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Teoría de Conjuntos,
Álgebra y Grandes Cardinales
Juan Antonio Nido ValenciaMaestría en Ciencias de la
Complejidad, Universidad Autónoma de la
Ciudad de MéxicoHéctor Gabriel Salazar Pedroza.
Departamento de Ingeniería en Minas, Metalurgia y Geología,
Universidadde Guanajuato
Luis Miguel Villegas SilvaDepartamento de Matemáticas,
Universidad Autónoma Metropolitana
Iztapalapa
Annus
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Zur Ehre unseren Elternund zulässiger Ergötzungdes Geistes
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A Patricia
A mi familia
A Emilio y Nicolás
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Este es un tratado sobre lógica matemática y teoría de conjuntos
destinado a desarro-llar tanto aplicaciones de ambas disciplinas al
ágebra, como su interrelación a través delos grandes cardinales y
modelos internos. Disertamos a un nivel avanzado sobre
diversostópicos de estas áreas teniendo siempre en mente sus
aplicaciones. La idea es propiciarnuevos resultados motivado por
problemas algebraicos, modelo teóricos y de grandes
car-dinales.
Los temas de estas áreas se han desarrollado cuidadosamente para
incluir resultadosde frontera en forma idónea y accesible para los
lectores con una formación correspon-diente.
Es por demás importante resaltar que este libro es una obra de
investigación, en la quese pone énfasis especial en el desarrollo
del material necesario para elaborar aplicacionessofisticadas a
diversos aspectos de la teoría de módulos, anillos, grandes
cardinales y mo-delos internos. Con el ánimo de no hacer crecer aún
más el tamaño de esta obra, hemospospuesto a un segundo volumen la
presentación detallada de algunos trabajos recientes
i
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Prefaio Teoría de onjuntos, Álgebra y grandes ardinales ii
(y algunos no tanto) de investigación tanto de los autores, como
de diversos matemáti-cos activos en el área que muestran
interacciones poco conocidas de estas disciplinas, asícomo un
desarrollo detallado de la parte puramente algebraica. Hemos puesto
particularatención en establecer los conocimientos necesarios para
entender a cabalidad los trabajosmencionados.
Pasemos a presentar el contexto general de la obra. El primer
capítulo inicia conlos encajes elementales entre modelos de la
teoría de conjuntos. Aquí la palabra modelopuede entenderse como un
conjunto o una clase propia. Los encajes elementales son
unaherramienta indispensable en la teoría moderna de conjuntos.
Hemos hecho incapié en suutilidad inobjetable en la introducción de
nuevas clases de grandes cardinales, pues talesencajes proporcionan
una descripción natural de estos cardinales como los compacto
dé-biles, medibles, inefables completos, Jónsson, y otros, que son
parte primordial en algunostrabajos nuestros recientes sobre
compacidad en módulos, álgebras de Jónsson y
principioscombinatorios en modelos internos.
Los encajes elementales dan lugar a la formación de
ultrapotencias de modelos dela teoría de conjuntos, ya sean
conjuntos o clases propias. Una generalización de estaconstrucción
es la noción de levantamiento, misma que posteriormente emplearemos
paraestudiar álgebras de Jónsson. El capítulo también trata
diversas nociones de conjuntoestacionario, ideales, la conjetura de
Chang y sus variantes.
Para describir algunos cardinales muy grandes, como los
compactos fuertes o los su-percompactos, que juegan un papel
relevante en nuestros resultados sobre compacidad enmódulos, se
requiere introducir ultrafiltros en subconjuntos de cierta
cardinalidad de uncardinal dado.
El siguiente apartado presenta un tratamiento muy detallado e
inovador de los car-dinales Ramsey y Erdős, así como de un axioma
de grandes cardinales conocido como«cero sostenido» (en inglés,
«zero sharp»), 0#. Se diserta sobre los «volados» para es-tas
nuevas clases de grandes cardinales y la relación de 0# con la
hipótesis del cardinalsingular. Aparecen las lógicas infintarias y
los números de Hanf de las mismas, que nospermitiran posteriormente
investigar sobre la posible axiomatización infinitaria de
diversasclases de módulos.
