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TEMA N 1INTRODUCCIN AL CONTROL DE PROCESOS INDUSTRIALES
UNIVERSIDAD NACIONAL EXPERIMENTALFRANCISCO DE MIRANDA
COMPLEJO ACADMICO EL SABINOPROGRAMA DE INGENIERA QUMICA
DEPARTAMENTO DE MECNICA Y TECNOLOGA DE LA PRODUCCINUNIDAD
CURRICULAR: DINMICA Y CONTROL DE PROCESOS
TEMA N 1
INTRODUCCIN AL CONTROL DE PROCESOSINDUSTRIALES
PROFESORES:ING. ESP. CARLOS A. PREZ M.-Ing. EUMAR LEAL MSc.
PUNTO FIJO; Mayo 2015
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TEMA N 1INTRODUCCIN AL CONTROL DE PROCESOS INDUSTRIALES
Introduccin general
1.1 Breve historia del control de procesos
Los primeros sistemas de control conocidos, ya en la antigedad,
son mecanismosdestinados al control del caudal para regular un
reloj de agua o el control de nivel de lquido en unalmpara de
aceite o en un recipiente de vino, que se mantiene lleno a pesar de
los muchos vasosque se sacan. De hecho, el control del caudal de
fluido se reduce al control del nivel del fluido, yaque un pequeo
orificio producir caudal constante si la presin es constante. El
mecanismo decontrol de nivel de lquido inventado en la antigedad y
todava usado para controlar nivel es lavlvula flotante, semejante a
la del depsito de agua de un inodoro corriente. El flotador est
hechode tal manera que, cuando el nivel baja, el caudal del depsito
aumenta y cuando el nivel sube, elcaudal disminuye y, si es
necesario, se corta (Figura 1.1). En este caso el sensor y el
actuadorestn combinados en el mismo dispositivo, el flotador y la
combinacin de tubo de alimentacin.
Figura 1.1. Un tonel que nunca se acaba. Ejemplo del control de
nivel de lquido y caudal tal como se realizaba en laantigedad.
Un caso ms moderno de control por realimentacin es el control de
temperatura de unhorno para calentar una incubadora, sistema que
fue diseado por Drebbel (hacia 1620). El hornoconstaba de una caja
que contena el fuego, con un tubo en la parte superior provisto de
unregulador de tiro (Figura 1.2). Dentro de la cmara de combustin
estaba la incubadora de paredesdobles y el hueco que quedaba entre
las paredes se llenaba de agua. El sensor de temperatura eraun
recipiente de vidrio lleno de alcohol y mercurio colocado en la
cmara de agua en torno a laincubadora. A medida que el fuego
calentaba la caja y el agua, el alcohol se dilataba y el vstagocon
flotador se desplazaba hacia arriba, bajando el regulador de tiro
sobre la boca del tubo. Si lacaja est demasiado fra, el alcohol se
contrae, el regulador de tiro se abre y el fuego arde
msfuertemente. La temperatura deseada est determinada por la
longitud del vstago del flotador, quedetermina la apertura del
regulador de tiro para una dilatacin determinada de alcohol.
La bsqueda de un medio para controlar la velocidad de rotacin de
un eje fue unproblema famoso en las crnicas del control automtico.
La principal motivacin era la de controlarautomticamente la
velocidad de la piedra de molienda de un molino de viento harinero.
De losvarios mtodos que se intentaron, el ms prometedor result ser
el que usaba un pndulo cnico, oregulador de bola flotante. Este
dispositivo se us para medir la velocidad del molino; las aspas
delmolino de viento se hacan girar con cuerdas y poleas, casi como
persianas, para mantener unavelocidad fija. Pero no fue el molino
de viento es que hizo famoso el regulador de bola flotante, fue
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su adaptacin a la mquina de vapor en los laboratorios de James
Watt, alrededor de 1788 (Figura1.3).
Figura 1.2. Croquis de la incubadora de Drebbel para empollar
huevos de gallina.
Figura 1.3. Mquina de vapor con un regulador centrfugo o de bola
flotante, que aparece en la parte derecha de la imagen
La accin del regulador centrfugo es fcil de describir.
