7/31/2019 teme algad
1/12
7Et1E1 c A 5 A I, C IJRS IJL : IfL{]/!J)[)i + /5t,/2 + / Z O f IPHI
SEMINARUL 3 -APLICATII.
TEMA: SPATIUL EUCLIDIAN AL VECTORILOR LIBERI
I. Algebra vectoriala tara reper ortonormat
1.Se dau vectorii
a, b ~ie eu Ilall=l, Ilbll=2, Ilell=3, ~(a,b)= ~, ~(a, e)=:,~ (b,e)= ~.
Caleuleaza norma veetorului a + b - e.2.Caleuleaza unghiul dintre veetorii m ~i n ~tiind ea a . - L b, e . - L d unde:
a = m + n, b = 2 m - 3n, e = 3 m + n ~i d = -m + 3n .
3.Determina volumul paralelipipedului eonstruit pe suporturile reprezentantilorveetorilor:
IIITII=l, IIvll=2, Ilwll=3,~ (IT,v)=:, ~(IT,w)=~,
4. Calculeaza: (a, a + b, a + b + e).
. . (a x b) x (b x e) b5.Venfidi egahtatea: --_-_---- =
(axb, bxe, exa) (a,b, e)
~(v,w)= :.
1. Aratap. ea vectorii:
a=21+], b=-1+3k, e=-I+]-k,
pot eonstrui 0baza pentru 1'3' Serieti expresia analitica a vectorului V = 2 I + J + kin aceasta baza.
- - - - -- - --2. Se dau vectorii OA=-4i+12j+3k, OB=3i+12j-4k, OC=3i+2j-4k. Ariitati cii:
triunghiu1 OAB este isoscel ~i triunghiul AOC este dreptunghic. Determinati lungirnea iniiltimii
duse din A pe baza BC a triunghiului ABC.
3. Punctele A(4, -2, 2), B(3, 1, 1), C(4, 2, 0), D(l,O,O) sunt vfufurile unui tetraedru. Determinati
lungimea iniiltirnii tetraedrului DABC, duse din D pe baza ABC.
4. Se dau veetorii: a = AI + 4] + 6 k, b = 1+ A]+ 3k, e = AI+ 4 ].Determina A astfelindh cei trei vectori sa f ie coplanari.
7/31/2019 teme algad
2/12
7/31/2019 teme algad
3/12
Seminarul5. Aplicafii .
Tema: PLANUL ~I DREAPTA IN SPATIU:unghiuri ~i distante.SCHIMBARI DE REPERE IN PLAN ~I IN SPATIU
1.Sedau dreptele:
{
X-Y+Z-3=0 x-I y+l z+1
(d1): 2 2 5 0' (d2):-5 =-2-=-3- ~ipunctuIMo(-3,4,0).Secer:x+y- z+ = -
i) Ecuatia planului (n) determinat de Mo ~i(d2).
ii)Distanta de la Mo la (d2).
iii)Unghiul dintre (d1) ~i(d2).
iv)Ecuapile dreptei (d) care trece prin Mo ~i se sprijina pe (d1) ~i (d2).
2. Sa se afle simetricul punctului M(-I, 1,0) fata de planul (n) :x + y -3 z +5 = o .3. Se dau planele (nl): x+2y+4z-1=O,(1 t2 ): 2x+4y+8z-9=O,(1t3): 2x+y-z+l0=0~i (1 t4): x+y+z-2=O.Sa
se demonstrezedi:
i) (1tl)1I (1t2).ii) (1tl) ~i (1t3) sunt perpendiculare~i sa se determine ecuapile dreptei (d) de intersecfiea lor, precum ~i
masura e x a unghiului formatde planele (1tl) ~i(1 t4).
4.Fata de un reper cartezian din & 3 se dau punctele in coordonate cilindrice:
A ( 4 , : ' - 2 ) ' B ( 1 0 , 23n , 4 ) ' c ( 8 , : n , 6 ) ' D ( 6 , 2 ; , 3 ) -
Sa se calculeze coordonatele carteziene ale punctelor date, precum lungimea segmentului
[Be].
5.Fiind date in coordonate carteziene punctele:
A(2.J3, 6,4), B(-J2, -J2, 2.J3), C(0,-6.J3, -6), D(-16, 0, 0),
7/31/2019 teme algad
4/12
Seminarul 6. Aplicatii .
Terna: TRANSFORMARI LINIARE .VALORI PROPRII.
