´ ALGEBRA Tema 4. APLICACIONES LINEALES. Curso 2017 - 2018 Jos ´ e Juan Carre˜ no Carre ˜ no Departamento de Matem ´ atica Aplicada a las Tecnolog´ ıas de la Informaci´ on y las Comunicaciones Escuela T ´ ecnica Superior de Ingenier´ ıa de Sistemas Inform ´ aticos Universidad Polit´ ecnica de Madrid JJCC ( MATIC - ETSISI - UPM ) ´ ALGEBRA - Aplicaciones Lineales 2017 - 2018 1 / 31
31
Embed
- Tema 4. APLICACIONES LINEALES. - Academia Cartagena99 · 2018-05-16 · Contenido1 1 Definicion y propiedades.´ 2 Expresion matricial.´ Construccion de aplicaciones lineales.´
This document is posted to help you gain knowledge. Please leave a comment to let me know what you think about it! Share it to your friends and learn new things together.
Transcript
ALGEBRATema 4. APLICACIONES LINEALES.
Curso 2017 - 2018
Jose Juan Carreno Carreno
Departamento de Matematica Aplicadaa las Tecnologıas de la Informacion
y las Comunicaciones
Escuela Tecnica Superior de Ingenierıa deSistemas Informaticos
2 Expresion matricial.Construccion de aplicaciones lineales.
3 Aplicaciones lineales bajo cambios de base.
4 Nucleo, imagen y rango de una aplicacion lineal.
5 Composicion de aplicaciones lineales.Inversa de una aplicacion lineal biyectiva.
1Del Tema 4 del libro de Algebra: Aplicaciones a Teorıa de Codigos, de MaiteFoulquie, Jesus Garcia y Ana Lıas.JJCC ( MATIC - ETSISI - UPM ) ALGEBRA - Aplicaciones Lineales 2017 - 2018 2 / 31
Definicion y propiedades. 1
Definicion: Sean V y W dos espacios vectoriales sobre uncuerpo K. Una aplicacion f : (V,+, ·K) −→ (W,+, ·K) se diceque es una aplicacion lineal de V en W, o bien un homomorfismode espacios vectoriales sobre K, si:
1 f (u + v) = f (u) + f (v) para todo u, v ∈ V.
2 f (a u) = a f (u) para todo a ∈ K, u ∈ V.
Ejemplos:La homotecia de razon α: fα : V −→ V con α ∈ K∗ fijo
Propiedades: Sea f : V −→ W una aplicacion lineal entreespacios vectoriales sobre K. Se verifica que:
1 f (0 V) = 0 W
2 f (− v) = − f (v) para todo v ∈ V
Observacion: Las propiedades anteriores son condicionesnecesarias para que una aplicacion sea lineal, es decir, si algunapropiedad NO se cumple entonces la aplicacion NO es lineal.
Para establecer la relacion que hay entre las coordenadas de v enbase B y las de f (v) en B ′ es suficiente con conocer lascoordenadas de los vectores f (u1), f (u2), . . . , f (un) respecto deB ′.
Definicion: En las mismas condiciones anteriores, se llamaexpresion matricial de f respecto de las bases B y B ′ a laexpresion:
y1
y2...
ym
B ′
=
a11 a12 . . . a1n
a21 a22 . . . a2n...
am1 am2 . . . amn
x1
x2...
xn
B
que abreviadamente: YB ′ = M f X B tal que:
X B e YB ′ representan las matrices columna de lascoordenadas de v y f (v) en las bases B y B ′.
M f se llama matriz de f respecto de las bases B y B ′, ysus columnas son las coordenadas de los vectoresf (u1), f (u2), . . . , f (un) respecto de B ′.
1 Fijadas las bases B y B ′ , la matriz M f asociada a f esunica, debido a la unicidad de las coordenadas.
2 Si f es un endomorfismo la matriz M f de cualquiera desus expresiones matriciales es cuadrada.Ademas, se podrıa elegir la misma base B en el espacio inicial yen el final, quedando:
Teorema: (existencia de aplicaciones lineales concondiciones)
Sean V y W espacios vectoriales y B =[
u1, u2, . . . , un
]una
base de V.
Si t1, t2, . . . , tn son vectores de W entonces existe una unicaaplicacion lineal f : V −→ W tal que
f (u i) = t i ∀i = 1, . . . , n
Es decir, fijados vectores cualesquiera de W como imagenes para losvectores de una base B existe una unica aplicacion lineal que cumplaesas condiciones.
Definicion: Sea f : V −→ W una aplicacion lineal entre dosespacios vectoriales sobre K.Se define el conjunto imagen de f , y se denota Im ( f ), como elconjunto imagen del subespacio impropio V, es decir:
Proposicion: Sea f : V −→ W una aplicacion lineal entre dosespacios vectoriales sobre K, B y B′ bases de V y Wrespectivamente, tales que la expresion matricial de f respecto deellas es YB ′ = M f X B. Se verifica:
1 ker( f ) es un subespacio vectorial de V.2 El sistema lineal homogeneo M f X B = 0 proporciona unas
ecuaciones implıcitas de ker( f ). Luego:
rg(M f ) = no de ec. implıcitas independientes
dimker( f ) = dimV − rg(M f )
3 dimV = dimker( f ) + dim Im( f )
4 dim S = dim(S ∩ ker( f )) + dim f (S) siendo S ⊆ V sub. v.
5 f es inyectiva ⇐⇒ ker( f ) = { 0 V } ⇐⇒⇐⇒ dimker( f ) = 0 ⇐⇒ rg(M f ) = dimV