1 2 3 4 III. RELACIONES. 1. Noción de relación. 2. Par ordenado. 1.1. Igualdad de pares. 3. Triplos, cuádruplos,…., n-uplos. 3.1. Igualdad de n-uplos. 4. Conjunto producto. 4.1. Operación . 4.2. Propiedades. 5. Definición de relación. 5.1. Relación binaria. 5.2. Dominio de definición de una relación. 5.3. Dominio de imagen de una relación. 5.4. Operaciones con relaciones. 5.4.1. Unión. 5.4. 2. Intersección. 5.5. Propiedades de las relaciones. 5.5.1. Reflexividad. 5.5.1.1. Relaciones reflexivas. 5.5.1.2. Relaciones irreflexivas 5.5.2. Simetría. 5.5.2.1. Relaciones simétricas. 5.5.2.2. Relaciones asimétricas. 5.5.2.3. Relaciones antisimétricas. 5.5.2.4. Relación no simétrica. 5.5.3. Transitividad. 5.5.3.1. Relaciones transitivas. 5.5.3.2. Relaciones intransitivas. 5.5.4. Conexidad. 5.5.4.1. Relación conexa. 5.5.4.2. Relación fuertemente conexa. 5.6. Relaciones de equivalencia. 5.7. Relaciones de orden. 5.7.1. Relaciones de semiorden. 5.7.2. Relaciones de orden parcial. 5.7.3. Relaciones de orden parcial estricto. 5.7.4. Relaciones de orden simple o total. 5.7.5. Relaciones de orden simple estricto. 6. Clases de equivalencia. 6.5.Particiones y clases de equivalencia. 6.6.Conjunto cociente. 7. Relación trivial. 8. Relación universal. 9. Relación inversa. 10. Relación compuesta. 11. Relación inversa. 12. Ejercicios. A R B 3 4 5 6
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III. RELACIONES.
1. Noción de relación.
2. Par ordenado.
1.1. Igualdad de pares.
3. Triplos, cuádruplos,…., n-uplos.
3.1. Igualdad de n-uplos.
4. Conjunto producto.
4.1. Operación .
4.2. Propiedades.
5. Definición de relación.
5.1. Relación binaria.
5.2. Dominio de definición de una relación.
5.3. Dominio de imagen de una relación.
5.4. Operaciones con relaciones.
5.4.1. Unión.
5.4. 2. Intersección.
5.5. Propiedades de las relaciones.
5.5.1. Reflexividad.
5.5.1.1. Relaciones reflexivas.
5.5.1.2. Relaciones irreflexivas
5.5.2. Simetría.
5.5.2.1. Relaciones simétricas.
5.5.2.2. Relaciones asimétricas.
5.5.2.3. Relaciones antisimétricas.
5.5.2.4. Relación no simétrica.
5.5.3. Transitividad.
5.5.3.1. Relaciones transitivas.
5.5.3.2. Relaciones intransitivas.
5.5.4. Conexidad.
5.5.4.1. Relación conexa.
5.5.4.2. Relación fuertemente conexa.
5.6. Relaciones de equivalencia.
5.7. Relaciones de orden.
5.7.1. Relaciones de semiorden.
5.7.2. Relaciones de orden parcial.
5.7.3. Relaciones de orden parcial estricto.
5.7.4. Relaciones de orden simple o total.
5.7.5. Relaciones de orden simple estricto.
6. Clases de equivalencia.
6.5.Particiones y clases de equivalencia.
6.6.Conjunto cociente.
7. Relación trivial.
8. Relación universal.
9. Relación inversa.
10. Relación compuesta.
11. Relación inversa.
12. Ejercicios.
A R B
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III. RELACIONES.
Noción de relación:
Consideremos las siguientes expresiones:
a. “el numero natural es menor o igual al natural ”
b. “la recta es paralela a la recta ”
c. “el triángulo es semejante al triangulo ”
En las anteriores expresiones se establece un vínculo entre dos elementos u objetos.