Supongamos que la mquina estoperando en equilibrio y aplicamos de
pronto una carga. En ese momento disminuir la velocidadde la mquina
y las bolas del regulador caern a un cono ms pequeo. De este modo,
el ngulode las bolas se usa como sensor de salida. Esta accin, a
travs de palancas, abrir la vlvulaprincipal al ncleo de vapor (que
es el actuador) y admitir ms vapor a la mquina, recuperando
latotalidad de la velocidad perdida. Para mantener la vlvula de
vapor en una nueva posicin esnecesario que las bolas giren a un
ngulo diferente, lo que implica que la velocidad con una cargano es
exactamente la misma que la anterior. Para recobrar la misma
velocidad en este sistema,sera necesario reponer la velocidad
deseada cambiando la longitud de la barra de la palanca a lavlvula.
Otros inventores introdujeron mecanismos que integraron el error de
velocidad y as
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proporcionaron unas reposiciones automticas. Estos sistemas
tienen error estacionario cero aperturbaciones constantes.
Watt fue un hombre prctico, como el constructor de molinos
anterior a l, y no se ocup deanlisis tericos del regulador. En este
sentido son de gran importancia las contribuciones de G.B.Airy, que
fue profesor de matemticas y astronoma de la Universidad de
Cambridge desde 1826 a1835 y Astrnomo Real en el Observatorio de
Greenwich desde 1835 a 1881. Airy se interes porel control de la
velocidad; si sus telescopios hubieran podido girar en sentido
contrario a la Tierra,se habra podido observar una estrella fija
durante largos perodos de tiempo. l utiliz el reguladorcentrfugo de
pndulo y descubri que era capaz de movimiento inestable. Airy
realiz la primeraexposicin histrica de la inestabilidad en un
sistema de control, el anlisis de un sistema a travsde ecuaciones
diferenciales y, por tanto, los comienzos del estudio de la dinmica
de control conretroalimentacin.
El primer estudio sistemtico de la estabilidad del control
realimentado apareci en eltrabajo On Governors de J.C. Maxwell
(1868). En este trabajo, Maxwell desarrolla las
ecuacionesdiferenciales del regulador, linealizndolas en torno al
equilibrio, y estableci que laestabilidaddepende de que las races
de una cierta ecuacin (caracterstica) tengan partes
realesnegativas.
Lo consigui solamente para los casos de segundo y tercer orden.
El problema de ladeterminacin de criterios de estabilidad sirvi
para el premio Adams de 1877, que fue ganado porE.J. Routh. Su
criterio, desarrollado en el ensayo que obtuvo el premio, tiene el
inters suficientecomo para que los ingenieros de control sigan
aprendiendo a aplicar su sencilla tcnica. El anlisisde la ecuacin
caracterstica sigui siendo el fundamento de la teora de control
hasta la invencindel amplificador realimentado electrnico por H.S.
Black en 1927 en los laboratorios de la BellTelephone. Despus de la
publicacin del trabajo de Routh, el matemtico ruso A.M.
Lyapunovcomenz a estudiar la cuestin de la estabilidad del
movimiento; en 1892 utiliz las ecuaciones nolineales de movimiento
e incluy resultados equivalentes al criterio de Routh.Su trabajo
fue fundamental, pero no se introdujo en la literatura de control
hasta 1958.
Con la introduccin de los amplificadores electrnicos, las
llamadas a larga distanciallegaron a ser posibles en las dcadas
posteriores a la Primera Guerra Mundial. Sin embargo,conforme la
distancia aumenta, lo hace la prdida de energa elctrica, a pesar
del uso del alambrede gran dimetro, y se requieren ms y ms
amplificadores para reemplazar las prdidas.Lamentablemente, con
tantos amplificadores haba mucha distorsin ya que las pequeas
nolinealidades de los tubos de vaco se multiplicaban una y otra
vez. Como solucin a este problema,Black propuso el amplificador
retroalimentado. Para reducir la distorsin hay que aumentar
laretroalimentacin, es decir, la ganancia del lazo del actuador
debe aumentarse mucho. Todos losque han tratado de subir el volumen
en un sistema de amplificacin pblico mal ubicado hanexperimentado
lo descubierto por Black; con altas ganancias el lazo de
retroalimentacin comienzaa pitar y es inestable.
