Tempusprojekt: 516678 TEMPUS-1-2011-1-DE-TEMPUS- JPCR: ANPASSUNG DES LEHRBETRIEBS AN DEN BOLOGNA PROZESSIM INGENIEURSTUDIUM FÜR ASERBAIDSCHAN Vorlesungsskript: Mathematik fur Ingenieure Für Studiengang: Bachelor- Automatisierunmgstechnik und Elektrische Energietechnik Bakalavr təhsili üçün- Proseslərin avtomatlaşdırılması və Elektroenergetika ixtisasları üzrə Mühəndis riyaziyyatı Prof. Dr. Ing. Rustamov Gazanfar (AzTU) Dr. Ing.Säbzäliyev Mahir (ASEA) Dr. Ing. Säfärli Ilgar (SUS) Baku 2015
154
Embed
Tempusprojekt: 516678 TEMPUS-1-2011-1-DE-TEMPUS- JPCR ...aztu.edu.az/azp/asiin/ge/files/bach_bee/Vorlesungsskripte/b3.pdf · 6 4.2. Trennung von Reihenfolge der Funktionen 53 4.2.1.
This document is posted to help you gain knowledge. Please leave a comment to let me know what you think about it! Share it to your friends and learn new things together.
Transcript
Tempusprojekt: 516678 TEMPUS-1-2011-1-DE-TEMPUS-JPCR: ANPASSUNG DES LEHRBETRIEBS AN DEN BOLOGNA PROZESSIM INGENIEURSTUDIUM FÜR ASERBAIDSCHAN
Vorlesungsskript: Mathematik fur Ingenieure
Für Studiengang: Bachelor-Automatisierunmgstechnik und Elektrische
Energietechnik
Bakalavr təhsili üçün- Proseslərin avtomatlaşdırılması və Elektroenergetika
ixtisasları üzrə
Mühəndis riyaziyyatı
Prof. Dr. Ing. Rustamov Gazanfar (AzTU) Dr. Ing.Säbzäliyev Mahir (ASEA)
Dr. Ing. Säfärli Ilgar (SUS)
Baku 2015
1
Mündəricat
Giriş ………………………………………………......... 11
Fəsil 1. Matlab sisteminin xüsusiyyətləri və əsas işləmə qaydaları.............................................. 12
1.1. .
1.3.
Matlab sisteminin pəncərələri...... Matlab sisteminin baş menyüsi..... Matlab sisteminin ümumi strukturu.....
12 14 15
1.4. Həqiqi ədədlər və double tipli ədədlərin təqdin olunma formatı..... 1.4.1.Hesablama dəqiqliyinin idarə olunması.
15 16
1.5. Riyazi ifadələrin hesablanması..... 17 1.6. Münasibət operatorları............ 19 1.7. Məntiqi operatorlar.............. 20
1.7.1. Matlabda modelləşdirmə...... 24 Çalışmalar 1.1................ 25
1.8. Say sistemləri. Bit əməliyyatlarını yerinə yetirən funksiyalar...................... Çalışmalar 1.2...........................
25 31
Fəsil 2. Funksiyaların hesablanması, cədvəlləşdirilməsi və vizuallaşdırılması............. 32
2.1. Funksiyanın qiymətinin hesablanması və cədvəlləşdirilməsi............................................ 32
2.1.1.Massivin elementlərinin cəminin və hasilinin Hesablanması........................ 33
Fəsil 6. Vektor və matris cəbri............................... 71 6.1. Vektor və matris anlayışı................... 71 6.2. Vektor və matrisin daxil edilməsi................ 72 6.3. Matrislərin əsas növləri............................... 73 6.4. Vektor və matrislər üzərində riyazi
əməliyyatlar.... 80 6.5. Matrisin əsas göstəriciləri.........................
Çalışmalar 6.1........................................ 88 94
Fəsil 7. Cəbri və transendent tənliklərin həlli................ 95 7.1. funksiyasının köməyi ilə tənliklərin
həlli.. 95 7.2. funksiyasının köməyi ilə tənliklərin
həqiqi köklərinin tapılması....................... 96 7.3. funksiyasının köməyi ilə coxhədlinin
Kapitel 6. Vektor-und Matrix-Algebra................... 71 6.1. Das Konzept von Vektor-und Matrix.......... 71 6.2. Einbeziehung von Vektor-und Matrix 72 6.3. Die wichtigsten Arten von Matrixen......... 73 6.4. Anwendung an Matrix-Elementen........... 80 6.5. Mathematische Operationen auf Vektor-
und Matrixen.......................................... 88 Übung 6.1............................................ 94
Kapitel 7. Lösung der algebrischen und transendenten Matlab Gleichungen.....95
11 47
7.1. Lösung der Gleichungen mit Hilfe Solve()- Funktion……............................ 95
7.2. Das Finden der wirklichen Wurzeln von
Gleichungen mit Hilfe Fsero () -Funktion. 96
7.3. Das Finden der Wurzeln des Polynoms mit Hilfe Roots ()- Funktion.....................
Lösung der gewöhnlichen diferensialen Gleichungen............................................. 125
10.1. Modellierung von dynamischen Systemen mit Differentialgleichungen.......................... 125
10.2. Beispiele für die Herstellung der Differentialgleichungen............................ 126
10.2.1. Generalisierung................ 128
8
10.3. Lösung der gewöhnlichen Differentialgleichungen und die Gleichungssystems in der Matlab.Umgebung............................... 130
10.4. Shreibformen der Differentialgleichungen... Übungen 10.1......................................... Übungen 10.2............................................ Übungen 10.3............................................
130 140 143 144
Literatur ………………………………………………. 146
9
GIRIŞ
Mühəndis - latın sözü ingenium olub, baş verən prosesləri müşahidə edib orada məna axtaran, ideyanın gəlməsinə hazır olub onu ixtiraçılıq (patent) sahəsinə tətbiq edən-texniki savadı olan ixtisasçı. Riyaziyyat - qədim yuan sözü olub, öyrənmək,
elm deməkdir. Riyaziyyatda bütün obyektlər və əməliyyatlar real həyatın formal və ideallaşdırılmış yazılışından ibarətdir. Bu səbəbdən riyaziyyatı çox vaxt formal riyaziyyat da adlandırılır.Riyaziyyat – real dünyanın miqdar münasibətləri və fəza formaları haqqında elimdir. Riyaziyyatın tədrisini elementar və ali riyaziyyata ayırmaq olar. Elementar riyaziyyat orta məktədə tədris olunur. Ali riyaziyyat ali məktəblərdə tədris olunur. Mühəndis riyaziyyatı fənni tətbiqi riyaziyyat sahəsinə aiddir.Tətbiqi riyaziyyatda- riyazi üsulların və alqoritmlərin elm və praktikanın başqa sahələrinə tətbiqi məsələlərinə baxılır. Mühəndis riyaziyyatının predmeti elementar riyaziyyatdan başlamış ali riyaziyyatın xüsusu bolmələrinə qədər geniş bir spektri əhatə edir. Dərs vəsaiti abstrakt riyyaziyyat deyil məhs mühəndisin elm və texnikanın müxtəlif sahələrində rast gəldiyi praktiki riyazi məsələlərin kompyüterdə modelləşdirilməsi və tədqiqinə yönəlmişdir. Bu zaman dərin riyazi bilik və araşdırmalar tələb olunmadığından mühəndisin əsas vaxtı yalnız praktiki məsələlərin həllinə və onların istehsalatda və texnikada tətbiqinə yönəlmiş olur.
Dərsliyin məqsədi müasir informasiya texnologiyaların-dan istifadə etməklə istifadəçiyə sadə hesablama və təhlil usullarını öyrətməkdir. Bunun üçün hal-hazırda kompyuter
riyaziyyatı sistemlərindən daha münasib olanları MatLAB/Simulink paketindən istifadə edilmişdir.
10
Matlab (qısa- Matrix Labaratory-matris laboratoriyası) mühəndis və elmi hesablamaları yerinə yetirmək üçün nəzərdə tutulmuş interaktiv kompyüter sistemidir. Matlabı elmi kalkulyator adlandırmaq olar. Burada proqramla vizual vasitələrin vəhdəti tədqiqatçılar üçün əvəzolunmaz imkanlar yaradır. Matlabın tərkibində olan və dinamik sistemlərin modelləşdirilməsi üçün nəzərdə tutulmuş “vizual-bloklu imitasiya modelləşdirmə paketi” Simulink xüsusi yer tutur. Simulinkdə avtomatik tənzimləmə sisteminin tipik element və blokları, funksional və vizuallaşdırma vasitələri kitabxanada olan hazır bloklar şəklində təqdim olunur. Proqram təminatı isə üzə çıxmayaraq arxa planda qalır. Blokların parametrlərini dəyişmək üçün parametrlər pəncərəsindən istifadə olunur. Simulinkdə müxtəlif modellər şəklində verilmiş idarəetmə obyektlərini modelləşdirmək mümkündür. Bunlardan ötürmə funksiyalarını və vəziyyət modellərini göstərmək olar. Bloklu imitasiya modelləşdirməsinə olduqca az vaxt sərf olunduğundan bir dərs saatı ərzində nəticələri almaq və daha çox məlumat toplamaq mümkündür. Matlabda hesablama elementi matris olduğundan modeli matris şəklində verilmiş sistemləri modelləşdirdikdə qurulmuş vektor Simulink sxemində matris və vektorları daxil etmək kifayyətdir. Tədqiqatların virtual xarakter daşımasına baxmayaraq praktiki tədbiqlərdə çox vacib olan biliklər qazanmaq mümkündür.
Kitabda Matlabın aşağıdakı bölmələrindən istifadı olunmuşdur:
MATLAB SİSTEMİNİN XÜSUSİYYƏTLƏRİ VƏ ƏSAS İŞLƏMƏ QAYDALARI __________________________________________________
1.1. Matlab sisteminin pəncərələri MatLAB sistemi MathWork Inc. firması tərəfindən (ABŞ,
Neytik şəh., Massaçusets ştatı) yaradılmışdır. Bu sistemdən keçən əsrin 70-ci illərin axırlarından istifadə edilməyə başlanılsa da, onun tətbiq edilməsi 80-cı illərin axırlarından sonra daha da artmağa başlamışdır. MatLAB sisteminin axırıncı versiyaları – son dərəcə inkişaf etmiş sistemlərdir.
MatLAB mühitində sistem ilə əlaqə matlab.exe proqramını işə buraxandan sonra ekranda görünən pəncərələrin (Window) vasitəsi ilə həyata keçirilir.
13
Matlab sisteminin əsas pəncərələri
Kitabda əsasən şəkildə göstərilən üç pəncərədən istifadə edilmişdir:
1.Command Window- əmrlər pəncərəsi; 2. Workspace- işçi sahə; 3. Command History- əmrlərin tarixi. 1. Command Window pəncərəsi. Bu pəncərə əsas
pəncərə olub onun köməyi ilə riyazi ifadələr və əmrlər daxil edilir, hesablamaların nəticələri alınır, habelə sistemin göndərdiyi məlumatlar təqdim olunur.
Daxiletmə sətri >> işarəsi ilə nişanlanmışdır. Əmrlər pəncərəsində klaviaturadan daxil olunan ədədlər, dəyişənlər, həm də hesablamaların nəticələri göstərilir. Dəyişənlərin adları hərflə başlamalıdır. = işarəsi mənimsətmə operatoruna uyğundur. Enter klavişininin basılması sistemi ifadəni
hesablamağa və nəticəni göstərməyə məcbur edir. Məsələn, daxiletmə sətrində klaviaturadan >> a=2+3 daxil etsək və Enter klavişini bassaq, ekranda
hesablamanın nəticəsi görünəcək: a =5. Hər hansı ədədi və ya simvolu dəyişmək (düzəliş etmək)
istəsək heç nə alənmayacaq. Bu MatLABın xarakterik (bəlkə də çatışmayan) xüsusiyyətidir. Düzəliş etmək üçün ↑ və ↓ klavişlərindən istifadə olunur. Bu klavişlər əvvəldə daxil olunmuş bütün ifadələri vərəqləməyə (yuxarı və aşağıya doğru) imkan verir. Lazımi sətirdə dayanaraq düzəliş edilir. Daxil edilən ifadənin davamını növbəti sətrə keçirmək üçün üç nöqtödən ” . . . ” istifadə olunur.
