Introduction Introduction to Random Tessellations Statistical Model Fitting of Tessellations CLTs for Poisson Hyperplane Tessellations Telecommunication Networks and Stochastic Geometry - Asymptotic Analysis of Random Tessellations and Their Statistical Fitting Hendrik Schmidt France Telecom NSM/R&D/RESA/NET 12 January 2007 Hendrik Schmidt Telecommunication Networks and Stochastic Geometry
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IntroductionIntroduction to Random Tessellations
Statistical Model Fitting of TessellationsCLTs for Poisson Hyperplane Tessellations
Telecommunication Networks and Stochastic
Geometry - Asymptotic Analysis of Random
Tessellations and Their Statistical Fitting
Hendrik Schmidt
France Telecom NSM/R&D/RESA/NET
12 January 2007
Hendrik Schmidt Telecommunication Networks and Stochastic Geometry
IntroductionIntroduction to Random Tessellations
Statistical Model Fitting of TessellationsCLTs for Poisson Hyperplane Tessellations
Outline
1 IntroductionReal Infrastructure Data of ParisStochastic Geometric Network Modeling
2 Introduction to Random TessellationsDefinition, Properties, and ExamplesIteration of Tessellations
3 Statistical Model Fitting of TessellationsMinimization Problem and Solution ApproachesVerification by Monte Carlo SimulationApplication to Real Network Data
4 CLTs for Poisson Hyperplane TessellationsMotivation ; Introduction to Random k–FlatsAsymptotic Distribution of k–Flat IntersectionsApplications
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IntroductionIntroduction to Random Tessellations
Statistical Model Fitting of TessellationsCLTs for Poisson Hyperplane Tessellations
Real Infrastructure Data of ParisStochastic Geometric Network Modeling
Real Infrastructure Data of Paris
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Statistical Model Fitting of TessellationsCLTs for Poisson Hyperplane Tessellations
Real Infrastructure Data of ParisStochastic Geometric Network Modeling
Stochastic Geometric Network ModelingMain Roads
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Statistical Model Fitting of TessellationsCLTs for Poisson Hyperplane Tessellations
Real Infrastructure Data of ParisStochastic Geometric Network Modeling
Stochastic Geometric Network ModelingMain Roads and Side Streets
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Statistical Model Fitting of TessellationsCLTs for Poisson Hyperplane Tessellations
Real Infrastructure Data of ParisStochastic Geometric Network Modeling
Stochastic Geometric Network ModelingNetwork devices and serving zones
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IntroductionIntroduction to Random Tessellations
Statistical Model Fitting of TessellationsCLTs for Poisson Hyperplane Tessellations
Real Infrastructure Data of ParisStochastic Geometric Network Modeling
Stochastic Geometric Network ModelingCost Analysis through Network Trees
Network devices on real
infrastructure
0 0.5 1 1.5 2 2.5
00.
20.
40.
60.
8 sans voirievoirie réelle
Histogram of shortest
paths Spatial placement of
network devices
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IntroductionIntroduction to Random Tessellations
Statistical Model Fitting of TessellationsCLTs for Poisson Hyperplane Tessellations
Real Infrastructure Data of ParisStochastic Geometric Network Modeling
Stochastic Geometric Network ModelingCost Analysis through Network Trees
Network devices on real
infrastructure
0 0.5 1 1.5 2 2.5
00.
20.
40.
60.
