1 2. Fondamenti sui segnali analogici 2. Fondamenti sui segnali analogici INFO-COM Dpt. Dipartimento di Scienza e Tecnica dell’Informazione e della Comunicazione Università degli Studi di Roma La Sapienza TELECOMUNICAZIONI TELECOMUNICAZIONI per Ingegneria Informatica (secondo anno) per Ingegneria Informatica (secondo anno) canale A canale A - - L L Prof. Roberto Cusani
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2. Fondamenti sui segnali analogici2. Fondamenti sui segnali analogici
INFO-COM Dpt.
Dipartimento di Scienza e Tecnica
dell’Informazione e della Comunicazione
Università degli Studi di Roma La Sapienza
TELECOMUNICAZIONITELECOMUNICAZIONI
per Ingegneria Informatica (secondo anno)per Ingegneria Informatica (secondo anno)
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(unità immaginaria); 1−=j
� Se b2 < 4ac si ha la radice quadrata di un numero negativo �le radici x1, x2 sono numeri complessi
=−±−=→=++a
acbbxcbxax
2
40
22
x1
x2
� Esempio:
12 −=j
I I numerinumeri complessicomplessi (1/4)(1/4)
� Radice di -1 e numeri complessi
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� Numero complesso:
=
==
+=
−
22
αβ
αβϕ
βα
1arctanarg tgx
x
ϕβϕα
sin
cos
x
x
=
=Relazioni inverse
ϕβα jexjx =+=
.
α
β
ϕ
x
x
I I numerinumeri complessicomplessi (2/4)(2/4)
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ϕβα jexjx −=−=*
)()()()( δβγαδγβα +++=+++=+ jjjyx
)()()( ϑϕαδβγβδαγ +=++−= jeyxjxy
� Somma e prodotto tra numeri complessi:
� Complesso coniugato:
,ϕβα jexjx =+= ϑδγ jeyjy =+=
� Reciproco di un numero complesso:
ϕϕβα
ββα
αβαβα
βαj
je
xexj
j
jxx −− ==
+−
+=
+−=
+== 1111
2222221
I I numerinumeri complessicomplessi (3/4)(3/4)
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� Rapporto tra due numeri complessi:
)(222222
))(( ϑϕ
δγαδβγ
δγβδαγ
δγδγβα
δγβα −=
+−+
++=
+−+=
++= je
y
xj
jj
j
j
y
x
� Formule di Eulero:
j
eeeeje
jjjjj
2sin,
2cossincos
ϕϕϕϕϕ ϕϕϕϕ
−−± −=+=→±=
;j jx j x e y j x eϕ ϑ= α + β = = γ + δ =
I I numerinumeri complessicomplessi (4/4)(4/4)
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� Coppia di segnali reali, associati come parte reale xR(t) e parte immaginaria xI(t) di un segnale complesso x(t) = xR(t) + j xI(t)
SegnaliSegnali complessicomplessi (1/2)(1/2)
2 2( ) ( ) ( )
( )arg( ( ))
( )
R I
I
R
x t x t x t
x tx t arctg
x t
= +
=
� In alternativa, può essere visto come una coppia di segnali reali, associati al modulo |x(t)| ed alla fase arg(x(t)) di un segnale complesso x(t) = |x(t)|·exp[j ·arg(x(t))]
� NB: Nel calcolo dell’argomento di x(t) devo tener conto del segno di
di xR(t) ed di xI(t) per calcolare un angolo tra 0 e 2π
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xε 2( ) 0x t dt
+∞
−∞= ≥∫
Segnale “di energia”: xε +∞<
Segnale “impulsivo”: ∫+∞
∞−+∞<dttx )(
� Def:
0 <
Energia di un segnale (1/3)Energia di un segnale (1/3)
� Def:
� Def:
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Esponenziale negativo unilatero:
xε ( ) →=−
===∞+−∞+ −∞+ −
∫∫ ααααα
22
2
0
22
0
22
0
2 Ae
AdteAdtAe ttt
di energia
→=−
==∞+−∞+
∞−
∞+ −∫ ∫ αα
αα Ae
AdtAedttx tt
00)( impulsivo
==−
−−
0)()( 1
tt Ae
tuAetxα
α t 0t< 0
≥
)(tx
t
0α >
Energia di un segnale (2/3)Energia di un segnale (2/3)
