Jose Luis Lorente (preparador oposiciones secundaria www.joseluislorente.es ) 1 TEMA 25. Límites de funciones. Continuidad y discontinuidad. Bolzano. Ramas infinitas TEMA25.Límites de funciones. Continuidad y discontinuidades. Teorema de Bolzano. Ramas Infinitas 1. Introducción La continuidad es una de las propiedades más importantes que definen a una función. Mu- chos teoremas del análisis funcional se apoyan en la continuidad de las funciones. Concep- tualmente una función es continua en un intervalo [a,b] si en está definida en cada punto del intervalo y no se producen saltos en su representación. La mayoría de las situaciones en la Naturaleza describen situaciones entre dos o más va- riables que se relacionan por funciones de forma continua. Los fenómenos físicos desde un punto de vista macroscópico siguen la mecánica Newtoniana, que es continua (así si empuja- mos un cuerpo desde el reposo hasta una velocidad máxima este pasa por todas las velocida- des reales que hay entre ambas). Existen funciones en la Naturaleza que no son continuas, la mayoría de ellas son debidas a cambios de contorno. Así por ejemplo el campo eléctrico creado por un conductor en función de las distancia del centro no es continuo, pues en su interior es nulo y en la superficie es 0 ε σ Para describir la continuidad previamente hay que describir el límite de una función en un punto, que explica el comportamiento de dicha función en un entorno del punto. Los límites en la naturaleza se utilizan para explicar el comportamiento en puntos inalcanzables, un ejem- plo típico es el estudio de las propiedades termodinámicas en el cero absoluto (0K). Históricamente el concepto de límite y continuidad recibieron una formulación precisa en el siglo XIX especialmente realizados por Cauchy, y están estrechamente ligados al concepto matemáticos del número real. 2. Límite de una función 2.1. Conceptos previos. Función real Una función f, es una correspondencia entre D⊆ℝ y ℝ definida de la forma: f: D → ℝ x → y= f(x) y tal que ∀x∈D se cumple que f(x) es único. La variable x se denomina independiente y el conjunto de todos los puntos x∈D se deno- mina dominio de la función Dom(f). La variable y se denomina dependiente y el conjunto de valores de y= f(x) se denomina recorrido, rec (f)={y∈ ℝ : f(x)=y, ∀x∈ ℝ }. 2.2. Definición de límites finitos. Una función real f(x) se dice que tiene límite l∈ ℝ cuando x tiende a un valor a∈ ℝ, y se denota como l x f a x = → ) ( lim si se cumple ∀ε>0 ∃ δ>0: 0<|x-a|<δ |f(x)-l|<ε
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Jose Luis Lorente (preparador oposiciones secundaria www.joseluislorente.es) 1
TEMA 25. Límites de funciones. Continuidad y discontinuidad. Bolzano. Ramas infinitas
TEMA25.Límites de funciones. Continuidad y discontinuidades.
Teorema de Bolzano. Ramas Infinitas
1. Introducción
La continuidad es una de las propiedades más importantes que definen a una función. Mu-
chos teoremas del análisis funcional se apoyan en la continuidad de las funciones. Concep-
tualmente una función es continua en un intervalo [a,b] si en está definida en cada punto del
intervalo y no se producen saltos en su representación.
La mayoría de las situaciones en la Naturaleza describen situaciones entre dos o más va-
riables que se relacionan por funciones de forma continua. Los fenómenos físicos desde un
punto de vista macroscópico siguen la mecánica Newtoniana, que es continua (así si empuja-
mos un cuerpo desde el reposo hasta una velocidad máxima este pasa por todas las velocida-
des reales que hay entre ambas).
Existen funciones en la Naturaleza que no son continuas, la mayoría de ellas son debidas a
cambios de contorno. Así por ejemplo el campo eléctrico creado por un conductor en función
de las distancia del centro no es continuo, pues en su interior es nulo y en la superficie es
0εσ
Para describir la continuidad previamente hay que describir el límite de una función en un
punto, que explica el comportamiento de dicha función en un entorno del punto. Los límites
en la naturaleza se utilizan para explicar el comportamiento en puntos inalcanzables, un ejem-
plo típico es el estudio de las propiedades termodinámicas en el cero absoluto (0K).
Históricamente el concepto de límite y continuidad recibieron una formulación precisa en
el siglo XIX especialmente realizados por Cauchy, y están estrechamente ligados al concepto
matemáticos del número real.
2. Límite de una función
2.1. Conceptos previos. Función real
Una función f, es una correspondencia entre D⊆ℝ y ℝ definida de la forma:
f: D → ℝ
x → y= f(x) y tal que ∀x∈D se cumple que f(x) es único.
La variable x se denomina independiente y el conjunto de todos los puntos x∈D se deno-
mina dominio de la función Dom(f). La variable y se denomina dependiente y el conjunto de
valores de y= f(x) se denomina recorrido, rec (f)={y∈ ℝ : f(x)=y, ∀x∈ ℝ }.