8
voirie réellePVT fit
Histogram of shortest
paths Network devices on
fitted infrastructure
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Statistical Model Fitting of TessellationsCLTs for Poisson Hyperplane Tessellations
Real Infrastructure Data of ParisStochastic Geometric Network Modeling
Stochastic Geometric Network ModelingCost Analysis through Network Trees
Randomtessellation models
can replace realinfrastructuredataafter havingbeen fit
Simulation studiesare very expensive
=⇒ Analytical formulae are needed
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Statistical Model Fitting of TessellationsCLTs for Poisson Hyperplane Tessellations
Definition, Properties, and ExamplesIteration of Tessellations
Introduction to Random TessellationsDefinition, Properties, and Examples
A sequence Pnn≥1 of convex polytopes Pn ∈ IRd is called
(deterministic) tessellation of IRd if
int Pn 6= ∅ for all n ≥ 1
int Pn ∩ int Pm = ∅ for all n 6= m⋃∞n=1 Pn = IR
d
∑n≥1 1IPn∩K 6=∅ < ∞ for all compact sets K ∈ IR
d
The Pn’s are called cells of the tessellation
A sequence X = Ξnn≥1 of random convex polytopes Ξn iscalled random tessellation of IR
d if
IP(X ∈ T ) = 1 ,
where T denotes the family of all tessellations in IRd
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IntroductionIntroduction to Random Tessellations
Statistical Model Fitting of TessellationsCLTs for Poisson Hyperplane Tessellations
Definition, Properties, and ExamplesIteration of Tessellations
Introduction to Random TessellationsDefinition, Properties, and Examples
A sequence Pnn≥1 of convex polytopes Pn ∈ IRd is called
(deterministic) tessellation of IRd if
int Pn 6= ∅ for all n ≥ 1
int Pn ∩ int Pm = ∅ for all n 6= m⋃∞n=1 Pn = IR
d
∑n≥1 1IPn∩K 6=∅ < ∞ for all compact sets K ∈ IR
d
The Pn’s are called cells of the tessellation
A sequence X = Ξnn≥1 of random convex polytopes Ξn iscalled random tessellation of IR
d if
IP(X ∈ T ) = 1 ,
where T denotes the family of all tessellations in IRd
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Statistical Model Fitting of TessellationsCLTs for Poisson Hyperplane Tessellations
Definition, Properties, and ExamplesIteration of Tessellations
Introduction to Random TessellationsDefinition, Properties, and Examples
A random tessellation X is called
stationary if its distribution is translation invariant for anytranslation Tx in IR
d , i.e. if
Tx X (·) d= X (·)
isotropic if its distribution is rotation invariant for any rotationRo (around the origin) in IR
d , i.e. if
Ro X (·) d= X (·)
motion invariant if it is both stationary and isotropic
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Statistical Model Fitting of TessellationsCLTs for Poisson Hyperplane Tessellations
Definition, Properties, and ExamplesIteration of Tessellations
Introduction to Random TessellationsDefinition, Properties, and Examples
A random tessellation X is called
stationary if its distribution is translation invariant for anytranslation Tx in IR
d , i.e. if
Tx X (·) d= X (·)
isotropic if its distribution is rotation invariant for any rotationRo (around the origin) in IR
d , i.e. if
Ro X (·) d= X (·)
motion invariant if it is both stationary and isotropic
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Definition, Properties, and ExamplesIteration of Tessellations
Introduction to Random TessellationsDefinition, Properties, and Examples
A random tessellation X is called
stationary if its distribution is translation invariant for anytranslation Tx in IR
d , i.e. if
Tx X (·) d= X (·)
isotropic if its distribution is rotation invariant for any rotationRo (around the origin) in IR
d , i.e. if
Ro X (·) d= X (·)
motion invariant if it is both stationary and isotropic
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Statistical Model Fitting of TessellationsCLTs for Poisson Hyperplane Tessellations
Definition, Properties, and ExamplesIteration of Tessellations
Introduction to Random TessellationsDefinition, Properties, and Examples
Step 4 : Determine d(λinp, λmin) and γmin (or γmin0 and γmin
1 )
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Statistical Model Fitting of TessellationsCLTs for Poisson Hyperplane Tessellations
Minimization Problem and Solution ApproachesVerification by Monte Carlo SimulationApplication to Real Network Data
Statistical Model Fitting of TessellationsMinimization Problem and Solution Approaches
Iterated tessellations : Use numerical methods to find (global)minimum of
f (γ0, γ1) = d(λ
inp, λ(γ0, γ1))
Nelder Mead methodProblem :Minimum may depend on initial valuesSolution :Start with different (randomly chosen) initial valuesAdvantages :
Faster than traversing search on a latticeSimple to implement and to integrate into the Java basedGeoStoch libraryNo need to switch between different programs