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Esponenziale decrescente bilatero:
0 ,)( >= − αα tAetx
→== ∫∞+
∞−
2)( ,
2
ααA
dttxA
xε Impulsivo e di energia
)(tx
t
Energia di un segnale (3/3)Energia di un segnale (3/3)
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0)(1
lim22/
2/≥
∆= ∫
∆
∆−+∞→∆dttx
tP
t
ttx
Segnali “di potenza”: +∞<xP
Segnale costante: ctx =)(
2222/
2/
1lim
1lim ct
tcdtc
tP
t
t
ttx =∆
∆=
∆=
+∞→∆
∆
∆−+∞→∆ ∫
0 <
Potenza di un segnalePotenza di un segnale
� Def:
� Def:
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� Calcolo della potenza di un segnale periodico/ 2 2
/ 2
1( )
T
x TP x t dt
T −= ∫
( ) ( ) 0, 1, 2,... ( ) ( ) n
x t x t nT n x t g t nT T periodo+∞
=−∞
= + = ± ± → = − ≡∑
)(tg)(tx
T
t
(periodo principale)
……
� Un segnale periodico è un segnale di potenza
Segnali Periodici (1/3)Segnali Periodici (1/3)
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Sinusoide:
00 /1 ),2cos()( fTtfAtx =+= ϕπ
2 nulla) area ha coseno (il 0
222
)24cos(22
1
)]24cos(1[2
1)2(cos
1
22
2/
2/
2/
2/ 0
22
2/
2/ 0
22/
2/ 022
ATT
T
A
dttfT
Adt
T
A
dttfT
AdttfA
TP
T
T
T
T
T
T
T
Tx
=+
+=
=++=
=++=+=
∫ ∫
∫∫
− −
−−
ϕπ
ϕπϕπ
Segnali Periodici (2/3)Segnali Periodici (2/3)
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Treno di “impulsi” rettangolari:
( ) ( )
/ "duty cycle" 1
n
n
x t rect t nT
T
=+∞
τ=−∞
= −
τ ≡ ≤
∑
t
)(tx
Tτ
TTdt
TdtnTtrect
TP
T
Tx
ττττ
ττ =
+==−= ∫∫ −− 22
11
1)]([
1 2/
2/
22/
2/
2
Segnali Periodici (3/3)Segnali Periodici (3/3)
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Segnali di energia
Segnali
impulsivi
Segnali di potenza
Segnali periodici
Relazione tra segnali di energia, di Relazione tra segnali di energia, di potenza e periodici (1/2)potenza e periodici (1/2)
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Relazione tra segnali di energia, di Relazione tra segnali di energia, di potenza e periodici (2/2)potenza e periodici (2/2)
Segnale Energia Impulsivo Potenza Periodico
rettangolo SI’ SI’ NO NO
Impulso matematico
NO SI’ NO NO
1/(1+t )
0 ≤ t < +∞
SI’ NO NO NO
sen( t ) NO NO SI’ SI’
segnale vocale NO NO SI’ NO
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LL’’ impulsoimpulso matematicomatematico
)(1
lim)(0
trectt
t tt
∆→∆ ∆=δ
area 1
≠=∞+
=0 0
0 )(
t
ttδ
2
t∆−2
t∆ t
)(1
trectt t∆∆
t
1
)(tδ
� E’ un segnale di durata brevissima (al limite, zero) e di ampiezza elevatissima (al limite, infinita) con integrale unitario in un intervallo comprendente l’origine unitario
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ConvoluzioneConvoluzione –– DefinizioneDefinizione e e calcolocalcolo
( ) ( ) ( ) ( ) ( )z t x t y t x y t dτ=+∞
τ=−∞
= ∗ = τ − τ τ∫
1. Graficare i due segnali x(.) e y(.) come funzioni di τ ottenendo così x(τ) ed y(τ)
2. Ribaltare il segnale y(τ) rispetto all’asse delle ordinate ottenendo y(- τ)3. Traslare y(- τ) della quantità t lungo l’asse τ. Quando t > 0 allora y(t- τ)
va traslato di t verso destra. Quando invece t < 0, h(- τ) va traslata di tverso sinistra
4. Per ogni valore di si calcola il prodotto 5. Si integra rispetto a la funzione e cioè si calcola
l’area sottesa dalla funzione . La suddetta area è proprio il valore z(t) assunto dalla convoluzione all’istante t.