Əmirlər pəncərəsini təmizləmək (silmək) üçün clc əmrindən istifadə edilir. Lakin bu zaman əvvəlki simvollar, əmirlər, açılmış fayıllar və nəticələr yadda saxlanılır. Bu
pəncərəni bağlamaq üçün sağ küncdə yerləşən düyməsini basmaq lazımdır.
14
2. Workspace pəncərəsi. İş prosesində müxtəlif tipli dəyişənlərdən istifadə olunur.Yaradılmlş dəyişənlər və cari seans ərzində hesablanmış cavablar kompyüterin yaddaşının xüsusi ayrılmış sahəsində yadda saxlanılır. Dəyişənlərin qiymətlərinin çap etmək və ya qrafikini qurmaq olar.Məsələn, əmirlər pəncərəsinə [t,x1] və ya plot(t,x1) yazmaqla qiymətləri çap etrmək və ya qrafikini qurmaq olar.
who ямри иля бу анда системин ишчи сащясиня дахил олан бцтцн дяйишянлярин сийащысыны чыхармаг олар. Системин ишчи сащясинин истянилян дяйишянинин гиймятиня бахмаг цчцн щямин дяйишянин адыны йыьмаг вя бундан сонра Enter клавишини
басмаг кифайятдир. MатLAB системи иля иш сеансы гуртардыгдан сонра яввял
File / Save Workspace As … менйусунун ямрини йериня йетирмяк лазымдыр. Файлын адынын эенишлянмяси mat олур, она эюря дя беля файллары МАТ-файлар адландырмаг гябул олунмушдур. Бу файллары ишя салмаг цчцн
File / Load Workspace … менйусунун ямрини йериня йетирмяк лазымдыр. 3.Command History pəncərəsi.Əmirlər pəncərəsinə yazılan bütün ifadələr avtomatik olaraq yadda saxlanılır və Command History pəncərəsinə çıxarılır. Bu siyahının xeyri nədir? Əgər haçansa yerinə yetirilmiş əmri təkrar etmək tələb olunarsa, onu siyahıda tapıb iki dəfə sol klik etməklə yenidən yerinə yetirmək olar. Və ya bu pəncərədə olan ifadələri tək-tək və ya qrup şəkilndə fərqləndirib (əvvəlki şəkildə x=2+3 sətri) sol klikin köməyi ilə əmirlər pəncərəsinə gətirməklə təkrarlamaq olar. Command History pəncərəsinin tərkibi
sistemdən çıxdıqda , hətta kompyüteri söndürdükdə belə itmir.Siyahını yalnız menyünün köməyi ilə silmək (pozmaq olar). Digər pəncərələri ekrana gətirmək üşün View (вид, ru.)menyusindən istifadə edilir.
15
1.2. Matlab sisteminin baş menyusi Menyuların köməyi ilə MatLABın ən ümumi funksiyaları yerinə yetirilir.Əvvəldə göstərilmiş şəkildəki Matlab 7.6.0(R2008a) versiyasında menyu 7 maddədən ibarıtdir:
1. File- fayıllarla işləmə. 2. Edit -redaksiya etmə. 3.View-pəncərələrin idarə olunması. 4.Web-işi görən firma ilə İnternet vasitəsi ilə əlaqə. 5. Desktop-pəncərələrin ekranda yerləşdirilməsi 6. Window- pəncərələr ilə əlaqə. 7. Help- Matlabun məlumat sistimi ilə əlaqə.
1.3. Matlab sisteminin ümumi strukturu
Ümumi təyyinatlı hesablama alqoritmlərinin reallaşdıran nüvədən başqa MATLABda müxtəlif praktiki məsələləri həll etmək üçün onlarla Toolboxlar (xüsusi altproqramlar kitabxanası) realizə olunmuşdur. Məsələn, SYMBOLİC toolbox - simvolik hesablamaları, Toolbox CONTROL isə avtomatik idarəetmə sistemlərini modelləşdirmək və hesablamaq üçün nəzərdə tutulub.
MATLAB paketi ilə yanaşı dinamik sistemləri vizual-bloklu-imitasiya modelləşdirilməsini yerinə yetirən SİMULİNK nəzərdə tutulmuşdur.Bu paketi işə buraxmaq üçün əvvəlki şəkildə göstərilmiş düyməni basmaq və ya əmirlər pəncərəsində >>simulink əmrini daxil etmək lazımdır.
1.4. Həqiqi ədədlər və double tipli ədədlərin təqdim olunma formatı MatLABda ədədlərin təqdim olunma diapazonu:10-308-
Mühəndis praktikasında məntiqi əməliyyatlardan iqtisadiyyatda, idarəetmə sistemlərində, ümumiyyətlə insan fəaliyyətinin bir-çox sahələrində geniş istifadə olunur. Matlabda aşağıdakı elementar məntiqi operatorların yerinə yeturilməsi nəzərdə tutulub:
inversiya (inkar) –YOX;
konyuksiya (məntiqi vurma) – VƏ;
dezyunksiya (məntiqi cəmləmə) -VƏ YA;
VƏ YA-nın kənar edilməsi (исключение ИЛИ). Operatorların yazilma qaydaları aşağıda göstərilmişdir. Funksiya Adı not YOX and VƏ or VƏ YA xor Və ya-nın kənarlaşdırılması xor əməliyyatı belə işləyir: operandlar müxtəlifdirsə- 1,
eynidirsə- 0. xor-un inkarı ekvivalensiya (adətən ∼ simvolu ilə işarə olunur) adlanır.
22
Göstərilən elementar məntiqi əməliyyatlar Simulink paketində də mövcuddur.
Daha mürəkkəb əməliyyallar yxarıda adı çəkilən elementar əməliyyatların kombinasiyasından təşkil olunur. Əməliyyatların yerinə yetrilmə ardıcıllığı aşağıdakı kimidir:
1. konyuksiya (məntiqi vurma) – AND; 2. dezyunksiya (məntiqi cəmləmə) –OR ; 3. inversiya (inkar) –NOT əməliyyatı ardıcıllığa görə aparılır.
Məntiqi əməliyyatları iki x1 və x2 operantları üçün cədvəl şəklində göstərək.
1. NOT- inkar: y= x . Bu əməliyyatında yalnız bir operant
iştirak etdiyindən inkar unar əməliyyatdır (cədvəl 1.1). Cədvəl 1.1
x xy
0 1
1 0
2. AND-məntiqi vurma y=x1 x2, (&, ).Bu əməliyyatda iki operand iştirak etdiyindən məntiqi vurma əməliyyatı binar əməliyyatdır (cədvəl 1.2).
Cədvəl 1.2
x1 x2 y=x1x2
0 0 0
0 1 0
1 0 0
1 1 1
3.NAND-and-ın inkarı: ANDy və ya .21 xxy
Cədvəl 1.3
x1 x2 y
0 0 1
0 1 1
23
4. OR- məntiqi cəmləmə : y=x1+x2, (|, V). Doğruluq
Qeyd etmək vacibdir ki, giriş x1, x2,... dəyişənlərinin sayı 2-dən böyük ola bilər.
Çalışmalar - 1.1
Aşağıdakı məntiqi əməliyyatları proqlaşdırma yolu ilə yerinə yetirin.
1. V=x∙y+z 2. V= zyx 3. zxyV
4. V= zyx 5. V= zyx 6. V= ,zyx
7.V=x+y+z, 8.V= ,zyx 9.V=
,zyx
10.V= ,zyx 11.V= ,zyx 12.
,zxyxV 13. .zyxxV 14.V= .zxyx 15.
V= .zzyx
1.8. Say sistemləri. Bit əməliyyatlarını yerinə yetirən
funksiyalar Burada rəqəm texnikasında istifadə olunan müxtəlif say
sistemlərinin biri-birinə şevrilməsi qaydalarına baxacağıq.Mühəndis praktikasında adıtən 2,8,10,16-lıq say sistemlərindən istifadə olunur.
27
Bit və bayt (1 bayt=8 bit) rəqəm informasiyasının ölçü vavidi olub ikilik say sistemin (rəqəm kodu) təşkil edən 1 və ya 0 deməkdir. Buradan, hər-bir bit bir mərtəbədir (разряд).Məsələn, 10010 -5 mərtəbəli, 0010 isə4 mərtəbəli ədəddir. Onluq say sistemində təklik (0,1,2,...,9)-1 mərtəbəli, onluq ədədlər (10-99) -2 mərtəbəli və s. Məsələn, 6324-4 mərtəbəli ədəddir. Sadə dildə desək,mərtəbə ədədi təşkil edən rəqəmlərin sayına bərabərdir.
Daha böyük ülçü vahidləri: 1kilobayt=103bayt, 1meqabayt=106 bayt, 1giqabayt=109 bayt, 1petabayt=1012bayt və s.
1. İkilik say sistemindən onluq say sisteminə keçid (2→10).Bu keçidin əsasında onluq ədədin aşağıdakı təsviri dayanır:
,... 011
21
10 papapapaA nn
nn (1.1)
Burada a0...an – nn aaaaA 110 ... ədədini təşkil edən 0-9
qədər rəqəmlər; p- say sisteminin əsası (adətən, p=2,8,10,və ya 16), n- A ədədinin mərtəbəsidir (A=14526 olarsa n=5).
Çevirmə bilavasitə (1.1) düsturunun əsasında aparılır.Bu halda p=2.
Misal 1.3. 1100101012 ədədini onluq say sisteminə şevirək. Bu halda n=9 olduğundan, yazmaq olar:
2.1. Funksiyanın qiymətinin hesablanması və cədvəlləşdirilməsi Hər hansı funksiyanın qiymətini hesablamaq üçün əvvəlcə arqumentin qiymətlərinin daxil etmək (generasiya etmək) lazımdır. Bu əməliyyatı müxtəlif üsullarla etmək olar. Arqumentin qiymətləri xi diskret olduğundad funksiyanın bu nöqtələrdə hesablanmış qiymətləri də diskret şəkildə yi(xi) olur. Qrafiki təsvirdə nöqtələr kəsilməz (‘-‘) və ya stildən asılı olaraq qırıq-qırıq (‘--‘) (və ya başqa) düz xətlə birləşdirilirlər.Lazım gələrsə diskretləşdirmə nöqtələrini qeyd etmək olar, məsələn‘°’ dairəciklər ilə.Funksiyanın qrafikini originala yaxınlaşma dəqiqliyini artırmaq üçün arqumentin dx diskretləşdirmə addımını kiçiltmək lazımdır. Misal 2.1. y=ex funksiyasının [0;1] intervalında sabit h=0,2 addımla və x=[0, 0.5, 1, 2, 5] qiymətləri üçün qiymətlərini hesablayıb cədvəlləşdirək.
34
Eyni zamanda bir-neçə funksiyanı cədvəlləşdırmək mümkündür. Fərz edək ki, y1=ex, y2=x2, y3=sin(x).
Cədvəlin tronsponə (sətirlərlə sütunların yerinin dəyişdırilməsi) edilməsi.
2.1.1. Massivin elementlərinin cəminin və hasilinin hesablanması
y2=sin(5x) funksiyalarının qrafiklərini bir pəncərədə quraq (şək.2.2). Misal 2.5.
