Tema Aproksimasi dalam Kalkulus Tahun Pertama...Sudut Pandang Aproksimasi Sudut pandang aproksimasi: •menyatukan pembelajaran Kalkulus, •memberikan tema •menjadi motivasi Mengapa

Tema Aproksimasi dalamKalkulus Tahun Pertama

Workshop Pengajaran Analisis

SNAMA 2019 Universitas Pelita Harapan

Yudi Soeharyadi

FMIPA Institut Teknologi Bandung

Outline

• Daftar Isi Kalkulus Standar: Kalkulus I, Kalkulus II

• Konsep-konsep aproksimasi dalam kalkulus

• Aproksimasi orde satu: derivatif

• Aproksimasi orde dua: maks-min dua variable

• Penutup

Materi Kalkulus I dan II

• Basic skills: ketaksamaan, nilaimutlak, fungsi, geometri

• Limit

• Turunan

• Aplikasi turunan

• Antiturunan dan integral

• Aplikasi integral

• Teknik integrasi

• Bentuk tak tentu

• Barisan dan deret

• Kalkulus fungsi bernilai vektor

• Limit dan turunan fungsi duavariabel

• Integral lipat dan aplikasi

• Persamaan diferensial

Materi Kalkulus I dan II

• Basic skills: ketaksamaan, nilaimutlak, fungsi, geometri

• Limit

• Turunan

• Aplikasi turunan

• Antiturunan dan integral

• Aplikasi integral

• Teknik integrasi

• Bentuk tak tentu

• Barisan dan deret

• Kalkulus fungsi bernilai vektor

• Limit dan turunan fungsi duavariabel

• Integral lipat dan aplikasi

• Persamaan diferensial

Sudut Pandang Sistem (dinamik)

Paling sederhana: SISO

Kuantitas 𝑥, 𝑦 berasal dari pengukuran (fisis), karenanya memuat galat(error): 𝑥 − 𝑥0 , |𝑦 − 𝑦0| (𝑥0, 𝑦0 pengukuran ideal)

Apa hubungan di antara keduanya?

Lebih umum untuk sistem MIMO

Input 𝑥 Output 𝑦Proses 𝑓

𝑦 = 𝑓(𝑥)

Sudut Pandang Aproksimasi

Sudut pandang aproksimasi:

• menyatukan pembelajaran Kalkulus,

• memberikan tema

• menjadi motivasi

Mengapa penting?

• Sense of purpose

• Materi terintegrasi

Derivatif sebagaiaproksimasi linear

Defining differentiability

Redefinisi diferensiabilitas

Definisi turunan fungsi satu variable tidak bisa direplikasi untuk fungsidengan dua (atau lebih) variabel:

𝑓 𝑥0 + ℎ − 𝑓(𝑥0)

ℎtidak terdefinisi jika ℎ vektor (pembagian dengan vektor).

Tujuan: Redefinisikan diferensiabilitas, hindari pembagian

Redefinisi diferensiabilitasMisalkan 𝑓: 𝐷 ⊆ ℝ → ℝ, dan 𝑓 diferensiabel di 𝑥0 ∈ 𝐷,

𝑓′ 𝑥0 = limℎ→0𝑓 𝑥0+ℎ −𝑓(𝑥0)

ℎ.

“Hilangkan” limit, lakukan untuk ℎ kecil:

𝑓′(𝑥0) ≈𝑓 𝑥0+ℎ −𝑓(𝑥0)

ℎ.

Susun ulang tanpa pembagian𝑓 𝑥0 + ℎ ≈ 𝑓 𝑥0 + 𝑓′ 𝑥0 ℎ

aproksimasi nilai 𝑓 𝑥0 + ℎ oleh nilai pada garis singgung di titik 𝑥0, 𝑓 𝑥0 .

Apakah ini aproksimasi yang baik?

