TEMA A Unita `1 Numeri naturali e numeri interi Unita `2 Numeri razionali e introduzione ai numeri reali PREREQUISITI 3 Le quattro operazioni COMPETENZE 3 Padroneggiare le tecniche e le procedure di calcolo nei vari insiemi numerici e saperle applicare in contesti reali CONOSCENZE 3 Descrivere quali sono i numeri naturali, interi, razionali, reali 3 Definire che cosa sono i multipli e i divisori di un numero 3 Esprimere quali sono le operazioni definite negli insiemi N, Z, Q e quali sono le loro proprieta ` 3 Definire un numero irrazionale 3 Definire le potenze ed elencare le loro principali proprieta ` ABILITA ` 3 Rappresentare numeri interi e razionali sulla retta 3 Stabilire se un numero naturale e ` multiplo o divisore rispetto a un altro numero 3 Confrontare numeri naturali, interi e razionali 3 Trasformare frazioni in numeri decimali o percentuali e viceversa 3 Eseguire le quattro operazioni in Q e semplificare espressioni numeriche 3 Calcolare potenze e applicarne le principali proprieta `
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TEMA Ateoria dei numeri e` tuttora ricca di affascinanti problemi irrisolti. La congettura di Goldbach(1690-1764), per esempio, la quale afferma che ogni numero pari maggiore di 2
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TEMA A
Unita 1Numeri naturalie numeri interi
Unita 2Numeri razionalie introduzioneai numeri reali
PREREQUISITI
3Le quattro operazioni
COMPETENZE
3Padroneggiare le tecniche e le procedure di calcolonei vari insiemi numerici e saperle applicarein contesti reali
CONOSCENZE
3Descrivere quali sono i numeri naturali, interi,razionali, reali
3Definire che cosa sono i multipli e i divisori di unnumero
3Esprimere quali sono le operazioni definite negliinsiemi N, Z, Q e quali sono le loro proprieta
3Definire un numero irrazionale
3Definire le potenze ed elencare le loro principaliproprieta
ABILITA
3Rappresentare numeri interi e razionali sulla retta
3Stabilire se un numero naturale e multiplo o divisorerispetto a un altro numero
3Confrontare numeri naturali, interi e razionali
3Trasformare frazioni in numeri decimalio percentuali e viceversa
3Eseguire le quattro operazioni in Q e semplificareespressioni numeriche
3Calcolare potenze e applicarne le principali proprieta
Oggi ci sembra del tutto naturaleusare i numeri, fin da piccoli impariamo acontare e a eseguire le quattro operazioni...Tuttavia il percorso che ha portato alla «conquista»del concetto di numero e stato lungo e faticoso e lateoria dei numeri e tuttora ricca di affascinantiproblemi irrisolti.
La congettura di Goldbach (1690-1764), per esempio, la quale afferma che ogninumero pari maggiore di 2 e la somma di duenumeri primi (4 ¼ 2 þ 2, 6 ¼ 3 þ 3, 8 ¼ 5 þ 3 ...),e tutt’oggi un problema aperto e nessuno riesce adimostrarla! C’e addirittura in palio il favolosopremio di un milione di dollari per chi riescaa provare che la congettura e vera (o che e falsa).
Come mai i numeri primi, chesembrano cosı lontani dal nostro mondo, sonooggetto di tanta attenzione? Uno dei motivi e cheessi sono alla base di molti dei metodi attualmenteutilizzati per le comunicazioni in codice (metodicrittografici): sono quindi essenziali per garantire abanche, industrie e governi la trasmissione diinformazioni riservate. Il codice segreto e di fattoindecifrabile proprio grazie alla complessita deicalcoli che si devono svolgere per scomporre infattori primi numeri molto grandi.
I numeri
Nel 2000, anno mondiale della matematica,
nella metropolitana di Londra furono affissi
manifesti divulgativi su alcune delle piu
significative applicazioni della matematica:
qui sopra ne riportiamo uno che illustra il
legame tra i moderni codici segreti e la
scomposizione in fattori primi di numeri
molto grandi.
Matematica in azione
In una citta tre autobus, che percorrono
rispettivamente la linea A, la linea B e la li-
nea C, iniziano il loro servizio dallo stesso
capolinea alle ore 6 di mattina.
L’autobus della linea A ritorna al capoli-
nea ogni 45 minuti, l’autobus della linea
B ogni 30 minuti e l’autobus della linea C
ogni 25 minuti. A che ora della giornata i
tre autobus si troveranno di nuovo insie-
me, per la prima volta, al capolinea?
Questo problema e discusso nell’Unita 1
1. L’insieme N
Che cosa sono i numeri naturali?
I numeri naturali sono i numeri utilizzati per contare:
Per il momento assumiamo il concetto di numero naturale come primitivo, cioe
come concetto di cui non diamo una definizione, supponendone una conoscen-
za intuitiva (preciseremo il concetto di numero naturale nell’Unita 4).
Assumiamo come primitivi anche i concetti di precedente e successivo di un
numero naturale; il successivo di un numero naturale esiste sempre (per esempio
il successivo di 0 e 1, il successivo di 10 e 11), mentre il precedente esiste a condi-
zione che il numero naturale sia diverso da 0 (per esempio il precedente di 4 e 3).
Due numeri naturali che sono uno successivo all’altro si dicono consecutivi.
L’insieme dei numeri naturali si indica con la lettera N.
Rappresentazione dei numeri naturali
I numeri naturali si possono rappresentare su una semiretta orientata, cioe su una
semiretta dove sia stato fissato un verso di percorrenza, che indicheremo con
una freccia. Disegneremo sempre, per comodita, la semiretta orizzontale e orien-
tata verso destra e indicheremo l’origine della semiretta con la lettera O (fig. 1.1).
Fissata un’unita di misura sulla semiretta, facciamo corrispondere all’origine il
numero 0, al punto distante una unita da O il numero 1, al punto distante due
unita da O il numero 2 e cosı via: in questo modo possiamo rappresentare sulla
semiretta qualsiasi numero naturale (fig. 1.2).
Ordine tra i numeri naturali
Se due numeri naturali a e b occupano lo stesso posto nella rappresentazione sul-
la semiretta, diciamo che sono uguali e scriviamo a ¼ b (fig. 1.3); in caso contra-
rio sono diversi e scriviamo a 6¼ b.
Se a 6¼ b possono presentarsi due casi:
� se il punto che rappresenta a sulla semiretta e a sinistra di quello che rappre-
senta b, diciamo che a e minore di b e scriviamo a < b (fig. 1.4);
� se il punto che rappresenta a sulla semiretta e a destra di quello che rappresen-
ta b, diciamo che a e maggiore di b e scriviamo a > b (fig. 1.5).
E frequente l’utilizzo dei simboli: �, che significa «minore o uguale», e �, che si-
gnifica «maggiore o uguale».
Notazione Significato
a < b a e minore di b
a > b a e maggiore di b
a � b a e minore o uguale a b
a � b a e maggiore o uguale a b
a < n < b n e compreso tra a e b, ovvero e maggiore di a e minore di b
a � n � b n e maggiore o uguale ad a e minore o uguale a b
a < n � b n e maggiore di a e minore o uguale a b
a � n < b n e maggiore o uguale ad a e minore di b
Unita1Numeri naturali e numeri interi
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TemaA
O
Figura 1.1
0 1
u
2 3 4 5
Figura 1.2
O
a = b
Figura 1.3
O
a < b
a b
Figura 1.4
O
a > b
b a
Figura 1.5
Le varie relazioni d’ordine tra i numeri naturali possono essere espresse in modo
compatto combinando i vari simboli <, >, �, �; i casi che si presentano con
maggiore frequenza sono riassunti nella tabella a pagina precedente, in cui abbia-
mo indicato con a, b ed n tre generici numeri naturali.
Proprieta dell’insieme N
� L’insieme N e infinito: infatti, preso un qualunque numero naturale, se ne
puo trovare uno maggiore: il successivo.
� L’insieme N e ordinato: abbiamo visto infatti che, dati due numeri naturali, e
sempre possibile stabilire se l’uno e minore, uguale o maggiore dell’altro.
� L’insieme N possiede un elemento minimo, cioe un elemento minore di tutti
gli altri numeri naturali: lo zero; N non possiede invece un elemento massi-
mo, cioe un elemento maggiore di tutti gli altri numeri naturali.
� Tra ogni coppia di numeri naturali non consecutivi e compreso un numero fi-
nito di numeri naturali: questa proprieta si esprime dicendo che N e un insie-
me discreto.
