Tema8

Tema 8: Juegos dinámicos con informaciónincompleta

Microeconomía Avanzada II

Iñigo Iturbe-Ormaeche

U. de Alicante

2007-08

I. Iturbe-Ormaeche (U. de Alicante) Tema 8 2007-08 1 / 37

Tema 8: Juegos dinámicos con informaciónincompleta

1. Introducción y ejemplos

2. Formalización

3. Ejemplo del “Far West”

4. Equilibrio de señalización

5. Aplicaciones: La educación como señal



Algunos juegos con información incompleta y de naturaleza dinámicano pueden analizarse adecuadamente dentro del formato de los juegosbayesianos del tema anteriorUna formalización sencilla de este tipo de juegos son los juegos deseñalización

Son situaciones en las que:1 Dos jugadores mueven consecutivamente, no simultáneamente

como en el tema anterior. Uno de ellos posee cierta informaciónprivada relevante para el otro jugador

2 El jugador informado es el primero en actuar. Después, el segundojugador observa la acción del primero (la señal) y elige su propiaacción

Los pagos se determinan a partir de las acciones de los dosjugadores y la información privada del primero de ellos























Ejemplos

Un título universitarioUna garantíaUna política de precios bajos para ahuyentar a la competenciaUna oferta de participación en los beneficios a un inversorJuan sin miedo


Modelo de Spence (1973)

Hay dos tipos de trabajadores: B (bueno) y M (malo)Los buenos tienen una productividad de 2 (una empresa que contratea un B gana 2)Los malos tienen una productividad de 1 (una empresa que contrate aun M gana 1)

Si las empresas pudieran observar los tipos, pagarían 2 a B y 1 a M

Pero las empresas no observan la productividad (es un problema deinformación asimétrica)

Supongamos que la proporción del tipo M es λ

Si las empresas no observan el tipo, ofrecerán un salario que refleje laproductividad media que esperan. El salario será (1� λ)2+ λ = 2� λ


Problema: 2� λ < 2Los de tipo B están perdiendo dinero por el hecho de que las empresasno les pueden distinguir de los de tipo M (¿Y los de tipo M?)

Si pudieran convencer a las empresas de que son de tipo B, podríanobtener un salario de 2. Para ello necesitan una señal. Esta señal va aser la educación (el título)

Vamos a llamar e al nivel de educación que adquiere el individuo

Supongamos que las empresas creen que cualquier individuo quetenga un nivel de educación e� es de tipo B, con productividad 2Si todos los individuos tienen el mismo coste de obtener la señal, y losque poseen la señal reciben un salario de 2, entonces todo el mundoobtendría la señal, incluso los MEn tal caso, las creencias originales de las empresas son erróneas, y laseñal no funciona


Para que la señal funcione, debe ocurrir que sólo los B usen la señal

Supongamos que los costes de obtener e unidades de educación es epara los M y e/2 para los B

Para construir un equilibrio, consideremos la siguiente secuencia:

Creencias ! Ofertas salariales ! Acciones ! Resultado ! Creencias

Las creencias se refieren a lo que las empresas piensan de laproductividad de las personas con la señal

Por ejemplo, “sólo los B tienen un título universitario”

Las creencias determinan las ofertas salariales


En función de cuánto pagan las empresas a las personas con la señal,los B y los M realizan una acción

La acción consiste en adquirir la señal (educación) o no

El resultado es quién obtiene la señal

Si sólo los B la obtienen, y no los M, las creencias originales se venconfirmadas

Tenemos un equilibrio de señalización, en el sentido de que lasempresas no tienen motivo para revisar (alterar) sus creencias


Supongamos que las creencias de las empresas son:

“Si e < e�, entonces es de tipo M. Si e � e�, entonces es de tipo B”

Las ofertas salariales son: un salario de 1 si e < e�, y un salario de 2 sie � e� (IMPORTANTE: los salarios están condicionados a la señal, noal tipo ya que este NO es observable)La acción de un trabajador de tipo M es: si e = e�, gano 2� e�. Si e = 0,gano 1. Elegirá e = 0 si e� > 1La acción de un trabajador de tipo B es: si e = e�, gano 2� e�/2. Sie = 0, gano 1. Elegirá e = e� si e� < 2Si e� < 1, tanto M como B prefieren e�

