Tema 2: Cálculo Diferencial para funciones de varias ... · 1 Derivadas parciales de orden 1 Derivadas parciales para funciones reales de varias variables Vector gradiente Matriz

Matematicas Empresariales

Tema 2: Calculo Diferencial para funciones de variasvariables.

Philippe Bechouche

Departamento de Matematica AplicadaUniversidad de Granada

[email protected]

GADE-Doble Grado en Ade DerechoCurso 2012-2013

Philippe Bechouche Tema 2: Calculo Diferencial para funciones de varias variables. 1 / 39

1 Derivadas parciales de orden 1Derivadas parciales para funciones reales de varias variablesVector gradienteMatriz Jacobiana de una funcion vectorial de varias variables.Regla de la cadena

2 Derivadas parciales de orden 2Derivadas parciales de orden 2Matriz hessiana

3 Polinomio de Taylor


Derivadas parciales de orden 1 Derivadas parciales para funciones reales de varias variables






Derivadas parciales de primer orden

Definicion

Dada la funcion f(x1, x2, . . . , xn) y un x0 en el interior del dominio sedefinen las derivadas parciales de orden 1 en x0 como

∂f

∂x1(x0) = lım

h→0

f(x0 + (h, 0, . . . , 0))− f(x0)

h

∂f

∂x2(x0) = lım

h→0

f(x0 + (0, h, 0, . . . , 0))− f(x0)

h...

∂f

∂xn(x0) = lım

h→0

f(x0 + (0, 0, . . . , 0, h))− f(x0)

h

A lo largo de las trasparencias, la barra de x se usara para denotar avectores:

x = (x1, x2, . . . , xn) x0 = (x01, x02, . . . , x0n)Philippe Bechouche Tema 2: Calculo Diferencial para funciones de varias variables. 4 / 39


Derivada parcial de primer orden

Notacion

∂ es el sımbolo de derivada parcial.Otras notaciones posibles para una funcion de 2 variables son:

Derivada parcial de f con respecto de x:

∂f

∂x(x, y) = fx(x, y) = D1f(x, y)

Derivada parcial de f con respecto de y:

∂f

∂y(x, y) = fy(x, y) = D2f(x, y)




La derivada parcial de f respecto de xi, ∂f/∂xi, es la derivada de lafuncion que consiste en interpretar f como si solo dependiera de xi yel resto de variables fuesen constantes.

La derivada parcial ∂f∂xi

(x0) mide el crecimiento de f en x0 cuando lavariable xi aumenta y el resto de variables permanecen constantes.




∂f

∂x(1, 1) ≡ pendiente de la curva sobre la grafica en (1, 1, f(1, 1)).




La derivada parcial ∂f/∂xi se calcula con las reglas de derivacion usualespero interpretando que la unica variable es xi.

