tema3transf fourier

1

Curso 2006-2007

Tema 3.

Metodos analıticos de resolucion

de EDP. Dominios no acotados.

Asignatura:

Metodos Matematicos de la Ingenierıa Quımica

Profesores:

Emanuele Schiavi y Ana Isabel Munoz.

Apuntes elaborados por:

C. Conde (UPM), E. Schiavi (URJC) y A.I. Munoz(URJC).

Indice 1

Indice

1. Preliminares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

1.1. De las series a las transformadas de Fourier: la integral deFourier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

1.2. De la integral de Fourier a la transformada de Fourier . . . . . 7

1.3. La integral de Fourier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

2. La Transformada de Fourier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

2.1. La Transformada inversa de Fourier . . . . . . . . . . . . . . . 12

2.2. Transformaciones seno y coseno . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

2.3. Propiedades de la transformada de Fourier . . . . . . . . . . . 14

2.4. La transformada de Fourier multidimensional . . . . . . . . . 16

3. Aplicaciones: dominios no acotados y Transformadas de Fourier . . . 17

3.1. Difusion unidimensional. Solucion general en forma integral . . 17

3.1.1. La Delta de Dirac: una fuente localizada. . . . . . . . 20

3.1.2. La funcion de Heaviside. Temperatura inicial discon-tinua . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

3.2. Dominios semiinfinitos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

3.2.1. Transformadas seno inversas de Fourier . . . . . . . . 25

3.2.2. Transformadas coseno inversas de Fourier . . . . . . 25

3.2.3. Difusion en un dominio semiinfinito. Flujo de calorprescrito en el extremo izquierdo. Transformada decosenos de Fourier. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

3.2.4. Difusion en un dominio semiinfinito. Temperaturaprescrita en el extremo izquierdo. Transformada desenos de Fourier. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

3.2.5. Difusion en un dominio semiinfinito. Extremo izquier-do parcialmente aislado. . . . . . . . . . . . . . . . . 31

2 Indice

4. El paso de la integral de Fourier a la transformada de Laplace . . . . 32

5. La Transformada de Laplace . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34

5.1. Transformadas de funciones elementales . . . . . . . . . . . . 39

5.1.1. Unas transformadas no elementales . . . . . . . . . . 43

5.2. Propiedades de la tranformada de Laplace . . . . . . . . . . . 44

5.3. Transformada de funciones continuas a trozos . . . . . . . . . 53

5.3.1. La funcion escalon unitario . . . . . . . . . . . . . . 53

5.3.2. Transformada de la Delta de Dirac . . . . . . . . . . 57

6. Transformada inversa de Laplace . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58

6.1. Calculo de las transformadas inversas de Laplace . . . . . . . 60

7. Aplicaciones a la resolucion de EDO y de sistemas de EDO . . . . . . 67

7.1. Resolucion de EDO lineales de coeficientes constantes y deorden n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68

7.2. Analisis de la respuesta de sistemas lineales . . . . . . . . . . 71

8. Aplicaciones a la resolucion de EDP . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75

8.1. Aplicacion de la transformada de Laplace a unos problemasmodelo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76

8.1.1. Resolucion de una EDP de primer orden . . . . . . . 77

8.1.2. Resolucion de una EDP de segundo orden en un do-minio no acotado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78

8.1.3. Resolucion de una EDP de segundo orden en un do-minio acotado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80

9. Comentarios finales sobre el uso de las transformadas integrales . . . 82

10. El metodo de Combinacion de variables . . . . . . . . . . . . . . . . . 83

10.1. Deduccion del metodo de combinacion de variables . . . . . . 84

10.2. Aplicacion del metodo de combinacion de variables . . . . . . 86

10.2.1. Sistema semi-infinito. Condiciones constantes en unode los lımites del mismo . . . . . . . . . . . . . . . . 88

10.3. Difusion con flujo masico simultaneo . . . . . . . . . . . . . . 92

Indice. 3

10.3.1. Sistema semi-infinito: Difusion de un solo compo-nente en el seno de otro estacionario . . . . . . . . . 93

11. Anexos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96

11.1. La funcion de error: definicion y propiedades . . . . . . . . . 96

11.2. Tabla de Transformadas de Fourier . . . . . . . . . . . . . . . 99

11.3. Tabla de Transformadas de Laplace . . . . . . . . . . . . . . . 101

12. Ejercicios sugeridos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106

13. Ejercicios relativos al segundo tema propuestos en examenes . . . . . 126

14. Bibliografıa Basica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129

15. Bibliografıa Avanzada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129

4 Tema 3. Metodos analıticos de resolucion de EDP. Dominios no acotados.

Tema 3.

Metodos analıticos de resolucion

de EDP. Dominios no acotados.

La introduccion de las series de Fourier (vistas en el tema anterior), de la integrales deFourier y de las transformadas de Fourier (que veremos en este tema) ha representadouno de los mayores avances en la historia de la aplicacion de las matematicas ala fısica y a la ingenierıa, puesto que son, probablemente, las herramientas masimportante para la resolucion de problemas de valores iniciales y/o de contorno1.

Para dominios finitos de forma geometrica simple y cuando el metodo de separacionde variables es aplicable, las ecuaciones en derivadas parciales se reducen a ecuacionesdiferenciales ordinarias que pueden ser resueltas con los metodos presentados en eltema 13 del primer curso o con los presentados en el tema 2 de este curso. La soluciongeneral se puede entonces construir por superposicion de autofunciones mediante elcalculo de los coeficientes del desarrollo en series de Fourier del dato inicial. Cuandoel dominio es infinitamente largo es posible posible obtener una reduccion analoga(de EDP a EDO) mediante las tecnicas de las transformadas integrales de Fouriery de Laplace.

En este tema se consideran los metodos de resolucion de ecuaciones en derivadasparciales (EDP) en dominios no acotados. El metodo de separacion de variables, pre-sentado y aplicado en el tema anterior, no es, en general, adecuado para el tratamien-to de problemas en dominios en los que ninguna de las coordenadas espaciales esacotada. En efecto, si el dato inicial del problema no es periodico y el dominio esno acotado, entonces no es posible expresar el dato inicial en terminos de seriesde Fourier trigonometricas (que son necesariamente periodicas). Una manera de re-solver el problema consiste en considerar las funciones no periodicas en un dominioinfinito como funciones periodicas pero de periodo infinito. Este razonamiento (que

1Incluimos evidentemente los problemas planteados en dominios infinitos donde, hablando conrigor, no existe contorno, sino un comportamiento lımite prescrito. Tambien nos referimos a lastransformadas finitas de Fourier (que se aplican a dominios acotados) que estan recibiendo unaatencion y un desarrollo especiales en el campo de la Ingenierıa Quımica (vease por ejemplo el librode Deen, [D] sobre fenomenos de transporte).

1. Preliminares 5

desarrollaremos de manera heurıstica pero que puede ser rigurosamente justificado)nos llevara a la definicion de la integral de Fourier cuya expresion, en terminos defunciones exponenciales complejas, define y caracteriza la transformada de Fourier ysu formula de inversion. Tras analizar las principales propiedades de estos operadoresintegrales veremos su posible aplicacion a la resolucion de problemas de valor inicialen dominios infinitos (transformada exponencial de Fourier) o semiinfinitos (trans-formadas seno y coseno de Fourier). La transformada de Fourier define e introduce,como caso particular, la transformada de Laplace, el segundo de los metodos quepresentaremos para la resolucion de EDP en dominios no acotados. Veremos que,en realidad, el campo de aplicacion de la transformada de Laplace es mucho masamplio (aunque siempre restringido a problemas de valor inicial) y analizaremos al-gunos casos concretos relevantes en el curriculum del ingeniero quımico. Finalmente(y si el tiempo lo consiente) presentaremos un tercer metodo de resolucion de EDPen dominios no acotados conocido con el nombre de metodo de combinacion de lasvariables. Se trata de un metodo de gran alcance muy conocido y aplicado por losingenieros (especialmente de la escuela anglosajona). Su presentacion, analisis y apli-cacion proporciona una herramienta de trabajo fundamental para la comprensionde la literatura existente sobre estos tema y representa el complemento ideal a losdos metodos antes presentados (la transformada de Fourier y la de Laplace).

1. Preliminares

Ilustaremos aquı, aunque de manera intuitiva, el importante paso conceptual (oeslabon) que nos lleva de la series de Fourier a las transformadas de Fourier.

1.1. De las series a las transformadas de Fourier: la integralde Fourier

Si una funcion f que esta definida en −∞ < x < ∞ es periodica (y suficientementeregular), entonces se puede representar por medio de una serie de Fourier:

f(x) =∞∑

n=0

(an cos

(nπ

Lx)

+ bn sin(nπ

Lx))

(1)

siendo

a0 =1

2L

∫ L

−L

f(x)dx, an =1

L

∫ L

−L

f(x) cos(nπ

Lx)

dx


y

bn =1

L

∫ L

−L

f(x) sin(nπ

Lx)

dx

los coeficientes del desarrollo. Sin embargo, muy a menudo, se trabaja con funcionesdefinidas en −∞ < x < ∞ y que no son periodicas, por ejemplo: f(x) = e−x2

. Evi-dentemente no podemos desarrollar tal tipo de funciones (no periodicas) en terminosde series de Fourier (que son periodicas). Intuitivamente lo que se hace en estos casosconsiste en considerar la funcion (no periodica) como funcion periodica pero de peri-odo infinito. Para poder realizar esta extension del concepto de serie de Fourier a lasfunciones no periodicas se pasa al lımite en la amplitud L del intervalo (que apareceen la definicion de la serie y, obviamente, en la expresion de los coeficientes del de-sarrollo formal de Fourier de una funcion generica no periodica). Veamos que ocurrecon las frecuencias del desarrollo (o el espectro de frecuencias), dadas por nπ/L,cuando L → ∞. Cuando L crece el espectro (discreto) se hace siempre mas densohasta alcanzar un espectro continuo (desde 0 hasta ∞) cuando L → ∞. Podemospor tanto pensar que, cuando L → ∞, es posible sustituir el sımbolo de sumatorioinfinito (en la variable discreta n) por el de integral (en la variable continua w). Enefecto, si f es suficientemente regular es posible demostrar que

Representacion integral de Fourier de f︷︸︸︷f(x) =

∫ ∞

0

[a(w) cos(wx) + b(w) sin(wx)] dw

︸︷︷︸Integral de Fourier de f

(2)

siendo

a(w) =1

π

∫ ∞

−∞f(x) cos(wx)dx, b(w) =

1

π

∫ ∞

−∞f(x) sin(wx)dx

︸︷︷︸Coeficientes integrales de Fourier

. (3)

Estos argumentos, muy intuitivos, se pueden hacer rigurosos mediante el teoremade la integral de Fourier. Antes, recordaremos aquı la definicion de funcion continuaa trozos en un intervalo de la recta real (introducida en el tema 2)

Definicion 1.1. Diremos que una funcion f(x) definida en un intervalo I ⊂ IRes continua a trozos en el intervalo I si tiene, a lo sumo, un numero finito dediscontinuidades de salto finito.

Podemos entonces formular el teorema de la integral de Fourier

Teorema 1.1. Sea f definida en −∞ < x < ∞ y sean f y f ′ funciones continuasa trozos en cada intervalo finito [−L,L] (para L arbitrariamente grande) y sea

∫ ∞

−∞|f(x)|dx < ∞

1. Preliminares 7

Entonces la integral de Fourier de f :∫ ∞

0

[a(w) cos(wx) + b(w) sin(wx)] dw

converge a f(x) en cualquier punto donde f es continua y converge a su promedio([f(x+) + f(x−)]/2) en todos los puntos de discontinuidad.

Demostracion: La demostracion rigurosa de este resultado va mas alla de losobjetivos de este curso.

Resumiendo, hemos obtenido la representacion integral de Fourier de funciones noperiodicas definidas en −∞ < x < ∞ tomando el lımite en la formula de las seriesde Fourier cuando el periodo tiende al infinito. Tal y como se hizo con las seriesde Fourier, es muy esclarecedor dibujar como las integrales parciales (el analogode las sumas parciales) van aproximando la funcion. Nuevamente se observa quela convergencia es mas lenta cerca de los puntos de discontinuidad donde tambienaparece el fenomeno de Gibbs (ya analizado en la segunda practica de laboratoriode este curso).

En la proxima seccion se explicara como se obtiene la transformada de Fourier apartir de la integral de Fourier.

1.2. De la integral de Fourier a la transformada de Fourier

Nuestro punto de partida lo constituyen las formulas (2) (la representacion integralde Fourier) y (3) (los coeficientes integrales de Fourier). Tal y como es posible ex-presar una serie de Fourier en forma de exponenciales complejas (vease la seccioncorrespondiente del segundo tema de este mismo curso y tambien el tema 1 del cur-so de primero) es posible expresar la integral de Fourier en forma de exponencialescomplejas. Tras unas cuantas manipulaciones (que se pueden encontrar detalladasen el capıtulo 17, pag. 920 del libro de Greenberg2) se llega a la siguiente expresionalternativa de la representacion integral de Fourier de f :

Expresion alternativa de la representacion integral de Fourier de f︷︸︸︷f(x) =

1

2π

∫ ∞

−∞

[∫ ∞

−∞f(ξ)e−iwξdξ

]

︸︷︷︸Transformada de Fourier

eiwxdw

︸︷︷︸Formula de inversion

(4)

2Greenberg, M.D. (1998). Advanced Engineering Mathematics. International Edition.


La expresion alternativa (4) de la integral de Fourier de f (dada en (2)) se puede enefecto escribir en dos partes

f(x) = a

∫ ∞

−∞c(w)eiwxdw

︸︷︷︸Integral de Fourier

(5)

y

c(w) = b

∫ ∞


︸︷︷︸Coeficientes integrales de Fourier

(6)

siendo a, b tales que ab = 1/(2π). Eligiremos, por popularidad, a = 1/2π, b = 1(pero veremos mas adelante que otras elecciones son igualmente utilizadas). En lugarde pensar (5) como la integral de Fourier y (6) como los coeficientes integrales deFourier es util pensar las formulas (5) y (6) como un par de transformadas: (6) definela transformada de Fourier c(w) de una funcion dada

c(w) =

∫ ∞



(7)

mientras que (5) se conoce como la formula de inversion, ya que si sustituimos (6)en (5) e integramos volvemos a obtener f(x):

f(x) =1

2π

∫ ∞

−∞c(w)eiwxdw


(8)

Es tıpico denotar c(w) = f(w) y escribir (6) y (5) en la forma (respectiva)

F [f(x)] = f(w) =

∫ ∞



(9)

y

F−1[f(w)] = f(x) =1

2π

∫ ∞

−∞f(w)eiwxdw


(10)

La transformada de Fourier y la formula de inversion ya no son objetos misteriosos;juntas constituyen la expresion alternativa de la representacion integral de Fourier

1. Preliminares 9

(dada en (4)), expresada en terminos de exponenciales complejas. Las formulas (9)y (10)) estan bien definidas para funciones f que satisfacen las hipotesis del teoremade la integral de Fourier (1.1).

Ejemplo 1.1. Sea dada la funcion f(x) = 1 si x ∈ [−1, 1], f(x) ≡ 0 si x 6∈ [−1, 1].Calcular la transformada de Fourier de f .

Utilizando (9) se tiene

f(w) =

∫ ∞

−∞f(x)e−iwxdx =

∫ 1

−1

e−iwxdx =e−iwx

−iw|1−1 = 2

sin(w)

w

Podrıamos tambien mostrar la aplicacion de la formula de inversion, poniendof(w) = sin(w)/w en el integrando de (10), integrando y mostrando que el resul-tado serıa exactamente la funcion original f(x). Sin embargo, la integral obtenidasustituyendo f(w) en (10) se puede calcular solo aplicando el teorema de los residuos(del calculo integral complejo) que no hemos estudiado3.

Ejemplo 1.2. Calcular la transformada de Fourier de la funcion f(x) = e−ax six ≥ 0 y f(x) ≡ 0 si x < 0, siendo a > 0.

Utilizando (9) se tiene

f(w) =

∫ ∞

−∞f(x)e−axe−iwxdx =

∫ ∞

0

e−(a+iw)xdx = −e−(a+iw)x

a + iw|∞0 =

=1

a + iw−

(1

a + iw

)lım

x→∞e−(a+iw)x =

1

a + iw

Para explicar el resultado del paso al lımite anterior es suficiente recordar que elmodulo |z| de un numero complejo z = x + iy es |z| =

√x2 + y2 y que el modulo

del producto es el producto de los modulos (|z1z2| = |z1| · |z2|), luego (utilizando laformula de Euler)

∣∣e−(a+iw)x∣∣ = |e−axe−iwx| = |e−ax| · |e−iwx| = e−ax| cos(wx)− i sin(wx)| =

= e−ax√

cos2(wx) + sin2(wx) = e−ax → 0

cuando x →∞.

Normalmente el calculo de la transformada de Fourier (y de la inversa) se realizautilizando las tablas que aparecen en el anexo al tema y en la mayorıa de los libros de

3En tales casos se aconseja utilizar las tablas que aparecen en el anexo, las tablas que aparecenen las referencias bibliogaficas del final de este tema o el programa de calculo simbolico Maple(cuyo uso se detalla en las practicas de laboratorio)


texto de metodos matematicos para los ingenieros. Una buena, clasica referencia esel libro de A. Erderly, Tables of Integral Transforms. Vol. 1 y 2. New York: McGraw-Hill, 1954. El primer volumen contiene las tablas de las transformadas de Fourier,Laplace y Mellin mientras que el segundo volumen contiene la transformada deHankel y varias otras. En general es muy comodo el uso de un programa informaticode calculo (el Maple por ejemplo).

La transformada de Fourier, al igual que la de Laplace que detallaremos en la sec-cion 5, es una transformada integral que se utiliza para resolver ecuaciones diferen-ciales. En la practica la transformada de Fourier trabaja transformando ecuacionesdiferenciales ordinarias en ecuaciones algebraicas, que son mas sencillas de resolver.Ademas, si u(x) verifica una ecuacion diferencial en derivadas parciales, la funcionF [u](x) = u(w) (la transformada de Fourier de u(x)) es solucion de una ecuaciondiferencial ordinaria. Se calcula u(w) y posteriormente se antitransforma u(w) pararecuperar la solucion de la ecuacion original.

En el caso de las EDP, al aplicar el metodo de separacion de variables (cuando esposible) y para dominios finitos con geometrıa simple la EDP se convierte en unaEDO. La solucion general se puede entonces construir por superposicion de auto-funciones. Cuando el dominio es infinito la transformada de Fourier puede alcanzarla misma reduccion. Tras haber resuelto la EDO correspondiente, el proceso (discre-to) de superposicion mediante series (eventualmente) infinitas se representara ahoramediante integrales impropias y la solucion final se obtendra en forma integral.

1.3. La integral de Fourier

La integral de Fourier se introduce para poder representar por medio de una inte-gral impropia algunas funciones definidas en todo el intervalo (−∞,∞) y que no sonperiodicas. En efecto, en tal caso no podemos esperar encontrar una serie de Fourierque represente a dichas funciones en (−∞,∞), pues la hipotesis de periodicidadaparece en todos los teoremas de convergencia relativos a las series de Fourier (verpor ejemplo el cap 11 del libro del Apostol4 ). Estas integrales, que en muchos aspec-tos son analogas a las series de Fourier, se llaman integrales de Fourier, y el teoremaque da condiciones suficientes para que una funcion admita una representacion pormedio de una de estas integrales, se conoce con el nombre de teorema de la inte-gral de Fourier (Apostol5 , capıtulo 11). Los instrumentos basicos utilizados en estateorıa son, como en el caso de las series de Fourier, las integrales de Dirichlet y ellema de Riemann-Lebesgue.

4Apostol, T.M., (1982). Analisis Matematico. 2 ed. Editorial Reverte.5Apostol, T.M., (1982). Analisis Matematico. 2 ed. Editorial Reverte.

2. La Transformada de Fourier 11

2. La Transformada de Fourier

Muchas de las funciones que aparecen en analisis se pueden expresar por medio deintegrales de Lebesgue o bien por medio de integrales de Riemann impropias de laforma:

F (s) =

∫ +∞

−∞K(t, s)f(t)dt

Una funcion F definida por medio de una ecuacion de este tipo (en la que f puedeser real o compleja) se llama transformada integral de f . La funcion K queaparece en el integrando se denomina el nucleo de la transformada. Algunas de lastransformadas integrales mas corrientemente utilizadas se conocen con el nombrede transformada de Laplace, transformada de Fourier, transformada de Hankel ytransformada de Mellin. En este capıtulo analizaremos la transformada de Fouriery la transformada de Laplace (que es un caso particular de la transformada deFourier). Mayores detalles sobre las transformadas integrales se pueden encontraren el capıtulo 11 del libro de Apostol6 sobre analisis matematico.

La transformada de Fourier es la transformacion integral de la funcion f(x) en elintervalo (−∞,∞) con el nucleo K(x, ξ) = (1/

√2π)e−iξx:

Definicion 2.1. Dada una funcion u suave a trozos y absolutamente integrable en(−∞,∞), llamaremos transformada de Fourier7 de u a la siguiente funcion:

u(ξ) =1√2π

∫ ∞

−∞u(x)e−iξxdx (11)

Notese que la definicion se extiende al caso complejo. La transformada de Fourierdefinida en (11) se conoce con el nombre de transformada exponencial (de Fourier).

Observacion 2.1. Denotaremos, dependiendo del contexto, la transformada de Fouri-er de una funcion u(x) en las formas (equivalentes)

U(ξ), u(ξ), F [u(x)], F [u](ξ)

Tambien usaremos distintas variables del tipo ξ, w, α o s para indicar la dependenciade la funcion transformada. La notacion utilizada se generalizara naturalmente altrabajar con funciones del tipo u(x, t).

La condicion para la integrabilidad absoluta de la funcion u(x) en todo el eje reales muy estricta. Por ejemplo, hay funciones elementales como u(x) = 1, u(x) = x3,

6Apostol, T.M., (1982). Analisis Matematico. 2 ed. Editorial Reverte.7A la funcion F se la conoce tambien con el nombre de funcion espectral.


u(x) = cos x, u(x) = ex para las cuales no existe la transformada de Fourier (en laforma clasica que estamos considerando aquı). La transformada de Fourier la tienensolo aquellas funciones que tienden a cero bastante rapidamente cuando |x| → +∞.Por ejemplo u(x) = e−αx2

, α > 0, cuya transformada es:

u(ξ) =1√2π

e−ξ2/4α

Otro ejemplo viene dado por la funcion

u(x) =

{e−αx x > 00 x < 0

, α > 0

Su transformada (o funcion espectral) se calcula entonces utilizando la formula (11)

F (ξ) =1√2π

∫ ∞

0

e−αxe−iξxdx =1√2π

(1

α + iξ

)

Tablas de transformadas de Fourier se encuentran por ejemplo en los libros de Green-berg8 o Krasnov et al9. Para comodidad del lector las hemos resumido en el anexoal final de este capıtulo.

2.1. La Transformada inversa de Fourier

Utilizando la transformada de Fourier la formula de inversion puede ser escrita enla forma:

u(x) =1√2π

∫ +∞

−∞u(ξ)eiξxdξ (12)

La formula 12 es llamada transformacion inversa de Fourier y da la conversionde u(ξ) a u(x). En la literatura (consultar el libro de Mei10, capıtulo 7) existenvarias definiciones equivalentes que se pueden resumir en los siguientes pares detransformada y antitransformada:

f(ξ) =

∫ +∞

−∞f(x)e−iξxdx, f(x) =

1

2π

∫ +∞

−∞f(ξ)eiξxdξ

Repartiendo el factor constante entre la transformada y su inversa:

f(ξ) =1√2π

∫ +∞

−∞f(x)e−iξxdx, f(x) =

1√2π

∫ +∞

−∞f(ξ)eiξxdξ

8Greenberg, M.D. (1998). Advanced Engineering Mathematics. International Edition.9Krasnov, M., Kiseliov, A., Makarenko, G., Shikin, (1994). E. Curso de matematicas superiores

para ingenieros. Vol 2. Ed. Mir.10Mei, C.C., (1997). Mathematical analysis in Engineering. Cambridge University Press.


o invertiendo el signo en la variable muda ξ

f(ξ) =

∫ +∞

−∞f(x)eiξxdx, f(x) =

1

2π

∫ +∞

−∞f(ξ)e−iξxdξ

2.2. Transformaciones seno y coseno

Las transformadas seno y coseno de Fourier se utilizan para la resolucion de EDPen dominios semiinfinitos ((0,∞), por ejemplo). Veamos su obtencion.

Aprovechando la formula trigonometrica de coseno de la diferencia de dos angulos

cos[ξ(x− τ)] = cos(ξx− ξτ) = cos(ξx) cos(ξτ) + sin(ξx) sin(ξτ)

en la formula integral de Fourier (11) se tiene:

Definicion 2.2.

uc(ξ) =

√2

π

∫ +∞

0

u(x) cos(ξx)dx

y se llama transformacion coseno de Fourier de la funcion u(x).

Es posible tambien comprobar que

u(x) =

√2

π

∫ +∞

0

uc(ξ) cos(ξx)dξ

Esto significa que u(x) es, a su vez, transformacion coseno para uc(ξ). De formaanaloga se tiene:

Definicion 2.3.

us(ξ) =

√2

π

∫ +∞

0

u(x) sin(ξx)dx

y se llama transformacion seno de Fourier de la funcion u(x).

Ademas

u(x) =

√2

π

∫ +∞

0

us(ξ) sin(ξx)dξ

es decir, u y Fs son mutuas transformaciones senos.


2.3. Propiedades de la transformada de Fourier

El operador (integral) transformada de Fourier

F [u(x)] = F [u](ξ)

satisface las siguientes propiedades

PROPIEDADES DE LA TRANSFORMADA DE FOURIER

1. Linealidad de la transformada de Fourier.

El operador transformada de Fourier es lineal puesto que la integracion es unaoperacion lineal. Es efecto, se verifica que:

F [αf(x) + βg(x)] = αF [f(x)] + βF [g(x)], ∀α, β ∈ IR

2. Acotacion de la transformada de Fourier.

Si F (ξ) = F [u(x)] = F [u](ξ) es la transformacion de Fourier de una funcionu(x) absolutamente integrable en todo IR, entonces la funcion transformadaF (ξ) es acotada para todo ξ ∈ IR.

