1 Diseño de Máquinas Cálculo y Diseño de Máquinas - Universidad de Málaga 2 Tema 2 - Fundamentos ► Esfuerzos y deformaciones simples Tracción – Compresión Cortadura Flexión Torsión ► Combinación de esfuerzos ► Teorías de Rotura estática ► Esfuerzos de Contacto Esferas Cilindros Caso General ► Concentración de esfuerzos
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Diseño de Máquinas
Cálculo y Diseño de Máquinas - Universidad de Málaga 2
Tema 2 - Fundamentos► Esfuerzos y deformaciones simples
Tracción – Compresión Cortadura Flexión Torsión
► Combinación de esfuerzos► Teorías de Rotura estática► Esfuerzos de Contacto
Esferas Cilindros Caso General
► Concentración de esfuerzos
2
Cálculo y Diseño de Máquinas - Universidad de Málaga 3
Esfuerzos y deformaciones simplesTracción – Compresión 1/2
► F – Fuerza en el eje longitudinal. (Compresión –F)
► A – Área de la sección► - Esfuerzo tensión Normal► E – Módulo de Young o de
Elasticidad► µ – Módulo de Poison► - Deformación unitaria► l – Longitud► - Deformación
11
22
F
AF
FA
A
FFE
A lA EAE
F kl l
Material en zona elástica lineal
Dirección longitudinal
Cálculo y Diseño de Máquinas - Universidad de Málaga 4
Esfuerzos y deformaciones simplesTracción – Compresión 2/2
► F – Fuerza en el eje longitudinal. (Compresión –F)
► A – Área de la sección► - Esfuerzo tensión Normal► E – Módulo de Young o de
Elasticidad► µ – Módulo de Poisson ► - Deformación unitaria► l – Longitud► - Deformación
Dirección transversal
= -
Material en zona elástica lineal
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Cálculo y Diseño de Máquinas - Universidad de Málaga
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Esfuerzos y deformaciones simplesTracción – Compresión
(Relación de problemas del Tema 2)
Cálculo y Diseño de Máquinas - Universidad de Málaga6
Esfuerzos y deformaciones simples Cortadura 1/1
F
A
► F – Fuerza normal al eje longitudinal
►A – Área de la sección► - Esfuerzo o tensión
de cortadura
τmed (no real)
4
Cálculo y Diseño de Máquinas - Universidad de Málaga
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Esfuerzos y deformaciones simples Flexión 1/15
V
► Al cortar por una sección cualquiera, para equilibrar hay que aplicar: M – Momento Flector V – Fuerza cortante
► V=0Flexión PuraEsfuerzos:► Viga recta, material homogéneo y
cumple la Ley de Hooke► Se estudian secciones alejadas de
las cargas► Eje de simetría en el plano de la
flexión► Eje de los momentos normal al
plano de simetría► Las secciones permanecen planas
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Esfuerzos y deformaciones simples Flexión 2/15
Efecto del Momento Flector M : Esfuerzos de tracción y compresión, ley de NavierI - Momento de Inercia, W – Módulo resistente = 0 Línea neutra, = Max superficie
max
max
MI
RM M
I WC
3
2
32
6
CIRCULAR
RECTANGULAR
DW
b hW
Plano de flexión
5
Cálculo y Diseño de Máquinas - Universidad de Málaga 9
Esfuerzos y deformaciones simples Flexión 3/15
Efecto de la fuerza cortante V : Esfuerzo de cortadura = Max. Línea neutra = 0 Superficie
max 0
c
R
c
Vy dA
I bV
y dAI b
FORMA DE LA SECCIÓN max
Rectangular max
3
2
V
A
Circular max
4
3
V
A
Corona Circular max
2 V
A
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Esfuerzos y deformaciones simplesFlexión 4/15
En flexión general acción conjunta de V y M ► Combinación de esfuerzos
► El inducido por V es pequeño y se suele despreciar
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Cálculo y Diseño de Máquinas - Universidad de Málaga
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Esfuerzos y deformaciones simplesTracción – Compresión