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Minimization Problem and Solution ApproachesVerification by Monte Carlo SimulationApplication to Real Network Data
Statistical Model Fitting of TessellationsMinimization Problem and Solution Approaches
Iterated tessellations : Use numerical methods to find (global)minimum of
f (γ0, γ1) = d(λ
inp, λ(γ0, γ1))
Nelder Mead methodProblem :Minimum may depend on initial valuesSolution :Start with different (randomly chosen) initial valuesAdvantages :
Faster than traversing search on a latticeSimple to implement and to integrate into the Java basedGeoStoch libraryNo need to switch between different programs
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Statistical Model Fitting of TessellationsCLTs for Poisson Hyperplane Tessellations
Minimization Problem and Solution ApproachesVerification by Monte Carlo SimulationApplication to Real Network Data
Statistical Model Fitting of TessellationsVerification by Monte Carlo Simulation
Simulation of PLT/PLT with intensities γ0 = 0.1, γ1 = 0.06
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Minimization Problem and Solution ApproachesVerification by Monte Carlo SimulationApplication to Real Network Data
Statistical Model Fitting of TessellationsApplication to Real Network Data
Preprocessed road system Realization of optimal PLT/PLT
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Minimization Problem and Solution ApproachesVerification by Monte Carlo SimulationApplication to Real Network Data
Statistical Model Fitting of TessellationsApplication to Real Network Data
Network Data from Cell Biology
Cellular keratin proteins
How can we describe the spatial geometrical structure of a complexfilament network in biological cells by tessellation models ?
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Minimization Problem and Solution ApproachesVerification by Monte Carlo SimulationApplication to Real Network Data
Statistical Model Fitting of TessellationsApplication to Real Network Data
Control sample image Graph structure
TGFα sample image Graph structure
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Minimization Problem and Solution ApproachesVerification by Monte Carlo SimulationApplication to Real Network Data
Statistical Model Fitting of TessellationsApplication to Real Network Data
Control group : Graph structure and sample realization of optimal PVT/PLT
TGFα group : Graph structure and sample realization of optimal PDT/PLT
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Motivation ; Introduction to Random k–FlatsAsymptotic Distribution of k–Flat IntersectionsApplications
CLTs for Poisson Hyperplane TessellationsMotivation
Consider (2–dim.) stationary (and isotropic) Poisson lineprocess with intensity λ > 0 in the circle B2
r
Br
η0(B2r ) number of
intersection points in B2r
η1(B2r ) number of lines
hitting B2r
ζ1(B2r ) total length of line
segments in B2r
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Motivation ; Introduction to Random k–FlatsAsymptotic Distribution of k–Flat IntersectionsApplications
CLTs for Poisson Hyperplane TessellationsStationary k–flat processes in IR
d for k = 0, ..., d − 1
A k–flat process Φk in IRd is a random (locally–finite)
counting measure on the space of affine k–dimensionalsubspaces Ad
k in IRd
Φk : Ω → N(Adk ) is a
(σ(Ω),N (Ad
k ))–measurable mapping
Representation of Φk
Φk(·) =∑
i≥1δH
(k)i
(·)supp(Φk) =
⋃i≥1
H(k)i (RACS)
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Motivation ; Introduction to Random k–FlatsAsymptotic Distribution of k–Flat IntersectionsApplications
CLTs for Poisson Hyperplane TessellationsStationary k–flat processes in IR
d for k = 0, ..., d − 1
Φk is stationary if TxΦk(·) d= Φk(·)
Interpretation of the intensity λk
λk =EΦk (L∈Ad
k : L∩Bdr 6=∅)
νd−k (Bd−kr )
for all r > 0 ,
λk = 1
νd (B) E
(∑i≥1
νk(H(k)i ∩ B)
), B ∈ B(IRd)
Φk is isotropic if RoΦk(·) d= Φk(·)
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Motivation ; Introduction to Random k–FlatsAsymptotic Distribution of k–Flat IntersectionsApplications
CLTs for Poisson Hyperplane TessellationsStationary k–flat processes in IR
d for k = 0, ..., d − 1
A (d − 1)–flat process Φd−1 is called hyperplane process
Parameterization : H(p, u) = x ∈ IRd : 〈u, x〉 = p
Orientation vector u ∈ Sd−1
+
Signed perpendiculardistance p ∈ IR from theorigin
α
p
H(p,u)
Φd−1(·) =∑
i≥1δH(Pi ,Ui )(·)
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Motivation ; Introduction to Random k–FlatsAsymptotic Distribution of k–Flat IntersectionsApplications
CLTs for Poisson Hyperplane TessellationsStationary k–flat processes in IR
d for k = 0, ..., d − 1
A stationary Poisson hyperplane processes can be seen asstationary and independently marked Poisson point process Ψon IR × S
d−1+ , i.e.