𝑦 = sin 𝑥

Redefinisi diferensiabilitas

Kembalikan tanda “=“, kuantifikasi galat (error-𝑦):

𝑓 𝑥0 + ℎ = 𝑓 𝑥0 + 𝑓′ 𝑥0 ℎ + galat-𝑦.

Kita katakan aproksimasi ini baik jika galat-𝒚 jauh lebih kecildibandingkan galat-𝒙 (yaitu ℎ), untuk nilai ℎ yang kecil:

limℎ→0

𝑔𝑎𝑙𝑎𝑡𝑦

ℎ= 0

Redefinisi Diferensiabilitas

Redefinisi

Fungsi 𝑓 diferensiabel di 𝑥0 jika nilai 𝑓 di sekitar 𝑥0 dapatdiaproksimasi dengan baik oleh fungsi linear (garis) yang melalui𝑥0, 𝑓 𝑥0 , yaitu:

Terdapat konstan 𝑎 ∈ ℝ sehingga untuk setiap ℎ kecil

𝑓 𝑥0 + ℎ = 𝑓 𝑥0 + 𝑎ℎ +galat-𝑦

dengan limℎ→0 𝑔𝑎𝑙𝑎𝑡𝑦ℎ = 0.

Redefinisi diferensiabilitas

Diketahui 𝑓 𝑥 = 𝑥 tidak diferensiabel di 𝑥0 = 0.

𝑦 = 𝑚𝑥

ℎ

galat-𝑦

galat-𝑦 = 1 − 𝑚 ℎ

Jadi limℎ→0 𝑔𝑎𝑙𝑎𝑡ℎ = 1 − 𝑚 ≠ 0,

Artinya 𝑓 tidak diferensiabel di 𝑥0

Catatan: Untuk kasus 𝑚 = 1, galat di ℎ negatif akan besar, sebaliknya untuk 𝑚 = −1, galat untuk ℎ positifakan besar

Redefinisi diferensiabilitas

Latihan

Melalui definisi diferensiabilitas ini:

1. Tunjukkan 𝑓 𝑥 = 𝑥 2 3 tidak diferensiabel di 𝑥0 = 0.

2. Tunjukkan 𝑔 𝑥 = 𝑥2 diferensiabel di 𝑥0 = 1.

Bagaimana meniru definisi ini untuk variabel lebih banyak?

Misalkan 𝑓: 𝐷 ⊆ ℝ2 → ℝ, 𝑥0, ℎ ∈ ℝ2. Notasi

𝑓 𝑥0 + ℎ = 𝑓 𝑥0 + 𝐴ℎ +galat-𝑦

“make sense” jika 𝐴 matriks 1 × 2, yaitu 𝑓 𝑥0 + 𝐴ℎ adalahpermukaan bidang yang memuat titik (𝑥0, 𝑓 𝑥0 ).

Definisi: Fungsi 𝑓: 𝐷 ⊆ ℝ𝑛 → ℝ𝑘 diferensiabel di 𝑥0 ∈ ℝ𝑛 jika terdapatmatriks 𝐴𝑘×𝑛 sehingga

𝑓 𝑥0 + ℎ = 𝑓 𝑥0 + 𝐴ℎ +galat-𝑦

dengan lim| ℎ |→0𝑔𝑎𝑙𝑎𝑡𝑦

| ℎ |= 0. (aproksimasi yang baik)

Catatan

Definisi diferensiabilitas bisa disederhanakan melalui notasi “little oh”𝜓 ℎ = 𝑜 ℎ

Artinya untuk setiap 𝜖 > 0, terdapat 𝛿 > 0, sehingga 𝜓(ℎ) ≤ 𝜖 ℎ ,untuk setiap ℎ < 𝛿. Dengan kata lain

lim ℎ →0𝜓(ℎ)

ℎ= 0.