Si e� > 2, tanto M como B prefieren 0Si 1 < e� < 2, los B eligen e = e� y los M eligen e = 0, exactamente loque esperan las empresas. Sólo los de tipo B obtienen la señal y lascreencias se ven confirmadas


La educación es beneficiosa para los B siempre que 2� e�/2 > 2� λ oλ > e�/2, lo que ocurrirá si la proporción λ (malos) es suficientementegrande. Por ejemplo, si e� = 1,5, necesitamos λ > 3/4

La existencia de la señal es siempre mala para los M puesto que1 < 2� λ

Es crucial darse cuenta de que la señal funciona debido a que es másbarata para los B

Las productividades no se ven afectadas por la señalLa señal es un despilfarro social, a pesar de que es racional adquirirladesde el punto de vista individual


2. FormalizaciónN = f1, 2gLa naturaleza selecciona al azar un valor de t 2 T con probabilidadP(t) > 0. Tanto T como P son conocimiento comúnLa información t se revela sólo al jugador 1 y puede considerarse quees su tipoEl jugador 2 tiene un único tipoTras conocer t, el jugador 1 manda un mensaje m 2 M al jugador 2Una vez que ha recibido m, el jugador 2 elige una acción a 2 ALos pagos son u(t, m, a), v(t, m, a)

Una estrategia del 1 es una función s1 : T �! MUna estrategia del 2 es una función s2 : M �! A

Ejemplo: Un vendedor de coches usados y un cliente. Aquí T es elconjunto de las calidades posibles de un coche, M es el tiempo degarantía y A podría ser {comprar, no comprar}


3. Ejemplo del “Far West”

Dos pistoleros de familias rivales se encuentran en la cantinaEl jugador (pistolero) 1 es de la familia “pacífica”El jugador (pistolero) 2 es de la familia “belicosa”En la familia “pacífica” el 90 % son “fuertes” (o “rápidos” con elrevólver) y el 10 % son “débiles” (“lentos” con el revólver)El 1 sólo tiene que elegir su bebida para el desayuno: leche o cervezaSus gustos sobre L y C dependen de su tipo

El 2 está pensando retar a duelo al 1Tiene dos acciones posibles: “retar a un duelo” (D) o “no retar” (N)El 2 no conoce el tipo de 1 (fuerte o débil) pero sí observa lo que bebe(el mensaje)


Los pagos del 2 dependen de si el 1 es fuerte o débil:

Si no le reta al 1 (N), gana 0 para cualquier tipo del 1Si le reta (D), gana 1 si el 1 es débil y gana -1 si el 1 es fuerte

Respecto al 1, suponemos que si es débil prefiere desayunar leche (L) ysi es fuerte prefiere desayunar cerveza (C). En concreto sus pagos son:

Si no es retado a duelo y desayuna lo que más le gusta, su pago es3Si no es retado a duelo y no desayuna lo que más le gusta, su pagoes 2Si es retado a duelo y desayuna lo que más le gusta, su pago es 1Si es retado a duelo y no desayuna lo que más le gusta, su pago es0

Vamos a ver cómo son las matrices de pagos:


1n2 D NL 1, 1 3, 0C 0, 1 2, 0

1n2 D NL 0,�1 2, 0C 1,�1 3, 0

Tipo débil Tipo fuerte

En la notación de arriba:T = fd, fgM = fC, LgA = fD, NgS1 = f(C, C), (C, L), (L, C), (L, L)g (el primero es el mensaje para eltipo d)S2 = f(D, D), (D, N), (N, D), (N, N)g (el primero es la acción para elmensaje L)

Vamos a ver la representación en forma extensiva:


(0, 1) (2, 0)(1, 1) (3, 0)

NDND

ND

(2, 0)

CC

LL

11d (prob = 0.1) f (prob = 0.9)

2

2

0

ND

(0, 1)(1, 1) (3, 0)


4. Equilibrio de señalización

Un equilibrio de señalización es un equilibrio bayesiano que esperfecto en subjuegos, es decir, las estrategias de equilibrio seránóptimas para cada agente en y fuera de la senda de equilibrioUn equilibrio de señalización prescribe:

1 Optimalidad individual, dadas ciertas expectativas sobre elcomportamiento del rival

2 Consistencia entre las expectativas y el comportamiento de losagentes en equilibrio

Para que el jugador 2 pueda valorar su respuesta óptima para cadamensaje, necesita unas creencias (unas probabilidades subjetivas)sobre el tipo del individuo 1, para cada mensaje m 2 MEstas creencias las llamamos µ(t j m)

Es decir, µ(t j m) es la probabilidad subjetiva que el 2 asigna a que eljugador 1 sea de tipo t cuando recibe el mensaje m 2 MI. Iturbe-Ormaeche (U. de Alicante) Tema 8 2007-08 16 / 37

Dado P(�), un equilibrio de señalización es una terna [(s�1 , s�2), µ�] quecumple:i) s�1 es óptima para el jugador 1, dada s�2 . Es decir, para todo t 2 T ypara todo m0 2 M :

s�1(t) = m =) u(t, m, s�2(m)) � u(t, m0, s�2(m0))

ii) s�2 es óptima para el jugador 2, dadas las creencias µ�. Es decir, paratodo m 2 M y para todo a 2 A :

∑t2T

µ�(t j m)v(t, m, s�2(m)) � ∑t2T

µ�(t j m)v(t, m, a)

iii) µ� es consistente con P(�) y s�1 . Es decir, para todo m 2 M :a) T�(m) = ft 2 T : s�1(t) = mg 6= ∅, entonces para todo t0 2 T :

µ�(t0 j m) =

8<:P(t0)

∑t2T�(m)P(t)

si s�1(t0) = m

0 en otro caso

b) T�(m) = ∅, entonces µ�(� j m) es arbitrarioI. Iturbe-Ormaeche (U. de Alicante) Tema 8 2007-08 17 / 37

El punto (iii.a) exige que si para algún tipo de jugador su estrategiaprescribe enviar el mensaje m 2 M, entonces las percepcionessubjetivas deben ser consistentes con la regla de Bayes

Tipos de equilibrio:1 Agrupadores (“pooling”): todos lo tipos eligen el mismo mensaje.

En el ejemplo de la educación, ambos tipos escogen el mismo nivelde educación

2 Separadores (“separating”): tipos distintos eligen mensajesdistintos. En el ejemplo de la educación eso era lo que ocurríacuando 1 < e� < 2

Cuando los jugadores pueden adoptar estrategias mixtas, se hablade equilibrio híbridos: algunos tipos se separan o agrupan conprobabilidad positiva




















Continuamos con el ejemplo del Oeste

Primero vemos si existe un equilibrio agrupadorHay dos candidatos dependiendo de la estrategia del 1:

En el primero el jugador 1 hace sC1 = (C, C)

En el segundo el jugador 1 hace sL1 = (L, L)

Vamos a probar que existe un equilibrio agrupador donde el jugador 1elige sC

1 = (C, C) y el jugador 2 elige s�2 = (D, N). Es decir, le reta aduelo si le ve beber leche y no le reta si le ve beber cerveza

Para comprobarlo vemos que sC1 = (C, C) es la mejor respuesta a

s�2 = (D, N) (ver las 2 matrices de pagos)

Ahora hay que probar que s�2 = (D, N) es la mejor respuesta del 2 asC

1 = (C, C). Para ello tenemos que ver cómo son las creencias del 2


La definición de equilibrio nos impone restricciones sobre µ�

Cuando 2 observa que 1 ha desayunado con cerveza, actualiza suscreencias siguiendo la regla de Bayes:

T� (C) = fd, fgT� (L) = ∅

µ� (d j C) =P (d)

∑t2T�(C)

P (t)=

P (d)P (d) + P (f )

= P (d) = 0,1

µ� (f j C) =P (f )

∑t2T�(C)

P (t)=

P (f )P (d) + P (f )

= P (f ) = 0,9

En un equilibrio agrupador, las creencias del jugador 2 coinciden conlas que tenía a priori ya que la acción elegida por el jugador 1 no revelanada adicional acerca de su tipo


El pago esperado de jugar D esµ� (d j C) v(d, C, D) + µ� (f j C) v (f , C, D) = 0,1 (1) + 0,9 (�1) = �0,8El pago esperado de jugar N esµ� (d j C) v(d, C, N) + µ� (f j C) v (f , C, N) = 0,1 (0) + 0,9 (0) = 0Por lo tanto es óptimo para el 2 jugar N, si el jugador 1 jugó C

