TEMA 2 ÁLGEBRA - sbe77d6656e1cc829.jimcontent.com file= 2x 4 –6x 3+10x 2 –12x +10 Producto: El producto de dos polinomios es otro polinomio que se obtiene multiplicando cada término

1º Bachillerato Matemáticas I Tema 2: Álgebra Ana Pascua García

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1.- POLINOMIOS: OPERACIONES CON POLINOMIOS Def: Un polinomio es la suma o diferencia de varios monomios no semejantes, a cada uno de ellos se les denomina términos del polinomio. El grado del polinomio es el grado del término de mayor grado, que se denomina término general y el término de grado cero se denomina término independiente. Así, un polinomio de grado n será de la forma P(x) = anx

n + an-1xn-1 + …….. a1x + a0,

siendo an su coeficiente principal y a0 el término independiente. Valor numérico de un polinomio P(x) Sea a un número real, se llama valor numérico de P(x) en x = a, y se denota P(a), al número que resulta de sustituir x por a en P(x) y efectuar las operaciones correspondientes. Ejemplo: P(x) = x3 + 2x2 – 23x – 60 P(1 ) = 13+2·12 – 23·1–60= 1 + 2 – 23 – 60 = – 80 P(–3) = (–3)3+2·(–3)2–23·(–3) –60= –27 + 18 + 69 – 60 = 0 Ceros o raíces de un polinomio Diremos que x = a es un cero o raíz del polinomio P(x) si el valor numérico de P(x) en x = a es 0 x = a es raíz de P(x) ⇔ P(a) = 0 Operaciones con polinomios:

� Suma y diferencia: La suma o diferencia de dos polinomios es otro polinomio que se obtiene sumando o restando los monomios que sean semejantes y dejando indicada la operación de los términos no semejantes.

Ejemplo: P(x) + Q (x) = (2x4 – 3x3 + 4x2 – 4x + 5) + (3x3 – 6x2 + 8x – 5) = 2x4 – 2x2 + 4x P(x) – Q (x) = (2x4 – 3x3 + 4x2 – 4x + 5) – (3x3 – 6x2 + 8x – 5) = = 2x4 – 3x3 + 4x2 – 4x + 5 – 3x3 + 6x2 – 8x + 5= = 2x4 –6x3+10x2 –12x +10

� Producto: El producto de dos polinomios es otro polinomio que se obtiene multiplicando cada término del primer polinomio por todos los términos del segundo polinomio, y simplificando los términos semejantes. (Usaremos la propiedad distributiva) Ejemplo:


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� División de polinomios: Para dividir dos polinomios usaremos un método análogo al que usamos para dividir números enteros. Véase el ejemplo: Notas:

� Es importante dejar huecos en el dividendo si éste no es completo. (En el divisor no es necesario).

� No olvides cambiar de signo el resultado del producto de cada término del cociente por el divisor, al colocarlo debajo del monomio semejante del dividendo.

� La división se acaba cuando el grado del dividendo es menor que el

grado del divisor.

� Aplicando el Algoritmo de Euclides )()()·()( xRxCxdxD += , se

deduce que )(

)()(

)(

)(

xd

xRxC

xd

xD +=

� Regla de Ruffini: Podemos aplicar esta regla cuando el divisor es de la forma x – a, siendo aQ∈ Recuerda:

-Colocamos en la parte superior los coeficientes (con sus signos correspondientes) de cada término del polinomio dividendo, en orden, colocando un cero en el lugar correspondiente al término que faltase , en el caso de que el polinomio fuese incompleto. - En la parte de la izquierda colocamos el valor de a . - Los números que se obtienen en la parte inferior son los coeficientes , en orden , del polinomio cociente, cuyo grado será uno menos que el del dividendo. Ejemplo: (x3 +2x2 – 23x – 65) : (x + 3) | 1 2 – 23 – 65

-3 | –3 +3 + 60 Luego C(x) = ( )202 −− xx ------|--------------------------------------------------- R = –5 1 –1 – 20 –5