VECTORI PROPRII
1. Sa se verifice care din urmatoarele aplicatii sunt transformari liniare:
)T: m .3 -7 m .3, T(x) =(Xl + X2, X2 + X3, X3 + Xl), unde X =(Xl, X2, X3).E IR 3.
i)T: IR 3 -7 IR 4, T(x) =(Xl + X2, 0, Xl + X2 + X3, )4).ii)T: IR 3 -7 m .3, T(x) =(Xl, XI + X2, X2 . X3).
2. Fie T E . J 1m
(lR4) 0transformare liniara definita astfel:
T(x) = (X2 + X3, -Xl - X2 + X4, Xl + X2 - )4, -Xl + X3 + X4).Sa se arate ca Ker T = 1mT.
3. Sa se determine transformarea liniara T : IR 3 -7 IR 3 astfel indit T(vD = Ui,i = 1,3,unde VI = (2, 4, 6), V2 = (0,0, 1), V3 = (1,0, 1) ~irespectiv UI = (1, 0, 0), U2 = (2, 0, 1),U3 =(0, 0, 6).
4.5A se cerceteze
7/31/2019 teme algad
5/12
eminarul 7 ..Aplicapi ..
ema: FORME BILINIARE. FORME PATRATICE
In spatiul vectorial I R 4 se considera urmatoarea forma biliniara:
g: IR4
x IR4
-7 IR , g(x, y) = 2XIYI+ XZYI+ xz Y z + 3X3Y3+ X4YI+ X4Y4,
oricare ar fi x = (xj, X z, X3,X4),Y= (Yj, Y z , Y3,Y4)E IR 4.i) Sa se scrie matricea lui g in baza canonica din IR 4.
ii) Sa se gaseasca matricea lui g in baza:
g' , = {e'l = (1,1,1,1), e'z = (0,1,2,1), e'3 = (0,1,1,0), e'4 = (1, 0, 0, 2)}.Sa se scrie forma patratica definiili de urmatoarea forma biliniara simetrica. Sa se
determine rangul ei.
g: ]R3 X ]R3 -7 IR , g(x, y) = XIY2+ XZYI+ XIY3+ X3Yl+ X2Y3+ X3YZ,
oricare ar fi x = (xj, X z , X3),Y= (Yj, Y z , Y3)E ]R3.In spatiul euc1idian (IR 3,
7/31/2019 teme algad
6/12
7/31/2019 teme algad
7/12
7/31/2019 teme algad
8/12
SEMINARUL 10"APLICATII "Tema: Cuadrice. Sfera.
Se dau sfera: (S) : x2 + '1 + Z2 - 6x + 2y - 2z - 5 ;:::0 ~i planul: (1t) : 2x + y - 2z - 2 ;:::O.Sa se arate ea intersectia planului eu sfera este un cere real.
Sa se serle eeuatiile aeestui cere.)Sa se afle eoordonatele eentrului ~i raza eereului.
Sa se serle eeuatia sferei eu eentrul in C(-2, 1, -3) tangenta la planul:
t) : x - 2y + 2z - 3 ;:::O.
Se da sfera: (S) : 4x2 + 4'1 + 4z2 - 8x + 16y - 12z + 13 = o .
Sa se afle coordonatele eentrului ~i raza sferei.
Sa se gaseasea punetele de interseetie ale sferei date eu un diametru paralel eu dreapta de
arametri direetorl 3, 4, 12.2 2
Sa se determine generatoarele reetilinii ale euadrieei: (Hj) : x2
- ~ + Zg - 1 ;:::0
ontinute in planul: (1 t ) : 6x + 3y - 2z + 6 ;:::O.
7/31/2019 teme algad
9/12
7/31/2019 teme algad
10/12
7/31/2019 teme algad
11/12
7/31/2019 teme algad
12/12
SEMINARUL 14. APLICATll.
Tema: Elemente de geometrle diferenpaJi a suprafetelor ..
. Sa se determine ecuatia carteziana a suprafetei a carei ecuatie vectoriala este:
(r.): =u
2
.I+uv]+(au+v
2
).k.
{
X =U2 +v+l,
2. Se da suprafata de reprezentare parametrica: (r.): y = u2
- V+ 1,
z=uv+2
~i fie punctul M(u = 1,v = -1) pe suprafata. Sa se scrie ecuatiile carteziene ale curbelor u =onstant ~i v = constant care tree prin punctul M.
{
X =U2 +v2
(r.): y= u 2 - v