En el capítulo subsecuente aparecen los cardinales Jónsson y
Rowbottom. Por supuesto,relacionados con las álgebras de Jónsson y
un problema asociado, el del subconjunto libre.También se estudian
los cardinales inefables completos.
Finalmente iniciamos la presentación de los cardinales medibles,
proponiendo diversasaplicaciones al álgebra. Tratamos también el
problema de la posible extensión de la medidade Lebesgue y un
problema de G. Fodor.
Una vez logrado lo anterior iniciamos la parte algebraica del
trabajo. Se presentauna introducción a la teoría de categorías,
para después desarrollar algunos resultadosrelevantes en álgebra
homológica y en los así llamados módulos Jónsson.
Muchos de los ejercicios, la mayoría, se encuentran entrelazados
en series, ya sea enel mismo capítulo o en varios, la inmensa
mayoría de ellos se extrajeron de la literatura.Generalmente tiene
detalladas sugerencias para su solución y representan
investigacionessobre temas cercanos a los tratados en el capítulo
correspondiente. La sugerencia para
-
iii Prefaio
el lector es trabajar con todo detalle algunas de estas series y
en lo posible plantearse laposibilidad de generalizar los
resultados, abriendo así el camino a un tema de investigación.
Aquellos ejercicios que llevan el símbolo Ason problemas que
siguen abiertos, al menoslos autores desconocen si ya se han
resuelto.
La bibliografía colecta las obras que hemos consultado para
desarrollar el material,y en algunas ocasiones, trabajos que
pudieran ser relevantes para los temas tratados, oque propician un
tema promisorio de investigación, teniendo en cuenta que el
materialnecesario se encuentra en este libro. Así, hemos señalado
cuidadosamente las obras endonde se originan nuestra disertación,
pero en la mayoría de las ocasiones hemos generadouna presentación
completamente original.
Los requisitos indispensables para lograr una mejor comprensión
de esta obra sonconocimientos profundos de lógica matemática
(lenguajes formales, compacidad, Löwen-heim-Skolem, etc.), teoría
de modelos de lógica infinitaria, teoría de conjuntos
avanzada(grandes cardinales, conjuntos admisibles, pr cerrados),
teoría de módulos y anillos. Al-gunos resultados y ejercicios
requieren conocimientos del método de Forcing o de modelosinternos.
Es deseable familiaridad con las propiedades fundamentales del
universo cons-truible L y L[A].
Los autores agradecen a las instituciones: Departamento de
Ingeniería en Minas, Met-alurgia y Geología, Universidad de
Guanajuato, Maestría en Ciencias de la Complejidad,Universidad
Autónoma de la Ciudad de México, y Departamento de Matemáticas,
Univer-sidad Autónoma Metropolitana Iztapalapa, por su apoyo y
paciencia durante la escriturade este libro.
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Prefaio Teoría de onjuntos, Álgebra y grandes ardinales iv
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Índice
I Dialéctica y naturaleza de los encajes elementales y
principios combinatorios 1I.1 Encajes elementales . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3I.2 Conjuntos
estacionarios y reflexión . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . 16I.3 Levantamientos . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . 33I.4 Ideales . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60I.5
Singularidades de la noción de conjunto estacionario . . . . . . .
. . . . . . . 65I.6 La conjetura de Chang y algunas de sus
múltiples variantes . . . . . . . . . . 67I.7 Extensiones
elementales cardinales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . 79I.8 Ejerciciµ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . 81
II Cardinales Ramsey y Erdős, 0# 115II.1 Contribución a los
fundamentos de los cardinales α-Erdős y Ramsey . . . . . 117II.2
El reino de este mundo y de los Cardinales Ramsey y α-Erdős . . .
