TEMA 1: ÁLGEBRA DE MATRICES. 2° BACH(CN) TEMA 1: ÁLGEBRA DE MATRICES. l.-INTRODUCCIÓN. Problema: En un país A hay tres aeropuertos internacionales, Al' A2 Y A3' mientras que en otro país B hay cuatro, Bl' B2' B3 Y B4' Los vuelos vienen entre esos aeropuertos vienen representados en el siguiente diagrama: Bl B2 B3 B4 Al 1 O 2 O A2 O 1 A3 O O 1 Esta información la podemos resumir también según los números de los vuelos de un aeropuerto a otro en la siguiente tabla: Cl C2 Bl 3 2 B2 1 O B3 1 O B4 O 2 o también Imaginemos ahora que tenemos los vuelos del país B a otro país C con dos aeropuertos: Si nos piden la combinaciones posibles para ir de A a C, haciendo escala en B, tendríamos: Para llegar a CI, las posibilidades son: saliendo de Al y pasando por BI tres vuelos y saliendo de Al y pasando por B3 dos vuelos, en total 5 posibilidades. Esto mismo lo tendríamos que repetir saliendo de A2 y A3 ; Y también para llegar a C2. Al final nos quedaría: Cl C2 Al 5 2 A2 2 2 A3 O 2 DAVID RIVIER SANZ 1-1
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TEMA 1: ÁLGEBRA DE MATRICES. 2° BACH(CN)
TEMA 1: ÁLGEBRA DE MATRICES.
l.-INTRODUCCIÓN.
Problema: En un país A hay tres aeropuertos internacionales, Al' A2 YA3' mientras
que en otro país B hay cuatro, Bl' B2' B3 Y B4'
Los vuelos vienen entre esos aeropuertos vienen representados en el siguiente
diagrama:
BlB2B3B4
Al
1O2O
A2
O111
A3
OOO1
Esta información la podemos resumir también según los números de los vuelos de un
aeropuerto a otro en la siguiente tabla:
ClC2
Bl
32
B2
1O
B3
1O
B4
O2
o también
Imaginemos ahora que tenemos los vuelos del país B a otro país C con dos
aeropuertos:
Si nos piden la combinaciones posibles para ir de A a C, haciendo escala en B,
tendríamos:
Para llegar a CI, las posibilidades son: saliendo de Al y pasando por BI tres vuelos y
saliendo de Al y pasando por B3 dos vuelos, en total 5 posibilidades. Esto mismo lo
tendríamos que repetir saliendo de A2 y A3 ; Y también para llegar a C2.
Al final nos quedaría:
ClC2
Al
52
A2
22
A3
O2
DAVID RIVIER SANZ 1-1
TEMA 1: ÁLGEBRA DE MATRICES. 2° BACH(CN)
2.-NOMENCLATURA. DEFINICIONES.
Definición.- Una matriz es una caja numérica rectangular formada por filas y columnas:
aIla12000a1n
a
a22oO,a2n
= (aij t.n = (aij)A = I 21
•• o
oO •• oOoO o
an1
an2oO •ann
A es una matriz de m filas y n columnas y
ad E 9t .l}
Definición.- Se llama dimensión de una matriz a m x n, pondremos dim(A) = m x n.
Definición,- Se llama matriz cuadrada a una matriz que tiene el mismo número de filas
que de columnas, es decir, m = n.
Definición.- Llamamos diaqonal principal de una matriz cuadrada a la línea formada por
los elementos aIl,a22,o .. ,ann de la matriz A (es decir, los aij tales que i = j, 'í/ i = 1,2,o.o,n).
Definición.- Dos matrices son iguales cuando tienen la misma dimensión, y además,
A=(a.) }
o o 'o 'o l} ••
cOinciden termino a termino: B = (b r,n A = B <=> aij = bij 'í/ 1, ]l) m,n .
Definición.-
(1) Llamamos matriz fila o vector fila a toda matriz de dimensión Ix n.
(2) Llamamos matriz columna o vector columna a toda matriz de dimensión m xI.
Definición.- Se llama matriz traspuesta de A o traspuesta de una matriz A, a otra
matriz que llamaremos Al, que obtendremos al cambiar en la matriz A las filas por las
columnas y viceversa, es decir, si A = (a) entonces Al = (a ..) ,l} m,n Jl n,m
iJ' entonces A' ~ r~
O-1
Etern%: Si A = [ ~
231
31 11
O-1 3O
456
Definición.- Una matriz A se llama simétrica cuando Al = A. Para que una matriz sea
simétrica es necesario que sea cuadrada.
[1 -1 1]Etern%: Si A = -1 2 1 = Al.
