Jose Luis Lorente (preparador oposiciones secundaria www.joseluislorente.es ) 1 TEMA 23. Funciones circulares e hiperbólicas TEMA23. Funciones circulares e hiperbólicas 1. Introducción La noción de función que actualmente manejamos empezó a gestarse en el siglo XIV cuan- do los filósofos escolásticos medievales comenzaron a preocuparse por medir las variaciones de ciertas magnitudes respecto a otras, como la velocidad de un cuerpo en movimiento o la diferencia de temperatura en los distintos puntos de un objeto metálico. El apoyo gráfico, que tanta importancia tiene en nuestros días, basado en los ejes carte- sianos fue introducido por Rene Descartes en el siglo XVII.Es en los siglos XVIII y XIX cuando el concepto de función se desarrolla ampliamente para llevar adelante todo el desarrollo científi- co y tecnológico. Las funciones y el análisis diferencial surgen para dar apoyo a los problemas físicos, estudiados en especial por Newton. Leibniz y los hermanos Bernoulli empezaron a utili- zar la palabra función en un sentido parecido al actual con funciones particulares, como po- tencias y funciones circulares, aunque no usaron la notación funcional moderna. Las funciones circulares tiene su origen en la geometría de los triángulos y dela circunfe- rencia (razones trigonométricas). Su origen se remonta la Grecia clásica, y su uso se extiende desde entonces a todo el mundo. El concepto analítico de las razones trigonométricas, lo que hoy llamamos funciones circu- lares, se forja en el siglo XVIII de manos del matemático suizo Euler, quien relacionó las funcio- nes circulares con las exponenciales de forma analítica y no geométrica como hasta entonces. 2. Funciones circulares 2.1. Definición geométrica de las razones trigonométricas Si bien las razones trigonométricas se verán en temas de geometría creemos importante introducirlas brevemente por ser las funciones circulares una extensión de estas en todo ℝ. Veamos las dos definiciones de razones trigonométricas, con triángulos y el circunferencia: Razones trigonométricas en triángulos rectángulos (ángulo α∈[0,π/4)): los griegos se dieron cuenta que en los triángulos rectángulos semejantes (ángulos iguales) la razón de los lados era constan- te, y quedaba determinado por el valor de uno de los dos ángulos no rectos del triángulo. Elaboraron tablas de las razones trigonométricas según el valor del ángulo. Su definición puede verse en esquema de la izquierda. Razones trigonométricas en la circunferencia unidad: son una extensión de las razones trigonométricas cuando el ángulo pue- de tomar cualquier valor α∈[0,2π). Si tomamos una circunfe- rencia a de radio 1 y un segmento con origen en el centro de la circunferencia y que corta a la misma en P, se define: • sen(x)=P y (coordenada y de P) • cos(x)=P x (coordenada x de P) • tg(x)=P y /P x
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Jose Luis Lorente (preparador oposiciones secundaria www.joseluislorente.es) 1
TEMA 23. Funciones circulares e hiperbólicas
TEMA23. Funciones circulares e hiperbólicas
1. Introducción
La noción de función que actualmente manejamos empezó a gestarse en el siglo XIV cuan-
do los filósofos escolásticos medievales comenzaron a preocuparse por medir las variaciones
de ciertas magnitudes respecto a otras, como la velocidad de un cuerpo en movimiento o la
diferencia de temperatura en los distintos puntos de un objeto metálico.
El apoyo gráfico, que tanta importancia tiene en nuestros días, basado en los ejes carte-
sianos fue introducido por Rene Descartes en el siglo XVII.Es en los siglos XVIII y XIX cuando el
concepto de función se desarrolla ampliamente para llevar adelante todo el desarrollo científi-
co y tecnológico. Las funciones y el análisis diferencial surgen para dar apoyo a los problemas
físicos, estudiados en especial por Newton. Leibniz y los hermanos Bernoulli empezaron a utili-
zar la palabra función en un sentido parecido al actual con funciones particulares, como po-
tencias y funciones circulares, aunque no usaron la notación funcional moderna.
Las funciones circulares tiene su origen en la geometría de los triángulos y dela circunfe-
rencia (razones trigonométricas). Su origen se remonta la Grecia clásica, y su uso se extiende
desde entonces a todo el mundo.
El concepto analítico de las razones trigonométricas, lo que hoy llamamos funciones circu-
lares, se forja en el siglo XVIII de manos del matemático suizo Euler, quien relacionó las funcio-
nes circulares con las exponenciales de forma analítica y no geométrica como hasta entonces.
2. Funciones circulares
2.1. Definición geométrica de las razones trigonométricas
Si bien las razones trigonométricas se verán en temas de geometría creemos importante
introducirlas brevemente por ser las funciones circulares una extensión de estas en todo ℝ.