. . . . . . 123II.3 0# . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 147II.4 Volados y
filtros Ramsey . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . 163II.5 Los cardinales tipo Erdős en acción . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 170II.6 De los números de Hanf
en Lκλ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
183II.7 Oposición entre la concepción del teorema de cubierta y 0#
. . . . . . . . . . 188II.8 Ejerciciµ . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 195
III Los pasos perdidos: Cardinales Rowbottom, Jónsson y
principios relaciona-dos 237III.1 Funciones de conjunto . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 238III.2 La
situación de la clase de los cardinales Rowbottom . . . . . . . . .
. . . . . 241III.3 La sagrada familia de los M-ultrafiltros
Rowbottom . . . . . . . . . . . . . . . 257III.4 El dieciocho
brumario de B. Jónsson . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . 260III.5 Contribución al problema de los cardinales inefables
completos . . . . . . . . 292III.6 Un fantasma recorre la teoría de
modelos: cardinales Erdős . . . . . . . . . . 308III.7 Tesis sobre
el problema del subconjunto libre . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . 317III.8 Más sobre el buen Jónsson . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . 335III.9 Ejerciciµ . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 344
v
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Prefaio Teoría de onjuntos, Álgebra y grandes ardinales vi
IV Con medida en la combinatoria 383IV.1 Cardinales medibles . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
384IV.2 Aplicaciones al álgebra . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . 407IV.3 Extensión de la medida de
Lebesgue . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 416IV.4
Variaciones sobre un teorema de Fodor . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . 443IV.5 Ejerciciµ . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . 452
V Introducción a las categorías 503V.1 Axiomas . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
504V.2 Categorías concretas y abstractas . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . 507V.3 Isomorfismos, monomorfismos,
epimorfismos . . . . . . . . . . . . . . . . . . 512V.4 Funtores y
nuevas categorías . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . 515V.5 Objetos terminales e iniciales . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . 521V.6 Productos y coproductos . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 522V.7
Propiedades universales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . 525V.8 Categorías funtoriales y funtores ∆ . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 528V.9 Límites y
colímites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . 534V.10 Funtores adjuntos . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 545V.11 Ejerciciµ . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 557
565
Índices 573
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I
Dialéctica y naturaleza de los encajes elementalesy principios
combinatorios
En este capítulo trataremos mayormente con encajes elementales j
: M →֒ N entremodelos transitivos de ZFE o subteorías tales como
ZF− o ZFE− , en ocasiones, incluso desubteorías más débiles. Aquí
la palabra modelo puede dar la falsa impresión de que M yN son
conjuntos, lo cual no será siempre el caso. Tanto M como N pueden
ser términosclase (clases propias).
El estudio de los encajes elementales ocurrirá tanto desde el
punto de vista de losencajes mismos, como de principios,
construcciones y nociones combinatorias asociadasestrechamente a
este tipo de encajes. Es una buen oportunidad de presentar la
combi-natoria en familias de subconjuntos de cierto tamaño, por
ejemplo si κ, λ son cardinales,
1
-
40 Levantamientos I.3
Para continuar nuestra investigación sobre la existencia del
levantamiento requerimosuna versión del teorema de Łoś para
ultraproductos, el cual describimos y demostramos
acontinuación.
Lema I.3.11. Sean ϕ una fórmula f ∈ M, u ∈ H, x ∈ π(u), f : u //
M. Entonces
D |=ϕ[(x1, f1), . . . , (xn, fn)]⇔(x1, . . . , xn) ∈ π({(z1, . .
. , zn) : M |= ϕ[ f1(z1), . . . , fn(zn))}︸ ︷︷ ︸
=e
).
Demostración. Antes que otra cosa, note que e ∈ M, pues M |=
ZFE− . Procedemospor inducción en la construcción de ϕ. Los casos ϕ
primitiva o ϕ ≡ ϕ1 ∧ ϕ2, ϕ ≡ ¬ψson inmediatos de la definición de
E, I y de la hipótesis de inducción. Por ejemplo, siϕ(~v) ≡ vi ∈
vj, entonces
D |= ϕ[(x1, f1), . . . , (xn, fn)] ⇔ D |= (xi, fi)E(xj, f j)
⇔ (xi, xj) ∈ π({(z, w) : M |= fi(z) ∈ f j(w)})
por definición de E⇔ (xi, xj) ∈ π({(z, u) : M |= ϕ[ f1(x1), . .