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2.- RAÍCES Y FACTORIZACIÓN DE POLINOMIOS. TEOREMA DEL RESTO Y TEOREMA DEL FACTOR

Factorizar un polinomio es expresar el polinomio como producto de otros polinomios (factores) del menor grado posible. Teorema del Resto: El resto de dividir el polinomio P(x) entre (x – a), coincide con el valor numérico de P(x) en x = a. Es decir, R = P(a) Demostración: Dividimos P(x) entre x – a , sea R es el resto de esta división, y C(x) el cociente. Se cumple que P(x) = C(x) · (x –a) + R; Sustituimos en la expresión anterior x por a obteniendo P(a) = C(a)·(a –a) + R; Luego P(a) = C(a) ·0 +R ; P(a) = R cqd Teorema del factor: Si x = a es una raíz de P(x), entonces x – a es un factor de P(x) Demostración:

Si x = a es una raíz de P(x) , por definición, P(a) = 0 Dividimos P(x) entre x – a , si R es el resto de esta división, por el teorema del

resto, R = P(a) ,

Luego, R = 0

Como P(x) = (x – a ) · C(x) + R ------------ P(x) = (x – a ) · C(x)

Luego (x – a ) es un factor de P(x) cqd

Ejercicio propuesto:


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PROCEDIMIENTO DE FACTORIZACIÓN DE UN POLINOMIO:

1. Extraer factor común cuando sea posible. 2. Si el polinomio a factorizar es de grado mayor que dos:

� Localizamos las raíces enteras del polinomio (Buscamos x= a entre los divisores del término independiente tales que P(a) = 0)

� Aplicamos Ruffini sucesivamente con las raíces encontradas para factorizar el polinomio.

3. Si el polinomio a factorizar es de grado 2:

� Identificamos productos notables

� Hallamos las raíces del polinomio de 2º grado , resolviendo la ecuación que resulta de igualar a cero dicho polinomio. Si la ecuación resultante no tiene solución real, diremos que dicho polinomio es irreducible en

• Nota: Consideraremos polinomios irreducibles en R todos los de grado 1 y los de grado 2 que no tengan en .

• Si P(x) es un polinomio de grado n , P(x) = anx

n + an-1xn-1 + …….. a1x + a0 , y

sus raíces son a0, a1,a2, a3,……….an -1 , entonces la factorización de P(x) será de la forma P(x) = an · (x– a0)(x–a1) ·(x–a2) ·(x–a3) ……..(x–an-1)

• Si en la factorización un factor se repite dos veces , tres veces……, diremos que la raíz correspondiente es doble, triple…..

Ejemplo: Factorizar y decir cuáles son las raíces de P (x) = x4 + 2x3 – 23x2 – 60x 1. Extraemos factor común a x P(x) = x · (x3 + 2x2 – 23x – 60) 2. Buscamos raíces enteras de P(x) entre los divisores del término independiente.

Nota:

� Es importante que te des cuenta de que iremos sustituyendo los valores de las posibles raíces en (x3 + 2x2 – 23x – 60), ya que si anula a este polinomio, obviamente también lo hará a P(x), y como es de menor grado que P(x), los cálculos serán más sencillos.

� En este ejemplo, hemos hallado los valores numéricos del polinomio en cada uno de los posibles valores, pero recuerda que solo necesitamos encontrar uno cuyo valor numérico sea cero, a veces a simple vista, se observa que el resultado será distinto de cero, sin necesidad de calcular su valor exacto, en esos casos, bastará con que escribas P(a) =.................... 0≠ y sigas buscando.