Şəkil 2.2
Düyün nöqtələri düz xəttlərlə birləşdirilmişdir. Dəqiqliyi artırmaq üçün x arqumentinin dx=0.2 diskretləşdirmə addımını kiçiltmək lazımdır. Yeni qrafiki yeni pəncərədə qurmaq üçün plot əmrindən əvəl figure(2) əmrini daxil etmək lazımdır: >>figure(2); plot(x,y); İki qrafiki bir pəncərədə qurmaq üçün hold on əmrindən istifadə olunur (şəkil 2.3):
40
Şəkil 2.3 Analoji nəticəni plot(x,y,x,z) əmrinin köməyi ilə də almaq olar. 2. Qrafiki qurulan funksiyaya məhdudiyyət verilməsi. Bəzi hallrda qrafiki qurulan funksiya x arqumentinin müəyyən qiymətlərində olduqca böyük qiymət alır. Məsələn, ikinci tərtib kəsilmə baş verir. Şkala bu qivmətə uyğunlaşdığından funksiya lazımi tərzdə vizuallaşa bilmir. Funksiyanı məhdudlaşdırsaq bu çatəşmamazlığı aradan qaldırmaq olar. Lazım olarsa arqumentin qrafikə çıxarılan qiymətini də (absis oxunu) məhdudlaşdırmaq olar. Aşağıda Matlab proqramının teksti göstərilmişdir:
Funksiyanın məhdudlaşdırılması tg(x) qrafikinin normal vizuallaşdırılmasına səbəb oldu. Koordinat oxlaının miqyasının dəyişdirilməsi: axis([xmin, xmax, ymin, ymax]). 3.Parçada verilmiş funksiyaların qrafiki. Üç hissədən ibarət olan funksiyanın qrafikini quraq:
.2,sin
;,
;2,sin
)(
3
xx
xx
xx
xy (2.1)
Əvvəlcə hər üç budağı, yəni üç cüt (x1,y1),(x2,y2) və (x3,y3) massivlərini hesablamaq lazımdır. Sonra absisləri x, fuksiyaları isə y vektorunda birləşdirib, (x,y) cütünün xarakterizə etdiyi əyrinin qrafiki qurulur. Misal 2.7.
42
Şəkil 2.6-da (2.1) ifadısinə uyğun gələn parçada verilmiş (və ya hissə-hissə) y(x) funksiyasının qrafiki göstərilmişdir.
Şəkil 2.6 Şəkil 2.7
4.Parametrik şəkildə verilmiş funksiyanın qrafiki. Bu tip funksiya aşağıdakı şəkildə verilir:
).()(),()( 21 ttyttx (2.2)
y=f(x) aslılığının qrafikini qurmaq tələb olunur.t parametrini birinci tənlikdən tapıb (əgər bu mümkündürsə) ikincidə yerinə yazsaq y=f(x) funksiyasının analitik ifadəsini ala bilərik. Lakin Matlabda qrafik qurmaq üçün daha konstruktiv üsul məvcuddur. Əvvəlcə t arqumentinin (parametr, burada zaman) qiymətlər vektoru generasiya olunur. Sonra x(t) və y(t) funksiyaları hesablanır. Məhz bu vektorlar plot -un arqumentləri rolunda çıxış edirlər. Misal 2.8. Fərz edək,ki x(t)=0.5sin(t), y(t)=0.7cos(t),
Şəkil 2.7-də (2.2) formasında verilmiş funksiyanın qrafiki göstərilmişdir. 5. Eyni zamanda bir-neçə qrafiki pencərənin açılması. Bu əməliyyat müxtələf qrafiklərin yığcam şəkildə vizuallaşdırılması məqsədi üçün nəzərdə tutulmuşdur. Bu məqsədlə pəncərələri matris şəklində yerləşdirməyə imkan verən üç parametrli subplot(i,j,n) əmrindən istifadə olunur.Burada i,j-pəncərələrin vertikal və horizontal üzrə sayı (matrisin sətir və sütunlarin sayı), n-cari çap olunacaq qrafikin nömrəsədir. Hər bir subplot(i,j,n) ünvanından sonra vizuallaşdırma əmrini yazmaq lazımdır (məsələn, plot(.) və ya ezplot(.),...) Misal 2.9. Sadə misala baxaq.1)
Şəkil 2.8 Şəkil 2.9
44
2)
6. Qrafiklərin müxtəlif pəncərələrdə qurulması. Müxtəlif avtonom qrafiki pəncərələr açmaq üçün figure əmrindən istifadə olunur. Misal 2.10. y=5sin(2x)e-0.3x, z=10cos(12x0.4) funksiyalarının qrafiklərini müxtəlif pəncərələrdə quraq.
Şəkil 2.10
7. Simvolik şəkildə verilmiş fuksiyanın qrafiki. Qrafik ezplot(.) funksiyasının köməyi ilə qurulur:
ezplot(f) -f(x) funksiyasının qrafikini x [2pi,-2pi] intervalında qurur;
ezplot(f,xmin,xmax) -f(x) funksiyasının qrafikini verilmiş x [xmin,xmax] intervalında qurur;
Misal 2.11. f=sin(x) funksiyasının qrafiki.
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10-3
-2
-1
0
1
2
3
4
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10-10
-8
-6
-4
-2
0
2
4
6
8
10
45
Şəkil 2.11-də müvafiq qrafik göstərilmişdir.
Şəkil 2.11 Şəkil 2.12
Misal 2.12. -3<x<3, 3<y<-3 intervalında x2-y2-1=0 parabolasının qrafiki.
2.2.2.Üçölçülü qrafiklərin qurulması Fəza qrafiki plot3(.) funksiyasının köməyi ilə qurulur. Misal 2.13. 1)
2.2.3. İşıqlandırılmış səthin qurulması Fərz edək ki, səth işığı əks etdirən və udan materialdan hazırlanmışdır.Bundan başqa, işıq mənbəyinin yerini dəyişmək
0
10
20
30
40
-1
-0.5
0
0.5
1-1
-0.5
0
0.5
1
-4
-2
0
2
4
-4
-2
0
2
4-6
-4
-2
0
2
4
47
mümkündür.Bu iki imkan qrafikin döndərilməsi ilə birlikdə səthi lazımi bucaq altında işıqlandırmağa və təbii görkəm almağa imkan berir.İşıqlandırılmış səthi qurmaq üçün surfl funksiyasından istifadə olunur. Arqumentlərin ]1,0[],1,1[ yx intervalında
)1()1()5.1cos(2sin4),( 2 yyxyxyxz
ifadısi ilə verilmiş işıqlanmış səthi quraq. surfl funksiyasından istifadə etdikdə rəng politrasını copperç,bone,gray,pink funksiyaları ilə vermək əlverişlidir. Bu halda işığın intensivliyi xətti dəyişir.Rəvan dəyişən kölgə almaq üçüçn shading interp –dən istifadə etmək olar. Matlabda relizasiya. Misal 2.14.
Şəkil 2.15
2.2.4. Qrafiklər ailəsinin qurulması.Dövr operatopu
-1
-0.5
0
0.5
1
0
0.5
1-1
-0.5
0
0.5
1
xy
z
48
Fərz edək ki, parametrdən asılı olan funksiyanı parametrlərin müxtəlif qiymətlərində və dəyişənin verilmiş intervalında hesablamaq tələb olunur.Belə funksiya y=f(a,x) şəklində verilə bilər. Bu məqsədlə for (üçün) dövr operatorundan istifadə olunur:
for a=amin:∆a:amax
Matlab əmirləri end
Misal 2.15. y(a,x)=e-axsin(x) funksiyasının parametrin ]1.0,1.0[a qiymətləri üçün dəyişənin ]2,0[ x
1. Elementar funksiyalar. 2. Xüsusi funksiyalar. 3. İstifadəcinin funksiyaları. Funksiyaların siyahısını göstərək və onların hesablama qaydalarına baxaq.
3.1. Elementar funksiyalar
Riyazi funksiyalar fun(x) şəklində təsvir olunur.fun-funksiyanın adı, x- arqumentidir (ədəd və ya matris).Bəzi elementar funksiyalarin hesablanma texhologiyasına baxaq. Əsas elementar funksiyaların siyahısı Əlavə 1-də verilmişdir.
3.1.1. Cəbri və arifmetrik funksiyalar 1. abs(x)- x-in mütləq qiyməti. Aşağıdakı ədəd və matrislerin mütləq qiymətlərini tapaq: x1=(-3, 5); x2=(2, 3, 2+3i, i);
.
52
321
32
3
ix
Misal 3.1.
50
2.exp(x)- eksponensial funksiya. x-həqiqi ədəd olarsa ex hesablanr.Əgər x=a+ib kompleks kəmiyyət olarsa kompleks eksponenta
dicbibee ax )sin(cos hesablanır.
Aşağıdakı arqumentlər üçüşn ex hesablayaq: x1=(1 2 3 4 5); x2=(2.5+7i -1 1);
.
25.05.0
52.13
1.01
3
ii
i
x
Arqumentləri bir matris şəklində birləşdirmək üçün x1, x2, x3 sətirləri eyni götürülmüşdür.
Misal 3.2.
51
3.log(x), log10(x), log2(x) - loqarifmik funksiyaları ədədlərin əsası e, 10,və 2 olan loqarifmlərini hesablayır.
Arqument x müsbət, mənfi və kompleks ola bilər.Əgər x=a+ib kompleks kəmiyyətdirsə, onda kompleks loqarifm adlanan loqarifm hesablanır:
).,(2))(log()log( baanatixabsx
Həqiqi a və b ədədləri üçün z=atan2(a,b) a,b vektorları arasında bucaqdır: ].,[
Misal 3.3.
52
3.1.2. Hiperbolik funksiyalar
Bunlar eksponensial funksiyalarla ifadə olunurlar:
.1
2)(,
1
2)(,
1
1)(
,1
1)(,
2)(,
2)(
222
2
2
2
x
x
x
x
x
x
x
xxxxx
e
excsh
e
exsch
e
excth
e
exth
eexch
eexsh
Müvafiq Matlb funksiyaları (bax, Əlavə 1):
Əvvəldə olduğu kimi arqument x həqiqi, kompleks ədəd, vektor və ya matris ola bilər. Misal 3.4.
Həddlərin hesablanması riyazi analizin vacib sahəsini təşkil edir. h ədədi f(x) funksiyasının a nöqtəsində o zaman həddi adlanir ki, x dəyişəni a nöqtəsinə yaxınlaşdıqda (x→a) f(x) funksiyası h-a hədsiz yaxınlaşsın. Bu proses aşağıdakı kimi işarə olunur:
.)(lim hxfax
Elə funksiyalar mövcuddur ki, (məsələn, a nöqtəsində kəsilən) onların x=a nöqtəsinin özündə həddi yoxdur (yəni, ± ∞ (inf) ola bilər).Lakin soldan x→a-0 və sağdan x→a+0 yaxınlaşmada həddi mövcuddur.Burada sıfır çox kiçik kəmiyyət kimi başa düşülür. Birinci halda deyirlər ki, hədd a nöqtəsindən solda, ikinci halda isə-sağda mövcuddur. Məsələn f(x)=tg(x)
funksiyasının )90(2/ ax nöqtəsində limiti yoxdur. Sol və
sağ həddlər bərabər olarsa, onda x=a nöqtəsində hədd mövcuddur.
54
Kompyüter cəbrinin əməliyyatları 0/0, 0/∞, ∞/0, ∞/∞tipli qeyri-müəyyənliklərir halında belə funksiyanın həddini tapmağa imkan verir. Matlabda həddlər limit(.)funksiyasının kəməyi ilə hesablanır. Sintaksis limit(f,x,a): -f-həddi təyin olunan funksiya; -x-arqument; -a-x-in hədd qiymətidir. limit(f,x,a,’left’)-soldan yaxınlaşma həddi; limit(f,x,a,’right’)-sağdan yaxınlaşma həddi.
Misal 4.1.
x
x
x
)sin(lim
0tapaq.
Misal 4.2.
n
n n
x
)1lim təyin etməli.
Cavab f∞=ex artan eksponentadır. Şəkil 4.1-də ilkin funksiyanın n=10, n=100 qiymətlərində və hədd funksiyalarının qrafikləri göstərilmişdir.
55
Şəkil 4.1
Göründüyü kimi, n artdıqca ilkin funksiyanın qrafiki özünün hədd əyrisinə yaxınlaşır. Misal 4.3. y=tg(x) funksiyasının pi/2 (90o) nöqtəsində sol və sağ hədd qiymətlərini tapaq.
4.2. Funksiyanın sıraya ayrılması
Mürəkkəb funksiyalarin aproksimasiyası (yaxınlaşma)
məsələlərində bu funksiyların tədqiqat və hesablama baxımından daha sadə olan sıraya ayrılması vacib yer tutur. Bundan başqa, qeyri-xətti funksiyanı xəttiləşdirdikdə onu sıraya ayırıb xətti hissəni götürürlər.
4.2.1. Teylor sırası y=f(x) funksiyasını üstlü sıraya ayırmaq üçün Teylor
sırasından istifadə olunur:
56
.)(!
)(....)(
!
)(
...)(!2
)()(
!1
)()()(
0
)()(
2
n
n
nn
n
axn
afax
n
af
axaf
axaf
afxf
Burada a- kiçik ətrafında sıraya ayırmanın yerinə yetirildiyi x=a nöqtəsidir.