La definición de equilibrio no impone ninguna restricción sobreµ� (d j L) ya que T� (L) = ∅

Por lo tanto, fijamos p = µ� (d j L)

Para que s�2 sea óptima, el jugador 2 debe preferir D cuando observaque 1 eligió L


El pago esperado de 2 si elige D es:

µ� (d j L) v(d, L, D) + µ� (f j L) v (f , L, D)= p (1) + (1� p) (�1) = 2p� 1

El pago esperado de 2 si elige N es:

µ� (d j L) v(d, L, N) + µ� (f j L) v (f , L, N)= p(0) + (1� p) (0) = 0

Entonces 2 elegirá D si y sólo si 2p� 1 � 0, es decir p � 12

Por lo tanto, las creencias:

µ� (f j C) = 0,9, µ� (d j C) = 0,1µ� (f j L) = 1� p, µ� (d j L) = p,

con p � 1/2, junto con las estrategias sC1 = (C, C) y s�2 = (D, N)

constituyen un equilibrio de señalización agrupadorI. Iturbe-Ormaeche (U. de Alicante) Tema 8 2007-08 22 / 37

¿Por qué necesito p � 1/2?

Si p < 1/2, la respuesta óptima del 2 a sC1 es (N, N)

Si el 2 usa la estrategia (N, N), la mejor respuesta del 1 es (L, C)

Hay otro equilibrio agrupador dado por:sL

1 = (L, L), s�2 = (N, D)µ�� (f j L) = 0,9, µ�� (d j L) = 0,1µ�� (f j C) = 1� q, µ�� (d j C) = qdonde de nuevo q � 1/2


Ahora probamos que en este juego no hay ningún equilibrio separador

Supongamos que el jugador 1 elige (L, C)Entonces, las creencias del jugador 2 deben cumplir:

µ� (d j L) =P (d)

∑t2T�(L)

P (t)=

P (d)P (d)

= 1 y µ� (f j L) = 0

µ� (f j C) =P (f )

∑t2T�(C)

P (t)=

P (f )P (f )

= 1 y µ� (d j C) = 0

Dadas estas creencias, la mejor respuesta del jugador 2 es (D, N)Pero entonces, el jugador 1 tiene una desviación unilateral beneficiosasi elige (C, C)

Podemos probar que tampoco hay un equilibrio separador cons�1 = (C, L)


5. Aplicaciones: La educación como señal

Hay dos empresas idénticas que venden un bien homogéneo conprecio dadoCompiten en salarios por contratar a un único trabajadorLa capacidad del trabajador sólo es conocida por él mismoLas empresas no observan la capacidad del trabajador, pero síobservan su nivel de educación

El trabajador incurre en un coste para adquirir educación y este costedepende de su capacidadCuanto más productivo es el trabajador, menos le cuesta adquirireducaciónA diferencia del ejemplo que vimos a comienzos del tema, ahora laeducación sí aumenta su capacidad productiva

Vamos a modelar esta situación como un juego en 4 etapas


1 La Naturaleza selecciona el tipo del trabajador, identificado por suproductividad X. Esta puede ser de tipo X = B (bueno) o X = M(malo). Las probabilidades son p y 1� p, respectivamente

2 Una vez conocido su tipo, el trabajador elige su nivel deeducación e � 0

3 Las empresas observan e y ofrecen (simultáneamente) los salariosw1 y w2

4 El trabajador elige la empresa en la que quiere trabajar

El coste de adquirir educación es cBe para el tipo B y cMe para eltipo M, con 0 � cB < cMLa productividad de un trabajador de tipo B con un nivel deeducación e es fB(e), con f 0B(e) > 0La productividad de un trabajador de tipo M con un nivel deeducación e es fM(e), con f 0M(e) > 0Suponemos que fB(e) > fM(e) y que f 0B(e) > f 0M(e) para todo e � 0,y que ambas funciones son cóncavasEmpezamos por estudiar qué ocurriría si las empresas observan eltipo del trabajador


















