1 1 3
Definición.- Una matriz A se llama triangular si es cuadrada y todos los elementos que
están debajo de la diagonal principal son iguales a cero.
Etern%s:
DAVID RIVIER SANZ
[1 -1 1JA= O 2 1
O O 3
1
Y B=IOO
O
3
1O
O
-1
2
-1
O
11-1
2
1-2
TEMA 1: ÁLGEBRA DE MATRICES.
3.-0PERACIONES CON MATRICES.
20 BACH(CN)
Notación.- Al conjunto de todas las matrices que tienen una misma dimensión, m x n, lo
nombraremos por M mxn' es decir, M mxn = ~odas las matrices A tales que dim( A) = m x n}.
-SUMA DE MATRICES.
En primer lugar, para que dos matrices puedan sumarse, es necesario que tengan la
misma dimensión nos dará otra matriz de la misma dimensión. En tal caso, se suma término
a término:
(a ) + (b ) = (a +b )l} m,n l} m,n l} l} m,n
. [1
23
~J y B{
-1-2
~ J entonces
Etern%: Si A = O
11 OO
-13O -21-2
A+B=[~
23
J[~-1-2
~ J =
1
1 OO
-13O -21-2
[ 1+1
2+(-1)3+(-2)
4+1 J [2
11
:J
= 0+1
1+01+05+1 = 111-1+2
3+(-2)0+16 +(-2) 111
-PRODUCTO DE UN NÚMERO POR UNA MATRIZ.
Para multiplicar un número por una matriz, se multiplica el número por cada término de
la matriz:
k . (a H ) = (ka )
l} m,n l} m,n
Eiemplo: Si A = [ ~
-23
~J y k = 3 entonces
1
-1-1
3O
kA=3[ ~
-23
;J = [ ~
-69
12J
1
-1 3-315-1
3O6 -39O18
-PRODUCTO DE UN MATRIZ FILA POR UNA MATRIZ COLUMNA.
El número de columnas de la matriz fila ha de coincidir con el número de filas de la
matriz columnas, es decir las dimensiones serán 1 x n y n x 1 respectivamente. Es resultado
':!S I Halla el valor.de k para que el rango de la ma-
l triz A sea 2, (5 -5 -6)
l .. A = -5 3-1! O k 7
I
1 . ( 2 ". O)29 I Halla X e.'y sabiendo que 5X t 3Y - -4 15
I y 3X+ 2Y~ C2 ~1),
l'~\O I Dada la matriz A ~ (; ~),. halla dos números
i reales m y n tales que A + mA + nl- O.
31 I Determina, si es posible. un valor de k para queI la matriz (A - kl)2 sea la matriz nula, siendo:
IIiIi
<1 I Una compañía de muebles fabrica butacas. me"S cedoras y sillas. y cada una de ellas de tres mo
I delos: E. (econÓmico), M (medio) y L (lujo).
I Cada mes produce 20 modelos E. 15 M Y 10 L
I de butacas; 12 modelos E, 8 M Y 5 L de mecedoras, y 18 modelos E. 20 M Y 12 L de sillas, Re
presenta esta información en una matriz y calcu¡ la la producción de un año.
B= (~ ~)
tal que A'B= (~ ~),
(O 2 -1)Dada la matriz A - O ° 1 , prueba que A3es la matriz nula. O ° O
Dada la matriz A = (; ~). halla una ma¡riz B
Determina a y b de fonna que la matriz
(2 -1)A = a b verifique A2 ~ A.
(4 5 -1)Dada la matriz A - -3 -4 1 , calcula A2•
A3, ...• Al2a, -3·-4 O
Comprueba que A2 - ,2A -1, siendo:
( 5 -4 2) e..I la matriz unidad de or-A - 2 -1 1 den 3" Utiliza esa igualdad
-4 4 -1 para calcular A4•
PARA RESOLVER
(5 O 2) (1/5 -2/5 0)
A ~ O O 1 A-l - -3/5 6/5 1310 O 10
•. Multiplica 1 + A + A2 por 1- A.
Demuestra después que la matriz 1 + A + A2 esla matriz inversa de 1 - A.
b) Calcula la matriz X que verifica XA = B,
i siendo A la matriz anterior.y- B ~.(l -2 3).