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P(1 ) = 1 + 2 – 23 – 60 = – 80 P(–1) = – 1 + 2 + 23 – 60 = –36 P(2) = 8 + 8 – 46 – 60 = – 90 P(–2) = – 8 +8 + 46 – 60 = –14 P(3) = 27 +18 – 69 – 60 = – 84 P(–3) = –27 + 18 + 69 – 60 = 0 ----------> x = –3 es una raíz de P(x)

3. Con encontrar una raíz será suficiente para empezar a aplicar Ruffini. Recuerda que lo aplicaremos al polinomio que queremos factorizar, es decir, x3 + 2x2 – 23x – 60. Método de Ruffini: - Colocamos en la parte superior los coeficientes (con sus signos correspondientes) de cada término del polinomio, en orden, colocando un cero en el lugar correspondiente al término que faltase , en el caso de que el polinomio fuese incompleto. - En la parte de la izquierda colocamos la raíz que hemos encontrado. | 1 2 – 23 – 60 -3 | –3 +3 + 60 ------|--------------------------------------------------- 1 –1 – 20 0

Luego P(x) = x · (x + 3) · ( )202 −− xx

Para factorizar ( )202 −− xx , al ser un polinomio de grado 2, resultará más

rápido resolver la ecuación de segundo grado 0202 =−− xx que buscar nuevas raíces. También debes tener en cuenta que el polinomio puede tener raíces no enteras, y encontrarlas con Ruffini puede ser "interminable".

Al resolver esa ecuación encontramos que las raíces son: 4

5

−==

x

x

Luego P (x) = x · (x + 3) · (x – 5) · (x + 4) y las raíces serán :

4

5

3

0

4

3

2

1

−==

−==

x

x

x

x

Ejercicio propuesto


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3.- FRACCIONES ALGEBRAICAS.

Definición: Una fracción algebraica es una fracción del tipo )(

)(

xQ

xP, siendo P(x) y Q(x)

dos polinomios.

Ejemplo: 5

342 −

+x

x

3.1.- SIMPLIFICACIÓN DE FRACCIONES ALGEBRAICAS Una de las aplicaciones de la factorización de polinomios es la simplificación de fracciones algebraicas. Simplificar una fracción algebraica es obtener una equivalente a ella que sea más sencilla. Si una fracción no puede simplificarse, se dice que es irreducible. Procedimiento para simplificar una fracción algebraica: Seguiremos los siguientes pasos: 1º) Descomponemos en factores los polinomios que están en el numerador y en el denominador. 2º) Dividimos numerador y denominador entre los factores que tengan en común. (El mismo procedimiento que usamos para simplificar una fracción numérica)

Ejemplo:


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3.2.- OPERACIONES CON FRACCIONES ALGEBRAICAS

� SUMA Y RESTA Se procede de la misma forma que con las fracciones numéricas: - Se reduce a común denominador hallando el m.c.m. de los denominadores - Se hallan las fracciones equivalentes a las anteriores y se operan los numeradores - Se simplifica la fracción resultante si se puede. Ejemplos resueltos:

1) Efectúa: xx

x

x

x

x −+−

−+

32

12

1

1

Primero tenemos que encontrar el denominador común. Para ello tomamos el m.c.m. de los denominadores:

)1)(1(...

)1)(1()1(

)1)(1(1

23

2 −+=

−+=−=−−+=− xxxmcm

xxxxxxx

xxx

x

xx

x

x

x

x −+−

−+

32

12

1

1= =

−++−

−++

−+−+

)1)(1(

12

)1)(1()1)(1(

)1)(1( 2

xxx

x

xxx

x

xxx

xx

)1)(1(

222

)1)(1(

121 222

−+−−=

−+−−+−=

xxx

xx

xxx

xxx

2) =+

−−

+− 111

22 x

x

x

x

x=

−++−++=

−+−−++

)1)(1(

2

)1)(1(

)1()1(2 22

xx

xxxx

xx

xxxx=

−++

)1)(1(

22

xx

x

= 1

2

)1)(1(

)1(2

−=

−++

xxx

x

Ejercicio 1:

a) =−−−+23

2

3

21

x

x

xx

x b) =+−

+ xx

x 31

1

c) =−

−+

+− 16

1

4

3

4 2xxx

x d) =

++

−+

−+

yx

y

yx

x

yx

yx22

22

e) =−

+−

−+ 1

211222 x

x

xxxx f) =

−−

+−

−−+

22

24

yx

x

yx

yx

yx

yx

g) =−

−++

++82

2

22

22

23

x

xx

x

xx h) =

+−+

−+

− 2312 2 xx

x

x

x

x

x


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� PRODUCTO Y DIVISIÓN Se procede de la misma forma que con las fracciones numéricas