Ejemplo

Calcular todas las derivadas parciales de la funcionf(x, y) = x3 + y3 − 3xy

∂f

∂x(x, y) = 3x2 − 3y

∂f

∂y(x, y) = 3y2 − 3x





Ejemplo

Calcular todas las derivadas parciales de la funcionf(x, y) = x3 + y3 − 3xy

∂f

∂x(x, y) = 3x2 − 3y

∂f

∂y(x, y) = 3y2 − 3x





Ejemplo

Calcular todas las derivadas parciales de la funcion f(x, y) = yexy

∂f

∂x(x, y) = y2exy

∂f

∂y(x, y) = exy + xyexy





Ejemplo

Calcular todas las derivadas parciales de la funcion f(x, y) = yexy

∂f

∂x(x, y) = y2exy

∂f

∂y(x, y) = exy + xyexy



Ejemplos de derivadas parciales primer orden

f(x, y) = 4xy

∂f

∂x(x, y) =

4y

∂f

∂y(x, y) =

4x

f(x, y) = exy

∂f

∂x(x, y) =

yexy

∂f

∂y(x, y) =

xexy




f(x, y) = 4xy

∂f

∂x(x, y) = 4y

∂f

∂y(x, y) =

4x

f(x, y) = exy

∂f

∂x(x, y) =

yexy

∂f

∂y(x, y) =

xexy




f(x, y) = 4xy

∂f

∂x(x, y) = 4y

∂f

∂y(x, y) = 4x

f(x, y) = exy

∂f

∂x(x, y) =

yexy

∂f

∂y(x, y) =

xexy




f(x, y) = 4xy

∂f

∂x(x, y) = 4y

∂f

∂y(x, y) = 4x

f(x, y) = exy

∂f

∂x(x, y) = yexy

∂f

∂y(x, y) =

xexy




f(x, y) = 4xy

∂f

∂x(x, y) = 4y

∂f

∂y(x, y) = 4x

f(x, y) = exy

∂f

∂x(x, y) = yexy

∂f

∂y(x, y) = xexy



Ejemplos de derivadas parciales de primer orden

f(x, y) = exy + y

∂f

∂x(x, y) =

yexy

∂f

∂y(x, y) =

xexy + 1

f(x, y) = x3 + y3 − 3xy

∂f

∂x(x, y) =

3x2 − 3y

∂f

∂y(x, y) =

3y2 − 3x




f(x, y) = exy + y

∂f

∂x(x, y) = yexy

∂f

∂y(x, y) =

xexy + 1

f(x, y) = x3 + y3 − 3xy

∂f

∂x(x, y) =

3x2 − 3y

∂f

∂y(x, y) =

3y2 − 3x




f(x, y) = exy + y

∂f

∂x(x, y) = yexy

∂f

∂y(x, y) = xexy + 1

f(x, y) = x3 + y3 − 3xy

∂f

∂x(x, y) =

3x2 − 3y

∂f

∂y(x, y) =

3y2 − 3x




f(x, y) = exy + y

∂f

∂x(x, y) = yexy

∂f

∂y(x, y) = xexy + 1

f(x, y) = x3 + y3 − 3xy

∂f

∂x(x, y) = 3x2 − 3y

∂f

∂y(x, y) =

3y2 − 3x




f(x, y) = exy + y

∂f

∂x(x, y) = yexy

∂f

∂y(x, y) = xexy + 1

f(x, y) = x3 + y3 − 3xy

∂f

∂x(x, y) = 3x2 − 3y

∂f

∂y(x, y) = 3y2 − 3x




f(x, y, z) = ln(x + yz2) +sen(xy)

z2 + 1

∂f

∂x(x, y, z) =

1

x + yz2+

y cos(xy)

z2 + 1

∂f

∂y(x, y, z) =

z2

x + yz2+

x cos(xy)

z2 + 1

∂f

∂z(x, y, z) =

2yz

x + yz2− 2z sen(xy)

(z2 + 1)2





z2 + 1

∂f

∂x(x, y, z) =

1

x + yz2+

y cos(xy)

z2 + 1

∂f

∂y(x, y, z) =

z2

x + yz2+

x cos(xy)

z2 + 1

∂f

∂z(x, y, z) =

2yz


(z2 + 1)2





z2 + 1

∂f

∂x(x, y, z) =

1

x + yz2+

y cos(xy)

z2 + 1

∂f

∂y(x, y, z) =

z2

x + yz2+

x cos(xy)

z2 + 1

∂f

∂z(x, y, z) =

2yz


(z2 + 1)2





z2 + 1

∂f

∂x(x, y, z) =

1

x + yz2+

y cos(xy)

z2 + 1

∂f

∂y(x, y, z) =

z2

x + yz2+

x cos(xy)

z2 + 1

∂f

∂z(x, y, z) =

2yz


(z2 + 1)2




f(x, y, z) = xy + 2xz + 3yz + xyz + 10

∂f

∂x(x, y, z) =

y + 2z + yz

∂f

∂y(x, y, z) =

x + 3z + xz

∂f

∂y(x, y, z) =

2x + 3y + xy




f(x, y, z) = xy + 2xz + 3yz + xyz + 10

∂f

∂x(x, y, z) = y + 2z + yz

∂f

∂y(x, y, z) =

x + 3z + xz

∂f

∂y(x, y, z) =

2x + 3y + xy




f(x, y, z) = xy + 2xz + 3yz + xyz + 10

∂f

∂x(x, y, z) = y + 2z + yz

∂f

∂y(x, y, z) = x + 3z + xz

∂f

∂y(x, y, z) =

2x + 3y + xy




f(x, y, z) = xy + 2xz + 3yz + xyz + 10

∂f

∂x(x, y, z) = y + 2z + yz

∂f

∂y(x, y, z) = x + 3z + xz

∂f

∂y(x, y, z) = 2x + 3y + xy




f(x, y) = ln(xy)