3. Desplazamiento de una funcion

Sea F (ξ) = F [u(x)] = F [u](ξ) y a ∈ IR. La funcion ua(x) = u(x− a) se llamadesplazamiento de la funcion u(x). Se verifica que:

F [ua](ξ) = e−iξaF [u](ξ)

4. Formula del desplazamiento.

Sea F (ξ) = F [u(x)] = F [u](ξ) y a ∈ IR. Entonces:

F [eiaxu(x)] = F (ξ − a)

5. Transformada de una derivada. En las aplicaciones de la transformadade Fourier a la resolucion de las ecuaciones diferenciales, la propiedad funda-mental es que la transformada de la derivada de una funcion corresponde a lamultiplicacion de la transformada de la funcion original por el factor iξ. Enefecto, se tiene:

Sea dada una funcion u = u(x) derivable. Si existe la transformada de u′(x)entonces se tiene:

F [u′(x)](ξ) = iξF [u(x)](ξ) (13)


Condiciones suficientes que aseguran la existencia de esta transformada son,por ejemplo: u continua en IR, u(x) → 0 cuando |x| → ∞ y u′ absolutamenteintegrable en (−∞,∞). A partir de estas condiciones es facil ver que

F [u′(x)] =1√2π

∫ +∞

−∞u′(x)e−iξxdx =

=1√2π

[u(x)e−iξx|∞−∞ − (−iξ)

∫ +∞

−∞u(x)e−iξxdx

]= 0 + iξF [u(x)]

donde hemos integrado por partes y usado el hecho que u(x) → 0. Una apli-cacion de la formula (13) al calculo de las transformadas es como sigue:

Ejemplo 2.1. Calcular la transformada de Fourier de la funcion u(x) =xe−x2

.

Utilizando la formula (13), la propiedad de linealidad y la tabla de transfor-madas de Fourier que aparece en los anexos para el calculo de F [e−x2

] se tiene

F [xe−x2

] = F

[−1

2(e−x2

)′]

= −1

2F

[(e−x2

)′]

= −1

2iξF [e−x2

] = − 1

2√

2iξe−ξ2/4

puesto que F [e−x2

] = (1/√

2)e−ξ2/4.

6. Transformada de derivadas de orden superior. Dos aplicaciones sucesi-vas de la formula (13) nos dan:

F [u′′(x)] = iwF [u′(x)] = (iw)2F [u(x)]

Se razona de forma analoga para las derivadas de orden superior. En efecto setiene:

Sea dada una funcion u = u(x) que tiene derivadas suaves absolutamenteintegrables de hasta el orden m inclusive, y toda estas, igual que la mismafuncion u(x), tienden a cero, cuando |x| → +∞. Se tiene:

F [u(k)(x)](ξ) = (iξ)kF [u(x)](ξ), k = 0, 1, ..., m

7. Derivadas de orden superior de transformadas

Transformada de productos del tipo xnu(x) (Derivadas de transformadas).Bajo hipotesis adecuadas (supondremos que no solo u sino que tambien losproductos xnu(x) son funciones absolutamente integrables en IR) se tiene:

id

dξF (ξ) = F [xu(x)](ξ),


y, mas en general:

indn

dξn F [u](ξ) = F [xnu(x)](ξ), n = 1, 2, ...m.

Notese que cuanto mas rapidamente decrezca la funcion u(x), cuando |x| →+∞, tanto mas suave resultara la funcion F (ξ).

8. Teorema de Convolucion.

Sean las funciones f(t) y φ(t) definidas y continuas para todos los valores det. Se llama convolucion (f ∗ φ)(t) de estas funciones a una funcion nueva det definida por la igualdad

(f ∗ φ)(t) =

∫ +∞

−∞f(τ)φ(t− τ)dτ (14)

(si esta integral existe). Para funciones f(t) y φ(t) tales que existe la transfor-mada de Fourier la operacion de convolucion siempre es posible, ademas

(f ∗ φ)(t) =

∫ +∞

−∞f(τ)φ(t− τ)dτ =

∫ +∞

−∞φ(τ)f(t− τ)dτ = (φ ∗ f)(t)

es decir, que la operacion de convolucion es conmutativa (y lineal).

Teorema 2.1 (de convolucion). Si F [f(t)] = F (s) y F [φ(t)] = Φ(s) entonces

F [(f ∗ φ)(t)] = F (s)Φ(s)

El teorema 2.1 se conoce tambien como el teorema de multiplicacion, ya quela transformada de una convolucion de dos funciones viene dada por la multi-plicacion de las transformadas de las funciones.

2.4. La transformada de Fourier multidimensional

La transformada de Fourier se puede tambien definir en el caso n-dimensional. Enconcreto, sea x = (x1, x2, ..., xn) ∈ IRn. Se tiene entonces que

Definicion 2.4. Se llama transformacion de Fourier de una funcion absolutamenteintegrable u(x1, x2, ..., xn) a la funcion

F (ξ1, ξ2, ..., ξn) =1

(√

2π)n

∫ ∞

−∞.....

∫ ∞

−∞u(x)e−i(ξ1x1+ξ2x2+...ξnxn)dx1dx2....dxn (15)

3. Aplicaciones: dominios no acotados y Transformadas de Fourier 17

3. Aplicaciones: dominios no acotados y Transfor-

madas de Fourier

La tecnica de las transformadas de Fourier se aplica en un dominio infinito en lavariable espacial para reducir una EDP en una EDO.

3.1. Difusion unidimensional. Solucion general en forma in-tegral

Se considera el problema de valor inicial y de contorno asociado al proceso de difusionunidimensional dado por

∂u

∂t= k

∂2u

∂x2, |x| < ∞, t > 0

u → 0, |x| → ∞, t > 0,

u(x, 0) = f(x), |x| < ∞, t = 0

donde |x| denota los x ∈ IR tales que −∞ < x < ∞, es decir, todo el eje real. Laconstante k > 0 representa un coeficiente de difusion, u(x, t) (la incognita) es laconcentracion de una especie quımica y f(x) (dato inicial) es la concentracion dela sustancia presente inicialmente. La condicion lımite en el infinito (u → 0 cuando|x| → +∞) se interpreta como una condicion de decaimiento en el infinito. Se sueledenotar tambien en la forma (notacionalmente incorrecta pero suficientemente clara)u(±∞, t) = 0. Supondremos la regularidad suficiente del dato inicial para que lascuentas que siguen tengan perfecto sentido.

Tenemos, por tanto, un proceso de difusion en un dominio infinito. La tecnica ade-cuada para su tratamiento es la tecnica de la transformada exponencial de Fourier.

Para ello, sea U(α, t) la transformada exponencial de Fourier de u(x, t):

U(α, t) =

∫ ∞

−∞u(x, t)e−iαxdx

︸︷︷︸Transformada exponencial

siendo


u(x, t) =1

2π

∫ ∞

−∞U(α, t)eiαxdα


la transformada exponencial inversa de Fourier. Si tomamos transformada en la EDP

∂u

∂t= k

∂2u

∂x2, |x| < ∞

se tiene (por linealidad)

F

[∂u

∂t

]= kF

[∂2u

∂x2

]

es decir (utilizando la definicion)

∫ ∞

−∞

∂u

∂te−iαxdx = k

∫ ∞

−∞

∂2u

∂x2e−iαxdx

En la integral izquierda intercambiamos los operadores integral (espacial) con el dederivacion (temporal) para obtener

∫ ∞

−∞

∂u

∂te−iαxdx =

∂

∂t

(∫ ∞

−∞ue−iαxdx

)=

dU

dt

donde el abuso de notacion en la derivada dU/dt siendo U(α, t) es debido al hechoque α puede considerarse un parametro11. La integral derecha se calcula integrandopor partes dos veces, lo que nos da:

∫ ∞

−∞

∂2u

∂x2e−iαxdx =

[∂u

∂xe−iαx

]∞

−∞+ iα

∫ ∞

−∞

∂u

∂xe−iαxdx = (iα)2U = −α2U

La EDP se ha transformado en la EDO de primer orden

dU

dt+ kα2U = 0

11Es aquı fundamental observar que el resultado anterior se verifica puesto que la transformadade Fourier se ha tomado con respecto a la variable espacial.


La condicion inicial

Necesitamos una condicion inicial y la tenemos tomando la transformada del datoinicial:

U(α, 0) =

∫ ∞

−∞f(x)e−iαxdx = F (α)

︸︷︷︸Transformada dato inicial

Nos hemos reconducido a resolver el problema de Cauchy

dU

dt+ kα2U = 0

U(α, 0) = F (α)

dado por una EDO lineal homogenea de primer orden complementada con unacondicion (inicial) en t = 0. Se trata por tanto de un problema de valor inicial.Notese que esta reduccion (de EDP a EDO) ha funcionado pues todos los coeficientesde la EDP (en este caso la conductividad calorıfica k) eran independientes de x. Lasolucion del PVI es inmediata (por separacion de variables):

U(α, t) = F (α)e−kα2t

Transformada inversa

Utilizando la expresion de la transformada inversa obtenemos la formula de repre-sentacion de la solucion en forma integral (solucion integral):

u(x, t) =

Formula de inversion︷︸︸︷1

2π

∫ ∞

−∞F (α)e−kα2t


eiαxdα (16)

De forma mas explıcita se tiene

u(x, t) =1

2π

∫ ∞

−∞

(∫ ∞

−∞f(ξ)e−iαξdξ

)eiαx−kα2tdα

es decir (utilizando propiedades bien conocidas de linealidad de los operadores inte-grales que aparecen en la formula anterior)


u(x, t) =1

2π

∫ ∞

−∞f(ξ)

(∫ ∞

−∞eiα(x−ξ)−kα2tdα

)dξ

︸︷︷︸representacion integral de la solucion

Utilizando ahora que cos(A − B) = cos(A) cos(B) + sin(A) sin(B), la paridad dela funcion coseno (cos(θ) = cos(−θ)), la imparidad de la funcion seno (sin(θ) =− sin(−θ)) ası como la simetrıa del intervalo de integracion y la formula de expo-nenciacion compleja de Euler12

e±iα(x−ξ) = cos[α(x− ξ)]± i sin[α(x− ξ)]

se deduce que la solucion del problema original es

u(x, t) =1

π

∫ ∞

−∞f(ξ)

(∫ ∞

0

cos α(x− ξ)e−kα2tdα

)dξ

Una solucion integral se llama tambien solucion en forma cerrada (para diferenciarlade las soluciones en en forma de series infinitas o de las soluciones numericas). Elalcance y uso practico del resultado general anterior se puede entender examinandounas condiciones iniciales especıficas.

3.1.1. La Delta de Dirac: una fuente localizada.

Supongamos que una fuerza externa de gran magnitud actue sobre un sistemamecanico durante un lapso muy breve (por ejemplo un rayo golpeando el ala deun avion). Las siguientes funciones pueden servir de modelo matematico de estetipo de fuerzas

Definicion 3.1. Sean a > 0, t0 > 0. Se define como funcion impulso unitario ala funcion

δa(t− t0) =

0 0 ≤ t < t0 − a

1

2at0 − a ≤ t < t0 + a

0 t ≥ t0 + a

siendo

∫ ∞

0

δa(t− t0)dt = 1.

Pasando al lımite cuando a → 0 se tiene

12El desarrollo detallado de estas cuentas se puede encontrar en el libro de Greenberg13 capıtulo17. Prerequisito fundamental para la comprension de estos razonamientos es el primer tema delprimer curso dedicado a los numeros complejos


δ(t− t0) = lıma→0

δa(t− t0)

Observacion 3.1. La expresion δ(t− t0) (que no es una funcion14) se caracterizapor su efecto sobre otras funciones y se denomina delta de Dirac. Si f es unafuncion continua, se tiene

∫ ∞

0

f(t)δ(t− t0)dt = f(t0)

Observacion 3.2. Otra forma de definir la delta de Dirac (no correcta pero acep-tada) es:

δ(t− t0) =

{ ∞ t = t00 t 6= t0

,

∫ ∞

0

δ(t− t0)dt = 1

Esta formula no es correcta puesto que ninguna funcion real, f : IR → IR se puededefinir en un punto de singularidad. Sin embargo, se acepta puesto que expresa lapropiedad fundamental de la Delta de Dirac: que su integral en [0,∞) vale 1.

Supongase ahora que la concentracion inicial de una especia quımica esta localizadaen el origen:

u(x, 0) = f(x) = δ(x)

La concentracion total correspondiente en el instante t = 0 y en el eje de las x ∈(−∞,∞), es igual a la unidad. La transformada de Fourier del dato inicial es

F (α) =

∫ ∞

−∞δ(x)e−iαxdx = 1

luego considerando la expresion general de la solucion integral dada en (16)

u(x, t) =1

2π

∫ ∞

−∞F (α)e−kα2teiαxdα

se tiene

u(x, t) =1

2π

∫ ∞

−∞e−kα2teiαxdα =

1

π

∫ ∞

0

e−kα2t cos(αx)dα

14Se trata en efecto de una distribucion o funcion generalizada. El marco teorico necesario paratrabajar (con rigor) con la Delta de Dirac ha sido introducido por el matematico frances LaurentSchwartz.


Observando la expresion de la funcion exponencial que aparece an la formula ante-rior, introducimos el cambio de variables

α =z√kt

Entonces

u(x, t) =1

π√

kt

∫ ∞

0

e−z2

cos

(xz√kt

)dz =

1

π√

ktI(µ)

siendo

µ =x

π√

kt, y I(µ) =

∫ ∞

0

e−z2

cos(µz)dz.

El calculo de la integral I(µ) se puede efectuar resolviendo un problema de valorinicial asociado. Para deducir el problema, se deriva I(µ) con respecto a µ paraobtener:

dI

dµ= −

∫ ∞

0

ze−z2

sin(µz)dz =1

2

∫ ∞

0

sin(µz)d(e−z2

) =

(integrando por partes)

=

[1

2e−z2

sin(µz)

]∞

0

− 1

2µ

∫ ∞

0

e−z2

cos(µz)dz = −1

2µI

Hemos obtenido la ecuacion diferencial de primer orden para la integral I(µ) queaparece en la expresion de la solucion

dI

dµ= −1

2µI

que se complementa con la condicion inicial

I(0) =

∫ ∞

0

e−z2

dz =

√π

2erf(∞) =

√π

2

donde se ha utilizado el hecho de que (vease el anexo al final del tema donde seintroducen las definiciones y propiedades de la funcion de error erf y de su com-plementaria, erfc) erf(z) → 1 cuando z → ∞. Tenemos por tanto que resolver elproblema de Cauchy (o de valor inicial puesto que x = 0 implica µ = 0)

dI

dµ+

1

2µI = 0

I(0) =

√π

2


cuya solucion I(µ) es (por separacion de variables)

I(µ) = I(0)e−µ2

4 =

√π

2e−

µ2

4

pero u =1

π√

ktI(µ) luego la solucion del problema de valor inicial y de contorno es

u(x, t) =1

π

∫ ∞

0

e−kα2t cos(αx)dα =1

2√

πkte−

x2

4kt

donde la primera igualdad corresponde a la formula integral de la solucion calcu-lada para el dato inicial representado por la Delta de Dirac y la segunda igualdadcorresponde a su calculo explıcito. Notese que en cualquier instante, la distribucionespacial de u es gaussiana. La altura del pico (maximo) de u disminuye de manerainversamente proporcional a

√kt mientras su amplitud crece con

√kt. Este com-

portamiento es tıpico de los fenomenos de difusion. El analisis de este problemaası como su estudio grafico se puede encontrar en la tercera practica de laboratorioque acompana el desarrollo de este tema.

Si la fuente u(x, 0) = δ(x) estuviera en x = ξ 6= 0 entonces la solucion se puedeescribir en la forma

u(x− ξ, t) =1

π

∫ ∞

0

e−kα2t cos α(x− ξ)dα =1

2√

πkte−

(x−ξ)2

4kt

Para un dato inicial cualquiera f(x) la temperatura en cualquier instante es:

u(x, t) =1√

4πkt

∫ ∞

−∞f(ξ)e−

(x−ξ)2

4kt dξ (17)

3.1.2. La funcion de Heaviside. Temperatura inicial discontinua

En primer lugar introducimos la definicion de la funcion de Heaviside, H(x). Se tratade una funcion muy importante de la fısica-matematica cuyo tratamiento rigurosose introducira en la seccion 5.3.1. Se tiene que

H(x).=

{0 x ≤ 01 x > 0

Consideraremos ahora como dato inicial una temperatura discontinua del tipo f(x) =f0H(x), siendo H(x) la funcion de Heaviside y f0 una constante. Utilizando la formu-la general (17) tenemos la solucion de la EDP para un dato inicial generico:


u(x, t) =1√

4πkt

∫ ∞

−∞f(ξ)e−

(x−ξ)2

4kt dξ

luego particularizando a nuestro caso se tiene

u(x, t) =1√

4πkt

∫ ∞

−∞f0H(ξ)e−

(x−ξ)2

4kt dξ =f0√4πkt

∫ ∞

0

e−(x−ξ)2

4kt dξ

Sea ζ = x− ξ. Entonces

u(x, t) = − f0√4πkt

∫ −∞

x

e−ζ2

4kt dζ

Definimos

η =ζ√4kt

La solucion se escribe ahora:

u(x, t) =f0√π

∫ x/√

4kt

−∞e−η2

dη =f0√π

[∫ 0

−∞e−η2

dη +

∫ x/√

4kt

0

e−η2

dη

]

es decir

u(x, t) =f0

2

[1 + erf

(x√4kt

)]

siendo

erf(z).=

2√π

∫ z

0

e−η2

dη

la funcion de error. Examinando la grafica de la solucion obtenida se tiene quecuando el tiempo crece la discontinuidad inicial (prescrita al poner f(x) = f0H(x))se va suavizando mientras la amplitud de la zona de transiccion se expande como√

kt.

3.2. Dominios semiinfinitos

En problemas fısicos definidos en dominios semiinfinitos la transformada exponen-cial de Fourier es inadecuada y es util introducir los conceptos de transformada


seno y coseno de Fourier. Ambas transformadas son utiles para trabajar en domin-ios semiinfinitos (por ejemplo (0,∞)) pero cual de las dos utilizar depende de lascondiciones de contorno en x = 0. Ilustraremos esta cuestion considerando un prob-lema de difusion unidimensional. Notese que en este caso tambien serıa posible (enprincipio) utilizar el metodo de la transformada de Laplace (aplicado espacialmenteo temporalmente).

3.2.1. Transformadas seno inversas de Fourier

Si f(x) es impar en (−∞,∞) o si f(x) esta definida en 0 < x < ∞ y se extiende auna funcion impar en todo el eje real, entonces

∫ ∞

−∞f(ξ) cos(αξ)dξ = 0

y el teorema integral de Fourier se escribe en la forma

f(x) =2

π

∫ ∞

0

(∫ ∞

0

f(ξ) sin(αξ)dξ

)

︸︷︷︸Transformada seno de Fourier

sin(αx)dα

Si definimos

fs(α) =

∫ ∞

0

f(x) sin(αx)dx

︸︷︷︸Transformada seno de Fourier

como la transformada seno de Fourier (denotada mediante el subındice s) en-tonces el teorema integral de Fourier nos da la expresion

f(x) =2

π

∫ ∞

0

Fs(α) sin(αx)dα


de la transformada seno inversa de la transformada seno de Fourier.

3.2.2. Transformadas coseno inversas de Fourier

Si f(x) es par en (−∞,∞) o si f(x) esta definida en 0 < x < ∞ y se extiende a unafuncion par en todo el eje real, entonces el teorema integral de Fourier se escribe enla forma


f(x) =

Formula de inversion︷︸︸︷2

π

∫ ∞

0

(∫ ∞

0

f(ξ) cos(αξ)dξ

)

︸︷︷︸transformada coseno

cos(αx)dα

Si definimos

fc(α) =

∫ ∞

0

f(x) cos(αx)dx

como la transformada coseno de Fourier (denotada mediante el subındice c)entonces el teorema integral de Fourier nos da la expresion

f(x) =2

π

∫ ∞

0

fc(α) cos(αx)dα

︸︷︷︸formula de inversion

de la transformada coseno inversa de la transformada coseno de Fourier.

3.2.3. Difusion en un dominio semiinfinito. Flujo de calor prescrito enel extremo izquierdo. Transformada de cosenos de Fourier.

Se considera el proceso de conduccion del calor en una varilla semiinfinita (0,∞).

∂u

∂t= k

∂2u

∂x2, 0 < x < ∞, t > 0

u → 0, x →∞, t > 0,

u(x, 0) = h(x), 0 < x < ∞, t = 0

complementado con la condicion de contorno

∂u

∂x(0, t) = f(t), x = 0

que representa un flujo de calor transitorio (notese la dependencia en f = f(t))en x = 0 mediante una condicion de tipo Neumann no homogenea en el extremoizquierdo. Puesto que no hay contorno se prescribe un comportamiento lımite dedecaimiento en el infinito. La funcion h(x) es el dato inicial.

Sea Uc(α, t) la transformada coseno de Fourier de u(x, t):

Uc(α, t) =

∫ ∞

0

u(x, t) cos(αx)dα

︸︷︷︸Transformada coseno


siendo

Formula de inversion︷︸︸︷u(x, t) =

2

π

∫ ∞

0

Uc(α) cos(αx)dα

︸︷︷︸transformada coseno inversa

la transformada coseno inversa de Fourier.

Si tomamos la transformada de cosenos de Fourier en la EDP

∂u

∂t= k

∂2u

∂x2, 0 < x < ∞

se tiene

∫ ∞

0

∂u

∂tcos(αx)dx = k

∫ ∞

0

∂2u

∂x2cos(αx)dx

En la integral izquierda intercambiamos los operadores integral (espacial) con el dederivacion (temporal) para obtener

∫ ∞

0

∂u

∂tcos(αx)dx =

∂

∂t

(∫ ∞

0

u cos(αx)dx

)=

dUc

dt

Nuevamente se observa que α puede considerarse un parametro luego el (aparente)abuso de notacion en la derivada dUc/dt siendo Uc(α, t). La integral derecha sedesarrolla integrando por partes

∫ ∞

0

∂2u

∂x2cos(αx)dx =

[∂u

∂xcos(αx)

]∞

0

+ α

∫ ∞

0

∂u

∂xsin(αx)dx =

= −∂u

∂x(0, t) + [αu sin(αx)]∞0 − α2

∫ ∞

0

u(x, t) cos(αx)dα

donde el ultimo termino integral es la transformada de cosenos Uc(α, t). Se deducepor tanto

∫ ∞

0

∂2u

∂x2cos(αx)dx = −∂u

∂x(0, t) + [αu sin(αx)]∞0 − α2Uc(α, t)

Notese que las igualdades anteriores se pueden desarrollar sin necesidad de conocerel valor de u(0, t) (valor que, de hecho, es desconocido en el caso en estudio). Enefecto la cantidad [αu sin(αx)]∞0 ≡ 0 pues u → 0 cuando x → 0 (condicion lımite de


decaimiento en el infinito) y sin(0) = 0. Aplicando la condicion de contorno para laderivada primera en el extremo izquierdo la EDP se ha transformado en la EDO deprimer orden, lineal y no homogenea

dUc

dt+ kα2Uc = −k

∂u

∂x(0, t) = −f(t)

La condicion inicial

El valor inicial Uc(α, 0) se determina transformando la condicion inicial

Uc(α, 0) = Hc(α).=

∫ ∞

0

h(x) cos(αx)dx

Nos hemos reconducido a resolver el problema de Cauchy

dUc

dt+ kα2Uc = −kf(t)

Uc(α, 0) = Hc(α)

La solucion del PVI se obtiene con el metodo del factor integrante escribiendo laEDO en la forma:

e−kα2t(Uce

kα2t)′

= −kf(t)

e integrando directamente en (0, t):

Uc(α, t) = Hc(α)e−kα2t − k

∫ t

0

f(τ)e−kα2(t−τ)dτ

Transformada inversa

Utilizando la expresion de la transformada inversa de cosenos obtenemos la formulade representacion de la solucion en forma integral (solucion integral):

u(x, t) =2

π

∫ ∞

0

Hc(α) cos(αx)e−kα2tdα−2k

π

∫ ∞

0

cos(αx)

(∫ t

0

f(τ)e−kα2(t−τ)dτ

)dα =

=2

π

∫ ∞

0

h(ξ)

(∫ ∞

0

cos(αξ) cos(αx)e−kα2tdα

)dξ+


−k2

π

∫ t

0

f(τ)

(∫ ∞

0

cos(αx)e−kα2(t−τ)dα

)dτ (18)

La primera integral respresenta los efectos en la distribucion de temperaturas debidosal dato inicial:

2

π

∫ ∞

0

h(ξ)

(∫ ∞

0

cos(αξ) cos(αx)e−kα2tdα

)dξ

︸︷︷︸Efecto del dato inicial

la segunda integral representa los efectos debidos el termino de contorno:

k2

π

∫ t

0

f(τ)

(∫ ∞

0


)dτ

︸︷︷︸Efecto del dato de contorno

Unas cuentas en poco mas delicadas (vease el libro de Mei, pag 156) permiten obtenerla formula integral de la solucion en la forma:

u(x, t) =

∫ ∞

−∞

h(|ξ|)√4πkt

e−x2

4k(t−τ) dξ −√

k

π

∫ t

0

f(τ)√t− τ

e−x2

4k(t−τ) dτ .

