1. Función trascendente. 1.1Función logaritmo natural. Definición de la función logaritmo natural. La función logaritmo natural se define como 1 1 ln , 0 x x dt x t . El dominio de la función logaritmo natural es el conjunto todos los reales positivos. Gráfica de la función logarítmica. Teorema 1. Propiedades de la función logaritmo natural. La función logaritmo natural tiene las siguientes propiedades: 1. El dominio es (0,∞) y el rango es (-∞,∞). 2. La función es continua, creciente e inyectiva. 3. La gráfica es cóncava hacia abajo. Teorema 2. Propiedades de los logaritmos. Si a y b son números positivos y n es racional, se satisfacen las siguientes propiedades. 1. ln1=0 2. ln (ab)= ln a + ln b
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1. Función trascendente.
1.1Función logaritmo natural.
Definición de la función logaritmo natural.
La función logaritmo natural se define como
1
1ln , 0x
x dt xt
.
El dominio de la función logaritmo natural es el conjunto todos los
reales positivos.
Gráfica de la función logarítmica.
Teorema 1. Propiedades de la función logaritmo natural.
La función logaritmo natural tiene las siguientes propiedades:
1. El dominio es (0,∞) y el rango es (-∞,∞).
2. La función es continua, creciente e inyectiva.
3. La gráfica es cóncava hacia abajo.
Teorema 2. Propiedades de los logaritmos.
Si a y b son números positivos y n es racional, se satisfacen las
siguientes propiedades.
1. ln1=0
2. ln (ab)= ln a + ln b
3. ln an=n ln a
4. ln (a/b)= ln a – ln b.
El número e.
Definición de e.
La letra e denota el número real positivo tal que
1ln 1
e dtet
La derivada de la función logaritmo natural.
Teorema 3. Derivada de la función logaritmo natural.
Sea u una función derivable en x
11. (ln ) , 0d x xdx x
1 '2. ( ) , 0d du ulu u
dx u dx u
Demostración de la expresión 1.
1 F (x )= ln x =
x d tS e at
Aplicando el segundo teorema fundamental del cálculo:
1
ln 1'( ) ( )xd x d d tF x f x
d x d x t x
Q.E.D.
Ejemplos: Derivación de funciones logarítmicas.
2) ( ) lna f x x x
Aplicando propiedades logarítmicas, reescribimos antes de derivar:
212( ) ln( )f x x x
Derivando la nueva expresión, tenemos que:
2
1 2 12
d y xd x x x
b.
2 2
3
( 1)( ) ln2 1
x xf xx
Primero aplicamos las propiedades de los logaritmos y luego
derivamos:
2 312( ) ln 2 ln( 1) ln( 1)f x x x x
Derivando la nueva expresión: 2 2
2 3 2 3
1 2 1 6 1 4 3'( ) 21 2 2 1 1 2 1
x x x xf xx x x x x x
1.2 Derivación logarítmica.
Se llama derivación logarítmica al proceso de utilizar los logaritmos
como ayuda en la derivación de funciones no logarítmicas.
Ejemplo.
Hallar la derivada de 2
2
3 2 , 1( 1)
x xy xx
~(1)
Aplicando logaritmo en ambos lados:
2
2
3 2ln ln( 1)
x xyx
~(2)
Aplicando las propiedades logarítmicas en (2):
12ln 2ln ln(3 2) 2ln( 1)y x x x ~(3)
Derivando la expresión (3):
1 2 1 3 22 3 2 1
dyy dx x x x
Despejando a dydx
:
2 3 26 4 1
dy ydx x x x
~(4)
Sustituyendo a y por su valor en (4): 2
2
3 2 2 3 2( 1) 6 4 1
dy x xdx x x x x
Teorema 4. Derivadas con valores absolutos.
Si u es una función derivable de x tal que u≠0, entonces
'lnd uudx u
Demostración:
Si u>0, entonces u u , y el resultado se obtiene aplicando el teorema
3. Si u<0, entonces u u , y se tiene
' 'ln ln( )d d u uu udx dx u u
Q.E.D
Ejemplo: Hallar la derivada de
coslncos 1
xyx
Aplicando propiedades logarítmicas:
cosln ln cos ln cos 1cos 1
xy x xx
Según el teorema 4, tomamos cosu x y cos 1z x y escribimos:
ln lny u u , derivando la nueva expresión:
' 'dy u zdx u z
, entonces
cos cos 1dy senx senxdx x x
Simplificando tenemos:
tancos 1
dy senxxdx x
1. 3 La función logaritmo natural y la integración.