Estos nexos están establecidos por los enunciados “menor o igual”, “paralela a” y
“semejante a”. Esta idea nos servirá para llegar a la definición formal de una relación.
Par ordenado:
Es el resultado de citar a dos elementos en un orden fijo. Se denota por o
. Se lee: “ ”. es el primer elelemnto del par y es el
segundo.
Basándonos en la teoría de conjuntos, es posible hacer una definición formal de par
ordenado:
Igualdad de pares ordenados:
Los pares ( ) y ( ) son iguales si y solo si ˄ .
Triplos ordenados:
Se compone de 3 elementos. Es un par cuyo primer elemento también es un par.
( ) } } }}
A partir de esta definición podemos definir cuádruplos, quíntuplos, etc,….
N-uplos ordenados:
Es un par ordenado, cuyo primer elemento es un ( ) -uplo.
.
La igualdad de n-uplos se da cuando todos los elementos respectivos de los n-uplos son
iguales, esto es:
Conjunto producto:
Es un tipo especial de conjunto, cuyos elementos son n-uplos. Dados y , conjuntos
no vacíos; a partir de ellos definimos y se lee “conjunto producto por ” al
conjunto que tiene como elementos los pares , tales que .
def {{x},{x,y}}
, , …….,
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Ejemplo:
Dados = } y = }.
}
Conjunto producto de n-uplos ordenados:
Sea la familia de conjuntos , no vacíos y no necesariamente distintos, se
define el conjunto producto, al conjunto de pares del tipo ( ), tales que
, ,…….,
= {( )/ , ,……., }
Para abreviar en esta definición al conjunto lo denotaremos por
, tal conjunto se conoce matemáticamente como espacio.
Operación .
Es una nueva operación entre conjuntos, que da como resultado un nuevo conjunto,
cuyos elementos son pares ordenados.
}
Ejemplo:
Dados = } y = }.
}
Propiedades de la operación .
a. Conmutatividad.
La operación no es conmutativa.
b. Asociatividad.
La operación no es asociativa.
c. Distributividad.
La operación es distributiva con respecto a la unión, intersección y diferencia.
}
}
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Leyes de Distributividad de la operación .
a. Respecto a la unión:
b. Respecto a la intersección:
c. Respecto a la diferencia:
Demostración de la primera propiedad distributiva:
˅
Definición de relación binaria:
Dados dos conjuntos y , se define una relación binaria de en a un conjunto de
pares ordenados que denotaremos por R, t u R . Una relación binaria
sobre un conjunto es un subconjunto de .
Se define a R como una relación de en y se denota por R ; además
si es verdadero entonces se dice que R y se lee
“ ”. Los elementos de que están relacionados con
elementos de forman un par ordenado ( ) ( . Si es falso entonces
se dice que y se lee “ ”. Si entonces se dice
que “R ”.
Las relaciones binarias se denotan siempre con letras mayúsculas cursivas y se pueden
representar de diferentes maneras:
Literalmente.
Definiendo su conjunto de partida, de llegada y de su predicado.
Como un conjunto de pares ordenados.
Matricialmente.
Gráficamente a través de:
_ Diagramas.
Una relación binaria R se define a través de los siguientes elementos:
Un conjunto ó conjunto de partida.
Un conjunto ó conjunto de llegada.
Un enunciado formal tal que es verdadero para todo par
de elementos y que están relacionados según R, o sea R
o sea “ ”.
ℛ
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_ Tablas.
_ Grafos.
Ejemplos:
1. Sea R sobre el conjunto de los números reales, donde es el enunciado
, entonces R es una relación y 2 π, 2 R 2 , 5 10, 8 R 3,
2 2.
2. Sea R1 , siendo , el conjunto de hombres y el conjunto de
mujeres:
- El enunciado = “ ” define una relación de en .
- El enunciado = “ ” define una relación de en
.
- El enunciado = “ ” no define una relación de en .