Jadi diferensiabilitas dapat dinyatakan sebagai eksistensi pemetaanlinear 𝑨 sehingga

𝑓 𝑥0 + ℎ = 𝑓 𝑥0 + 𝐴ℎ + 𝑜( ℎ )

Catatan: Matriks 𝐴 biasa disebut Jacobian

Redefinisi diferensiabilitas

• Bagaimana kalau kita “memaksa”, definisi diferensiabel melalui limit

• Kompromi: Jika ℎ bilangan real, jadi haruslah dalam “arah” 𝑥, atau 𝑦 saja𝑓 𝑥+ℎ,𝑦 −𝑓(𝑥,𝑦)

ℎ,

𝑓 𝑥,𝑦+ℎ −𝑓(𝑥,𝑦)

ℎinilah TURUNAN PARSIAL

• Jadi turunan punya arah. Arah selain 𝑥, 𝑦? TURUNAN BERARAH• Masing-masing dengan signifikansi geometrisnya, yaitu kemiringan garis

singgung kurva pada permukaan dalam arah tertentu• Turunan dalam bentuk vektor? (VEKTOR) GRADIEN

𝑓 𝑥 + ℎ − 𝑓( 𝑥)

ℎ

Aproksimasi Orde Dua

Maxima-minima and 2nd order approximations

• Asumsikan peserta kuliah sudah mengenal geometri dari permukaan𝑧 = 𝐴𝑥2 + 𝐶𝑦2

untuk koefisien 𝐴, 𝐶 bertanda sama, atau pun berbeda. (paraboloida, hiperboloida/pelana)

• Wolfram Alpha (atau system computer algebra apa pun) dapat digunakanuntuk bereksperimen dengan bentuk-bentuk di atas.

Maxima-minima and 2nd order approximations

𝑧 = 𝐴𝑥2 + 𝐶𝑦2, dengan 𝐴𝐶 > 0 𝑧 = 𝐴𝑥2 + 𝐵𝐶, dengan 𝐴𝐶 < 0 𝑧 = 𝐴𝑥2 dengan 𝐴 > 0

Maxima-minima and 2nd order approximations

Pertanyaan: Bagaimana bentuk permukaan (polinom) orde 2 umum

𝑧 = 𝐴𝑥2 + 2𝐵𝑥𝑦 + 𝐶𝑦2 + 𝐷𝑥 + 𝐸𝑦 + 𝐹

Apakah dapat diketahui dari nilai-nilai koefisien?

Eksplorasi plot dengan Wolfram Alpha

Maxima-minima and 2nd order approximations

Pengaruh setiap suku pada ekspresi 𝑧:

• 𝐹 translasi-𝑧 (tegak)

• 𝐷 kombinasi translasi-𝑥 dan translasi-𝑧

• 𝐸 kombinasi translasi-𝑦 dan translasi-𝑧

• 𝐵 rotasi sumbu-𝑥 atau sumbu-𝑦 (bid 𝑥𝑦)

Dengan mengetahui pengaruh setiap suku maka bentuk dasar dapatdikembalikan ke bentuk

𝑧 = 𝐴𝑥2 + 𝐶𝑦2

Translasi, atau pun rotasi tidakmengubah bentuk

Maxima-minima and 2nd order approximations

Manipulasi aritmetik𝑧 = 𝐴𝑥2 + 2𝐵𝑥𝑦 + 𝐶𝑦2

= 𝐴 𝑥2 + 2𝐵𝐴𝑥𝑦 + 𝐶

𝐴𝑦2

= 𝐴 𝑥 + 𝐵𝐴𝑦

2+

𝐴𝐶 − 𝐵2

𝐴2𝑦2

= 𝐴( 𝑥2 +𝐴𝐶 − 𝐵2

𝐴2𝑦2)

Jadi bentuk (dalam system koordinat 𝑥𝑦𝑧) tergantung pada tanda 𝐴𝐶 − 𝐵2;𝐴 menentukan orientasiRUMUS DISKRIMINAN

Maxima-minima and 2nd order approximations

1. Bentuk paraboloida: verteks adalah maks atau min (lokal)

2. Bentuk pelana: titik pelana bukanlah maks atau pun min (lokal)

3. Bentuk satunya: ketidaktunggalan maks/min

Idea dasar:

Hampiri permukaan (mulus) di titik stasioner dengan permukaan ordedua. Bentuk permukaan orde dua hampiran (kasus 1 dan 2) menentukan maks-min

Sedikit “Simsalabim”

Uraian Taylor orde dua fungsi dua variabel.