(3 O 8)5:4 I Dada la matriz A ~ 3 -1 6 • comprueba que
I -2 O -5I CA + 1)2 ~ O Y expresa A2 como combinaciónI lineal de A e I.I
25 i a) Comprueba que la inversa de A es A-I:
·.~n I Calcula An y Bn siendo:
;;5 I (1 In In)A= O 1 O
O O 1
'\
'~j
:~~,~~-',
\.Si/T),.,~
10 I Halla la matriz inversa de A - C~~)y la de
B=(-l 0)2 4'
11 11Con las matrices A y B del ejercicio anterior y
sus inversas. A-I y B-I. comprueba que:
a) (A + B)-l ;< A-I + B-1
I b) (A . B)-I - B-I . A-I
Ii Rango de una matrizI
í 2 ! Esrudia la dependencia o independencia linealdt: los siguientes conjuntos de vectores:
a) til - O. -l. 3. 7). ti2 - (2. 5. 0, 4) y di cuál es
el ~ngo de la matriz cuyas columnas son tily u2·
b) VI ~ (1, 0, -2, 3. 1). V2 = (2. -l. 3, 0, 2),
" V3 ~ (4, -l. -1, 6, 4) y di cuál es el rango dela matriz cuyas mas son -;tI' -;t2' -;t3' .
:!:~iI Estudia el rango de estas matric", y di, en ca<laS I caso, el número de columnas que son 1.1.:
I (1112) (213)
A ~ 2 3 5 11 B;' 4 2 -1
:,'c- (; ; ; ";) D = (; :, '~-~) ..;¡1
1 1 1 1 1 1 -1 -1 ::
3 7 5 5 1 1 1 -1 \'1
I ::
j'Ecuaciones con matrices ,11,
';t; ! Halla las matrices X e Y que verifican el siste- '',,1
S I (1 4) (1 -1) :::,•.
ma 2X+Y- 2 O·-X-Y= 10'\;I ~
'·\5 I Calcula X tal que X - B2 - A . B, siendo: ','
S 1 (1 ° 1) (1 ° -1)¡i A- 1 1 O B~ 1 1 1! 002 001
1Ó I Determina los valores de m para los cuales
S I (m 0) 5! X= O 2 verifique X2-2X+l~O,I
¡ ,(l-l)(X)_(l X)(3)I Resuelve. 3 2 Y - Y -1 2S
d)A'A-B'B
b).! A' B2
(7-2) (-30)A ~ 3 1 Y B- -2 2 •
(3 -6 -1)A-1 ~ ° 1 °
-2 4 1
Dadas las matrices
calcula:1
! a) -2A + 3B
1 c) B· (-A)
, (1 -1) (0)2 I Efectúa el producto (-3 2) 5 2 l'I
":"';'"
;3a) ¿Son iguales las matrices A ~ G) y ..B = (2' 3)?
b) Halla. si es posible. las matrices AB; EA;A +B;A' -B.
., I Dadas las matrices:
'1 (1 -2 1) (4 ° -1)A ~ 3 ° 1 Y B - -2 1 °
1, comprueba que:a) CA + BY - A' + B'
I b) (3AY - 3A'
I
5 I Calci11a3AA' - 2/. siendo A ~ (~ ;).
, I . (3 -1) (-1 2)" Dadaslasmatnces A~ 2 -3 Y B= ° l'
I comprueba que (A' BY - B' ' A',
t
? ! Calcula. en cada caso. la matriz B que verifica! la Igualdad:
l' (3 -1 5) (4 O 6)a)l ° 3+B=O 2 2
I t! b) 2 (-1 4· _, 3B ~ (-5 4)I -3 -2 ° -1!I! Matriz inversa,.
B 1 Comprueba que la matriz inversa de A es A-I:
I (1 2 1)¡A-OI0! 2 O 3¡I
", ! ¿Cuál es la matriz inversa de la matriz unidad?
1_
2 x 3:
(A + B) . (A - B) ~ A2 _ B2
(1 1') (4 -2) (6 4)3 4 . X· -1 O - 22 14
Resuelve la ecuación matricial:
cuando A Y B son dos matrices cualesquiera.
CUESTIONES TEÓRiCAS
Justifica por qué no es cierta la igualdad:
(3!S'X O)A=y-3!SO
O O 1
Calcula x e y para que esta matriz A seaortogonal:
Una matriz cuadrada se ll~ma ortogonal cuandoS I su inversa coincide con su traspuesta.
Pon un ejemplo para cada caso, siendo:
--Haz AJO- (A3». A y ten en cuenta que A3 --1.
A = (1 O O)2 1 O
b) iY para B· A?
prueha qllP. se verifica ~ + j = O Y utiliza estaigualdad para obtener ~.
Si la respuesta es afIrmativa, justifícala, y si esnegativa, pon un contraejemplo.
--Haz A -At=l.
