I.E.S. Sierra de Mijas Curso 2018-19 Física 2º Bachillerato 1/40 Tema 1 TEMA 1 INTERACCIÓN GRAVITATORIA 1. INTRODUCCIÓN. FUERZAS CONSERVATIVAS. ....................................................................... 2 2. TEORÍA DE LA GRAVITACIÓN UNIVERSAL ............................................................................ 9 3. CAMPO GRAVITATORIO. INTENSIDAD Y POTENCIAL GRAVITATORIO ......................... 17 4. ESTUDIO DEL CAMPO GRAVITATORIO TERRESTRE ........................................................... 25
40
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TEMA 1 INTERACCIÓN GRAVITATORIA · Un cuerpo en caída libre transforma su energía potencial gravitatoria en ... superficie con la que roza y al ambiente también como energía
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d) Cálculo de la energía total en una órbita (energía mecánica de la órbita o energía de enlace)
de un satélite o un cuerpo.
h ET = Eenlace = Em = Ep + Ec=
vB =vorb
rT rT+h=rB = 2'2
1'·B
B
T vmr
mmG
vB = vorb = B
T
r
mG
Em = ET = 2'2
1'·vm
r
mmG T =
r
mmG
r
mGm
r
mmG TTT ´·
2
1´
2
1´·
e) Energía necesaria para pasar un satélite de una órbita a otra.
Para pasar el satélite de una órbita a otra se debe realizar el trabajo necesario para suministrar
el incremento de energía mecánica que experimentará el satélite al pasar desde un punto (A) de la
primera hasta un punto de la segunda órbita (B).
Wmotor = ΔEm = EmB – EmA
B
A
rB Si E>0 de órbita pequeña a órbita grande
Si E<0 de órbita grande a órbita pequeña.
Wmotor = ΔEm = B
T
r
mmG
´·
2
1 )
´·
2
1(
A
T
r
mmG (J)
rA
r
Si pasamos de una órbita grande a otra pequeña
pierde energía y si va de una pequeña a otra
grande se le suministra.
I.E.S. Sierra de Mijas Curso 2018-19
Física 2º Bachillerato 32/40 Tema 1
f) Velocidad de fuga desde una estación orbital utilizada como plataforma de lanzamiento.
Para determinar la velocidad de escape desde una órbita, utilizaremos el principio de
conservación de la energía mecánica. Debe determinarse la velocidad mínima con la que debe
impulsarse un cuerpo desde la órbita inicial para llegar a un punto B fuera del campo.
EmA = EmB = cte
B
rB = ∞
vB = 0
0 (rB=∞)
02
1
2
1
2
1 222 B
B
T
FA
A
T mvr
mMGmvmv
r
mMG
rA = rT+h vA=vorbital 0 (vB=0)
hr
mMG
T
T
·
2
10
2
1 2 Fmv ; 2
2
1Fmv =
hr
mMG
T
T
·
2
1
4.5 Notas complementarias
a) Órbita geoestacionaria
Un satélite se llama geoestacionario cuando se encuentra siempre sobre el mismo punto de la
superficie terrestre. Su período de revolución coincide con el de la Tierra, T=24 h. Las órbitas
geoestacionarias generalmente son órbitas ecuatoriales.
TGM
rT
3
··2 ; despejando r:
Teniendo en cuenta que el campo gravitatorio terrestre en la superficie es: g0 = 2
T
T
R
MG
Podemos despejar G·MT: G·MT = g0·RT2
Sustituyendo en la expresión del radio de una órbita geoestacionaria, tenemos:
hr
MGv
T
T
F
32
2
·4
··
TMGr T
I.E.S. Sierra de Mijas Curso 2018-19
Física 2º Bachillerato 33/40 Tema 1
32
22
032
2
·4
··
·4
··
TRgTMGr TT ;
como r = RT + h , podemos obtener la altura de las órbitas geoestacionarias:
h = 35,865 km
b) Tipos de órbitas según la ETotal o Em de un cuerpo.
ETotal = Em = r
mmG T ´·
2
1 =
hr
rgm
T
T
2
0´2
1
r = rT + h
a) ETotal < 0 El satélite se mantiene en la órbita:
a-1) ETotal =r
mmG T ´·
2
1 la trayectoria es una
circunsferencia
a-2) r
mmG T ´·
2
1 < ETotal < 0 la trayectoria es
una elipse exterior de la órbita circular. El
origen de las fuerzas está en uno de sus focos.
a-3) ETotal r
mmG T ´·
2
1 la órbita es una elipse interior con el centro de las
fuerzas en el otro foco.
b) ETotal = 0 la órbita es una parábola (velocidad de fuga)
c) ETotal > 0 la órbita es una hipérbola, al superar la energía total el satélite escapa del campo
gravitatorio y todavía le sobra energía.