)()·(

)()·(

)(

)(·

)(

)(

xSxQ

xRxP

xS

xR

xQ

xP =

Es importante intentar factorizar cada uno de los polinomios y simplificar los factores cuando sea posible, antes de operar, de lo contrario el proceso puede complicarse. Una vez realizada la multiplicación o división de las fracciones se reduce a un simple ejercicio de simplificación.

Ejemplos: a) 22 3

1

3)3(

)3)(1(

3

3·

3

1

x

x

xxx

xx

x

x

xx

x +=+

++=+

++

b) 1)3)(1)(2(

)1·()·3)(2(

)3)·(2(

))·(6(3:

2

622

22

2

2

2

2

=−−+

−−+=

−−+−−−

=−−

−+−−

xxxx

xxxx

xxxx

xxxx

xx

xx

xx

xx

Ejercicio 2:

a) x

x

x

x 63

42

+⋅+

b) x

xx

x

x 12

1

22 +−⋅−

=

c) =+−−

13

26:

2

13

x

x

x

x d) =

−−−

xy

xyx

yx

yx 222

:

e) =++

−⋅

++

2

22

2

2

44

4

2

2

aa

yx

xyx

aa f) =

−−

⋅−

−+⋅+

−−1

)2(

)2(

32

3

22

2

3

22

a

a

a

aa

a

aa

� OPERACIONES COMBINADAS

Se aplica la misma jerarquía de operaciones que para números reales. Ejemplo:

=−+−+

−=−+−++

−+−−−=

+

+−

−

−+ )1)(1(

2:

)1)(1(

2

)1)(1(

11:

)1)(1(

11

1

1

1

1:

1

1

1

1

xx

x

xxxx

xx

xx

xx

xxxx

xx

1

2

2 −=−=

Ejercicio 3:

a) =

+

−⋅

−

+x

x

x

x

11

11 b) =

++

++a

aaa

23:

121

2

c) =+

−−

− 1:

1

2

1

12 x

x

x

x

x d) =

++

+−

+

+

−

yxxyx

yx

yxyx

11:

11:

11

e) =

+−

−−+

⋅

−⋅

+ yx

yx

yx

yx

y

x

yx1

32

2

f) =

+⋅

+⋅

−22 ba

ab

a

b

b

a

a

b

b

a


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SOLUCIONES A LOS EJERCICIOS:

1.- a) 3

2

3

395

x

xx ++− b)

)1(

32

++

xx

x c)

16

1372

2

−−+

x

xx d)

yx

x

−2

e) x

2 f)

yx

x

+− 4

g) 1+x h) 2

2

−x

x

2.- a) 2

3 b)

1−x

x c)

x

x

4

13 + d)

yx

yyx

−+ )(

e) )2(

)2(

ax

yxa

+−

f) 1

3.- a) 21

1

x− b)

)2(

1

++

aa

a c)

x

1− d) 0 e)

)(

12

yxy

x

+ f)

ab

ba 22 −

4.- ECUACIONES. 4.1.- ECUACIONES POLINÓMICAS Repasemos los principales tipos de ecuaciones polinómicas, que son aquellas en las que únicamente intervienen polinomios. Su grado será el máximo grado de los polinomios que las determinan :

� Ecuación de primer grado: Puede tener una, ninguna o infinitas soluciones:

� Ecuación de segundo grado: La forma general es 02 =++ cbxax , siendo a 0≠ Pueden ser: Completas: cuando a 0≠ ; b 0≠ , c 0≠