Teorema 5. Regla logarítmica para integración.
Sea u una función derivable de x.
1. lndxx x c 2. lndu
u u c
Ejemplo. Uso de la regla logarítmica para integración.
212
2
11
1 2
xx udx du
u x du xdx
Despejando a du, tenemos que:
2d u x d x , aplicando la regla logarítmica para la integración:
21 1 12 2 2
1 ln ln 1u du u c x c
Utilizando las propiedades de los logaritmos:
22 21 1
2 211 ln 1 ln 1x
x udx du x c x c
Ejemplo: Dividir antes de integrar.
3 2
3 2 2
- 3 5 - 3- 3
5
x x xx x x
entonces, 2 53
xx
Ahora iniciamos el proceso de integración:
32 233
5 5 ln( 3)3
xdxxx dx x dx x c
x
Ejemplo: Cambio de variable con la regla logarítmica.
3( 2)
( 1)x x
xdx
Haciendo u=x-1, entonces du=dx y x=u+1.
2
33 3 331( 2) ( 1)( 1) ( 1) 1
( 1)( ) du
uux x u u u
ux u udx du du du u du
22
12 2
l n l nuuu c u c
Estrategia para la integración.
1. Memorizar una lista de fórmulas básicas de integración.
2. Buscar una fórmula de integración que se parezca total o
parcialmente al integrando, y por prueba y error elegir una u que
se ajuste el integrando a la fórmula.
3. Si no se puede hallar una sustitución u adecuada, intentar
transformar el integrando. Mediante identidades trigonométricas,
multiplicación y división por la misma cantidad, o suma y resta
de una misma cantidad. Se requiere ingenio.
4. Si se tiene acceso a un software de computadora que resuelva
integrales, es conveniente usarlo.
Integrales de funciones trigonométricas.
Integrales de las seis funciones trigonométricas básicas
cos
tan ln cos
sec ln sec tan
senudu u C
udu u C
udu u u C
cos s
cot ln s
csc ln csc cot
udu enu C
udu enu C
udu u u C
Ejemplo: Usando una identidad trigonométrica
Hallar ∫tanxdx
Utilizando la identidad de la tanx, tenemos que:
costan senxxxdx dx
Tomenos u=cosx y luego derivemos la expresión:
u’=-senx, sustituyendo tenemos:
lndu duu u u C
Sustituyendo a u por su equivalente tenemos que:
tan ln ln cosxdx u C x C
Ejemplo: Hallar 2(tan 1 )x d x
Recordando que 2 2tan 1 secx x , para escribir el integral original
en función de su identidad equivalente:
2 2(tan 1) sec secx dx xdx xdx
Aplicando la tercera fórmula de integrales de las seis funciones
trigonométricas básicas:
sec ln sec tanxdx x x c
Ejemplo: 1c o x
s e n x d x
Hagamos u=senx +1, luego derivemos y después se sustituye al
numerador y al denominador por su equivalente, una vez realizados
estos pasos integramos la nueva expresión:
1 cos
ln ln 1duu
u senx du x
u c senx c
1. 4 Funciones inversas.
Definición de función inversa: Una función g es la función inversa de la
función si f(g(x))=x para todo x en el dominio de g, y g(f(x))=x para
todo x en el dominio de f.
La función g se denota por f-1(se lee como “inversa de f”).
Algunas observaciones relevantes acerca de las funciones inversas.
1. Si g es la función inversa de f, entonces f es la función inversa
de g.
2. El dominio de f-1 es el rango de f y el rango de f-1 es el dominio
de f.
3. Una función puede no tener función inversa, pero si la tiene es
única.
Teorema 6. Propiedad de reflexión de las funciones inversas.
La gráfica de f contiene el punto (a,b) si sólo si la gráfica f-1 de
contiene el punto (b,a).
Demos: Si (a,b) está en la gráfica de f, entonces es f(a)=b y se puede
escribir f-1(b)=f-1(f(a))=a.
Así que (b,a) está en la gráfica de f-1, entonces f(b)=a y se puede
escribir f(a)=f(f-1(b))=b.
Existencia de una función inversa.
Teorema 7. Existencia de la función inversa.
1. Una función tiene función inversa si y sólo si es inyectiva.
2. Si f es estrictamente monótona en todo su dominio, entonces
ésta es inyectiva por lo tanto tiene inversa.