Los satélites permanecen en sus órbitas en el primer caso (a); el segundo caso es para la
velocidad de fuga, en el que en el infinito, la velocidad del cuerpo es 0, (b); el tercer caso es también
para una velocidad de fuga, pero la velocidad en el infinito no es cero, sino que el cuerpo lleva una
velocidad extra o supletoria (c).
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Física 2º Bachillerato 34/40 Tema 1
CUESTIONES Y PROBLEMAS-4
23.- Un satélite se encuentra girando alrededor de la Tierra en una órbita estable a una altura de 100
km sobre el Ecuador. Calcular la velocidad orbital del satélite a esa altura. Datos: RT = 6375 km;
MT = 5,7·1024
kg.
24.- Calcular la velocidad de escape del planeta Tierra de una nave lanzada desde la superficie de la
Tierra. Dato: RT = 6375 km.
25.- Estamos en una estación orbital a una altura h=500 km de la superficie de la Tierra y nos piden
que calculemos la velocidad de fuga desde esa estación orbital.
Dato: rT = 6375 km..
26.- Un satélite (El Galíleo-V) se encuentra en una órbita estable por encima del Ecuador a una
altura de 500 km. La masa del satélite es de 104 kg. Calcular la energía total (energía de enlace)
del satélite en su órbita. Dato: rT = 6375 km.
27.- La nave espacial lunar Prospector permanece en órbita circular alrededor de la Luna a una
altura de 100 km sobre su superficie. Determinar:
a) Velocidad lineal de la nave y el período del movimiento.
b) Velocidad de escape a la atracción lunar desde esa órbita.
Datos: G=6,67·10-11
Nm2/kg
2 ; mL = 7,36·10
22 kg ; rL=1740 km.
28.- Un cuerpo pesa en la superficie terrestre 700 N.
a) ¿A qué altura pesará la mitad?
b) Calcular el valor del campo gravitatorio a esa altura.
Dato: rT = 6375 km.
29.- Calcular la altura máxima que alcanzará un proyectil lanzado verticalmente desde la superficie
terrestre con una velocidad inicial de 8 km/s, suponiendo nula la resistencia del aire.
Datos: rT = 6375 k; MT = 5,7·1024
kg.
30.- El planeta Júpiter tiene una masa que es 318 veces la masa de la Tierra y su diámetro es 11 veces
el diámetro de la Tierra. Calcular:
a) El peso en el planeta Júpiter de un astronauta que en la Tierra pesa 700 N.
b) ¿Cuál es la masa del astronauta en Júpiter?
c) Calcúlese la relación entre las energías potenciales de dicho astronauta en la superficie de
Júpiter y en la superficie de la Tierra.
31.- Cuando se envía un satélite a la Luna se le sitúa en una órbita que corta a la recta que une los
centros de la Tierra y la Luna por el punto en que las dos fuerzas que sufre el satélite por la
atracción de ambos astros son iguales. Cuando el satélite se encuentra en este punto, calcular:
I.E.S. Sierra de Mijas Curso 2018-19
Física 2º Bachillerato 35/40 Tema 1
a) La distancia a la que está del centro de la Tierra.
b) La relación entre las energías potenciales del satélite debidas a la Tierra y a la Luna.
Datos: mT=81mL ; Distancia entre centros d= 384·106 m.
32.- Un satélite de 250 kg de masa está en órbita circular en torno a la Tierra a una altura sobre su
superficie de 500 km. Calcular:
a) Su velocidad y su período de revolución.
b) Energía potencial y energía cinética del satélite.
Dato: rT = 6375 km.
33.- El satélite Io de Júpiter gira alrededor del planeta en una órbita que admitimos que es una
circunferencia con centro en Júpiter. Dados los siguientes datos de Io:
T = 1,53·105 s (período de revolución)
r = 4,22·108 m (radio de la órbita)
y la constante de gravitación universal G = 6,67·10-11
N·m2/kg
2, se puede deducir que la masa de
Júpiter expresada en kg es:
a) 1,90·107 kg b) 1,90·10
17 kg c) 1,90·10
27 kg d) 1,90·10
37 kg.
34- Calcula a qué altura sobre el Ecuador debe situarse un satélite para que esté en una órbita
geoestacionaria. (T=24h) RT=6375 km.