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ProprietPropriet àà didi base base delladella ConvoluzioneConvoluzione
� L’operazione di convoluzione è commutativa, ossia
� L’operazione di convoluzione è associativa, cioè
� L’operazione di convoluzione è distributiva rispetto alla somma di segnali
� La convoluzione di trasla di t0, ossia
� Dati due segnali , di durata ,la convoluzione dei due segnali ha durata
( ) * ( ) ( ) * ( )x t y t y t x t=
[ ( ) * ( )]* ( ) ( ) *[ ( ) * ( )]x t y t z t x t y t z t=
[ ( ) ( )]* ( ) [ ( ) * ( )] [ ( ) * ( )]x t z t y t x t y t y t z t+ = +
0( ) con ( )x t t tδ − ( )x t
0 0( ) * ( ) ( )x t t t x t tδ − = −
( ) x t ( ) y t e x y∆ ∆
x y∆ + ∆
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S)(tx ( ) ( ( ))y t f x t=
� Un sistema S è un blocco che trasforma un segnale di ingresso: x(t) in uno di uscita: y(t) = f (x(t))
(sovrapposizione degli effetti)
� Sistema Lineare:
)()(
)()(
22
11
tytx
tytx
→→ )()()()( 2121 tbytaytbxtax +→+
� Sistema Permanente:
)()()()( ττ −→−⇒→ tytxtytx (invarianza nel tempo)
� Un sistema lineare e permanente (LP) è detto “filtro”
AttraversamentoAttraversamento didi un un sistemasistema tempotempo --continuo continuo dada parteparte didi un un segnalesegnale analogicoanalogico
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30RispostaRisposta impulsivaimpulsiva didi un un sistemasistemalinearelineare e e permanentepermanente
Filtrox(t) = δ(t) y(t) = h(t)
Proprietà elementari di h(t)
� Permanenza
� Linearità
( )0 0( ) ( ) ( )x t t t y t h t t= δ − → = −
( ) ( )0 0( ) ( ) ( ) ( )x t a t b t y t ah t bh t= δ + δ → = +
� La risposta impulsiva h(t) di un sistema lineare e permanente (filtro) èdefinita come l’uscita y(t) del sistema quando all’ingresso è applicato un impulso matematico x(t)=d(t)
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UscitaUscita dada un un sistemasistema LP (1/2)LP (1/2)
� Se il sistema è LP con risposta impulsiva h(t), allora l’uscita y(t) corrispondente ad un generico segnale di ingresso x(t) è pari a
� L’uscita è data dall’integrale di convoluzione tra l’ingresso x(t) e la risposta impulsiva h(t) del filtro.
h(t)x(t) y(t)
( ) ( ) ( ) ( ) ( ),y t x h t d x t h t tτ=+∞
τ=−∞
= τ − τ τ = ∗ − ∞ < < +∞∫
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( ) ( ) ( ) ( )d x t d x h tτ τ δ − τ → τ τ − τ
( ) x t ( ) ( ) * ( )y t x t h t=Filtro h(t)
� campionamento dell’impulso matematico
� permanenza del sistema
� linearità del sistema
( ) ( ) ( )x t x t d+∞
−∞
= τ δ − τ τ∫
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )x t x t d x h t d y t+∞ +∞
−∞ −∞
= τ δ − τ τ → τ − τ τ =∫ ∫
UscitaUscita dada un un sistemasistema LP (2/2)LP (2/2)
( ) ( ) ( ) ( )x t t y t h t= δ − τ → = − τ
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CausalitCausalit àà e e stabilitstabilit àà didi un un filtrofiltro
� Def: il sistema “risponde” solo dopo che è stato “eccitato”
� Un filtro causale ha una risposta impulsiva nulla per t < 0
)(th
t
� Def: Filtro stabile:
Ad ingressi limitati corrispondono uscite limitate
')()( MtyMtx <→<
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� Per segnali reali si può fare riferimento alle sole frequenze positive della X(f), che gode di simmetria coniugata
f
M(f)
f
M(f)
f
(f)ϕ
f
(f)ϕ
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45TrasformataTrasformata didi Fourier Fourier –– Banda Banda didi un un segnalesegnale didi bandabanda base (4/6)base (4/6)
� Un segnale reale x(t) si dice limitato nella banda [-W,W] se la sua trasformata di Fourier X(f) è identicamente nulla per f ∉[-W,W]
� La quantità W si misura in Hz (o suoi multipli) e costituisce la “Larghezza di Banda” del segnale x(t)
� Poiché X(f)≠0 in un intorno [-W,W] di f=0, il segnale x(t) si dice “segnale di banda base”
-W W f
|X(f)|
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� Un segnale reale x(t) si dice limitato in banda, con banda 2W centrata intorno alla frequenza f0 (in Hz=1/sec) se: � f0 >W;� X(f) è identicamente nulla per f ∉[- f0-W,- f0 +W]U [f0-W,f0 +W]
� La quantità 2W (Hz) costituisce la larghezza di banda del segnale x(t)
� Poiché X(f)≠0 in un intorno di ±f0 non adiacente all’origine f0, il segnale x(t) si dice “segnale in banda traslata ”.
