Alonso Fernández Galián - 1 - TEMA 8: CÁLCULO DE DERIVADAS El cálculo de derivadas fue desarrollado más o menos simultáneamente por Isaac Newton y Gottfried Leibniz para poder calcular analíticamente rectas tangentes. Newton, además, utilizó el concepto de derivada para estudiar los principios fundamentales de la mecánica, dando lugar así al nacimiento de la física moderna. 8.1 LA DERIVADA DE UNA FUNCIÓN EN UN PUNTO Y LA FUNCIÓN DERIVADA La idea que subyace al concepto de derivada de una función en un punto es la medir la tasa de cambio de la función en un entorno arbitrariamente pequeño del punto. Definición de derivada de una función f en un punto x = x0. Consideremos una función f y un punto de su dominio, 0 x . Tomemos otro punto f D x 1 y formemos el cociente: 0 1 0 1 ) ( ) ( x x x f x f , que geométricamente representa la pendiente de la recta que corta a la gráfica de la función en los puntos ) ( , 0 0 x f x y ) ( , 1 1 x f x . Ahora, se define la derivada de la función f en el punto 0 x x como límite de la expresión ante- rior cuando 1 x , tomado como una variable, tiende a 0 x . Se denota por ) ( 0 x f : 0 1 0 1 0 ) ( ) ( lim ) ( 0 1 x x x f x f x f x x Geométricamente, ) ( 0 x f es igual a la pendiente de la recta tangente a la gráfica de f en el punto ) ( , 0 0 x f x . Otra expresión para la derivada. Veamos otra expresión para ) ( 0 x f , más cómoda a la hora de hacer cálculos: Sea h la longitud del intervalo 1 0 , x x . 0 1 x x h El punto 1 x es entonces: h x x 0 1 Así, la derivada de f en el punto se puede expresar como: h x f h x f x f h ) ( ) ( lim ) ( 0 0 0 0
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TEMA 8: DERIVADAS¡lculo_de_derivadas__1ºbct...Tema 8: Cálculo de derivadas - 7 - 8.4 LA RECTA TANGENTE A UNA FUNCIÓN EN UN PUNTO La aplicación más inmediata de las derivadas
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Alonso Fernández Galián
- 1 -
TEMA 8: CÁLCULO DE DERIVADAS
El cálculo de derivadas fue desarrollado más o menos simultáneamente por Isaac Newton y
Gottfried Leibniz para poder calcular analíticamente rectas tangentes. Newton, además, utilizó
el concepto de derivada para estudiar los principios fundamentales de la mecánica, dando lugar
así al nacimiento de la física moderna.
8.1 LA DERIVADA DE UNA FUNCIÓN EN UN PUNTO Y LA FUNCIÓN DERIVADA
La idea que subyace al concepto de derivada de una función en un punto es la medir la tasa de
cambio de la función en un entorno arbitrariamente pequeño del punto.
Definición de derivada de una función f en un punto x = x0. Consideremos una función f y
un punto de su dominio, 0x .
Tomemos otro punto fDx 1 y formemos el cociente:
01
01 )()(
xx
xfxf
,
que geométricamente representa la pendiente de la recta que corta a
la gráfica de la función en los puntos )(, 00 xfx y )(, 11 xfx .
Ahora, se define la derivada de la función f en el punto 0xx como límite de la expresión ante-
rior cuando 1x , tomado como una variable, tiende a 0x . Se denota por )( 0xf :
01
010
)()(lim)(
01 xx
xfxfxf
xx
Geométricamente, )( 0xf es igual a la pendiente de la recta tangente a la gráfica de f en el
punto )(, 00 xfx .
Otra expresión para la derivada. Veamos otra expresión para )( 0xf , más cómoda a la hora de
hacer cálculos:
Sea h la longitud del intervalo 10 , xx .
01 xxh
El punto 1x es entonces:
hxx 01
Así, la derivada de f en el punto se puede expresar como:
h
xfhxfxf
h
)()(lim)( 00
00
Matemáticas I
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La función derivada. Dada una función f , se denomina función derivada de f a la función
que para cada punto x calcula la derivada de f en x.