Ψ(·) =∑
i≥1
δ(Pi ,Ui )(·)
Intensity λMark distribution Θ (coincides with the spherical orientationdistribution on B(Sd−1
+ ))
A stationary Poisson hyperplane process is
isotropic if Θ is the uniform distributionnondegenerate if Θ(H(0, u) ∩ S
d−1
+ ) < 1 for u ∈ Sd−1
+
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Motivation ; Introduction to Random k–FlatsAsymptotic Distribution of k–Flat IntersectionsApplications
CLTs for Poisson Hyperplane TessellationsStationary k–flat processes in IR
d for k = 0, ..., d − 1
A stationary Poisson hyperplane processes can be seen asstationary and independently marked Poisson point process Ψon IR × S
d−1+ , i.e.
Ψ(·) =∑
i≥1
δ(Pi ,Ui )(·)
Intensity λMark distribution Θ (coincides with the spherical orientationdistribution on B(Sd−1
+ ))
A stationary Poisson hyperplane process is
isotropic if Θ is the uniform distributionnondegenerate if Θ(H(0, u) ∩ S
d−1
+ ) < 1 for u ∈ Sd−1
+
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Motivation ; Introduction to Random k–FlatsAsymptotic Distribution of k–Flat IntersectionsApplications
CLTs for Poisson Hyperplane TessellationsAsymptotic Distribution of k–Flat Intersections
Number of k–flats hitting Bdr (k = 0, . . . , d − 1)
ηk(Bdr ) = Φk(L ∈ Ad
k : L ∩ Bdr 6= ∅)
ηk(Bdr )
d= 1
(d−k) !
∑∗
1≤i1,...,id−k≤Nr
χ(∩d−kj=1
H(Xij ) ∩ Bdr )
Notice thatNr = Ψ([−r , r ] × Sd−1
+ ) ∼ Poi(2λ r)Xi = (Pi ,Ui ) i.i.d., indep. of Nr with indep. componentsPi uniformly distributed on [−r , r ]Ui has distribution ΘIntensity λk of Φk can be given explicitely (isotropic case) :
λk =
(d
k
)κd
κk
(κd−1
d κd
)d−k
λd−k
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Motivation ; Introduction to Random k–FlatsAsymptotic Distribution of k–Flat IntersectionsApplications
CLTs for Poisson Hyperplane TessellationsAsymptotic Distribution of k–Flat Intersections
Number of k–flats hitting Bdr (k = 0, . . . , d − 1)
ηk(Bdr ) = Φk(L ∈ Ad
k : L ∩ Bdr 6= ∅)
ηk(Bdr )
d= 1
(d−k) !
∑∗
1≤i1,...,id−k≤Nr
χ(∩d−kj=1
H(Xij ) ∩ Bdr )
Notice thatNr = Ψ([−r , r ] × Sd−1
+ ) ∼ Poi(2λ r)Xi = (Pi ,Ui ) i.i.d., indep. of Nr with indep. componentsPi uniformly distributed on [−r , r ]Ui has distribution ΘIntensity λk of Φk can be given explicitely (isotropic case) :
λk =
(d
k
)κd
κk
(κd−1
d κd
)d−k
λd−k
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Motivation ; Introduction to Random k–FlatsAsymptotic Distribution of k–Flat IntersectionsApplications
CLTs for Poisson Hyperplane TessellationsAsymptotic Distribution of k–Flat Intersections
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Motivation ; Introduction to Random k–FlatsAsymptotic Distribution of k–Flat IntersectionsApplications
CLTs for Poisson Hyperplane TessellationsAsymptotic Distribution of k–Flat Intersections
Write η0(Bdr )
d=(Nr
d
)U
(d)Nr
(χ)
U(d)Nr
(χ) is U–statistic of order d (kernel fct. χ , Nr = n)
Apply Hoeffding’s decomposition
η0(Bdr ) − (2 λ r)d
d! Eχ(H(X1), . . . ,H(Xd) ∩ Bdr )
d=
( (Nr
d
)− nd
rd!