Prova tu
Considera ciascuna delle seguenti condizioni, ed elenca tutti i numeri naturali n che la
soddisfano:
a. 1 < n < 6 b. 1 � n < 6 c. 1 < n � 6 d. 1 � n � 6
2. Le operazioni in N
Le quattro operazioni elementari
Fin dai primi anni di scuola hai imparato a eseguire le quattro operazioni ele-
mentari: addizione, sottrazione, moltiplicazione e divisione. Nella seguente ta-
bella riassumiamo la principale nomenclatura relativa alle quattro operazioni.
Operazione Nomenclatura Esempio
Addizione Quando si addizionano due numeri:– i due numeri si chiamano addendi– il risultato dell’addizione si chiama somma
2 þ 3¼ 5 somma
addendi
Moltiplicazione Quando si moltiplicano due numeri:– i due numeri si chiamano fattori– il risultato della moltiplicazione si chiamaprodotto
2 � 3¼ 6 prodotto
fattori
Sottrazione Quando si sottrae da un primo numero un secondonumero:– il primo numero si chiama minuendo– il secondo numero si chiama sottraendo– il risultato della sottrazione si chiama differenza
7 � 5¼ 2 differenza
minuendo sottraendo
Divisione Quando si divide un primo numero per un secondonumero:– il primo numero si chiama dividendo– il secondo numero si chiama divisore– il risultato della divisione si chiama quoziente
8 : 4¼ 2 quoziente
dividendo divisore
ESERCIZI a p. 35
Unita
1Numerinaturalienumeriinteri
5
Esaminiamo ora piu in dettaglio le quattro operazioni in N.
L’addizione e la moltiplicazione
La somma e il prodotto di due numeri naturali sono sempre numeri naturali:
La sottrazione e la divisione godono invece di una nuova proprieta: la proprieta
invariantiva.
+5
–5
2 7
· 4
:4
12 3
Unita
1Numerinaturalienumeriinteri
7
Proprieta invariantiva della sottrazione Proprieta invariantiva della divisione
La differenza tra due numeri naturali non cambia se siaddiziona o si sottrae a entrambi uno stesso numero(purche la sottrazione sia possibile in N); per esempio:
7 � 5 ¼ ð7 þ 2Þ � ð5 þ 2ÞAddizionando ai due numeri 2
7 � 5 ¼ ð7 � 3Þ � ð5 � 3ÞSottraendo ai due numeri 3
Il quoziente tra due numeri non cambia se si moltiplicano osi dividono entrambi per uno stesso numero diverso da zero(purche la divisione sia possibile in N); per esempio:
9 : 3 ¼ ð9 � 2Þ : ð3 � 2ÞMoltiplicando i due numeri per 2
12 : 6 ¼ ð12 : 3Þ : ð6 : 3ÞDividendo i due numeri per 3
Per quanto riguarda la proprieta distributiva della moltiplicazione rispetto alla
sottrazione e della divisione rispetto all’addizione e alla sottrazione, abbiamo che:
� la moltiplicazione e distributiva, sia a destra sia a sinistra, rispetto alla sottra-
� la divisione e distributiva a destra rispetto all’addizione e alla sottrazione; non
e, invece, distributiva a sinistra.
La divisione e distributiva a destra rispettoall’addizione e alla sottrazione
La divisione non e distributiva a sinistra rispetto all’addizionee alla sottrazione
Se si deve dividere una somma (o una differenza)per un numero, si puo dividere ciascun addendo(oppure il minuendo e il sottraendo) per quelnumero e poi sommare (o sottrarre) i quozientiottenuti. Per esempio:
ovvero l’esponente del prodotto e la somma degli esponenti dei fattori.
Questo risultato si puo generalizzare.
PRODOTTO DI POTENZE CON LA STESSA BASE
Il prodotto di potenze con la stessa base e una potenza che ha la stessa base e co-
me esponente la somma degli esponenti. In simboli:
am � an ¼ amþn
ESEMPI
a. 22 � 24 ¼ 22þ4 ¼ 26 ¼ 64 b. 33 � 34 ¼ 33þ4 ¼ 37
In modo del tutto simile si possono ricavare le altre proprieta delle potenze.
QUOZIENTE DI POTENZE CON LA STESSA BASE
Il quoziente di potenze con la stessa base e una potenza che ha la stessa base e
come esponente la differenza degli esponenti. In simboli:
am : an ¼ am�n con a 6¼ 0 e m � n
ESEMPI
a. 210 : 27 ¼ 210�7 ¼ 23 ¼ 8 b. 510 : 59 ¼ 510�9 ¼ 51 ¼ 5
POTENZA DI POTENZA
La potenza di una potenza e una potenza che ha la stessa base e come esponen-
te il prodotto degli esponenti. In simboli:
ðamÞn ¼ am�n
ESEMPI
a. ð22Þ3 ¼ 22�3 ¼ 26 ¼ 64 b. ð35Þ7 ¼ 35�7 ¼ 335
POTENZA DI UN PRODOTTO O DI UN QUOZIENTE
La potenza di un prodotto (quoziente) e uguale al prodotto (quoziente) delle
potenze con lo stesso esponente dei singoli fattori (termini). In simboli:
ða � bÞm ¼ am � bm ða : bÞm ¼ am : bm
ESEMPI
a. ð7 � 2Þ2 ¼ 72 � 22 ¼ 49 � 4 ¼ 196 L’uguaglianza ða � bÞm ¼ am � bm e stata utilizzata«da sinistra a destra»
b. 124 : 44 ¼ ð12 : 4Þ4 ¼ 34 ¼ 81 la relazione ða : bÞm ¼ am : bm e stata utilizzata«da destra a sinistra»
Attenzione!
L’ipotesi a 6¼ 0 e necessariaperche sia definito ilquoziente am : an; l’ipotesim � n e necessaria perche sefosse m < n, la sottrazionem� n non sarebbe eseguibilein N.
Suggerimento
Le uguaglianze inmatematica sono«reversibili», cioe possonoessere utilizzate nel verso chee piu conveniente in base alproblema affrontato:«da destra a sinistra»o «da sinistra a destra».
Unita
1Numerinaturalienumeriinteri
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SINTESI
Proprieta In simboli Regola pratica
Prodotto di potenze
con la stessa base am � an ¼ amþnSi sommano gli esponenti
e la base rimane la stessa
Quoziente di potenze
con la stessa base am : an ¼ am�nSi sottraggono gli esponenti
e la base rimane la stessa
Potenza di potenza ðamÞn ¼ am�n Si moltiplicano gli esponenti
e la base rimane la stessa
Potenza di un prodotto ða � bÞm ¼ am � bmSi distribuisce la potenza
su ciascun fattore
Potenza di un quoziente ða : bÞm ¼ am : bmSi distribuisce la potenza
sul divisore e sul dividendo
PER SAPERNE DI PIU Perche si pone a0 ¼ 1?
Alla luce delle proprieta delle potenze possiamo capire per quale motivo si pone, per defi-
nizione, a0 ¼ 1, supposto a 6¼ 0. Consideriamo infatti la proprieta
am : an ¼ am�n
Nel caso particolare in cui m ¼ n otteniamo:
am : am ¼ am�m ¼ a0
Ma, al primo membro, abbiamo la divisione di due numeri uguali, am : am, che da come
risultato 1. Dunque, se vogliamo che le proprieta delle potenze valgano per qualsiasi
esponente, la scelta di porre a0 ¼ 1 e obbligata.
Le espressioni numeriche
Una scrittura in cui compaiono dei numeri, legati fra di loro da varie operazioni,
(ed eventualmente delle parentesi) si chiama espressione numerica. Per esempio:
2 � 3 þ 8 [1.2]
e una semplice espressione numerica.
Non si potrebbe calcolare senza ambiguita il valore di un’espressione come la
[1.2] senza fissare delle priorita nello svolgimento delle operazioni. Infatti, se nel-
la [1.2] eseguissimo prima la moltiplicazione e poi l’addizione troveremmo:
2 � 3 þ 8 ¼ 6 þ 8 ¼ 14
mentre se eseguissimo prima l’addizione e poi la moltiplicazione otterremmo:
2 � 3 þ 8 ¼ 2 � 11 ¼ 22
Affinche non si verifichino tali ambiguita si e convenuto che, nelle espressioni
numeriche, le operazioni si eseguano secondo questo ordine:
� prima si svolgono le potenze, nell’ordine in cui compaiono;
� poi le moltiplicazioni e le divisioni, nell’ordine in cui compaiono;
� infine le addizioni e le sottrazioni, nell’ordine in cui compaiono.
ESEMPI
a. Calcoliamo il valore dell’espressione: 2 � 3 þ 52 � 24 : 6 � 23.