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Física 2º Bachillerato 36/40 Tema 1
EXÁMENES DE SELECTIVIDAD EN ANDALUCÍA
2004 1. Un bloque de 0,2 kg está apoyado sobre el extremo superior de un resorte vertical, de constante 500 Nm-1, comprimido 20 cm. Al liberar el resorte, el bloque sale lanzado hacia arriba. a) Explique las transformaciones energéticas a lo largo de la trayectoria del bloque y calcule la altura máxima que alcanza. b) ¿Qué altura alcanzaría el bloque si la experiencia se realizara en la superficie de la Luna? gT =10 m s-2; MT = 102 ML ; RT = 4 RL SOL: a) h= 5 m b) hL=31,25 m 2. a) Determine la densidad media de la Tierra. b)¿A qué altura sobre la superficie de la Tierra la intensidad del campo gravitatorio terrestre se reduce a la tercera parte? G = 6,67 · 10-11 N m2 kg-2 ; RT = 6370 km ; g = 10 m s-2
SOL: a) 5619 kg m3 ; h= 4663 Km
3. a) La energía potencial de un cuerpo de masa m en el campo gravitatorio producido por otro cuerpo de masa m’ depende de la distancia entre ambos. ¿Aumenta o disminuye dicha energía potencial al alejar los dos cuerpos? ¿Por qué? b) ¿Qué mide la variación de energía potencial del cuerpo de masa m al desplazarse desde una posición A hasta otra B? Razone la respuesta. SOL: a) aumenta
2005 4. Un bloque de 1 kg desliza con velocidad constante por una superficie horizontal y choca contra el extremo de un muelle horizontal, de constante elástica 200 N m-1, comprimiéndolo. a) ¿Cuál ha de ser la velocidad del bloque para comprimir el muelle 40 cm? b) Explique cualitativamente cómo variarían las energías cinética y potencial elástica del sistema bloque - muelle, en presencia de rozamiento. g = 10 m s-2 SOL: a) v=5,66 m/s 5. a) Dibuje en un esquema las fuerzas que actúan sobre un cuerpo de 1000 kg, situado en el punto medio entre la Tierra y la Luna y calcule el valor de la fuerza resultante. La distancia desde el centro de la Tierra hasta el de la Luna es 3,84·108 m. b) ¿A qué distancia del centro de la Tierra se encuentra el punto, entre la Tierra y la Luna, en el que el campo gravitatorio es nulo? G = 6,67 · 10-11 N m2
kg-2 ; MT = 5,98·1024 kg ; ML = 7,35· 1022 kg SOL: a) F = 10,69 N ; b) x = 3,49 108 m
2006 6.- La masa del planeta Júpiter es, aproximadamente, 300 veces la de la Tierra, su diámetro 10 veces mayor que el terrestre y su distancia media al Sol 5 veces mayor que la de la Tierra al Sol. a) Razone cuál sería el peso en Júpiter de un astronauta de 75 kg. b) Calcule el tiempo que Júpiter tarda en dar una vuelta completa alrededor del Sol, expresado en años terrestres. g = 10 m s-2 ; radio orbital terrestre = 1,5 · 1011 m. SOL: a) P = 2250 N ; b) TJ = 11,18 años
I.E.S. Sierra de Mijas Curso 2018-19
Física 2º Bachillerato 37/40 Tema 1
7.- Razone si son verdaderas o falsas las siguientes afirmaciones: a) Según la ley de la gravitación la fuerza que ejerce la Tierra sobre un cuerpo es directamente proporcional a la masa de éste. Sin embargo, dos cuerpos de diferente masa que se sueltan desde la misma altura llegan al suelo simultáneamente. b) El trabajo realizado por una fuerza conservativa en el desplazamiento de una partícula entre dos puntos es menor si la trayectoria seguida es el segmento que une dichos puntos. SOL: a) Verdadera ; b) Falsa