)µ +
(Nr
d
)dNr
Nr∑i=1
(gχ,0(Xi )− µ
)+(Nr
d
)R
(d)Nr
(χ)
=( (
Nr
d
)− Nr
(Nr−1
d−1
)+ nr
(Nr−1
d−1
)− nd
rd!
)µ +
(Nr
d
)R
(d)Nr
(χ)
+(Nr−1
d−1
) ( Nr∑i=1
gχ,0(Xi ) − nr µ
)
Notice thatµ = Eχ(H(X1) ∩ . . . ∩ H(Xd) ∩ Bd
r )nr = ENr = 2λ r
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Motivation ; Introduction to Random k–FlatsAsymptotic Distribution of k–Flat IntersectionsApplications
CLTs for Poisson Hyperplane TessellationsAsymptotic Distribution of k–Flat Intersections
Theorem 2 (Multivariate extension)
(Z
(d)0,r (χ), . . . ,Z
(d)d−1,r (χ)
) d−→r→∞
N(o, Σ(χ)
)
Σ(χ) possesses always full rank d
Σ(χ)=(
( d! κd )2 κd−k−1 κd−l−1
k! l! κk κl 22d−k−l−1
κ2d−k−l−1
κ2d−k−l−2
(κd−1
d κd
)2d−k−l)d−1
k,l=0
For d = 2 ,
η0(Br )−λ2 r2
(2 λ r)3/2
η1(Br )− 2 λ r
(2 λ r)1/2
d−→
r→∞N((
0
0
),
(8
3 π21
2
1
21
))
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Motivation ; Introduction to Random k–FlatsAsymptotic Distribution of k–Flat IntersectionsApplications
CLTs for Poisson Hyperplane TessellationsAsymptotic Distribution of k–Flat Intersections
Theorem 2 (Multivariate extension)
(Z
(d)0,r (χ), . . . ,Z
(d)d−1,r (χ)
) d−→r→∞
N(o, Σ(χ)
)
Σ(χ) possesses always full rank d
Σ(χ)=(
( d! κd )2 κd−k−1 κd−l−1
k! l! κk κl 22d−k−l−1
κ2d−k−l−1
κ2d−k−l−2
(κd−1
d κd
)2d−k−l)d−1
k,l=0
For d = 2 ,
η0(Br )−λ2 r2
(2 λ r)3/2
η1(Br )− 2 λ r
(2 λ r)1/2
d−→
r→∞N((
0
0
),
(8
3 π21
2
1
21
))
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Motivation ; Introduction to Random k–FlatsAsymptotic Distribution of k–Flat IntersectionsApplications
CLTs for Poisson Hyperplane TessellationsAsymptotic Distribution of k–Flat Intersections
Total k–volume of k–flat intersections in Bdr , k = 0, . . . , d − 1
ζk(Bdr ) =
∑
L∈⋃ i≥1H
(k)i
νk(Bdr ∩ L)
ζk(Bdr )
d= 1
(d−k) !
∑∗
1≤i1,...,id−k≤Nr
νk(∩d−kj=1
H(Xij ) ∩ Bdr )
ExpectationsEζk(Bd
r ) = λk κd rd
Asymptotic variances
limr→∞
Var ζk(Bdr )
r2d−1=
(2λ)2d−2k−1
((d − k − 1)!)2σ
(1,d−k)ν,k
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Motivation ; Introduction to Random k–FlatsAsymptotic Distribution of k–Flat IntersectionsApplications
CLTs for Poisson Hyperplane TessellationsAsymptotic Distribution of k–Flat Intersections
Total k–volume of k–flat intersections in Bdr , k = 0, . . . , d − 1
ζk(Bdr ) =
∑
L∈⋃ i≥1H
(k)i
νk(Bdr ∩ L)
ζk(Bdr )
d= 1
(d−k) !