Veamos ahora que hubiese ocurrido si hubieramos elegido una transformada de senos.Integrando por partes

∫ ∞

0

sin(αx)∂2u

∂x2dx =

[∂u

∂xsin(αx)

]∞

0

− α

∫ ∞

0

cos(αx)∂u

∂xdx =

=

[∂u

∂xsin(αx)

]∞

0

− αu cos(αx)|∞0 − α2

∫ ∞

0

sin(αx)udx

En el primer termino la condicion de flujo en la frontera x = 0 es inutil (en el sentidode que no influye puesto que sin(0) = 0) mientras en el segundo termino u(0, t) estodavıa desconocido. Claramente la transformada seno es inadecuada.

3.2.4. Difusion en un dominio semiinfinito. Temperatura prescrita en elextremo izquierdo. Transformada de senos de Fourier.

Supongase que el extremo izquierdo de la varilla se pone en contacto con una fuentede calor:

u(0, t) = g(t), t > 0


entonces la transformada senos es lo que se necesita. Razonando como antes se tieneque el problema transformado viene gobernado por la EDO (lineal, de primer ordeny no homogenea)

dUs

dt+ kα2Us = kαg(t), t > 0

complementada con la condicion inicial

Us(α, 0) = Hs(α) =

∫ ∞

0

h(x) sin(αx)dx

La solucion Us(α, t) (transformada seno de la solucion original u(x, t)) se puedeencontrar con el metodo del factor integrante. Tras ello, tomamos la transformadade senos inversa para obtener:

u(x, t) =2

π

∫ ∞

0

Hs(α) sin(αx)e−kα2tdα +2k

π

∫ ∞

0

(∫ t

0

g(τ)e−kα2(t−τ)dτ

)sin(αx)dα

La primera integral respresenta los efectos en la distribucion de temperaturas de-bidos al dato inicial; la segunda integral representa los efectos debidos el termino decontorno.

Se considera en detalle el caso h = Hs = 0. Entonces

u(x, t) =2k

π

∫ ∞

0

(∫ t

0

g(τ)e−kα2(t−τ)dτ

)sin(αx)dα

Unas cuentas un poco mas avanzadas (vease el libro de Mei, pag 157) permitenobtener la formula integral de la solucion en la forma:

u(x, t) =2k

π

∫ t

0

(− ∂

∂x

)[∫ ∞

0


]g(τ)dτ

es decir

u(x, t) = 2k

∫ t

0

g(τ)

(− ∂

∂x

) [e−x2/4k(t−τ)

√4πk(t− τ)

]dτ

luego

u(x, t) =x√4πk

∫ t

0

g(τ)

(t− τ)3/2e−x2/4k(t−τ)dτ

En particular si g(t) = U0 (es decir, si g(t) es constante) entonces


u(x, t) =U0x√4πk

∫ t

0

e−x2/4k(t−τ)

(t− τ)3/2dτ

Notese que, todavıa tenemos una expresion poco clara de la solucion. Sin embargo,el cambio de variables

η =x√

4k(t− τ),

∂η

∂τ=

x

4√

k(t− τ)3/2,

finalmente implica

u(x, t) =U0√π

∫ ∞

0

xdτ

2√

k(t− τ)3/2e−kα2(t−τ) =

2U0√π

∫ ∞

x/2√

kt

e−η2

dη =

= U0

(1− 2√

π

∫ x/√

4kt

0

e−η2

dη

)= U0

[1− erf

(x√4kt

)]= U0 erfc

(x√4kt

)

donde erf(z) es la funcion de error y erfc(z) es la funcion de error complementaria(cuya definicion y propiedades se encuentran resumidas en los anexos).

3.2.5. Difusion en un dominio semiinfinito. Extremo izquierdo parcial-mente aislado.

Si la condicion de contorno es del tipo mixto y transitoria

∂u

∂x− βu = f(t), x = 0, ∀ t > 0

entonces no hay una clara ventaja en utilizar una u otra de las transformadas.Escribimos la condicion anterior como

∂u

∂x(0, t) = f(t) + βu(0, t), ∀ t > 0

y aplicamos (formalmente) la transformada de cosenos. A partir de (18) la solucionformal es

u(x, t) = −k2

π

∫ t

0

[f(τ) + βu(0, τ)]

(∫ ∞

0


)dτ . (19)

En el extremo x = 0 se debe tener

u(0, t) = −k2

π

∫ t

0

[f(τ) + βu(0, τ)]

(∫ ∞

0

e−kα2(t−τ)dα

)dτ .


lo que representa una ecuacion integral para u(0, t). Sea

z = α√

k(t− τ)

entonces2

π

1√k(t− τ)

∫ ∞

0

e−z2

dz =

√2

π

1√k(t− τ)

y podemos escribir

u(0, t) = β

√2k

π

∫ t

0

u(0, τ)√(t− τ)

dτ +

√2k

π

∫ t

0

f(τ)√(t− τ)

dτ

Esta es una ecuacion integral15 del tipo de Volterra (y del segundo tipo) que, enprincipio, se puede resolver con la transformada de Laplace. Una vez obtenida laexpresion de u(0, t) a partir de la ecuacion integral, la solucion es completa utilizando(19).

4. El paso de la integral de Fourier a la transfor-

mada de Laplace

Hemos visto que la transformada de Fourier es meramente una reformulacion dela integral de Fourier que es el caso lımite de las series de Fourier de una funcionperiodica (cuando el periodo tiende al infinito). En el segundo tema vimos que lasseries de Fourier aparecen como el desarrollo en serie de la solucion en terminosde autofunciones que se originan en un problema de Sturm-Liouville (periodico).En principio, la transformada de Laplace y su formula de inversion no parecenrelacionadas con estos metodos de Fourier. Sin embargo, veremos en esta seccionque la transformada de Laplace y su inversa se pueden deducir a partir del teoremaintegral de Fourier. Se empieza con la forma de exponenciales complejas

u(t) =1

2π

∫ ∞

−∞

[∫ ∞

−∞u(τ)e−iwτdτ

]eiwtdw, −∞ < t < ∞ (20)

donde hemos utilizado t (el tiempo) en lugar de x (el espacio) para indicar el tıpicocaso de aplicacion de la transformada de Laplace. Notese que la transformada deLaplace esta definida solo para t ≥ 0 luego truncamos u(t) en el semieje real negativoy suponemos que u es de la forma

u(t) = e−γtf(t), t ≥ 0, u(t) ≡ 0, t < 0

15La consideracion de las ecuaciones integrales desborda los objetivos del curso. Detalles sepueden encontrar, por ejemplo, en el libro de Tricomi, F.G. (1957). Integral Equations. Wiley-Interscience, New York.

4. El paso de la integral de Fourier a la transformada de Laplace 33

Supondremos ademas f de orden exponencial. Entonces se puede demostrar que lafuncion u satisface la condicion de absoluta integrabilidad en IR que aparece en lashipotesis del teorema (1.1). En terminos de la funcion de Heaviside podemos escribir(20) en la forma

H(t)e−γtf(t) =1

2π

∫ ∞

−∞

[∫ ∞

0

e−γτf(τ)e−iwτdτ

]eiwtdw, −∞ < t < ∞ (21)

Multiplicando por e−γt se tiene

H(t)f(t) =1

2π

∫ ∞

−∞

[∫ ∞

0

e−(γ+iw)τf(τ)dτ

]e(γ+iw)tdw, −∞ < t < ∞ (22)

Introduciendo el nuevo parametro s (en lugar de w) y en la forma (dictada por (22))s = γ + iw se tiene

H(t)f(t) =1

2πi

∫ γ+i∞

γ−i∞

[∫ ∞

0

e−sτf(τ)dτ

]

︸︷︷︸Transformada de Laplace

estds, −∞ < t < ∞ (23)

donde el sımbolo

∫ γ+i∞

γ−i∞denota la integracion a lo largo de una recta vertical en

el plano complejo. Si definimos la transformada de Laplace (tal y como apareceindicado en (23)) como

L[f(t)] = F (s) =

∫ ∞

0

e−stf(t)dt (24)

(hemos cambiado la variable muda de τ a t) entonces (23) nos da la formula deinversion

L−1[F (s)] = H(t)f(t) =1

2πi

∫ γ+i∞

γ−i∞F (s)estds (25)

Resumiendo hemos utilizado la expresion de la integral de Fourier en terminos deexponenciales complejas para deducir la transformada de Laplace y la formula deinversion.


5. La Transformada de Laplace

La mayorıa de los problemas fısico-quımicos consisten en resolver una ecuacion di-ferencial (que modeliza el sistema considerado), obtener su solucion general y luegouna solucion particular mediante la aplicacion de condiciones de contorno o condi-ciones iniciales a la solucion general obtenida. Ejemplos de modelos matematicoslineales de un sistema fısico son el de una masa y un resorte o de un circuito electri-co en serie.

En este tema estudiaremos un metodo de resolucion de gran utilidad en el tratamien-to de problemas de valor inicial (P.V.I) en el origen (t = 0) para el caso de ecua-ciones y sistemas de ecuaciones diferenciales lineales de coeficientes constantes16:la Transformada de Laplace. Ademas esta tecnica sera aplicable (bajo hipotesisadecuadas) tanto a ecuaciones diferenciales ordinarias como en derivadas parcialesy puede ser tambien usada para resolver ciertas ecuaciones integrales o integro dife-renciales (vease el libro de Zill17, capıtulo 7, ejemplo 7).

Una de las figuras principales del metodo es que puede ser aplicado a ecuacionestales que el termino derecho (que tıpicamente suele representar una fuerza externaal sistema) puede ser una funcion discontinua18.

Introduciremos la definicion de la transformada de Laplace mediante el conceptode transformada integral. Si f(t) es una funcion definida para t ≥ 0, entonces laintegral impropia

∫ ∞

0

K(s, t)f(t)dt

se define como un lımite:

∫ ∞

0

K(s, t)f(t)dt.= lım

b→∞

∫ b

0

K(s, t)f(t)dt

Si existe el lımite, se dice que la integral existe o que es convergente; si no existeel lımite, la integral no existe y se dice que es divergente. En general, el lımiteanterior existe solo para ciertos valores de la variable s. Si elegimos como nucleo de

16En realidad es posible aplicar el metodo de la transformada de Laplace a EDO lineales concoeficientes no necesariamente constantes. Un ejemplo se puede encontrar en el libro del Zill.

17Zill, D.G., (1997). Ecuaciones Diferenciales con aplicaciones de modelado. International Thom-son Editores. 6 ed.

18El tipo de discontinuidad admisible para un tratamiento en terminos del metodo de la trans-formada de Laplace sera considerado mas adelante, al introducir el concepto de funcion continuaa trozos en un intervalo infinito.

5. La Transformada de Laplace 35

la transformada integral la funcion

K(s, t) = e−st

entonces tenemos la transformada de Laplace. En concreto

Definicion 5.1. Sea f(t) una funcion definida para todo t ≥ 0. Entonces se definesu transformada de Laplace como la funcion:

L[f(t)].= F (s)

.=

∫ ∞

0

f(t)e−stdt (26)

siempre y cuando la integral converja. La transformada inversa (o antitransfor-mada de Laplace) se denota (si existe) por:

f(t) = L−1[F (s)].

Como notacion general emplearemos letras minusculas para representar la funciona transformar y la mayuscula correspondiente para denotar su transformada deLaplace; por ejemplo

L[f(t)] = F (s), L[g(t)] = G(s), L[y(t)] = Y (s)

La notacion correspondiente que utilizaremos para la transformada inversa sera

f(t) = L−1[F (s)], g(t) = L−1[G(s)], y(t) = L−1[Y (s)]

El analisis del problema del calculo practico de la transformada inversa de Laplacesera considerado en la seccion 6.

Tal y como se afirma en la definicion (26), la expresion de la transformada de Laplaceexiste (esta bien definida) si la integral impropia es convergente. El dominio dedefinicion de F (s) sera el conjunto de los valores de s ∈ IR para los que la integralque aparece en (26) es convergente.

Ejemplo 5.1. Sea f(t) = 1. Calcular L[f(t)].

A partir de la definicion (26) se tiene que

L[1] =

∫ ∞

0

e−st(1)dt = lımb→∞

∫ b

0

e−stdt = lımb→∞

−e−st

s|b0 = lım

b→∞−e−sb + 1

s=

1

s

siempre que s > 0 pues de lo contrario (s < 0)

lımb→∞

−e−sb + 1

s→∞


y la integral es divergente. Si s = 0 entonces se tiene∫ ∞

0

dt → +∞

luego la transformada de Laplace de la unidad es

L[1] = F (s) =1

s, ∀ s > 0

A pesar de que la transformada de Laplace pueda existir para algunos valores de sy no existir para otros valores de s, tambien puede ocurrir que la transformada deLaplace no exista para cualquier valor de s. Por ejemplo, L[1/t] no existe, independi-entemente del valor de la variable s que aparece en la definicion de la transformada.

Un criterio que nos proporciona condiciones suficientes para la existencia de la trans-formada de Laplace de una funcion f(t) se puede enunciar a partir de las siguientesdefiniciones (que atanen a la regularidad y al crecimiento de la funcion a transfor-mar):

Definicion 5.2. Una funcion f(t) es continua a trozos en [0,∞) si, en cualquierintervalo 0 ≤ a ≤ t ≤ b hay, a lo sumo, una cantidad finita de puntos tk, k = 1, 2...n,(tk−1 < tk) en los cuales f tiene discontinuidades finitas y es continua en todointervalo abierto tk−1 < t < tk.

La definicion (5.2) caracteriza las funciones continuas a trozos19 como las funcionesque tienen un numero finito de discontinuidades finitas (de salto) en cada intervalocompacto y que son continuas en cada intervalo abierto entre dos puntos de discon-tinuidad. Esta propiedad garantiza la integrabilidad segun Riemann de la funcionf(t)e−st (el integrando de la transformada) en cada compacto de la recta real deltipo [0, b], b > 0. Sin embargo, la definicion de la transformada de Laplace requiereque haya integrabilidad hasta el infinito luego la condicion no es, evidentemente, su-ficiente para garantizar la existencia de la transformada. Hace falta alguna hipotesismas restrictiva sobre el comportamiento de la funcion f(t) a transformar. En con-creto tenemos que analizar el crecimiento de la funcion en el infinito.

Para ello se compara el crecimiento de la funcion que queremos transformar con alguncrecimiento lımite que garantize la existencia de la transformada. Concretamente

Definicion 5.3. Se dice que una funcion f(t) es de orden exponencial c si existenconstantes c, M > 0 y T > 0 tales que |f(t)| ≤ Mect para todo t > T .

19Notese que la definicion de funcion continua a trozos (pero en un intervalo acotado) ya ha sidointroducida en el tema 2 al trabajar con las series de Fourier.


La definicion (5.3) introduce una clase especial de funciones, las de orden exponen-cial, cuya tasa de crecimiento (combinada con la propiedad de regularidad definidaen (5.2)) es la adecuada para implicar la convergencia de la integral que define latransformada de Laplace.

Por ejemplo las funciones f(t) = t, f(t) = e−t, f(t) = 2 cos t son de orden exponen-cial c = 1 para t > 0, puesto que

|t| ≤ et, |e−t| ≤ et, |2 cos(t)| ≤ et

si t > 0. La funcion f(t) = et2 no es de orden exponencial porque su grafica crecemas rapido que cualquier potencia lineal positiva de base exponencial e en t > c > 0.

Otra forma de interpretar la definicion consiste en considerar una funcion de ordenexponencial si el producto e−ct|f(t)| es acotado, es decir, si e−ct|f(t)| ≤ M paravalores grandes de t.

Tal y como se senalo anteriormente, la combinacion de la regularidad de la funcioncon la de crecimiento de orden exponencial garantizan la existencia de la transfor-mada de Laplace. Este resultado se expresa en la forma

Teorema 5.1. Si f(t) es una funcion continua a trozos en el intervalo [0,∞) y deorden exponencial c para t > T , entonces L[f(t)] existe para s > c.

La demostracion de este resultado es simple y pone de manifiesto la importancia delas hipotesis del teorema.

Si f(t) es continua a trozos en [0, b) entonces existe∫ b

0

f(t)e−stdt.

es decir la funcion f(t) es integrable segun Riemann en cada intervalo compacto dela recta real que sea del tipo [0, b], b ∈ IR, b > 0.

Por otra parte si f(t) es de orden exponencial c, entonces existen constantes c, M yT tales que |f(t)| ≤ Mect, ∀ t ≥ T . Multiplicando por el nucleo de la transformada,

K(t, s) = e−st,

e integrando en [0,∞) se tiene

L[f(t)].=

∫ ∞

0

f(t)e−stdt ≤∫ ∞

0

|f(t)|e−stdt ≤ M

∫ ∞

0

e(c−s)tdt


Por integracion directa es facil ver que∫ ∞

0

e(c−s)tdt =1

c− s< ∞, ∀ s > c

luego L[f(t)] < ∞ lo que demuestra la existencia de la transformada de Laplacepara f(t).

Notese que las condiciones anteriores son suficientes pero no necesarias para la exis-tencia de la transformada de Laplace como se comprueba considerando la funcionf(t) = t−1/2 (que no es continua por trozos en [0,∞)) y aplicando la definicion 5.1.

Otra condicion suficiente muy utilizada en analisis es la siguiente: si f verifica∫ ∞

0

|f(t)|dt < ∞,

entonces la integral que aparece en (26) esta bien definida para todo s > 0. Re-cuerdese (tema 2) que lo anterior equivale a afirmar que f ∈ L1(0,∞) (es decir quef es una funcion absolutamente integrable en el sentido de Lebesgue en el intervalo(0,∞)).

Segun senala el teorema siguiente, no toda funcion arbitraria de s es una transfor-mada de Laplace de una funcion continua a trozos y de orden exponencial. Unacondicion (necesaria pero no suficiente) para detectar rapidamente si una funcionF (s) puede ser considerada la transformada de una funcion funcion continua a trozosy de orden exponencial se enuncia a continuacion.

Teorema 5.2. Sea f(t) una funcion continua a trozos en [0,∞) y de orden expo-nencial para t > T . Sea F (s) = L[f(t)] la transformada de Laplace de f . Entonces:

lıms→∞

F (s) = 0

De acuerdo con el teorema podemos decir que F (s) = 1 y F (s) = s/(s + 1) no sontransformadas de Laplace de una funcion continua a trozos y de orden exponencial.

Condiciones suficientes (pero no necesarias para que una funcion F (s) sea la trans-formada de Laplace de una funcion continua a trozos y de orden exponencial) seestablecen en el siguiente teorema:

Teorema 5.3. Sea dada una funcion F (s). Si

lıms→∞

F (s) = 0, lıms→∞

sF (s) < M

entonces F (s) es la transformada de alguna funcion f(t) que es, al menos, continuaa trozos en algun intervalo 0 ≤ t ≤ τ y es, ademas, de orden exponencial.


Notese que, cuando se conoce la transformada F (s) y se quiere conocer el valorinicial de una funcion f(t) es posible utilizar el siguiente resultado:

lıms→∞

sF (s) = f(0)

siempre que f(t) y f ′(t) sean, al menos, continuas a trozos y de orden exponencial.

Las condiciones suficientes que aparecen en el teorema (5.3) no son necesarias. Porejemplo

F (s) = s−3/2

es la transformada de

2

√t

π

(lo justificaremos mas adelante). Ademas

lıms→∞

F (s) = lıms→∞

s−3/2 = 0

lo que es condicion necesaria para la existencia de la transformada segun vimos enel teorema (5.2). Sin embargo

lıms→∞

sF (s) = lıms→∞

s−1/2 →∞luego no se verifican las dos hipotesis del teorema (5.3) y, a pesar de ello, la funciondada es la transformada de una f(t) continua y de orden exponencial.

5.1. Transformadas de funciones elementales

A partir de la definicion de la transformada de Laplace 5.1 y utilizando las formulasbasicas de integracion del calculo (reglas de integracion elemental y formula deintegracion por partes) es posible calcular la transformada de Laplace de algunasfunciones elementales, del tipo f(t) = tα, α > −1, f(t) = keat, k ∈ IR o f(t) =sin(bt), b ∈ IR.

Ejemplo 5.2. Sea f(t) = t. Calcular L[t].

Utilizando la definicion (26), integrando por partes y recordando que

lımt→∞

te−st = 0, ∀ s > 0


se tiene que

L[t] =

∫ ∞

0

te−stdt = lımb→∞

∫ b

0

te−stdt = lımb→∞

−te−st

s|b0 +

1

s

∫ ∞

0

e−stdt =1

sL[1] =

1

s2

donde se ha utilizado el resultado del ejemplo 5.1.

Ejemplo 5.3. Sea f(t) = e−3t. Calcular L[f(t)].

De acuerdo con la definicion (26) se tiene que

L[e−3t] =

∫ ∞

0

e−ste−3tdt =

∫ ∞

0

e−(s+3)tdt = −e−(s+3)t

s + 3|∞0 =

1

s + 3, s > −3

Ejemplo 5.4. Sea f(t) = sin(2t). Calcular L[f(t)].

De acuerdo con la definicion (26) e integrando por partes, tenemos

L[sin(2t)] =

∫ ∞

0

e−st sin(2t)dt = −e−st sin(2t)

s|∞0 +

2

s

∫ ∞

0

e−st cos(2t)dt

es decir,

L[sin(2t)] =2

s

∫ ∞

0

e−st cos(2t)dt, s > 0

Integrando nuevamente por partes y utilizando el hecho que

lımt→∞

e−st cos(2t) = 0, s > 0

se tiene que

L[sin(2t)] =2

s

∫ ∞

0

e−st cos(2t)dt =2

s

[−e−st cos(2t)

s|∞0 − 2

s

∫ ∞

0

e−st sin(2t)dt

]

Observando que

L[sin(2t)].=

∫ ∞

0

e−st sin(2t)dt

lo anterior se puede escribir como sigue

L[sin(2t)] =2

s

(−e−st cos(2t)

s|∞0 − 2

sL[sin(2t)]

)=

2

s2− 4

s2L[sin(2t)]


y se deduce que (despejando la funcion transformada L[sin(2t)])

L[sin(2t)] =2

s2 + 4, s > 0

Ejemplo 5.5. Sea f(t) = te−2t. Calcular L[f(t)].

Aplicando la definicion (26) e integrando por partes se tiene

L[te−2t] =

∫ ∞

0

e−st(te−2t)dt =

∫ ∞

0

te−(s+2)tdt = −te−(s+2)t

s + 2|∞0 +

1

s + 2

∫ ∞

0

e−(s+2)tdt

es decir

L[te−2t] = − e−(s+2)t

(s + 2)2|∞0 =

1

(s + 2)2, s > −2

Ejemplo 5.6. Sea f(t) = t2e−2t. Calcular L[f(t)].

Aplicando la definicion (26)

L[t2e−2t] =

∫ ∞

0

e−st(t2e−2t)dt =

∫ ∞

0

t2e−(s+2)tdt

integrando por partes

L[t2e−2t] = −t2e−(s+2)t

s + 2|∞0 +

2

s + 2

∫ ∞

0

te−(s+2)tdt =2

s + 2

∫ ∞

0

e−st(te−2t)dt, s > −2

Utilizando el resultado del ejemplo 5.5 se deduce

L[t2e−2t] =1

(s + 2)2L[te−2t] =

1

(s + 2)3, s > −2

Veamos ahora un ejemplo de transformada de una funcion definida a trozos

Ejemplo 5.7. Sea dada la funcion

f(t) =

{0 0 ≤ t < 3

2 t ≥ 3

Calcular L[f(t)].


La funcion f(t) es continua a trozos. Puesto que f(t) esta definida en dos partes,expresamos L[f(t)] como la suma de dos integrales

L[f(t)] =

∫ ∞

0

e−stf(t)dt =

∫ 3

0

e−st(0)dt+

∫ ∞

3

e−st(2)dt = −2e−st

s|∞3 =

2e−3s

s, s > 0

El siguiente teorema nos dara una generalizacion de algunos de los ejemplos ante-riores. De aquı en adelante no escribiremos las restricciones en s; se sobreentiendeque s tiene las restricciones suficientes para garantizar la convergencia de la trans-formada de Laplace correspondiente

Teorema 5.4. Las transformadas de algunas funciones basicas (constantes, poli-nomios, exponenciales, trigonometricas e hiperbolicas) son:

1.

L[1] =1

s

2.

L[tα] =Γ(α + 1)

sα+1, α > −1, L[tn] =

n!

sn+1, n = 1, 2, 3

3.

L[eat] =1

s− a

4.

L[sin(kt)] =k

s2 + k2

5.L[cos(kt)] =

s

s2 + k2

6.

L[sinh(kt)] =k

s2 − k2

7.L[cosh(kt)] =

s

s2 − k2

Notese que en la segunda transformada basica se ha utilizado la funcion Γ (intro-ducida en el tema anterior) y el hecho que, cuando α = n (es decir cuando α es unnumero entero positivo) se tiene Γ(n+1) = n!. Por tanto la primera formula es masgeneral y permite calcular, por ejemplo:


L[t−1/2] =

∫ ∞

0

t−1/2e−stdt =Γ(1/2)√

s=

√π

s

donde se ha utilizado el resultado Γ(1/2) =√

π (que se puede encontrar tabulado envarios textos, utilizando Maple o utilizando la definicion de la funcion integral Betaexpresada en terminos de funciones trigonometricas para el calculo de la funcionGamma).

Para la mayorıa de las funciones conocidas (constantes, exponenciales, polinomicas,trigonometricas) existen tablas de transformadas (veanse los libros de Acero20, Ricey Do21 Krasnov22 o Zill23 por ejemplo) que nos evitan efectuar la integracion queaparece en la definicion (26.)

5.1.1. Unas transformadas no elementales

Al resolver problemas de valor inicial y valores de contorno para EDP aparecen muya menudo unas transformadas no elementales que se pueden encontrar, por ejemplo,en el apendice D del libro de Rice and Do24. Por ejemplo:

L

[sin(2k

√t)

πt

]= erf

(k√s

), L

[e−2k

√t

√πt

]=

1√sek2/serfc

(k√s

)

y tambien

L

[e−t2/4k2

k√

π

]= ek2s2

erfc (ks) , k > 0.