)(),...,(),(),( )( afafafaf n funksiya və onun törəmələrinin
x=a nöqtəsindəki qiymətidir (sıranın əmsalları). Aydındır ki, əmsalları hesablaya bilmık üçün f(x) funksiyasının x=a nöqtəsində (kiçik ətrafında) n-də daxil olmaqla bütün tırtib törəmətəri mövcud olmalıdır. x=a olarsa sıra Makleron sırası adlanır:
....!
)0(...
!2
)0(
!1
)0()0()(
)(2
n
n
xn
fx
fx
ffxf
Matlab sistemində funksiyanın Teylor sırasına ayrılması
taylor(f,x,x0,n) funksiyasının köməyi ilə həyata keçirilir. Burada: f - sıraya ayrılan funksiya; x- arqunent;
x0=a - kiçik ətrafında sıraya ayırmanın yerinə yetirildiyi nöqtə; n-həddlərin sayı. Misal 4.4. y=ex, y=sin(x) funksiyalarını x=0 nöqtəsinin ətrafında Teylor sırasına ayırıb n=5 həddini ğötürün.
x=0 nöqtəsində f=sin(x) funksiyasının cüt tərtibli törəmələri sıfra bərabər olduğundan proqram yalnız iki hədd vermişdir.
57
Misal 4.5.x
xfsin54
1)(
funksiyasını x0=2 nöqtəsinin
ətrafında sıraya ayırıb n=5 həddini götürməli. Alinmış funksiyanın qrafikini qurub ilkin f(x) funksiyasının qrafiki ilə müqayisə etməli.
Şəkil 4.2.
Görundüyü kimi, n=5 üçün orta x=1 nöqtəsinin [1;3] ətrafında aproksimasiya (yaxınlaşma) kifayyət qədər dəq aparılmışdır.
4.2.2. Sıranın cəminin hesablanması
Riyazi analizdə bir-şox hallarda arqumentin tam x=k qiymətlərində sıranın cəmini hesablamaq lazım gəlir:
.)(
b
ak
kfF
Arqumentin yuxarı hədd qiymətindən asılı olaraq cəm sonlu b<∞ və ya sonsuz b=∞ cəm adlanır.
1 1.2 1.4 1.6 1.8 2 2.2 2.4 2.6 2.8 3
0.11
0.12
0.13
0.14
0.15
0.16
0.17
0.18
0.19
0.2
0.21
x
Teylor aproksim. ve ilkin funksiya
Funksiya
Teylor
58
Bu tip cəmi analitik (simvol) hesablamaq ücün symsum əmrindən istifadə olunur:
symsum(f)- verilmiş dəyişənə nəzərən sonsuz sıranın cəminin ifadəsini verir;
symsum(f,x)- sonsuz cəmin x dəyişəninə görə ifadəsini verirr;
symsum(f,a,b) və symsum(f,k,a,b)- a-dan b-yə qədər sonlu cəmin qiymətini verir.
Aşağıda cəmin hesablanmasına aid misallar verilmişdir.
Misal 4.5.
1
4
1
k ks sırasının cəmini hesablayaq.
Misal 4.6. Funksiya .!
1
0
k k
s Matlabda faktorial
)1!0(,...21! kk sym(.!) əmri ilə yerinə yetirilir.
Cavab e1=e. Misal 4.7.
59
Matlabda Psi() funksiyası .)(
/)()(
хГ
dxxdГxPsi Burada Г(x)-
qamma funksiyadır.
Misal 4.8. Elə hallar mümkündür ki, toplanan həddlər təkcə k indeksindən deyil, hər-hansı simvol, məsələn, x dəyişənindən də asılı olur. sin(x) funksiyasının siraya ayrılışı:
.)!12(
)1(12
0
k
xs
k
k
k
Bu cəmi hesablayaq.
60
Gözlənildiyi kimi, cəm ilkin sin(x) funksiyasına bərabər olmuşdur. 4.2.3. Furye sırası
Furye sırasının əsas üstünlüyü ondan ibarətdir ki, o kəsiən və qeyri-hamar funksiyaları hamar funksiyalar ilə yüksək dəqiqliklə aproksimasiya (yaxınlaşma) etməyə imkan verir. Kəsilən funksiyaya misal olaraq düzbucaqlı inpulslar ardıcıllığını, qeyri-hamar funksiyaya isə üçbucaqlı impulslar ardıcıllığını göstərmək olar.
Furye sırası dövrü (periodik) siqnallara tətbiq olunur. Belə siqnalların
qiymətləri T periodundan bir təkrar olunur: ),kTt(x)t(x ...,2,1,0k
Periodik funksiyalara misal olaraq ),tsin( ),tcos(
düzbucaqlı və mişarvari impulslar ardıcıllığını göstərmək olar. Birinci iki siqnalın periodu T=2π/ω, s. ω, rad/s – dövrü sürətdir (əslində bucaq sürəti).
Periodik olmayan siqnallara furye sırasını T→ həddinə keçməklə tətbiq etmək mümkündür. Bu halda Furye sırası Furye inteqralına çevrilir. Bu inteqral Furye çevirməsi adlanır. Furye sırasını tətbiq edə bilmək üçün x(t) siqnalı aşağıdakı Dirixle şərtlərini ödəməlidir:
a) ikinci tərtib (sonsuzluğa gedən) sıçrayışlar olmalı deyil.
b) birinci tərtib (sonlu) sıçrayışların sayı məhduddur. c) ekstremumların sayı məhduddur.
61
Bazis funksiyalarından asılı olaraq müxtəlif formalı Furye sıralarından
istifadə olunur. 1.1.Sinus-cosinus forması:
.))tksin(b)tkcos(a(2
a)t(x
1k
nn0
F
(4.1)
Burada T/2 - dövri tezlik, T – perioddur.
İfadə (4.1)-ə daxil olan əmsallar aşağıdakı düstürların köməyi ilə hesablanır:
,dt)tkcos()t(xT
2a
t
Tt
k
...,2,1k (4.2)
t
Tt
k ,dt)tksin()t(xT
2b
T
Tt
0 .dt)t(xT
2a
Əgər )t(x siqnalı t,Tt intervalında tək funksiya olarsa
,0a,0a k0 cüt funksiya olduqda isə ...).,2,1k(0bk
1.2. Həqiqi forma:
1k
kk0
F )tkcos(A2
a)t(x . (4.3)
1.3.Kompleks forma. Bu forma (4.3) ifadəsində Eyler düsturundan isitifadə edərək
)ee(2
1xcos jxjx
əvəzləməsini etməklə alınır:
tjk
k
kF eCtx
)( , (4.4)
t
Tt
tjkk dte)t(x
T
1C . (4.5)
62
Misal 4.5. Şəkil 4.2-də göstərilən düzbucaqlı impulslar ardıcıllığını
.2t
,t0
eger
eger
a
a)t(x
Furye sırasına ayıraq.
Şəkil 4.2
Bu halda period .s/rad1.,s2T
Sıranın əmsallarını təyin edək. )(tx tək funksiya olduğundan
...).,2,1k(0a,0a k0 Düstur (4.2)-də Tt qəbul etsək
alarıq:
0
2
k 1)kcos(k
a2dt)ktsin(adt)ktsin(a
2
2b
.tek
,cut
k
k
eger
eger
k
a40
)1(1k
a2 k
Beləliklə, baxılan impulslar ardıcıllığı üçün Furye sırası yalnız sinusun tək harmonikalarının sonsuz cəmindən ibarətdir:
..)t5sin(
5
1)t3sin(
3
1)tsin(
a4)t(xF .
x
T
0
a
-a
t
63
Şəkil 4.3-də 5,3,1k,1a halında ilkin )t(x siqnalının və
Bu inteqrallar yuxarı sərhəddən (burada z) asılı olan acilmayan inteqrallar sinfinə aiddir. İnteqral sinusu
dxx
xzSi
z
0
)sin()(
hesablamaq üçün sinint(z) funksiyasından istifadə olunur. Misal 5a. z=1, z=3+3i hallarına baxaq.
İnteqral cosinusun aşağıdakı ifadə ilə təyin olunur:
.|)arg(|,1)cos(
)ln()(
0
zdxx
xzzCi
z
...5772.0 Eyler sabiti.
Misal 5.3. z=1, z=pi /4, z=2+3i.
67
5.3. Qamma-funksiya Qamma-funksiyanın əsas yazılış formalarından biri:
.)( 1
0
dttenГ nt
Bu inteqral parametrdən asılı olan inteqraldır. Tam n parametri üçün aşağıdakı münasibətlər doğrudur:
)()1(
)!1()(
;1)2()1(
nnГnГ
nnГ
ГГ
Ümimi halda:
!2
1)1
2
1(
;22
1
;2
1
nnГ
Г
Г
Ümimi halda n mənfi, müsbət, tam, kəsir və kompleks ədəd şəklində ola bilər. Lakin Matlabda n yalnız həqiqi müsbət ədəd ola bilər.
68
Sintaksis: gamma (n), n-həqiqi müsbət ədəddir. Misal 5.4. n=[0, 1, 2, 6, -3, 4.2] vektoru üçün qamma-fuksiyasını hesablayaq.
Göründüyü kimi, n=0 və n=-3 qiymətlərində proqram qamma-funksiyanı hesablaya bilməyir- qiyməti inf-sonsuzluq alınır. Qamma-funksiyanın )!1()( nnГ xassəsəndən istifadə
edərək faktorialı hesablamaq olar.Məsələn, 5! tapmaq tələb olunarsa n=6 götürmək lazımdır.
Natamam qamma-funksiya:
.)(
1),( 1
0
dttenГ
nxP nx
t
Matlab funksiyası:gammainc(x,n). Misal 5.5.
Burada NaN qeyri-müəyyənlik deməkdir.
Mühəndis praktikasında ),(
/),(),(
nхP
dxnхdPnxPsi
funksiyasından da istifadə olunur: psi(x,n).
69
5.4. Betta-funksiya Betta-funksiya birinci cins Eyler inteqralı da adlanır.Bu
funksiya çoxlu sayda inteqral təqdimatlarına malikdir. Bunlardan əsası aşağıdakı ikiparametrik inteqral təşkil edir:
.)1(),( 11
0
1 dtttyxB yx
Burada x, y- sabit parametrlər, t isə [0;1] intervalında dəyişən inteqrallama dəyişənidir. Praktiki hesablamalarda adətən betta-funksiyanı qamma-funksiyanın vasitəsi ilə hesablayırlar:
.)(
)()(),(
yxГ
yГxГyxB
Matlab sistemində bu funksiyanın hesablanmasinın bir-neşə variantı mövcuddur. O cümlədən: -beta (x,y) -betaln(x,y). Birinci halda x,y>0. İkinci halda betta-funksiyanın natural loqarifmi hesablanır. Misal 5.6. Parametrlərin x=2, y=4 qiymətlərində betta-funksiyanın qiymətini hesablayaq.
70
5.5. Üstlü inteqral funksiyası
Çoxlu sayda üstlü inteqral funksiyaları mövcuddur. Matlada bunlardan biri reallaşdırılmışdır:
.)( dtt
exE
x
t
Burada inteqralın aşağı sərhəddi x ədəd, vektor, matris, həqiqi və ya xəyali ədədlər ola bilər. Matlabda bu funksiya expint(x) kimi təqdin olunur. Arqument x ədəd,vektor, matris, mənfi, müsbət və ya kompleks kəmiyyət ola bilər . Misal 5.7.
5.6. Lejandr funksiyası
Lejandr funksiyası aşağıdakı şəkildədir:
.)(
)1()1()( 2
mn
mmmm
ndx
xPdxxP
71
Burada
.)1(
!2
1)(
2
n
n
nndx
xd
nxP
Matlabda bu funksiya legendre(n,x) əmrinin köməyi ilə hesablanır. Burada n-256 ədədini aşmayan tam ədəd, n<=256; x-arqumenti -1<x<1 intervalında dəyişən həqiqi ədəddir. x ədəd və ya vektor ola bilər. legendre(n,x) əmri x-in hər bir qiyməti üçün n+1 ölşülü massiv formalaşdırır. Misal 5.8.