- El enunciado = “ ” no define una relación de en .
3. Dados los conjuntos = {1, 2, 3, 4} y = {3, 4, 5, 6} y el predicado “ ”.
La relación también puede ser representada a través de una matriz de la siguiente
manera:
Si la representación es matricial en las filas se colocan los elementos de y en las
columnas los de . En la fila columna habrá 1 si el elemento de la fila está
relacionado con el elemento de la columna . En caso contrario habrá un cero. Por
ejemplo “2 +1 = 3” por lo tanto 2 y 3 no están relacionados. “ ” por lo que 3
y 5 si están relacionados.
También se puede representar a través de un grafo, en el que habrá un punto en la
intersección de los elementos relacionados y fuera ellos quedarán las celdas vacías. Por
ejemplo para la relación anterior el grafo sería:
También se puede expresar a través de un diagrama:
R 3 4 5 6
1 1 1 1 1
2 0 1 1 1
3 0 0 1 1
4 0 0 0 1
R 3 4 5 6
1 • • • •
2 • • •
3 • •
4 •
ℛ ℛ ℛ
3
4
5
6
A R B
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4. Sea R2 , siendo N el conjunto de los números naturales y el
enunciado “ ”; entonces R2 es una relación y el par (3,12) R2 y
el par (4, 23) R2.
Conjunto solución de una relación.
Sea R una relación de en , o sea, R , el conjunto solución R* de
R es el conjunto de todos los pares para los cuales es verdadero.
Ejemplos:
1. Sean los conjuntos A = {2, 3, 4} y B = {3, 4, 5, 6} y R una relación de en con el
enunciado formal “ ”, entonces el conjunto solución de R es:
R* = {(2, 4), (2, 6), (3, 3), (3, 6), (4, 4)}
2. La relación R sobre los conjuntos A y B anteriores con el enunciado “
Para esta relación existen las clases de equivalencia:
[1] = {1, 3, 5}
[2] = {2, 4} [3] = {1, 3, 5}
[4] = {2, 4} [5] = {1, 3, 5}
Resumiendo, podemos decir que hay dos clases de equivalencia:
[1] = [3] = [5] = {1, 3, 5}
[2] = [4] = {2, 4}
2. Sea = {1, 2, 3,….., 10} y la relación R y si . Se puede probar
que R es una relación de equivalencia. Encontremos los miembros de las clases de
equivalencia:
[1] = [4] = [7] = [10] = {1, 4, 7, 10}
Una colección de subconjuntos propios de un conjunto , { }; es una partición de si y sólo si satisface las dos condiciones siguientes:
1.- i
= ,
2.- = ,
[ ] = { R }.
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[2] = [5] = [8] = {2, 5, 8}
[3] = [6] = [9] = {3, 6, 9}
Una relación se puede definir a través de sus clases de equivalencia.
Si { } es una partición de entonces R si y sólo si y pertenecen al
mismo conjunto de la partición de .
En la relación trivial se obtienen tantas clases de equivalencia como elementos tiene el
conjunto de partida y cada conjunto tiene sólo un elemento.
En la relación universal se obtiene una sola clase de equivalencia que coincide con el
propio conjunto de partida.
La partición de los elementos de un conjunto en clases de equivalencia permite
considerar un nuevo conjunto, desde el punto de vista de la relación de equivalencia con
menos elementos.
Conjunto cociente.
Ejemplos:
1. La relación de semejanza de triángulos definida en el plano euclidiano es una relación
de equivalencia. Todos los triángulos del plano semejantes entre sí pertenecen al mismo
conjunto. Estos conjuntos son disjuntos y forman las clases de equivalencia.
2. Sea R la relación sobre los números naturales como – , o
sea, , entonces R puede representarse como un conjunto formado por dos
clases de equivalencia: Los que tienen resto cero y los que tienen resto distinto de cero.