∂f

∂x(x, y) =

y

xy=

1

x

∂f

∂y(x, y) =

x

xy=

1

y

f(x, y) = 4x2 + x

∂f

∂x(x, y) =

8x + 1

∂f

∂y(x, y) =

0




f(x, y) = ln(xy)

∂f

∂x(x, y) =

y

xy=

1

x

∂f

∂y(x, y) =

x

xy=

1

y

f(x, y) = 4x2 + x

∂f

∂x(x, y) =

8x + 1

∂f

∂y(x, y) =

0




f(x, y) = ln(xy)

∂f

∂x(x, y) =

y

xy=

1

x

∂f

∂y(x, y) =

x

xy=

1

y

f(x, y) = 4x2 + x

∂f

∂x(x, y) =

8x + 1

∂f

∂y(x, y) =

0




f(x, y) = ln(xy)

∂f

∂x(x, y) =

y

xy=

1

x

∂f

∂y(x, y) =

x

xy=

1

y

f(x, y) = 4x2 + x

∂f

∂x(x, y) = 8x + 1

∂f

∂y(x, y) =

0




f(x, y) = ln(xy)

∂f

∂x(x, y) =

y

xy=

1

x

∂f

∂y(x, y) =

x

xy=

1

y

f(x, y) = 4x2 + x

∂f

∂x(x, y) = 8x + 1

∂f

∂y(x, y) = 0


Derivadas parciales de orden 1 Vector gradiente






Vector gradiente

Definicion

Dada la funcion f(x1, x2, . . . , xn) y un x0 en el interior del dominio sedefine el gradiente de f en x0 como

∇f(x0) =

(∂f

∂x1(x0),

∂f

∂x2(x0), . . . ,

∂f

∂xn(x0)

).

Ejemplo:

f(x, y) = 5 + 14(x2 − y2)

∇f(x, y) =

(1

2x,−1

2y

),

∇f(1, 1) =

(1

2,−1

2

).



Vector gradiente

EL vector gradiente da la direccion de maximo crecimiento de f .


Derivadas parciales de orden 1 Matriz Jacobiana de una funcion vectorial de varias variables.






Funciones vectoriales. Matriz Jacobiana

Definicion

Para una funcion vectorial f : D ⊂ Rn −→ Rm, consideramos lasfunciones coordenadas

f(x) = (f1(x), f2(x), . . . , fm(x))

Ejemplo:

f(x, y) = (x2ey, x + y, cos(xy)) entonces

f1(x, y) = x2ey, f2(x, y) = x + y, f3(x, y) = cos(xy) .




Definicion matriz jacobiana

Sea f una funcion vectorial, f : D ⊂ Rn −→ Rm, considerando lasfunciones coordenadas

f(x) = (f1(x), f2(x), . . . , fm(x))

Se define la matriz Jacobiana de f en x0 ∈ Int(D) (de dimension m× n )como

Jf(x0) =

∂f1∂x1

(x0)∂f1∂x2

(x0) . . .∂f1∂xn

(x0)

∂f2∂x1

(x0)∂f2∂x2

(x0) . . .∂f2∂xn

(x0)

......

. . ....

∂fm∂x1

(x0)∂fm∂x2

(x0) . . .∂fm∂xn

(x0)




Ejemplos:

1 f(x, y) = (x2ey, x + y, cos(xy)) entonces

Jf(x, y) =

2xey x2ey

1 1−y sen(xy) −x sen(xy)

.

2 f(x, y, z) = xyz entonces

Jf(x, y, z) = (yz xz xy) .


Derivadas parciales de orden 1 Regla de la cadena






Regla de la cadena

Si tenemos una funcion, g que depende de las variables u, v y a su vez lasvariables u, v dependen de las variables x, y, entonces haciendo uso de laregla de la cadena podremos escribir

∂g

∂x=

∂g

∂u

∂u

∂x+

∂g

∂v

∂v

∂x,

∂g

∂y=

∂g

∂u

∂u

∂y+

∂g

∂v

∂v

∂y

Ejemplo

g(u, v) = u2 − v siendo u = x2y, v = xey.

