuperar la seal requeriramos 8.000 muestras por
segundo, o 8000 baudios.Interpretaciones prcticas sobre NyquistEn
una seal cuando se transmite, la capacidad que posee para
transportar informacin, o bien viene limitado por la propia seal
(que es lo visto anteriormente, una seal con frecuencia mxima fm) y
su ancho de banda, o bien viene limitado por el ancho de banda del
canal en la que es transmitida. En resumen, o el ancho de banda lo
fija la fuente o bien el canal.Ej. La voz humana, tiene un BW
>4KHz, pero los circuitos de las centrales operan hasta 4KHz.3Es
decir, en el caso q el canal limite a 4 KHz, si por all mandara con
mxima frecuencia, suponiendo que cada lbulo o semiperiodo de la
sinusoide es +- asociado al 10, obtendra 8000 baudios.Es decir q
una seal limitada a 4Khz puede transportar como mximo 8000 baudios
si no est modulada, q se trata de otra consideracin diferente del
Tm de Nyquist.Si estuviera modulada como en la CATV, slo sera la
mitad, es decir 4000 baudios.4100 Hz1 KHz10 KHzFrecuencia100 KHz10
HzPotencia relativa0 dB-20 dB-40 dB-60 dBRango dinmicoaproximado de
la vozCanal telefnicoLmite superiorde la radio AMLmite superiorde
la radio FMRango dinmicoaproximado dela msicaMSICAVOZRuidoEspectro
acstico de la voz y la msica3,4 KHz300 HzPotencia
relativa=Potencia/Potencia mximaTeorema de Nyquist en un canal
(limitacin por canal)En un caso general, como un canal analgico
(que transporta seales analgicas no moduladas), se puede demostrar
que los baudios (smbolos por segundo) posibles enviados con un
canal de ancho de banda BW es:Capacidad [baudios]=2*BW [Hz]
Si fuera modulada, sera Capacidad [baudios]=BW [Hz]
Y la capacidad binaria de dicho canal es:Capacidad
[bits/segundo]= 2*BW*log2(nmero de niveles por smbolo)=
2*BW*log10(nmero de niveles por smbolo)/ log10(2)El nmero de
niveles por smbolo lo determina la constelacin de la modulacin
utilizada.Pero el nmero de smbolos a introducir en un canal tiene
tambin un lmite ...
En el caso del canal telefnico, como utilizamos de 300 a 3400
Hz, al ser modulada porque no parte de 0 Hz, sino que va metida en
la banda 300 a 3400Hz, el mximo de baudios son 3100 baudios.
5Esto es si la seal no est modulada.Si est modulada, es
capacidad en baudios es BW.Relacin seal/ruidoLa relacin seal/ruido,
tambin SR o S/N (Signal to Noise Ratio) se mide normalmente en
decibelios (dB):
S/N (en dB) = 10* log10 (S/N)=S(db) N(db)
Ejemplo 1: S=10Kwatios N=5Kwatios, por tanto S/N (db)= 10* log10
(10/5)Ejemplo 2: S/N = 36 dB, por tanto la seal es 103,6 = 3981
veces mayor que el ruido 6Teorema de muestreo de Nyquist (1924)La
digitalizacin de una seal analgica ha de hacerse muestreando al
menos al doble de la frecuencia mxima que se pretende capturar.