Aqu, en una tecnologa diferente estaba el problema de
estabilidad de Maxwell y Routh, yla dinmica era tan compleja (las
ecuaciones diferenciales de orden 50 son muy comunes) que
elcriterio de Routh no sirvi de mucho. Los ingenieros de
comunicaciones estaban familiarizados conla idea de respuesta de
frecuencia y con matemticas de variable compleja desarrollada
porCauchy y otros, as que los trabajos en los laboratorios de la
Bell se orientaron al anlisis complejo.
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En 1932, H. Nyquist public un artculo describiendo como
determinar la estabilidad desde ungrfico de la respuesta de
frecuencia del lazo. A partir de esta teora se desarroll una
extensametodologa de diseo de amplificadores retroalimetados,
descrita en el libro de Bode (1945).
Simultneamente al desarrollo del amplificador realimentado, el
control retroalimentado deprocesos industriales empez a ser la
norma. En este campo, caracterizado por procesos que nosolamente
son muy complejos sino tambin no lineales y sujetos a retrasos de
tiemporelativamente largos entre actuador y sensor, se desarroll la
prctica del control proporcional, msintegral y ms diferencial, el
control PID descrito por Callender, Hartree y Porter (1936).
Estatecnologa, basada en un amplio trabajo experimental y
aproximaciones linealizadas simples alsistema dinmico, llev a
experimentos estndar apropiados para la aplicacin en el campo
yfinalmente a una satisfactoria sintona de los coeficientes del
controlador PID. Tambin sedesarrollaron en esta poca los
dispositivos para gua y control de aviones; especialmenteimportante
fue el desarrollo de sensores adecuados para medicin de altura y
velocidad de losaviones.
Se dio un enorme impulso al control realimentado durante la
Segunda Guerra Mundial. EnEstados Unidos, ingenieros y matemticos
del Laboratorio de Radiacin del MIT combinaron susconocimientos
para aportar juntos no solamente la teora de los amplificadores
realimentados deBode y el control PID de los procesos, sino tambin
de procesos estocsticos desarrollados por N.Wiener (1930). El
resultado fue el desarrollo de un conjunto completo de tcnicas para
el diseo demecanismos de control, o servomecanismos, como tambin
han sido llamados.
Otro enfoque al diseo de sistemas de control se introdujo en
1948 por W.R. Evans, quetrabajaba en el campo de gua y control de
aviones. Muchos de estos problemas tiene estadosdinmicos inestables
o neutralmente estables, y l sugiri un retorno al estudio de la
ecuacincaracterstica que haba sido la base del trabajo de Maxwell y
Routh 70 aos antes. Sin embargoEvans desarroll tcnicas y reglas que
permiten seguir grficamente los pasos de los lugaresgeomtricos de
las races de la ecuacin caracterstica cuando se cambiaba un
parmetro. Sumtodo, el lugar geomtrico de las races, es adecuado
para el diseo y anlisis de estabilidad ycontina siendo hoy da una
tcnica importante.
1.2 Contexto de la disciplina y su relacin con la
industriaalimentaria
Una industria alimentaria es una serie de operaciones bsicas
(bombas, intercambiadoresde calor, evaporadores, etc.) integradas
de una manera sistemtica y racional. El proceso, entreotros
requerimientos, debe cumplir con las exigencias de:
1. Seguridad.2. Especificaciones de produccin: La planta debe
producir la cantidad y la calidad de productosfinales requeridos.3.
Regulaciones medioambientales.4. Restricciones de proceso: Las
bombas no pueden trabajar si no tienen una succin netapositiva en
cabeza, los tanques no pueden rebosar o vaciarse completamente,
etc.5. Economa: El proceso debe trabajar en los niveles ptimos de
mnimo gasto econmico ymximo beneficio.
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Para cumplir estos objetivos se debe constituir el sistema de
control, que est formado porpersonas (diseadores de planta,
operadores de planta) y equipo (dispositivos de medida,
vlvulas,controladores, ordenadores). El sistema de control para
cumplir estos objetivos debe:1. Suprimir la influencia de
perturbaciones externas.2. Asegurar la estabilidad del proceso.3.