Le priorita delle operazioni e i diagrammi ad albero
I vari livelli di priorita nello svolgimento delle operazioni che compaiono in
un’espressione possono essere messi in evidenza rappresentando l’espressione
con particolari schemi grafici, detti diagrammi ad albero.
Rappresentiamo con un diagramma ad albero l’espressione 2 � 3 þ 8.
La prima operazione da svolgere e la moltiplicazione: scriviamo 2 e 3 come pri-
mi due vertici di un ideale triangolo equilatero e il simbolo � come terzo verti-
ce, congiungendo con un segmento il simbolo � a ciascuno dei due numeri.
La seconda operazione da svolgere e l’addizione: la rappresentiamo costruen-
do idealmente un nuovo triangolo equilatero, avente alla base il simbolo �(che rappresenta il risultato della precedente moltiplicazione) e il numero 8;
mettiamo poi il simbolo þ sul terzo vertice del nuovo triangolo.
Abbiamo cosı ottenuto la rappresentazione dell’espressione tramite un dia-
gramma di calcolo, che puo essere assimilato a un albero in cui le foglie rappre-
sentano i dati, la radice (indicata con R) rappresenta il risultato e i nodi tra i ra-
mi rappresentano le operazioni. I vari livelli di priorita nello svolgimento delle
operazioni sono evidenziati dal fatto che le operazioni vanno svolte a partire
dalle «foglie» fino ad arrivare alla «radice».
Anche per le espressioni con parentesi possiamo mettere in evidenza i vari li-
velli di priorita, utilizzando dei diagrammi ad albero. Il diagramma ad albero
dell’espressione
ð5 � 6 � 18Þ : 12
e quello riportato qui a fianco. Nota che quando l’operazione da rappresentare
non e commutativa (come nel caso della sottrazione e della divisione in que-
sto diagramma), conveniamo di scrivere a sinistra il primo termine e a destra
il secondo.
Attenzione!
L’utilizzo di parentesi di tipodiverso (tonde, quadre,graffe) e un espedientegrafico per renderevisivamente piu immediatol’ordine in cui eseguire leoperazioni; tuttavia, sipotrebbero anche utilizzareparentesi tutte dello stessotipo: per esempio lecalcolatrici, i fogli elettronicie i software di calcoloalgebrico utilizzano soloparentesi tonde.
Ogni numero naturale, tranne lo 0, e divisibile per 1 e per se stesso.
Per stabilire se un numero naturale e divisibile per 2, 3, 4, 5, 9, 11 o 25 si possono
utilizzare i seguenti criteri di divisibilita, che gia conosci.
Un numeroe divisibile ...
... se e solo se Esempi di numeridivisibili
Esempi di numerinon divisibili
per 2 lo e la sua ultima cifra 12; 344; 1028 13; 347; 1029
per 3 o per 9 lo e la somma delle sue cifre 4455 e divisibile per 3 e per 9(4 þ 4 þ 5 þ 5 ¼ 18)
157 ne per 9 ne per 3(1 þ 5 þ 7 ¼ 13)
per 5 termina con 0 o con 5 340; 1005 4001; 1003
ESERCIZI a p. 37
Attenzione!
Nella definizione di divisoreabbiamo posto la condizioneb 6¼ 0, perche la divisione per0 non e definita: 0 non edivisore di alcun numeronaturale. Ciascun numeronaturale n 6¼ 0 e invecedivisore dello 0 dalmomento che la divisione0 : n da quoziente e restouguali a 0.
TemaA
Inumeri
14
Un numeroe divisibile ...
... se e solo se Esempi di numeridivisibili
Esempi di numerinon divisibili
per 4 o per 25 lo e il numero formato dalleultime due cifre a destra, o setermina con due zeri
3124 e divisibile per 4175 e divisibile per 255200 e divisibile per 4 e per 25
117; 210(ne per 4 ne per 25)
per 11 la differenza tra la somma dellecifre di posto dispari e la sommadelle cifre di posto pari, contatea partire da destra, e divisibileper 11
143(3 þ 1 � 4 ¼ 0,e 0 e divisibile per 11)
5709(9 þ 7 � 0 � 5 ¼ 11)
531(1 þ 5 � 3 ¼ 3)
11111(1 þ 1 þ 1 � 1 � 1 ¼ 1)
Numeri primi
Nell’ambito dei numeri naturali giocano un ruolo speciale quelli che sono divisi-
bili soltanto per 1 e per se stessi.
NUMERI PRIMI
Un numero naturale, diverso da 0 e da 1, si dice primo se ammette come divisori
soltanto se stesso e 1.
Per esempio:
� 23 non ha altri divisori oltre a 1 e 23, quindi e primo;
� 22 ha come divisori, oltre a 1 e 22, anche 2 e 11, quindi non e primo.
Quando un numero non e primo viene detto composto: i numeri composti si
possono sempre scomporre in fattori primi, ossia scrivere come prodotti in cui
tutti i fattori sono numeri primi:
� il numero 12, scritto nella forma 2 � 2 � 3 o nella forma equivalente 22 � 3, risul-
ta scomposto in fattori primi;
� il numero 18, scritto nella forma 2 � 9, non risulta scomposto in fattori primi
perche 9 non e primo: la scomposizione in fattori primi di 18 e 2 � 3 � 3, ossia
2 � 32.
ESEMPIO
Scomponiamo in fattori primi 360.
Cerchiamo la scomposizione dividendo 360 per i successivi
fattori primi, organizzando il calcolo come nello schema
qui a fianco.
Otteniamo cosı la scomposizione di 360 in fattori primi:
360 ¼ 2 � 2 � 2 � 3 � 3 � 5
ovvero:
360 ¼ 23 � 32 � 5
360
180
90
45
15
5
1
2
2
2
3
3
5
Si puo dimostrare che, a meno dell’ordine dei fattori, la scomposizione in fattori
primi e unica: cio significa, per esempio, che 15 si puo scomporre in fattori primi
solo come
5 � 3 oppure 3 � 5
Questo risultato e uno dei piu importanti dell’aritmetica.
Dalla storia
Fin dall’antichita c’e statointeresse nei confronti deinumeri primi.Euclide, intorno al 300 a.C.,dimostro che i numeri primisono infiniti ed Eratostene(matematico greco vissutointorno al 200 a.C.) elaboroun metodo per determinarli,noto come «crivello diEratostene».
Suggerimento
Per stabilire se un numero ne primo non e necessarioprovare a dividerlo per tutti inumeri primi minori o
uguali an
2.
Si puo infatti dimostrare chee sufficiente considerare inumeri primi minori ouguali a
ffiffiffin
p.
Per esempio, sia n ¼ 157.Essendo
ffiffiffiffiffiffiffiffiffi157
p’ 12,5, per
provare che n e primoe sufficiente far vedereche non e divisibile per:2, 3, 5, 7, 11.
Unita
1Numerinaturalienumeriinteri
15
TEOREMA 1.1 Teorema fondamentale dell’aritmetica
Ogni numero naturale maggiore di 1 o e primo, oppure puo scriversi in un unico modo
(a meno dell’ordine dei fattori) come prodotto di numeri primi.
Il teorema fondamentale dell’aritmetica fa capire quale ruolo fondamentale ab-
biano i numeri primi: essi costituiscono i «mattoni» dell’edificio dell’aritmetica.
PER SAPERNE DI PIU Perche il numero 1 non e considerato un numero primo?
Uno dei motivi e che non sarebbe piu valido il teorema fondamentale dell’aritmetica:
verrebbe infatti a cadere l’unicita della scomposizione. Per esempio: 24 ¼ 1 � 23 � 3 ma an-
che 24 ¼ 12 � 23 � 3.
Il massimo comune divisore e il minimo comune multiplo
Ricordiamo anzitutto come sono definiti i concetti di massimo comune divisore
e di minimo comune multiplo.
Per giungere alla definizione di massimo comune divisore, cominciamo con il
ragionare su di un esempio: consideriamo i due numeri 36 e 60 ed elenchiamo
tutti i loro divisori.
I divisori di 36 sono:
1, 2, 3, 4, 6, 9, 12, 18, 36
e i divisori di 60 sono:
1, 2, 3, 4, 5, 6, 10, 12, 15, 20, 30, 60
I divisori comuni a 36 e 60 sono quelli che abbiamo colorato in rosso:
1, 2, 3, 4, 6, 12
Il piu grande fra questi divisori comuni e 12, che viene percio detto massimo comu-
ne divisore fra 36 e 60.
MASSIMO COMUNE DIVISORE
Il massimo comune divisore fra due o piu numeri naturali, diversi da 0, e il piu
grande fra i divisori comuni.