∂g

∂x= 2u2xy + (−1)ey = 4x3y2 − ey

∂g

∂y= 2ux2 + (−1)xey = 2x4y − xey



Regla de la cadena

En general si una funcion g depende de las variables u1, . . . , um y estasdependen a su vez de x1, . . . , xn entonces

∂g

∂x1≡ suma de todos los terminos de la forma:

∂g

∂uj

∂uj∂x1

∂g

∂x2≡ suma de todos los terminos de la forma:

∂g

∂uj

∂uj∂x2

...

∂g

∂xn≡ suma de todos los terminos de la forma:

∂g

∂uj

∂uj∂xn



Regla de la cadena: generalizacion

Regla de la cadena

Sea f : D ⊂ Rn −→ Rm y ademas g : Rm −→ Rp con lo que se puedeconsiderar la funcion (g ◦ f)(x) = g(f(x)) y entonces

J(g ◦ f)(x) = Jg(f(x)) · Jf(x)

es una matriz de dimension p× n.



Regla de la cadena

Ejemplo:

(g ◦ f)(x, y) = g(f(x, y)) siendo

f(x, y) = (x2y, xey), g(u, v) = u2 − v

Jf(x, y) =

(2xy x2

ey xey

)Jg(u, v) = (2u,−1)

ademas g(u, v) = g(f(x, y)) = g(x2y, xey)⇒{

u = x2yv = xey

. Entonces

J(g ◦ f)(x, y, z) = (2u,−1) ·(

2xy x2

ey xey

)= (4uxy − ey, 2u x2 − xey) = (4x3y2 − ey, 2x4y − xey)

es decir:∂(g ◦ f)

∂x(x, y) = 4x3y2 − ey

∂(g ◦ f)

∂y(x, y) = 2x4y − xey



Regla de la cadena

Ejemplo:

(g ◦ f)(x, y) = g(f(x, y)) siendo

f(x, y) = (x2y, xey), g(u, v) = u2 − v

Jf(x, y) =

(2xy x2

ey xey

)Jg(u, v) = (2u,−1)

ademas g(u, v) = g(f(x, y)) = g(x2y, xey)⇒{

u = x2yv = xey

. Entonces

J(g ◦ f)(x, y, z) = (2u,−1) ·(

2xy x2

ey xey

)= (4uxy − ey, 2u x2 − xey) = (4x3y2 − ey, 2x4y − xey)

es decir:∂(g ◦ f)

∂x(x, y) = 4x3y2 − ey

∂(g ◦ f)

∂y(x, y) = 2x4y − xey


Derivadas parciales de orden 2 Derivadas parciales de orden 2






Derivadas parciales de orden 2

Si f es una funcion real de varias variables, es decir, f : D ⊂ Rn −→ R,entonces sus parciales se pueden volver a derivar parcialmente:

∂2f

∂xi∂xj(x) =

∂

∂xi

(∂f

∂xj

)(x)

∂2f

∂x2i(x) =

∂

∂xi

(∂f

∂xi

)(x)

Ejemplo:

f(x, y, z) = x ln y + y sen z

∂2f

∂x2(x, y, z) = 0

∂2f

∂x∂y(x, y, z) =

1

y

∂2f

∂x∂z(x, y, z) = 0

∂2f

∂y∂x(x, y, z) =

1

y

∂2f

∂y2(x, y, z) =

−xy2

∂2f

∂y∂z(x, y, z) = cos z

∂2f

∂z∂x(x, y, z) = 0

∂2f

∂z∂y(x, y, z) = cos z

∂2f

∂z2(x, y, z) = −y sen z



Lema de Schwarz

Lema de Schwarz

∂2f

∂xi∂xj(x) =

∂2f

∂xj∂xi(x)

Vease el ejemplo anterior


Derivadas parciales de orden 2 Matriz hessiana






Matriz hessiana

Definicion matriz hessiana

Dada una funcion f : D ⊂ Rn −→ R, se define su matriz hessiana en unpunto x0 ∈ Int(D) como

Hess f(x0) =

∂2f

∂x1∂x1(x0)

∂2f

∂x1∂x2(x0) . . .

∂2f

∂x1∂xn(x0)

∂2f

∂x1∂x2(x0)

∂2f

∂x2∂x2(x0) . . .

∂2f

∂x2∂xn(x0)

......

. . ....

∂2f

∂x1∂xn(x0)

∂2f

∂x2∂xn(x0) . . .

∂2f

∂xn∂xn(x0)

La matriz hessiana es siempre simetrica.