Optimizar el rendimiento del proceso.
1.3 Descripcin cualitativa de un ejemplo de proceso alimentarioy
sus sistemas de control
Una planta de pasteurizacin es un buen ejemplo de procesos
alimentario.
Cumple los requerimientos de todo proceso:
1. Seguridad: Se deben minimizar los riegos del proceso. Para el
ejemplo, trabajar con fluidoscalientes, riesgos de contaminacin,
etc.2. Especificaciones de produccin: Las comentadas en el apartado
anterior.3. Regulaciones medioambientales: Si no lo estn en el
proceso s que lo estn, por ejemplo, enlas calderas que calientan el
agua para la obtencin de vapor.4. Restricciones de proceso: Las
comentadas en el apartado anterior.5. Economa: Las comentadas en el
apartado anterior.
Como ejemplos de magnitudes a controlar en el proceso se
encuentra el nivel de losdepsitos, caudales, porcentaje de la
materia grasa de la leche, temperaturas de salida de
losintercambiadores de calor.
El sistema de control debe cumplir los objetivos propuestos:
1. Suprimir la influencia de perturbaciones (cambios en las
variables de proceso no deseados)externas: P.ej., variaciones en la
temperatura de los servicios vapor, agua caliente o
fluidorefrigerante en los intercambiadores de calor de placas.2.
Asegurar la estabilidad del proceso.3. Optimizacin del
rendimiento.
No es sencillo justificar las mejoras en el sistema de control
de un proceso debido, entreotras, a las siguientes razones:
1. Pequeos mrgenes de beneficio.2. Disponibilidad de los
productos agrcolas por temporadas.
Las razones ms normales para mejorar el sistema de control
son:1. Aumentar la produccin.2. Reducir la mano de obra que
normalmente no son adecuadas para la industria agroalimentaria.
Los procesos alimentarios son generalmente complejos de
automatizar. Las materiasprimas de este tipo de indstrias presentan
una mayor variabilidad frente a otro tipo de materiasprimas de
otras indstrias. En muchos casos, adems, esta variabilidad es
difcil o imposible demedir. Es el caso de productos con mal
aspecto, olor o sabor. Mientras que el color puede sermedido de
manera sencilla, no exiten sistemas de medicin in-line para las
magnitudes anteriores.
Este panorama lentamente va cambiando a medida que la indstria
de los alimentos vaadoptando soluciones tecnolgicas desarrolladas
para otro tipo de indstrias. Tambin va
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desarrollando nuevas soluciones que se adapten a sus
caractersticas, como puede ser sensoresadecuados.
1.3 Descripcin cualitativa de un ejemplo de proceso alimentario
y sus sistemas de control
Figura 1.4. 1. Depsito regulador. 2. Pasteurizador de la leche.
3. Depsito de retencin. 4. Centrfuga desnatadora. 5.Vlvula
modulante. 6. Homogeneizador. 7. Densmetro. 8. Pasteurizador de la
nata. 9. Panel de estandarizacin.
Figura 1.5. Esquema del sistema de control de temperatura de un
pasteurizador de leche.
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1.4 Conceptos generales1. Dinmica: Comportamiento de un proceso
dependiente del tiempo. En la teora del control seestudia
bsicamente la dinmica de dos tipos de sistema:
a) Sistema de lazo abierto: Respuesta del sistema sin
controladores o con un control enadelanto (feedforward).
b) Sistema de lazo cerrado: Comportamiento del sistema incluido
un control porretroalimentacin (feedback ).
2. Variables: A continuacin se definen los diferentes tipos de
variables implicados en la dinmica ycontrol de sistemas:
a) Variables manipulables: Elementos del proceso que se pueden
modificar para controlar laplanta. Normalmente se trata de
caudales.b) Variables controladas: Parmetros de proceso caudales,
niveles, temperaturas, presiones,etc. que se quieren controlar, ya
sea para mantenerlos constantes o para seguir una ciertaevolucin
con el tiempo.c) Variables no controladas: Variables del proceso
que no son controladas aunque pueden sermedidas.d) Perturbaciones:
Entradas al proceso que no pueden ser controladas pero que deben
tener unvalor fijo en el proceso.