Se resuelven aplicando la fórmula a

acbbx

2

42 −±−=


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Incompletas: Cuando b = 0 o c = 0 Caso 1: Si b = 0 Caso 2 : c = 0 Fórmulas de Cardano-Vieta Si x1 y x2 son las soluciones de la ecuación 02 =++ cbxax , se verifica:

a

c

a

b =−=+ 2121 x·x xx

� Ecuación bicuadrada Es de la forma 024 =++ cbxax Resolución: Aplicamos el cambio de variable t = x2 Se transforma la ecuación en una de 2º grado en la incógnita t; 02 =++ cbtat Resolvemos la ecuación y deshacemos el cambio de variable.


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Ejemplo:

realsolución tieneNo12

2

392

18

2

108

2

36648098

098

2

124

42

2

24

→−=−=

±=→===±=+±=→=−−

=

=

=−−

t

xtttt

xt

xt

xx

� Ecuación polinómica de grado superior a dos Es de la forma P(x) = 0, luego resolverla equivale a hallar las raíces del polinomio P(x). Es decir, factorizaremos el polinomio con el procedimiento visto en el punto 2 de este tema y hallaremos sus raíces. Ejemplo:


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4.2.- ECUACIONES RACIONALES Son aquellas en las que aparecen fracciones algebraicas. Para resolverlas: -se opera con las fracciones algebraicas hasta obtener una ecuación polinómica y se resuelve. - Se comprueba siempre que las soluciones son ciertas, que no anulan los denominadores, ya que en el proceso de eliminar denominadores pueden aparecer soluciones falsas. Ejemplos: 1) 2)

rdenominadoalgún anula seecuación laen sustituir al porque falsa, es obtenidasolución única La

)(10)1(012

02423322)1)·(1(

)1(

)1)(1(

)1(3

)1)(1(

2

11

3

1

2

22

222

2

doblexxxx

xxxxxxxx

xx

xx

xx

xx

x

x

x

x

x

−=⇒=+⇒=++

=++⇒−=++⇒−+

−=−+

++−+

+=

−+

−


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4.3.- ECUACIONES IRRACIONALES Son ecuaciones con radicales, en las que la incógnita aparece en el radicando de alguno de ellos. Resolución: distinguiremos los casos: -a) Ecuación con un único radical cuadrático: aislaremos el radical en un miembro y elevaremos al cuadrado ambos miembros. - b) Ecuación con más de un radical cuadrático: Se aísla uno de los radicales en un miembro, se eleva al cuadrado ambos miembros, se simplifica y se repite el procedimiento si fuese necesario. Nota: Al elevar al cuadrado pueden aparecer soluciones falsas, por eso siempre hay que comprobar si son válidas todas las soluciones. Ejemplos:

a) 1322 2 −=−++ xxx

Se aísla el radical en el primer miembro 1322 2 −=−+ xxx Elevamos al cuadrado los dos miembros de la ecuación y operamos hasta obtener una ecuación polinómica, y la resolvemos:

( ) ( )24

04123221322 22222

2

±==

=−→+−=−+→−=−+

x

xxxxxxxx

Se comprueban las soluciones sustituyendo los valores de x obtenidos en la ecuación inicial.

erdaderasolución v es21121234822

falsasolución es215329234822

−=→−=+−=+−=−−+−→−=

=→−≠=+=+=−++→=

xxSi

xxSi

La única solución es x= -2 b)

Ejercicio propuesto:


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4.4.- ECUACIONES LOGARÍTMICAS Son ecuaciones en las que la incógnita aparece en la base o en el argumento de un logaritmo. Resolución: - Aplicamos propiedades de los logaritmos (vistas en el tema 1), hasta transformar los miembros de la ecuación en una igualdad de logaritmos de la misma base. - Teniendo en cuenta que NMNM aa =⇔= loglog , transformamos la

ecuación inicial en otra ecuación fácil de resolver. Nota: Siempre hay que comprobar en la ecuación inicial que las soluciones obtenidas son válidas, ya que los logaritmos no están definidos cuando el argumento es cero ni para valores negativos. Ejemplos: 1)

