CLAVES PARA EMPEZAR a) M b) U c) D Se pasa todo a milésimas: 22,33 D 223 300 m 0,345 M 345 000 m 1 234 444 345 000 223 300 4 587,33 → 1 234 444 m 0,345 M 22,33 D 4 587,33 m a) 120 o b) 60 o c) 120 o d) 60 o VIDA COTIDIANA En el dibujo, los tensores son paralelos entre sí y perpendiculares al tablero. En el puente Alamillo de Sevilla, los tensores son paralelos entre sí, pero no son perpendiculares al tablero, forman un ángulo de 45 o aproximadamente con él. 261 Rectas y ángulos 9
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Rectas y ángulos
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CLAVES PARA EMPEZAR
a) M b) U c) D
Se pasa todo a milésimas:
22,33 D 223 300 m 0,345 M 345 000 m
1 234 444 345 000 223 300 4 587,33 → 1 234 444 m 0,345 M 22,33 D 4 587,33 m
a) 120o b) 60o c) 120o d) 60o
VIDA COTIDIANA
En el dibujo, los tensores son paralelos entre sí y perpendiculares al tablero.
En el puente Alamillo de Sevilla, los tensores son paralelos entre sí, pero no son perpendiculares al tablero, forman un ángulo de 45o aproximadamente con él.
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RESUELVE EL RETO
Tenemos tres que suman 180o, que son uno de 40o, otro de 60o y otro de 80o (los tres siguientes serán iguales a estos).
Además, ángulos formados por la suma de estos, como el ángulo de 100o o el que se formaría al unir el consecutivo de 80o y 40o, que es de 120o. O los de la parte izquierda, que es la suma de 80o y 60o; es decir, un ángulo de 140o. O el ángulo de 180o que se forma al unir los tres.
ACTIVIDADES
Las rectas r y s son perpendiculares.
Sí, cualquier recta paralela a s será secante con r y no será secante con s.
Se pueden trazar infinitas rectas perpendiculares a una recta dada, ya que por una recta pasan infinitos puntos y en cada uno de ellos se puede trazar una recta perpendicular.
Las rectas paralelas a una recta son, a su vez, rectas perpendiculares a las rectas perpendiculares de esa recta, y como hay infinitas perpendiculares, existirán infinitas perpendiculares de las perpendiculares.
A
B r
s
t
r
s
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Se forman seis semirrectas (2 por cada punto) y tres segmentos (AB, AC, BC).
A
r
s A
r
s
C
B A r
s P
Q
A B
C D
A B C
B A
C D
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La distancia de A a M es la mitad de la medida del segmento, es decir, 3 cm.
Se forman 2 segmentos: CA y CB.
Se forman 8 semirrectas: 4 por cada recta (dos las forma el punto A, dos las forma el punto B y cuatro las forma el C).
3 segmentos: AB, BC, CA.
12 semirrectas: 4 por cada punto (dos en cada recta por punto).
a) Las mediatrices de los segmentos de una misma recta son paralelas entre sí.
M B A
3 cm
C
A
B
A
B
C
A B C
mediatriz de AC
mediatriz de BC
mediatriz de AB
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b) Los puntos medios son los puntos de corte del segmento con su mediatriz.
c) Del punto medio de AB a B hay 6 : 2 3 cm y del punto B al punto medio de BC hay 3,6 : 2 1,8 cm, con lo que del punto medio de AB al punto medio de BC hay 3 1,8 4,8 cm.
Las mediatrices de dos segmentos de rectas paralelas son también paralelas entre sí.
Las mediatrices de segmentos de dos rectas perpendiculares también son perpendiculares entre sí.
Las mediatrices de los lados paralelos coinciden.
A B C
mediatriz de AC
mediatriz de BC
mediatriz de AB
punto medio de AB
punto medio de AC
punto medio de BC
A B
C
D
r
s
r
s
A B
C
D
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El segmento CD está en la mediatriz y los extremos distan de M dos centímetros.
Las rectas r y t son paralelas entre sí.
Las mediatrices de los lados de los triángulos inscritos en una circunferencia se cortan en el centro de la circunferencia.
Los ángulos que se forman son agudos, puesto que son menores que un ángulo recto.
A B M
2 cm
2
cm
r s
t
A
B
C
D centro de la circunferencia
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Respuesta abierta. Por ejemplo:
Ángulo que se forma al ir separando un brazo del cuerpo, tomando como vértice al hombro: dependiendo de la abertura del brazo podemos tener:
Ángulo nulo: si el brazo está pegado al cuerpo.