Ejemplos:Canal telefnico: 3,3 KHz Muestreo 8 KHzAudio HiFi: 20 KHz
Muestreo 44,1 KHz Redes MultimediaAmpliacin Redes2-7En 1924 Nyquist
formul el teorema que lleva su nombre, que establece que cuando una
informacin digital se transporta por un canal analgico el nmero de
baudios no puede ser mayor que el doble de la anchura del canal en
hertzios. Dicho teorema tambin se aplica al caso en que una seal
analgica se codifica en forma digital; en este caso el teorema dice
que las muestras digitales de la seal se han de obtener a una
frecuencia que sea como mnimo el doble que la frecuencia mxima que
se quiere captar, por lo que se suele denominar Teorema de muestreo
de Nyquist. Dicha frecuencia se conoce como Frecuencia de
Nyquist.Por ejemplo una conversacin telefnica utiliza normalmente
un ancho de banda de 3 KHz. Para tener un margen de seguridad la
separacin entre canales telefnicos contiguos es de 4 KHz. Por esta
razn cuando se digitaliza una conversacin telefnica se utiliza una
frecuencia de muestreo de 8 KHz, de forma que sea posible restituir
la onda original cuando se vuelva la seal a su forma analgica.Otro
ejemplo interesante es el caso del audio de alta fidelidad. Aqu la
frecuencia mxima a captar es de 20 KHz, valor mximo percibido por
el odo humano en condiciones ptimas. Por eso el estndar de audio
digital utilizado en discos compactos (CD/DA) emplea una frecuencia
de muestreo de 44,1 KHz, capaz de captar frecuencias de audio de
hasta 22,05 KHz.Aunque nos hemos centrado en el caso del audio el
Teorema de Nyquist tambin se aplica a una seal de vdeo analgica. La
seal de vdeo de una cmara analgica es tambin una onda. La nica
diferencia es que en este caso se trata de canales con anchuras del
orden de los MHz y por tanto las frecuencias de muestreo han de ser
mucho mayores que en el caso del audio.
Seal muestreadaa 8 KHzSeal analgicaoriginalCanal telefnicoAncho
de banda 300 a 3.300 HzConversin analgico-digital:muestreo de la
sealMuestrasProceso de muestreo8.000 muestras/s(captura de 0 a 4
KHz)Redes MultimediaAmpliacin Redes2-8La primera fase en el proceso
de digitalizacin consiste en medir la amplitud de la onda en cada
muestra. Por ejemplo en el caso de la telefona esa toma de muestras
se realiza 8.000 veces por segundo como ya hemos comentado. Esto
equivale a tomar una muestra cada 125 microsegundos (1/8.000 =
0,000125).Aunque las normas de telefona digital varan segn los
pases y los continentes la frecuencia de muestreo es una de las
pocas cosas que son universales y comunes a todas ellas.Conversin
analgico-digitalSealmuestreada(valores continuos)Seal digital
(valores discretos)Ruido (o error) de
cuantizacin100100111011001DigitalizacinLa seal digital se ha de
ajustar a uno de los valores preestablecidos de amplitudEl error de
cuantizacin depende del nmero de bits por muestra.La escala de
digitalizacin puede ser lineal o logartmicaRedes
MultimediaAmpliacin Redes2-9La amplitud de la onda es una magnitud
continua que puede tener cualquier valor. Por el contrario su
representacin digital en un nmero limitado de bits obliga a
utilizar un conjunto finito de valores discretos. La necesidad de
ajustar el valor real al valor discreto ms prximo introduce una
distorsin que se conoce como error o ruido de cuantizacin.Por
ejemplo en la digitalizacin de un canal telefnico cada muestra se
representa la amplitud de la onda utilizando ocho bits, lo cual
permite representar hasta 256 diferentes valores de la amplitud; el
valor en la onda analgica original, que es continuo, se ha de
transformar en uno de esos 256 valores discretos posibles
(lgicamente aquel que se encuentre ms prximo a la magnitud real).
Si en vez de un byte se utilizaran dos bytes por muestra (como
ocurre por ejemplo con el audio digital en CD) la gama de valores
de amplitud sera de 65536, lo cual permite representar con mucha
mayor precisin el valor de la onda analgica original. Por tanto el
error de cuantizacin disminuye al aumentar el nmero de bits
empleados al digitalizar cada muestra. Este menor error de
cuantizacin se percibe como una mejor (o ms elevada) relacin
seal/ruido.En algunos sistemas de telefona los valores discretos
utilizados en la codificacin digital no se corresponden linealmente
con la magnitud digitalizada (la amplitud) sino con su logaritmo.
De esta forma se consigue una mayor precisin en los valores
pequeos. Este es el caso que se ha representado en la figura
adjunta.
Compromiso entre calidad y recursos (costo)Para digitalizar una
seal analgica hay que fijar dos parmetros:Frecuencia de muestreo:
cuanto ms alta mayor es el ancho de banda que se captura de la seal
analgica Nmero de bits por muestra: cuanto mayor es menor es el
error de cuantizacin y mayor la relacin seal/ruido de la seal
digitalEn ambos casos un valor mayor supone una mayor fidelidad en
la informacin digitalizada, pero tambin un mayor caudal en los
datos generadosRedes MultimediaAmpliacin Redes2-10