E0 = {2, 4, 6, 8,……....}
E1 = {1, 3, 5, 7,………}
Si R es una relación de equivalencia sobre un conjunto , entonces la colección de
todas las clases de equivalencias {[ ], } es una partición de .
Sea R es una relación de equivalencia sobre un conjunto finito . Si cada clase de
equivalencia tiene elementos entonces existen / r clases de equivalencia.
Sea R es una relación de equivalencia sobre un conjunto A. El conjunto cociente de A
módulo R es el conjunto que tiene por elementos las clases de equivalencia y se denota
por / R = {[ ] | }
.
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N / R = { }
3. De manera general podemos definir la relación Rn = “ ” sobre el conjunto
de los números enteros. Dicha relación se expresa el conjunto de sus n clases de
equivalencia que son los enteros que al dividirse por n tiene
resto 0, 1, 2, 3,……., n-1.
Z / Rn = { }
Relaciones de orden.
Ejemplos:
1. La relación “ ” definida sobre el conjunto de los números reales es una
relación de orden.
2. La relación de inclusión estricta sobre el conjunto potencia de un conjunto es una
relación de orden.
Si un par de elementos están relacionados se dice que son comparables. Si todos los
elementos del conjunto sobre el que se define una relación son comparables, entonces la
relación es de orden total, de lo contrario es de orden parcial.
Ejemplos:
1. La relación R, definida sobre los enteros positivos mediante el predicado formal
es una relación orden.
2. La relación de inclusión R, definida sobre el conjunto potencia de un conjunto dado
es una relación de orden parcial. Si } entonces B } } }} Los
elementos { } y { } no están relacionados.
3. La relación sobre el conjunto de los números naturales es
una relación de orden total.
Sea R es una relación de orden si es ,
Sea R es una relación de orden total si
[( ) Є R* ( ) Є R*]. En caso contrario, el orden es parcial.
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Ejercicios propuestos:
1. Dadas las relaciones siguientes, escriba su conjunto solución:
a. La relación R definida sobre el conjunto {1, 2, 3, 4} definida como ( ) Є R si
b. La relación R sobre el producto , donde es el conjunto de ciudades de
Ecuador y es el conjunto de provincias de Ecuador. ( ) Є R si
“ ”.
c. La relación R sobre el conjunto {1, 2, 3, 4, 5}, definida mediante la regla ( ) Є
R si “ – ”.
2. Sea la relación R definida sobre el conjunto , con enunciado formal =
“ ”
a. Escriba a R como un conjunto de pares ordenados.
b. Halle su conjunto dominio de definición.
c. Halle el dominio de imágenes.
d. Defina a ℛ .
3. Sea la relación R definida sobre el conjunto , con enunciado formal =
“ ”
e. Escriba a R como un conjunto de pares ordenados.
f. Halle su conjunto dominio de definición.
g. Halle el dominio de imágenes.
h. Defina a ℛ .
4. Dados los conjuntos } y } y la relación R1, definida
sobre y representada matricialmente, escriba el conjunto de pares de la
relación.
5. Dado el conjunto = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9} escriba los elementos del conjunto
solución de R definida por los siguientes enunciados sobre :
a. = “ ”
b. = “ ”
c. = “ ”
6. Dado }, considere la siguientes relaciones en .
R1 } R2 } R3 } R4 } R5
Decir si cada una de ellas es o no simétrica, antisimétrica, transitiva o reflexiva.