Misalkan 𝑓 diferensiabel dua kali, polinom Taylor orde 2 dari 𝑓 di sekitar 𝑎, 𝑏 adalah

𝑃𝑓 𝑥, 𝑦 = 𝑓 𝑎, 𝑏 + 𝛻𝑓 𝑎, 𝑏 ⋅ 𝑥 − 𝑎, 𝑦 − 𝑏 𝑇 +1

2𝑓𝑥𝑥 𝑎, 𝑏 𝑥 − 𝑎 2 + 2𝑓𝑥𝑦 𝑎, 𝑏 𝑥 − 𝑎, 𝑦 − 𝑏 + 𝑓𝑦𝑦 𝑎, 𝑏 𝑦 − 𝑏 2

Asumsikan (𝑎, 𝑏) titik stasioner dan 𝑓 𝑎, 𝑏 = 0, maka suku merah di atas hilang, dan kita dapat permukaan Taylor orde 2 dengan

𝐴 = 𝑓𝑥𝑥 𝑎, 𝑏 , 𝐵 = 𝑓𝑥𝑦 𝑎, 𝑏 , 𝐶 = 𝑓𝑦𝑦(𝑎, 𝑏)

Maxima-minima and 2nd order approximations

Dengan sedikit analisis (bahwa maks-min hampiran Taylor adalah jugamaks-min 𝑓) didapat rumus diskriminan

1. Jika 𝑓𝑥𝑥𝑓𝑦𝑦 − 𝑓𝑥𝑦2 |(𝑎,𝑏) > 0 dan 𝐴 > (<)0 maka 𝑓 𝑎, 𝑏 min

(maks) lokal

2. Jika 𝑓𝑥𝑥𝑓𝑦𝑦 − 𝑓𝑥𝑦2 |(𝑎,𝑏) < 0 maka 𝑓(𝑎, 𝑏) bukan min atau pun

maks

3. Jika 𝑓𝑥𝑥𝑓𝑦𝑦 − 𝑓𝑥𝑦2 |(𝑎,𝑏) = 0 maka tidak ada kesimpulan dari uji ini

Maxima-minima and 2nd order approximations

Perhatikan bahwa paraboloida, hiperboloida orde tinggi

𝑧 = 𝑥4 + 𝑦4, 𝑧 = −(𝑥4 + 𝑦4), 𝑧 = 𝑥4 − 𝑦4

ketiganya memiliki hampiran Taylor orde 2 yang sama yaitu 0 (jadi diskriminan 0), namun memiliki karakteristik maks-min di 0,0 yang sangat berbeda.

Penutup

• Dari sudut pandang aproksimasi, materi Kalkulus tampak kompak: beberapa konsep dasar, variasi, dan (banyak) latihan soal

• Penting untuk memberikan konteks yang relevan terhadap materi(khususnya yang sulit)

• Penggunaan teknologi, eksplorasi dengan menggunakan Apps, Computer Algebra

Rujukan

P. Bamberg and S. Sternberg, A Course in Mathematics for Students of Physics, Vol. I and Vol. II, Cambridge, 1991.

Pesan Sponsor

Channel KaKaAGe on YouTube

Seri Sketsa Kalkulus

Saat ini sudah ada 20 episode Math I,

akan bertambah semester ini terutama untuk

Math II

KaKaAGe: Kelompok Keahlian Analisis & Geometri

Terima kasih(atas kesabaran dan kebingungan Anda)