IES Benejúzar. Matemáticas Aplicadas a las CCSS II. Curso 2018/ 19 1 TEMA 7.- MATRICES Y DETERMINANTES EJERCICIOS: 1) Siendo A= − 2 0 1 3 2 1 y B= − − − 1 2 2 2 1 5 hallar A+B, A t +B t , -3A, 2A-3B. 2) Escribir una matriz cuadrada de orden 3 que sea triangular inferior. Escribe una matriz simétrica y calcula la traspuesta de la primera que has escrito. 3) Dadas las matrices A= − 2 2 1 1 , B= − − 3 0 1 1 y C= 4 1 2 3 , comprobar si se cumplen las siguientes igualdades: a) AB=BA b) (AB)C=A(BC) c) (A+B)C=AC+BC d) A(B+C)=AB+AC Solución: a) no; b) Sí; c) Sí; d) Sí. 4) Siendo A= − − 6 5 4 3 1 1 , B= − 4 1 3 0 1 2 y C= − − 0 2 4 5 , Calcular ABC, CAB y BAC. Solución: 9 20 36 8 ABC − = − ; 17 92 10 16 CAB = − − ; BAC no se puede 5) Sabiendo que A= 1 0 0 0 1 0 1 0 1 y B= 3 2 1 1 3 2 2 1 3 , hallar AB-(2A-3B) t -B 2 . Solución: 2 1 5 ( 1) 8 3 3 5 8 3 − ⋅ 6) Si A= 1 0 1 2 y B= − 1 0 1 0 calcular A 3 -2AB 2 Solución: 8 9 0 1 − 7) Demostrar que A 3 -3AA+3A=I, siendo A la matriz 3x3 triangular superior que tiene todos sus elementos iguales a 1. 8) Demostrar que AA=BB siendo A= − − − 4 3 3 4 3 4 1 1 0 y B= − − − − − 3 4 4 1 0 1 3 3 4
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IES Benejúzar. Matemáticas Aplicadas a las CCSS II. Curso 2018/ 19
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TEMA 7.- MATRICES Y DETERMINANTES
EJERCICIOS:
1) Siendo A= ⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛
− 201321
y B= ⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛
−
−−
122215
hallar A+B, At+Bt, -3A, 2A-3B.
2) Escribir una matriz cuadrada de orden 3 que sea triangular inferior. Escribe una matriz
simétrica y calcula la traspuesta de la primera que has escrito.
3) Dadas las matrices A= ⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ −
2211
, B= ⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛
−
−
3011
y C= ⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛
4123
, comprobar si se cumplen
las siguientes igualdades:
a) AB=BA b) (AB)C=A(BC) c) (A+B)C=AC+BC d) A(B+C)=AB+AC Solución: a) no; b) Sí; c) Sí; d) Sí.
4) Siendo A= ⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛
−
−
654311
, B=⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜
⎝
⎛ −
413012
y C= ⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛
−
−
0245
, Calcular ABC, CAB y BAC.
Solución: 9 2036 8
ABC−⎛ ⎞
= ⎜ ⎟−⎝ ⎠;
17 9210 16
CAB ⎛ ⎞= ⎜ ⎟− −⎝ ⎠
;BAC no se puede
5) Sabiendo que A=⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜
⎝
⎛
100010101
y B=⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜
⎝
⎛
321132213
, hallar AB-(2A-3B)t-B2.
Solución:
2 1 5( 1) 8 3 3
5 8 3
⎛ ⎞⎜ ⎟− ⋅ ⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠
6) Si A= ⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛
1012
y B= ⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ −
1010
calcular A3-2AB2
Solución: 8 90 1⎛ ⎞⎜ ⎟−⎝ ⎠
7) Demostrar que A3-3AA+3A=I, siendo A la matriz 3x3 triangular superior que tiene todos
sus elementos iguales a 1.