Otra transformada muy importante (que utilizaremos en la seccion dedicada a lasaplicaciones del metodo de la transformada de Laplace a la resolucion de EDP) es

L

[erfc

(α

2√

t

)]=

1

se−α

√s, α ≥ 0 (27)

20Acero, I., Lopez, M., (1997). Ecuaciones diferenciales. Teorıa y problemas. Ed.: Tebar Flores.21Rice, R.G, Do, D.D., (1995). Applied Mathematics and Modelling for Chemical Engineers.

John Wiley & Sons, Inc.22Krasnov, M., Kiseliov, A., Makarenko, G., Shikin, (1994). E. Curso de matematicas superiores

para ingenieros. Vol 2. Ed. Mir.23Zill, D.G., (1997). Ecuaciones Diferenciales con aplicaciones de modelado. International Thom-

son Editores. 6 ed.24Rice, R.G, Do, D.D., (1995). Applied Mathematics and Modelling for Chemical Engineers.

John Wiley & Sons, Inc.


Las funciones anteriores se conocen con el nombre de funcion de error (erf) y funcionde error complementaria (erfc). Una descripcion de las mismas se puede encontraren el anexo dedicado a las funciones integrales que se encuentra al final de estecapıtulo.

Una vez calculadas las transformadas de algunas funciones basicas, el calculo delas transformadas de funciones mas complicadas se suele simplificar utilizando lassiguientes propiedades de la transformada de Laplace:

5.2. Propiedades de la tranformada de Laplace

Cuando se pretende calcular la transformada de Laplace de funciones complicadas seobserva que no siempre es conveniente calcular la transformada de Laplace de unafuncion f(t) utilizando la definicion. Por ejemplo, el proceso de integracion por partesque se usa para evaluar la transformada de funciones del tipo f(t) = ett2 sin(3t) esmuy largo. En esta seccion presentaremos varios teoremas que ahorran trabajo ypermiten obtener la transformada de Laplace, sin necesidad de acudir a la definicion.Presentaremos estos resultados en forma de propiedades. La demostracion de lamayorıa de ellos es inmediata utilizando la definicion.

El operador (integral) transformada de Laplace L[f(t)] satisface las siguientes propiedades

PROPIEDADES DE LA TRANSFORMADA DE LAPLACE

Sean f(t), g(t) dos funciones tales que existen sus transformadas de Laplace (deno-tadas por F (s) y G(s) respectivamente) y sean α, β numeros reales cualesquiera:α, β ∈ IR.

1. Linealidad del operador de Laplace.

El operador transformada de Laplace es lineal. Es decir:

L[αf(t) + βg(t)] = αL[f(t)] + βL[g(t)] = αF (s) + βG(s)

Para ilustrar el empleo de la propiedad de linealidad se considera el siguienteejemplo

Ejemplo 5.8. Sea f(t) = 3t− 5 sin(2t). Calcular L[f(t)].

De acuerdo con los ejemplos 5.2 y 5.4, y utilizando la propiedad de linealidadde la transformada de Laplace, podemos escribir

L[3t−5 sin(2t)] = 3L[t]−5L[sin(2t)] = 31

s2−5

2

s2 + 4=−7s2 + 12

s2(s2 + 4), s > 0


Ejemplo 5.9. Sea f(t) = sin2(t). Calcular L[f(t)].

Si utilizamos la identidad trigonometrica del angulo mitad

sin2(t) =1

2[1− cos(2t)]

y aplicamos la propiedad de linealidad obtenemos

L[sin2(t)] = L

[1

2[1− cos(2t)]

]=

1

2(L[1]− L[cos(2t)]) =

1

2

1

s− 1

2

s

s2 + 4=

2

s(s2 + 4)

2. Transformada de una derivada. El objetivo principal de este tema esaplicar la transformada de Laplace para resolver ciertos tipos de ecuacionesdiferenciales. Para ello, al tomar la transformada de la ecuacion diferencialnecesitaremos evaluar cantidades como L[f ′(t)], L[f

′′(t)], ... Formalizamos es-

tos conceptos introduciendo el siguiente teorema:

Teorema 5.5. Sea dada una funcion f = f(t) derivable. Si existe la transfor-mada de f ′(t) entonces se tiene:

L[f ′(t)] = sL[f(t)]− f(0) = sF (s)− f(0) (28)

La formula de calculo de la transformada de una derivada, (28), es extremada-mente importante en las aplicaciones a la resolucion de EDO de primer orden.

Ejemplo 5.10. Determinar la transformada de la funcion f(t) que satisfacela EDO de primer orden, no homogenea

f ′(t)− f(t) = 1,

sujeta a la condicion inicial f(0) = 0.

Se trata de resolver un PVI asociado a una EDO de primer orden. Para elloutilizamos la formula (28) para obtener

sF (s)− f(0)− F (s) =1

s, ∀ s > 0

Aplicando la condicion inicial f(0) = 0 y factorizando el termino izquierdo sededuce

F (s) =1

s(s− 1), ∀ s > 0


Todavıa no podemos resolver el PVI propuesto, ya que no sabemos calcular latransformada inversa de F (s) (cosa que haremos en las siguientes secciones)sin embargo, hemos reducido el problema al calculo de la transformada inversade Laplace de una funcion racional (lo que es bastante sencillo como veremosmas adelante)

De momento, podemos ver una aplicacion practica de la formula (28) si recono-cemos que la funcion a transformar es la derivada de alguna funcion conocida.

Ejemplo 5.11. Calcular la transformada de Laplace L[kt cos(kt) + sin(kt)]

Para ello es suficiente observar que

f ′(t) = kt cos(kt) + sin(kt) =d

dt[t sin(kt)]

luego f(t) = t sin(kt); por tanto f(0) = 0 y aplicando el teorema (5.5) (parael calculo de la transformada de una derivada) se tiene

L[kt cos(kt) + sin(kt)] = L

[d

dt[t sin(kt)]

]= sL[t sin(kt)]

Calculando, mediante la definicion y una aplicacion de la formula de inte-gracion por partes la transformada L[t sin(kt)] se tiene

L[t sin(kt)] =2ks

(s2 + k2)2

luego

L[kt cos(kt) + sin(kt)] = sL[t sin(kt)] = s2ks

(s2 + k2)2=

2ks2

(s2 + k2)2

Mas adelante veremos una manera mucho mas economica de calcular la trans-formada anterior.

La demostracion del teorema (5.5) es inmediata. Utilizando la definicion eintegrando por partes se tiene

L[f ′(t)] =

∫ ∞

0

e−stf ′(t)dt = e−stf(t)|∞0 + s

∫ ∞

0

e−stf(t)dt = −f(0) + sL[f(t)]

luego

L[f ′(t)] = −f(0) + sL[f(t)] = sF (s)− f(0)


Notese que en la obtencion del resultado anterior hemos supuesto que e−stf(t) →0 cuando t →∞.

Tales razonamientos se pueden extender, bajo adecuadas hipotesis de regula-ridad y crecimiento, para obtener formulas generales de transformacion de lasderivadas de orden superior de una funcion, lo que permitira resolver ecua-ciones diferenciales ordinarias de orden superior

3. Transformada de derivadas de orden superior.

Sea dada una funcion f = f(t) suficientemente regular para que exista latransformada de Laplace de su derivada n-esima. Entonces se tiene:

L[f (n(t)] = snF (s)− sn−1f(0)− sn−2f ′(0)− .......− f (n−1(0)

En particular

L[f′′(t)] = s2F (s)− sf(0)− f ′(0)

4. Formula del desplazamiento. Se trata de una formula muy comoda pueshace facil calcular transformadas del tipo L[e4t cos(6t)] siempre y cuando conoz-camos L[cos(6t)] (lo que es equivalente a conocer la transformada de la funcionbasica cos(6t)). En efecto, si conocemos L[f(t)] = F (s), podemos hallar latransformada de Laplace L[eatf(t)] sin mas que trasladar, o desplazar, F (s)a F (s− a). Esta propiedad se conoce con el nombre de primer teorema detraslacion (se puede encontrar en el libro de Zill25, capıtulo 7, pag 312). Enconcreto, se tiene que

Teorema 5.6. Sea F (s) = L[f(t)] y a ∈ IR. Entonces se verifica que:

L[eatf(t)] = F (s− a)

Notese que el resultado anterior se suele expresar tambien en la forma equiva-lente

L[e−atf(t)] = F (s + a)

Los siguientes ejemplos muestran la aplicacion del teorema al caso de trasla-ciones de funciones polinomicas y trigonometricas

Ejemplo 5.12. Calcular la transformada L[e5tt3].

25Zill, D.G., (1997). Ecuaciones Diferenciales con aplicaciones de modelado. International Thom-son Editores. 6 ed.


Puesto que

L[t3] =3!

s4

aplicamos el teorema (5.6) para obtener

L[e5tt3] = L[t3]|s→s−5 =3!

s4|s→s−5 =

6

(s− 5)4.

Ejemplo 5.13. Calcular la transformada L[e−2t cos(4t)].

Utilizando la formula de la transformada de la funcion basica f(t) = cos(4t)se tiene

L[cos(4t)] =s

s2 + 16

luego si aplicamos el teorema (5.6) se deduce

L[e−2t cos(4t)] = L[cos(4t)]|s→s+2 =s

s2 + 16|s→s+2 =

s + 2

(s + 2)2 + 16.

Notese finalmente que existe una forma inversa del primer teorema de traslacion.La presentaremos tras haber introducido la definicion de transformada inversade Laplace.

5. Derivada de una transformada Sea F (s) = L[f(t)]. Si suponemos que esposible intercambiar el orden de los operadores de diferenciacion e integracion,entonces

d

dsF (s) =

d

ds

∫ ∞

0

e−stf(t)dt =

∫ ∞

0

∂

∂s

[e−stf(t)

]dt = −

∫ ∞

0

e−sttf(t)dt = L[tf(t)]

Hemos demostrado el teorema de la derivada de una transformada:

Teorema 5.7. Sea L[f(t)] = F (s). Entonces se tiene que

L[tf(t)] = − d

dsL[f(t)] = − d

dsF (s)

Ejemplo 5.14. Calcular L[te3t]

Identificando f(t) = e3t y utilizando una formula basica conocida, se tiene

L[te3t] = − d

dsL[e3t] = − d

ds

(1

s− 3

)=

1

(s− 3)2


En este ejemplo concreto hubieramos podido tambien utilizar el primer teore-ma de traslacion

L[eatf(t)] = F (s− a)

identificando a = 3 y f(t) = t.

En el siguiente ejemplo se utilizan, de forma combinada, el primer teorema detraslacion y el teorema de la derivada de una transformada:

Ejemplo 5.15. Calcular L[te−t cos(t)]

En este caso el factor t indica la posible aplicacion del teorema de la transfor-mada de una derivada mientras que el factor e−t indica un desplazamiento dela transformada:

L[te−t cos(t)] = − d

dsL[e−t cos(t)] = − d

dsL[cos(t)]s→s+1 = − d

ds

(s + 1

(s + 1)2 + 1

)

luego

L[te−t cos(t)] =(s + 1)2 − 1

[(s + 1)2 + 1]2

6. Derivadas de orden superior de una transformada El razonamientoanterior se puede generalizar para obtener las formulas de las transformadasde productos del tipo tnf(t) (derivadas de transformadas)

Teorema 5.8. Si L[f(t)] = F (s) entonces se tiene:

L[tnf(t)] = (−1)nF (n(s) = (−1)n dnF

dsn(29)

Ejemplo 5.16. Calcular L[t2 sin(kt)].

Aplicando el teorema (5.8) con n = 2, esta transformada se puede escribircomo sigue:

L[t2 sin(kt)] =d2

ds2L[sin(kt)]

y efectuando las dos derivaciones, tenemos el resultado

L[t2 sin(kt)] =6ks2 − 2k3

(s2 + k2)3


Notese que la transformada del producto de funciones no es el producto delas transformadas. En efecto, el producto de transformadas esta relacionadocon la operacion de convolucion que introducimos a continuacion.

7. Transformada de una convolucion. En primer lugar definimos la opera-cion de convolucion (introducida en la octava propiedad de la transformadade Fourier, apartado 2.3) entre dos funciones suficientemente regulares en elsiguiente sentido

Definicion 5.4. Sean las funciones f(t) y φ(t) definidas y continuas a trozosen [0,∞). Se llama convolucion (f ∗φ)(t) de estas funciones a la funcion det definida por la igualdad

(f ∗ φ)(t) =

∫ t

0

f(τ)φ(t− τ)dτ (30)

(si esta integral existe).

Ejemplo 5.17. Calcular la convolucion de las funciones f(t) = et y g(t) =sin(t), es decir, f(t) ∗ g(t).

Aplicando la definicion se tiene

f(t) ∗ g(t) = et ∗ sin(t).=

∫ t

0

eτ sin(t− τ)dτ =1

2(− sin(t)− cos(t) + et)

donde la integral se ha calculado mediante cambio de variable y aplicacionrepetida de la formula de integracion por partes (se dejan los detalles al lector).

La operacion de convolucion es conmutativa (y lineal):

(f ∗ φ)(t) =

∫ t

0

f(τ)φ(t− τ)dτ =

∫ t

0

φ(τ)f(t− τ)dτ = (φ ∗ f)(t)

Para funciones f(t) y φ(t) tales que existe la transformada de Laplace la ope-racion de convolucion siempre es posible, ademas se tiene el siguiente teoremade multiplicacion (o teorema de la convolucion)

Teorema 5.9. Si L[f(t)] = F (s) y L[φ(t)] = Φ(s) entonces la transformadade la convolucion es el producto de las transformadas; es decir

L[(f ∗ φ)(t)] = F (s)Φ(s)


El teorema (5.9) permite calcular la transformada de una convolucion sin re-currir a un largo proceso de integracion. En efecto:

Ejemplo 5.18. Calcular L[f(t) ∗ g(t)] siendo f(t) = et y g(t) = sin(t).

Utilizando la definicion de la operacion de convolucion se tiene

L[f(t) ∗ g(t)] = L[et ∗ sin(t)] = L

[∫ t

0

eτ sin(t− τ)dτ

]

Aplicando el teorema de multiplicacion se deduce

L

[∫ t

0

eτ sin(t− τ)dτ

]= L[et]L[sin(t)] =

(1

s− 1

)(1

s2 + 1

)=

1

(s− 1)(s2 + 1)

Tambien en este caso existe una forma inversa del teorema de multiplicacionque utilizaremos en la seccion dedicada a la transformada inversa de Laplace.

8. Transformada de una integral. Una facil aplicacion del teorema de la con-volucion implica el siguiente resultado:

Teorema 5.10. Sea F (s) = L[f(t)] y sea g(t) la funcion integral de la funcionf(t), es decir:

g(t) =

∫ t

0

f(t)dt

Entonces (utilizando el hecho que g(0) = 0 puesto que g(t) es la funcion integralde f(t)) se tiene que

L

[∫ t

0

f(t)dt

]=

1

sL[f(t)] =

F (s)

s

La demostracion de este resultado se puede obtener mediante integracion porpartes. Mas directamente, se puede utilizar el teorema de la convolucion iden-tificando las funciones g(t) = 1 y L[g(t)] = G(s) = 1/s y deducir

L

[∫ t

0

f(t)dt

]= F (s)G(s) =

F (s)

s(31)

9. Transformada de una funcion periodica. Sea dada una funcion f(t)periodica de periodo T , es decir f(t + T ) = f(t). Podemos entonces determi-nar la transformada de Laplace de una funcion periodica integrando sobreel periodo. En concreto se tiene


Teorema 5.11. Sea f(t) una funcion continua a trozos en [0,∞), de ordenexponencial y periodica con periodo T . Entonces se tiene

L[f(t)] =1

1− e−sT

∫ T

0

e−stf(t)dt (32)

La demostracion de este resultado se obtiene expresando la transformada deLaplace como la suma de dos integrales:

L[f(t)] =

∫ T

0

e−stf(t)dt +

∫ ∞

T

e−stf(t)dt

La ultima integral se calcula introduciendo la nueva variable independienteu = t− T . Se tiene t = u + T y se deduce

∫ ∞

T

e−stf(t)dt =

∫ ∞

0

e−s(u+T )f(u+T )du = e−sT

∫ ∞

0

e−suf(u)du = e−sT L[f(t)]

luego

L[f(t)] =

∫ T

0

e−stf(t)dt + e−sT L[f(t)].

Al despejar L[f(t)] se tiene la ecuacion (32) y el teorema (5.11) esta demostra-do.

Ejemplo 5.19. Sea dada la funcion definida en el intervalo [0, 2) por

f(t) =

{t 0 ≤ t < 10 1 ≤ t < 2

y fuera del intervalo mediante f(t + 2) = f(t). Calcular la transformada deLaplace de f(t).

La funcion f(t) es periodica de periodo T = 2. Aplicando la ecuacion (32) setiene que

L[f(t)] =1

1− e−2s

∫ 2

0

e−stf(t)dt =1

1− e−2s

[∫ 1

0

e−sttdt +

∫ 2

1

e−st(0)dt

]

es decir

L[f(t)] =1

1− e−2s

∫ 1

0

e−sttdt


Integrando por partes se deduce

L[f(t)] =1

1− e−2s

∫ 1

0

e−sttdt =1

1− e−2s

[−e−s

s+

1− e−s

s2

]=

1− (s + 1)e−s

s2(1− e−2s)

5.3. Transformada de funciones continuas a trozos

Las funciones continuas a trozos representan una herramienta particularmente utilen el modelado de un sistema fısico-quımico. Se suelen describir en terminos defunciones especiales (o funciones de distribucion elementales26) que introduciremosa continuacion.

En ingenierıa se presentan con mucha frecuencia funciones que pueden estar en-cendidas o apagadas. Por ejemplo, una fuerza externa que actua sobre un sistemamecanico o un voltaje aplicado a un circuito se pueden apartar despues de un ciertotiempo. El cierre, repentino, de una valvula en un conducto en el cual se inyectaun soluto en la corriente de un lıquido (tal y como se hace en cromatografıa) marcatambien el comienzo de un fenomeno fısico de transporte: el flujo (difusivo y convec-tivo) del soluto. Otra propiedad muy importante, de cara a la modelizacion, radicaen que las funciones de distribucion elementales (la funcion escalon y la funcion deimpulso que veremos mas adelante) se pueden retrasar o desplazar en el tiempo.

Todo ello muestra que es conveniente definir una funcion especial, llamada funcionescalon unitario (en la literatura anglosajona se la conoce como step function),que permite un tratamiento generalizado de las funciones continuas a trozos.

5.3.1. La funcion escalon unitario

Puesto que las funciones continuas a trozos se caracterizan por tener un numero finitode saltos acotados la siguiente definicion es particularmente util para su tratamiento

Definicion 5.5. A la funcion U definida por

U(t− a) =

{0 0 ≤ t < a1 t ≥ a

se le llama funcion escalon unitario.

Mas en general la funcion anterior se define por U(t− a) = 0 para todo t < a, peroal estudiar la transformada de Laplace solo nos interesa su comportamiento para

26Vease el libro de Rice y Do, capıtulo 9, seccion 9.9.4)


t ≥ 0. En el caso a = 0 se tiene la funcion de Heaviside H(t) que desempena unpapel muy importante en la teorıa que vamos a desarrollar. La funcion de Heavisidese define por

H(t).=

{0 t ≤ 01 t > 0

Es imposible que un sistema fısico tenga exactamente el mismo comportamiento deonda cuadrada representado por la funcion de Heaviside, sin embargo, representauna muy buena aproximacion de la realidad cuando el proceso es mucho mas lentoque la accion del cierre de una valvula o de la remocion de un tabique en un tanquecilındrico (por ejemplo). La transformada de H(t) es identica a la de una constante

L[H(t)] =

∫ ∞

0

e−st(1)dt =1

s

puesto que H(t) toma el valor 1 para tiempos t > 0. Si desplazamos en el tiempo(retrasamos en el sentido de que la funcion salta mas tarde, en el tiempo t = τen lugar que en el tiempo t = 0) la funcion de Heaviside obtenemos nuevamentela funcion escalon unitaria y la integral que la define (es decir su transformada) sepuede calcular en dos partes

L[U(t− τ)] =

∫ τ

0

e−st(0)dt +

∫ ∞

τ

e−st(1)dt =e−τs

s(33)

La funcion escalon unitario se puede usar para expresar funciones definidas a trozosen forma compacta; por ejemplo, la funcion

f(t) =

{g(t) 0 ≤ t < a

h(t) t ≥ a= g(t) +

{0 0 ≤ t < a

−g(t) + h(t) t ≥ a

equivale a

f(t) = g(t)− U(t− a)g(t) + h(t)U(t− a)

Notese que, utilizando la definicion de funcion escalon la expresion anterior definela funcion f(t) mediante tres componentes: la primera, g(t) es la componente basicay las restantes dos componentes se activan tras el salto; luego, antes del salto, 0 ≤t < a, se tiene que f(t) = g(t). Tras el salto, t ≥ a se tiene

f(t) = g(t)− g(t) + h(t) = h(t).

Ejemplo 5.20. Sea dada la funcion E(t)


E(t) =

{20t 0 ≤ t < 5

0 t ≥ 5

que representa el voltaje de un circuito. Expresar E(t) en terminos de funcionesescalon unitario.

Si ponemos E(t) = f(t) y utilizamos las formulas generales, con g(t) = 20t, h(t) = 0se deduce que

E(t) = 20t +

{0 0 ≤ t < 5

−20t t ≥ 5= 20t− 20tU(t− 5)

siendo U(t− 5) la funcion escalon (o funcion de Heaviside desplazada).

De igual forma, una funcion del tipo

f(t) =

0 0 ≤ t < a

g(t) a ≤ t < b

0 t ≥ b

se puede escribir en la forma

f(t) = g(t)[U(t− a)− U(t− b)]

Enunciaremos ahora una propiedad muy util para el calculo de la transformada defunciones desplazadas f(t − a) y truncadas, es decir de la forma f(t − a)U(t − a).Este resultado se conoce con el nombre de segundo teorema de traslacion:

Teorema 5.12. Si F (s) = L[f(t)] y a > 0, entonces:

L[f(t− a)U(t− a)] = e−asF (s)

La demostracion de este teorema es sencilla, puesto que

L[f(t− a)U(t− a)].=

∫ ∞

0

e−stf(t− a)U(t− a)dt

escribimos el termino derecho como una suma de integrales

∫ ∞

0

e−stf(t−a)U(t−a)dt =

∫ a

0

e−stf(t−a)U(t−a)dt+

∫ ∞

a

e−stf(t−a)U(t−a)dt


Utilizando la definicion de la funcion escalon la primera integral vale cero y se tiene

L[f(t− a)U(t− a)] =

∫ ∞

a

e−stf(t− a)dt

Introduciendo una nueva variable ν = t− a se tiene dν = dt. Por tanto

L[f(t− a)U(t− a)] =

∫ ∞

0

e−s(ν+a)f(ν)dν = e−as

∫ ∞

0

e−sνf(ν)dν = e−asL[f(t)]

y el teorema esta completamente demostrado.

Ejemplo 5.21. Calcular L[(t− 2)3U(t− 2)]

Si identificamos a = 2 y aplicamos el segundo teorema de traslacion (5.12) se tiene

L[(t− 2)3U(t− 2)] = e−2sL[t3] = e−2s 3!

s4=

6

s4e−2s

Forma alternativa del segundo teorema de traslacion

Existe una forma alternativa del teorema (5.12) que permite calcular la transformadade una funcion g(t) multiplicada por una funcion escalon unitario U(t− a) (es decirtruncada para t ≤ a) cuando g(t) carece de la forma desplazada g(t − a) que serequiere en el teorema (5.12). En concreto se tiene

Teorema 5.13. Si G(s) = L[f(t)] y a > 0, entonces:

L[g(t)U(t− a)] = e−asL[g(t + a)]

luego en esta forma el teorema se aplica a funciones tan solo truncadas (y no de-splazadas) y se interpreta diciendo que la transformada de una funcion truncadacoincide con la transformada de la funcion desplazada multiplicada por un factorexponencialmente pequeno. La demostracion de este teorema sigue exactamente lasmismas lıneas de la demostracion del teorema (5.12). Nuevamente, a partir de ladefinicion se tiene

L[g(t)U(t− a)].=

∫ ∞

0

e−stg(t)U(t− a)dt.

Escribimos el termino derecho como una suma de integrales

∫ ∞

0

e−stg(t)U(t− a)dt =

∫ a

0

e−stg(t)U(t− a)dt +

∫ ∞

a

e−stg(t)U(t− a)dt


Utilizando la definicion de la funcion escalon se tiene

L[g(t)U(t− a)] =

∫ ∞

a

e−stg(t)dt

Introduciendo una nueva variable ν = t− a se tiene dν = dt. Por tanto

L[g(t)U(t− a)] =

∫ ∞

0

e−s(ν+a)g(ν + a)dν = e−as

∫ ∞

0

e−sνg(ν)dν = e−asL[g(t + a)]

y el teorema esta completamente demostrado.

Ejemplo 5.22. Calcular L[sin(t)U(t− 2π)]

Si identificamos g(t) = sin(t) y a = 2π en el teorema (5.13) se tiene

g(t + 2π) = sin(t + 2π) = sin(t)

puesto que la funcion sin(t) tiene periodo 2π. Aplicando la forma alternativa delsegundo teorema de traslacion, (5.13), se tiene por tanto

L[sin(t)U(t− 2π)] = e−2πsL[sin(t + 2π)] = e−2πsL[sin(t)] =e−2πs

s2 + 1

Con frecuencia se desea hallar la transformada de Laplace solo de la funcion escalonunitario. Esto se puede hacer a partir de la definicion 5.5 o bien de la propiedad an-terior. Si identificamos f(t) = 1 en el segundo teorema de traslacion (5.12), entoncesf(t− a) = 1, F (s) = L[1] = 1/s y ası:

L[U(t− a)] =e−as

s

Existe una forma inversa del segundo teorema de traslacion que enunciaremos trashaber introducido la definicion de transformada inversa de Laplace.