5.7. Bessel funksiyası
Bessel funksiyası Bessel tənliyi adlanan aşağıdakı dəyişən əmsallı iki tərtibli xətti bircins diferensial tənliyin həllidir:
.0)()()()( 22
2
22 xynx
dx
xdyx
dx
xydx
Burada n-mənfi olmayan sabitdir, 0n .
Aydındır ki, həll y(x,n) y-in əmsalına təsir edən n-dən asılıdır. Bu tip tənliyin həlli n-in tam qiymətində elementar funksiyalar ilə ifadə oluna bilmədiyindən bu hal üçün Bessel
72
tərəfindən bir-neçə həll düsturu təklif edilmişdir: 1. Birinci cins n- tərtibli Bessel fuksiyası. Bu halda həll sonsuz sıra şəklində axtarılır.Nəticədə həllin aşağıdakı ifadəsi alinır:
3.Birinci və ikinci cins Bessel funksiyalarının kombinasiyasından ibarət olan üçüncü cins Bessel funksiyası da mövcuddur. Matlabda Bessel funksiyaları aşağıdakı əmirlərin köməyi ilə hesablanır:
-besselj(n,x); -bessely(n,x).
Misal 5.9. n=0,1,2,3 qiymətləri üçün birinci cins Bessel J0, J1, J2, J3 funksiyalarının qrafikinı quraq.Bu məqsədlə for...end dövr operatorundan istifadə edəcəyik.
73
Şəkil 5.4-də müvafiq qrafiklər göstərilmişdir.
Şəkil 5.4. Şəkil 5.5.
İkinci cins Bessel Y0, Y1, Y2, Y3 funksiyasının hesablayaq.
Şəkil 5.5-də ikinci cins Bessel funksiyalarının qrafikləri göstərilmişdir. Arqunentin x=0 qiymətində Y(n,x)=-inf. Bu səbəbdən qrafikləri bir pəncərədə göstərə bilmək üçüçn amplitudlar Ylim([-2 2]) əmrinin köməyi ilə məhdudladırılmışdır. Bessel tənliyi Laplas və Helmqols tənliklərini silindrik koordinatlarda tapdıqda meydana çıxır. Bessel funksiyalarından dalğaların yayılması, statik potensiallar, nazik dairəvi membranın rəqslərinin forması və digər məsələlərin həlli zamanı istifadı olunur.
74
FƏSİL 6 VEKTOR VƏ MATRİS CƏBRİ __________________________________________________
6.1. Bektor və matris anlayışı Biz elementləri həqiqi ədədlər olan ədədi ədədi vektor və matrisləri öyrənəcəyik. Vektor ədədlərdən ibarət olan sütun (vektor-sütun) və ya sətir (vektor-sətir) şəklində verilə bilər. Biz vektoru vektor-sütun şəklində qəbul edəcəyik:
,2
1
na
a
a
a
)....(,)...( 2121 nTT
n aaaaaaaa
T- transponə əməliyyatı (sütunlarla sətirlərin yerinin dəyişdirilməsi), n- vektorun ölçüsüdür (elementlərinin sayı). Məsələn,
.)132(,
1
3
2Taa
bax T yazılışı vektor-sətrin vektor-sütuna vurulması
deməkdir. Vektor sütuna n sətir və 1 sütuna malik olan n×1ölçülü matris kimi baxmaq olar.
Matris. Həqiqi aij ədədlərindən ibarət olan düzbucaqlı cədvəl ədədi matris adlanır:
75
.453
102;,1;,1],[
21
22221
11211
Amjnia
aaa
aaa
aaa
A ij
nmnn
m
m
Məsələn,
.3,1;2,1,453
102
jiA
aij ədədləri matrisin elementləri adlanır. i və j indeksləri aij elementinin i-ci sətrin və j-cu sütunun kəsişməsində yerləşməsini göstərir. Başqa sözlə, i sətrin , j isə sütunun nömrəsidir. Məsələn, a23 elementi 2-ci sətir ilə 3-cü sütunun kəsişməsində yerləşir. Matrisin ölçüsü n × m kimi göstərilir.
6.2. Vektor və matrisin daxil edilməsi Vektor və matrislər Matlabın əmirlər pəncərəsindən daxil
edilir.Vektor-sütun aşağıdakı rimi daxil edilir. Sütunun elementləri ; ilə ayrılırlar.
Birölçülü massivlərin generasiyası:
a) sabit addım dx=const, interval maxmin xxx .
76
b) müxtəlif intervallarda müxtəlif addimlar.
Bütün intervallarda elementlərin sayı eyni olmalıdır! Matris sətir-sətir ardıcıl olaraq daxil edilir. Şətirlər ; ilə
ayrılır.
6.3. Matrislərin əsas növləri Mühəndis hesablamalarında daha tez-tez istifadə olunan matrislər aşağıdakılardır.
1. Düzbucaqlı matris, n≠m.
.6.453
8.102
A
Burada A matrisi 2×3 ölçülü matrisdir. 2. Kvadratik matris , n=m.
.0.56.3
4.00.2
A
Bu halda n=2, m=2 . Matrisin ölçüsü 2×2.Və ya sadəcə demək
77
olar ki, kvadratik matrisin ölçüsü 2-jə bərabərdir. 3.Transponə olunmuş matris, AT-sütunlarla sətirlərinin
yerləri dəyişdirilmiş matris.Bu əməliyyat nəticəsində aij=aji olur. İkinci bənddəki A matrisi üçün
.0.54.0
6.30.2
TA
Matlabda vektorun və matrisin transponə əməliyyatı A
simvolunun köməyi ilə yerinə yetirilir.Ümumiyyətlə ştrix simvolu kompleks qoşma A* matrisi xarakterizə edir. Həqiqi matrislər üçün AT=A*.
4. Qoşma matris A*-ümumi halda matrisin elementləri
içərisində kompleks ədədlər olarsa bu matrisi transponə edib kompleks ədədlərin yerinə onların qoşmasını yazmaq lazımdır. Həqiqi ədədlərin qoşması özünə bırabər olduğundan elementləri həqiqi ədədlər olan matrislər (həqiqi matrislər) üçün A*=AT.Məsələn,
0.54.0
106.30.2 iA
78
olarsa
0.5106.3
4.00.2
iA .
5. Unitar matris- A*A=AA*=İ şərtinin ödəyən kompleks (elementləri kompleks ədədlərdir) A matrisi. 6.Ortoqonal matris- həqiqi (elementləri həqiqi ədədlərdir) unitar matris. Həqiqi matris üçün A*=AT olduğundan ortoqonal matris üçün AT A=AAT=İ münasibəti ödənilir.
)cos()sin(
)sin()cos(
tt
ttA
matrisinin ortoqonal olmasını göstərək.
7. Üçbucaq matris-elementləri i>j üçün aij=0 şərtinin ödəyən matris sağ və ya yuxarı üçbucaq matris adlanır.
79
.
600
310
542
A
i<j üçün aij=0 şərti ödənilərsə matris sol və ya aşağı üçbucaq matris adlanır.
8.Simmetrik matris-kbadratik matrisin (n=m) elementləri diaqonala nəzərən simmetrik olan matris.Başqa sözlə diaqonaldan kənar elementləri üçün aij=aji, i≠j. Simmetrik matris üçün AT=A.
.
635
310
502
A
Simmetriklik çəp diaqonala nəzərən ödənilərsə belə matris çəpsimmetrik matris adlanır.
80
9. Diaqonal matris- diaqonaldan kənar elementləri sıfra bərabər olan matris. A=diag(a11 a22... ann) işarə olunur.
.
600
010
002
A
Matlab funksiyası: A=diag([a11; a22; ...; ann]).
Baş diaqonaldan kənarda olan diaqonalı doldurmaq üçün lki arqumentli diag(d, k) funksiyası nəzərdə tutulub. k kənar diaqonalın baş liaqonaldan nə qədər sağda (yuxarıda), -k isə solda (aşağıda) yerləşməsini təyin edir.
10.Vahid matris-diaqonal elementləri vahidə bərabər olan diaqonal matris. İ ilə işarə olunur.
.
00
10
01
,
100
010
001
II
81
Matlab funksiyası: İ=eye(n,m).
11. Sıfır matris- bütün elementləri sıfra bəraər olan matris.
.000
000
A
Matlab funksiyası: A=zeros(n,m).
12. Seyrək matris- kifayyət qədər çoxlu sıfırları olan matris.
.
006
010
000
A
Matlabda seyrək matrisdə sıfırdan fərqli elementlərin yerləşmə sxemini və sayını təyin etmək üçün spy(A) funksiyasından istifadə olunur (Şəkil 6.1).
0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4
0
0.5
1
1.5
2
2.5
3
3.5
4
nz = 2
82
Şəkil 6.1 Şəkildən göründüyü kimi, elementlərdən biri a22 (-1), digəri isə a31 (6) yerləşir. Sıfra bərabərolmayan elementlərin sayı şəklin altında göstərilmişdir nz=2.
16.Tərs matris- skalyardan fərqli olaraq matrislər üçün
bölmə əməliyyatı olmadığında n tırs matrisə vurma
əməliyyatından istifadə olunur.A matrisinin tərsi A-1və ya inv(A) kimi işarə olunur:
.||
)(1
A
AadjA
adj(A)- birləşdirilmiş matris adlanır:
.
...
...
...
)(
21
22221
11211T
nnnn
n
n
AAA
AAA
AAA
Aadj
Burada Aik matrisi aik elementinin cəbri tamamlayıcısıdır:
.)1( ikki
ik MA
Mik- aik elementinin minorudur (i sətrini və k sütununu pozduqdan sonra alınan matrisin təyinedicisi). Məsələn,
215
072
134
A
matrisinin a21=2 elementinin minoru
,721
1321
M
cəbri tamamlayıcısı isə A21=(-1)2+17=-7. Aşağıda Matlabda tərs matrisin alınmasının iki üsulu
83
göstərilmişdir.
17. Cırlaşan (məxsusi) matris- təyinedicisi (determinanantı) |A|=0 bərabər olan matris.Matlabda matrisin determinantını tapmaq üçün det(A) funksiysından istifadə olunur.
6.4. Vektor və matrislər üzərində riyazi əməliyyatlar Векторлар вя матрисляр цзяриндя практики олараг ядядляр
>> V2=[-2 3 1 5]; >> V=V1+V2 V = -1 5 5 12 >> V=V1-V2 V = 3 -1 3 2 >> V=V1.*V2 V = -2 6 4 35 >> V=V1.^2 V = 1 4 16 49 >> V=V1./V2 V = -0.5000 0.6667 4.0000 1.4000 >> V=V1.\V2 V = -2.0000 1.5000 0.2500 0.7143
Əməliyyatların əsas xassələri:
1. Cəmləmə əməliyyatı Vektor və matrislərin cəmi üçün aşağıdakı xassələr doğrudur:
a) A+B=B+A - komutativlik; b) A+(B+C)+(A+B)+C - asosiativlik; c) A+0=0 . 1) vektor və matrislərin cəmləmə əməliyyatı elementlərin
uyğun cəmlənməsindən ibarət olduğundan cəmlənən vektor və ya matrislərin ölcüləri eyni olmalıdır.
A+B=[aij]+[bij]=[cij]. 2. Vurma əməliyyatı Vektor və matrislərin hasili üçün aşağıdakı xassələr doğrudur: a) İ×A=A – vahid matrisə soldan vurma;
88
b) A(BC)=(AB)C; c) (A+B)C=AC+BC; d) C(A+B)=CA+CB; İki matrisin hasili ümumi halda komutativ deyil: AB≠BA. Bu
səbəbdən matris əməliyyatlarında soldan və sağdan vurma anlayışları mövcuddur.
Misal. AB və BA hasillərini hesablayaq:
.01
00,
00
10
BA
Həll:
.00
01
00001000
01001100
01
00.
00
10
AB
.10
00
00110001
00100000
00
10.
01
00
BA
Göründüyü kimi, nəticə eyni deyil.
89
2) vektor sətri vektor-sütuna vurma nəticəsində skalyar
(ədəd) alınır:
.22112
1
21 nn
n
nT bababa
b
b
b
aaabac
ab olarsa .... 222
21 naaac
3) vektor sütunu vektor-sətrə vurma nəticəsində matris
alınır:
.
...
...
...