Demos: f es inyectiva si para x1 y x2 en su dominio
1 2 1 2
1 2 1 2
1 2
1 2
( ) ( )( ) ( )
( ) ( )( ) ( )
f x f x x xx x f x f xf x f xf x f x
1 2 1 2( ) ( )f x f x x x
La contrapositiva de esta implicación es lógicamente equivalente y se
estable que
1 2 1 2( ) ( )x x f x f x
Si escogemos x1 y x2 a en el dominio de f. Si 1 2x x , entonces es
estrictamente monótona, se deduce que
1 2( ) ( )f x f x o 1 2( ) ( )f x f x
En cualquier caso, 1 2( ) ( )f x f x . Por tanto, f es inyectiva en el
intervalo.
Gráfica de la función inversa.
Procedimiento para encontrar la función inversa de una función.
1. Determinar mediante el teorema 7 si la función dada y=f(x)
admite inversa.
2. Despejar a x como función de y: x=g(y)= f-1 (y).
3. Intercambiar x y y la ecuación resultante es y= f-1 (x).
4. Definir como dominio de f-1 el recorrido de f.
5. Verificar que f(f-1(x))=x y f-1(f(x))=x.
Ejemplo. Calcular la inversa de.
2 1, 0y x x
1. Aplicando el teorema 7 verificamos si la función admite inversa:
1 22 2
1 2 1 2
1 2 1 2
1 2 1 2
0( ) (0) 1 1 ( ) (0) 1 1 ( ) ( )
0, 1 , ( ) 1 ( ) 2( ) ( )
Sean x xf x y f x f x f xx x evaluemos a f f x y f xx x f x f x
1 2 1 2( ) ( )x x f x f x
La función es inyectiva y es monótona creciente.
2. Despejar a x en término de y: 2 1y x
2
2
11
1
y xy x
x y
3. Intercambie a x y y: 1y x .
4. El dominio de f-1 es el codominio de f y codominio de la función
inversa es el dominio de f.
5. La inversa de la función 2( ) 1f x x es la función 1( ) 1f x x
Para comprobarlo, hay que revisar si las dos funciones compuestas
producen la función identidad: 1 2
1 2 2
( ( )) ( 1) 1 1 1
( ( )) 1 1
f f x x x x
f f x x x x
Derivada de la función inversa.
Teorema 8. Continuidad y derivabilidad de las funciones
inversas.
Sea f una función cuyo dominio es un intervalo I. Si f tiene una función
inversa, entonces las siguientes proposiciones son verdaderas.
1. Si f es continua en su dominio, entonces f-1 es continua en su
dominio.
2. Si f es creciente en su dominio, entonces f-1 es creciente en su
dominio.
3. Si f es decreciente en su dominio, f-1 es decreciente en su
dominio.
4. Si f es derivable en c y f’(c)≠0, entonces f-1 es derivable en f(c).
Teorema 9. Derivada de una función inversa.
Sea f una función derivable en un intervalo I. Si f tiene una función
inversa g, entonces g es derivable para todo x tal que f’(g(x))≠0.
Además,
1'( ) , '( ( )) 0.'( ( ))
g x f g xf g x
Demostración:
1
( ( )) ~ (1)Derivando (1):
( )1 '( ( ) ~ (2)
Despejando de (2), tenemos :( ) 1( ) '
'( ( ))
x f g x
dg xf g xdx
dg x fdx f g x
Ejemplo: Calcular la derivada de una función inversa. 3 2
2
2
2
7 2,( 4,1)
3 14 ,evaluando en ( 4,1) :
3(1) 14(1) 11
1como , tenemos que:
1 ,evaluando la derivada de la inversa en ( 4,1)3 14
111
x y ydx y ydydxdy
dydxdx dy
dydx y ydydx
Ejemplo: Encontrar (f-1)’(a) para la función f y el número real a dado.
3
-1 -1
-1
-1
3
3 3
2
( ) 2 1, 2 ( ) ( ) ( ( )), :( ) ( ) , :
1( ) '( )'( )
( ) 2 -1 2, :2 -1- 2 0, 2 - 3 0
:( -1)(
f x x x aComo f b a y f a f f b entoncesa f b y f a b tenemos que
f af b
f b x x de ahíx x x xAhora calculamos los ceros del polinomiox x x
2 2
1
3) 01, 1
'( ) 3 2, '(1) 3(1) 2 51 1( ) '(2)'(1) 5
x entonces bf x x f
ff
1.5 La función exponencial natural.
Definición. La función inversa de la función logaritmo natural f(x)=lnx
se llama función exponencial natural y se denota por 1( ) .