Veamos las dos definiciones de razones trigonométricas, con triángulos y el circunferencia:
Razones trigonométricas en triángulos rectángulos
(ángulo α∈[0,π/4)): los griegos se dieron cuenta
que en los triángulos rectángulos semejantes
(ángulos iguales) la razón de los lados era constan-
te, y quedaba determinado por el valor de uno de
los dos ángulos no rectos del triángulo. Elaboraron
tablas de las razones trigonométricas según el valor
del ángulo. Su definición puede verse en esquema
de la izquierda.
Razones trigonométricas en la circunferencia unidad: son una
extensión de las razones trigonométricas cuando el ángulo pue-
de tomar cualquier valor α∈[0,2π). Si tomamos una circunfe-
rencia a de radio 1 y un segmento con origen en el centro de la
circunferencia y que corta a la misma en P, se define:
• sen(x)=Py (coordenada y de P)
• cos(x)=Px (coordenada x de P)
• tg(x)=Py/Px
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TEMA 23. Funciones circulares e hiperbólicas
α
x=α
1
P
P
M(1,0)
x=0
M(Mx, My)
x=ππππ/2
1
M(1,0)
x=0
M(0,1)
M(0,-1)
x=ππππ x=3π/2π/2π/2π/2
M(0,-1)
x=2ππππ
M(1,0)
2.2. Definición analítica de las funciones circulares
Para poder definir las funciones circulares tendremos que definir el significado de la varia-
ble independiente, variable x, de las mismas. Es por esto que vamos a definir el radián e identi-
ficar el espacio recorrido por una circunferencia que rueda sin deslizar con este ángulo.
El radián es el ángulo en una circunferencia en el que el valor del arco coincide con el valor
del radio de la circunferencia. Como la longitud de una circunferencia es de 2πr, el ángulo de
toda la circunferencia es 2π. Si el radio de la circunferencia es 1 el arco de la circunferencia
coincidirá con el ángulo de la misma. La equivalencia con los grados en 2πrad=360o.
Si un circulo de radio unidad rueda sin deslizar
se cumple que el espacio recorrido por la misma es
igual al ángulo que forma el punto de contacto con
respecto el eje vertical. Cuando avanzamos más de
una vuelta, es decir recorremos más de 2π enton-
ces al ángulo del punto de contacto le tendremos
que sumar 2π·n siendo n las vueltas que da el cir-
culo. Si hubiéramos girado en el otro sentido po-
demos considerar el ángulo negativo. Mediante
esta equivalencia podemos ver que tenemos un
“ángulo” que toma valores cualquier valor real.
Con este nuevo significado de ángulo podemos definir las funciones circulares a partir de
las coordenadas respecto los ejes coordenados situados en el centro de la circunferencia del
punto M, situado inicialmente en x=0 en M(0,1)
• cos(x)=My=coordenada OY del punto M cuando la circunferencia avanza x
• sen(x)=Mx= coordenada OX del punto M cuando la circunferencia avanza x
Veamos algunos valores de seno y coseno para determinados valores de x:
x=0 x=π/2 x=π x=3π/2 x=2π
sen(x) 0 1 0 -1 0
cos(x) 1 0 -1 0 1
Otra forma de definir las funciones circulares es a partir de los valores de las razones trigo-
nométricas repitiéndolos de forma periódica con periodo T=2π.
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Otras funciones trigonométricas definidas a partir del sen(x) y cos(x):
• tg(x)=)cos(
)(
x
xsen •
)(
)cos(
)(
1)(cot
xsen
x
xtgxg ==
• )cos(
1)sec(
xx = •
)(
1)(cos
xsenxec =
2.3. Propiedades de las funciones circulares.
Propiedades más importantes e inmediatas de las funciones circulares:
1. Periódicas de periodo T=2ππππ� sen(x+n·2π)=sen(x) y cos(x+n2π)=cos(x)
2. sen2(x)+cos
2(x)=1
3. Seno tiene simetría impar� sen(-x)=-sen(x)
4. Coseno tiene simetría par� cos(-x)=cos (x)
Demostraciones: a partir de la definición de seno y coseno
1. Cuando x avanza un múltiplo de 2π la circunferencia gira vueltas completas y por
tanto el punto M situado en la misma posición, y por tanto mismas coordenadas.
2. sen(x) y cos(x) son las coordenadas de M respecto a los ejes centrados en el centro
de la circunferencia se cumple Mx2+My
2=1 pues M pertenece a la circunferencia
3. Si desplazamos la circunferencia hacia la izquierda (x<0) M gira en sentido horario
en vez de antihorario, la coordenada My es la misma pero la coordenada Mx es jus-
to la contraria.
2.4. Continuidad y derivabilidad de las funciones circulares
Continuidad:
Las funciones sen(x) y cos(x) son claramente continuas en ℝ, pues tal como son defini-
das el giro del punto M es continuo y por tanto la variación de sus coordenadas (funciones
circulares) también los son.
Las demás funciones tg(x), cotg(x), sec(x) y cosec(x) no son continuas, por haber puntos
que no son del domino al anularse el denominador. En estos valores de x tendremos asín-