(Relación de problemas del Tema 2)
Cálculo y Diseño de Máquinas - Universidad de Málaga 12
Cálculo de deformaciones elásticas en Flexión►Métodos: Teorema de Mohr - Punto Energía de deformación - Punto Ecuación diferencial de la elástica – Viga completa Funciones de singularidad – Viga completa
Esfuerzos y deformaciones simplesFlexión 5/15
7
Cálculo y Diseño de Máquinas - Universidad de Málaga13
Ecuación Diferencial de la Elástica Integrar dos veces el
diagrama de momentos flectores
Aplicar condiciones de contorno
( )( )
( )
( ) ( )
M xx dx
E I x
y x x dx
q x ‐
M
Esfuerzos y deformaciones simplesFlexión 6/15
Cálculo y Diseño de Máquinas - Universidad de Málaga 14
► Método1. Calcular V(x) por tramos2. Obtener el momento flector M(x)
por tramos.3. Integrar el momento flector M(x)
dividido por EI para obtener el giro(x) [en radianes]
4. Integrar el giro (x) para obtener laflecha y(x)
5. Aplicar las condiciones de contornopara obtener las 2 constantes deintegración
( ) ( )
( ) ( )
( )( )
( )
( ) ( )
V x q x dx
M x V x dx
M xx dx
E I x
y x x dx
Esfuerzos y deformaciones simplesFlexión 7/15
8
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Cálculo y Diseño de Máquinas - Universidad de Málaga 28
Esfuerzos y deformaciones simples Torsión de secciones circulares 1/3
► T – Momento Torsor, coincidente con el eje longitudinal
► Barra cilíndrica recta, material homogéneo y cumple la Ley de Hooke
► Se estudian secciones alejadas de las cargas
MxMx
x
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Esfuerzos y deformaciones simplesTorsión de secciones circulares 2/3
► – Esfuerzo de cortadura ► Las secciones permanecen planas► I0 – Momento polar de inercia► r – Distancia radial► l – Distancia entre dos secciones► Máximo esfuerzo en la superficie
max =(xz)max – Esfuerzo de cortadura en la superficie
I0 – Momento polar de inercia W0 – Módulo resistente de torsión
→
10
12 1 2 1
20
2
TI
RR R
TI
R
R
∙32
ó
∙32
ó
Esfuerzos:
13
Cálculo y Diseño de Máquinas - Universidad de Málaga 30
Esfuerzos y deformaciones simples Torsión de secciones circulares 3/3
z
-z
τxz
l=ϴr
Material en zona elástica
ϴ(rad)=Tl
GI
Sección, Material y T
ctes
Deformaciones (ϴ ):
Cálculo y Diseño de Máquinas - Universidad de Málaga31
Esfuerzos y deformaciones simplesTracción – Compresión
(Relación de problemas del Tema 2)
Material:Sys=90MPa, G=0.8 e 5 MPa
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Cálculo y Diseño de Máquinas - Universidad de Málaga 32
Combinación de Esfuerzos 1/10► Estado de esfuerzo de P:
Recoge las σ al cortar por cualquierplano.
► Caracterización: dV que recogelas componentes de esfuerzo alcortar por los 3 planos de unsistema de referencia arbitrario
► Triaxial: son necesarias 6 componentes x , y , z , xy , yz , zx
►xy = yx►yz = zy►zx = xz
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Combinación de Esfuerzos 2/10
Existe un sistema de referencia 123 tal que las componentes de esfuerzo cortante son nulas1 , 2 , 3 : Esfuerzos principales (1 > 2 > 3 )
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Cálculo y Diseño de Máquinas - Universidad de Málaga
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Combinación de Esfuerzos 3/10Círculo de Mohr
(Representación del estado de tensiones en un punto)
Otto Mohr (1835-1918)
O
n(σn , τ)τ
σn
Circunferencias de Mohr:• los puntos sobre cada circunferencia representan planos
perpendiculares al formado por las direcciones principales quela definen
• El ángulo central barrido sobre la circunferencia es el doble delque se recorre en el espacio