R a b c d
1 0 1 0 1
2 0 0 1 0
3 0 1 1 0
4 1 0 0 0
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7. Establecer la Veracidad o Falsedad de cada uno de los siguientes razonamientos,
suponiendo que ℛ y 𝒮 son relaciones sobre un conjunto cualquiera . a. Si ℛ s simétrica, entonces ℛ es simétrica. ___________ b. Si ℛ s ntisimétrica, entonces ℛ es antisimétrica. ___________
c. Si ℛ s r xiv entonces ℛ ℛ . ___________
d. Si ℛ s sim tric entonces ℛ ℛ . ___________
e. Si ℛ es transitiva y 𝒮 es transitiva, entonces ℛ 𝒮 es transitiva. ___________
f. Si ℛ es transitiva y 𝒮 es transitiva, entonces ℛ 𝒮 es transitiva. ___________
g. Si ℛ y 𝒮 son antisimétricas, entonces ℛ 𝒮 es antisimétrica. ___________
h. Si ℛ y 𝒮 son antisimétricas, entonces ℛ 𝒮 es antisimétrica. ___________
i. Si ℛ s reflexiva y 𝒮 es reflexiva, entonces ℛ 𝒮 es reflexiva. ___________
j. Si ℛ es reflexiva y 𝒮 es reflexiva, entonces ℛ 𝒮 es reflexiva. ___________
8. Clasifique las siguientes relaciones en reflexivas, simétricas y/o transitivas. Diga de
ellas cuáles son de equivalencia.
a. Sea = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10} y = “ ” sobre .
b. Dado = “ ” definido sobre la clase de conjuntos.
c. Sea = “ ” sobre el conjunto de triángulos.
9. Dado el conjunto que contiene las rectas del plano y las relaciones R1 y R2 con
los predicados y respectivamente: = “ ” y =
“ ”. Diga si son relaciones de equivalencia.
10. Determine los conjuntos dominio de definición y de imágenes para cada una de las
relaciones definidas a continuación sobre el conjunto de los enteros positivos y diga
si son o no una relación de equivalencia, de orden o ninguna de las dos:
a. R si “ . b. R si “ ”.
c. R si “ ”.
d. R si “ ”.
e. R si “ – .
11. Dada la relación R2 definida sobre el conjunto = { }, representada en la
siguiente matriz:
a. Defina su relación inversa.
b. Diga si es una relación de equivalencia, de orden o ninguna de las dos cosas.
12. Sea la relación R sobre X, conjunto potencia de un conjunto dado, definida
como ( ) Є R si . ¿Es una relación de equivalencia, de orden ó ninguna
de las dos? Justifique su respuesta.
13. Sea el conjunto de todas las cadenas binarias de 4 bits, por ejemplo 0110, 0101,
etc. Defina sobre una relación de manera tal que R si = siendo y
R2
1 0 0 0
0 1 1 0
0 1 1 0
0 0 0 1
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subcadenas de longitud 2. Por ejemplo: 0111 R 1010 pues la subcadena 01 está
en ambas cadenas. 1110 0001 porque no comparten ninguna subcadena de
longitud 2. ¿Es una relación de equivalencia, de orden o ninguna de las dos?
Justifique se respuesta.
14. Halle todas las particiones del conjunto }.
15. Dado el conjunto , o sea, el conjunto de pares ordenados ( ) de números
naturales y las relaciones R1 y R2 sobre definidas por:
a. ( ) R1 ( ) si y sólo si = .
b. ( ) R2 ( ) si y sólo si = .
Pruebe que es una relación de equivalencia.
16. Dado el conjunto = {1, 2, 3, 4, 5} y las relaciones que se indican a continuación.
Defina su conjunto de definición y de imágenes. Diga si son o no relaciones de
17. Enumere los miembros de la relación de equivalencia sobre el conjunto , definida
mediante las particiones dadas.
= {1, 2, 3, 4}
Determine las clases de equivalencia [1], [2], [3] y [4].
a. {{1, 2}, {3, 4}}
b. {{1}, {2}, {3}, {4}}
c. {{1, 2, 3, 4}}
d. {{1}, {2}, {3, 4}}
e. {{1, 2, 3}, {4}}
f. {{1}, {2, 3}, {4}}
18. De un ejemplo de una relación de equivalencia sobre el conjunto {1, 2, 3, 4, 5, 6}
con 4 clases de equivalencia y enumere los pares de la relación.
19. ¿Cuántas relaciones de equivalencia existen sobre el conjunto {1, 2, 3}?