, ln .
x
x
f x eEsto es y e si y sólo si x y
La relación inversa entre las funciones logaritmo natural y exponencial
natural se puede resumir como sigue: lnln( ) x xe x y e x
Gráfica de la función exponencial.
Teorema 10. Operaciones con funciones exponenciales.
Sean a y b dos números reales arbitrarios. ( )
( )
1 .
2 .
a b a b
aa b
b
e e ee ee
Propiedades de la función exponencial natural.
1. El dominio de ( ) xf x e es (-∞,∞), y su rango es (0,∞).
2. La función ( ) xf x e es continua, creciente e inyectiva en todo su
dominio.
3. La gráfica de ( ) xf x e es cóncava hacia arriba en todo su
dominio.
4. lim limx x
x xe o y e
Derivadas de las funciones exponenciales.
Teorema 11. Derivada de la función exponencial natural.
Si u es una función derivable de x.
( )1.
2. ( )
xx
u u
d e edx
d due edx dx
Demostración de la expresión (2):
~ (1)A p licando logaritm o en (1 ):ln ln ~ (2)A p licando las p ro p iedades de los logaritm os:ln ln ~ (3)
~ (3)' ~ 4
D espejando a y en (4 ) :
~ (5)
S ustituyendo a y en (5 ):
;
u
u
u
y e
y e
y u e uD erivandoy duy dx
dy duydx dx
dy duedx dx
. .Q E D
Ejemplo: Hallar la derivada de la función exponencial dada.
2
2 2 2cos 2 (cos 2 )
x
x x x
y e senxdy e x e senx e x senxdx
Otro ejemplo: 2
2
2
( cos )
2 ( cos ) 2 ( cos )
( cos )
ln( tan )
2 cos (1 ) sec ( )tan
senx x x
senx x x x x
senx x x
y e e
dy xe x senx e edx e e
Integrales de funciones exponenciales.
Teorema 12. Reglas de integración para funciones
exponenciales.
Si u es una función derivable de x.
1. 2. x x u ue dx e c e du e c
Ejemplo: Hallar la integral de
cos ~ (1)
~ (2) :
cos ~ (3) (3) :
cos ~ (4) :
(2) (4) (1) :1 1 1
1cos
sen x
u u sen x
sen x sen x
e xdx
Haciendo u sen xDerivando udu xdxDespejando dedu xdx
Sustituyendo y en
e du e c e c
e xdx e c
1.6 Las funciones exponencial y logarítmica en base a.
Definición de una función exponencial base a:
Si a es un número real positivo (a≠1) y x es cualquier número real,
entonces la función exponencial de base a se denota por ax y se
define como y=e(lna)x.
Si a=1, entonces y=1x=1 es una función constante.
Algunas propiedades: 0 ( )
( )
1. 1 2.
3. 4. ( )
x y x y
xx y x y xy
y
a a a aa a a aa
Definición de la función logarítmica de base a:
Si a es un número real positivo (a≠1) y x es cualquier número real
positivo, entonces la función logarítmica de base a se denota loga x y
se define como 1log ln
lna x xa
Propiedades de la función logarítmica de base a:
a
a a a
1. log 1 0 2. log log log
3. log log 4. log log log
a a a
na a
xy x yxx n x x yy
Nota: De las definiciones de funciones exponenciales y logarítmicas
base a, se sigue que ( ) y ( ) logxaf x a g x x son funciones inversas una
de otra.
Propiedades como funciones inversas.
log
1. log
2. , 03. log ,
x
xa
a
xa
y a si y solo si x y
a x para xa x para todo x
Derivación e integración.
Teorema 13. Derivadas para otras bases distintas de e.
Sea a un número real positivo (a≠1) y u una función derivable de x.
1. ( ) ln 2. ( ) ln
1 13. (log ) 4. (log )(ln ) (ln )
x x u u
a a
d d dua a a a a adx dx dxd d dux udx a x dx a u dx
Demostración de la expresión (2): (ln )
(ln )
(ln ) (ln ) ( )ln
por definición ~ (1)
Derivando la expresión:
= (ln ) (ln ) (ln ) ~ (2)
Como la función exponencial es inversa de la logarítmica tenemos:
(l
u
u u a u
a u
a u a u
u
a
y a a ey e
dy d du due a u e a e adx dx dx dx
dy adx
n ) ; . .dua Q E Ddx
Demostración de la expresión (4):
log ~ (1) :
ln ~ (2)ln
(2) :1 ; . .
(ln )
aSea y uHaciendo cambio de base tenemos
uya
Derivando ady du Q E Ddx a u dx
Ejemplos: Derivadas de una funciones de base distinta de e. tan