Il massimo comune divisore tra due numeri a e b si indica con il simbolo:
M.C.D.(a, bÞPer giungere alla definizione di minimo comune multiplo, ragioniamo invece
sul seguente esempio: consideriamo i due numeri 4 e 6 e cominciamo a scrivere i
loro multipli diversi da 0.
I multipli di 4 diversi da 0 sono:
4, 8, 12, 16, 20, 24, 28, 32, 36, 40, ...
I multipli di 6 diversi da 0 sono:
6, 12, 18, 24, 30, 36, 42, 48, ...
Ci sono infiniti numeri che sono multipli sia di 4 sia di 6; i primi di essi sono
quelli che abbiamo colorato in azzurro:
12, 24, 36, ...
Il piu piccolo fra questi multipli comuni e 12: esso viene percio chiamato minimo
comune multiplo tra 4 e 6.
MINIMO COMUNE MULTIPLO
Il minimo comune multiplo fra due o piu numeri naturali, diversi da 0, e il piu
piccolo fra i multipli comuni, diversi da 0.
TemaA
Inumeri
16
Il minimo comune multiplo tra due numeri a e b si indica con il simbolo:
m.c.m.(a, bÞ
Le regole pratiche, che certamente gia conosci, per calcolare il massimo comune
divisore e il minimo comune multiplo fra due o piu numeri sono riassunte nella
seguente tabella.
Regola per il calcolo del M.C.D. Regola per il calcolo del m.c.m.
Scomposti in fattori primi i numeri di cui sivuole calcolare il M.C.D., il M.C.D. e ilprodotto dei fattori primi comuni, presi unasola volta, con il minimo esponente.
Scomposti in fattori primi i numeri di cui sivuole calcolare il m.c.m., il m.c.m. e ilprodotto dei fattori primi comuni e noncomuni, presi una sola volta, con ilmassimo esponente.
ESEMPIO
Calcoliamo il massimo comune divisore e il minimo comune multiplo tra 36 e 120.
Scomponiamo i due numeri in fattori primi:
36 ¼ 22 � 32
120 ¼ 23 � 3 � 5
M.C.D.(36,120) m.c.m.(36,120)
Nelle scomposizioni i fattori primi comunisono il 2 e il 3; l’esponente minimo concui compare il 2 nelle due scomposizioni e2, l’esponente minimo con cui compare il3 e 1, percio:
M.C.D.(36,120) ¼ 22 � 31 ¼ 12
Nelle scomposizioni i fattori primi comunie non comuni sono il 2, il 3 e il 5;l’esponente massimo con cui compare il 2nelle due scomposizioni e 3, l’esponentemassimo con cui compare il 3 e 2, el’esponente massimo con cui compare il 5e 1, percio:
m.c.m.(36,120) ¼ 23 � 32 � 51 ¼¼ 8 � 9 � 5 ¼ 360
NUMERI PRIMI TRA LORO
Due o piu numeri naturali si dicono primi tra loro (o coprimi) quando il loro
massimo comune divisore e uguale a 1.
Per esempio, 12 e 13 sono primi tra loro, mentre 12 e 15 non lo sono.
Legame tra M.C.D. e m.c.m.
Concludiamo presentando una relazione che lega il massimo comune divisore e
il minimo comune multiplo. Osserva e completa la seguente tabella:
a b a � b M.C.D.(a, b) m.c.m.(a, b) M.C.D.(a, b) �m.c.m.(a, b)
6 8 48 2 24 48
6 10 60 2 30 60
8 9 72 1 72 72
9 12 ... ... ... ...
12 20 ... ... ... ...
Dall’esame della tabella si puo congetturare che valga la seguente relazione:
M.C.D.(a, b) � m.c.m.(a, b) ¼ a � b [1.3]
Unita
1Numerinaturalienumeriinteri
17
Naturalmente, gli esempi ci hanno permesso di notare la regolarita e formulare
la congettura: ma per poter affermare che la [1.3] vale in generale occorrerebbe
fornire una dimostrazione. Ci limitiamo a una giustificazione intuitiva: il M.C.D.
di due numeri e il prodotto dei fattori primi comuni, con l’esponente minore; il
m.c.m. e il prodotto di tutti gli altri, cioe di quelli comuni con l’esponente mag-
giore e di quelli non comuni: quindi tutti i fattori primi dei due numeri (con i lo-
ro esponenti) compaiono una e una sola volta o nel M.C.D. o nel m.c.m. Per
esempio:
60 ¼ 22 � 3 � 5
75 ¼ 3 � 52
M.C.D.(60, 75) ¼ 3 � 5
m.c.m.(60, 75) ¼ 22 � 3 � 52
Immediata conseguenza di questa osservazione e che il prodotto di due numeri e
uguale al prodotto tra il loro M.C.D. e il loro m.c.m.
Dalla [1.3] segue la seguente formula, la quale puo fornire un metodo alternativo
per il calcolo del minimo comune multiplo:
m:c:m:ða,bÞ ¼ a � bM:C:D:ða,bÞ [1.4]
Il minimo comune multiplo di due numeri coprimi, come si vede immediata-
mente dalla [1.4], e uguale al loro prodotto.
L’algoritmo di Euclide
Il metodo per il calcolo del massimo comune divisore che abbiamo esposto all’i-
nizio del paragrafo si basa sulla scomposizione dei numeri in fattori primi. Cio
non crea problemi quando si lavora con numeri «piccoli», mentre puo creare del-
le difficolta se i numeri coinvolti sono abbastanza «grandi». Se un numero ha
qualche centinaio di cifre, scomporlo puo rivelarsi un compito assai arduo (se
non impossibile) non solo per chi volesse procedere «a mano», ma anche per i
piu potenti calcolatori!
Fortunatamente esistono altri metodi per il calcolo del massimo comune divisore
che «aggirano» questo ostacolo perche non richiedono la scomposizione dei nu-
meri in fattori primi: essi sono basati sulla ripetizione di una stessa azione su dati
che vengono modificati a ogni passaggio.
Uno di questi metodi e il cosiddetto algoritmo di Euclide (o delle divisioni suc-
cessive); e il primo esempio conosciuto di algoritmo (risale al II secolo a.C.), cioe
di procedimento che, in una sequenza finita di passi, permette di risolvere un da-
to problema.
L’algoritmo di Euclide per calcolare il massimo comune divisore di due numeri a
e b, con a > b, puo essere cosı descritto:
1. si calcola il resto della divisione intera tra a e b; se il resto r1 della divisione e 0,
allora il massimo comune divisore tra a e b e b, altrimenti si procede con il pas-
so 2;
2. si calcola il resto r2 della divisione intera tra b ed r1; se il resto r2 di quest’ultima
divisione e 0, allora il massimo comune divisore tra a e b e r1, altrimenti si pro-
cede con il passo 3;
3. si ripete il ciclo, calcolando il resto della divisione in cui il dividendo e il divi-
sore del passo precedente e il divisore e il resto ottenuto al passo precedente.
Il procedimento termina quando si ottiene un resto uguale a zero. L’ultimo resto
diverso da zero e il massimo comune divisore tra a e b.
Ricorda
Si chiama congetturaun enunciato che non sie ancora dimostrato,ma che si ritiene vero conbuona probabilita.
Attenzione!
Approfondiremo il concettodi algoritmo nel Laboratoriodi informatica alla finedel Tema A.
TemaA
Inumeri
18
ESEMPIO Algoritmo di Euclide
Determiniamo con l’algoritmo di Euclide il massimo comune divisore tra 48 e 18.
In questo caso a ¼ 48 e b ¼ 18. Impostiamo il calcolo in una tabella e mettia-
mo in evidenza con le frecce il funzionamento dell’algoritmo di Euclide.
Al terzo passo, il resto della divisione e 0, quindi, in base a quanto stabilito
dall’algoritmo di Euclide, il massimo comune divisore tra 48 e 18 e uguale al-
l’ultimo resto non nullo, cioe a 6.
Perche l’algoritmo di Euclide «funziona»?
Anzitutto, a ogni passo il resto (sempre maggiore o uguale a 0) decresce (per-
che?): il processo non puo percio continuare all’infinito poiche, a un certo pun-
to, si otterra un resto uguale a 0.
Inoltre, si puo dimostrare che, a ogni passo, i divisori comuni dei due numeri
che vengono divisi si mantengono gli stessi della coppia precedente. Di conse-
guenza, ogni volta che percorriamo il ciclo, benche la coppia di numeri che viene
divisa cambi, il massimo comune divisore della coppia e sempre lo stesso dei due
numeri iniziali, a e b. Alla fine, come abbiamo visto, si devono ottenere due nu-
meri x e y tali che il resto della divisione intera tra x e y e 0: il massimo comune
divisore di tali numeri e dunque y (ed e uguale al massimo comune divisore dei
due numeri originari per quanto poc’anzi osservato).