. , fn(xn)]})
En forma similar se corroboran los casos = y Ai.Ahora considere
el caso ϕ(u) ≡ ∃ uψ(u, v); suponga D |= ϕ[( f1, x1), . . . , ( fn,
xn)] y
sea e = {(z1, . . . , zn) : M |= ϕ[ f1(z1), . . . , fn(zn)]}. Se
afirma que (x1, . . . , xn) ∈ π(e). Porhipótesis existe (g, y) ∈ D
tal que
D |= ψ[(g, y), ( f1 , x1), . . . , ( fn, xn)];
por hipótesis de inducción (y,~x) ∈ π(e), donde
e = {(w,~z) : M |= ψ[g(w), ~f (~z)]}
e ⊆ u1× · · · × un, cada uj ∈ H, |ct(uj)| < τ, |u1× · · · ×
un| < τ, y |e| < τ. Si (z1, . . . , zn) ∈ e,entonces zi ∈ ui,
|ct((z1 , . . . , zn))| < τ, por lo que |ct(e)| < τ, de donde
se sigue que e ∈ H,igualmente e ∈ H.
H |= ∀w,~z((w, z) ∈ e→ (~z) ∈ e).
En consecuencia,H |= ∀w,~z((w,~z) ∈ π(e)→ ~z ∈ π(e)),
lo que da lugar a ~x ∈ π(e).⇐) Suponemos (x1, . . . , xn) ∈ π(e)
y probemos
D |= ϕ[( f1, x1), . . . , ( fn, xn)].
-
I.3 Dialéctica y naturaleza de los encajes elementales y
principios combinatorios 49
Demostración. Como Lα(a) es transitivo, es modelo de existencia,
extensionalidad y re-gularidad. Si x, y ∈ Lα(a), como α es límite,
x, y ∈ Lβ(a) para algún β < α, por lo que{x, y} ∈ Lβ+1(a) ⊆
Lα(a). En forma similar se comprueba unión.
Sean ϕ(u, ~w) una Σ0-fórmula, ~z ∈ Lα(a), x ∈ Lα(a) y b = {c ∈ x
: Lα(a) |= ϕ(c,~z)},digamos x,~z ∈ Lβ(a). Entonces b ∈ De f
(Lβ(a)), por lo que b ∈ Lβ+1(a) ⊆ Lα(a).
En cuanto a ∆0-colección sean ϕ(u, v, ~w) una ∆0-fórmula, y ~z ∈
Lα(a) y suponga que
Lα(a) |= ∀ x∃ yϕ(x, y, ~w).
Sea b ∈ Lα(a); debemos encontrar c ∈ Lα(a) tal que Lα(a) |= ∀ x
∈ b∃ y ∈ cϕ(x, y, ~w). Noteque entre los parámetros ~z pueden
existir elementos de a ∈ M. Como M es admisible ytransitivo, si
construimos la jerarquía Lγ(a) en M, los estratos son V
−M-absolutos. Así
Lα(a) |= ∀ x ∈ b∃ yϕ(x, y,~z).
Definimos una función g : b // a, g(x) = el menor γ tal que ∃ y
∈ Lγ(a) con Lγ(a) |=ϕ(x, y,~z); ϕ es ∆0, así que
M |= ϕ(x, y,~z)⇔ Lα(a) |= ϕ(x, y,~z).
En consecuencia
γ = g(x) ⇔ M |=x ∈ b ∧ ∃w(w = Lγ(a)∧
∃ y ∈ wϕ(x, y,~z) ∧ ∀ r ∈ w¬∃ y ∈ rϕ(x, y,~z).