5.3.2. Transformada de la Delta de Dirac

Utilizando la hipotesis formal

L[δ(t− t0)] = lıma→0

L[δa(t− t0)]

se tiene la siguiente transformada de Laplace de la funcion Delta de Dirac:

L[δ(t− t0)] = e−st0 , t0 > 0


6. Transformada inversa de Laplace

Nos planteamos ahora el problema siguiente: dada una funcion F (s) hallar, si existe,una funcion f(t) cuya transformada de Laplace es F (s). De forma natural esteproblema define el operador transformada inversa de Laplace como L−1, de formaque, si L[f(t)] = F (s), entonces L−1[F (s)] = f(t). Se tiene en efecto:

Definicion 6.1. Se dice que f(t) es la transformada inversa de Laplace de F (s)si

f(t) = L−1[F (s)]

Ası, por ejemplo, utilizando algunas de las transformadas conocidas (las transfor-mada basica del teorema (5.4)) se tiene:

Teorema 6.1. Las transformadas inversas de algunas funciones basicas son:

1.

L[1] =1

s=⇒ L−1

[1

s

]= 1

2.

L[tn] =n!

sn+1, n = 1, 2, 3 =⇒ L−1

[n!

sn+1

]= tn, n = 1, 2, 3

3.

L[eat] =1

s− a=⇒ L−1

[1

s− a

]= eat

4.

L[sin(kt)] =k

s2 + k2=⇒ L−1

[k

s2 + k2

]= sin(kt)

5.

L[cos(kt)] =s

s2 + k2=⇒ L−1

[s

s2 + k2

]= cos(kt)

6.

L[sinh(kt)] =k

s2 − k2=⇒ L−1

[k

s2 − k2

]= sinh(kt)

7.

L[cosh(kt)] =s

s2 − k2=⇒ L−1

[s

s2 − k2

]= cosh(kt)

6. Transformada inversa de Laplace 59

Una propiedad muy importante de la transformada inversa de Laplace, L−1, consisteen su linealidad, heredada a partir de la linealidad del operador integral L:

L−1[αF (s) + βG(s)] = αL−1[F (s)] + βL−1[G(s)], ∀α, β ∈ IR (34)

La aplicacion del teorema (6.1) junto con la propiedad de linealidad (34) se muestraa continuacion

Ejemplo 6.1. Calcular L−1

[1

s5

].

Para ello se usa la segunda formula basica con n = 4:

L[t4] =4!

s5, =⇒ L−1

[4!

s5

]= t4

y se deduce (utilizando la linealidad del operador L−1)

L−1

[1

s5

]=

1

4!L−1

[4!

s5

]=

1

24t4

A pesar del teorema (6.1) y de la propiedad de linealidad (34), el problema de ladeterminacion de la transformada inversa de Laplace de una funcion dada no es(siempre) sencillo de resolver27, y la teorıa matematica necesaria para su resolucionse basa sobre conceptos de analisis complejo que exceden los objetivos del curso. Enefecto existe una formula de inversion de la transformada de Fourier28(aplicable, portanto, a la transformada de Laplace) que reconduce el calculo de f(t) a la teorıa delos residuos de Cauchy

F (s) =

∫ ∞

0

e−stf(t)dt =⇒ f(t) =1

2πilım

w→∞

∫ σ0+iw

σ0−iw

estF (s)ds

Sin embargo, en muchos casos, es posible calcular f(t) a partir de su transformadaF (s) aplicando un metodo algebraico (el metodo de las fracciones simples).

Recuerdese que no todas las funciones F (s) tienen transformada inversa de Laplace.Ademas, cuando existe, la transformada inversa de Laplace no es unica. En efecto,

27Esto ocurre, muy a menudo, en el proceso de resolucion de EDP parabolicas mediante metodode la transformada (temporal) de Laplace. En tales casos, la dificultad mayor consiste precisamenteen la determinacion explıcita o en el calculo numerico de la tranformada inversa de Laplace.

28Se le conoce con el nombre del teorema de Inversion de Mellin-Fourier (o formula de Mellin).Se puede encontrar en el libro de Rice, capıtulo 9 y tambien en Krasnov et al.


si consideramos dos funciones g(t) y h(t) que difieren solo en una funcion n(t) talque ∫ t

0

n(x)dx = 0, ∀ t > 0

puede comprobarse (utilizando la definicion (26)) que ambas funciones tienen lamisma transformada.

6.1. Calculo de las transformadas inversas de Laplace

A continuacion se expone un metodo de calculo de transformadas inversas deLaplace de funciones F (s) racionales de la forma:

F (s) =P (s)

Q(s)(35)

donde P (s) y Q(s) son polinomios. Se le conoce en la literatura como el metodo delas fracciones simples (o metodo de las fracciones simples). Las fracciones simplesdesempenan un papel muy importante en la determinacion de las transformadasinversas de Laplace proporcionando una facil herramienta de calculo practico de lasmismas.

Para introducir se considera un simple caso particular (de division termino a termi-no)

Ejemplo 6.2. Calcular L−1

[3s + 5

s2 + 7

]

La funcion dada (que es de la forma racional (35) para las elecciones P (s) = 3s + 5y Q(s) = s2 + 7 se puede expresar en dos partes (o dos fracciones simples), con uncomun denominador

3s + 5

s2 + 7=

3s

s2 + 7+

5

s2 + 7

Utilizando la propiedad de linealidad del operador L−1 y las formulas basicas 4 y 5del teorema (6.1) se tiene

L−1

[3s + 5

s2 + 7

]= 3L−1

[s

s2 + 7

]+ 5L−1

[1

s2 + 7

]= 3 cos(

√7t) +

5√7

sin(√

7t)


Generalizando el proceso de descomposicion de una funcion racional evidenciado enel ejemplo anterior, se tiene que la aplicacion del metodo de las fracciones simplesconsiste en los siguientes pasos:

Metodo de las fracciones simples

1. Descomponer la fraccion F (s) en fracciones simples. Para ello

a) Encontrar las raıces del denominador Q(s). Denotando α a una de susraıces reales de multiplicidad r, y a± ib a una de sus raıces complejas ysu conjugada se tiene:

Q(s) = (s− α)r...[(s− a)2 + b2]..

b) Escribir F (s) como:

P (s)

Q(s)=

A1

s− α+ .... +

Ar

(s− α)r+ .... +

Bs + C

(s− a)2 + b2

c) Determinar los coeficientes Ai,...., B, C.

2. Calcular L−1[F (s)]. Aplicando la linealidad del operador el problema consisteen encontrar la transformada inversa de Laplace para fracciones del tipo:

Ar

(s− α)r,

Bs + c

(s− α)2 + b2

Se tienen las siguientes formulas de calculo de transformadas inversas

L−1

[Ar

(s− α)r

]=

Ar

(r − 1)!eαxxr−1,

L−1

[Bs + c

(s− α)2 + b2

]= Beαx cos bx +

[Ba + C

b

]eαx sin bx

Observacion 6.1. El metodo de las fracciones simples se puede generalizar sindificultad al caso de raıces reales y complejas multiples. Tal descomposicion se puedeencontrar en el anexo al guion del curso de primero dedicado a las formulas basicasde calculo. Sin embargo, en tales casos el calculo de las transformadas inversas puedeno ser directo y se aconseja el uso de algun programa de calculo simbolico (Maplepor ejemplo).


Unos simples ejemplos aclararan los pasos delineados:

Ejemplo 6.3. Calcular

L−1

[1

(s− 1)(s + 2)(s + 4)

]

Considerando que el denominador Q(s) = (s−1)(s+2)(s+4) contiene tres factoreslineales distintos se tiene que existen tres constantes (ademas son unicas) tales que

1

(s− 1)(s + 2)(s + 4)=

A

s− 1+

B

s + 2+

C

s + 4

luego

1

(s− 1)(s + 2)(s + 4)=

A(s + 2)(s + 4) + B(s− 1)(s + 4) + C(s− 1)(s + 2)

(s− 1)(s + 2)(s + 4)

Puesto que los denominadores son identicos, los numeradores deben ser identicos:

1 = A(s + 2)(s + 4) + B(s− 1)(s + 4) + C(s− 1)(s + 2)

Si hacemos s = 1, s = −2 y s = −4 (que son las raıces (o ceros) del denominador),obtenemos

A =1

15, B = −1

6, C =

1

10

Por consiguiente podemos escribir

1

(s− 1)(s + 2)(s + 4)=

1/15

s− 1− 1/6

s + 2+

1/10

s + 4

Aplicando la propiedad de linealidad

L−1

[1

(s− 1)(s + 2)(s + 4)

]=

1

15L−1

[1

(s− 1)

]−1

6L−1

[1

(s + 2)

]+

1

10L−1

[1

(s + 4)

]

y la tercera formula basica del teorema (6.1) se tiene

L−1

[1

(s− 1)(s + 2)(s + 4)

]=

1

15et − 1

6e−2t +

1

10e−4t



L−1

[s + 1

s2(s + 2)3

]

Considerando que el denominador Q(s) = s2(s+2)3 contiene factores lineales repeti-dos (de grado 2 y 3 respectivamente) se tiene que existen (2 + 3 = 5) constantestales que

s + 1

s2(s + 2)3=

A

s+

B

s2+

C

s + 2+

D

(s + 2)2+

E

(s + 2)3

luego

s + 1 = As(s + 2)3 + B(s + 2)3 + Cs2(s + 2)2 + Ds2(s + 2) + Es2

y se deduce (aplicando el principio de identidad de los polinomios)

A = − 1

16, B =

1

8, C =

1

16D = 0, E = −1

4

Por consiguiente, aplicando la formula que se deduce invirtiendo el operador deLaplace en el ejemplo (5.6):

L−1

[2

(s + 2)3

]= t2e−2t

las primeras tres formulas basicas del teorema (6.1) y la propiedad de linealidad deloperador L−1, se tiene

L−1

[s + 1

s2(s + 2)3

]= − 1

16L−1

[1

s

]+

1

8L−1

[1

s2

]+

1

16L−1

[1

(s + 2)

]− 1

8L−1

[2

(s + 2)3

]

luego

L−1

[s + 1

s2(s + 2)3

]= − 1

16+

1

8t +

1

16e−2t − 1

8t2e−2t

Introduciremos ahora otras herramientas de calculo de transformadas inversas quenacen a partir de las siguientes propiedades

PROPIEDADES DE LA TRANSFORMADA INVERSA DE LAPLACE

Empezaremos con la forma inversa del primer teorema de traslacion


Teorema 6.2. Sea f(t) = L−1[F (s)]. Entonces se verifica que:

L−1[F (s− a)] = L−1 [F (s)|s→s−a] = eatf(t)


L−1

[s

s2 + 6s + 11)

]

Si el denominador Q(s) = s2+6s+11 tuviera factores reales, emplearıamos fraccionesparciales; pero como este termino cuadratico no se factoriza en IR, completamos sucuadrado, es decir

L−1

[s

s2 + 6s + 11

]= L−1

[s

(s + 3)2 + 2

]= L−1

[s + 3− 3

(s + 3)2 + 2

]

Si dividimos termino a termino se tiene

L−1

[s

s2 + 6s + 11

]= L−1

[s + 3

(s + 3)2 + 2− 3

(s + 3)2 + 2

]

Aplicando la propiedad de linealidad

L−1

[s

s2 + 6s + 11

]= L−1

[s + 3

(s + 3)2 + 2

]− 3L−1

[1

(s + 3)2 + 2

]

Observando atentamente la formula obtenida se deduce que hay un mismo desplaza-miento en las transformadas inversas del termino derecho: s → s + 3. Aplicando laforma inversa del primer teorema de traslacion se tiene

L−1

[s

s2 + 6s + 11

]= L−1

[s

s2 + 2

]|s→s+3 − 3√

2L−1

[ √2

s2 + 2)|s→s+3

]

luego (utilizando conocidas formulas basicas)

L−1

[s

s2 + 6s + 11

]= e−3t cos(

√2t)− 3√

2e−3t sin(

√2t)

Pasaremos ahora a la forma inversa del segundo teorema de traslacion.

Teorema 6.3. Sea f(t) = L−1[F (s)] y a > 0. Entonces la forma inversa del segundoteorema de traslacion (5.12) es

L−1[e−asF (s)] = f(t− a)U(t− a)



L−1

[e−πs/2

s2 + 9

]

Es suficiente identificar a = π/2 y

f(t) = L−1

[1

s2 + 9

]=

1

3sin(3t)

en las hipotesis del teorema (6.3). Se tiene por tanto

L−1

[e−πs/2

s2 + 9

]=

1

3L−1

[3

s2 + 9

]

t→t−π/2

U(t− π

2

)

luego

L−1

[e−πs/2

s2 + 9

]=

1

3sin

[3(t− π

2

)]U

(t− π

2

)

Utilizando la identidad trigonometrica

sin[3(t− π

2

)]= cos(3t)

se deduce

L−1

[e−πs/2

s2 + 9

]=

1

3cos(3t)U

(t− π

2

)

Consideraremos ahora la forma inversa del teorema de la convolucion:

Teorema 6.4. Sea f(t) y g(t) funciones tales que la operacion de convolucion f(t)∗g(t) esta bien definida, y sean F (S) y G(s) sus respectivas transformadas de Laplace.Se tiene entonces

L−1[F (s)G(s)] = f(t) ∗ g(t)

El teorema (6.4) caracteriza la operacion de convolucion como la transformada in-versa de un producto de transformadas conocidas permitiendo ası su utilizacion parael calculo de transformadas inversas

Ejemplo 6.7. Calcular L

[1

(s− 1)(s + 4)

].


Por supuesto en este ejemplo podrıamos emplear el metodo de las fracciones simplespero si identificamos

F (s) =1

s− 1, G(s) =

1

s + 4

entonces deducimos las funciones f(t) y g(t)

L−1[F (s)] = f(t) = et, L−1[G(s)] = g(t) = e−4t

y aplicando la operacion de convolucion se tiene

f(t) ∗ g(t) =

∫ t

0

f(τ)g(t− τ)dτ =

∫ t

0

eτe−4(t−τ)dτ = e−4t

∫ t

0

e5τdτ =1

5(et − e−4t)

Tambien es util considerar algunas transformadas inversas como funciones integralesde una funcion f(t) cuya transformada es conocida. En efecto, la forma inversa dela ecuacion (31) es:

∫ t

0

f(t)dt = L−1

[F (s)

s

]

y se usa en algunas ocasiones (en lugar de las fracciones simples) para el calculo dela transformada inversa cuando sn es un factor del denominador y f(t) = L−1[F (s)]sea facil de integrar.

Ejemplo 6.8. Calcular las transformadas inversas

L−1

[1

s(s2 + 1)

], L−1

[1

s2(s2 + 1)

], L−1

[1

s3(s2 + 1)

].

Es suficiente observar que

f(t) = sin(t) =⇒ F (s) =1

(s2 + 1)

y utilizar la formula inversa para obtener

L−1

[1

s(s2 + 1)

]=

∫ t

0

sin(τ)dτ = 1− cos(t)

Analogamente se tiene

L−1

[1

s2(s2 + 1)

]=

∫ t

0

[1− cos(τ)]dτ = t− sin(t)

7. Aplicaciones a la resolucion de EDO y de sistemas de EDO 67

y

L−1

[1

s3(s2 + 1)

]=

∫ t

0

[τ − sin(τ)]dτ =1

2t2 − 1 + cos(t).

7. Aplicaciones a la resolucion de EDO y de sis-

temas de EDO

La transformada de Laplace puede aplicarse a la resolucion de ecuaciones y sistemasde ecuaciones diferenciales lineales de coeficientes constantes con valores inicialesen el cero: t = 0. Basandonos en las propiedades y definiciones de las secciones an-teriores, veremos como estas ecuaciones diferenciales se convierten en ecuaciones osistemas de ecuaciones lineales algebraicos. Una de las ventajas del metodo es queno es necesario calcular la solucion general sino que se aborda el problema directa-mente con la condicion inicial prefijada en el cero. Su limitacion es que necesita decondiciones dadas en el origen (obviamente la linealidad de las ecuaciones a resolveres tambien una restriccion del metodo).

Para introducir el metodo consideramos el siguiente ejemplo donde aplicaremos elmetodo de la transformada de Laplace a la resolucion de un problema de valor inicial(PVI) asociado a una EDO de primer orden:

Ejemplo 7.1. Resolver la EDO y′(t) − 3y(t) = e2t sujeta a la condicion inicialy(0) = 1.

En primer lugar tomamos la transformada de cada lado de la ecuacion diferencial

L[y′(t)− 3y(t)] = L[e2t]

Por linealidad se tiene

L[y′(t)]− 3L[y(t)] = L[e2t]

Utilizando la formula de la transformada de una derivada

L[y′(t)] = sY (s)− y(0) = sY (s)− 1

y observando que la transformada del termino derecho viene dada por la formulabasica

L[e2t] =1

s− 2


se tiene

sY (s)− 1− 3Y (s) =1

s− 2

Es decir

(s− 3)Y (s) =1

s− 2+ 1 =

1 + s− 2

s− 2=

s− 1

s− 2

Despejamos Y (s) y descomponemos en fracciones parciales, obteniendo

Y (s) =s− 1

(s− 2)(s− 3)=

−1

s− 2+

2

s− 3

ası que

Y (s) = −L−1

[1

s− 2

]+ 2L−1

[1

s− 3

]

luego la (unica) solucion del PVI es

y(t) = −e2t + 2e3t

El proceso de resolucion seguido se puede generalizar para la resolucion de ecuacionesde orden superior

7.1. Resolucion de EDO lineales de coeficientes constantesy de orden n

Para comprender el proceso de reduccion de una EDO de orden superior en la va-riable y(t) a una ecuacion algebraica para la funcion transformada Y (t) se considerael problema de Valores Iniciales (PVI)

any(n + an−1y

(n−1 + ..... + a1y′ + a0y = g(t)

y(0) = A0,

y′(0) = A1,

... = ....,

y(n−1(0) = An−1


donde los coeficientes n es el orden de la EDO, los ai, i = 0, ..., n son coeficientesconstantes, los Ai, i = 0, .., n − 1 son los valores iniciales de la variable y(t) en elinstante t = 0 y g(t) es una funcion dada que admite transformada de Laplace.

Ejemplo 7.2. El problema: determinar una funcion y(t) tal que

(PV I)

y′′

+ 4y′ + 6y = 1 + e−t

y(0) = 0,

y′(0) = 0,

es un problema de valores iniciales asociado a una EDO de segundo orden, n = 2,con coeficientes constantes a0 = 6, a1 = 4, a2 = 1, no homogenea, g(t) = 1 + e−t ycon valores iniciales prefijados A0 = A1 = 0.

Ilustraremos la aplicacion del metodo de resolucion del problema de valores inicialesmediante la transformada de Laplace resolviendo el PVI propuesto en el ejemploanterior. De forma general el metodo consiste en los siguiente pasos (que particu-larizaremos al ejemplo considerado)

1. Aplicar la transformada de Laplace a la ecuacion dada:

L[any(n + an−1y

(n−1 + ..... + a1y′ + a0y] = L[g(x)]

En nuestro ejemplo

L[y′′

+ 4y′ + 6y] = L[1 + e−t]

y aplicar la propiedad de linealidad para obtener

anL[y(n] + an−1L[y(n−1] + ..... + a1L[y′] + a0L[y] = L[g(x)]

es decir

L[y′′(t)] + 4L[y′(t)] + 6L[y(t)] = L[1] + L[e−t]

2. Utilizar la formula de la transformada de derivadas de orden superior

L[y(n(t)] = snY (s)− sn−1y(0)− sn−2y′(0)− .......− y(n−1(0)

para cada valor de n.

En nuestro caso se tiene n = 2 luego tenemos las formulas de las derivadas deprimer y segundo orden


L[y′′(t)] = s2Y (s)− sy(0)− y′(0), L[y

′(t)] = sY (s)− y(0)

Sustituir en la ecuacion dada para obtener

an

(snY (s)− sn−1A0 − ....− An−1

)+ ... + a1(sY (s)− A0) + a0Y (s) = L[g(x)]

es decir

s2Y (s)− sy(0)− y′(0) + 4[sY (s)− y(0)] + 6Y (s) =1

s+

1

s + 1

Esta ecuacion es una ecuacion algebraica para la funcion Y (s) = L[y(x)].Ordenando los terminos se tiene que

Y (s)[ansn + an−1s

n−1 + ..... + a1s + a0]+

−A0[ansn−1 + an−1s

n−2 + ..... + a1]− ...− An−1an = L[g(x)]

es decir

(s2 + 4s + 6)Y (s) =2s + 1

s(s + 1)

luego despejando, se obtiene lo siguiente

Y (s) =L[g(x)] + A0[ans

n−1 + an−1sn−2 + ..... + a1] + .... + An−1an

[ansn + an−1sn−1 + ..... + a1s + a0]

En nuestro caso

Y (s) =2s + 1

s(s + 1)(s2 + 4s + 6)

3. Obtenida la expresion de Y (s) (la transformada de Laplace de la solucion)aplicar el operador inverso (antitransformada)

y(x) = L−1

(L[g(x)] + A0[ansn−1 + an−1s

n−2 + ..... + a1] + .... + An−1an

[ansn + an−1s

n−1 + ..... + a1s + a0]

)

Para ello descomponemos Y (s) en fracciones parciales

Y (s) =1/6

s+

1/3

s + 1+−s/2− 5/3

s2 + 4s + 6


Completamos cuadrados en la tercera fraccion simple

Y (s) =1/16

s+

1/3

s + 1+

(−1/2)(s + 2)− 2/3

(s + 2)2 + 2

y dividimos termino a termino

Y (s) =1/6

s+

1/3

s + 1− 1

2

[s + 2

(s + 2)2 + 2

]− 2

3

[1

(s + 2)2 + 2

]

Si utilizamos las primera y la tercera formulas basicas, junto con el primerteorema de traslacion se tiene

y(t) =1

6L−1

[1

s

]+

2

3L−1

[1

s + 1

]−1

2L−1

[s + 2

(s + 2)2 + 2

]− 2

3√

2L−1

[ √2

(s + 2)2 + 2

]

luego la solucion del PVI es

y(t) =1

6+

1

3e−t − 1

2e−2t cos(

√2t)−

√2

3e−2t sin(

√2t)

7.2. Analisis de la respuesta de sistemas lineales

Hemos visto que al tomar la transformada de una EDO de orden n se tiene

anL

[dny

dtn(t)

]+ an−1L

[dn−1y

dtn−1(t)

]+ ........ + a0L [y(t)] = L[g(t)] (36)

Definiendo Y (s) = L[y(t)], G(s) = L[g(t)] y aplicando las formulas de las transfor-madas de derivadas se obtiene

[ansn + an−1sn−1 + ... + a0]Y (s) = (37)

= an[sn−1y0 + ... + yn−1] + an−1[sn−2y0 + ... + yn−2] + ... + G(s)

siendo

y(0) = y0, y′(0) = y1, ....., y(n−1(0) = yn−1

las condiciones iniciales. Definimos

P (s) = ansn + an−1s

n−1 + ... + a0,


y

Q(s) = an[sn−1y0 + ... + yn−1] + an−1[sn−2y0 + ... + yn−2] + ...+

y escribimos la ecuacion (37) en la forma

P (s)Y (s) = Q(s) + G(s)

Despejando

Y (s) =G(s)

P (s)+

Q(s)

P (s)(38)

Se puede comprobar que, si n = 2 entonces

Q(s)

P (s)=

a0y0s + a2y1 + a1y0

a2s2 + a1s + s0

Definimos la funcion de transferencia del sistema a la recıproca de P (s), es decirW (s) = 1/P (s). Mediante la funcion de transferencia podemos expresar la ecuacion(38) en la forma

Y (s) = W (s)G(s) + W (s)Q(s)

De esta forma se han separado (de manera aditiva) los efectos de la respuesta delsistema originados por la funcion de entrada g(t) (que se reflejan en el terminoW (s)G(s)) de los efectos asociados a las condiciones iniciales (es decir W (s)Q(s)).Por consiguiente la respuesta del sistema (representada por la solucion Y (t)) es unasuperposicion de dos respuestas:

y(t) = L−1[W (s)G(s)] + L−1[W (s)Q(s)] = y0(t) + y1(t)

La funcion

y0(t) = L−1[W (s)G(s)]

es la salida originada por la entrada g(t). Si el estado inicial del sistema es el estadocero, con todas las condiciones iniciales cero,

y0 = 0, y1 = 0, ...... yn−1 = 0

entonces Q(s) = 0, ası que la unica solucion del PVI es y0(t). Esta solucion se llama


respuesta de estado cero del sistema29.

El teorema de la convolucion permite expresar la respuesta de estado cero del sistemacomo una integral ponderada de la entrada:

y0(t) =

∫ t

0

w(τ)g(t− τ)dτ = w(t) ∗ g(t)

siendo w(t) = L−1[W (s)] la funcion de peso (o de ponderacion) del sistema.

Por ultimo, si la entrada del sistema es g(t) = 0, la solucion del problema es

y1(t) = L−1[W (s)Q(s)]

y se denomina respuesta de entrada cero de un sistema.

Ejemplo 7.3. Resolver el problema de valor inicial

(PV I)

y′′ − 6y′ + 9y = t2e3t

y(0) = 2,

y′(0) = 6,

y determinar:

1. La respuesta de estado cero.

2. La respuesta de entrada cero.

3. La funcion de transferencia.

4. La funcion peso del sistema.

Tomando transformada en ambos lados de la EDO de segundo orden que apareceen el (PVI) y aplicando la linealidad del operador transformada se tiene

L[y′′(t)]− 6L[y′(t)] + 9L[y(t)] = L[t2e3t]

Utilizando las formulas de las transformadas de derivadas de orden n (para n = 2 yn = 1) se deduce

29Razonando en terminos de resolucion de EDO, por ejemplo mediante el metodo de los coefi-cientes indeterminados, la solucion particular que se obtiene corresponde a la respuesta de estadocero del sistema.


s2Y (s)− sy(0)− y′(0)− 6[sY (s)− y(0)] + 9Y (s) =2

(s− 3)3

Aplicando las condiciones iniciales

(s2 − 6s + 9)Y (s) = 2s− 6 +2

(s− 3)3

Notese que en este momento ya conocemos P (s) = s2 − 6s + 9, que corresponde ala funcion recıproca de la funcion de transferencia.