Prova tu
1. Vero o falso?
a. 5 e multiplo di 15 V F
b. 15 e multiplo di 3 V F
c. 0 e divisore di 15 V F
d. 1026 e divisibile per 4 V F
e. 1104 e divisibile per 3 V F
f. 87 e un numero primo V F
g. la scrittura 2 �3 �42 e la scomposizione in fattori primi di 96 V F
2. Determina M.C.D. e m.c.m. tra 18 e 84. [6; 252]
5. L’insieme Z
I numeri interi
Ci sono molte situazioni pratiche che i numeri naturali non consentono di de-
scrivere adeguatamente. Volendo indicare una temperatura, per esempio, un nu-
mero naturale non da un’informazione sufficiente perche non permette di dire
se si tratta di una temperatura sopra o sotto lo 0. Per ragioni analoghe, un sempli-
ce numero naturale non e adatto a esprimere il bilancio di un’azienda, perche
non permette di specificare se si tratta di un bilancio in attivo o in passivo.
Passo Dividendo Divisore Resto
I 48 18 12
II 18 12 6
III 12 6 0
Calcoliamo il resto della divisione interafra i due numeri a e b dati
Calcoliamo il resto della divisione interain cui il dividendo e il divisore del passoprecedente e il divisore e il resto del pas-so precedente
Ci arrestiamo perche abbiamo trovatoun resto nullo
ESERCIZI a p. 42
Unita
1Numerinaturalienumeriinteri
19
Per poter descrivere efficacemente anche queste situazioni introduciamo un nuo-
vo insieme numerico, associando a ogni numero naturale diverso da 0 due nuovi
numeri, uno preceduto da un segno þ e uno preceduto da un segno �: per esem-
pio, al numero 2 associamo i due numeri «þ2» e «�2», al numero 3 associamo i
due numeri «þ3» e «�3» e cosı via.
Indichiamo con Z l’insieme di tutti i numeri ottenuti:
..., �4, �3, �2, �1, 0; þ1, þ2, þ3, þ4, ...
L’insieme Z viene detto insieme dei numeri interi relativi, o semplicemente in-
sieme dei numeri interi.
Tutti gli interi preceduti dal segno þ vengono detti positivi (essi sono adatti a
rappresentare, per esempio, le temperature sopra lo 0 e i bilanci in attivo); quelli
preceduti dal segno � vengono detti negativi (essi sono adatti a rappresentare,
per esempio, le temperature sotto lo 0 e i bilanci in passivo): l’insieme degli interi
positivi viene indicato con il simbolo Zþ, l’insieme degli interi negativi con il
simbolo Z�.
Due interi con lo stesso segno si dicono concordi, due interi con segno diverso si
dicono discordi: per esempio sono concordi i numeri �3 e �5, mentre sono di-
scordi �2 e þ5.
Due numeri interi che differiscono solo per il segno, quali þ2 e �2, si chiamano
opposti. Per esempio, l’opposto di þ5 e �5 e l’opposto di �3 e þ3.
In generale l’opposto di un numero intero si indica ponendo un segno «meno»
davanti a esso; per esempio:
� l’opposto di þ5 si indica con �ðþ5Þ, quindi �ðþ5Þ ¼ �5;
� l’opposto di �3 si indica con �ð�3Þ, quindi �ð�3Þ ¼ þ3.
L’opposto di un generico numero intero a (positivo o negativo) si indica dunque
con �a.
La rappresentazione dei numeri interi sulla retta
Abbiamo visto che i numeri naturali si possono rappresentare su una semiretta
orientata; i numeri interi, invece, si possono rappresentare su una retta orientata,
procedendo in questo modo:
� si considera una retta, che per comodita viene disegnata orizzontalmente,
orientata verso destra, e si fissa su di essa un punto O, chiamato origine, cui si
fa corrispondere lo 0, e un’unita di misura u;
� si associano agli interi positivi i punti sulla semiretta «a destra» di O e agli inte-
ri negativi i punti sulla semiretta «a sinistra» di O. Precisamente: si associa al
numero þ1 il punto distante un’unita da O verso destra e a �1 il punto distan-
te un’unita da O verso sinistra; a þ2 il punto distante due unita da O verso de-
stra e a �2 il punto distante due unita da O verso sinistra, e cosı via (fig. 1.6).
+20–1–2–3–4 +1 +3 +4
Z
Figura 1.6
Come abbiamo messo in evidenza in fig. 1.6, due numeri opposti sono rappresen-
tati sulla retta da punti simmetrici rispetto all’origine.
Se rappresentiamo sulla stessa retta orientata l’insieme degli interi non negativi
(solitamente indicato con il simbolo Zþ0 perche contiene gli interi positivi piu lo
zero) e l’insieme N, ci accorgiamo che þ1 occupa lo stesso posto di 1, þ2 lo stesso
posto di 2, þ3 lo stesso posto di 3 e cosı via (fig. 1.7).
+20–1–2–3–4 +1 +3 +4 Z
20 1 3 4 N
Z0+
Figura 1.7
TemaA
Inumeri
20
Possiamo quindi identificare ciascun numero intero positivo con un numero na-
turale e pensare l’insieme Z dei numeri interi relativi come un «ampliamento»
dell’insieme N, identificando Zþ0 con N (vedi per maggiori dettagli la scheda di
approfondimento dopo il Paragrafo 6).
In virtu di questa identificazione, nella pratica i numeri interi positivi vengono
spesso rappresentati omettendo il segno þ.
Valore assoluto di un numero intero
VALORE ASSOLUTO
Si chiama valore assoluto (o modulo) di un numero intero a, e si indica con jaj:� il numero a stesso, se esso e positivo o nullo;
� il numero �a (cioe il suo opposto), se esso e negativo.
In simboli:
jaj ¼ a se a � 0�a se a < 0
�
Dalla definizione segue che il valore assoluto di un numero e sempre positivo o
nullo.
ESEMPI
a. jþ3j ¼ þ3 Il valore assoluto di un numero intero positivo e il numero stesso
b. 0j j ¼ 0 Il valore assoluto di zero e zero
c. j�2j ¼ þ2 Il valore assoluto di un numero intero negativo e il suo opposto
Tenendo presente che un numero intero di cui viene omesso il segno si intende
preceduto dal segno þ, possiamo anche scrivere, in riferimento agli esempi a e c:
jþ3j ¼ 3 e j�2j ¼ 2
VISUALIZZIAMO I CONCETTI
Il valore assoluto di un numero
Geometricamente possiamo interpretare il valore assoluto di un numero come
la distanza fra il punto che lo rappresenta sulla retta e l’origine. Per esempio:
3il valore assoluto del numero �2 e 2; il punto
che rappresenta �2 dista 2 unita dall’origine:
3il valore assoluto del numero þ3 e 3; il punto
che rappresenta þ3 dista 3 unita dall’origine:
O–1
2
+1–2
O
3
+1 +2 +3
L’ordinamento in Z
Dati due numeri interi a e b, diremo che:
� sono uguali se occupano lo stesso posto nella rappresentazione sulla retta;
� a e minore di b se a e a sinistra di b nella rappresentazione sulla retta;
� a e maggiore di b se a e a destra di b nella rappresentazione sulla retta.
Dati due numeri interi, e quindi sempre possibile stabilire se uno e minore, ugua-
le o maggiore dell’altro, ovvero l’insieme Z e ordinato.
Unita
1Numerinaturalienumeriinteri
21
ESEMPI
Gli esempi precedenti suggeriscono le seguenti regole generali per il confronto
tra numeri interi:
� tra due numeri interi positivi, il maggiore e quello di valore assoluto maggiore;
� tra due numeri interi negativi, il maggiore e quello di valore assoluto minore;
� i numeri interi positivi sono maggiori di qualunque intero negativo;
� lo 0 e maggiore di tutti gli interi negativi e minore di tutti gli interi positivi.
Caratteristiche di Z
L’insieme Z e infinito e, come abbiamo appena visto, ordinato.
Ogni elemento di Z ammette precedente e successivo; non esistono quindi in Z
ne elemento minimo ne elemento massimo.
Inoltre, tra due numeri interi non consecutivi (cosı come tra due numeri naturali
non consecutivi) si trova solo un numero finito di numeri interi: dunque anche
l’insieme Z, come N, e discreto.