Se sigue que g es Σ1, por lo que de la admisibilidad de M se
deduce la existencia dec ∈ M tal que g[b] = c y
⋃c = η ∈ M. Por definición de g
∀ x ∈ b∃ γ ∈ Lη(a)(Lα(a) |= ϕ(x, y,~z))
y Lη(a) ∈ Lα(a). H
Demostración del lema I.3.18. El lema es ahora inmediato para H
= w f c(A) transitivo
y δ = Or ∩ H, que cumplen los requisitos del lema I.3.19. H
Corolario I.3.20. Con las hipótesis del corolario I.3.18 Lδ[B] =
〈Lδ[B], B ∩ Lδ[B]〉 es admisiblesiempre que B sea A-definible.
Demostración. Sabemos que B es A-definible, esto es
B = {x ∈ A : A |= ϕ(x,~a)}
con ~a ∈ A y ϕ una fórmula del lenguaje de M.Sin perder
generalidad podemos suponer que B es uno de los predicados de M,
para
los que M es admisible; obtenemos el resultado como en el lema
I.3.18. H
-
II
Algo flota sobre L: Cardinales Ramsey yα-Erdős, y su remarcable
relación con 0#
En este capítulo estudiaremos nuevas clases de cardinales, que
en ciertas condicionespueden ser grandes cardinales. Cuando lo son,
se encuentran en la parte media del mapade los grandes cardinales,
y su existencia puede resultar incompatible con V = L. Noobstante,
algunas de sus variantes sí pueden vivir en L. Al final
estudiaremos la teoría de0#. A nadie le amarga el dulce, aunque
tenga otro en la boca.
Como veremos después, es incompatible la existencia de
cardinales medibles conV = L. J. Silver tomó con gran decisión el
estudio de esta incompatibilidad y descubrió 0#,que entre sus
muchas representaciones, destaca aquella que lo concibe como un
conjunto denúmero de Gödel de ciertas fórmulas «evaluadas» en
indiscernibles. Silver se propuso ini-ciar con la existencia de un
cardinal Ramsey o, aún mejor, de un cardinal ω1-Erdős, y logró
115
-
II.2 Cardinales Ramsey y Erdős, 0# 135
Queremos probar que en M, κ es inefable, así que debemos
encontrar un subconjuntoS ⊆ κ estacionario tal que (Aα : α < κ)
es coherente. Se afirma que
S = {α < κ : Aκ ∩ α = Aα}
es estacionario. Sea C un club en κ según M; mostrar C ∩ S 6= ∅
es equivalente a probarque j(C ∩ S) 6= ∅, esto es j(C) ∩ j(S) 6= ∅;
ahora
j(S) = {α < j(κ) : j(Aκ) ∩ j(α) = j(Aα)}= {α < j(κ) : Aκ ∩
j(α) = j(Aα)}
Sabemos que κ ∈ j(C) para C un club en κ y Aκ ∩ j(κ) = Aκ ∩ κ =
Aκ = j(Aκ), por loque κ ∈ j(S) y j(C) ∩ j(S) 6= ∅.
Así, κ es inefable en M, de aquí, compacto débil. H
W II.2.19.
Si κ(ω) existe, entonces existe un cardinal inefable menor que
κ(ω).
Teorema
Demostración. Considere el modelo A = 〈Vκ(ω),∈, { fϕ : ϕ ∈
Fml(L)}〉, donde las fϕ sonfunciones de Skolem para fórmulas ϕ
respecto a 〈Vκ(ω),∈〉. Se sigue que el modelo tieneun conjunto de
indiscernibles I de tipo ordinal ω. Sea B la cerradura de Skolem de
I en A.