3. Consigna (Set point): Es el valor deseado de la variable a
controlar. Puede ser constante ovariar con el tiempo.
4. Control en adelanto (Feedforward): Se trata de un sistema de
control de lazo abierto. Sedetecta la perturbacin cuando entra en
el proceso y se realiza el cambio necesario en lasvariables
manipulables para que la variable controlada se mantenga
constante.
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5. Control por retroalimentacin (Feedback): Se mide la variable
controlada a la salida delproceso y se compara con la consigna (el
valor deseado de la variable controlada). La diferencia(error) se
alimenta al controlador por retroalimentacin que modifica la
variable manipulable.
6. Estabilidad: Un proceso es inestable si su salida se va
haciendo mayor (positiva onegativamente) con el tiempo.
La mayora de los sistemas de lazo abierto son estables. Todos
los sistemas de lazo cerrado soninestables si la ganancia del
controlador se hace los suficientemente grandes.
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Normalmente el rendimiento del controlador aumenta con la
ganancia, pero disminuye su toleranciaa los cambios de parmetros
del proceso.
7. Control analgico: En este caso los datos son medidos de
manera continua en el tiempo
8. Control digital: Se da cuando los datos son medidos de manera
discreta ya sea debido a lautilizacin de computadores digitales o
debido a mtodos de medida muy lentos en comparacincon la dinmica
del proceso. P.ej., anlisis mediante cromatografa.
9. Leyes del Control de Procesos:
a) Primera ley: El sistema de control ms simple es el que mejor
funcionar.b) Segunda ley: Se debe entender el proceso antes de
intentar controlarlo.
10. Elementos fsicos de un sistema de control:
a) Instrumentos de medida o sensores: Son los elementos de
control encargados de medirlas perturbaciones, las variables
controladas, etc. Son las principales fuentes deinformacin de cmo
va el proceso. Un elemento crucial para la seleccin de un sensor
essu capacidad de transmitir informacin fcilmente. P.ej., es
preferible un termopar a untermmetro de mercurio.
b) Transductores: Elementos del sistema de control que
convierten magnitudes fsicas queno pueden ser utilizadas para el
control en otras que s lo pueden ser (una corrienteelctrica o una
seal neumtica, p.ej.). P.ej., convertir una seal de presin en una
sealelctrica.
c) Lneas de transmisin: Llevan la seal desde el sensor al
controlador y del controlador alelemento final de control. La
transmisin acostumbra a ser elctrica o neumtica.Frecuentemente se
debe amplificar la seal del sensor antes de transmitirla.
d) Controlador: Recibe las seales de los sensores y decide la
accin que se debe tomar.e) Elemento final de control: Es el
dispositivo fsico que lleva a cabo la decisin del
controlador. Tpicamente es una vlvula aunque tambin puede ser
una bomba develocidad variable, una compuerta.
f) Registradores: Proveen de un soporte visual y registro
histrico del funcionamiento delsistema.
2.2 Algo de instrumentacin
2.2.1 Dispositivos de medida (sensores)
Para el correcto funcionamiento de un sistema de control es
imprescindible una buenamedida de la variable controlada y unas
lneas de transmisin efectivas. Existe una gran cantidadde
dispositivos de medida y su nmero aumenta da a da. Difieren entre s
tanto en el principiobsico de medida como en su construccin. En la
tabla siguiente se muestran algunos de lossensores ms tpicos en el
control de procesos junto con sus posibles aplicaciones. Para
unainformacin ms detallada generalmente hay que recurrir a los
fabricantes de sensores.
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A continuacin se comenta con un poco de detalle cuatro de los
dispositivos de medida msutilizados en la industria de
procesos.
2.2.1.1 Medidores de caudal
Los medidores de caudal ms utilizados en la indstria son
aquellos que miden unadiferencia de presin en el fluido al pasar
por un elemento en la lnea que crea una prdida decarga. Para
calcular el caudal volumtrico que pasa por ese punto se recurre a
la ecuacin deBernoulli. Los ms tpicos son la placa de orificio, ms
barata, y el tubo de Venturi , ms caro perode mayor precisin.