Prova tu
Vero o falso?
a. �2 e �3 sono concordi V F
b. �2 e þ3 sono discordi V F
c. il valore assoluto di �5 e 5 V F
d. �3 > �2 V F
e. esiste un elemento di Z che non ammette precedente V F
f. sia N sia Z non ammettono minimo V F
[3 affermazioni false]
6. Le operazioni in Z
Addizione
SOMMA TRA NUMERI INTERI
� La somma di due numeri interi concordi e il numero che ha segno uguale a
quello dei due addendi e valore assoluto uguale alla somma dei loro valori
assoluti.
� La somma di due numeri interi discordi (non opposti) e il numero che ha se-
gno uguale a quello del numero che ha valore assoluto maggiore e valore as-
soluto uguale alla differenza tra il maggiore e il minore dei valori assoluti dei
due numeri.
� La somma di due numeri interi opposti e zero.
Disuguaglianza Interpretazione grafica Rappresentazione sulla retta
þ3 > þ1 þ3 e a destra di þ1nella rappresentazione sulla retta O +1–1 +2 +4 +5+3
�4 < �1 �4 e a sinistra di �1nella rappresentazione sulla retta O–4 –3–5 –1–2 +1
þ1 > �2 þ1 e a destra di �2nella rappresentazione sulla retta O–2 –1–3 +1 +2 +3
0 > �3 0 e a destra di �3nella rappresentazione sulla retta –2 –1–3–4–5 0 +1
0 < þ4 0 e a sinistra di þ4nella rappresentazione sulla retta +20 +1–1 +3 +4 +5
ESERCIZI a p. 45
TemaA
Inumeri
22
ESEMPI
a. ð�2Þ þ ð�6Þ ¼ ��j�2j þ j�6j
�¼ �ð2 þ 6Þ ¼ �8 Somma di interi concordi
b. ðþ3Þ þ ðþ6Þ ¼ þ�jþ3j þ jþ6j
�¼ þ9 Somma di interi concordi
c. ð�2Þ þ ðþ4Þ ¼ þ�jþ4j � j�2j
�¼ þ2 Somma di interi discordi
d. ð�3Þ þ ðþ1Þ ¼ ��j�3j � jþ1j
�¼ �2 Somma di interi discordi
e. ð�7Þ þ ðþ7Þ ¼ 0 Somma di interi opposti
L’addizione e un’operazione interna a Z, e commutativa, associativa e ha come ele-
mento neutro 0.
VISUALIZZIAMO I CONCETTI
L’addizione tra numeri interi relativi
Possiamo ottenere il punto che rappresenta la somma di due numeri interi a e
b partendo dal punto che rappresenta a e poi spostandoci di un numero di
unita uguale a jbj:� verso destra, se b e positivo;
� verso sinistra, se b e negativo.
In Z sussiste una nuova proprieta rispetto a quelle valide in N: per ogni numero
intero, ne esiste un secondo, il suo opposto, che, aggiunto al primo, da come ri-
sultato 0, cioe l’elemento neutro dell’addizione.
Per esempio:
ðþ3Þ þ ð�3Þ ¼ 0
numero opposto elemento neutrointero dell’addizione
Sottrazione
DIFFERENZA TRA NUMERI INTERI
La differenza tra due numeri interi e la somma del primo numero (minuendo)
con l’opposto del secondo (sottraendo). In simboli:
a� b ¼ aþ ð�bÞ
segno uguale a quello
dei due addendi
i due numeri sono concordi perciodobbiamo considerare la somma deivalori assoluti
segno þ perche:
jþ4j > j�2j
i due numeri sono discordi perciodobbiamo considerare la differenzadei valori assoluti
Esempio Interpretazione grafica
ð�2Þ þ ðþ4Þ ¼ þ2 A partire dal punto che rappresenta �2, ci spostiamo di 4 unitaverso destra: giungiamo al punto che rappresenta þ2.
+1–1–2 +2O
ð�2Þ þ ð�3Þ ¼ �5 A partire dal punto che rappresenta �2, ci spostiamo di 3 unitaverso sinistra: giungiamo al punto che rappresenta �5.
–1–2–3–4–5 O
Unita
1Numerinaturalienumeriinteri
23
Dal momento che l’operazione di sottrazione tra interi e ricondotta a quella di
addizione, si parla a volte semplicemente di addizione algebrica, senza specifi-
care se si tratti di addizione o sottrazione.
La sottrazione e un’operazione interna a Z (mentre non lo e in N).
ESEMPI
a. ð�1Þ�ð�4Þ ¼ �1 þ ðþ4Þ ¼ þ3
b. 2 � ðþ5Þ ¼ 2 þ ð�5Þ ¼ �3
Nota che in una scrittura come quella dell’ultimo esempio:
2 � ðþ5Þ ¼ �3
il segno meno compare con due diversi significati: a sinistra dell’uguale rappre-
senta l’operazione di sottrazione, a destra indica l’opposto di 3.
Alcune calcolatrici utilizzano due simboli diversi per indicare l’operazione di sot-
trazione e l’opposto. Tuttavia, il fatto che la sottrazione tra due numeri interi a e
b sia definita come l’addizione di a con l’opposto di b ha portato, nella pratica, a
usare lo stesso simbolo per indicare la sottrazione e l’opposto.
Moltiplicazione
PRODOTTO TRA NUMERI INTERI
Il prodotto di due numeri interi e il numero che ha:
� valore assoluto uguale al prodotto dei valori assoluti dei due numeri;
� segno positivo se i due numeri sono concordi; segno negativo se sono di-
scordi.
Vale quindi la regola dei segni riassunta nella tabella qui a fianco.
ESEMPI
a. ð�2Þ � ð�3Þ ¼ þð2 � 3Þ ¼ þ6 Interi concordi
ðþ2Þ � ðþ4Þ ¼ þð2 � 4Þ ¼ þ8 Interi concordi
b. ð�2Þ � ðþ3Þ ¼ �ð2 � 3Þ ¼ �6 Interi discordi
ðþ2Þ � ð�4Þ ¼ �ð2 � 4Þ ¼ �8 Interi discordi
Il segno del prodotto di piu di due interi dipende dal numero dei fattori negativi:
� se il numero dei fattori negativi e pari, il prodotto e positivo;
� se il numero dei fattori negativi e dispari, il prodotto e negativo.
ESEMPI
a. ð�2Þ � ðþ3Þ � ð�1Þ ¼ ð�6Þ � ð�1Þ ¼ þ6 Due fattori negativi: prodotto positivo
b. ð�2Þ � ð�3Þ � ð�1Þ ¼ ðþ6Þð�1Þ ¼ �6 Tre fattori negativi: prodotto negativo
La moltiplicazione tra numeri interi gode delle stesse proprieta della moltiplica-
zione tra numeri naturali: e un’operazione interna a Z, e commutativa, associativa,
dotata di elemento neutro (il numero þ1) e distributiva rispetto all’addizione. Con-
tinua inoltre a valere la legge di annullamento del prodotto.
Divisione
La divisione non e un’operazione interna a Z.
Tuttavia, se due numeri interi a e b sono tali che ja j e multiplo di jb j, allora si
puo definire il quoziente tra a e b, secondo la seguente definizione.
Da dove deriva la regola deisegni? Si potrebbedimostrare che essa e l’unicapossibile «regola dei segni»,se si vuole che le operazioniin Z continuino a rispettarele proprieta delle operazionivalide per i numeri naturali(vedi la scheda diapprofondimento a fineparagrafo).
TemaA
Inumeri
24
QUOZIENTE TRA NUMERI INTERI
Il quoziente tra due numeri interi (di cui il secondo non nullo), se esiste in Z, e
il numero che ha:
� valore assoluto uguale al quoziente dei valori assoluti dei due numeri;
� segno positivo se i due numeri sono concordi; segno negativo se sono di-
scordi.
ESEMPI
a. ð�8Þ : ðþ2Þ ¼ �ð8 : 2Þ ¼ �4
b. ð�9Þ : ð�3Þ ¼ þð9 : 3Þ ¼ þ3
Anche in Z la divisione, come in N, gode della proprieta invariantiva ed e distribu-
tiva a destra rispetto all’addizione e alla sottrazione.
Prova tu
Completa le seguenti uguaglianze in modo che risultino corrette.
APPROFONDIMENTO Dall’insieme N all’insieme ZIn che senso Z e un ampliamento di N?Nei paragrafi precedenti abbiamo visto che la sottrazione non e un’operazione interna
a N: la necessita di poter eseguire in ogni caso la sottrazione ci ha spinto a «uscire» dal-
l’insieme dei numeri naturali e a introdurre l’insieme Z dei numeri interi.