Considere una aplicación no trivial de I en I que preserva el
orden. Mediante fun-ciones de Skolem podemos extender esta
aplicación (en forma única) a un encaje elementalde B en B. Sea M
el colapso transitivo de B y j : M →֒ M el encaje no trivial
correspon-diente:
B Bg//
M
B
OO
π
M Mj
// M
B
OO
π
Tomamos m ∈ M, existe b ∈ B con π(b) = m, así, πg(b) = j(m).Dado
que κ(ω) es inaccesible, Vκ(ω) es modelo de ZFE, por lo que M es un
modelo
transitivo de ZFE. En él se cumplen las hipótesis del lema
II.2.18, pues tenemos j : M →֒ Mno trivial, tiene punto crítico,
digamos κ y κ es inefable en M. Por consiguiente, en Vκ(ω). En
efecto, supongamos que κ no es regular en Vκ(ω), entonces Vκ(ω)
|= ∃ f∃ τ < κ( f : τco f
// κ)para τ < κ, y se cumple τ ∈ M, por lo que
M |= ∃ f ( f : τco f
// κ)
-
III
Los pasos perdidos: Cardinales Rowbottom,Jónsson y principios
relacionados
En esta ocasión trataremos cardinales que no pueden
clasificarse, necesariamente,como grandes cardinales, pues su
definición permite que algunos cardinales singulares
237
-
IV
Con medida en la combinatoria
En este capítulo iniciamos el estudio de una de las clases más
importantes2 de grandescardinales: la de los cardinales medibles.
Más aún, brevemente trataremos algunas otrasclases de grandes
cardinales cuya definición es cercana a los medibles o a los
compactodébiles. Es imposible dar un estudio completo de estos
cardinales en un libro de tamañorazonable, pues existen abundantes
resultados al respecto en diversas direcciones. Sin
2En cuanto al término «más importante», por supuesto que es
relativo. En diferentes contextos puedenexistir clases más o menos
relevantes. Por ejemplo, si trabajamos en el universo construible
L, los cardinalesmedibles no existen. No obstante, ya sea
históricamente o por un sin fin de razones, los cardinales
mediblesestán más o menos presentes en muchos escenarios de la
teoría de conjuntos moderna.
383
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404 Cardinales medibles IV.1
Para todo cardinal inaccesible κ las siguientes condiciones son
equivalentes.
1. κ es medible.
2. Toda estructura de cardinalidad κ (sin importar la cantidad
de símbolos involu-crados) tiene una Lκκ-extensión propia (módulo
un isomorfismo).
3. Para toda estructura A de cardinalidad κ existe una
estructura B tal que A ⊆B, |B| 6= |A| y B ≡κκ A.
4. Para toda estructura A en la que todo elemento es definible
mediante una Lκω-fórmula sin cuantificadores existe una estructura
B tal que B ≡κκ A y B ≇ A.
4’ Para toda estructura A en la que cada elemento es
Lκκ-definible, existe unaestructura B tal que B ≡κκ A y B ≇ A.
5. Aκ tiene una Lκκ-extensión propia.
6. Existe una estructura B ⊇ Aκ tal que B ≡κκ Aκ y |B| 6=
|A|.
7. Existe una estructura B tal que B ≡κκ Aκ y B ≇ Aκ .
8. Aκ tiene una Lκω-extensión propia (módulo un
isomorfismo).
9. Existe una estructura B ⊇ Aκ tal que B ≡κκ Aκ y |B| 6= |Aκ
|.
10. Existe una estructura B tal que B ≡κκ Aκ y B ≇ Aκ .
11. Para cada ordinal α > 0 existe un conjunto transitivo A y
un encaje elementalf de 〈Vκ+α,∈〉 en 〈A,∈〉 con punto crítico κ.
12. Existe un conjunto transitivo A y un encaje elemental f de
la estructura〈Vκ+1,∈〉 en 〈A,∈〉 con punto crítico κ.
Teorema
Demostración. Observe que las implicaciones (4’)⇒(4), (2)⇒(3),
(5)⇒(6), (5)⇒(8), (7)⇒(10),(11)⇒(12), (8)⇒(9), (4)⇒(7), (2)⇒(5), y
(6)⇒(9) son triviales.