21
22212
12111
212
1
nnnn
n
n
n
n
T
bababa
bababa
bababa
bbb
a
a
a
abc
90
4) matrislər üzərində vurma əməliyyatı apardıqda birinci A
matrisinin sütunlarının sayı m ikinci B matrisinin sətirlərinin n sayına bərabər olmalıdır, yəni m=n ödənilməlidir. N×m ölçülü manrisi m ölçülü matrisə vurduqda n ölçülü matris alınır.
5) matrislər üzərində vurma əməliyyatı apardıqda birinci A matrisinin hər-bir ai sətri ikinci B matrisinin hər-bir bj sütununa vurulur.Yəni 2-ci bəndə olduğu kimi vektor sətrin vektor sütuna vurulması baş verir. Nəticədə alınmış ədəd cij i-ci sətir ilə j-cu sütünun kəsişməsinə yazılır.
8) vektor- sütunu matrisə vurulma əməliyyatı təyin olumayıb ! 9) kvadratik matrisin özünün tərsi ilə hasili vahid matris verir.
10) matrisin sütünlar üzrə cəmlənməsi-s1=sum(A,1) .
11) matrisin sətirlər üzrə cəmlənməsi-s2=sum(A,2).
Vurma funksiyası prod(.) (vurma) da eyni qaydada işləyir.
92
6.5. Matrisin əsas göstəriciləri
1. Kvadratik matrisin determinantı, |A| və ya det(A).
Determinantın hesablanmasının sadə üsllarından biri onun hər-hansı bir sətrin və ya sütunun (sıfır elementləri çox olan) elementlərinin cəbri tamamlayıcılarına görə parçalayıb hər iterasiyada tərtibinin azaldılmasidır. Əvvəldə göstərildiyi kimi, aik elementinin cəbri tamamlayıcısı:
.)1( ikki
ik MA
Mik- aik elementinin minorudur (i sətrini və k sütununu pozduqdan sonra alınan matrisin təyinedicisi). Məsələn,
215
072
134
A
matrisinin a21=2 elementinin minoru
,721
1321
M
cəbri tamamlayıcısı isə A21=(-1)2+17=-7. Parçalama teoreminə əsasən yazmaq olar:
nkAaAaA ki
n
i
ki
n
i
ikik ,...,2,1,det11
Aik –larin tərtibı 2-dən böyük olarsa onlara da ardıcıl olaraq yuxarıdıkı parçalanmanı tətbiq edərək hər-dəfə (iterasiyada) tərtibi 1 vahid azaltmaq olar. Misal 6.1. Fərz edək ki, 3×3 (n=3) matris verilmişdir:
93
.
5877
2440
1244
3036
A
Bu matrisin determinantını ikinci sütunun elementlərinə parçalamaqla hesablayaq. Bu halda i=1,2,3,4, k=2.Onda parçalama teoreminı əsasən:
Beləliklə
.7443
042
421
603
7
785
421
603
4
785
042
603
4
785
042
421
3det 42322212 MMMMA
Determinantlar (yəni Mik minorları) 3 ölçülü olduğundan və hesablanması cətinlik törətdiyindın onların ölçüsünü 1 vahid də azaldaq.Bu məqsədlə onları birinci sətirlərin elementlərinə nəzərən parçalayaq:
,1628281678
041)1(
75
022)1(
85
424)1( 312111
12 M
94
,60842478
043)1(
75
020)1(
85
426)1( 312111
22 M
M32=66, M42=48. Alınmış nəticələri det(A) ifadəsində yerinə yazsaq alarıq:det(A)=-216. Determinantın hesablanmasının ümumi və konstruktiv üsulu inversiya üsuludur. Bu üsula ısasən
nnnn
n
n
aaa
aaa
aaa
A
21
22221
11211
matrisinin determinantı aşağıdakı ifadənin köməyi ilə hesablanır:
.,...,2,1,...)1(det||21 21
21
22221
11211
njaaa
aaa
aaa
iaa
Anni
j
n
ii
nnnn
n
n
Burada 1-dən n-ə qədər olan niii ...21 ardıcıllığın
inversiya ədədidir. n sayda ədədlərin yerdəyişmələrinin sayı n! bərabərdir.Məsələn, n=3 olarsa .6321! n İnversiya ədədi
əvvəlki ədədlərin sonrakı ədədlərin neçəsindən böyük olmasını göstərir.Məsələn, 123;231;312;321;132;213 yerdıyişmələrinin inversiya ədədləri uyğun olaraq ).1;1;3;2;2;0(
Determinantın yuxarıdakı ifadəsinin sağ tərəfi hər-biri n sayda elementlərin hasilindən ibarət olan n! sayda cəmdən ibarətdir. Bütün cəmlərdəki elementlərin birinci indeksləri
1,2,...,n ədədlərindən ibarətdir. İkinci indeksləri isə niii ...21
95
(yəni 12...n) ədədlərinin yerdəyişmələrindən ibarətdir.Cəmdə ardıcıl olmaya da bilər.
Misal 6.2. Matris
.
231
420
321
A
.26080124123303142202
3412)2(1)1()1(
)1()1()1()1()det(
3122133
3221132
312312
2332112
1322311
1332211
0
aaaaaaaaa
aaaaaaaaaA
2. Manrisin ranqi- xətti aslı olmayan sətirlərinin və ya sütunlarının sayı.Başqa tərif: determinantı sıfra bərabər olmayan ən böyük minorun tərtibi- rank(A).
Bu halda birinci üç vektor üçün
0
0
0
1
8
3
1
3
2
1
2
1
321 ccc
münasibətini ödəyən ci-lər mövcud olduğundan (vektorların əttilik xassəsi) A matrisinin birinci üç sütunu xətti asılıdır. Doğrudan da bu tənliklər sistemini vektor şəkildə deyil, koordinat formasında yazsaq alariq:
96
.0
,0832
,032
321
321
321
ccc
ccc
ccc
Həll: c1=c2 +c3, c2=-2c3. Bu səbəbdən sistemin sonsuz həlli mövcuddur. Onlardan buru: c1=1, c2=2, c3=-1.
Sonuncu sütun isə bunların istənilən biri ilə xətti asılı olmadığından matrisin ranqı 2-yə bərabərdir:
Bu norma p göstəricisi ilə Helder norması adlanır.Helder normalarının ən geniş yayılmış formaları p=1, p=2, p=∞ qiymətləri üçün nəzərdə tutulmuşdur:
.max;;1
2/1
1
2
21
1 knk
n
k
k
n
k
k xxx
p=2 qiymətinə uyğun gələn norma evklid norması adlanır
və bəzi hallarda E
x kimi işarə olunur.
Matlabda realizasiya.
97
Matlabda xüsusi n=norm(x,p) funksiyası da
mövcuddur.Məsələn,
13. “Sehirli” kvadrat Bu matris n×n (n>=3) ölçülü kvadrat matris olub sətirləri, sütunları və baş diaqonal ellementlərinin cəmi biri-birinə bərabərdir. “Sehirli” matrisi qurmaq üçün magic(n) funksiyasından istifadə olunur. n- kvadrat matrisinin ölçüsüdür. Misal 6.7.
TÖRƏMƏ VƏ İNTEQRALLARIN HESABLANMASI __________________________________________
9.1. Törəmələrin analitik (simvollu) hesablanması
Ali riyaziyatdan məlum olduğu kimi f(x) funksiyasının x-a görə törəməsi arqumentin artımı sifra yaxınlaşdıqda funksiyanın ∆f(x) artımının arqumentin ∆x artımına olan nisbətinə deyilir:
.)(
lim)(
0 x
xf
dx
xdf
x
Burada )()()( xfxxfxf funksiyanın artımıdır.
Sadə bir misala baxaq. Fərz edək ki, f(x)=x2. Onda
>> diff (v,x) ans = -2*sin(2*x) 3*cos(3*x) -2*x*exp(-x^2) >> syms x n;
v=[cos(2*x) sin(3*x) exp(-x^2)];% Vektor sətir
>> diff (v,x) ans =[ -2*sin(2*x), 3*cos(3*x), -2*x*exp(-x^2)] Misal 9.4. f=sin(ax)funksiyasının a-ya görə törımısini tapaq.
113
Misal 9.5. Aşağıdakı matrisin törımısini tapaq:
.)cos()sin(
)sin()cos(
axax
axaxA
Xüsusi törəmənin hesablanması Bu halda iki arqument üçün f=z=φ(x,y). Sintaksis Dzdx=diff(z, x); Dzdy=diff(z, y);
Misal. Fərz edək ki, z=x2+y3. .3,2 2yy
zx
x
z
114
9.1.1. Parametrik şəkildə verilmiş funksiyanın törəməsi Funksiyalar bir-neçə formada verilə bilər: a) aşkar forma- y=f(x); y=sin(x) b) qeyri-aşkar forma-F(x,y)=0; x2+y2-1=0 c) parametrik forma
).(
),(
ty
tx
Məsələn, tsikloidanin tənliyi
).cos(1(
),sin((
tay
ttax
Sikloidanın qrafiki şəkil 9.1-də göstərilmişdir.
Şəkil 9.1. Şəkil 9.2
115
Burada t-dəyişənləri əlaqələndirən parametrdir. Məsələn, dinamik sistemlərdə-zaman. Parametrik funksiyanın dxdy / törəməsi:
Ali riyaziyyatdan məlum olduğu kimi, inteqral həndəsi olaraq f(x) funksiyası ilə absis oxu arasında qalan sahəni
117
təyyin edir. Sahəni ];[ bax intervalında eni h olan düzbucaqlılar ilə n-
hissəyə bölsık yazmaq olar:
)....( 121 nyyyhS
Bu cəm Darbu cəmi adlanır.h enini sıfra yaxınlarsaq sahə
S-in yaxınlaşdığı hədd inteqral adlanır və simvolu ilə işarə
olunur:
F(x)= .)(lim0
b
ah
dxxfS
İnteqrallama nəticəsində alınmış funksiyanın diferensialı dF(x)=f(x)dx və ya dF(x)=f(x)dx. Yəni inteqral ilə törəmə (diferensial) biri-birini qarışılıqlı ləğv edirlər. Müəyyən inteqralı açdıqdan sonra onun qiyməti Leybnis qaydasına əsasən belə tapılır:
).()()( aFbFdxxf
b
a
Matlab sistemi inteqralaltı ifadə analitik ifadə şəklində verildikdə qeyri-müəyyən və müəyyən inteqralları təqribi hesablama üsullarının köməyi ilə hesablamağa inkan verir. Müxtəlif ədədi inteqrallama üsulları mövcuddur. Bütün bu üsullarda hesablamalar kvadratura adlanan təqribi formulaların köməyi ilə aparılir.
1. Düzbucaqlılar üsulu. Bu halda toplanan cəmlər düzbucaqlılardan ibarət olur.Bir (k-ınıcı) düzbucaqlının sahəsi sk=hyk olduğundan, bütöv sahə üçün yazmaq olar:
.)...()(1
0
1210
n
k
kn
b
a
yhyyyyhdxxf
2. Trapesiyalar üsulu. Bu halda toplanan cəmlər
118
trapesiyalardan ibarətdir. Trapesiyanın sahəsi oturacaqlarının cəmi ilə (yk+yk+1) hündürlüyü (h) hasilinin yarısına bərabər olduğundan , yazmaq olar:
.22
)2
...2
()(1
1
0121
0
n
k
nk
nn
b
a
yy
yh
yyyy
yhdxxf
3. Simpson (parabolalar) üsulu. Bu halda kvadratur düsturu aşağıdakı çəkildıdir:
Enter клавишини басдыгдан сонра ашаьыдакылары алырыг: 9 1.0000000000 1.08632000e+000 4.6656537473
11 1.0000000000 5.43160000e-001 1.1622085119
13 1.5431600000 5.43160000e-001 3.5034427411
15 2.0863200000 1.82736000e+000 50.2932898724
17 2.0863200000 9.13680000e-001 14.4288633682
19 2.0863200000 4.56840000e-001 5.5025466418
122
21 2.5431600000 4.56840000e-001 8.9263135654
23 3.0000000000 9.13680000e-001 35.8637210072
25 3.0000000000 4.56840000e-001 14.0377607484
27 3.4568400000 4.56840000e-001 21.8259514564
29 3.9136800000 1.08632000e+000 112.5833495495
31 3.9136800000 5.43160000e-001 42.0161253700
33 4.4568400000 5.43160000e-001 70.5671433686
35 4.4568400000 2.71580000e-001 30.7364454709
37 4.7284200000 2.71580000e-001 39.8306970791
ans =167.5415
9.3.1. Parametrdən asılı olan inteqralların
hesablanması Bu tip inteqral aşağıdakı kimi verilir:
b
a
dxpxfpI .),()(
Burada p hər hansı bir fiziki məna kəsb edən parametrdir. Məsələn, zaman t. Parametrin hər bir qiymətində inteqral yenidən hesablanır. Əgər p bir qiymət deyil, verilmiş intervalda qiymətlər alarsa, onda uyğun qrafik:
Şəkil 9.4
quad və quad8 funksiyaları parametrdən asılı olan
inteqralları hesablamağa imkan verir. Misal 9.14. İki paramtrdən asılı olan inteqralı p1=22.5, p2=-
123
5.9 qiymətlərində hesablayaq:
.))sin(( 22
1
1
1 dxxpxpI
Həll:
9.3.2. Yuxarı həddi dəyişən olan inteqrallar Bu tip inteqrallar aşağıdakı şəkildə verilir:
y
dxxfyI
0
.)()(
İnteqralın qiyməti yuxarı sərhəd qiymətindən asılı oiduğundan onu y-in hər-bir qiyməti üçün hesablayıb cıdvəlləşdirmək və ya İ(y) qrafikini qurmaq olar.