Ángulo agudo: si la mano está por debajo del hombro.
Ángulo recto: si el brazo está a la altura del hombro.
Ángulo obtuso: si levanto el brazo por encima del hombro.
Ángulo llano: si la mano está justo encima del hombro.
Ángulo que forman las dos piernas estiradas, tomando como vértice la cadera.
Ángulo que forma el brazo, tomando como vértice el codo, o la pierna tomando como vértice la rodilla.
Ángulo que forma el torso con las piernas, tomando como vértice el ombligo.
a) Cada lado forma con la bisectriz un ángulo recto.
b) El ángulo debe ser menor que un ángulo llano.
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Sí, se obtiene siempre la misma recta, pues cada ángulo solo tiene una bisectriz.
a) La bisectriz del ángulo y las mediatrices de los segmentos coinciden.
b) La mediatriz de un segmento pasa por su punto medio. En este caso, la bisectriz coincide con las mediatrices obtenidas y, por tanto, la bisectriz pasa por los puntos medios de los segmentos.
r
s
s
r
O
A B
C
A’ B’
C’
bisectriz
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Ángulos suplementarios son los que forman un ángulo llano, por lo que el suplementario de un ángulo recto es otro ángulo recto. Entonces, los ángulos consecutivos que nos piden deben ser complementarios (forman un ángulo recto).
Un ángulo tiene dos ángulos adyacentes a él, uno por cada lado.
Un ángulo tiene un único ángulo complementario y suplementario, respectivamente.
A C A E A G
B D B F B H
C E C G
D F D H
E G
F H
A
B
C
D E
F
G
H
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A y B A y D A y F A y H
B y C B y E B y G
C y D C y F C y H
D y E D y G
E y F E y H
F y G
G y H
Cualquier par de ángulos consecutivos cuya suma sea 90o cumple esta condición (ejemplo: 35o y 55o, 12o y 78o…).
30o 30o
30o 30o
150o
150o 150o
150o
45o 90o
60o 120o
40o
50o
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a) 10 · 60 600’ c) 90 · 60 5 400’ e) 105 : 60 1,75’
a) A B 28o 22’ 26” C (A B)→ 40o 3’ 12” 39o 62’ 72”
28o 22’ 26” 28o 22’ 26”
11o 40’ 46’’ b) (A B) → 28o 3’ 27o 62’ 60”
19’ 26” → 19’ 26”
27o 43’ 34”
C (A B) → 40o 3’ 12” 39o 62’ 72”
27o 43’ 34” → 27o 43’ 34”
12o 19’ 38”
2 h 1 h 59 min 60 s
1 h 35 min 50 s 1 h 35 min 50 s
24 min 10 s
Le han sobrado 24 minutos y 10 segundos.
ACTIVIDADES FINALES
a)
Semirrectas: dos por cada punto (en total 8); por ejemplo: r1 es la recta con origen en A que va hacia la izquierda; r2 es la recta con origen en A que va hacia la derecha…
Segmentos (6 en total): .
r3 r4 r1 r2 r5 r6
r7 r8
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b)
Semirrectas: cuatro por cada punto (en total, 12). Por ejemplo: r1 es la semirrecta que tiene origen en A y va hacia la izquierda, r4 es la semirrecta que tiene origen en A y va debajo de r1, r2 es la semirrecta con origen en A que pasa por B, r3 es la semirrecta con origen en A que pasa por C…
Segmentos (3 total): .
c)
Semirrectas: dos semirrectas por los puntos A, B, D y E y cuatro por el punto C (12 en total).
Segmentos (8 en total): .
d)
Semirrectas: cuatro por cada punto (16 en total). Segmentos (6 en total): .
r1 r2
r3 r4
r5
r6
r7 r8
r9 r10 r11
r12
r1 r2
r3 r4
r5 r6
r7 r8
r9 r10
r11 r12
r1 r2
r3
r4 r5
r6 r7
r8
r9 r10 r11
r12
r13 r14
r15 r16
r
s
t w v
P
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a) La calle Amarillo y la calle Azul.
b) La calle Roja.
c) La calle Blanco, la calle Añil, la calle Roja y la calle Verde.
d) Son paralelas.
e) Son secantes.
a) No, cualquier recta perpendicular a una de ellas será secante con la otra.
b) Tampoco.
a) Perpendiculares. b) Perpendiculares. c) Perpendiculares.
r
s r’
s’
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a) b) c)
a) y b)
c) m’ y m” son rectas paralelas.