358I Dada la matriz:
(O 3 4)A = 1 -4 -5
-1 3 4
s
421 Sea A una matriz de dimensiónS a) ¿Existe una matriz B tal que A· B sea unamatriz de uIlfl sola mf?
[~¡S
43 I Sean A y B dos matrices cuadradas' íle, igualS tamaño. Si A Y B son simétricas, ¿lo d''lambién su producto A· B?
(a b O)
B~ e e O
O O 1
Esta tabla muestra la producción semanal de bombillas de cada tipo y modelo.
2~Ó)
250180300
A Y B las matrices dadas por:
(5 2 O)A= 2 5 O
O O 1
T
(300
400
250500
En un edificio hay tres tipos de viviendas: 13, L4Y 15. T..asviviendas 13 tienen 4 ventanas pequeñas y 3 gnindes; las L4 tienen 5 ventanas pequeñas y 4 grandes, y las L5, 6 pequeñas y 5 grandes. Cada ventana pequeña tiene 2 cristales y 4bisagras, y las grandes, 4 cristales y 6 bisagras.
a) Escribe una matriz que describa el número ytamaño de ventanas de cada vivienda y otraque exprese el número de cristales'y bisagrasde cada tipo de ventana.
b) Calcula la matriz que expresa el n(jmero decristales y de bisagras de cada tipo de vivienda.
Un industrial fabrica dos tipos de bombillas:transparentes (1) y opacas (O). De cada tipo sehacen cuatro modelos: Mp Mz' M3 y M4'
MI
MzM3M4
Encuentra las condiciones que deben cumplirlos coeficientes a, b, e para que se verifiqueA·B=B·A.
s
33S
El porcentaje de bombillas defectuosas es el 2%
en el modelo Mp el S%en el Mz' el 8% en el M3Y el 10% en el M4'
Calcula la matriz que expresa el 'número debombillas transparentes y opacas, buenas y de-
I fectuosas, que se producen. ( a 1 O)'Halla todas las matrices X de la forma O b 1
S (101)' OOe
tales que X2 ~ O 1 O •
O O 1
s
361 Calcula una matriz X que conmuta con la matrizS (1 1)i A, esto es, A· X = X . A, siendo A = O 1 ' Y
I calcula AZ + ZA-I . X.
ISean
.~i
(a 1 O)A~ O 1 3
a 1 1
1, p¡'1JVJ;.PROfUNDIZAR52:' Sean A y B dos matrices cuadradas del mismoI orden. De la igualdad A· B = A . C no puede
I deducirse, en general, que B~' C.
I a) Prueba esta aftrmación buscando dos matriI ces B y C distintas tales que A· B = A . C,
. (1 1).'siendo A ~ 1. 1 .
b) ¿Qué condición debe cumplir la matriz Apara que de A· B ~ A . e se pueda deducir
I que B= C?
I Halla una matriz cuadrada de orden 2, distinta de 1S I y de -1, cuya inversa 'coincida con su traspuesta.
5", I Estudia el rango 'de las siguientes matrices seI gún los valores de a:
I (1 2 -1)M~ 2 4 a
I a 2 -1I
·55 1 Se dice que una matriz es an~mélrica c~andoS I SU traspuesta es igual a SU opuesta. Obtén la for
ma general de una matriz de orden 2 que seaantisimétrica.
B*Otal
~a A una matriz cuadrada de orden 3 iaJ que
9'ij - O si i * j (A es una matriz diagonal).p,meba que el producto de dos matrices diagobales es una matriz diagonal.
(-3 -2)b) Si A = 4 3 ' halla una matriz
que AB + EA = O.
mimos la traza de una matriz cuadrada Aorden 2 como tr (A) ~ a1i + an. Prueba
e si A y B son dos matrices cuadradas de2, entonces tr (A . B) ~ tr (B . A).
Demuestra que si una matriz verifica AZ - ° (OA no puede tener
¿Es posible añadir una fila a la matriz
(1 2, O 3)'
O 1 -1 -22 7 -3 O
de forma que la nueva matriz tenga rango 4?
Razona la respuesta.
a) Si A es una matriz regular de orden n y\",;'éxiste una matriz B tal que AB + BA ~ 0,
probar que BA-I + A-lB = O.
,triz de 3 mas y 3 columnas tiene rango 3.
lo 'puede variar el rango si quitamos unacolumna?
'b) Si suprimimos una fIlay una columna, ¿podemos asegurar que el rango de la matriz resultante será 2?
ean A = (aij!m,n' B ~ (bij!n,p' C- (eij!q,r'
Qué condiciones deben cumplir p, q y r pa. a que se puedan efectuar las siguientes opera
:dones?
Sea A una matriz de dos fIlas y dos columnas',cuyo rango es 2. ¿Puede variar su rango si le,añadimos una fIla o una columna?