Cálculo y Diseño de Máquinas - Universidad de Málaga 35
Combinación de Esfuerzos 4/10
► una de las componentes principales es cero
Estado de esfuerzo biaxial o plano
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Cálculo y Diseño de Máquinas - Universidad de Málaga 36
Combinación de Esfuerzos 5/10
► una de las componentes principales es cero
► Son necesarias tres componentes: x , y , xy (xy = yx )
Estado de esfuerzo biaxial o plano
Cálculo y Diseño de Máquinas - Universidad de Málaga 37
Combinación de esfuerzos 6/10Existe un sistema de referencia AB tal que las componentes de esfuerzo cortante son nulasA , B : Esfuerzos principales (A > B )
Círculo de Mohr
A , B , x , y , xy
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Cálculo y Diseño de Máquinas - Universidad de Málaga 38
Combinación de Esfuerzos 7/10Circunferencia de MohrRepresenta el estado de esfuerzo plano
2
2max
max
max
2
2
22
x ym
x yxy xy
A m xy
B m xy
xy
x y
tg
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Combinación de Esfuerzos 8/10
+
A
(300,150)
B
(50,-150)
(370.26,0)(-20.26,0)
X
Y
R
R=max XY=195.26
B A
XSIM (300,-150)
A
2
m= 175
x = 300 MPa
y = 50 MPa
xy = 150 MPa
A = 370.26 MPa
B= -20.26 MPa
= 25.09 º
=25.09º
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Combinación de Esfuerzos 9/10
Flexión + Torsión
Solo el de T(se desprecia el de V)
σ=0
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Combinación de Esfuerzos 10/10
De esfuerzo plano a triaxial: Añadir a los esfuerzos principales A y B un tercer esfuerzo de valor ceroOrdenar de forma que 1 > 2 > 3
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Cálculo y Diseño de Máquinas - Universidad de Málaga 42
►Materiales Dúctiles: Fallo por fluencia Criterio del esfuerzo cortante máximo Cirterio de Von Misses
►Materiales Frágiles: Fallo por fractura Criterio de Mohr Criterio de Mohr Modificado
Teorías de Rotura o Falla estática 1/16
Un elemento de máquinas se considera que ha fallado cuando no cumple su función
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Teorías de Rotura estática 2/16
Ensayos de:
Tracción
Compresión
Cortadura (torsión)
¿Otras cargas?
Fallo por fluenciaMATERIALES DÚCTILES
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Cálculo y Diseño de Máquinas - Universidad de Málaga 44
Teorías de Rotura estática 3/16
Ensayos de:
Tracción
Compresión
Sy-Sy
Fallo por fluenciaMATERIALES DÚCTILES
Cálculo y Diseño de Máquinas - Universidad de Málaga45
Teorias de Rotura estática 4/16MATERIALES DÚCTILESTEORÍA DEL ESFUERZO CORTANTE MÁXIMO O DE TRESCA (1814-1885)Se produce la falla por fluencia cuando el esfuerzo cortante máximo supera al que se da en el ensayo de tracción
1 3max
1 31 3
max
:
2
2
Para que no falle
SySy N
Sy
21
Cálculo y Diseño de Máquinas - Universidad de Málaga 46
Teorías de Rotura estática (3/16)
Ensayos de:
Tracción
Compresión
CortaduraSy-Sy
Sys
Fallo por fluenciaMATERIALES DÚCTILES
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Teorias de Rotura estática 5/16
MATERIALES DÚCTILESTEORÍA DE LA ENERGÍA DE DISTORSIÓN MÁXIMA O DE VON MISES (1883-1953)
Esfuerzo equivalente de Von Mises ’: Aquel esfuerzo normal que genera la misma energía de distorsión que la combinación de los esfuerzos aplicados
2 22
1 2 2 3 3 1
2 2 2
´2
´ 3
x y x y xy
22
Cálculo y Diseño de Máquinas - Universidad de Málaga 48
Teorias de Rotura estática 6/16MATERIALES DÚCTILESTEORÍA DE LA ENERGÍA DE DISTORSIÓN MÁXIMA O DE VON MISES (1883-1953)Se produce la falla por fluencia cuando al esfuerzo equivalente de Von Mises supera al que se da en el ensayo de tracción.