Abbiamo detto che Z e un ampliamento di N perche c’e un sottoinsieme di Z, l’insieme
Zþ0 degli interi non negativi, che si puo «identificare» con N. Bisogna, pero, prestare at-
tenzione a non fraintendere questa affermazione.
Dire che N si puo «identificare» con Zþ0 non significa che N e Zþ
0 siano la stessa cosa: di
cio puoi facilmente renderti conto anche con un semplice esempio: se 2 e þ2 fossero la
stessa cosa, allora potremmo dire indifferentemente che «gli uomini hanno 2 mani» o
che «gli uomini hanno þ2 mani», cosa che, evidentemente, non accade!
Qual e allora l’esatto significato della frase «N si puo identificare con Zþ0 »? Intuitiva-
mente, la frase vuole dire che Zþ0 si puo assimilare a N «ridipinto di un altro colore».
Dal punto di vista matematico, significa che gli elementi di Zþ0 possono essere posti in
corrispondenza «uno a uno» con quelli di N e che hanno comportamenti simili ai nu-
meri naturali rispetto all’addizione, alla moltiplicazione e all’ordine.
Per definire una corrispondenza «uno a uno» tra l’insieme Zþ0 e l’insieme N, basta far
corrispondere allo 0 di Zþ0 lo 0 di N e a ogni intero positivo þn il numero naturale n:
+20–1–2–3–4 +1 +3 +4 Z
20 1 3 4 N
Z0+
Possiamo poi verificare che il comportamento dei numeri naturali e simile a quello de-
gli interi non negativi rispetto alle operazioni e al confronto, osservando che tale corri-
spondenza «conserva» la somma, il prodotto e l’ordine; per esempio:
� osserviamo che al numero þ2 corrisponde 2, al numero þ7 corrisponde 7 e alla som-
ma ðþ2Þ þ ðþ7Þ ¼ þ9 corrisponde il numero 9, che e la somma dei corrispondenti
di þ2 e di þ7, cioe di 2 e 7:
ESERCIZI a p. 47
Unita
1Numerinaturalienumeriinteri
25�
ðþ2Þ þ ðþ7Þ ¼ þ9
2 þ 7 ¼ 9
� osserviamo che al numero þ2 corrisponde 2, al numero þ7 corrisponde 7 e al pro-
dotto ðþ2Þ � ðþ7Þ ¼ þ14 corrisponde il numero 14, che e il prodotto dei corrispon-
denti di þ2 e di þ7, cioe di 2 e 7:
ðþ2Þ � ðþ7Þ ¼ þ14
2 � 7 ¼ 14
� þ2 e minore di þ7 e anche il corrispondente di þ2 e minore del corrispondente di
þ7: infatti, in N, 2 e minore di 7.
Quando tra due insiemi numerici si puo stabilire una corrispondenza uno a uno, che
conserva le operazioni e l’ordine, si dice che tale corrispondenza e un isomorfismo e
che i due insiemi sono isomorfi (rispetto alle operazioni considerate).
La metafora che abbiamo utilizzato prima, dicendo che
Zþ0 si puo intuitivamente assimilare a N «ridipinto di un
altro colore», si traduce quindi, in linguaggio matemati-
co, nella frase: Zþ0 e isomorfo a N.
L’esistenza di tale isomorfismo e cio che consente di
identificare i numeri naturali con gli interi non negativi
e di pensare, per comodita, anche se con una certa imprecisione, che N sia un sottoin-
sieme di Z (anche se, ribadiamo, in realta non e vero che N e un sottoinsieme di Z ma
piuttosto che Z contiene un sottoinsieme, quello degli interi non negativi, che e iso-
morfo a N).
Da dove «deriva» la regola dei segni?La regola dei segni appare a volte quasi «misteriosa»: non si capisce perche, per esem-
pio, meno per meno faccia piu... In realta le regole, in matematica, non sono mai co-
struite arbitrariamente. Anche la regola dei segni non fa eccezione: essa e conseguenza
del cosiddetto principio di conservazione delle proprieta formali, in base al quale,
ampliando un insieme numerico, le operazioni devono essere definite in modo da con-
servare le loro proprieta; la regola dei segni e l’unica possibile se si vuole che continui-
no a valere, in Z, le proprieta delle operazioni valide in N.
I. + . + = + Questa regola e essenziale per poter identificare i numeri interi non nega-
tivi con i numeri naturali e per far sı, quindi, che Z risulti effettivamente un am-
pliamento di N. Consideriamo, per esempio, il prodotto ðþ5Þðþ7Þ; se stabilissimo
la regola þ � þ ¼ �, allora la corrispondenza che abbiamo definito per poter identi-
ficare Zþ0 con N non conserverebbe piu i prodotti: infatti, al prodotto di þ5 e þ7,
che sarebbe �35, non corrisponderebbe il prodotto di 5 e 7, che e 35.
II. + . – = – Questa regola e obbligatoria se si vuole che in Z continuino a valere la
proprieta distributiva della moltiplicazione rispetto all’addizione e la legge di an-
nullamento del prodotto. Ammettiamo, infatti, che valgano tali proprieta e suppo-
niamo, per esempio, di voler calcolare ðþ7Þð�5Þ. Possiamo effettuare i seguenti
passaggi:
0 ¼ ðþ7Þ � 0 ¼ Legge di annullamento del prodotto
¼ ðþ7Þ½ðþ5Þ þ ð�5Þ� ¼ Definizione di opposto
¼ ðþ7Þðþ5Þ þ ðþ7Þð�5Þ ¼ Proprieta distributiva della moltiplicazionerispetto all’addizione
¼ ðþ35Þ þ ðþ7Þð�5Þ Per quanto stabilito nel caso I
In conclusione, abbiamo:
0 ¼ ðþ35Þ þ ðþ7Þð�5Þ
Quindi ðþ7Þð�5Þ deve necessariamente essere uguale all’opposto di ðþ35Þ, ovvero
a �35:
ðþ7Þð�5Þ ¼ �35
Z
NN ⊂ Z
ðþ5Þ � ðþ7Þ ¼ �35
5 � 7 ¼ 35
�35 e 35 non sicorrispondono
TemaA
Inumeri
26
�
III. – . + = – Questa regola segue immediatamente dalla precedente e dal fatto che si
vuole conservare in Z la proprieta commutativa della moltiplicazione.
IV. – . – = + Anche questa regola e obbligatoria per far sı che in Z continuino a valere
la proprieta distributiva della moltiplicazione rispetto all’addizione e la legge di an-
nullamento del prodotto. Ammettiamo, infatti, che valgano tali proprieta e suppo-
niamo, per esempio, di voler calcolare ð�7Þð�5Þ. Possiamo effettuare i seguenti
passaggi, analoghi a quelli svolti nel caso II:
0 ¼ ð�7Þ � 0 ¼ Legge di annullamento del prodotto
¼ ð�7Þ½ðþ5Þ þ ð�5Þ� ¼ Definizione di opposto
¼ ð�7Þðþ5Þ þ ð�7Þð�5Þ ¼ Proprieta distributiva della moltiplicazione
rispetto all’addizione
¼ ð�35Þ þ ð�7Þð�5Þ Per quanto stabilito nel caso III
In conclusione, abbiamo:
0 ¼ ð�35Þ þ ð�7Þð�5ÞQuindi il prodotto ð�7Þð�5Þ deve necessariamente essere uguale all’opposto di
ð�35Þ, ovvero a þ35:
ð�7Þð�5Þ ¼ þ35
7. Potenze ed espressioni in Z
Potenze in Z
Le definizioni di potenza viste nel Paragrafo 3 si estendono in modo naturale nel
caso in cui la base della potenza sia un numero intero relativo.
Dato un numero intero a e un numero naturale n, la potenza di base a ed espo-
nente n e:
� uguale al prodotto di n fattori uguali ad a se n > 1:
an ¼ a � a � a � . . . � a � a a 2 Z, n 2 N, con n > 1n volte
�8 Sia n un numero naturale; inserisci il simbolo cor-
retto (<; ¼; >Þ tra i due numeri naturali descritti:
a. successivo di n ..... precedente di n
b. successivo di ðn� 1Þ ..... precedente di ðnþ 2Þc. precedente di ðnþ 1Þ ..... successivo di ðn� 1Þd. precedente di n ..... successivo di ðn� 1Þ
�9 Scrivi tutti i numeri naturali minori o uguali a 10.
�10 Scrivi tutti i numeri naturali maggiori di 5 e minori
di 12.