(1)⇒(2) Sean U un ultrafiltro κ-completo libre en κ, f : κ // A
una biyección y π :A //Aκ/U la inyeción canónica, esto es para a ∈
A, π(a) es la clase de. Probaremos que[ f ]U /∈ ran(π). Recuerde
que Aκ/U consiste en las clases de equivalencia de elementos
delproducto ∏i
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446 Variaciones sobre un teorema de Fodor IV.4
ocurre para cualquier γ ∈ Xα. Los conjuntos A′γ ⊆ Sγ, γ < λ
son casi ajenos. En efecto,suponga que γ ∈ Xα, δ ∈ Xβ, γ 6= δ,
donde α, β < λ. Si α = β, es claro que A′γ ∩ A
′δ ∈ I
ya que fα(γ) 6= fα(δ). Si α < β, entonces A′δ ⊆ Sβ y Sα fα(γ)
∩ Sβ ∈ I se cumple porquefα(γ) > η y β /∈
⋃ζ≤α Xζ (lo último es válido debido a Xβ 6= 0). Tenemos A
′γ ∩ A
′δ ∈ I, otra
vez. En el caso λ ≤ κ, ocurre Aγ = A′γ −⋃
δ
-
V
Introducción a las categorías
Las categorías aparecen por primera vez en la literatura
matemática el año de 1945 enel artículo "General Theory of Natural
Equivalences" de Samuel Eilenberg y Saunders MacLane quienes dieron
una definición algebraica del concepto de categoría como
preparaciónpara introducir dos conceptos básicos: el de funtor y el
de transformación natural.
La definición que dieron Eilenberg y Mac Lane de una categoría
fue puramente ab-stracta dada de forma axiomática sin apelar a
ninguna teoría de conjuntos en particular. Ladefinición de
categoría ha evolucionado con el tiempo, de acuerdo con las
necesidades ymetas de diferentes autores. Algunos, como
Grothendieck (1957) y Freyd (1964), decidierondefinir las
categorías en términos conjuntistas.
Las categorías constan de colecciones de objetos y de flechas.
En la definición originalse conocen como agregados de objetos y
aplicaciones (mappings) con la intención, tal vez,de no
comprometerse con la terminología conjuntista. Sin embargo, las
cosas cambiaronen los siguientes diez años cuando las categorías
empezaron a aplicarse en la teoría dehomología y en el álgebra
homológica. Las categorías que se usaban en esos campos
503
-
563 Teoría de onjuntos, lógia y temas a�nes II Bibliografía
-
Bibliografía 564
-
Bibliografía
[Abe93] Y. Abe, Weakly normal ideals on Pκλ and the singular
cardinal hypothesis,Fund. Math. 143(1993), 97-106.
[Abe96] Y. Abe, Saturation of fundamental ideals on Pκλ, J.
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Índice de símbolos
[A]2
-
T(z), 141ℵλ(µ), 352△ξ
-
Índice alfabético
adjunción, 546, 548adjunto, 546
derecho, 547izquierdo, 547
agregados, 503álgebra, 261
2, 421de Jónsson, 261local finita, 266saturada, 421
átomo, 418axioma de elección interno, 514axiomas de una
categoría, 504
cardinalλ-sutil, 29λ-Shelah, 479α-indescriptible, 196casi
λ-inefable, 81casi inefable, 137, 198compacto, 24compacto débil,
438Erdős, 127, 323ω1-Erdős, 140etéreo, 474inefable, 134, 293,
296, 394inefable completo, 292, 295, 303inefable Ramsey,
211invisible, 197Jónsson, 261λ-Shelah, 97λ-inefable, 25ligeramente
inefable, 97medible, 388
medible real valuado, 388, 417ω-medible, 402pre inefable Ramsey,
211pre Ramsey, 169Ramsey, 127, 244, 309, 399Ramsey completo,
258Rowbottom, 244ν-Rowbottom, 244S-Mahlo, 431sublime, 79sutil, 136,
195