∑∗
1≤i1,...,id−k≤Nr
νk(∩d−kj=1
H(Xij ) ∩ Bdr )
ExpectationsEζk(Bd
r ) = λk κd rd
Asymptotic variances
limr→∞
Var ζk(Bdr )
r2d−1=
(2λ)2d−2k−1
((d − k − 1)!)2σ
(1,d−k)ν,k
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Motivation ; Introduction to Random k–FlatsAsymptotic Distribution of k–Flat IntersectionsApplications
CLTs for Poisson Hyperplane TessellationsAsymptotic Distribution of k–Flat Intersections
Total k–volume of k–flat intersections in Bdr , k = 0, . . . , d − 1
ζk(Bdr ) =
∑
L∈⋃ i≥1H
(k)i
νk(Bdr ∩ L)
ζk(Bdr )
d= 1
(d−k) !
∑∗
1≤i1,...,id−k≤Nr
νk(∩d−kj=1
H(Xij ) ∩ Bdr )
ExpectationsEζk(Bd
r ) = λk κd rd
Asymptotic variances
limr→∞
Var ζk(Bdr )
r2d−1=
(2λ)2d−2k−1
((d − k − 1)!)2σ
(1,d−k)ν,k
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CLTs for Poisson Hyperplane TessellationsAsymptotic Distribution of k–Flat Intersections
Theorem 3 (CLT for total volumes of intersections)
For k = 0, . . . , d − 1
Z(d)k,r (ν)
d−→r→∞
N(0, σ
(1,d−k)ν,k
)
Z(d)k,r (ν) = (d−k−1)!
( 2λ)d−k−1/2 rd−1/2
(ζk(Bd
r ) − λk κd rd)
In case of isotropy
σ(1,d−k)ν,k =
(2k κd−1 (d − 1)!
)2
(2d − 1)!
(d ! κd
k! κk
)2 (κd−1
d κd
)2(d−k)
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CLTs for Poisson Hyperplane TessellationsAsymptotic Distribution of k–Flat Intersections
Theorem 3 (CLT for total volumes of intersections)
For k = 0, . . . , d − 1
Z(d)k,r (ν)
d−→r→∞
N(0, σ
(1,d−k)ν,k
)
Z(d)k,r (ν) = (d−k−1)!
( 2λ)d−k−1/2 rd−1/2
(ζk(Bd
r ) − λk κd rd)
In case of isotropy
σ(1,d−k)ν,k =
(2k κd−1 (d − 1)!
)2
(2d − 1)!
(d ! κd
k! κk
)2 (κd−1
d κd
)2(d−k)
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Motivation ; Introduction to Random k–FlatsAsymptotic Distribution of k–Flat IntersectionsApplications
CLTs for Poisson Hyperplane TessellationsAsymptotic Distribution of k–Flat Intersections
Theorem 4 (Multivariate extensions)
(Z
(d)0,r (ν), . . . ,Z
(d)d−1,r (ν)
) d−→r→∞
N(o, Σ(ν)
)
Σ(ν) has rank 1 for any d ≥ 1
Σ(ν)=(
(κd κd−1 d! (d−1)!)2 2k+l
k! l! κk κl (2d−1)!
(κd−1
d κd
)2d−k−l)d−1
k,l=0
In case d = 2,
ζ0(Br )−λ2 r2
(2 λ r)3/2
ζ1(Br )−λ π r2
(2 λ)1/2 r3/2
d−→
r→∞N((
0
0
),
(8
3 π28
3 π8
3 π8
3
))
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Motivation ; Introduction to Random k–FlatsAsymptotic Distribution of k–Flat IntersectionsApplications
CLTs for Poisson Hyperplane TessellationsAsymptotic Distribution of k–Flat Intersections
Theorem 4 (Multivariate extensions)
(Z
(d)0,r (ν), . . . ,Z
(d)d−1,r (ν)
) d−→r→∞
N(o, Σ(ν)
)
Σ(ν) has rank 1 for any d ≥ 1
Σ(ν)=(
(κd κd−1 d! (d−1)!)2 2k+l
k! l! κk κl (2d−1)!