Observando que (s2 − 6s + 9) = (s− 3)2 podemos simplificar para obtener

Y (s) =2

s− 3+

2

(s− 3)5

Tomando la transformada inversa

y(t) = 2L−1

[1

s− 3

]+

2

4!L−1

[4!

(s− 3)5

]

De acuerdo con el primer teorema de traslacion se tiene

L−1

[4!

s5|s→s−3

]= t4e3t

por consiguiente la solucion del PVI es

y(t) = 2e3t +1

12t4e3t

Se tiene ademas que

1. La respuesta de estado cero corresponde a la funcion

y0(t) =1

12t4e3t

2. La respuesta de entrada cero corresponde a la funcion

y1(t) = 2e3t

3. La funcion de transferencia es

W (s) =1

P (s)=

1

s2 − 6s + 9

8. Aplicaciones a la resolucion de EDP 75

4. La funcion peso del sistema es la transformada inversa de la funcion de trans-ferencia

w(t) = L−1[W (s)] = L−1

[1

s2 − 6s + 9

]= L−1

[1

(s− 3)2

]= te3t

8. Aplicaciones a la resolucion de EDP

La transformada de Laplace no se limita a las derivadas ordinarias sino que puedetambien ser aplicada a funciones de dos variables independientes f(x, t). La ver-satilidad del metodo de la transformada de Laplace en las aplicaciones a las ecua-ciones diferenciales en derivadas parciales radica en la facilidad con la cual puede en-frentarse a ecuaciones simultaneas (sistemas de ecuaciones). Las restricciones basicasdel metodo son

1. Se aplica solo a ecuaciones lineales.

2. Se aplica solo a problemas de valores iniciales.

3. La dificultad de calculo de la transformada inversa de la funcion (la transfor-mada de la solucion) que se obtiene al resolver la EDO a la cual se reconducela EDP originaria tras la aplicacion de la transformacion de Laplace.

Usualmente la transformada se toma con respecto a la variable temporal t (lo quepermite la aplicacion del metodo a problemas planteados en dominios espacialmenteacotados) pero tambien se puede aplicar a la variable espacial x mientras nos mova-mos en un dominio semi-infinito 0 < x < ∞. En este caso la eleccion de la variablecon respecto de la cual efectuar la transformada de Laplace se realiza dependiendode lo adecuado que son las condiciones iniciales pues solo los problemas de valorinicial se pueden tratar con la transformada de Laplace. En lo que sigue daremos lasformulas en el caso de transformacion hecha con respecto a la variable temporal.

Suponiendo la regularidad y el comportamiento adecuado de la funcion a transfor-mar (la solucion de la EDP) para que las operaciones efectuadas tengan sentido, yaplicando la definicion se tiene

L [f(x, t)] = F (x, s).=

∫ ∞

0

e−stf(x, t)dt

Integrando por partes (respecto del tiempo y en (0,∞)) se tiene

L

[∂f(x, t)

∂t

]=

∫ ∞

0

e−st ∂f

∂tdt = [f(x, t)e−st]∞0 + s

∫ ∞

0

f(x, t)e−stdt


luego

L

[∂f(x, t)

∂t

]= sF (x, s)− f(x, 0)

Analogamente la transformada de la derivada segunda se obtiene integrando porpartes para obtener

L

[∂2f(x, t)

∂t2

]=

∫ ∞

0

e−st ∂2f

∂t2dt = s2F (x, s)− sf(x, 0)− ∂f(x, t)

∂t(x, 0)

La transformacion de las derivadas espaciales es tambien facil de obtener (intercam-biando los operadores de derivacion parcial e integracion)

L

[∂f(x, t)

∂x

]=

∫ ∞

0

e−st ∂f

∂xdt =

d

dx

∫ ∞

0

e−stf(x, t)dt

luego

L

[∂f(x, t)

∂x

]=

dF (x, s)

dx

siendo s un parametro. Analogamente (es decir, intercambiando los operadores dederivacion parcial e integracion) se deduce

L

[∂2f(x, t)

∂x2

]=

d2F (x, s)

dx2

y en el caso de las derivadas parciales mixtas

L

[∂2f

∂x∂t

]=

d

dx

∫ ∞

0

e−st ∂f

∂tdt =

d

dx[sF (x, s)− f(x, 0)]

Tenemos ahora las herramientas necesarias (es decir las formulas basicas) paraaplicar el metodo de la transformada de Laplace a las ecuaciones diferenciales enderivadas parciales lineales para problemas de valores iniciales.

8.1. Aplicacion de la transformada de Laplace a unos prob-lemas modelo

La tecnica de las transformadas de Laplace se puede aplicar en un dominio finito enla variable espacial pero infinito en la variable temporal (pues buscamos solucionesdefinidas para todo (t ∈ (0,∞))) para reducir una EDP a una EDO. Para ello se


toma la transformada de Laplace en el tiempo (y no en el espacio pues el recorridode la variable x es finito).

8.1.1. Resolucion de una EDP de primer orden

Veamos la aplicacion del metodo de Laplace en la resolucion de un problema devalor inicial (y de contorno) asociado a una EDP de primer orden:

Ejemplo 8.1. Resolver el problema

∂u

∂x+ x

∂u

∂t= 0

u(x, 0) = 0

u(0, t) = t

En primer lugar tomamos la transformada de Laplace de la EDP con respecto altiempo. Se tiene

L

[∂u

∂x+ x

∂u

∂t

]= 0

Aplicando las formulas deducidas en la seccion anterior, la propiedad de linealidady la notacion U(x, s) = L[u(x, t)] se tiene

∂U

∂x+ xsU = 0

Esta ecuacion se puede considerar como una ecuacion diferencial ordinaria (EDO)en la variable independiente x puesto que no aparecen en la ecuacion derivadas conrespecto a s (que se considera por tanto como un parametro). La solucion generalde la EDO (que se puede obtener, por ejemplo, separando variables) es

U(x, s) = C(s)e−sx2/2

siendo C(s) una funcion arbitraria de s que determinaremos a continuacion. Paraello, transformamos la condicion inicial. Puesto que

L[t] =1

s2

la condicion u(0, t) = t se transforma en

U(x, 0) = C(s) =1

s2


luego

U(x, s) =1

s2e−sx2/2

Tenemos ahora que tomar la transformada inversa de la funcion U(s, x) (que es enefecto la transformada de Laplace de la solucion buscada). El termino exponencialsugiere la aplicacion del segundo teorema de traslacion, que afirma

L−1[e−asF (s)] = f(t− a)H(t− a)

donde H(t−a) denota la funcion de Heaviside desplazada (vease la seccion dedicadaa la funcion escalon unitario). La magnitud del desplazamiento es (en nuestro caso)a = x2/2, siendo F (s) = 1/s2. Puesto que

L−1

[1

s2

]= t

la aplicacion del segundo teorema de traslacion nos da la solucion buscada

u(x, t) =

(t− x2

2

)H

(t− x2

2

)=

0 si t <x2

2

t− x2

2si t >

x2

2

8.1.2. Resolucion de una EDP de segundo orden en un dominio no aco-tado

En primer lugar notamos que, al no ser acotado el dominio no podemos aplicar latecnica de separacion de variables que vimos en el primer tema. Para ilustrar laaplicacion del metodo de Laplace un tıpico problema podrıa ser el siguiente:

Ejemplo 8.2. Se considera el proceso de conduccion de calor en un solido semi-infinito. El material, inicialmente a temperatura cero se pone en contacto, repenti-namente, con un bano de calor en el instante t = 0. ¿ Como se difunde el calor enel resto del solido ?

El modelo matematico a resolver es

∂u

∂t(x, t) = k

∂2u

∂x2(x, t), x > 0, t > 0

u(0, t) = u0 x = 0 t > 0

u(∞, t) = 0 x →∞ t > 0

u(x, 0) = 0 x > 0 t = 0


para la variable u = u(x, t) que representa la temperatura del solido y siendo u0 unvalor constante.

Las condiciones de contorno son del tipo Dirichlet no homogeneo. Para la resoluciondel modelo emplearemos el metodo de la transformada de Laplace.

Sea

L [u(x, t)] = U(x, s).=

∫ ∞

0

e−stu(x, t)dt

la transformada de Laplace de la temperatura u(x, t). Tomando la transformadade Laplace de la EDP con respecto al tiempo y utilizando las condiciones iniciales(u(x, 0) = 0) se tiene que

L

[∂u(x, t)

∂t

]= sU(x, s)− u(x, 0) = sU(x, s)

y

L

[∂2u(x, t)

∂x2

]=

d2U(x, s)

dx2

Por tanto (s es un parametro) hemos reducido la EDP a una EDO (y el problemade valor inicial y de contorno a un simple problema de contorno, tal y como veremosa continuacion):

d2U(x, s)

dx2− s

kU(x, s) = 0, x > 0

La solucion general de esta ecuacion es

U(x, s) = Ae−√

s/kx + Be√

s/kx

Puesto que x > 0 y que la transformada de Laplace de la solucion debe tender acero cuando s →∞ (si es que es, efectivamente, la transformada de Laplace de unafuncion continua a trozos y de orden exponencial) se tiene que B = 0 y la soluciones

U(x, s) = Ae−√

s/kx

siendo A una constante arbitraria que se determina mediante la transformada deLaplace de la condicion de contorno en x = 0:

L[u(0, t)] = U(0, s) = L[u0] =u0

s


Se tiene por tanto que la transformada de la solucion del problema originario es

U(x, s) =u0

se−√

s/kx

Para calcular la antitransformada deberıamos calcular

u0

2πi

∫ c+i∞

c−i∞

1

sest−

√s/kxds.

lo que desborda los objetivos de este curso. La tecnica a utilizar es el calculo deresiduos (variable compleja). Sin embargo, podemos utilizar (en este caso) la formula(27)

L

[erfc

(α

2√

t

)]=

1

se−α

√s, α ≥ 0

e identificando α = x/√

k obtener la formula explıcita (aunque en terminos de lafuncion de error) de la solucion del problema originario:

u(x, t) = u0erfc

(x

2√

kt

)= u0

[1− erf

(x

2√

kt

)]

8.1.3. Resolucion de una EDP de segundo orden en un dominio acotado

Aplicaremos ahora la tecnica de la transformada de Laplace a un problema tıpico dedifusion de materia. Se pondra de manifiesto la necesidad del calculo de los residuospara la determinacion de una expresion exacta de la solucion. Alternativamente esteproblema tambien se puede resolver por separacion de variables pues la variableespacial es acotada.

Ejemplo 8.3. Se considera el proceso de difusion de la concentracion c(x, t) de unasustancia gobernado por la ecuacion

∂c

∂t= k

∂2c

∂x2, 0 < x < L, t > 0

y sujeto a las condiciones de contorno

∂c(0, t)

∂x= 0, c(L, t) = c0

y a la condicion inicial

c(x, 0) = 0, 0 < x < L


El modelo matematico a resolver es

∂c

∂t(x, t) = k

∂2c

∂x2(x, t), 0 < x < L, t > 0

∂c

∂x(0, t) = 0 x = 0 t > 0

c(L, t) = c0 x = L t > 0

c(x, 0) = 0 0 < x < L t = 0

para c = c(x, t). Las condiciones de contorno son del tipo Neumann homogeneo yDirichlet no homogeneo. Para la resolucion del modelo emplearemos el metodo dela transformada de Laplace.

Sea

L [c(x, t)] = C(x, s).=

∫ ∞

0

e−stc(x, t)dt

la transformada de Laplace de la concentracion c(x, t). Tomando la transformadade Laplace de la EDP con respecto al tiempo y utilizando las condiciones inicialesse tiene que

L

[∂C(x, t)

∂t

]= sC(x, s)− c(x, 0) = sC(x, s)

L

[∂2c(x, t)

∂x2

]=

d2C(x, s)

dx2

Por tanto (s es un parametro)

d2C(x)

dx2− s

kC(x) = 0, 0 < x < L

Transformada de Laplace de las condiciones de contorno

Se tiene

∂C(0, s)

∂x= 0, C(L, s) =

∫ ∞

0

e−stc(L, t)dt =c0

s

Hemos por tanto reducido la EDP a una EDO y el problema de valor inicial y decontorno a un simple problema de contorno:


d2C

dx2=

s

kC

C(L, s) =c0

s

dC

dx(0, s) = 0

La solucion es

C

c0

=1

s

cosh(√

(s/k)x)

cosh(√

(s/k)L)

Si bien ha sido facil llegar a la expresion de la transformada de la solucion el problemaes ahora el calculo de la transformada inversa de Laplace. Deberıamos en efectocalcular la siguiente integral

C

c0

=1

2πi

∫ c+i∞

c−i∞

est

s

cosh(√

(s/k)x)

cosh(√

(s/k)L)ds

lo que desborda, nuevamente, los objetivos de este curso. El resultado final es (uti-lizando el calculo de los residuos)

c

c0

= 1− 4

π

∞∑n=0

(−1)n

(2n + 1)cos

[(n +

1

2

)πx

L

]exp

{−kt

[(n +

1

2

)π

L

]2}

Este resultado se hubiese podido obtener tambien por separacion de variables y sedeja la comprobacion al lector30.

9. Comentarios finales sobre el uso de las trans-

formadas integrales

Hemos visto que la transformada de Fourier y la correspondiente formula de inversionno son otra cosa que una reformulacion de la representacion integral de Fourier deuna funcion no periodica en −∞ < x < ∞. Tambien se ha visto que la metodologıaasociada a la transformada de Fourier es analoga, y en ciertos aspectos identica,a la metodologıa de trabajo asociada a la transformada de Laplace. Observada lasemejanza entre los dos metodos es natural preguntarse cual de las dos transformadaselegir a la hora de resolver una ecuacion diferencial. Los principios basicos a seguirson:

30La resolucion del problema mediante aplicacion del metodo de separacion de variables se hapropuesto como ejercicio en el examen de control del curso 1999/2000.

10. El metodo de Combinacion de variables 83

1. La transformada de Laplace esta indicada para problemas de valor inicial enun intervalo semiinfinito 0 < t < ∞.

2. La transformada de Fourier esta indicada para problemas de contorno en unintervalo infinito −∞ < x < ∞.

Las dos variables independientes utilizadas representan el tiempo t y el espacio x ysuele ser habitual que en las EDP la transformada de Laplace se tome con respectoal tiempo y la de Fourier con respecto al espacio. No se trata de una regla fija einmutable puesto que es posible, por ejemplo, utilizar la transformada de Laplacepara resolver problemas de contorno en intervalos finitos (en lugar de aplicar elmetodo de separacion de variables) mientras que la transformada de Fourier se puedeadaptar a problemas de contorno en intervalos semiinfinitos (en lugar de aplicar latransformada de Laplace).

10. El metodo de Combinacion de variables

Este tipo de metodo31 es efectivo en el caso de dominios no acotados con condicionesde contorno adecuadas. Aclararemos mas adelante lo que se entiende por adecuadas.Digamos, de momento, que hay restricciones. Una de ellas (es decir un prerequisitodel metodo para su aplicacion) radica en la existencia de una cierta simetrıa paralas condiciones en el cero y en el infinito. El metodo es ademas aplicable solo a loscasos donde las variables independientes son no acotadas, por ejemplo: 0 < t < ∞,0 < x < ∞.

La idea del metodo consiste en combinar todas las variables independientes en unaunica variable dependiente32 que llamaremos η. Este cambio de coordenadas produceuna unica EDO que puede ser resuelta con metodos conocidos. Notese que el metodofallara si al sustituir en la EDP aparece alguna otra variable que no sea η (es decirsi no obtenemos una EDO). Desarrollaremos ahora las operaciones de diferenciacionnecesarias para la aplicacion efectiva del metodo.

31Llamado en la literatura anglosajona similarity transform.32En este sentido se puede entender el metodo de combinacion de variables como un metodo

opuesto al de separacion de variables. Otro aspecto que diferencia los dos metodos, y que evidenciala potencialidad del metodo de combinacion de variables, es que este puede ser aplicado en el casono lineal (bajo ciertas condiciones de simetrıas de las variables dependientes e independientes).


10.1. Deduccion del metodo de combinacion de variables

Sea dada la ecuacion del calor

∂T

∂t= α

∂2T

∂x2, 0 < x < ∞, t > 0

donde α es la difusividad termica (o calorıfica). Sea ademas, por hipotesis, T (x, t) =f(η), donde

η = η(x, t) =x

δ(t)

es una combinacion adecuada de las variables independientes (x, t) definida a travesde la funcion δ(t) (todavıa indeterminada). Veremos (aunque de manera heurıstica)que la existencia de ciertas simetrıas en la ecuacion aconsejara la eleccion δ(t) =√

4αt. La funcion η se suele llamar la variable autosemejante.

El cambio de variable T (x, t) = f(η) implica la igualdad de sus respectivas diferen-ciales totales:

dT (x, t) = df(η)

Aplicando la regla de la cadena a ambos lados de la ecuacion anterior se tiene:

dT (x, y) =∂T

∂xdx +

∂T

∂tdt =

df

dηdη = f ′(η)

[∂η

∂xdx +

∂η

∂tdt

]

Igualando los coeficientes de los elementos diferenciales dx y dt en ambos ladosresulta

∂T

∂x= f ′(η)

∂η

∂x= f ′(η)

1

δ(t),

∂T

∂t= f ′(η)

∂η

∂t= f ′(η)

(−η

δ

dδ

dt

)

Calculemos ahora∂2T

∂x2. Introducimos para ello las funciones F (x, t), ψ(η, t)

F (x, t).=

∂T

∂x= f ′(η)

1

δ(t).= ψ(η, t)

y razonamos como antes. Aplicando la regla de la cadena a la igualdad entre lasdiferenciales totales dF (x, t) = dψ(η, t) se tiene

∂F

∂xdx +

∂F

∂tdt =

∂ψ

∂ηdη +

∂ψ

∂tdt =

∂ψ

∂η

[∂η

∂xdx +

∂η

∂tdt

]+

∂ψ

∂tdt

igualando los coeficientes de dx y dt se tiene


∂F

∂x=

∂ψ

∂η

∂η

∂x

Utilizando las definiciones de F y ψ se deduce

∂2T

∂x2=

∂F

∂x= f

′′(η)

1

δ(t)

∂η

∂x= f

′′(η)

1

δ2(t)

Usando este resultado y la relacion

∂T

∂t= f ′(η)

∂η

∂t= f ′(η)

(−η

δ

dδ

dt

)

sustituimos en la EDP original para obtener

αf′′

δ2 = f ′(−η

1

δ

dδ

dt

)

Es decir

αf′′

= −ηδdδ

dtf ′

Si elegimos

δdδ

dt= 2α

es decir

δdδ = 2αdt

se tiene (puesto que δ(0) = 0 ya que queremos que η tenga recorrido infinito),

δ(t) =√

4αt

Nos hemos reconducido a resolver la EDO:

f′′

+ 2ηf ′ = 0

Si definimos p = df/dη se tiene p′+2ηp = 0 que es una EDO separable cuya soluciones

p(η) = Ae−η2

=df

dη

Integrando nuevamente


f(η) = A

∫e−η2

dη + B

Recordando la definicion de la funcion de error

erf(η) =2√π

∫ η

0

e−β2

dβ

y por ser las constantes A, B completamente arbitrarias podemos escribir

f(η) = Cerf(η) + B

Esta solucion particular tiene muchas aplicaciones y aparece en inumerables prob-lemas fısicos de transporte.

10.2. Aplicacion del metodo de combinacion de variables

Para ilustrar la aplicacion del metodo de combinacion de variables a un problemaconcreto, consideramos el siguiente ejemplo (Rice and Doo33, pag 409):

Ejemplo 10.1. Se considera una varilla de longitud infinita de un material solidoinfinito con una temperatura inicial uniforme T0 en todo el dominio 0 < x < ∞.Se aplica repentinamente una temperatura Ts, constante, en x = 0. Este salto detemperatura (T0 6= Ts) en la posicion x = 0 provoca una difusion del calor en elinterior del medio de tipo ondulatorio. Determinar la distribucion de temperaturasen el solido.

El balance de calor para un elemento de volumen de espesor ∆x, seccion transversalde area A de un material de densidad ρ, capacidad calorıfica Cp y conductividad k,se escribe:

(qxA)|x − (qxA)|x+∆x = A∆xρCp∂T

∂t

Dividiendo por A∆x y pasando al lımite cuando ∆x → 0 se obtiene

−∂qx

∂x= ρCp

∂T

∂t

y aplicando la ley de Fourier, qx = −k∂T

∂xresulta la ecuacion parabolica de conduc-

cion del calor:∂T

∂t= α

∂2T

∂x2

33Rice, R.G, Do, D.D., (1995). Applied Mathematics and Modelling for Chemical Engineers.John Wiley & Sons, Inc.


siendo α = k/ρCp la difusividad termica (en cm2/s). y en la que ambas variablesson no acotadas: 0 < x < ∞, 0 < t < ∞. La condicion inicial (temperatura inicialen la varilla) sera

T = T0, t = 0, ∀x > 0

complementada con

T = Ts, x = 0, ∀ t > 0

y

T → Ts, t →∞, ∀x > 0, T → T0, x →∞, ∀ t > 0

Estas son condiciones adecuadas. Se trata de condiciones de simetrıa en cero y en elinfinito y es el primer requisito que debe tener el problema para que el metodo decombinacon de variables sea aplicable. Una aproximacion de los ordenes de magnitudde los terminos que aparecen en la ecuacion anterior no dice que:

α∆T

x2∼ ∆T

t

esto sugiere (aproximadamente) que αt ∼ x2 luego combinamos las variables en laforma

η =x√4αt

y buscaremos una solucion en la forma: T (x, t) = f(η).

Sustituyendo la expresion T (x, t) = f(η) en la EDP obtenemos la EDO:

d2f

dη2+ 2η

df

dη= 0.

Integrando (de manera indefinida) se tiene

df

dη= Ae−η2

e integrando nuevamente

f(η) = A

∫e−η2

dη + B = Cerf(η) + B

siendo

erf(η) =2√π

∫ η

0

e−β2

dβ

la funcion de error. Para determinar las constantes C y B se observa que:

f(0) = Ts, f(∞) = T0


luego B = Ts y C = (T0 − Ts), siendo erf(∞) = 1 (de ahı el factor de normalizacionen la definicion de la funcion de error). En las coordenadas originales se tiene:

T (x, t) = (T0 − Ts)erf

(x√4αt

)+ Ts

y se escribe, tıpicamente

T (x, t)− Ts

T0 − Ts

= erf

(x√4αt

)

siendo

θ(x, t) =T (x, t)− Ts

T0 − Ts

, θ(0, t) = 0, θ(x, 0) = 1.

Notese que si cambiamos las condiciones de contorno originarias, por ejemplo re-quiriendo un flujo de calor constante en la frontera x = 0, entonces la solucionanterior ya no vale y puede haber alguna complicacion tecnica. Para el lector intere-sado, ver Rice and Do34, pag 414.

10.2.1. Sistema semi-infinito. Condiciones constantes en uno de los lımitesdel mismo

Consideraremos ahora algun ejemplo concreto propio del area de la Ingenierıa Quımi-ca. Se pueden encontrar en el vol. 5 del libro de Costa Novella dedicado a la trans-ferencia de materia.

Ejemplo 10.2 (Costa Novella, pg 55). Se considera un sistema constituido porun deposito cilındrico alto que contiene en su base un catalizador de isomerizacioncon espesor reducido y constante, limitado por un tabique facilmente eliminable.Supongase que la parte superior del deposito esta ocupada por una mezcla de dosisomeros A y B a temperatura y presion constantes y que dado su espesor, este puedeconsiderarse semi-infinito. En un momento dado, elimindo el tabique separador seponen en contacto ambas fases con lo que el componente A se difunde en sentidodescendente y al entrar en contacto con el catalizador S se isomeriza instantanea-mente en el B, estableciendose una contradifusion equimolar de ambos compuestosy manteniendose constantes las condiciones en la superficie interfacial.

34Rice, R.G, Do, D.D., (1995). Applied Mathematics and Modelling for Chemical Engineers.John Wiley & Sons, Inc.


Se trata de una difusion simple en un sistema semi-infinito en regimen no estacionariocon isomerizacion catalıtica instantanea.

El modelo matematico para este caso estara constituido por la ecuacion diferencialen derivadas parciales de difusion pura complementada con las condiciones lımitesiguientes:

∂xA

∂t= DAB

∂2xA

∂x2, 0 < x < ∞, t > 0

xA = xA1 = 0 x = 0 t > 0

xA = xA2 = 0 x = ∞ t > 0

xA(x, 0) = xAI0 < x < ∞ t = 0

(39)

La EDP que aparece en el problema (39) puede resolverse mediante el metodo decombinacion de variables. A tal fin se introducen las variables adimensionales

Y =xA − xAI

xA1 − xAI

, (40)

φ =x√

4DABt(41)

con lo que el modelo anterior para la variable Y (φ) se convierte en

d2Y

dφ2 + 2φdY

dφ= 0 0 < φ < ∞

Y = 1 φ = 0

Y = 0 φ = ∞

(42)

constituido por una ecuacion diferencial ordinaria lineal de segundo orden de coefi-cientes variables. Una doble integracion nos conduce a

Y = C1

∫ φ

0

e−s2

ds + C2 (43)

cuyas constantes pueden evaluarse mediante las condiciones lımite Y (0) = 1, Y (∞) =0. A saber:


C1 = 1, C2 = − 1∫ ∞

0

e−φ2

dφ

con lo que se llega a la expresion final

Y = 1−

∫ φ

0

e−s2

ds∫ ∞

0

e−φ2

dφ

= 1− 2

π

∫ φ

0

e−s2

ds = 1− erf(φ)

Deshaciendo el cambio de variables anterior se deduce

xA

xAI

= erf

(x√

4DABt

)

que representa la distribucion de concentraciones del componente A en funcion dela posicion y del tiempo.