2 22
1 2 2 3 3 1
2 22
1 2 2 3 3 1
2 2 2
2 2 2
: ´´
2
2
33
x y x y xy
x y x y xy
SyPara que no falle Sy N
SySy N
SySy N
Cálculo y Diseño de Máquinas - Universidad de Málaga 49
Teorías de Rotura estática 7/16
► La rotura por fluencia se produce fuera de las áreas marcadas
► Se cuantifica hallando el coeficiente de seguridad N>1 No rotura N<=1 Rotura
REPRESENTACIÓN GRÁFICA
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Teorías de Rotura estática 16/16
►TRESCA y MOHR Conservadora Adecuada para diseño
► VON MISES y MOHR MODIFICADA Realista Adecuada para diseño y comprobación
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Cálculo y Diseño de Máquinas - Universidad de Málaga 59
Teorías de Rotura estática
Calcular D por resistencia
estática para:
1) Sy=450 MPa, N=2
2) Sut=00MPa
Suc=900MPaN=4
Datos:F=1000NL1=200mmL2=150mm
Ejercicio
F
L1
L2
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Esfuerzos de Contacto 1/17Esfuerzo local en la zona de contacto entre piezas: Rodamientos Levas Engranajes
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Esfuerzos de Contacto 2/17
Esfuerzos de Hertz (1857 –1894)En función de la forma de la huella:1. Contacto Circular o esférico2. Contacto lineal o cilíndrico3. Contacto elíptico o general
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Esfuerzos de contacto 3/17
CONTACTO CIRCULAR1. Esfera contra Esfera2. Esfera contra Plano3. Cilindro contra cilindro,
mismo diámetro y ejes cruzados 90º
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Esfuerzos de contacto 4/17
CONTACTO CIRCULARLa huella es circularCuerpos con E del mismo ordende magnitud:
►Distribución de Presión:elipsoide de revolución
►Presión máxima PMAX enel centro de la huella
F
F
F
F
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Esfuerzos de Contacto 5/17
2
2 21 2
1 23
1 2
3
2
1 1
31 18
0.31
0.48
0.3
M AX
M AX M A X
FP
a
E Ea F
d d
P
z a
Superficie cóncava d<0
Superficie plana d =
CONTACTO CIRCULAR
30
Cálculo y Diseño de Máquinas - Universidad de Málaga
65
0
0.5
1
1.5
2
2.5
3
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1
/P M A X ,/P M A Xz/a
Esfuerzos de contacto 6/17
20.31
0.48
0.3
X ZM A X
M AX M AXP
z a
M AX
Y
Z
Z
X Y
CONTACTO CIRCULAR Estado de esfuerzo compresión triaxial Rotura desde el interior por τMAX
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Esfuerzos de Contacto 7/17CONTACTO LINEAL•Cilindro contra cilindro paralelos de igual longitud La huella es rectangularCuerpos con E del mismo orden de magnitud:► Distribución de presión:
cilindro elíptico► Presión PMAX máxima en
el centro de la huella
F
F
b1d
2d
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Cálculo y Diseño de Máquinas - Universidad de Málaga 67
Esfuerzos de Contacto 8/17CONTACTO LINEAL
2 21 2
1 2
1 2
2
1 1
21 1
0.3
0.786
0.3
M AX
M AX M AX
FP
wb
E EFw
bd d
P
z w
Superficie cóncava d<0
Superficie plana d =
Cálculo y Diseño de Máquinas - Universidad de Málaga 68
0
0.5
1
1.5
2
2.5
3
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1
/P M A X ,/P M A X
Z/w
Esfuerzos de Contacto 9/17CONTACTO LINEAL
0.3
0.786
0.3
M AX M AXP
z w
Y
Z
M A X
Z
Y
X
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Cálculo y Diseño de Máquinas - Universidad de Málaga 69
Esfuerzos de Contacto 10/17CONTACTO ELÍPTICOLa huella es elípticaCuerpos con E del mismo orden de magnitud:► Distribución de presión
elíptica► Presión PMAX máxima en
el centro de la huella
F
F
Cálculo y Diseño de Máquinas - Universidad de Málaga 70
Esfuerzos de Contacto 11/17CONTACTO ELÍPTICO a, b (huella)PMAX
dependen de: - Ángulo que forman los
planos de curvatura principales (max o min)
curvaturas principales:► r1,r2 - Radios de curvatura
máximos► r´1 ,r´2 - Radios de
curvatura mínimos
F
F
33
Cálculo y Diseño de Máquinas - Universidad de Málaga 71
Esfuerzos de Contacto 12/17CONTACTO ELÍPTICO
2
32
0.3
1 2.66 0.53
0.7929 0.3207
M AX
M AX M AX
FP
ab
baP
b ba a
bz b
a
b/a 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0
z/b 0.785 0.745 0.665 0.590 0.530 0.480
MAX/PMAX 0.3 0.322 0.325 0.323 0.317 0.31
F
F
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Esfuerzos de Contacto 13/17CONTACTO ELÍPTICOCuerpos con diferente material
1 1 32 4 3 4
112 4
1 1 2 2
2 2
1 1 2 2 1 1 2 2
(1 ) 3; 1
4(1 )
1 1; ;
1 1 1 1 12 ' '
1 1 1 1 1 1 1 1 12 cos
2 ' ' ' '
C B
C A
C A B A B
a c e FR Rc ab F e
E Rb c e
R R R R RA B B A A B B A
A Br r r r
B Ar r r r r r r r
1.4560.06022 21 2
11 2
2
1 1 1; 1 1A
C B
RF
E E E R
34
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Esfuerzos de contacto 14/17CONTACTO ELÍPTICOCuerpos del mismo material