( )

636036

)(00

036·0363636loglog6logloglog

6log2log3log5

2

3

23353535235

±==⇒=−=⇒=

⟨

=−⇒=−⇒=⇒=⇒+=

+=

xx

triplexx

xxxxxxxxxx

xx

Comprobación: Para los valores de x = 0 y x = -6 , el argumento del logaritmo es menor o igual que cero, luego no existe el logaritmo, y por lo tanto esas soluciones son falsas. Al sustituir x = 6 en la ecuación obtenemos: 5log 6 = 3log 6 + 2log 6, que es cierto. Luego la única solución correcta es x = 6. 2)


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4.5.- ECUACIONES EXPONENCIALES Son las ecuaciones en las que la incógnita se encuentra en el exponente de una potencia Resolución: Distinguimos los siguientes casos: Caso 1: Los dos miembros de la ecuación se reducen a potencias de la misma base, aplicando propiedades de las potencias. Considerando que mn =⇔= mn a a siempre que 0;1 ≠±≠ aa , igualando los exponentes obtendremos una ecuación fácil de resolver. Ejemplo:

( )( )

4

1014

0014

04242222242·2

42·4

222421222122

12

222

2

=→=−=

⟨=−⋅

=−⇒+=+⇒=⇒=⇒=

=+++++

+

xx

xxx

xxxxxxxxxx

xx

Caso 2: Aparecen o transformamos la ecuación inicial en sumas o restas de potencias de la misma base a . Efectuaremos el cambio de variable ax = z. Resolvemos la ecuación obtenida en la nueva variable z y deshacemos posteriormente el cambio de variable. Ejemplo:

1222 1 =+ +xx

Caso 3: Si no estamos en ninguno de los casos anteriores, tendremos que tomar logaritmos en los dos miembros de la ecuación y resolver la ecuación logarítmica resultante. Ejemplo:

( ) ( )

3log

2log1

3log

2log

3log

3log

3log

2log3log3log2log3log

2log3log3log2log3log12log3log23

22

2211 22

−±=−±=→−=⇒=−

=−⇒=−⇒=⇒= −−

xxx

xxxx


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Nota: En ocasiones al resolver una ecuación exponencial tenemos que aplicar varias de las estrategias vistas en los apartados anteriores. Véase el siguiente ejemplo. Ejemplo:

( ) ( ) 9240162982522922522

9252242342

342

−=⋅−⋅⇒−=⋅⋅−⋅⇒−=⋅⋅−⋅

−=⋅− ++

xxxxxx

xx

Se aplica el cambio de variable z = 2x

−=⇒=⇒=

↑↑

==⇒=⋅⇒=

=

=⇒=+−⇒−=⋅−⋅

− 2224

12

base de cambiologaritmos Tomando

4

9log

2log4

9log

4

9log2log

4

92

variablede cambio el Deshacemos

4

14

9

grado 2º deecuación la Resolvemos09401694016

2x

2x

22

x

xx

z

zzzzz

x

4.6.- ECUACIONES CON VALOR ABSOLUTO Son de la forma :

siendo k > 0 siempre


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5. SISTEMAS DE TRES ECUACIONES LINEALES. MÉTODO DE GAUSS

Son sistemas formados por tres ecuaciones de primer grado, en el que aparecen tres incógnitas, generalmente x, y z.