2007 8. Un satélite artificial de 500 kg orbita alrededor de la Luna a una altura de 120 km sobre su superficie y tarda 2 horas en dar una vuelta completa. a) Calcule la masa de la Luna, razonando el procedimiento seguido. b) Determine la diferencia de energía potencial del satélite en órbita respecto de la que tendría en la superficie lunar. G = 6,67 · 10-11 N m2
kg-2 ; RLuna = 1740 km
SOL: a) ML= 7,4 10 22 Kg b) EP = 9 10 7 J
2010 9. a) Enuncie las leyes de Kepler. b) Demuestre la tercera ley de Kepler a partir de la ley de gravitación universal de Newton para un órbita circular. 10. Dos masas puntuales m = 10 kg y m’ = 5 kg están situadas en los puntos (0,3) m y (4,0) m, respectivamente. a) Dibuje el campo gravitatorio producido por cada una de las masas en el punto A (0,0) m y en el punto B (4,3) m y calcule el campo gravitatorio total en ambos puntos. b) Determine el trabajo necesario para desplazar una partícula de 0,5 kg desde el punto B hasta el A. Discuta el signo de este trabajo y razone si su valor depende de la trayectoria seguida. G = 6,67 · 10-11 N m2
kg-2
SOL: a) 11 112,08 10 7,41 10A
Ng i j
Kg
; 11 114,17 10 3,7 10B
Ng i j
Kg
b) W = 1,35 10-11 J
I.E.S. Sierra de Mijas Curso 2018-19
Física 2º Bachillerato 38/40 Tema 1
SOLUCIONES A LOS EJERCICIOS DEL TEMA 1
1- a) 16 J b) 16 J c) 3,46 m s-1
2- consultar la teoría
3- Ep = - 8,7 J ;Ec = 8,7 J
4- 0,25
5- Ti2 ri
-3 = 4,2 10
-17 días
2 km
-3
6- a) 9,38 10-6
N b) 1,92 1020
N
7- 341344350 m
8- 5,34 10-8
i +5,34 10-8
j N
9- -6,40 10-7
j N ; -5,34 10-8
J
10- (0 , 3,73) m ; -9,96 10-10
J
11- 5,97 108 J ; 7725,3 m s
-1
12- consultar la teoría
13- uniforme: no ; estacionario: sí
14- g = 0 ; V = -2,67 10-10
J kg-1
15- a) 1,67 10-10
i + 1,33 10-9
j N kg-1
b) V(0,0)= -1,67 10-9
J kg-1
;
V(2,1)= -1,33 10-9
J kg-1
c) Wext =6,67 10-10
J d) 8,34 10-10
i + 6,67 10-9
j N
16- a) 2,67 10-11
i N kg-1
; -4 10-10
J kg-1
b) a 4.14 m de m1
17- a) – 3,23 10-10
i N kg-1
; b) -1,35 10-8
J kg-1
; -4,58 10-9
J kg-1
; c) (WAB)F GRAV
J ;
d) (EP)B= -2,29 10-8
J ; (EP)A= -6,74 10-8
J
18- consultar la teoría
19- a) g = 0 N kg-1
; F = 0 N b) V0 = -3,77 10-7
J kg-1
; VP-V0 = -9 10-9
J kg-1
c) Wext = -9 10-9
J
d) -3,61 10-4
J
20- a) g A= 2,67 10-11
i N kg-1
; g B= -5,63 10-11
i N kg-1
b) VA= -4,00 10-10
J kg-1
; VB= -3,11 10-10
J
kg-1
c) (WAB)F EXT
4,445
J d) -2,82 10
-10 i N
21- -4,002 10-8
J
22- -4,002 10-9
J
23- 7662,7 m s-1
24- 11178,1 m s-1
25- 10764,0 m s-1
26- -2,897 1011
J
27- a) 1633,4 m s-1
; 1,97 horas b) 2310 m s-1
28- a) 2640611,5 m b) 4,9 N kg-1
29- 6694 km
30- a) 1839,7 N b) 71,43 kg c) 28,91
31- a) 3,456 10 8 m b) 0,11
32- a) 7611,3 m s-1
; 1,58 horas b) EP = -1,45 1010
J ; EC= 0,72 1010
J
33- respuesta: c
34- 35854707 m
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Física 2º Bachillerato 39/40 Tema 1
N
º
LEY /
CONCEPT
O
FÓRMULA SIGNIFICADO DE LOS SÍMBOLOS UTILIDAD
1
Definición de trabajo realizado por una fuerza
B
B
AA
W F dr
cosB
AF dr
FW : trabajo realizado por la fuerza F
F : Fuerza que realiza el trabajo
dr : Diferencial de desplazamiento
cos : coseno del ángulo formado entre la
fuerza y el desplazamiento
Esta expresión es válida sea
la fuerza constante o no lo
sea.
2 3ª Ley de
Kepler 2 3T k a
T: Periodo de revolución (s)
k: Constante de proporcionalidad (s2 m-3)
a: Semieje mayor de la elipse (m)
Sirve para relacionar el
tiempo que tarda un planeta
alrededor del Sol y el radio
de giro. La constante de
proporcionalidad es la
misma para todos los
planetas.