Məsələn,
yx dxxxeyI
0
.)cos()(sin()(
Belə inteqralı hesablamaq üşün iki M-fayl-funksiya yazmaq lazımdır:
мишдир. Щялли: >> syms x a b; >> y=x/(1+x^2); >> int(y, a, b) ans =1/2*log(1+b^2)-1/2*log(1+a^2) Мисал 9.20. Тутаг ки,
b
a
2dx
dxс
x
интегралыны щесабламаг лазымдыр.
127
Бу о щалда интегралалты ифадя аналитик шякилдя верилмишдир, интеграллама сярщядляри ися символ дяйишянляри шяклиндядир. Бу интегралларын щесабланмасынын даща цмуми щалыдыр.
Щялл ашаьыдакы шякилдядир:
>> syms x a b c d; >> y=x/(c+d*x^2); >> int(y, a, b) ans =1/2*(log(c+d*b^2)-log(c+d*a^2))/d
Мисал 9.21.
5
1
2dx
x1
x интегралы щесабламалы.
Щялли:
>> syms x; >> y=x/(1+x^2); >> int(y, 1, 7) ans =log(5) Щялли ади формада алмаг цчцн ъаваб сятрини активляшдирмяк
вя Enter клавишини басмаг кифайятдир. Ашаьыдакы ъаваб
алынаъаг: ans =1.6094 Çoxdəfəli inteqrallama. Bu halda ən sadə üsul əvvəlki
cavabı yenidən inteqrallamaqdır. Misal 9.22. Aşağıdakı inteqralı hesablayaq:
.1 2
dxx
xI
int(.) əmrini n dəfə təkrar etsək sadə proqram qurmaq olar. Həll:
128
Növbəti misal 3-qat inteqralın hesablanmasına aiddir:
ADI DİFERENSİAL TƏNLİKLƏRİN HƏLLİ __________________________________________________
10.1. Dinamik sistemlərin diferensial tənliklərlə
yazılışı
Dinamik obyektlərin koordinatları zamana görə dəyişdiyindən onların modellərinə giriş və çıxış dəyişənlərinin sürəti, təcili və s., yəni zamana görə birinci, ikinci və daha yüksək tərtibli törəmələri daxil olur. Axtarılan funksiya, yəni məchulun törəmələrinin daxil olduğu tənlik diferensial tənlik adlanır.
Diferensial tənliklər ingilis alimi İsaak Nyuton (16421727)
tərəfindən ixtira olunmuşdur. O, deyirdi: təbiətin qanunları
diferensial tənliklərlə ifadə olunmalıdır. Məchul bir dəyişənli funksiya )t(y olarsa, diferensial tənlik
adi ndiferensial tənlik, çoxdəyişənli funksiya )t,,x,x(y 21
olduqda isə xüsusi törəməli və ya paylanmış parametrli diferensial tənlik adlanır. Aşağıda uyğun tənliklər göstərilmişdir:
);,()(
tyfdt
tdy ).,,(
),(),(txyf
t
txy
x
txy
Naməlum (məchul) )t(y və ya )t,x(y funksiyaları bu
tənliklərin həlli nəticəsində tapılır. Biz adi diferensial tənlikləri öyrənəcəyik.
)(...1
1
1 tfyadt
yda
dt
ydnn
n
n
n
xətti dif. tənliyin həlli iki toplanandan ibarətdir: sıfra bərabər
131
olmayan başlanğıc şərtlərin təsiri altında yaranan sərbəst hərəkət ys(t); xarici qüvvənin təsirindən yaranan məcburi hərəkət ym(t):
).()()( tytyty ms
10.2. Diferensial tənliyin həlli
Diferensial tənliyin həlli nə deməkdir? Sadəlik üçün birinci tərtib diferensial tənliyə baxaq:
)t,x(fdt
dx . (10.9)
Tərif 1. )t(x funksiyası o zaman (10.9) tənliyinin həlli
adlanır ki, o bu tənliyi ödəsin. Başqa sözlə, )t(x ifadəsini
tənlikdə yerinə yazdıqda eynilik alınmalıdır. Bu xüsusiyyət istənilən (cəbri, triqonometrik və s.) tənlik üçün də öz qüvvəsini saxlayır.
Ümumi həll inteqrallama sabiti С -dən asılı olur: )C,t(x .
Koşi məsələsində )t(x -nin başlanğıc qiyməti 00 x)t(x adətən
zamanın 0tt başlanğıc anında verildiyindən inteqrallama
sabiti 0x -dan asılı olaraq tapılır. Bu halda xüsusi həll )x,t(x 0
şəklində olur. Tərif 2. )t(x həlli başlanğıc şərti ödəyir. Yəni )t(x
ifadəsində 0tt yazdıqda 00 x)t(x olmalıdır. Bu o deməkdir
ki, həll düzgün tapılıbsa, o )x,t( 00 nöqtəsindən başlamalıdır.
Ümumi həll. n sayda iC inteqrallama sabitlərindən asılı
olan həll ümumi həll adlanır:
)C,,C,С,t(y)t(y n21 . (10.17)
Bu ifadə inteqral əyriləri ailəsinin tənliyidir. iC -lərin
qiymətlər çoxluğu sonsuz olduğundan belə əyrilərin sayı da sonsuzdur.
İnteqrallama sabitlərini təyin etmək üçün n sayda əlavə
132
şərtlər verilməlidir. Koşi məsələsində bu şərtlərin hamısı
zamanın başlanğıc 0tt (bir çox hallarda 0t0 ) anında verilir
və başlanğıc şərtlər adlanır:
00 y)t(y , 1
00 y)t(y , 2
00 y)t(y ,, 1n
00
)1n( y)t(y .
Əgər (10.17) ümumi həlli məlumdursa, Koşi məsələsində
iC inteqrallama sabitlərini aşağıdakı cəbri tənliklər sisteminin
İndi (10.17) ümumi həllini aşağıdakı konkret şəkildə yazmaq olar:
)y,,y,y,t(y)t(y 1n
0
1
0
0
0
.
Xüsusi həll. Konkret başlanğıc şərtlərdən asılı olan həll xüsusi həll adlanır. Bu həll inteqral əyriləri ailəsindən yalnız başlanğıc şərtləri ödəyən birinin tənliyidir.
Çoxnöqtəli sərhəd məsələsində n sayda sətirlər
zamanın }t,,t,t{t m21 anlarında verilir. Maraqlı cəhət odur
ki, Koşi məsələsindən fərqli olaraq, n sətrin hamısı eyni tərtib
)t(y )kn( törəməyə aid ola bilər, n,,1k . Bu halda nm
olmalıdır. Məsələn, ikitərtibli tənlik üçün ( 2n ) iki sayda sətri
0y)0(y , 1y)1(y ( 2k ) şəklində vermək mümkündür.
Aşağıda bir tərtibli Tdy/dt+y=k tənliyin ümumi və xüsusi həllinin Matlab proqramı göstərilmişdir.
133
Misal 10.2. Obyektin tənliyi:
)tsin(dt
yd2
2
, 1y)t(y 00 , 5.0y)t(y 100 ,
4t0
s.
Bu tənliyi zamana görə iki dəfə inteqrallasaq )t(y həllini
alarıq:
11
t
0
C)tcos(Cdt)tsin()t(y .
212
t
0
1
t
0
CtC)tsin(CdtCdt)tcos()t(y .
İnteqrallama sabitlərini təyin edək. Bu halda (10.18) tənliklər sistemi:
.5.0C4
cosCtC)tsin(
,1C4
C4
sin
1'
4t
21
21
Buradan
134
.87.14
C4
sin1C
,207.0)12(2
1
2
1
2
25.0
4cosC
1
i
2
i
1
10.2.1. Xətti diferensial tənliklər sisteminin analitik həlli
Arqumenti dinamik sistemlərin yazılışında olduğu kimi t (zaman) deyil x qəbul etcək xətti tənliyi aşağıdakı şəkildə yazmaq olar:
.)(),( 00 yxyxBAydx
dy
Burada y=(y1, y2,...,yn)T; ;),...,,( 21
Tm A,B-n×n və
n×m ölçülü matrislərdir. Xətti diferensial tənliklər sisteminin analitik həlli mövcuddur
və Koşi düsturu ilə təyin olunur:
.)()(
0
0 )(0
)( dBueyexy
x
x
xAxxA
Burada eAx- matris eksponentası və ya keçid matrisi adlanır x=x-x0.
Bircins tənlik üçün xarici qüvvə u=0 olduğundan həll sadələşir:
.)( 0)( 0 yexy
xxA
Misal 10.3. Obyektin тянлийи
21 yy , u 22 y2y , x0=1, y(1)=0, y(1)=2; u=0.
Бурада
20
10
А ,
1
0B
.
xAe тапмаг цчцн mühəndis praktikasında
])[( 11 AsILeAx ifadəsindən isifadə edirlər:
135
2s0
1s
20
10
s0
0ss
AIR .
т11 )(det
1)(s R
RAIR
2s
10
)2s(s
1
s
1
s0
12s
)2s(s
1
.
R матриси R матрисинин ъябри тамамлайаъагдыр. Лаплас чевирмяси ъядвяиндян истифадя едяряк, тапырыг:
)1(2
)1(2
2
211
0
)1(5.01
0
150 1][
x
xA
e
e
e
)e(.Le
x
xx
R .
Həll
)1(2
)1(2
2
1
2
1
2
)1(
)1(
)1(
)(
)(
x
xA
e
e
y
ye
xy
xy x .
Şəkil 10.7-də y(x) və y(x) həllərinin qrafiki göstərilmişdir.
Şəkil 10.7. Həllərin qrafiki
136
10.3 . Matlab mühitində adi diferensial tənliklərin və tənliklər sisteminin həlli
MatLAB системи нятиъяляри ъядвял вя график шякилдя тясвир
етмякля диференсиал тянликляри вя диференсиал тянликляр системини ədədi щялл етмяйя имкан верир. Bundan başqa ahalitik (simvol) həll texnologiyaları da mövcuddur ki, bu halda həllin ifadəsi (düsturu) alınır.
10.3.1. Simvol (analitik) həlli Bu halda diferensial tənliyin həllinin analitik ifadəsi alınır.
Bu məqsədlə MATLABda dsolve funksiyasından istifadə olunur. Analitik həlli olmayan tənliklərin həllində təqribilik ola bilər. Xətti diferensial tənliklərin dəqiq analitik həlli mövcud olduğundan bu tip tənliklərin simvolik həllində problem yaranmır. Inteqrallama sabitlərindən asılı olan ümumi həllin və verilmiş sərhəd şərtlərini ödəyən xüsusi həllərin alınması mümkündür.
Misallara müraciət edək. İşarələmələr:
yDy , yy2D ,, )k(yDky .
Qeyd edək ki, baxılan tənliklərdə arqument kimi t (zaman) götürülmüşdür. Sırf riyazi məsələlərdə isə adətən x qəbul olunur.Onda
.// dxdydtdy Həll texnologiyası isə dəyişmir.