8) Demostrar que AA=BB siendo A=⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜
⎝
⎛
−
−
−
433434110
y B=⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜
⎝
⎛
−−−
−−
344101334
IES Benejúzar. Matemáticas Aplicadas a las CCSS II. Curso 2018/ 19
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9) Calcular todos los posibles productos entre A=⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜
⎝
⎛
−−
132101
, B= ⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ −−
600241
y
C=⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜
⎝
⎛
−
−−
−
201232101
10) Dada la matriz A=⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜
⎝
⎛
−
−−
431541430
prueba que se verifica A3+I=0. Calcula A10
Solución: A10= - A
11) Siendo A= ⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛
2112
, hallar a y b tales que AA+aA+bI=0. Solución: a= - 4; b = 3
12) Comprobar que se cumple la propiedad siguiente (BA)t=AtBt para las matrices A= ⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛
3521
y B= ⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛
− 5241
.
13) Sean A y B 3M∈ siendo A= ( ) )( jiaij −= y B= ( ) 12)1( +− +−= iji
ijb . Calcular las matrices A-B y AB.
Solución:
5 4 7( 1) 8 9 8
15 14 17A B
⎛ ⎞⎜ ⎟− = − ⋅ ⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠
;
43 39 4112 12 1219 15 17
A B− − −⎛ ⎞⎜ ⎟⋅ = − − −⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠
14) Sea A una matriz cualquiera. Probar que B=A+At es una matriz simétrica.
15) Sean A y B 2M∈ dos matrices simétricas con los elementos de la diagonal principal
iguales. Comprobar que el producto de A y B es conmutativo.
16) Calcula una matriz A de orden 2 tal que: a) A2=I b) A2=0 c) A2=A (idempotente)
Solución: 1
)1a a
aa a
−⎛ ⎞⎜ ⎟+ −⎝ ⎠
; )a a
ba a
⎛ ⎞⎜ ⎟− −⎝ ⎠
; 2
1 0 0 0) ; ;
0 0 0 1c I ⎛ ⎞ ⎛ ⎞
⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠
17) Demostrar que si A es idempotente, entonces B=I-A es idempotente también y además
AB=BA=0. 18) Demostrar que si A es una matriz cuadrada idempotente, A100=A.
19) Calcula la inversa de cada una de las siguientes matrices, cuando sea posible:
1 1)0 1
a ⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠
1 2 3) 4 5 67 8 9
b⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠
1 2 3) 0 1 21 2 4
c⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠
1 1 3) 1 2 12 0 0
d⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠
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Solución: 1 1
)0 1
a−⎛ ⎞
⎜ ⎟⎝ ⎠
; b) No tiene inversa;
0 2 1) 2 1 21 0 1
c−⎛ ⎞
⎜ ⎟−⎜ ⎟⎜ ⎟−⎝ ⎠
;
0 0 1 / 2) 1 / 5 3 / 5 1 / 52 / 5 1 / 5 1 /10
d⎛ ⎞⎜ ⎟− −⎜ ⎟⎜ ⎟− −⎝ ⎠
20) Dada la matriz A=⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜
⎝
⎛
−
−
xx
x
00020202
, hallar los valores para los que A es regular. Resolver
la ecuación AX+B=I tomando x=3 en la matriz A y siendo B=⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜
⎝
⎛
−
−
123479021
.
Solución: A es regular si x≠0 y x≠2.
2 2 / 3 4 / 39 6 41 2 / 3 2 / 3
X− −⎛ ⎞
⎜ ⎟= − − −⎜ ⎟⎜ ⎟− −⎝ ⎠
21) Resolver la ecuación matricial AX-B+C=O para A= ⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛
1132
, B= ⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛
−−−
−
21160231
y
C= ⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛
−−
−−
36002111
.
Solución: 18 1 12 1312 2 7 8
X−⎛ ⎞
= ⎜ ⎟− − −⎝ ⎠
22) Resolver la ecuación matricial A(X+I)=CB siendo A=⎟⎟⎟