El flujo de isomerizacion del compuesto A, al ser ~v = 0, sera:

(NA)x=0 = NA(0, t) = −ctDAB

(∂xA

∂x

)

x=0

= −cAI

√DAB

πt, ∀ t > 0

Ejemplo 10.3 (Costa Novella, pg 57, ejemplo 2-11). Un componente A de un gasen reposo es absorbido por una capa de lıquido, inicialmente exento de dicho compo-nente, que desciende laminarmente por una superficie vertical, pudiendo suponerseque la resistencia a la transferencia es la opuesta exclusivamente por el lıquido.Calcular la maxima longitud de superficie que asegure una penetracion de dichocomponente inferior al 10 por 100 del espesor de la capa lıquida.

Datos y notas

Espesor de la capa: δ = 0, 5 mm.

Propiedades fısicas del lıquido: densidad 1,000Kg/m3; viscosidad: 10−3Kg/ms.

Difusividad del componente A en el lıquido: 10−9m2/s.

Considerese que la penetracion es despreciable a partir del punto en el que laconcentracion del componente A es el 0, 5 por 100 de la superficial de equilibrio.


Se trata de la difusion unidimensional del componente A en el seno del lıquidoque desciende laminarmente. Suponemos que en la superficie interfacial se alcanzainstantaneamente el equilibrio.

El modelo matematico para este caso estara constituido por la ecuacion diferencialde difusion pura complementada con las condiciones lımite siguientes:

∂cA

∂t= DAB

∂2cA

∂x2, 0 < x < ∞, t > 0

cA = cAe x = 0 t > 0

cA = 0 x = ∞ t > 0

cA(x, 0) = 0 0 < x < ∞ t = 0

(44)

siendo cAe la concentracion de equilibrio. La EDP que aparece en el problema (44)puede resolverse mediante el metodo de combinacion de variables. A tal fin seintroducen las variables adimensionales

Y =cA

cAe

, (45)

φ =x√

4DABt(46)

con lo que el modelo anterior para la variable Y (φ) se convierte en

d2Y

dφ2 + 2φdY

dφ= 0 0 < φ < ∞

Y = 1 φ = 0

Y = 0 φ = ∞

(47)

constituido por una ecuacion diferencial ordinaria lineal de segundo orden a coefi-cientes variables. Una doble integracion nos conduce a

Y = C1

∫ φ

0

e−s2

ds + C2 (48)

cuyas constantes pueden evaluarse mediante las condiciones lımite Y (0) = 1, Y (∞) =0. A saber:


C1 = 1, C2 = − 1∫ ∞

0

e−φ2

dφ

con lo que se llega a la expresion final

Y = 1−

∫ φ

0

e−s2

ds∫ ∞

0

e−φ2

dφ

= 1− 2

π

∫ φ

0

e−s2

ds = 1− erf(φ)

Deshaciendo el cambio de variables anterior se deduce

cA

cAe

= 1− erf

(x√

4DABt

)= erfc

(x√

4DABt

)

luego

cAe − cA

cAe

= erf

(x√

4DABt

)(49)

que representa la distribucion de concentraciones del componente A en funcion dela posicion y del tiempo.

Para calcular la maxima longitud de superficie que asegure una penetracion de dichocomponente inferior al 10 por 100 del espesor de la capa lıquida se considera un puntosituado a una distancia de la interface igual al 10 por 100 del espesor de la capalıquida: x = 0, 1 δ = 5 · 10−5m, siendo la concentracion cA = 0,005cAe . Sustituyendoen (49) se tiene

cAe − 0,005cAe

cAe

= 0,995 = erf

(5 · 10−5

√4 · 10−9t

)

de donde se deduce t = 0,156s. Conociendo el tiempo se calcula la longitud de laplaca mediante el calculo de la velocidad vy. Detalles se encuentran el la pg 58 dellibro de Costa Novella sobre Transferencia de materia por difusion

10.3. Difusion con flujo masico simultaneo

Sean dos compuestos gaseosos A y B que forma una mezcla ideal a presion y tem-peraturas constantes. De acuerdo con las ecuaciones basicas, la concentracion molartotal ct y la difusividad DAB podran considerarse constantes. Suponiendo tambien


que el resto de las propiedades fısicas pueden ser tratadas como constantes, lasecuaciones de conservacion de materia, para una sola direccion de difusion, en coor-denadas rectangulares podran expresarse ası:

∂v∗x∂x

= 0, =⇒ v∗x = f(t) (50)

luego

∂cA

∂t+ v∗x

∂cA

∂x= DAB

∂2cA

∂x2=⇒ ∂xA

∂t+ v∗x

∂xA

∂x= DAB

∂2xA

∂x2(51)

Sabemos tambien que

v∗x =NA + NB

ct

(52)

por tanto, dada la constantcia de ct, al ser la velocidad molar media v∗x funcionexclusiva del tiempo (ecuacion (50)), tambien lo sara la suma de los flujos molaresde los compuestos A y B. De las ecuaciones (51) y (52) se tiene

∂xA

∂t= DAB

∂2xA

∂x2−

(NA + NB

ct

)∂xA

∂x(53)

ecuacion en derivadas parciales no lineal y de segundo orden que junto con las condi-ciones lımite que proceda constituira el modelo matematico en cada caso concreto.Veamos uno de ellos a continuacion.

10.3.1. Sistema semi-infinito: Difusion de un solo componente en el senode otro estacionario

Consideremos un sistema de evaporacion o sublimacion.

Ejemplo 10.4. Un cilindro vertical cerrado de escaso diametro y gran altura con-tiene en su base un lıquido o solido puro separado del aire que llena el resto, consuficiente espesor para poderlo considerar semi-infinito, por un tabique facilmenteeliminable. El aire que se mantiene a temperatura y presion constantes se suponees totalmente insoluble o adsorbible por el compuesto A. En el momento en que seelimina el tabique que separa a ambas fases comienza la vaporizacion o sublimacionno estacionaria del compuesto A.

Puesto que dada la insolubilidad o no adsorbibilidad del compuesto B en el A, setendra:

NB(0, t) ≡ 0, ∀ t (54)


y se deduce

NA(0, t) = −DAB

(ct

1− xA1

)∂xA

∂x(0, t) (55)

Por consiguiente, utilizando las ecuaciones (53), (54) y (55) junto con adecuadascondiciones de contorno se tiene el modelo matematico

∂xA

∂t= DAB

∂2xA

∂x2+ DAB

(ct

1− xA1

)∂xA

∂x(0, t)

∂xA

∂x, 0 < x < ∞, t > 0

xA = xA1 x = 0 t > 0

xA = xA2 = 0 x = ∞ t > 0(56)

representando xA1 la concentracion de equilibrio en la superficie interfacial a latemperatura y presion de que se trate. En este modelo no hay ninguna longitudcaracterıstica y puesto que la concentracion del compuesto A es nula para dos de suscondiciones lımite (t = 0 y x = ∞), resulta aconsejable el metodo de combinacionde variables. Introduciendo la distancia adimensional

φ =x√

4DABt(57)

y la variable ϕ:

ϕ = − 1

2(1− xA1)

(∂xA

∂φ

)

x=0

(58)

el modelo (56) se transforma en el siguiente

d2xA

dφ2 + 2(φ− ϕ)dxA

dφ= 0 0 < φ < ∞

φ = 0 xA = xA1

φ = ∞ xA = 0

(59)

constituido por una ecuacion diferencial ordinaria lineal de segundo orden a coefi-cientes variables. La variable xA no se presenta explicitamente. La solucion de (59)es

xA = C1erf(φ− ϕ) + C2 (60)

Calculadas las dos constantes de esta ecuacion mediante las dos condiciones lımiteresulta


xA

xA1

=1− erf(φ− ϕ)

1 + erf(ϕ)(61)

expresion reppresentativa de la distribucion de concentraciones del componente Aen funcion de la posicion y del tiempo. Teniendo en cuenta que

ϕ =1√π

(xA

1− xA1

)e−ϕ2

1 + erf(ϕ)(62)

La ecuacion (62) permite calcular los valores de ϕ que corresponden a los de xA a finde facilitar la utilizacion de la ecuacion (61). Se pueden en efecto tabular los valoresde ϕ y ϕ

√π/xA1 correspondientes a los de xA1 .

Teniendo en cuenta (55) y (58) el flujo de vaporizacion o sublimacion sera:

NA(0, t) = −(

ct

1− xA1

) √DAB

4t

(∂xA

∂φ

)

φ=0

=

ctϕ

√DAB

4t= ctxA1

√DAB

4t

(√π

ϕ

xA1

)(63)

y se calcula mediante la tabla de valores anteriormente mencionada.

Este ejercicio permite estimar la importancia de la conveccion en los fenomenosde vaporizacion o sublimacion que se estudian. El analisis detallado (vease pag 76,Costa Novella, Transferencia de materia por difusion) muestra que, de no haberconveccion,

xA1 − xA

xA1

= erf(φ) (64)

expresion representativa de la distribucion de concentraciones del componente A enfuncion de la posicion y del tiempo sin conveccion.

Por otra parte, el flujo de vaporizacion o sublimacion sera:

NA(0, t) = −ctDAB

(∂xA

∂φ

)

φ=0

= −ct

√DAB

4t

(√π

ϕ

xA1

)= ctxA1

√DAB

4t(65)

y comparando (63) y (65) se deduce que el temino correctivo debido a la convecciones


ϕ

√π

xA1

11. Anexos

Recopilamos aquı las definiciones y propiedades basicas de unas funciones no ele-mentales que aparecen de forma natural al resolver problemas de valores inicialesen dominios no acotados. Tras ello, recordaremos unas transformadas de Laplacebasicas para el uso del metodo de laplace.

11.1. La funcion de error: definicion y propiedades

El paso final en el proceso de resolucion de ecuaciones diferenciales lo constituyesu integracion. A menudo este proceso de resolucion produce funciones elementalesdel tipo exponencial, logarıtmico, trigonometrico que expresan la relacion entre lasvariables dependientes y las independientes. Sin embargo, tambien a menudo, lastecnicas de resolucion generan una forma integral de la solucion que no se puederesolver en terminos de funciones elementales. Es comun, en tal caso, dar un nombrea la integral generada y tabular sus valores. Este es el caso de la funcion de error o dela funcion Gamma (introducida en el tema 2). Es importante conocer las propiedadesbasicas de estas funciones y sus comportamientos lımites para finalmente poderconstruir una solucion analıtica exacta (que sea util y practica). Empezaremos conla relacion integral mas comun entre ellas: la funcion de error.

La funcion de error

Esta funcion aparece muy a menudo en la teorıa de la probabilidad y en los prob-lemas de conduccion del calor o difusion de la masa. Esta asociada a una integralno elemental y puede aparecer al resolver ecuaciones en derivadas parciales u ordi-narias35. En la literatura anglosajona la funcion de error se denota por erf (errorfunction). En castellano es fer (funcion de error). Su definicion es:

erf(x) =2√π

∫ x

0

exp(−β2)dβ

35Vease el ejemplo al final de esta seccion donde la funcion de error aparece en la expresionde la solucion de un PVI asociado a una ecuacion diferencial ordinaria de primer orden lineal acoeficientes variables.

11. Anexos 97

donde se ha introducido una variable muda β para prevenir posibles errores enel proceso de derivacion de erf(x). La funcion de error es de hecho una funcionintegral de una funcion C∞(IR) luego puede ser integrada y derivada sin problemasun numero cualquiera de veces. Para ello (es decir para diferenciar la funcion deerror) recordamos la Formula de Leibnitz de derivacion bajo el signo de integral(derivacion parametrica):

Formula de Leibnitz

d

dx

(∫ u1(α)

u0(α)

f(x, α)dx

)= f(u1, α)

du1

dα−f(u0, α)

du0

dα+

∫ u1(α)

u0(α)

(∂f(x, α)

∂α

)dx (66)

Se tiene entonces

d

dxerf(x) =

2√π

exp(−x2) (67)

Por definicion, la funcion de error es simplemente el area encerrada por la graficade la curva exp(−β2) entre los valores β = 0 y β = x, luego depende solo del valordel extremo superior de integracion elegido: x. El factor de normalizacion se haintroducido para asegurar que la funcion ası definida tome el valor unidad cuandox →∞: erf(∞) = 1. En efecto, notese que se puede demostrar (utilizando la funcionGamma) que: ∫ ∞

0

e−x2

dx =

√π

2

Propiedades de la funcion de error

Para el calculo de la integral (indefinida) de la funcion de error se integra por partesy se utiliza la formula de derivacion (67). Recordando la formula de integracion porpartes

∫u(x)dv = uv −

∫vdu

dxdx

y definiendo u(x) = erf(x), v = x se tiene

∫erf(x)dx = x erf(x)−

∫2

πexp(−x2)xdx + K

Siendo 2xdx = d(x2) podemos escribir


∫erf(x)dx = x erf(x) +

1

πexp(−x2) + K

donde K es una constante de integracion arbitraria.

Los valores de la funcion de error se encuentran tabulados en varios textos. Unareferencia clasica es el libro de Abramowitz y Stegun (1965). Ocasionalmente esconveniente utilizar la funcion de error complementaria, definida por

erfc = 1− erf =2

π

∫ ∞

x

exp(−β2)dβ

Notese finalmente que la funcion de error puede aparecer al resolver un problemade valor inicial para una ecuacion diferencial ordinaria de primer orden.

Ejemplo 11.1. Resolver el problema de valor inicial

dy

dx− 2xy = 2

y(0) = 1

El problema se puede resolver con los metodos del tema 13, seccion 13.2.7.2 sobreEDO lineales de primer orden completas. Concretamente utilizamos el metodo delfactor integrante mediante el cual convertimos la EDO de primer orden, lineal ycoeficientes variables en una EDO exacta que se resuelve por integracion directa.

Como la ecuacion ya se encuentra en su forma normal y′ + a(x)y = b(x) el factorintegrante es

µ(x) = exp(

∫a(x)dx) = e−x2

La ecuacion exacta es:

d

dx

(e−x2

y)

= 2e−x2

e integrando directamente se tiene

y(x) = 2ex2

∫ x

0

e−t2dt + cex2

Sustituyendo la condicion inicial en la expresion de y(x) se tiene c = 1; por consi-guiente la solucion del problema es

y(x) = 2ex2

∫ x

0

e−t2dt + ex2

= ex2 (1 +

√πerf(x)

)

11. Anexos 99

11.2. Tabla de Transformadas de Fourier

En el libro de Greenberg36 es posible encontrar la siguiente tabla de transformadasexponenciales de Fourier. Notese que la transformada tabulada es

f(w) =

∫ ∞

−∞f(x)e−iwxdx

es decir, sin el factor 1/√

2π que hemos utilizado en la definicion. Otras tablas (tam-bien para las transformadas seno y coseno) se encuentran en el libro de Kreyzsig37,pag 619-621).

1.

f(x) =1

x2 + a2, a > 0 =⇒ f(w) =

π

ae−a|w|

2.

f(x) = H(x)e−ax, Re(a) > 0 =⇒ f(w) =1

a + iw

3.

f(x) = H(−x)eax, Re(a) > 0 =⇒ f(w) =1

a− iw

4.

f(x) = e−a|x|, a > 0 =⇒ f(w) =2a

w2 + a2

5.

f(x) = e−x2

, =⇒ f(w) =√

πe−w2/4

6.

f(x) =1

2a√

πe−x2/(2a)2 , =⇒ f(w) = ea2w2

7.

f(x) =1√|x| , =⇒ f(w) =

√2π

|w|

8.

f(x) = e−a|x|/√2 sin

(a√2|x|+ π

4

), a > 0 =⇒ f(w) =

2a3

w4 + a4

36Greenberg, M.D. (1998). Advanced Engineering Mathematics. International Edition.37Kreyszig, E. (1993). Advanced Engineering Mathematics. John Wiley and Sons, Inc.


9.

f(x) = H(x + a)−H(x− a), =⇒ f(w) =2 sin(wa)

w

10.f(x) = δ(x− a), =⇒ f(w) = e−iaw

11.

f(x) = f(ax + b), a > 0 =⇒ f(w) =1

aeibw/af

(w

a

)

12.

f(x) =1

ae−ibx/af

(x

a

), a > 0, b ∈ IR =⇒ f(w) = f(aw + b)

13.

f(x) = f(ax) cos(cx), a > 0, c ∈ IR =⇒ f(w) =1

2a

[f

(w − c

a

)+ f

(w + c

a

)]

14.

f(x) = f(ax) sin(cx), a > 0, c ∈ IR =⇒ f(w) =1

2ai

[f

(w − c

a

)− f

(w + c

a

)]

15.

f(x) = f(x + c) + f(x− c), c ∈ IR =⇒ f(w) = 2f(w) cos(wc)

16.

f(x) = f(x + c)− f(x− c), c ∈ IR =⇒ f(w) = 2if(w) sin(wc)

17.

f(x) = xnf(x), n = 1, 2, ..., =⇒ f(w) = indn

dwnf(w)

11. Anexos 101

11.3. Tabla de Transformadas de Laplace

1.

f(t) = 1, t > 0 =⇒ F (s) =1

s

2.

f(t) = t, t > 0 =⇒ F (s) =1

s2

3.

f(t) =tn−1

(n− 1)!, =⇒ F (s) =

1

sn, n = 1, 2, 3, ..

4.

f(t) =1√πt

, =⇒ F (s) =1√s

5.

f(t) = 2

√t

π, =⇒ F (s) =

1

s3/2

6.

f(t) =tα−1

Γ(α), =⇒ F (s) =

1

sα, α > 0

7.

f(t) = e−at, =⇒ F (s) =1

s + a

8.

f(t) = te−at, =⇒ F (s) =1

(s + a)2

9.

f(t) =1

b− a(e−bt − e−at), =⇒ F (s) =

1

(s + a)(s + b)

10.

f(t) =1

(n− 1)!tn−1e−at, =⇒ F (s) =

1

(s + a)n, n = 1, 2, ..

11.

f(t) =tα−1e−at

Γ(α), =⇒ F (s) =

1

(s + a)α, α > 0

12.

f(t) =1

b− a(be−bt − ae−at), =⇒ F (s) =

s

(s + a)(s + b)


13.

f(t) =1

asin(at), =⇒ F (s) =

1

s2 + a2

14.f(t) = cos(at), =⇒ F (s) =

s

s2 + a2

15.

f(t) =1

asinh(at), =⇒ F (s) =

1

s2 − a2

16.f(t) = cosh(at), =⇒ F (s) =

s

s2 − a2

17.

f(t) =1

a2[1− cos(at)], =⇒ F (s) =

1

s(s2 + a2)

18.

f(t) =1

a3[at− sin(at)], =⇒ F (s) =

1

s2(s2 + a2)

19.

f(t) =1

2a3[sin(at)− at cos(at)], =⇒ F (s) =

1

(s2 + a2)2

20.

f(t) =t

2asin(at), =⇒ F (s) =

s

(s2 + a2)2

21.

f(t) =1

2a(sin(at) + at cos(at), =⇒ F (s) =

s2

(s2 + a2)2

22.

f(t) = t cos(at), =⇒ F (s) =s2 − a2

(s2 + a2)2

23.

f(t) =cos(at)− cos(bt)

b2 − a2, =⇒ F (s) =

s

(s2 + a2)(s2 + b2)

24.

f(t) =1

beat sin(bt), =⇒ F (s) =

1

(s− a)2 + b2

25.

f(t) = eat cos(bt), =⇒ F (s) =(s− a)

(s− a)2 + b2

11. Anexos 103

26.

f(t) = e−at − eat/2

[cos

(at√

3

2

)−√

3 sin

(at√

3

2

)], =⇒ F (s) =

3a2

s3 + a3

27.

f(t) = sin(at) cosh(at)− cos(at) sinh(at), =⇒ F (s) =4a3

s4 + 4a4

28.

f(t) =1

2a2[sin(at) sinh(at)], =⇒ F (s) =

s

s4 + 4a4

29.

f(t) =1

2a3[sinh(at)− sin(at)], =⇒ F (s) =

1

s4 − a4

30.

f(t) =1

2a2[cosh(at)− cos(at)], =⇒ F (s) =

s

s4 − a4

31.

f(t) = (1 + a2t2) sin(at)− at cos(at), =⇒ F (s) =8a3s2

(s2 + a2)3

32.

f(t) =et

n!

dn

dtn(tne−t), =⇒ F (s) =

1

s

(s− 1

s

)n

33.

f(t) =1√πt

eat(1 + 2at), =⇒ F (s) =s

(s− a)3/2

34.

f(t) =1

2√

πt3(ebt − eat), =⇒ F (s) =

√s− a−

√s− b

35.

f(t) =1√πt− aea2terfc(a

√t), =⇒ F (s) =

1

a +√

s

36.

f(t) =1√πt

+ aea2terf(a√

t), =⇒ F (s) =

√s

s− a2

37.

f(t) =1√πt− 2a√

πe−a2t

∫ a√

t

0

eβ2

dβ, =⇒ F (s) =

√s

s + a2


38.

f(t) =1

aea2terf(a

√t), =⇒ F (s) =

1√s(s− a2)

39.

f(t) =2

a√

πe−a2t

∫ a√

t

0

eβ2

dβ, =⇒ F (s) =1√

s(s + a2)

40.

f(t) = ea2terfc(a√

t), =⇒ F (s) =1√

s(a +√

s)

41.

f(t) =1√

b− ae−aterf[

√t(b− a)], =⇒ F (s) =

1

(s + a)√

s + b

42.

f(t) = ae−at[I1(at) + I0(at)], =⇒ F (s) =

√s + 2a√

s− 1

43.

f(t) = e−(a+b)t/2I0

(a− b

2t

), =⇒ F (s) =

1√(s + a)(s + b)

44.

f(t) =√

π

(t

a− b

)α−1/2

e−(a+b)t/2Iα−1/2

(a− b

2t

), =⇒

=⇒ F (s) =Γ(α)

(s + a)α(s + b)α

45.

f(t) = te−(a+b)t/2

[I0

(a− b

2t

)+ I1

(a− b

2t

)]=⇒

=⇒ F (s) =1

(s + a)1/2(s + b)3/2

46.

f(t) =1

te−atI1(at), =⇒ F (s) =

√s + 2a−√s√s + 2a +

√s

47.

f(t) = J0(at), =⇒ F (s) =1√

s2 + a2

48.

f(t) = aαJα(at), =⇒ F (s) =

[√s2 + a2 − s

]α

√s2 + a2

, α > −1

11. Anexos 105

49.

f(t) =

√π

Γ(α)

(t

2a

)α−1/2

Jα−1/2(at), =⇒ F (s) =1

(s2 + a2)α, α > 0

50.

f(t) =αaα

tJα(at), =⇒ F (s) =

[√s2 + a2 − s

]α

, α > 0

51.

f(t) = aαIα(at), =⇒ F (s) =s− [√

s2 + a2]α

√s2 − a2

, α > −1

52.

f(t) =

√π

Γ(α)

(t

2a

)α−1/2

Iα−1/2(at), =⇒ F (s) =1

(s2 − a2)α, α > 0

53.

f(t) = J0(2√

αt), =⇒ F (s) =1

se−α/s

54.

f(t) =1√πt

cos((2√

αt), =⇒ F (s) =1√se−α/s

55.

f(t) =1√πt

cosh((2√

αt), =⇒ F (s) =1√seα/s

56.

f(t) =1√πα

sin((2√

αt), =⇒ F (s) =1

s3/2e−α/s

57.

f(t) =1√πα

sinh((2√

αt), =⇒ F (s) =1

s3/2eα/s

58.

f(t) =

(t

α

)(µ−1)/2

Jµ−1(2√

αt), =⇒ F (s) =1

sµe−α/s, α > 0

59.

f(t) =

(t

α

)(µ−1)/2

Iµ−1(2√

αt), =⇒ F (s) =1

sµeα/s, α > 0


12. Ejercicios sugeridos

Ejercicio 3.1. Sea dada la funcion

f(t) =

{ −1, 0 ≤ t < 1,

1, t ≥ 1.

Calcular L[f(t)] utilizando la definicion.

Respuesta: L[f(t)] = −1

s+ 2

e−s

s.


f(t) =

{4, 0 ≤ t < 2,

0, t ≥ 2.


Respuesta: L[f(t)] =4

s

(1− e−2s

).


f(t) =

{t, 0 ≤ t < 1,

1, t ≥ 1.


Respuesta: L[f(t)] =1

s2− e−s

s2.


f(t) =

{2t + 1, 0 ≤ t < 1,

0, t ≥ 1.

12. Ejercicios sugeridos 107


Respuesta: L[f(t)] = −3e−s

s− 2

e−s

s2+

2

s2+

1

s.


f(t) =

{sin(t), 0 ≤ t < π,

0, t ≥ π.


Respuesta: L[f(t)] =e−sπ + 1

s2 + 1.


f(t) =

{cos(t), 0 ≤ t < π/2,

0, t ≥ π/2.


Respuesta: L[f(t)] =s

s2 + 1+

e−sπ/2

s2 + 1.

Ejercicio 3.7. Calcular la transformada de Laplace L[f(t)] (utilizando la definicion)de las siguientes funciones

1. f(t) = et+7.

2. f(t) = e−2t−5.

3. f(t) = te4t.

4. f(t) = t2e3t.

5. f(t) = e−t sin(t).

6. f(t) = et cos(t).

Respuesta


1. F (s) =e7

s− 1.

2. F (s) =e−5

s + 2.

3. F (s) =1

(s− 4)2.

4. F (s) =2

(s− 3)3.

5. F (s) =1

(s + 1)2 + 1.

6. F (s) =s− 1

(s− 1)2 + 1.

Ejercicio 3.8. Aplicar las tablas de transformadas de funciones basicas para cal-cular L[f(t)] en los siguientes casos

1. f(t) = 2t4.

2. f(t) = t5.

3. f(t) = 4t− 10.

4. f(t) = 7t + 3.

5. f(t) = t2 + 6t− 3.

6. f(t) = −4t2 + 16t + 9.