20. Dado el conjunto = {1, 2, 3, 4, 5} y una relación R definida sobre con el
enunciado formal “ ”, o sea, “el único divisor común
entre e es el 1”
a. Defina el conjunto solución de R.
b. Encuentre las clases de equivalencia de la relación R. c. Diga si la relación R es de equivalencia o no. Justifique su respuesta.
ℛ
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21. Dado el conjunto , o sea, el conjunto de pares ordenados (a, b) de números
naturales y una relación R, definida sobre él, de manera que (a, b) R (c, d) si y solo
si ad = bc.
a. Diga si R es reflexiva y/o simétrica. Muestre al menos 3 ejemplos además de su
argumentación para cada propiedad.
22. Dado el conjunto ℝ ℝ, o sea, el conjunto de pares ordenados (a, b) de números
naturales y las relaciones R1 y R2, definidas sobre él, de manera que:
R1 = { ℝ }
R2 = { ℝ }
a. Represéntelas en un plano cartesiano.
b. Calcule y señale gráficamente
y \
23. Determine los conjuntos dominio de definición y de imágenes para cada una de las
relaciones definidas a continuación sobre el conjunto ℝ ℝ y diga si son o no una
relación de equivalencia, de orden o ninguna de las dos:
a. R si “ . b. R si “
⁄ ”.
c. R si “ ”.
d. R si “ ”
24. Dados los conjuntos:
} , }, } y las relaciones ,
definidas por su conjunto solución:
}
}
}
}
Defina para cada una de ellas:
a. Rango.
b. Conjunto Imagen.
c. Dominio de la relación.
d. Relación inversa
25. ¿Qué clase de relación es ℛ si: a. ℛ ℛ
b. ℛ ℛ
26. Dadas las relaciones definidas en el ejercicio 18, diga si alguna de ellas es de
equivalencia, de orden o ninguna de las dos.
27. Sea el conjunto }, encontrar el conjunto solución de las
relaciones:
, tal que vocal, consonante.
, tal que vocal, vocal.
, tal que consonante, consonante.
, tal que consonante, vocal.
a. Encuentre el conjunto solución de las relaciones .
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b. Analice si esos conjuntos forman un cubrimiento y/o partición del conjunto
.
c. Diga si alguna de ellas es una relación de orden, equivalencia o ninguna.
28. Considere las siguientes relaciones sobre el conjunto de números reales:
ℛ1 ℝ }
ℛ2={ ℝ ⁄ }
a. pr s nt r r ci n ℛ1 ℛ2 en un diagrama de coordenadas de ℝ ℝ b. Encontrar el dominio de la relación ℛ1 ℛ2. c. Encontrar el dominio de imágenes de ℛ1 ℛ2.
29. Considérense los siguientes conjuntos de pares de números reales, o sea relaciones
sobre ℝ.
} { ⁄ }
} { ⁄ }
} { ⁄ }
} { ⁄ }
a. Representar cada relación en un diagrama de coordenadas de ℝ ℝ b. Encontrar el dominio de cada relación.
c. Encontrar el dominio de imágenes de cada relación.
30. Dada una familia de conjuntos 𝒜 y s ℛ un r ación definida por
“ ”. Decir si R es o no una relación:
a. Reflexiva.
b. Simétrica.
c. Antisimétrica.
d. Transitiva
31. Sean los conjuntos [ ] [ ] [ ], y sea el enunciado formal
. Considere las siguientes relaciones:
R1 R2 R3 R4 a. Represente gráficamente las relaciones.
b. Calcule:
i. ℛ1 ℛ2
ii. ℛ3 ℛ2
iii. ℛ1 ℛ4
iv. ℛ4 ℛ2
v. ℛ3 ℛ4
32. Sean los conjuntos [ ] [ , ] y sea el
enunciado formal . Considere la relación:
R1 Si pueden ser conjuntos cualesquiera de los cuatro anteriores, represente
gráficamente las 16 relaciones en el plano cartesiano.