(κd−1
d κd
)2d−k−l)d−1
k,l=0
In case d = 2,
ζ0(Br )−λ2 r2
(2 λ r)3/2
ζ1(Br )−λ π r2
(2 λ)1/2 r3/2
d−→
r→∞N((
0
0
),
(8
3 π28
3 π8
3 π8
3
))
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Motivation ; Introduction to Random k–FlatsAsymptotic Distribution of k–Flat IntersectionsApplications
CLTs for Poisson Hyperplane TessellationsApplications ; Intensity Estimators
Estimators for λk , k = 0, . . . , d − 1Use information about number of k–flat intersections
λk,r = ηk(Bdr )/νd−k(Bd−k
r )
Use information about k–volumes of flat intersections
λk,r = ζk(Bdr )/νd(Bd
r )
Unbiased
Strongly consistent
Asymptotic optimality w.r.t. second moments
limr→∞
r Var λk,r ≤ limr→∞
r Var λk,r
Hendrik Schmidt Telecommunication Networks and Stochastic Geometry
IntroductionIntroduction to Random Tessellations
Statistical Model Fitting of TessellationsCLTs for Poisson Hyperplane Tessellations
Motivation ; Introduction to Random k–FlatsAsymptotic Distribution of k–Flat IntersectionsApplications
CLTs for Poisson Hyperplane TessellationsApplications in IR
2
Concentrate on the counting of intersections (i.e. η0(·))Variance stabilizing transformation
From Theorem 1 we have that
Z(2)0,r =
√r ( f (λ0,r ) − f (λ0) )
d−→r→∞
N (0, 1)
where
f (x) =
√3
2π−5/4x1/4
Hendrik Schmidt Telecommunication Networks and Stochastic Geometry
IntroductionIntroduction to Random Tessellations
Statistical Model Fitting of TessellationsCLTs for Poisson Hyperplane Tessellations
Motivation ; Introduction to Random k–FlatsAsymptotic Distribution of k–Flat IntersectionsApplications
CLTs for Poisson Hyperplane TessellationsApplications in IR
2
−4 −2 0 2 4
0.0
0.1
0.2
0.3
0.4
Histogram
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−4 −2 0 2 4−
20
2
QQ plot
Graphical goodness–of–fit analysis of Z(2)0,900 (λ = 0.1)
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Statistical Model Fitting of TessellationsCLTs for Poisson Hyperplane Tessellations
Motivation ; Introduction to Random k–FlatsAsymptotic Distribution of k–Flat IntersectionsApplications
CLTs for Poisson Hyperplane TessellationsApplications in IR
2
Pearson test (α = 0.05)r T1000 p1000 T5000 p5000
300 42.50 0.051 126.10* < 10−3
600 32.18 0.312 116.16* < 10−3
900 34.88 0.209 78.44 0.204
1200 28.52 0.490 70.13 0.440
Kolmogoroff–Smirnoff test (α = 0.05)r T ′
1000p1000 T ′
5000p5000
300 1.58* 0.014 2.85* < 10−3
600 1.72* 0.006 2.47* < 10−3
900 1.33 0.057 1.76* 0.004
1200 0.64 0.800 2.28* < 10−3
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IntroductionIntroduction to Random Tessellations
Statistical Model Fitting of TessellationsCLTs for Poisson Hyperplane Tessellations
Motivation ; Introduction to Random k–FlatsAsymptotic Distribution of k–Flat IntersectionsApplications
CLTs for Poisson Hyperplane TessellationsApplications in IR
2
Confidence interval I(r)0
(α) for λ0
[((λ0,r
)1/4
− 2√3 r
π−5/4 z1−α/2
)4
,((
λ0,r
)1/4
+ 2√3 r
π−5/4 z1−α/2
)4]
=[
1
πr2
( (η0(Br )
)1/4 − 2 z1−α/2
π√
3
)4
, 1
πr2
( (η0(Br )
)1/4+
2 z1−α/2
π√
3
)4 ]
From Theorem 1 we have that IP(λ0 ∈ I(r)0
(α) ) −→r→∞
1 − α for
any α ∈ (0, 1)
Note : λ = (λ0 π )1/2