1. 1yy 2 tənliyinin ümumi həllini tapın. Ümumi həldə
başlanğıc şərtlər verilmir.
2. 2y5y tənliyinin ümumi həllini tapın.
137
3. 1y5y tənliyinin 0)0(y , 0)0(y başlanğıc
şərtlərində xüsusi həllini tapın.
4. )t2cos(yy xətti tənliyinin 1)0(y , 0)0(y başlanğıc
şərtlərində xüsusi həllini tapın.
Burada simplify funksiyası simvol tipli ifadənin sadələşdirilməsi deməkdir.
5. )t(1y2y3y , 1)0(y , 2)0(y halında xətti
diferensial tənliyin həllini tapın.
6. 0y2yt2y)t1( 2 qeyri-stasionar xətti diferensial
tənliyin ümumi həllini tapın.
7. 1y4y3y 211 ,
138
212 y3y4y ,
xətti diferensial tənliklər sisteminin ümumi həllini tapın.
Həllin qrafikini qurmaq üçün )t,tezplot(y, f0 funksiyasından
istifadə etmək olar. Burada f0 t,t zamanın başlanğıc və son
anlarıdır. Məsələn, 0t0 , 20t f . Həll y və onun y
törəməsinin qrafiklərini bir yerdə almaq üçün onhold
funksiyasından istifadə olunur. Bu məqsədlə əvvəlcə )(diff
funksiyasının köməyi ilə həllin törəməsini almaq lazımdır: )y(diffdy .
Müvafiq misal aşağıda göstərilmişdir. Tənlik: 1y5y ,
0)0(y , 0)0(y .
y
139
10.3.2. Ədədi həll Bu üsullar ilkin analoq (fasiləsiz) diferensial tənliyin
zamana görə diskretləşdirilməsinə əsaslandığından həllin qiymətləri )tk(y , zamanın yalnız diskret tkt , ,2,1,0k
nöqtələrində hesablanır. Bu qiymətlər cədvəl və qrafiki təqdimatda verilə bilər. MATLABda adi diferensial tənliklər sistemini həll etmək üçün 23ode , 45ode , 113ode , 23ode ,
s15ode , s23ode , t23ode və tb23ode funksiyalarından istifadə
olunur. Бу функсийаларын адларынын щярфи щиссяси Ordinary
reallaşdırır. Addımın seçilməsi avtomatik yerinə yetirilir. Bu funksiyalar aşkar şəkildə verilmiş
)t,x,,x(fx n1ii , ,,1 ni
diferensial tənliklər sistemini həll edir. Bu səbəbdən ilkin diferensial tənliyin tərtibi n>1 olarsa onu tənliklər sisteminə (Koşi forması) gətirmək lazımdır. Sintaksis: [t,x]=ode(.)(’fun’,t0,tf,x0).
fun- dif. tənliyin fi(.) sağ tərəflələrindən ibarət olan M-fayl;
t0 arqumentin başlanğıc qiyməti;
tf - arqumentin son qiyməti;
x0 başlanğıc şərtlər vektorudur. Qeyd edək ki, arqumenti x, funksiyanı isə y ilə işarə etmək
olar. Həll texnologiyası aşağıdakı bəndlərdən ibarətdir: 1. M-faylda hər hansı bir ad altında, məsələn, fun və ya
sisdu, diferensial tənliklər sisteminin sag tərəfini yadda saxlamaq lazımdır. Bu ona görə edilir ki, hər iterasiyada tənliklər sisteminə müraciət oluna bilsin. Bu məqsədlə alətlər
140
panelində File/New/M-file düyməsinə klik etmək lazımdır.Açılan M-fayl pıncərəsinə yazmalı:
2. function F=sisdu(t,x)
))];(),...,1(());...(),...,1(([ 1 nxxfnxxfF n
3. Tənliklər sisteminin fi(.)sağ tərəflərini daxil etdikdən sonra File/Save düyməsinə klik edib F funksiyasını sisdu faylında yadda saxlamalı;
4. Növbəti mərhələdə MATLABın əmrlər pəncərəsində t0, tf, x0 və )(ode funksiyası daxil edilir:
>>t0=t0; tf=tf; x0=[x10 ,x20 ,…,xn0];
>>[t,x]=ode()(sisdu,t0,tf,x0); >>z=[x,y] % Çap etmək 5. Sonra Enter klavişini klik etmək lazımdır.
6. Həllin qrafikini əldə etmək üçün plot(t,x) bütün xi(t)-lər bir pəncərədə, ayrı-ayrılıqda isə plot(t,x(:,1)), plot(t,x(:,2)),...,plot(t,x(:,n)) funksiylarından istifadə etmək olar.
Misal 10.4. )(ode23 функсийасындан истифадя етмякля
,xyydx
dy x0=0, xf=1. 1)0(y
Коши мясялясини щялл етмяли. Алынмыш щяллин графикини гурмалы. Bu halda arqument .xt
>> plot(x,y) Şəkil 10.6-da M-fayl və həllin Matlab proqramı
göstərilmişdir.
143
Şəkil 10.6. Həllin qrafikləri
10.4. Diferensial tənliklərin yazılış formaları
1. Adi differensial tənlik. Axtarılan funksiya (məchul) bir dəyişəndən (burada t) asılıdır. Xətti halda:
)t(ub)t(yadt
)t(dya
dt
)t(yda 0212
2
0 .
144
y(t) – axtarılan funksiya (məchul), yəni həll; u(t) – məlum funksiya. Abstrakt riyaziyatta adətən arqument kimi x qəbul edirlər.Onda törəmə: dy/ dx. 2. Xüsusi törəməli differensial tənlik. Axtarılan funksiya iki və daha çox dəyişəndən x, t,…, asılıdır:
)t,x(ut
)t,x(y
x
)t,x(y2
2
.
y(x,t) – axtarılan funksiyadır (məchul), yəni həll. 3. Xətti differensial tənlik. Funksiya və onun törəmələrinə nəzərən xətti olan tənlik. Məsələn,
)t2cos(y3yty 2 .
4. Qeyri xətti differensial tənlik. Funksiya və onun törəmələrinə nəzərən qeyri xətti olan tənlik:
)t(uyeyy2y 2t .
,bu)t(ydt
)t(dy)1)t(y(
dt
)t(yd 2
2
2
bu)t(kydt
)t(dy 2
5. Qeyri stasionar xətti differensial tənlik. Bir və ya bir neçə parametri zamandan asılı olan tənlik:
)t(bu)t(y)t(adt
)t(dy)t(a
dt
)t(yd)t(a 212
2
0 ,
Məsələn, )t(buyedt
dy t .
6.Qeyri xətti və qeyri stasionar differensial tənlik:
ub)ysin()t(dt
yd02
2
,
buy)t2sin(ydt
dyt
dt
yd2
2
.
145
7. Bircins differensial tənlik. Sağ tərəfi sıfra bərabər olan tənlik. Obyektin sərbəst hərəkətini xarakterizə edir:
F(y,y, y)=0, y(0)=y0, y´(0)=y'0.
Məsələn, 0)t(yadt
)t(dya 10 , y(0)=y0.
8. Qeyri bircins differensial tənldik. Sağ tərəfi sıfra bərabər olmayan tənlik. Obyektin məcburi hərəkətini xarakterizə edir:
)(0212
2
0 txbyadt
dya
dt
yda .
9. Vəziyyət dəyişənlərində yazılmış tənlik. Normal Koşi forması. Bir tərtibli differensial tənliklərdən ibarət olan tənliklər sistemidir. Xətti halda:
11 x
dt
dx ,
ubxaxadt
dx02211
2 ,
10.Vektor şəklində yazılış forması:
DuCxyBuAxdt
dx , .
Çalışmalar -10.1
1. Aşağıdakı diferensial tənliklərin analitik (simvollu) həllini tapın.
1. 2t7dt
dy , 7.0)1(y
2. ycost5dt
dy 2 , 4/)0(y
3. t3eydt
dy , 2)0(y
146
4. 35y5dt
dy , 4)0(y
5. 8y5dt
dy7
dt
yd2
2
, 1)0(y , 2)0(y
6. t35y15dt
dy12
dt
yd2
2
, 0)0(y , 1)0(y
7. 0ydt
dy3
dt
yd2
2
8. yx ,
xy)1x(10y 2 , 1)0(x , 0)0(y .
2. Aşağıdakı diferensial tənliklərin ədədi həllini 23ode ,
45ode , 113ode , s15ode funksiyalarından birinin köməyi ilə
tapın. )t(y keçid prosesinin qrafikini qurun.
1. 0ydt
dy2
dt
yd2
2
, 1)0(y , 0)0(y
2. t
1y
dt
yd2
2
, 0)0(y , 5.0)0(y
3. 0y2dt
dyt2
dt
yd)t1(
2
22 , 1)0(y , 1)0(y
4. yxx ,
y3x2y , 2)0(x , 2.0)0(y
5. 35y5dt
dy , 4)0(y
6. t3eydt
dy , 2)0(y
7. t2 eyyty)y1( , 0)0(y , 0)0(y .
8. Aşağıdakı ikinöqtəli sadə sərhəd məsələlərini
0t0 , 10t f intervalında simvolik həll edib )t(y və )t(y
qrafiklərinin verilmiş nöqtələrdən keçməsini yoxlayın.
147
1. 1y5y , 0)0(y , 1)1(y .
2. 1y5y , 0)1(y , 0)1(y .
3. 0y4y2.0y , 1)0(y , 0)2(y .
Törəmənin )t(y qrafikini belə qurmaq olar. Həll y -i
aldıqdan sonra )y(diffdy funksiyasının köməyi ilə )t(y
törəməsini alıb )10,0,dy(ezplot funksiyasından istifadə etmək
lazımdır. 1. Aşağıdakı obyektlər üçün diferensial tənliklərin MATLABda simvolik həllini tapın və ezplot (y, t0,tf) funksiyasının köməyi ilə y(t) həllinin qrafiklərini qurun. 1.1. Koşi məsələsi.
1. tey2y .
Başlanğıc şərtlər verilməyib – ümumi həlli tapmaq lazımdır. 2. 0u,uy3y8.0y2
y(0)=2, y(0)=0 - sərbəst hərəkət.
3.
0u,uy4x3y
,y3x2x
x(1)=0, y(1)=6 – sərbəst hərəkət
4. 1u,utyy 2
y(0)=4 - sərbəst və məcburi hərəkətlər
5. )t6sin(u,uy2ytyt 2
y(0)=0, 0)0(y - məcburi hərəkət
6. 100,0yy)1y(y 2
y(0)=1, 0)0(y – sərbəst hərəkət
1.2. Sadə sərhəd msələsi
1. ).t(u,utyy 2
y(1)=0 2. ).t()t2cos(u),t2cos(yy
y(0)=1, 0)2(y - sərbəst və məcburi hərəkətlər
148
3. 0yy2y )4(
,1)5(y,0)3(y,2)1(y,1)0(y )3( - sərbəst hərəkət
4.
25.0u,8,u4xy)1x(y
,yx
2
x(0)=1, y(2)=0 - sərbəst və məcburi hərəkətlər ezplot (y, t0,tf) funksiyasının köməyi ilə y(t) və y (t)
qrafiklərini bir pəncərədə qurub bunların verilmiş nöqtələrdən keçməsini yoxlayın. 2. Aşağıdakı diferensial tənliklərin ədədi həllini ode45, ode23s və ya digər funksiyaların köməyi ilə tapın (§ 2.8). 1. y =2y+u, u=1, y(0)=1.
2.
.2)0(y,2)0(x,0u,uxy)1x(50y
,yx
2
3.
)t2cos(u,ux2x4x
tu,ux6x2x
22112
2
11211
x1(0)=0, x2(0)=1. 4. t2u,uy3y5.0y2
y(0)=1, 4)0(y .
5. )t2sin(eu,u2yty2y t2)4(
.0y,0)0(y,0)0(y,1)0(y )3(
6. uye2y4yt6ty5y t22)3()4(
.3/),t4sin(eeu t5t3
2.0)0(y,2/1)0(y)0(y,1)0(y )3( .
Qrafik pəncərədə subplot və plot funksiyalarının köməyi ilə x(t), y(t), x1(t), x2(t), y (t) qrafiklərini qurun.