Un mtodo diferente de medir el caudal volumtrico es la
utilizacin de turbinas. En estecaso se calcula el flujo a partir
del nmero de vueltas de la turbina para un tiempo dado. En
generallos medidores de caudal presentan dinmicas muy rpidas que
normalemnte pueden sr modeladascon las siguientes ecuaciones
algebrica:
Donde es una constante caracterstica del medidor de caudal y P
es la diferencia de presin.
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2.2.1.2 Sensores de temperatura
Los ms comunes son aquellos que miden la temperatura como una
seal elctrica. Entreellos cabe destacar los termopares.
Independientemente de sus diferencias constructivas, sudinmica
bsica puede ser descrita en funcin de sus perfiles de temperatura.
El elemento sensorde la temperatura siempre se encuentra en el
interior de una vaina de metal. Los termoparespueden ser modelados
siguiendo sistemas de primer orden o sistemas de segundo
ordensobreamortiguados dependiendo de cmo estn construidos y de los
materiales utilizados.
2.2.2 Lneas de transmisin
En el caso de utilizar lneas de transmisin neumtica muy largas
puede ser que su efectosobre la dinmica global del sistema no sea
despreciable. Normalmente siguen una dinmica quepuede ser descrita
con la siguiente funcin de transferencia:
Donde Po es la presin de salida de la lnea de transmisin
neumtica, Pi es la presin deentrada y la relaci n de la constante
de tiempo muerto con respecto a la constante de tiempo del proceso
esaproximadamente igual a 0.25.
2.2.3 Elementos finales de control
El elemento final de control ms comn es la vlvula. El sistema de
control cambia laposicin del mbolo ya sea utilizando aire
comprimido, si es una vlvula neumtica, o corrienteelctrica. Las
vlvulas neumticas se distinguen principalmente en las air-to-close
o fail open, enlas que el mbolo desciende al aumentar la presin del
aire. En caso contrario se trata de vlvulasdel tipo air-to-open o
fail closed.
Las vlvulas puede ser modelizadas siguiendo una dinmica de
segundo orden. Pero paralas vlvulas pequeas o de tamao media la
dinmica es tan rpida que se puede considerar quees un proceso de
primer orden. Para la mayora de productos el caudal que pasa por la
vlvulapuede ser descrito por la ecuacin siguiente:
Donde P es la cada de presin del fluido al paso de la vlvula, K
es una constante quedepende del tamao de la vlvula, es la densidad
del fluido y f(x) es una curva caracterstica parala vlvula. Otros
elementos finales de control pueden ser motores de velocidad
variable paraventiladores o bombas, la puesta en marcha o apagado
de equipos, sistemas electrohidrulicos,etc.
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3.2 La transformada de Laplace como herramienta tilLa
transformada de Laplace f(s) de una funcin f(t) se define como:
Donde
El uso de transformadas de Laplace ofrece un mtodo simple y
elegante de resolverecuaciones diferenciales como las que se
obtienen en los modelos matemticos de los procesosalimentarios.
Entre las diferentes propiedades de las transformadas de Laplace
cabe destacar:
1. Es un operador lineal
2. La transformada de una derivada es:
Es importante resaltar que una ecuacin diferencial ordinaria de
primer orden pasa a ser unaecuacin lineal de primer grado.
La transformada de la segunda derivada es:
Generalizando:
3. La transformada de Laplace de una integral es:
4. Translacin de la transformada:
Translacin de la funcin:
5. Teorema del valor final:
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3.3 La funcin de transferencia. lgebra de funciones
detransferencia
Para un proceso sencillo, como el del nivel del depsito, se
puede plantear un esquemasencillo que describa en cierta medida al
sistema:
En el caso de trabajar utilizando las transformadas de Laplace
de las funciones de entraday salida, se puede representar la
dinmica del proceso mediante el uso de la funcin
detransferencia.