Serán de la forma:

=++=++

=++

''''''''

''''

dzcybxa

dzcybxa

dczbyax

,

siendo a, a' a'' los coeficientes de x; b, b' , b'' los coeficientes de y ; c, c', c'' los coeficientes de z. Para resolverlo, usaremos el método de Gauss, que consiste en aplicar el método de reducción de forma estructurada con el objetivo de obtener un sistema triangular equivalente, esto es, obtener un sistema de la forma:

Para obtener un sistema equivalente, recordemos que puede conseguirse si:

El procedimiento a seguir en el método de Gauss será el siguiente:

Nota importante:


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Al resolver los sistemas , los clasificaremos de la siguiente forma: Sistemas de ecuaciones lineales

Ejemplo:

=−−=−+=−+

63

62

732

zyx

zyx

zyx

Vamos a eliminar la x de la 2ª y 3ª ecuación usando la 1ª, para ello les restaremos el doble y el triple de la1ª respectivamente:

=−−=−+=−+

63

62

732

zyx

zyx

zyx

⇒

−=+−−=+−

=−+

−→−→

1587

853

732

3

2

133

122

zy

zy

zyx

EEE

EEE

Ahora intentaremos eliminar la incógnita y de la 3ª ecuación aplicando el método de reducción entre la 2ª y 3ª ecuación

−=+−−=+−

=−+

1587

853

732

zy

zy

zyx

⇒

233 73 EEE −→

=−−=+−

=−+

1111

853

732

z

zy

zyx

Resolvemos las ecuaciones empezando por la tercera, que tiene solo una incógnita, y vamos sustituyendo los valores obtenidos y resolviendo la segunda y la primera .

=−−=+−

=−+

1111

853

732

z

zy

zyx

⇒

−==→−=−

=−−=→

−=−=−+−=−−+

1

133

2327

1

8)1·(53

7)1·(31·2

z

yy

x

z

y

x

⇒ Sol:

1

1

2

−===

z

y

x


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6. INECUACIONES Una inecuación es una desigualdad entre dos expresiones algebraicas en las que aparecen una o más incógnitas. La solución de una inecuación es el conjunto de todos los valores de las incógnitas que hacen que la desigualdad sea cierta. Ejemplo: 2x – 6 > 0 La solución son todos los valores de x mayores que 3; x > 3 ; (3, ∞ ) Consideraremos los siguientes tipos de inecuaciones:

� Inecuaciones de primer grado Se resuelven las mismas técnicas que para resolver las ecuaciones lineales, teniendo en cuenta que si se multiplican o dividen los miembros de una inecuación por un número negativo , cambia el sentido de la desigualdad.

Ejemplo: ( )6

2

4

13

2

−−−<−− xxx

x

),5(5357

1366423336612

42

12

33

12

36126

∞∈→>→−<−

+<+−→+−−<+−→−−−<+−

xxx

xxxxxxxxx

� Inecuaciones polinómicas. Las ecuaciones polinómicas de grado mayor que 1, procederemos siguiendo los siguientes pasos: 1º.- Operaremos en la inecuación hasta conseguir que uno de los miembros de la misma sea 0, es decir , de la forma P(x) <0 ; P(x) >0 ; P(x) ≤ 0; P(x) ≥ 0. 2º.- Hallamos las raíces de P(x) y lo factorizamos. 3º.- Dividimos la recta real en los intervalos que determinan sobre ella las raíces de P(x). 4º.- Se averigua el signo de P(x) en cada uno de los intervalos anteriores, a través del estudio del signo de cada uno de los factores de P(x). 5º.- Comprobamos si los extremos de los intervalos también pertenecen a la solución.


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Ejemplo: 123 +<+ xxx

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 01·101·1·101·1

0101

1

1

0

1

1

11

1 1 xpara Ruffini Aplicamos

01

011

22

23

2323

<−+→<−++→<−+

−

−−−−

−=

=−−+<−−+→+<+

xxxxxxx

xxx

xxxxxx

∞− 1− +1

(x+1)2 + + + (x – 1) – – +

(x+1)2·(x – 1) – – + Por lo tanto la solución serán los valores de x para los que obtenemos el signo negativo.