D ℝ ℝ
)(xfx
La función derivada de f se denota por f .
Nota (Notación de Leibniz): En muchos contextos, especialmente en física, se sigue empleando
la notación originial de Leibniz para denotar a la función derivada:
dx
dy ó
dx
xdf )(
Se lee “derivada de y (o de f ) respecto de x”.
•Ejemplo: Calcular la función derivada de 2)( xxf .
Para un punto arbitrario x se tiene:
h
xhxhx
h
xhx
h
xfhxfxf
hhh
222
0
22
00
2lim
0
0)(lim
)()(lim)(
xhxh
hxh
h
hxh
hhh22lim
2lim
2lim
00
2
0
.
Por tanto, la derivada de 2)( xxf es xxf 2)( .
Por ejemplo:
0x 002)0( f 1x 2)1(2)1( f .
1x 212)1( f …
3x 632)3( f
•Ejemplo: Calcular la derivada de 2)( xxf el punto 1x .
h
hh
h
hh
h
h
h
fhff
hhhh
2
0
2
0
22
00
2lim
121lim
0
01)1(lim
)1()1(lim)1(
22lim
2lim
00
h
h
hh
hh.
Tema 8: Cálculo de derivadas
- 3 -
8.2 DERIVADAS DE LAS FUNCIONES ELEMENTALES
En la práctica las derivadas no calculan mediante la definición, sino aplicando la tabla siguiente:
axxfxxf
xxfxxf
aaxfaxf
exfexf
xnxfxxf
xfxxf
xfcteccxf
derivadafunción
a
xx
xx
nn
ln
1)(log)(
1)(ln)(
ln)()(
)()(
)()(
1)()(
0)()(,)(
1
2
2
2
2
1
1)( arctg)(
1
1)(arccos)(
1
1)(arcsen)(
cos
1)( tg)(
sen )(cos)(
cos)(sen )(
xxfxxf
xxfxxf
xxfxxf
xxfxxf
xxfxxf
xxfxxf
derivadafunción
•Ejemplo: Calcular la función derivada de las siguientes funciones:
(a) xxf cos)( .
xxf sen )(
(b) 5)( xxf .
415 55)( xxxf
(c) xxf 2log)( .
2ln
1)(
xxf
La expresión de la derivada de una función potencial también es válida para exponentes ne-
gativos o fraccionarios. Por ejemplo:
(d) 3
3
1)( x
xxf
4
413 333)(
xxxxf
(e) 2/1)( xxxf
xxxxf
2
1
2
1
2
1)( 2
11
2
1
Matemáticas I
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Para calcular la derivada de una función f en un punto, se calcula f y se evalúa en el punto.
Operaciones con funciones. Las reglas para derivar las operaciones entre funciones son:
(f) xxxf 74)( 3 .
712734)( 22 xxxf
(g) 35)( 23 xxxf .
xxxxxf 1030253)( 22
(h) xxxf tg3)( .
xxxxf
2cos
13 tg3)(
(i) x
exf
x
)( .
22
1)(
x
exe
x
exexf
xxxx
(j) 3
)(2
x
xxf .
2
2
2
2
)3(
6
)3(
1)3(2)(
x
xx
x
xxxxf
•Ejemplo: Derivar las siguientes funcio-
nes:
(a) xxf cos6)( .
xxxf sen 6sen 6)(
(b) xxf ln1)( .
xxxf
110)(
(c) xxxf 5)( .
15)( 4 xxf
(d) xxxf sen )( 2 .
xxxxxf cossen 2)( 2
(e) x
xxf
sen )(
3
.
x
xxxxxf
2
32
sen
cossen 3)(
[…]
• Ejemplo: Calcular la derivada de xxf arctg)( en 3x .
La función derivada es: 21
1)(
xxf
.
La derivada en 3x es: 10
1
31
1)3(
2
f .
)()()()( xucxfxucxf (producto por una cte)
)()()()()()( xvxuxfxvxuxf (suma de funciones)
)()()()()()( xvxuxfxvxuxf (resta de funciones)
)()()()()()()()( xvxuxvxuxfxvxuxf (producto de funciones)