7. f(t) = (t + 1)3.

8. f(t) = 1 + e4t.

9. f(t) = t2 − e−9t + 5.

10. f(t) = 4t2 − 5 sin(3t).

11. f(t) = cos(5t) + sin(2t).

12. f(t) = sinh(kt).

13. f(t) = cosh(kt).

14. f(t) = et sinh(t).


15. f(t) = e−t cosh(t).

16. f(t) = sin(2t) cos(2t).

17. f(t) = cos2(t).

Respuesta

1. F (s) =48

s5.

2. F (s) =120

s6.

3. F (s) =4

s2− 10

s.

4. F (s) =7

s2+

3

s.

5. F (s) =2

s3+

6

s2− 3

s.

6. F (s) = − 8

s3+

16

s2+

9

s.

7. F (s) =6 + 6s + 3s2 + s3

s4.

8. F (s) =1

s+

1

s− 4.

9. F (s) =2

s3− 1

s + 9+

5

s.

10. F (s) =8

s3− 15

s2 + 9.

11. F (s) =50 + 4s + 2s2 + s3

(s2 + 4)(s2 + 25).

12. F (s) =k

s2 − k2.

13. F (s) =s

s2 − k2.

14. F (s) =1

(s− 1)2 − 1.


15. F (s) =s + 1

(s + 1)2 − 1.

16. F (s) =2

s2 + 16.

17. F (s) =2 + s2

s(s2 + 4).

Ejercicio 3.9. Calcular f(t) = L−1

[1

s2 + 64

].

Respuesta: f(t) =1

8sin(8t).

Ejercicio 3.10. Aplicar las tablas de transformadas inversas de funciones basicas,para calcular L−1[F (s)] en los siguientes casos

1. F (s) =1

s3, F (s) =

1

s4

2. F (s) =s + 1

s2 − 4s, F (s) =

s

s2 + 2s− 3

3. F (s) =1

s2− 48

s5, F (s) =

1

s2 + s− 20

4. F (s) =

(2

s− 1

s3

)2

, F (s) =s

(s− 2)(s− 3)(s− 20)

5. F (s) =(s + 1)3

s4, F (s) =

s2 + 1

s(s− 1)(s + 1)(s− 2)

6. F (s) =(s + 2)2

s3, F (s) =

2s + 4

(s− 2)(s2 + 4s + 3)

7. F (s) =1

s2− 1

s+

1

s− 2, F (s) =

s + 1

(s2 − 4s)(s + 5)

8. F (s) =4

s+

6

s2− 1

s + 8, F (s) =

1

s2(s2 + 4)

9. F (s) =1

4s + 1, F (s) =

s− 1

s2(s2 + 1)

10. F (s) =1

5s− 2, F (s) =

s

(s2 + 4)(s + 2)


11. F (s) =5

s2 + 49,

12. F (s) =10s

s2 + 16, F (s) =

1

(s2 + 1)(s2 + 4)

13. F (s) =4s

4s2 + 1, F (s) =

6s + 3

(s2 + 1)(s2 + 4)

14. F (s) =1

4s2 + 1, F (s) =

1

s2 − 16

15. F (s) =10s

s2 − 25, F (s) =

s− 1

s2 + 2.

Respuesta

1. f(t) =1

2t2, f(t) =

1

6t3

2. f(t) = −1

4+

5

4e4t, f(t) =

3

4e−3t +

1

4et

3. f(t) = t− 2t4, f(t) =1

9e4t − 1

9e−5t

4. f(t) =1

120t5 − 2

3t3 + 4t, f(t) =

1

9e2t − 3

17e3t +

10

153e20t

5. f(t) =1

6t3 +

3

2t2 + 3t + 1, f(t) =

1

2− et − 1

3e−t +

5

6e2t

6. f(t) = 2t2 + 4t + 1, f(t) =8

15e2t − 1

5e−3t − 1

3e−t

7. f(t) = t− 1 + e2t, f(t) = − 1

20+

5

36e4t − 4

45e−5t

8. f(t) = 4 + 6t− e−8t, f(t) =1

4t− 1

8sin(2t)

9. f(t) =1

4e−t/4, f(t) = −t + 1− cos(t) + sin(t)

10. f(t) =1

5e2t/5, f(t) = −1

4e−2t +

1

4cos(2t) +

1

4sin(2t)

11. f(t) =5

7sin(7t)


12. f(t) = 10 cos(4t), f(t) =1

3sin(t)− 1

6sin(2t)

13. f(t) = cos(t/2), f(t) = 2 cos(t) + sin(t)− 2 cos(2t)− 1

2sin(2t)

14. f(t) =1

2sin(t/2), f(t) =

1

4sinh(4t)

15. f(t) = 10 cosh(5t), f(t) = cos(t)− sin(t)

Ejercicio 3.11. Aplicar los teoremas adecuados, las tablas de transformadas defunciones basicas y la definicion de la funcion escalon, para calcular L[f(t)] en lossiguientes casos:

1. f(t) = te10t, f(t) = te−6t

2. f(t) = t3e−2t,

3. f(t) = et sin(3t), f(t) = e−2t sin(4t)

4. f(t) = e5t sinh(3t), f(t) =cosh(t)

e−2t

5. f(t) = t(et + e2t

)2, f(t) = e2t(t− 1)2

6. f(t) = e−t sin2(t), f(t) = et cos2(3t)

7. f(t) = (t− 1)U(t− 1), f(t) = e2−tU(t− 2)

8. f(t) = tU(t− 2), f(t) = (3t + 1)U(t− 3)

9. f(t) = cos(2t)U(t− π), f(t) = sin(t)U(t− π

2

)

10. f(t) = t sinh(3t), f(t) = t2 sinh(t).

Respuesta

1. F (s) =1

(s− 10)2, F (s) =

1

(s + 6)2

2. F (s) =6

(s + 2)4

3. F (s) =3

(s− 1)2 + 9, F (s) =

4

(s + 2)2 + 16


4. F (s) =3

(s− 5)2 − 9, F (s) =

s− 2

s4 − 4s + 3

5. F (s) =1

(s− 2)2+

2

(s− 3)2+

1

(s− 4)2, F (s) =

2

(s− 2)3− 2

1

(s− 2)2+

1

s− 2

6. F (s) =1

(s + 1)[(s + 1)2 + 4], F (s) =

19 + s2 − 2s

(s− 1)(s2 − 2s + 37)

7. F (s) =e−s

s2, F (s) =

e−2s

s + 1

8. F (s) = 2e−2s

s+

e−2s

s2, F (s) = 10

e−3s

s+ 3

e−3s

s2

9. F (s) =se−sπ

s2 + 4, F (s) =

se−sπ/2

s2 + 1

10. F (s) =6s

(s2 − 9)2, F (s) =

16s2

(s2 − 4)3− 4

(s2 − 4)2.

Ejercicio 3.12. Aplicar los teoremas adecuados, las tablas de transformadas defunciones basicas y la definicion de la funcion escalon, para calcular L−1[F (s)] enlos siguientes casos

1. F (s) =1

(s + 2)3, F (s) =

1

(s− 1)4

2. F (s) =s

s2 + 4s + 5, F (s) =

2s + 5

s2 + 6s + 34

3. F (s) =s

(s + 1)2, F (s) =

5s

(s− 2)2

4. F (s) =2s− 1

s2(s + 1)3, F (s) =

(s + 1)2

(s + 2)4

5. F (s) =e−2s

s3, F (s) =

(1 + e−2s)2

s + 2

6. F (s) =e−πs

s2 + 1, F (s) =

se−πs/2

s2 + 4

7. F (s) =e−s

s(s + 1), F (s) =

se−2s

s2(s− 1)

8. F (s) =s

(s2 + 1)2, F (s) =

s + 1

s2(s2 + 2s + 2)2.


Respuesta

1. f(t) =1

2t2e−2t, f(t) =

1

6t3et

2. f(t) = e−2t cos(t)− 2e−2t sin(t), f(t) = 2e−3t cos(5t)− 1

5e−3t sin(5t)

3. f(t) = e−t(1− t), f(t) = 5e2t(2t + 1)

4. f(t) = −t + 5− 3

2t2e−t − 4te−t − 5e−t, f(t) =

1

6t3e−2t − t2e−2t + te2t

5. f(t) =1

2H(t−2)t2−2tH(t−2)+2H(t−2), f(t) = e−2t+2H(t−2)+2H(t−2)

6. f(t) = − sin(t)H(t− π), f(t) = H(t− π/2) cos(√

4(t− π/2))

7. f(t) = H(t− 1)(1− e1−t), f(t) = −H(t− 2)(1− et−2)

8. f(t) = (1/2)t sin(t), f(t) =1

4t− 1

4+

1

4e−t cos(t) +

1

4e−tt cos(t)− 1

2e−t sin(t).

Ejercicio 3.13. Expresar cada funcion f(t) en terminos de funciones escalon uni-tario y determinar la transformada de Laplace L[f(t)] de la funcion respectiva siendo

1.

f(t) =

{2, 0 ≤ t < 3

−2, t ≥ 3

2.

f(t) =

1 0 ≤ t < 4

0 4 ≤ t < 5

1 t ≥ 5

3.

f(t) =

{0 0 ≤ t < 1

t2 t ≥ 1

4.

f(t) =

{0 0 ≤ t < 3π/2

sin(t) t ≥ 3π/2


5.

f(t) =

{t 0 ≤ t < 2

0 t ≥ 2

6.

f(t) =

{sin(t), 0 ≤ t < 2π

0, t ≥ 2π

Respuesta

1.

f(t) =

{2, 0 ≤ t < 3

−2, t ≥ 3.

En terminos de la funcion escalon unitario se tiene

f(t) = 2U(t)− 4U(t− 3).

Su transformada es

F (s) =2

s− 4

e−3s

s.

2.

f(t) =

1, 0 ≤ t < 4

0, 4 ≤ t < 5

1, t ≥ 5.


f(t) = U(t)− U(t− 4) + U(t− 5).

Su transformada es

F (s) =1

s− e−4s

s+

e−5s

s.

3.

f(t) =

{0, 0 ≤ t < 1

t2, t ≥ 1.



f(t) = t2U(t− 1).

Su transformada es

F (s) =e−s

s+ 2

e−s

s2+ 2

e−s

s3.

4.

f(t) =

{0, 0 ≤ t < 3π/2

sin(t), t ≥ 3π/2.


f(t) = sin(t)U

(t− 3

2π

).

Su transformada es

F (s) = −se−3πs/2

s2 + 1.

5.

f(t) =

{t, 0 ≤ t < 2

0, t ≥ 2.


f(t) = tU (t)− tU(t− 2).

Su transformada es

F (s) =1

s2− 2

e−2s

s− e−2s

s2.

6.

f(t) =

{sin(t), 0 ≤ t < 2π

0, t ≥ 2π.


f(t) = sin(t)U (t)− sin(t)U(t− 2π).

Su transformada es

F (s) =1

s2 + 1− 2

e−2sπ

s2 + 1.


Ejercicio 3.14. Sea dada una funcion y(t) tal que y(0) = 1 y y′(0) = −1. Deter-minar la transformada de Laplace Y (s) = L[y(t)] de las ecuaciones siguientes

y′′

+ 3y′ = 0, y′′ − 4y′ + 5y = 0

Respuesta: Y (s) =s− 1

s2 + 3, Y (s) =

s− 5

s2 − 4s + 5.

Ejercicio 3.15. Sea dada una funcion y(t) tal que y(0) = 2 e y′(0) = 3. Determinarla transformada de Laplace Y (s) = L[y(t)] de las expresiones siguientes

y′′ − 2y′ + y = sinh(t), y

′′+ y = e−t

Respuesta: Y (s) =2s3 − s2 − 2s + 2

(s2 − 1)(s2 − 2s + 1), Y (s) =

2s2 + 5s + 4

(s + 1)(s2 + 1).

Ejercicio 3.16. Calcular, sin evaluar la integral, las siguientes transformadas deLaplace:

1.

L

[∫ t

0

eτdτ

]

2.

L

[∫ t

0

cos(τ)dτ

]

3.

L

[∫ t

0

e−τ cos(τ)dτ

]

Respuesta

1.

L

[∫ t

0

eτdτ

]=

L[et]

s=

1

s(s− 1)

donde se ha utilizado la transformada basica de la funcion exponencial.


2.

L

[∫ t

0

cos(τ)dτ

]=

L[cos(t)]

s=

s

(s2 + 1)s=

1

s2 + 1

donde se ha utilizado la transformada basica de la funcion cos(t).

3.

L

[∫ t

0

e−τ cos(τ)dτ

]=

L[e−tcos(t)]

s=

(s + 1)

s[(s + 1)2 + 1]

donde se ha utilizado la transformada basica de la funcion cos(t) y la formuladel desplazamiento (o primer teorema de traslacion) para el factor exponencial.

Ejercicio 3.17. Calcular la siguientes transformadas de Laplace:

1.L

[1 ∗ t3

]

2.L

[1 ∗ e−2t

]

3.L

[t2 ∗ t4

]

4.L[t2 ∗ tet]

5.L

[e−t ∗ et cos(t)

]

6.L

[e2t ∗ sin(t)

]

Respuesta

1.

L[1 ∗ t3

]=

6

s5

2.

L[1 ∗ e−2t

]=

1

s(s + 2)

3.

L[t2 ∗ t4

]=

48

s8


4.

L[t2 ∗ tet] =2

s3(s− 1)2

5.

L[e−t ∗ et cos(t)

]=

(s− 1)

(1 + s)[(s− 1)2 + 1]

6.

L[e2t ∗ sin(t)

]=

1

(s− 2)(s2 + 1)

Ejercicio 3.18. Resolver el siguiente PVI utilizando el metodo de la transformadade Laplace

(PV I)

{y′ − y = 1

y(0) = 0.

Respuesta: La unica solucion del PVI es y(t) = −1 + et.


(PV I)

{y′ + 2y = t

y(0) = −1.

Respuesta: y(t) = −1

4+

1

2t− 3

4e−2t.


(PV I)

{y′ + 4y = e−4t

y(0) = 2.

Respuesta: y(t) = te−4t + 2e−2t.


(PV I)

{y′ − y = sin(t)

y(0) = 0.


Respuesta: y(t) = 12et − 1

2cos(t)− 1

2sin(t).

Ejercicio 3.22. Expresando la funcion f(t) en terminos de funciones escalon uni-tario, resolver el siguiente PVI utilizando el metodo de la transformada de Laplace

(PV I)

{y′ + y = f(t)

y(0) = 0, siendo f(t) =

{0 0 ≤ t < 1

5 t ≥ 1.

Respuesta: y(t) = 5H(t− 1)[1− e1−t].


(PV I)

{y′ + y = f(t)

y(0) = 0, siendo f(t) =

{1 0 ≤ t < 1

−1 t ≥ 1.

Respuesta: y(t) = 1− e−t − 2H(t− 1)[1− e1−t].


(PV I)

{y′ + 2y = f(t)

y(0) = 0, siendo f(t) =

{t 0 ≤ t < 1

0 t ≥ 1.

Respuesta

y(t) =1

2t−1

4+

1

4e−2t−H(t−1)[1−e2−2t]−1

2tH(t−1)+

3

4H(t−1)−1

4H(t−1)[1−e2−2t]

Ejercicio 3.25. Resolver el siguiente PVI utilizando el metodo de la transformada


de Laplace

(PV I)

y′′

+ 5y′ + 4y = 0

y(0) = 1

y′(0) = 0.


3e−4t +

4

3e−t.


(PV I)

y′′ − 6y′ + 13y = 0

y(0) = 0

y′(0) = −3.


4e5t +

3

4et =

3

4[cosh(5t) + sinh(5t) + cosh(t) + sinh(t)] .


(PV I)

y′′ − 6y′ + 9y = t

y(0) = 0

y′(0) = 1.

Respuesta: y(t) =10

9te3t +

1

9t +

2

27− 2

27e3t.


(PV I)

y′′ − 4y′ + 4y = t3

y(0) = 1

y′(0) = 0.



8te2t +

1

4e2t +

1

4t3 +

3

4t2 +

9

8t +

3

4.


(PV I)

y′′ − 4y′ + 4y = t3e2t

y(0) = 0

y′(0) = 0.

Respuesta: y(t) =1

20t5e2t.


(PV I)

y′′ − 2y′ + 5y = 1 + t

y(0) = 0

y′(0) = 4.

Respuesta: y(t) =1

5t +

7

25− 7

25et cos(2t) +

51

25et sin(2t).


(PV I)

y′′

+ y = sin(t)

y(0) = 1

y′(0) = −1.


2t cos(t)− 1

2sin(t) + cos(t).

Ejercicio 3.32. Resolver el siguiente PVI utilizando el metodo de la transformada


de Laplace

(PV I)

y′′

+ 16y = 1

y(0) = 1

y′(0) = 2.

Respuesta: y(t) =1

16+

15

16cos(4t) +

1

2sin(4t).


(PV I)

y′′ − y′ = et cos(t)

y(0) = 0

y′(0) = 0.

Respuesta: y(t) =1

2− 1

2et cos(t) +

1

2et sin(t).


(PV I)

y′′ − 2y′ = et sinh(t)

y(0) = 0

y′(0) = 0.

Respuesta: y(t) =1

4t +

1

4+

1

4te2t − 1

4e2t.


(PV I)

y′′

+ 4y = f(t)

y(0) = 0,

y′(0) = −1,

, siendo f(t) =

{1 0 ≤ t < 1

0 t ≥ 1,


Respuesta

y(t) = − 5

16+

5

16e−4t +

1

4t− 1

4tH(t− 1) +

5

16H(t− 1)− 1

16H(t− 1)e4−4t.


(PV I)

y′′

+ y = f(t)

y(0) = 0

y′(0) = 1

, siendo f(t) =

0, 0 ≤ t < π

1, π ≤ t < 2π

0, t ≥ 2π.

Respuesta

y(t) = sin(t) + H(t− π) + H(t− π) cos(t)−H(t− 2π) cos(t) + H(t− 2π) cos(t).

Ejercicio 3.37. Resolver el problema de valor inicial

(PV I)

y′′ − 6y′ + 9y = t2e3t

y(0) = 2

y′(0) = 6

y determinar:

1. La respuesta de estado cero.

2. La respuesta de entrada cero.

3. La funcion de transferencia.

4. La funcion peso del sistema.

Respuesta


1. La respuesta de estado cero corresponde a la funcion

y0(t) =1

12t4e3t

2. La respuesta de entrada cero corresponde a la funcion

y1(t) = 2e3t

3. La funcion de transferencia es

W (s) =1

P (s)=

1

s2 − 6s + 9

4. La funcion peso del sistema es la transformada inversa de la funcion de trans-ferencia

w(t) = L−1[W (s)] = te3t


13. Ejercicios relativos al segundo tema propuestos

en examenes

Ejercicio 1. Examen control. 9/6/2000. Problema 1

Determinar la solucion y(t) del problema de valor inicial

(PV I)

y′′

+ 4y = 3H5(t) sin(t− 5)

y(0) = 1,

y′(0) = 0,

siendo H5(t) la funcion de Heaviside (desplazada) definida por

H5(t).=

{0 t ≤ 51 t > 5

Ejercicio 2. Examen septiembre. 14/9/2000. Problema 2


(PV I)

y′′

+ 4y = 3 cos(t)

y(0) = 0,

y′(0) = 0,

NOTA: La ecuacion que define (junto a las dos condiciones iniciales) el (PVI)propuesto se conoce como la ecuacion del oscilador armonico forzado y modela unamasa unitaria deslizandose sobre un plano sin friccion, con una costante de resortede 4 y una fuerza externa periodica de 3 cos(t).

Ejercicio 3. Examen de junio. 5/6/2001. Problema 1 Determinar la solucion

y(t) del problema de valor inicial

(PV I)

y′′

+ 2y′ + 5y = 1−H7(t)

y(0) = 0,

y′(0) = 0,

13. Ejercicios relativos al segundo tema propuestos en examenes 127

siendo H7(t) la funcion de Heaviside (desplazada) definida por

H7(t).= U(t− 7) =

{0 t ≤ 7

1 t > 7

Ejercicio 4. Examen de junio. 4/6/2002. Problema 1


(PV I)

y′′

+ 16y = f(t)

y(0) = 0,

y′(0) = 1,

siendo f(t) la funcion definida a trozos por

f(t) =

{cos(4t) 0 ≤ t < π

0 t ≥ π

a) Definir la funcion f(t) en terminos de la funcion de Heavisid.

b) Resolver el PVI mediante aplicacion de la transformada de Laplace.

c) Escribir la solucion encontrada como una funcion definida a trozos.

Ejercicio 5. Examen de junio. 4/6/2003. Problema 1

Sea dado el Problema de Valores Iniciales (PVI)

(PV I)

y′′

+ y′

= f(t), t > 0,

y(0) = 0,

y′(0) = 0,

siendo f(t) la funcion definida a trozos por

f(t) =

{e−t, 0 ≤ t < 1,

0, t ≥ 1.


a) Definir la funcion f(t) en terminos de la funcion de Heaviside. (2 puntos)

b) Resolver el PVI mediante aplicacion de la transformada de Laplace. (18 pun-tos)

c) Escribir la solucion encontrada como una funcion definida a trozos. (2 puntos).Calcular su comportamiento para tiempos grandes. (3 puntos)

14. Bibliografıa Basica 129

14. Bibliografıa Basica

1. Acero, I., Lopez, M., (1997). Ecuaciones diferenciales. Teorıa y problemas. Ed.:Tebar Flores.

Se trata de un libro muy simple y facil de ler, adecuado para el estudianteque quiera una primera toma de contacto con la trasnformada de Laplace (quese puede encontrar en el capıtulo 5). Contiene varios ejemplo y problemasresueltos y es aconsejable para un nivel basico inicial.

2. Apostol, T.M., (1982). Analisis Matematico. 2 ed. Editorial Reverte.

Se trata de un texto excelente, muy riguroso y completo. Seguramente aconse-jable para el profesor aunque quizas de un nivel avanzado para el estudiante.El material desarrollado en este tema se encuentra basicamente en el capıtulo11, dedicado a las series y a las integrales de Fourier. Muy interesante (perosolo a nivel de ampliacion) es el capıtulo 16 (teorema de Cauchy y calculo deresiduos), seccion 16.26, dedicada a la aplicacion del teorema del residuo a laformula de inversion para transformadas de Laplace.

3. Krasnov, M., Kiseliov, A., Makarenko, G., Shikin, (1994). E. Curso de matematicassuperiores para ingenieros. Vol 2. Ed. Mir.

4. Zill, D.G., (1997). Ecuaciones Diferenciales con aplicaciones de modelado. In-ternational Thomson Editores. 6 ed.

Un texto muy simple y practico, indicado para una introduccion al calculoy aplicacion de la transformada de Laplace al caso de sistemas lineales deecuaciones diferenciales ordinarias. Aconsejable aunque de nivel muy basico,no contiene aplicaciones a la resolucion de EDP mediante transformadas luegono cubre en absoluto el temario desarrollado en clase.

15. Bibliografıa Avanzada

1. Greenberg, M.D. (1998). Advanced Engineering Mathematics. InternationalEdition.

Un texto muy practico dedicado a las ingenierıas (veanse los comentarios he-chos en los temas anteriores). El material aquı desarrollado se encuentra enla primera parte, capıtulo 5 (Transformada de Laplace) y en la cuarta parte,capıtulos 17, 18 y 20, dedicados a los metodos de Fourier y a las ecuacionesen derivadas parciales.


2. A. Erderly, Tables of Integral Transforms. Vol. 1 y 2. New York: McGraw-Hill,1954.

Una referencia clasica y muy completa dedicada a la recopilacion de las tablasde transformadas integrales.

3. Kreyszig, E. (1993). Advanced Engineering Mathematics. John Wiley andSons, Inc.

Valen los comentarios hechos para el libro de Greenberg. Un tıpico texto amer-icano, escrito por un matematico y dedicado a las aplicaciones avanzadas de lasmatematicas a las ingenierıas. Hemos utilizado el capıtulo 6 (Transformadasde Laplace) de la parte A y los capıtulos 10 y 11 de la parte C (Analisis deFourier y ecuaciones en derivadas parciales).

4. Lin, C.C., Segel, L.A. y Handelman, G.H., (1995). Mathematics Applied toDeterministic Problems in the Natural Sciences. Cuarta edicion. SIAM.

Un texto clasico en lo que se refiere a la pedagogıa de la matematica aplicada.Es extremadamente sugerente (debido a los numerosos modelos considerados)y contiene un tratamiento muy elegante del analisis de Fourier (capıtulos 4 y5).

5. Mei, C.C., (1997). Mathematical analysis in Engineering. Cambridge Univer-sity Press.

Un texto moderno, aplicado, con una gran cantidad de ejemplos y modelos.Dedicado a los ingenieros, abarca las aplicaciones de las matematicas a lamecanica y a la geofısica. Hemos utilizado el capıtulo 7 dedicado a las EDP endominios no acotados y a su resolucion mediante el uso de las transformadasintegrales. Es de muy buen nivel aunque quizas no demasiado riguroso a nivelteorico.

6. Rice, R.G, Do, D.D., (1995). Applied Mathematics and Modelling for ChemicalEngineers. John Wiley & Sons, Inc.

Un texto muy bueno, aconsejable tanto al matematico aplicado cuanto al in-geniero quımico. Hace un puente entre la teorıa y las aplicaciones, ilustrandoademas los conocimientos basicos y necesarios para poder trabajar en este cam-po multidisciplinar. Las transformadas de Laplace se consideran en el contextonatural de la variable compleja en el capıtulo 9. La aplicacion de los metodosintegrales a la resolucion de las EDP lineales se analiza en el capıtulo 11. Tieneun enfoque quizas demasiado avanzado si lo comparamos con el material de-sarrollado en clase, respresentando sin embargo una referencia fundamentalpara el profesor.

tema3transf fourier

Documents

en general

difusion en

fourier vistas en

desarrollo en series

los presentados en

segundo orden en

desarrollo especiales

presentado y aplicado