Matriz hessiana

Ejemplo:

f(x, y, z) = x ln y + y sen z, su matriz hessiana es

Hess f(x, y, z) =

0 1y 0

1y

−xy2

cos z

0 cos z −y sen z


Polinomio de Taylor





Polinomio de Taylor

Polinomio de Taylor

Definicion del polinomio de Taylor

El polinomio de Taylor de f : D ⊂ Rn −→ R en x0 ∈ IntD es unpolinomio, p, de variables (x1, x2, . . . , xn) tal que:

1 Si p es de grado 0, entonces vale en x0 lo mismo que f , es decir:

f(x0) = p(x0).

2 Si p es de grado 1, entonces en x0 coincide con f y sus gradientestambien coinciden:

f(x0) = p(x0), ∇f(x0) = ∇p(x0) .

3 Si p es de grado 2, entonces en x0 coincide con f y sus gradientes yhessianas tambien coinciden:

f(x0) = p(x0), ∇f(x0) = ∇p(x0), Hess f(x0) = Hess p(x0) .

4...


Polinomio de Taylor

Polinomio de Taylor

Propiedades del polinomio de Taylor

El polinomio de Taylor de f : D ⊂ Rn −→ R en x0 ∈ IntD es unpolinomio, p, de variables (x1, x2, . . . , xn) tal que:

1 Si p es de grado 0, entonces en x0, las graficas de f y p estan almismo nivel.

2 Si p es de grado 1, entonces en x0, las graficas de f y p estan almismo nivel y se inclinan igual.

3 Si p es de grado 2, entonces en x0, las graficas de f y p estan almismo nivel, se inclinan igual y se curvan igual.

4...

Una consecuencia es que p aproxima bien a f cerca de x0 yhabra propiedades de f que se podran obtener estudiando a p.


Polinomio de Taylor

Polinomio de Taylor

Polinomio de Taylor de grado 0

El polinomio de Taylor de grado 0 de f : D ⊂ Rn −→ R en x0 ∈ IntD secalcula como

p(x) = f(x0)


El polinomio de Taylor de grado 1 de f : D ⊂ Rn −→ R en x0 ∈ IntD secalcula como

p(x) = f(x0) +∇f(x0)t (x− x0)


El polinomio de Taylor de grado 2 f : D ⊂ Rn −→ R en x0 ∈ IntD secalcula como

p(x) = f(x0) +∇f(x0)t (x− x0) +

1

2(x− x0)

t Hess f(x0) (x− x0)


Polinomio de Taylor

Polinomio de Taylor

Ejemplo

f(x, y) = xey con x0 = (1, 0) (en este caso x = (x, y)):

f(x, y) = xey ⇒ f(1, 0) = 1

∇f(x, y) = (ey, xey) ⇒ ∇f(1, 0) = (1, 1)

Hess f(x, y) =

(0 ey

ey xey

)⇒ Hess f(1, 0) =

(0 11 1

)Entonces el polinomio de Taylor de grado 0 es:

p(x, y) = f(1, 0) = 1


Polinomio de Taylor

Polinomio de Taylor

Ejemplo


f(x, y) = xey ⇒ f(1, 0) = 1

∇f(x, y) = (ey, xey) ⇒ ∇f(1, 0) = (1, 1)

Hess f(x, y) =

(0 ey

ey xey

)⇒ Hess f(1, 0) =

(0 11 1


p(x, y) = f(1, 0)+∇f(1, 0)t(x− 1y − 0

)= 1+

(1 1

)(x− 1y

)= 1+(x−1)+y


Polinomio de Taylor

Polinomio de Taylor

Ejemplo


f(x, y) = xey ⇒ f(1, 0) = 1

∇f(x, y) = (ey, xey) ⇒ ∇f(1, 0) = (1, 1)

Hess f(x, y) =

(0 ey

ey xey

)⇒ Hess f(1, 0) =

(0 11 1


p(x, y) = f(1, 0) +∇f(1, 0)t(x− 1y − 0

)+

1

2

(x− 1 y − 0

)(0 11 1

)(x− 1y − 0

)= 1 + (x− 1) + y + (x− 1)y +

1

2y2


Tema 2: Cálculo Diferencial para funciones de varias ... · 1 Derivadas parciales de orden 1 Derivadas parciales para funciones reales de varias variables Vector gradiente Matriz

Documents