La funcin de transferencia G(s) liga la entada y la salida del
sistema:
Donde y(s) es la transformada de Laplace de la respuesta del
proceso definida utilizandovariables de desviacin y f(s) es la
transformada de la funcin de desviacin de la entrada.
3.4 Transformadas de algunas funciones singulares
A continuacin se muestran las transformadas de algunas funciones
con las que setrabajar frecuentemente ms adelante ya que pueden ser
asimiladas como las perturbacionesms frecuentes.
Si no se dice lo contrario todas estas funciones se definen para
que su valor sea nulo atiempo menor que cero.
3.4.1 Funcin escaln
Es una funcin cuyo valor para tiempos menores que cero es nulo y
que alcanza el valor Mpara tiempo mayores que 0:
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Esta funcin se define como:
La transformada de Laplace de esta funcin es:
Si M es igual a 1 se tiene la funcin escaln unidad, U(t). En el
caso de que la funcintenga un retraso t0:
O lo que es lo mismo:
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Por tanto, aplicando la propiedad nmero 4 (ecuacin 3.6), la
transformada de Laplaceser:
3.4.2 Funcin pulso
Se trata de una funcin pulso con rea A=Mt0:
La funcin pulso se define como:
Utilizando la definicin del escaln unidad tambin se puede
escribir como:
Por tanto, la transformada de Laplace ser:
3.4.3 Funcin impulso
Se trata de un pulso tal que
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La transformada de Laplace de esta funcin es:
En el caso particula de que el rea sea 1 se habla de la funcin
delta de Dirac (t). Sepuede comprobar fcilmente que el impulso es
la derivada de la funcin escaln.
3.4.4 Funcin rampa
Se trata de una funcin lineal de pendiente M:
Esta funcin se define como:
La transformada de Laplace es:
3.4.5 Funciones trigonomtricas
La funcin seno es:
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Se define la funcin como:
Donde M es la amplitud y w es la frecuencia angular, expresada
normalmente como rad/s.La transformada de Laplace de la funcin seno
es:
Y la de la funcin coseno:
3.5 Inversin de transformadas. De vuelta al tiempo real
Continuando con el ejemplo se estudiar la salida del sistema
para una entrada de tipo escalnunidad:
Mediante el operador transformada inversa de Laplace (L1) se
obtiene la salida en tiempo real.Para ello hay que descomponer la
funcin a invertir en partes asimilables a las que se encuentranen
las tablas de transformadas de Laplace
Donde a y b son dos variables a determinar. Obviamente, a=R y
b=R. Por tanto,
Donde =RA es la constante de tiempo y tiene dimensiones de
tiempo.
Cuanto mayor es ms lenta es la respuesta, ms tarda el sistema en
alcanzar el estadoestacionario. Se comprueba que cuanto menor es la
seccin del tanque ms rpida es larespuesta. Si es grande se dice que
el sistema presenta una gran inercia.
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3.6 Expansin en fracciones parciales
Un mtodo de inversin de transformadas de Laplace es la expansin
en fracciones parciales.
Para invertir la funcin f(s) se reordena como una suma de
funciones simples:
Una vez realizada la descomposicin se realiza la inversin de
transformadas:
Normalmente las funciones a invertir en control de procesos
aparecen como fracciones de polinomios en s del tipo:
Donde z(s) es un polinomio de orden m y p(s) es un polinomio de
orden n.Para realizar la inversin de la transformada de Laplace se
factoriza el denominador:
Donde pi son las races (ceros) del polinomio p(s).Si todas las
pi(s) son diferentes, se puede expresar f(s) como una suma de n
trminos:
Los numeradores de la ecuacin anterior se evalan de la siguiente
manera:
Si existen races del denominador de f(s) repetidas, de nuevo se
expresa f(s) como un producto de fracciones simples. Por ejemplo,
en el caso de que una raz se repita dos veces:
la descomposicin en fracciones simples es:
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Si la raz se repite 3 veces (orden 3) la expansin sera as:
Los numeradores de la ecuacin se calculan de la siguiente
manera:
Para encontrar el numerador C de la ecuacin se debe tomar la
segunda derivada. Generalizando al trmino Aj de una raz de orden N
en p1:
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