Nota: No podemos incluir en la solución el valor x = –1, ya que ( ) ( )1·1 2 −+ xx = 0

Solución: ( ) ( )1,11, −∪−∞− � Inecuaciones racionales

La forma general es 0)(

)( ≤xQ

xP o con algún otro de los operadores de

desigualdad. El procedimiento será parecido al que utilizamos para las inecuaciones polinómicas: 1º.- Operamos en la inecuación hasta tenerla en la forma general, es decir, en un miembro tendremos una fracción algebraica y en el otro 0. 2º.- Factorizamos y hallamos las raíces de los polinomios del numerador y el denominador de la fracción. 3º.- Situamos sobre la recta real las raíces obtenidas anteriormente y consideramos los intervalos que se forman. 4º.- Averiguamos el signo de la fracción algebraica en cada uno de los intervalos, a través del estudio del signo de cada uno de los factores del denominador y denominador. 5º.- Es importante comprobar si los extremos de los intervalos pertenecen o no a la solución. Asimismo, hay que tener en cuenta, que las raíces del denominador siempre hay que excluirlas de la ecuación, ya que hacen cero el denominador.

Ejemplos: a) 03

481652 ≤

+−+−

xxx b) 0

543

2

≥−

−+xx

xx


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� Inecuaciones con valor absoluto Hay dos casos posibles: siendo k > 0 � Inecuaciones con dos incógnitas


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7. SISTEMAS DE INECUACIONES Un sistema de inecuaciones está formado por varias inecuaciones con una o varias incógnitas. 7.1 SISTEMAS DE INECUACIONES CON UNA INCÓGNITA Pueden ser sistemas lineales si todas las inecuaciones que lo integran lo son, o no lineales, si alguna de las inecuaciones del sistema no es lineal:

Sistema lineal Sistema de inecuaciones no lineal En ambos casos el procedimiento para resolverlas será :

� Resolver cada una de las inecuaciones por separado y expresar su Solución en forma de intervalos/ semirrectas o unión de éstos

� La solución del sistema será la intersección de las soluciones de cada una de las inecuaciones


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7.2 SISTEMAS DE INECUACIONES LINEALES CON DOS INCÓGNITAS Cuando consideramos encontrar las soluciones comunes de varias inecuaciones lineales, estamos resolviendo un sistema de inecuaciones. Recordemos que el conjunto de soluciones de una inecuación lineal con dos incógnitas es un semiplano. Luego el conjunto de las soluciones de un sistema de inecuaciones lineales de este tipo será la intersección de varios semiplanos, es decir, un recinto poligonal o bien un recinto abierto.

Recinto poligonal Recinto abierto

Ahora bien, también es posible que los semiplanos no tengan ningún punto en común, en ese caso el sistema no tendrá solución y diremos que es un sistema incompatible.


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Veamos algunos ejemplos resueltos:

1.-Resuelve el sistema:

>−+

−>−−

≥+

082

3

1

3

12

02

2 xx

xx

x

x

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

>+−−>

∞→

>+−−>

≥→

>+−−>+−

≥

04·2

1

),2[

04·2

22

2

04·2

1316

2

xx

x

xx

x

x

xx

xxx

x

Obtenemos las soluciones de cada una de las inecuaciones:

),2()4,(ª3

),1(ª2

),2[ª1

+∞∪−−∞→+∞−→

+∞→

La solución del sistema será la intersección de las soluciones, es decir:

2. Representa la solución del sistema de inecuaciones:

≥−≥−

≤+

1

42

2

y

yx

yx

Representamos en el plano cada una de las rectas:

=−=−

=+

1

42

2

y

yx

yx

Para ello en los dos primeros casos obtenemos 2 puntos por los que pasa cada una (haciendo tabla de valores), y en el tercer caso, la recta es paralela al eje de abscisas. Marcamos la parte del semiplano que determina cada inecuación. La solución del sistema será la zona formada por el triángulo ABC

}{ }{ ),2(),2()4,(),2[),2()4,(),1(),2[ +∞=+∞∪−−∞∩+∞=+∞∪−−∞∩+∞−∩+∞

TEMA 2 ÁLGEBRA - sbe77d6656e1cc829.jimcontent.com file= 2x 4 –6x 3+10x 2 –12x +10 Producto: El producto de dos polinomios es otro polinomio que se obtiene multiplicando cada término

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