Si las empresas conocen fB(e) y fM(e), ofrecerían ambas el mismosalario a cada tipo. Es decir:

wB(e) = fB(e)wM(e) = fM(e)

Dados estos salarios, el trabajador de tipo B elegiría el nivel de e queresuelve:

m«axe�0

fB(e)� cBe

La cantidad óptima de educación e�B es la que cumple:

f 0B(e�B) = cB

De la misma forma obtenemos la cantidad óptima de educación parael tipo M, e�M.Podemos comprobar que e�B > e�M


Aquí vemos la solución óptima del tipo B

w

e

fB(e)

eB*

w*

Pendiente de lascurvas deindiferencia = cB


Aquí vemos cuál es la elección óptima de cada tipoEl más productivo elige un nivel de educación mayor

eB*

wM*

wB*

w

e

fB(e)

fM(e)

eM*


Ahora volvemos al caso con información incompletaEmpezamos por estudiar la existencia de un equilibrio agrupador

En un equilibrio agrupador, ambos tipos eligen el mismo nivel deeducación e0Las creencias a posteriori son µ(B j e0) = p y µ(M j e0) = 1� p

Si llamamos w0 al salario ofrecido en equilibrio:

w0 = pfB(e0) + (1� p)fM(e0)

Comprobamos que fM(e0) < w0 < fB(e0)

Aún tenemos que especificar las creencias µ(B j e), para e 6= e0Esto es muy importante, porque dependiendo de cuáles sean dichascreencias, los de tipo B pueden estar interesados en desviarse de e0


Una posibilidad es la siguiente:

µ(B j e) =�

p si e = e00 si e 6= e0

Si las empresas tienen estas creencias, ofrecerán salarios:

w(e) =�

w0 si e = e0fM(e) si e 6= e0

Dados estos salarios, cada trabajador elige el nivel de educación e quemaximiza su utilidadPor lo tanto, el nivel de educación e0 debe cumplir:

w0 � cBe0 � fM(e)� cBe, para todo e � 0w0 � cMe0 � fM(e)� cMe, para todo e � 0


Puede haber múltiples equilibrios agrupadores. Aquí vemos uno:

w

w0

e0 e

fB(e)

pfB(e)+(1p)fM(e)

fM(e)


Ahora vamos a estudiar equilibrios separadores

Empezamos por estudiar el equilibrio con información simétricaHay dos casos:

wB*

w

fM(e)

fB(e)

eB*

wM*

eeM* eB*

wM*

wB*

w

eeM*


Analizamos primero el caso de la izquierdaEl trabajador de tipo M no “envidia” al de tipo B ya que:

fM(e�M)� cMe�M > fM(e�B)� cMe�B

El equilibrio separador es:

El tipo B elige e�B y el tipo M elige e�MLas creencias de las empresas son:

µ(B j e) =�

0 si e < e�B1 si e � e�B

Las empresas ofrecen el salario:

w(e) =�

fM(e) si e < e�BfB(e) si e � e�B


Dadas estas ofertas de salarios, ambos tipos están maximizando suutilidad eligiendo exactamente lo mismo que en el equilibrio coninformación completa

La situación es diferente cuando en el equilibrio con informacióncompleta, el tipo M “envidia” al trabajador de tipo B (el gráfico de laderecha)Ahora, los niveles de educación del equilibrio con informacióncompleta no forman un equilibrio con señalización, ya que el tipo Mpreferiría hacerse pasar por tipo B eligiendo e�B en lugar de e�MTiene un coste mayor, pero también un salario mayor con lo que alfinal tendría una utilidad mayor

Ahora el individuo de tipo B tiene que elegir un nivel de educaciónmayor que e�B para asegurarse de que el de tipo M no le imita


Este nivel mínimo es e1 en la figura:

w1

wB*

wM*

eM* eB* e1


En total, un equilibrio separador debe cumplir:

El tipo B elige e1 y el tipo M elige e�MLas creencias de las empresas son:

µ(B j e) =�

1 si e � e10 si e < e1

Las empresas ofrecen un salario:

w(e) =�

fB(e) si e � e1fM(e) si e < e1

No obstante, no es el único equilibrio separador. Se pueden sostenerequilibrios con e > e1Finalmente vemos que el tipo B está peor que con informaciónincompleta


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