3 Velocidad
orbital o
Mv G
r
ov: velocidad orbital (m s-1)
G : constante de Gravitación Universal (N m2kg-2)
M :masa del cuerpo sobre el que se gira (kg)
r : radio de giro (distancia entre el centro de los
dos cuerpos) (m)
Nos permite calcular la
velocidad de un cuerpo que
orbita alrededor de otro
cuerpo de masa M
4 Periodo
orbital
22 34
T rGM
T : Periodo de revolución
G : constante de Gravitación Universal (N m2kg-2)
M :masa del cuerpo sobre el que se gira (kg)
r : radio de giro (distancia entre el centro de los
dos cuerpos) (m)
De la definición de periodo
orbital y la velocidad orbital
obtenemos esta expresión
que coincide con la 3ª Ley
de Kepler.
5 Velocidad
de fuga 2f
Mv G
R
fv : velocidad de fuga (m s-1)
G : constante de Gravitación Universal (N m2kg-2)
M :masa del cuerpo sobre el que se gira (kg)
R : radio del astro del que se quiere calcular la
velocidad de fuga (m)
Permite calcular la velocidad
mínima que tiene que tener
un cuerpo para poder
abandonar el campo
gravitatorio creado por el
cuerpo de masa M.
6
Calculo del
producto de
G y MT
2
T o TGM g R
G : constante de Gravitación Universal (N m2kg-2)
TM : masa de la Tierra (kg)
TR : radio de la Tierra
og : Intensidad del campo gravitatorio terrestre
en la superficie del planta (9,8 N kg-1)
Es útil en algunos
problemas que no se
suministran los valores de G
y de MT pero sí nos dan el
valor de RT.
7
Energía
mecánica de
un cuerpo
que orbita
1 ´
2m
m mE G
r
mE :Energía mecánica (Ec+Ep) (J)
G : constante de Gravitación Universal (N m2kg-2)
m y ´m : masa del cuerpo que orbita y del
cuerpo sobre el que se orbita (kg)
r : distancia de separación entre los centros de
los dos cuerpos (m)
La expresión sirve para
calcular la Em de un cuerpo
que orbita con trayectoria
circular. Si la Em fuese igual,
o mayor, a cero el cuerpo
escaparía del campo
gravitatorio.
DEFINICIÓN DE TRABAJO Y ESTUDIO ORBITAL EN CAMPOS GRAVITATORIOS
I.E.S. Sierra de Mijas Curso 2018-19
Física 2º Bachillerato 40/40 Tema 1
2
´r
m mF G u
r
2 r
mg G u
r
´p
m mE G
r
mV G
r
Nombre de la magnitud y fórmula: Fuerza gravitatoria Significado de los símbolos de la fórmula y unidad:
F : Fuerza gravitatoria entre m y m´ (N); G: Constante de Gravitación Universal (Nm2 kg-2); m y m´: Masas que se atraen (kg); r: Distancia entre las dos masas.
ru : Vector unitario en la dirección entre las
dos masas y sentido desde la masa que ejerce la fuerza y la masa que sufre la fuerza. Definición de la magnitud:
F es la fuerza con la que dos masas se atraen entre sí.
Nombre de la magnitud y fórmula:: Intensidad del campo gravitatorio Significado de los símbolos de la fórmula y unidad:
g : Intensidad del campo gravitatorio creado
por una masa m a una distancia r (N/kg). G: Constante de Gravitación Universal (Nm2 kg-2); r: Distancia desde la masa hasta el punto donde
se quiere calcular g . Se mide en metros.
ru : Vector unitario en la dirección entre la
masa y el punto donde se quiere conocer el
valor de g y sentido desde la masa hasta el
punto en cuestión. Definición de la magnitud:
g es la fuerza gravitatoria ejercida por unidad
de masa.
Nombre de la magnitud y fórmula:: Energía potencial gravitatoria Significado de los símbolos de la fórmula y unidad: Ep: Energía potencial gravitatoria (J); G: Constante de Gravitación Universal (Nm2 kg-2) m y m´: Masas que se atraen (kg); r: Distancia entre las dos masas (m) Definición de la magnitud: Es el trabajo que realiza el campo gravitatorio para llevar una de las masas desde el punto donde se encuentra hasta el infinito.
Nombre de la magnitud y fórmula: Potencial eléctrico Significado de los símbolos de la fórmula y unidad: V: Potencial gravitatorio (N/kg); G: Constante de Gravitación Universal (Nm2 kg-2) m: Masa que crea el campo gravitatorio(kg). r: Distancia entre la masa que crea el campo y el punto donde se calcula el potencial (m). Definición de la magnitud: Es el trabajo que realiza el campo gravitatorio sobre la unidad de masa para trasladarla desde el punto donde se encuentra hasta el infinito.