confidence interval J(r)0
(α) for λ[1
r
((η0(Br )
)1/4
− 2 z1−α/2
π√
3
)2
, 1
r
((η0(Br )
)1/4
+2 z1−α/2
π√
3
)2]
IP(λ ∈ J(r)0
(α) ) −→r→∞
1 − α
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Statistical Model Fitting of TessellationsCLTs for Poisson Hyperplane Tessellations
Motivation ; Introduction to Random k–FlatsAsymptotic Distribution of k–Flat IntersectionsApplications
CLTs for Poisson Hyperplane TessellationsApplications in IR
2
Confidence interval I(r)0
(α) for λ0
[((λ0,r
)1/4
− 2√3 r
π−5/4 z1−α/2
)4
,((
λ0,r
)1/4
+ 2√3 r
π−5/4 z1−α/2
)4]
=[
1
πr2
( (η0(Br )
)1/4 − 2 z1−α/2
π√
3
)4
, 1
πr2
( (η0(Br )
)1/4+
2 z1−α/2
π√
3
)4 ]
From Theorem 1 we have that IP(λ0 ∈ I(r)0
(α) ) −→r→∞
1 − α for
any α ∈ (0, 1)
Note : λ = (λ0 π )1/2
confidence interval J(r)0
(α) for λ[1
r
((η0(Br )
)1/4
− 2 z1−α/2
π√
3
)2
, 1
r
((η0(Br )
)1/4
+2 z1−α/2
π√
3
)2]
IP(λ ∈ J(r)0
(α) ) −→r→∞
1 − α
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Motivation ; Introduction to Random k–FlatsAsymptotic Distribution of k–Flat IntersectionsApplications
CLTs for Poisson Hyperplane TessellationsApplications in IR
2
Hypothesis :
H0 : λ ≤ λ∗ versus H1 : λ > λ∗
(Asymptotic) significance level : α ∈ (0, 1)
From Theorem 1 we have :
Reject H0 if
η0(Br ) >(√
λ∗ r +2
π√
3z1−α
)4
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Motivation ; Introduction to Random k–FlatsAsymptotic Distribution of k–Flat IntersectionsApplications
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2
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
pow
0.09 0.1 0.11 0.12 0.13 0.14 0.15
lambda
Estimated power function (H0 : λ ≤ 0.1)
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IntroductionIntroduction to Random Tessellations
Statistical Model Fitting of TessellationsCLTs for Poisson Hyperplane Tessellations
Motivation ; Introduction to Random k–FlatsAsymptotic Distribution of k–Flat IntersectionsApplications
Literature
M. Beil, S. Eckel, F. Fleischer, H. Schmidt, V. Schmidt and P.Walther (2006) Fitting of Random Tessellation Models toKeratin Filament Networks, Journal of Theoretical Biology241, pp. 62-72
C. Gloaguen, F. Fleischer, H. Schmidt and V. Schmidt (2006)Fitting of Stochastic Telecommunication Network Models viaDistance Measures and Monte-Carlo Tests, TelecommunicationSystems 31, pp. 353-377
L. Heinrich, H. Schmidt and V. Schmidt (2006) Central LimitTheorems for Poisson Hyperplane Tessellations, Annals ofApplied Probability 16, pp. 919-950
H. Schmidt (2006) Asymptotic Analysis of Stationary RandomTessellations with Applications to Network Modelling, PhDThesis, Ulm Univ., http ://vts.uni-ulm.de/doc.asp ?id=5702
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IntroductionIntroduction to Random Tessellations
Statistical Model Fitting of TessellationsCLTs for Poisson Hyperplane Tessellations
Motivation ; Introduction to Random k–FlatsAsymptotic Distribution of k–Flat IntersectionsApplications
This talk is based on joint work withF. Fleischer, C. Gloaguen, L. Heinrich and V. Schmidt
Thank you for your attention !
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