Distancia de P a r medida RP 1,9 cm 19 mm
Distancia de P a s medida SP 0,7 cm 7 mm
Distancia de P a t medida TP 0,7 cm 7 mm
r s t
r s t r
s
t
r
s
t
A
B
A’
B’
m m’ m’’
R S
T
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Distancia de A a r medida AA’ 0,5 cm 5 mm
Distancia de B a r medida BB’ 1,2 cm 12 mm
Distancia de C a r medida CC’ 1,1 cm 11 mm
Distancia de D a r medida DD’ 0,6 cm 6 mm
Distancia de r a s medida AA’ 0,7 cm 7 mm
Distancia de r a t medida BB’ 1,6 cm 16 mm
Distancia de s a t medida CC’ 0,9 cm 9 mm
a) Falso. b) Verdadero. c) Verdadero. d) Falso. e) Falso. f) Verdadero. g) Falso.
a) Recto. b) Obtuso. c) Agudo. d) 135o.
B’
A’
C’ D’
r
s t
A
A’
B
B’ C’
C
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a) c) e)
b) d) f)
a) d)
b) e)
c) f)
20o
70o 40o 50o
26o 64o
70o 20o
52o 38o 45o
45o
100o 80o 150o
30o
60o 120o 120o 60o
30o 150o 135o 45o
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a) c)
b) d)
a) c)
b) d)
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a)
b)
a) , , , , ,
b) , , , , , , , , , , ,
a) c) e) g)
b) d) , f)
r
s
t
v
60o
60o 120o
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a) d)
b) e)
c) f)
De izquierda a derecha y de arriba abajo: 136o, 44o, 44o y 136o.
r
s t
B
90o A 90o A
90o A
90o A
A
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a) 38 · 60 2 280’ b) 5 100 : 60 85’ c) 127 · 60 7 620’
a) 92 · 60 · 60 331 200” b) 135 · 60 · 60 486 000” c) 4 · 60 240’’
a) 54 000 : 60 : 60 15o b) 420 : 60 7o c) 30 : 60 : 60
a) 3 · 60 180 min c) 85 · 60 5 100 min
b) 32 400 : 60 540 min d) 72 000 : 60 1 200 min
a) 94 · 60 5 640 s
b) 3,5 · 60 · 60 12 600 s
c) 21 · 60 14 1 274 min 1 274 · 60 76 440 s
a) 2 · 60 · 60 3 · 60 40 7 420 s c) 3 · 60 · 60 15 · 60 25 11 725 s
b) 20 · 60 · 60 25 · 60 30 73 530 s d) 9 · 60 · 60 17 · 60 43 33 463 s
8 000 60 133 60 200 133 13 2 200 20
8 000” 2o 13’ 20”
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a) 8 213 60 136 60 2 21 136 16 2 413 53
8 213” 2o 16’ 53”
b) 7 365 60 122 60 1 36 122 02 2 165 45
7 365” 2o 2’ 45”
c) 465 60 45 7
465” 7’ 45”
d) 15 784 60 263 60 3 75 263 23 4 184 04
15 784 s 4 h 23 min 4 s
e) 12 000 60 200 60 0 00 200 20 3 00 0
12 000 s 3 h 20 min
f) 5 678 60 94 60 278 94 34 1 38
5 678 s 1 h 34 min 38 s
a) 20 953 s 5 h 49 min 13 s
b) 9,57 días 229 h 40 min 48 s
c) 402,25 min 6 h 42 min 15 s
d) 10,5 semanas 1 764 h
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a) 34o 15’ 23” d) 72’ 28”
46o 5’ 12” 6o 47’ 2”
80o 20’ 35” 6o 119’ 30” → 7o 59’ 30”
b) 49o 43” e) 123o 32’ 45”
68o 35’ 38” 45o 8”
117o 35’ 81” → 117o 36’ 21” 168o 32’ 53”
c) 84o 54’ f) 54o 7’
46o 14” 36’ 4”
130o 54’ 14” 54o 43’ 4”
a) 35o 17’ 22” d) 94o 61’ 60”
26o 5’ 12” 47o 52’ 43”
9o 12’ 10” 47o 9’ 17”
b) 89o 15’ 63” e) 63o 32’ 45”
8o 38” 46o 8”
81o 15’ 25” 17o 32’ 37”
c) 60o 60’ 34” f) 55o 71’ 88”
7o 14’ 6o 47’ 52”
53o 46’ 34” 49o 24’ 36”
310 21 36 45 48 0 56 19 42
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a) Complementario: 33o 55’ 34” e) Complementario: 89o 20’ 53”