débil, 195categoría
balanceada, 514coma, 520completa, 535concreta, 517de índices,
534de los coconos, 536de los conos, 532delgada, 511discreta,
511dual, 512equivalencia, 518funtorial, 520grande, 508libre de
objetos, 505localmente pequeña, 508opuesta, 512pequeña,
508producto, 511puntuada, 522rebanada, 512Set, 507
577
-
clase estacionaria, 295colímite, 536conjetura
de Chang, 241, 452débil de Chang, 71
conjuntoadmisible, 47atractivo, 323cerrado, 16cerrado firme,
88cerrado fuerte, 26con la propiedad de Shelah, 99de
indiscernibles, 117de medida
cero, 420positiva, 420uno, 420
dirigido, 16estacionario, 17, 65homogeneizado, 298indiscernible,
117libre, 317ligeramente inefable, 98no acotado,
17Πnm-indescriptible, 102remarcable, 123
cono, 16, 532convergencia serie, 384coproducto, 524
diagrama, 505finito, 534pequeño, 534producto, 522
elementoprimo, 408unidad, 408
elementos isomorfos, 513encaje
cofinal, 33elemental, 3Σ0 y cofinal, 9τ-cofinal, 36
τ-cofinal, 36epi, 513epimorfismo escindible, 514estructura
dócil, 10
familia cuasi ajena, 421filtro
δ-saturado, 465club, 17, 19de los segmentos terminales,
87invisible, 197Jónsson, 469Rowbottom, 258, 440, 469saturado,
21sutil débil, 195
flechaidentidad, 504inicial, 526terminal, 526universal, 526
flechas, 504función
I, 254álef generalizada, 352buena, 71casi acotada,
427incompresible, 427no acotada, 427ω-Jónsson, 479regresiva,
476
funciones club ajenas, 254funtor, 515
adjunto, 546constante, 530contravariante, 519covariante,
519diagonal, 530fiel, 516olvidadizo, 516pleno, 516seudo inverso,
518subyacente, 516
hipótesis trasversal, 68
-
I-función, 254I-partición, 476ideal, 60
de medida, 420distributivo, 477inefable completo, 484κ-completo,
61magro débil, 477normal, 61numerablemete completo, 61p-punto
débil, 477principal, 60propio, 60q-punto débil, 477saturado en
ninguna parte, 445selectivo débil, 477seminormal, 477trivial, 60WC,
480
igualador, 541indiscernibles, 117intersección diagonal, 16,
60iso, 513isomorfismo natural, 518
Lema de interpolación, 45levantamiento, 36liftup, 36límite,
534
finito, 535
M-ultrafiltro, 258, 300M-ultrafiltro normal, 258malla, 23,
99
binaria, 23soluble, 24
matriz de Ulam, 441medida, 385
bivaluada, 385de Lebesgue, 416κ-aditiva, 385normal,
392numerablemente aditiva, 385
modelo
casi lleno, 56sólido, 47suave, 59
módulo, 408sin torsión, 409
mono, 513monoide, 510monomorfismo, 513
escindible, 514morfismo, 504
norma de una función, 255núcleo bien fundado, 47
objetocero, 522inicial, 522nulo, 522terminal, 521
objetos, 504operador Ramsey, 200
pirámide, 532preorden, 511principio de Baumgartner,
108producto
dual, 524fibrado, 537
propiedadde Rowbottom, 257diamante, 29
punto crítico, 6
rango Ramsey, 202relación de satisfacción
para Σ0-fórmulas, 9, 151para Σ1-fórmulas, 151
retracción, 514
sección, 514subcategoría, 516
plena, 517sucesión casi ajena, 423
teorema
-
de Łoś para levantamiento, 40de Erdős-Hajnal, 132de Rowbottom,
132, 133Ehrenfeucht-Mostowski, 118
transformación natural, 517transpuesto izquierdo,
546trayectoria, 505
ultrafiltronormal, 397Rowbottom, 258uniforme, 403
unidad, 408, 546unión diagonal, 60
vértice, 505volado, 292, 298