TrasformataTrasformata didi Fourier Fourier –– Banda Banda didi un un segnalesegnale didi bandabanda base (6/6)base (6/6)
-f0-W -f0 W-f0 -W+f0 f0 f0+W f
|X(f)|
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47TrasformataTrasformata didi Fourier e Fourier e TeoremaTeorema didi
ParsevalParseval
� E’ possibile calcolare l’energia di un segnale x(t) mediante la sua trasformata X(f).
� In particolare, vale il seguente risultato noto come “Teorema di Parseval per segnali di energia:
2X(f ) dfx
+∞
−∞
= ∫ε
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� E’ sufficiente conoscere solo per le frequenze positive, perché le f negative si deducono dalla simmetria coniugata
)( fH
f
)( fH
f
)( fϕ
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59RispostaRisposta didi un un filtrofiltro al al segnalesegnale
sinusoidalesinusoidale
� Le sinusoidi sono largamente impiegate nelle trasmissioni (esempi: fax, tastiera telefono, GSM, …)
)2cos()( θπ += tfAtx o ))(2cos()()( ooo ftffHAty ϕθπ ++=
)( fH )(ty)(tx
t
of
1
)(2 ofHAA2
t
of
1
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ProprietPropriet àà dualeduale delladella FTFT
)()()( thtxty = ( ) ( ) ( ) ( ) * ( )Y f H X f d X f H fσ
= σ ⋅ − σ σ =∫
� Proprietà della FT: alla convoluzione in t corrisponde il prodotto in f
� Proprietà duale: al prodotto in t corrisponde la convoluzione in f
( ) ( ) ( )Y f H f X f=∫∞+
−∞=−=
ττττ dthxty )()()(
� La convoluzione in t aumenta la durata temporale del segnale
� Il prodotto in t aumenta la banda (occupazione in frequenza) delsegnale
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SpettroSpettro didi un un segnalesegnale didi potenzapotenza
� Spettro di un segnale periodico
� Serie di Fourier o Trasformata di Fourier generalizzata con impulsi matematici
� Spettro di un segnale di energia� Trasformata di Fourier
� Spettro di un segnale di potenza non periodico
� Trasformata di Fourier non definita, neanche generalizzata in termini di sequenza di impulsi matematici
� Necessità di una modalità alternativa per definire lo spettro nel caso di un segnale non di energia e fare una analisi spettrale dei segnali di energia
�Si introduce la funzione di autocorrelazione per un segnale di potenza e lo spettro di densità di potenza
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62FunzioneFunzione didi autocorrelazioneautocorrelazione e e spettrospettrodel del segnalesegnale (1/2)(1/2)
� Segnali di energia: reppresentazione alternativa� Funzione di autocorrelazione
� Funzione reale pari con massimo in 0� Per t=0 si ottiene l’energia del segnale x(t)� Trasformata di Fourier è lo spettro di densità di energia
� Dato un filtro con funzione di trasferimento H(f) con ingresso x(t) ed uscita y(t). Lo spettro di densità di energia dell’uscita è dato dalla relazione
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/ 2* *
/ 2
( ) ( ) ( ) ( ) ( )limT
xT T
t x t x t x x t d→∞ −
ρ = ∗ − = τ + τ τ∫
{ } 2( ) ( ) ( )x xE f FT t X f= ρ =
2 2 2 2( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )y xE f Y f H f X f H f E f= = ⋅ = ⋅
63FunzioneFunzione didi autocorrelazioneautocorrelazione e e spettrospettrodel del segnalesegnale (2/2)(2/2)
� Segnali di potenza� Funzione di autocorrelazione
� Funzione reale pari con massimo in 0� Per t=0 si ottiene la potenza del segnale x(t)� Trasformata di Fourier è lo spettro di densità di potenza
� Dato un filtro con funzione di trasferimento H(f) con ingresso x(t) ed uscita y(t). Lo spettro di densità di potenza dell’uscita è dato dalla relazione
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/ 2*
/ 2
1( ) ( ) ( )lim
T
xT T
t x x t dT→∞ −
ρ = τ + τ τ∫
{ } 2( ) ( ) ( )x xP f FT t X f= ρ =
2 2 2 2( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )y xP f Y f H f X f H f P f= = ⋅ = ⋅