�11 Trova il piu grande numero naturale n tale che:
a. n � 10 b. n2 < 50 c. n < 1
�12 Trova il piu piccolo numero naturale n tale che:
a. n > 10 b. n2 � 70 c. n � 100
�13 Per ciascuna delle seguenti condizioni, scrivi tutti i
numeri naturali n che la soddisfano:
a. 8 � n � 12
b. 8 < n < 12
c. 8 � n < 12
d. 8 < n � 12
�14 Per ciascuna delle seguenti condizioni, scrivi tutti i
numeri naturali n che la soddisfano:
a. n � 4
b. 3 < n � 7
c. 0 < n < 4
d. 6 � n � 10
�15 Scrivi tutti i possibili numeri naturali, maggiori di
100 e minori di 1000, che hanno cifre tutte distinte, coin-
cidenti con 3, 4 e 5 (per esempio, due numeri di questo ti-
po sono 354 e 435) e ordinali in senso crescente.
�16 Scrivi tutti i possibili numeri naturali, maggiori di
100 e minori di 1000, che hanno cifre tutte distinte, coin-
cidenti con 1, 0 e 2 (per esempio, due numeri di questo ti-
po sono 102 e 201) e ordinali in senso decrescente.
TemaA
Inumeri
36
2. Le operazioni in N TEORIA a p. 5
Esercizi preliminari
�17 Completa le seguenti tabelle.
�18 Poni una crocetta accanto alle operazioni che non sono possibili in N.
�19 Completa la seguente tabella, dove n indica un nu-
mero naturale.�20 Vero o falso?
a. ð6 þ 18Þ : ð2 � 3Þ ¼ 6 : ð3 � 2Þ þ 18 : ð3 � 2Þ V F
b. 18 � 7 � 6 ¼ ð18 � 7Þ � 6 V F
c. 18 � ð7 � 6Þ ¼ ð18 � 7Þ � 6 V F
d. ð24 : 6Þ : 2 ¼ 24 : ð6 : 2Þ V F
e. 10 : ð2 þ 5Þ ¼ 10 : 2 þ 10 : 5 V F
f. 8 : 4 ¼ ð8 þ 2Þ : ð4 þ 2Þ V F
[2 affermazioni vere e 4 false]
Completa specificando le proprieta applicate a ogni passaggio.
�21 ð1 þ 2Þ þ 3 ¼ 1 þ ð2 þ 3Þ in base alla proprieta ...........................................................................................................................................
�22 ð9 � 6Þ : 3 ¼ 9 : 3 � 6 : 3 in base alla proprieta ...........................................................................................................................................
�23 ð2 � 14Þ : ð2 � 7Þ ¼ 14 : 7 in base alla proprieta ...........................................................................................................................................
�24 2 � ð3 þ 5Þ ¼ 2 � 3 þ 2 � 5 ¼ in base alla proprieta ...........................................................................................................................................
¼ 3 � 2 þ 5 � 2 in base alla proprieta ...........................................................................................................................................
�25 ð2 � 3 þ 4 � 5Þ þ 7 ¼ 2 � 3 þ ð4 � 5 þ 7Þ ¼ in base alla proprieta ....................................................................................
¼ 2 � 3 þ ð7 þ 5 � 4Þ in base alla proprieta ....................................................................................
�26 ð16 � 8Þ : ð16 � 4Þ þ 4 : 4 ¼ ð8 � 16Þ : ð4 � 16Þ þ 4 : 4 ¼ in base alla proprieta ....................................................................................
¼ 8 : 4 þ 4 : 4 ¼ in base alla proprieta ....................................................................................
¼ ð8 þ 4Þ : 4 in base alla proprieta ....................................................................................
Le operazioni con i numeri naturali
�27 Completa in modo da ottenere uguaglianze vere.
¼ 81 : 3 � 2 þ 36 � 2 : 3 ¼ Eseguendo gli elevamenti a potenza
¼ 27 � 2 þ 72 : 3 ¼ Poiche le moltiplicazioni e le divisioni vanno eseguite nell’ordine in cui compaiono, nel primoaddendo abbiamo eseguito prima la divisione e nel secondo prima la moltiplicazione
¼ 54 þ 24 Eseguendo la moltiplicazione e la divisione
¼ 78 Eseguendo l’addizione
Semplifica le seguenti espressioni prive di parentesi.
(Suggerimento: ricorda che una linea di frazione rappresenta una divisione) [17]
�155 ð5 þ 50 þ 52Þ11
½ð7 � 5 � 22Þ5�2� ð50 þ 33Þ : ½ð73 � 74Þ : ð72Þ3�
( )10
: ð314Þ2 [9]
Dalle parole alle espressioni e viceversa
Completa le seguenti traduzioni in linguaggio naturale dell’espressione indicata.
�156 22 þ 33 La somma del quadrato di .......... e del .......... di ..........
�157 10 � ð5 � 2Þ Il prodotto fra .......... e .......... fra .......... e 2
�158 ð1 þ 4Þ3 : 52 Il quoziente fra il cubo della .......... di 1 con 4 e il .......... di 5
�159 102 � 7 � 8 La .......... fra il quadrato di .......... e il .......... fra 7 e 8
Traduci le seguenti espressioni in linguaggio corrente.
�160 102 þ 73
�161 103 � 72
�162 ð22 � 53Þ3
�163 ð55 : 25Þ � 53
�164 ð102 � 103Þ : 1002
�165 2 � 53 � 3 � ð152 : 3Þ
�166 ESERCIZIO SVOLTO
Traduciamo in espressioni numeriche le seguenti frasi:
a. «Dividere per 4 la differenza fra 22 e 6».
b. «Elevare al quadrato la differenza fra il cubo di 3 e il cubo di 2».
a. Traduciamo passo a passo le parole in espressioni numeriche.
«La differenza fra 22 e 6» ! 22 � 6
«Dividere per 4 la differenza fra 22 e 6» ! ð22 � 6Þ : 4
Ovviamente il valore dell’espressione e 4.
Nota. L’uso della parentesi nell’espressione ð22� 6Þ : 4 e essenziale: infatti l’espressione 22� 6 : 4 non traduce la frase data ma la frase: «Sot-trarre da 22 il quoziente fra 6 e 4».
b. Procediamo analogamente all’esempio precedente.
«Il cubo di 3» ! 33
«Il cubo di 2» ! 23
«La differenza fra il cubo di 3 e il cubo di 2 ! 33 � 23
«Elevare al quadrato la differenza fra il cubo di 3 e il cubo di 2» ! ð33 � 23Þ2
Traduci le seguenti frasi in espressioni numeriche e calcolane il valore.
�167 Sottrarre dal cubo della differenza fra 10 e 5 il quo-
ziente fra 35 e 7. Dividere quindi il risultato ottenuto per
il quoziente tra il quadrato di 16 e il cubo di 4. [30]
�168 Calcolare la somma tra il quadrato di 28 e il doppio
del cubo di 25. Dividere quindi la somma ottenuta per la
meta del quadrato del cubo di 8. [1]
�169 Sottrarre dal quoziente fra 121 e 11 il doppio della
differenza fra 18 e 15. Determinare quindi il quoziente
tra il cubo del quadrato della differenza ottenuta e il qua-
drato di 25. [25]
�170 Calcolare il prodotto tra il quadruplo di 24 e il qua-
drato di 26. Dividere quindi il prodotto ottenuto per il cu-
bo del quadrato della meta di 24. [1]
4.Multipli e divisori TEORIA a p. 14
Esercizi preliminari
�171 Vero o falso?
a. 12 e un multiplo di 4 V F
b. 18 e un multiplo di 4 V F
c. 4 e un divisore di 12 V F
d. 121 e divisibile per 11 V F
e. 12 e un divisore di 18 V F
f. 36 e un multiplo di 12 V F
[4 affermazioni vere e 2 false]
�172 Vero o falso?
a. un numero pari puo essere primo V F
b. esistono due numeri primi consecutivi V F
c. tutti i numeri primi sono dispari V F
d. tutti i numeri dispari sono primi V F
[2 sole affermazioni vere]
Test
�173 Quale dei seguenti numeri e primo? A 53 B 55 C 51 D 31
�174 Quale dei seguenti numeri non e primo? A 7 B 29 C 39 D 1004
�175 Quale dei seguenti numeri e divisibile per 3? A 22 B 222 C 2222 D 22 222
�176 Quale dei seguenti numeri e multiplo di 4? A 1121 B 1122 C 1123 D 1124
�177 Quale delle seguenti affermazione e falsa?
A Fra i numeri pari ci sono tutti i multipli di 8.
B I multipli di 8 sono tutti pari.
C Tra i multipli di 8 ci sono tutti i numeri pari.