2.2. Definición de límites finitos.
Una función real f(x) se dice que tiene límite l∈ ℝ cuando x tiende a un valor a∈ ℝ, y se
denota como
lxfax
=→
)(lim si se cumple ∀ε>0 ∃ δ>0: 0<|x-a|<δ � |f(x)-l|<ε
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TEMA 25. Límites de funciones. Continuidad y discontinuidad. Bolzano. Ramas infinitas
Ejemplos de límites:
1) f(x)=c·x, xfax
)(lim =→
|c|·|x-a|<ε, luego tomando
En este caso f(a)= limax→
2) Si definimos ahora la función
0)(lim0
=→
xfx
de igual forma que en 1) pues x en el entorno de cero no es cero.
ahora a diferencia con
2.2.1. Límites lateral
En la definición de límite no hemos diferenciado entre la aproximación al punto x=a “por la
izquierda” (valores inferiores de a, x<a) o “por la derecha” (valores mayores de a, x>a). Vamos
a definir ahora de forma matemática los denominados límites later
Una función real f(x) se dice que tiene
quierda y se denota
lxfax
=−→
)(lim
Una función real f(x) se dice que tiene
cha y se denota
lxfax
=+→
)(lim
Ejemplo
=2
1)(
si
sixf
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Límites de funciones. Continuidad y discontinuidad. Bolzano. Ramas infinitas
Conceptualmente implica que si definimos un entorno
de f alrededor de l (|f(x)-l|<ε) siempre podemos enco
trar un entorno de x=a (|x-a|<δ) donde los valores de la
imagen en el entorno de f antes definido.
En la mayoría de funciones los valores de los límites
coinciden con el valor de la función en dicho punto
(concepto que como veremos describe la continuidad),
pero existen funciones donde esto no ocurre como v
remos a continuación.
ac·= . Demostración ∀ε>0 ∃ δ>0: 0<|x-a|<δ
, luego tomando δ<ε/|c| se cumple la desigualdad anterior.
)(lim xfa
Si definimos ahora la función
=
≠=
03
0·)(
xsi
xsixcxf podemos demostrar que
de igual forma que en 1) pues x en el entorno de cero no es cero.
con 1) f(0)=3≠ 0)(lim0
=→
xfx
Límites laterales
En la definición de límite no hemos diferenciado entre la aproximación al punto x=a “por la
izquierda” (valores inferiores de a, x<a) o “por la derecha” (valores mayores de a, x>a). Vamos
a definir ahora de forma matemática los denominados límites laterales.
Una función real f(x) se dice que tiene límite de valor l cuando x tiende hacia a
l si cumple ∀ε>0 ∃ δ>0: ∀x∈(a-δ,a) � |f(x)-l|<
Una función real f(x) se dice que tiene límite de valor l cuando x tiende hacia a
l si cumple ∀ε>0 ∃ δ>0: ∀x∈(a,a+δ) � |f(x)-l|<
<
≥
0
0
xsi
xsi
1
2
2)(lim0
=−→
xfx
1)(lim0
=+→
xfx
2
Límites de funciones. Continuidad y discontinuidad. Bolzano. Ramas infinitas
Conceptualmente implica que si definimos un entorno
) siempre podemos encon-
) donde los valores de la
imagen en el entorno de f antes definido.
En la mayoría de funciones los valores de los límites
coinciden con el valor de la función en dicho punto
(concepto que como veremos describe la continuidad),
donde esto no ocurre como ve-
� |c·x-c·a|<ε,
/|c| se cumple la desigualdad anterior.
podemos demostrar que
de igual forma que en 1) pues x en el entorno de cero no es cero. Pero
En la definición de límite no hemos diferenciado entre la aproximación al punto x=a “por la
izquierda” (valores inferiores de a, x<a) o “por la derecha” (valores mayores de a, x>a). Vamos
de valor l cuando x tiende hacia a por la iz-
l|<ε
x tiende hacia a por la dere-
l|<ε
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Proposición: la función real f(x) tiene límite en x=a si y sólo si existen los dos límites latera-
les y son iguales.
Demostración:
⇒ si se cumple que lxfax
=→
)(lim implica que ∀ε>0 ∃ δ>0: 0<|x-a|<δ � |f(x)-l|<ε por lo
tanto se cumple en x∈(a-δ,a+δ) y por tanto en x∈(a-δ,a) y x∈(a,a+δ) y por tanto cumple
• ∀ε>0 ∃ δ>0: ∀x∈(a-δ,a) � |f(x)-l|<ε por tanto lxfax
=−→
)(lim
• ∀ε>0 ∃ δ>0: ∀x∈(a,a+δ) � |f(x)-l|<ε por tanto lxfax
=+→
)(lim
⇐ sean =−→
)(lim xfax
lxfax
=+→
)(lim , entonces se cumple:
• ∀ε>0 ∃ δ1>0: ∀x∈(a-δ1,a) � |f(x)-l|<ε por tanto lxfax
=−→
)(lim
• ∀ε>0 ∃ δ2>0: ∀x∈(a,a+δ2) � |f(x)-l|<ε por tanto lxfax
=+→
)(lim
Tomando δ=min{δ1, δ2} cumple ∀ε>0 ∃ δ>0: ∀x∈(a-δ,a+δ)� |f(x)-l|<ε por tanto lxfax
=→
)(lim
Explicación gráfica de la demostración
1+ε
1-ε
1-δ1
1+ε
1-ε
1+δ2
1-δ 1+δ
1+ε
1-ε
lxfax
=−→
)(lim
lxfax
=+→
)(lim
lxfax
=→
)(lim
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2.2.2. Propiedades de los límites
Proposición 1: si una función f(x) es real tiene límite en un punto x=a entonces la función