TEHNICKA MEHANIKA 2 - Osnovne akademske studije, III · PDF fileGeometrija mase krutog tela TEHNI KA MEHANIKA 2 Osnovne akademske studije, III semestar ... Ako je telo nepravilnog

Geometrija mase krutog tela

TEHNI�KA MEHANIKA 2

Osnovne akademske studije, III semestar

Prof. dr Stanko Br£i¢Prof. dr Rastislav Mandi¢Doc. dr Stanko �ori¢

email: [email protected]

Gra�evinski fakultetUniverzitet u Beogradu

�k. god. 2017/18

S.Br£i¢, S.�ori¢ Tehni£ka mehanika 2


Sadrºaj

1 Geometrija mase krutog telaSredi²te mase krutog telaMomenti inercije mase telaGlavni momenti inercijeHajgens-�tajnerova teorema - translacija koordinata



Sredi²te mase krutog telaMomenti inercije mase telaGlavni momenti inercijeHajgens-�tajnerova teorema - translacija koordinata

Sadrºaj






Speci�£na teºina i gustina mase tela

Posmatra se proizvoljno kruto telo zapremine V i teºine G

Posmatra se proizvoljna ta£ka P u sastavu tela

∞ bliska okolina ta£ke P ima elementarnu zapreminu dV

U toj zapremini dV je sadrºana elementarna masa dm

U gravitacionom polju (Zemlje) masa dm sadrºana uzapremini dV ima elementarnu teºinu dG








Gustina mase tela






Koli£nik elementarne teºine i elementarne zapremine jespeci�£na teºina tela

γ =dG

dV

Koli£nik elementarne mase i elementarne zapremine je gustinamase tela

ρ =dm

dV

Na£elno, i speci�£na teºina i gustina mase su zavisni odpoloºaja posmatrane ta£ke u telu

γ = γ(ξ, η, ζ) ρ = ρ(ξ, η, ζ)





Gustina mase tela

Homogeno telo je telo kod koga je gustina mase konstantna:

ρ =dm

dV= const

Ukupna masa tela je data sa

m =

∫mdm =

∫Vρ(ξ, η, ζ) dV

Za homogeno telo je ρ = const, pa je

m = ρ

∫VdV ⇒ m = ρ V





Gustina mase i speci�£na teºina

Za homogeno telo gustina mase je jednaka koli£niku ukupnemase i ukupne zapremine:

ρ =m

V

Speci�£na teºina je jednaka proizvodu gustine mase i ubrzanjazemljine teºe ~g:

~γ = ~g ρ

ili, u skalarnom obliku, podrazumevaju¢i smer vertikale (odn.ubrzanja Zemljine teºe)

γ = g ρ gde je g = 9.81m

s2





Momenti mase tela prvog reda

De�ni²u se momenti mase tela prvog reda u odnosu nakoordinatne ose materijalnog sistema:

Sξ =

∫mξ dm Sη =

∫mη dm

Sζ =

∫mζ dm

Momenat mase prvog reda za proizvoljnu osu n krozkoordinatni sistem, sa jedini£nim vektorom ~n, je

Sn =

∫m~ρ · ~n dm





Momenti mase prvog reda

Prema tome, momenti mase prvog reda u odnosu na osematerijalnog sistema Aξηζ su dati sa:

Sξ =

∫m~ρ · ~λ dm =

∫mξ dm

Sη =

∫m~ρ · ~µ dm =

∫mη dm

Sζ =

∫m~ρ · ~ν dm =

∫mζ dm




Momenti mase prvog reda i sredi²te mase






Sredi²te mase tela je ta£ka tela S sa koordinatama:S(ξS , ηS , ζS)

Proizvod koordinate sredi²ta mase za neku osu i ukupne masetela jednak je momentu mase prvog reda za tu osu:

ξS ·m =

∫mξ dm = Sξ

ηS ·m =

∫mη dm = Sη

ζS ·m =

∫mζ dm = Sζ






Koordinate sredi²ta mase su, alternativno, date sa:

ξS =1

m

∫mξ dm = Sξ ηS =

1

m

∫mη dm = Sη

ζS =1

m

∫mζ dm = Sζ

Kako je m =∫m dm, to je∫

m(ξ − ξS) dm = 0

∫m

(η − ηS) dm = 0∫m

(ζ − ζS) dm = 0






Momenti mase prvog reda za ose kroz sredi²te mase su jednakinuli

Sredi²te mase u vektorskom obliku (u odnosu na materijalneose) je dato sa:

~ρS =1

m

∫m~ρ dm (1)

Zbog relacije dm = ρdV (gde je ρ gustina mase), zahomogeno telo se dobija:

~ρS =1

V

∫V~ρ dV (2)





Teºi²te i sredi²te mase

Sredi²te mase i teºi²te se poklapaju ukoliko je teloHOMOGENO i ukoliko je ubrzanje g konstantno u prostoru ukome se kre¢e telo

Vaºe osobine simetrije u odnosu na ravan, osu ili ta£ku

Naime, ako je masa tela raspore�ena simetri£no u odnosu naravan, osu ili ta£ku, onda se sredi²te mase nalazi u ravni, osi ilita£ki simetrije





Sredi²te mase tela sloºenog oblika

Za tela pravilnog oblika mogu (lako?) da se odrede integrali(1) ili (2)

Sredi²te mase dato sa (1) zna£i SABIRANJE izraza ~ρ dm pozapremini tela, odn. po ukupnoj masi tela

Prema tome, vaºi princip superpozicije

Ako je telo nepravilnog oblika, moºe da se PODELI na Ndelova kona£ne veli£ine i (relativno) pravilnog oblika

Za svaki od delova, zbog pravilnog oblika, mogu da se odredemasa tog dela mk, kao i poloºaj sredi²ta mase tog dela ~ρk (ilizapremina dela Vk)





Sredi²te mase tela sloºenog oblika

Integrali (1) ili (2) mogu da se aproksimiraju sa kona£nimzbirovima, tako da je sredi²te mase dato sa:

~ρS =1

m

N∑k=1

~ρkmk ili ~ρS =1

m

N∑k=1

~ρk Vk

gde su ~ρk i mk, odn. Vk, vektori poloºaja teºi²ta i ukupnamasa, odn. zapremina, svakog od pojedinih delova na koje jetelo diskretizovano




Sadrºaj






Momenti mase drugog reda - momenti inercije

Momenti mase drugog reda za ose materijalnog sistema ξηζmogu da budu:

- Aksijalni momenti inercije za ose

- Centrifugalni momenti inercije za parove ⊥ osa

Aksijalni (ekvatorijalni) momenti inercije za koordinatne ose su:

Jξ =

∫m

(η2 + ζ2) dm

Jη =

∫m

(ζ2 + ξ2) dm

Jζ =

∫m

(ξ2 + η2) dm




Momenti inercije mase homegenih tela




Momenti inercije mase homegenih tela





Momenti mase drugog reda- momenti inercije

Centrifugalni (devijacioni) momenti inercije (proizvodi inercije)za parove koordinatnih (ortogonalnih) osa:

Jξη = −∫mξη dm = Jηξ Jηζ = −

∫mηζ dm = Jζη

Jζξ = −∫mζξ dm = Jξζ

Ako su materijalne koordinatne ose sme²tene u sredi²te mase(A ≡ S), onda se odgovaraju¢i momenti inercije nazivajucentralni momenti inercije

Dimenzije momenata inercije su masa x duºina2 [m× L2]





Matrica inercije za koordinatne ose

Momenti inercije za koordinatne ose Aξηζ mogu da se prikaºupreko matrice inercije za koordinatne ose u referentnoj ta£ki A:

[J ](A) =

Jξ Jξη JξζJηξ Jη JηζJζξ Jζη Jζ

(A)

Matrica inercije je simetri£na i pozitivno de�nitna matrica redatri

Kvadratna matrica [aij ] reda n je simetri£na ako je aij = aji ,a poztitvno de�nitna ukoliko za bilo koji netrivijalni vektor

{xi} reda n vaºi {x}T [a]{x} > 0




Momenat inercije za proizvoljnu osu






Poznata je matrica inercije za referentnu ta£ku A i koordinatneose Aξηζ

Traºi se momenat inercije za proizvoljnu osu n kroz koordinatnipo£etak, koja je data sa ortom ~n = {cosα, cosβ, cos γ}Aksijalni momenat inercije za osu n je de�nisan sa:

Jn =

∫m

(~n× ~ρ)2 dm =

∫mp2 dm (3)

jer je|~n× ~ρ| = |~n||~ρ| sin(~n, ~ρ) = p

gde je p normalno rastojanje proizvoljne ta£ke tela do ose n






Kako je

~n× ~ρ =

∣∣∣∣∣∣~λ ~µ ~ν

cosα cosβ cos γξ η ζ

∣∣∣∣∣∣odnosno, razijanjem determinante,

~n× ~ρ = ~λ(ζ cosβ − η cos γ)

+ ~µ(ξ cos γ − ζ cosα)

+ ~ν(η cosα− ξ cosβ)






to se dobija

p2 = (~n× ~ρ)2 = (ζ cosβ − η cos γ)2

+ (ξ cos γ − ζ cosα)2

+ (η cosα− ξ cosβ)2

Ovo se unosi u integral (3)

Jn =

∫mp2dm






Integral (3) postaje

Jn =

∫m

(ζ2 cos2 β − 2ζη cosβ cos γ + η2 cos2 γ)dm

+

∫m

(ξ2 cos2 γ − 2ξζ cosα cos γ + ζ2 cos2 α)dm

+

∫m

(η2 cos2 α− 2ηξ cosβ cosα+ ξ2 cos2 β)dm

U ovim integralima cosα, cosβ i cos γ su nezavisni odintegracije po masi tela i mogu da se izvuku ispred integrala






Dobija se

Jn = cos2 α

∫m

(ζ2 + η2)dm+ cos2 β

∫m

(ζ2 + ξ2)dm

+ cos2 γ

∫m

(η2 + ξ2)dm− 2 cosβ cos γ

∫mζηdm

− 2 cos γ cosα

∫mξζdm− 2 cosα cosβ

∫mηξdm

Integrali koji preostaju posle izdvajanja kosinusa ispredintegrala su odgovaraju¢i momenti inercije






Imaju¢i u vidu de�niciju momenata inercije za koordinatne ose,dobija se izraz:

Jn = Jξ cos2 α+ Jη cos2 β + Jζ cos2 γ

+ 2Jξη cosα cosβ + 2Jηζ cosβ cos γ + 2Jζξ cos γ cosα

Aksijalni momenti inercije su uvek pozitivni, dok centrifugalnimomenti inercije mogu da imaju bilo kakav znak, uklju£uju¢i ida budu jednaki nuli (za neke parove osa)






Izraz za momenat inercije Jn za proizvoljnu osu n moºe da seprikaºe u matri£nom obliku:

Jn = { cosα cosβ cos γ }


cosαcosβcos γ

(4)

ili u skra¢enom obliku (sa o£iglednim oznakama)

Jn = {n}T [J ](A){n}





Momenat inercije za par ⊥ osa

Traºi se momenat inercije za par proizvoljnih i me�usobnoortogonalnih osa n i m kroz koordinatni po£etak sistemaAξηζ, koje su date sa ortovima

~n = {cosα, cosβ, cos γ} ~m = {cosα1, cosβ1, cos γ1}

pri £emu je ~n · ~m = 0

Centrifugalni momenat inercije za par ortogonalnih osa n i mje de�nisan sa:

Jnm =

∫m

(~n× ~ρ) · (~m× ~ρ) dm = Jmn

(nema minusa u ovoj de�niciji!)S.Br£i¢, S.�ori¢ Tehni£ka mehanika 2





Posle sli£nih transformacija kao i za Jn, dobija se kona£anizraz:

Jnm = Jξ cosα cosα1 + Jη cosβ cosβ1 + Jζ cos γ cos γ1

+ Jξη(cosα cosβ1 + cosβ cosα1)

+ Jηζ(cosβ cos γ1 + cos γ cosβ1)

+ Jζξ(cos γ cosα+ cosα cos γ1)






Izraz za momenat inercije Jnm za dve proizvoljne me�usobnoortogonalne ose n i m moºe da se prikaºe u matri£nom obliku:

Jnm =

{ cosα cosβ cos γ }


cosα1

cosβ1

cos γ1

ili u skra¢enom obliku

Jnm = {n}T [J ](A){m} = {m}T [J ](A){n} = Jmn




Sadrºaj






Glavni momenti inercije - elipsoid inercije

Za prikazivanje promene aksijalnih momenata inercije uzavisnosti od pravca ose n kroz referentnu ta£ku, koristi segeometrijska interpretacija preko elipsoida inercije

Aksijalni moment inercije za proizvoljnu osu n kroz ta£ku A,de�nisanu sa ortom ~n, je

Jn =

∫m

(~n× ~ρ)2 dm

Kolinearno sa pravcem ~n se de�ni²e vektor poloºaja ~r dat sa:

~r =1√Jn

~n = {ξ, η, ζ}






�to je ve¢i momenat inercije Jn za osu ~n, to je manjiintenzitet vektora ~rnIz de�nicije vektora ~r se dobija

ξ =cosα√Jn

η =cosβ√Jn

ζ =cos γ√Jn

odakle je

cosα = ξ√Jn cosβ = η

√Jn cos γ = ζ

√Jn

Izrazi za kosinuse se unose u izraz (4) za momenat inercije Jn






Posle transformacija i skra¢ivanjem sa Jn, dolazi se do relacije:

ξ2Jξ + η2Jη + ζ2Jζ + 2(ξηJξη + ηζJηζ + ζξJζξ) = 1

Relacija predstavlja geometrijsko mesto ta£aka krajeva vektora~r u prostoru Aξηζ - povr² elipsoid inercije

Poluose elipsoida odre�uju glavne pravce inercije i ekstremnevrednosti aksijalnih momenata inercije






Najmanja poluosa elipsoida odgovara najve¢em aksijalnommomentu J1, srednja poluosa momentu J2 a najve¢a poluosaelipsoida odgovara najmanjem aksijalnom momentu inercije J3

Ako se poluose elipsoida inercije usvoje za novi materijalnisistem osa, ξ̄, η̄, ζ̄, to su glavni pravci, onda su odgovaraju¢icentrifugalni momenti inercije jednaki nuli (matrica inercije zatakav sistem je dijagonalna)

Jedna£ina elipsoida inercije u sistemu Aξ̄η̄ζ̄ je data sa

ξ̄2 J1 + η̄2 J2 + ζ̄2 J3 = 1

(nema centrifugalnih momenata inercije)






Za ortogonalni trijedar glavnih pravaca u ta£ki A, centrifugalnimomenti inercije za parove glavnih osa su jednaki nuli

Iz izraza koji de�ni²u proizvode inercije (Jξη = −∫ξηdm itd)

se vidi da su proizvodi inercije jednaki nuli ako je telogeometrijski simetri£no u odnosu na ravan (npr. ξη) i ako jegustina mase parna funkcija u pravcu ose upravno na ravansimetrije (za homogeno telo je dovoljna simetrija)

⇒ Ako postoji ravan simetrije (geometrije i mase) kroz ta£kuA, onda je normala na ravan simetrije kroz ta£ku A jedna odglavnih osa inercije









Odre�ivanje glavnih momenata inercije

Aksijalni momenat inercije za proizvoljnu osu kroz referentnuta£ku je dat sa

Jn = Jξ cos2 α+ Jη cos2 β + Jζ cos2 γ

+ 2Jξη cosα cosβ + 2Jηζ cosβ cos γ + 2Jζξ cos γ cosα

Traºi se ekstremum funkcije Jn = Jn(cosα, cosβ, cos γ), pri£emu mora da bude zadovoljena relacija (jedna£ina veze)

cos2 α+ cos2 β + cos2 γ = 1

Problem vezanog ekstremuma funkcije vi²e promenljivih

Koristi se postupak Lagranºevih multiplikatora veza






Traºi se ekstremum funkcije vi²e promenljivih

Jn = Jn(cosα, cosβ, cos γ)

uz uslovϕ(cosα, cosβ, cos γ) = 0

gde je ϕ = 1− (cos2 α+ cos2 β + cos2 γ)

Traºi se ekstremum nove funkcije

J∗n(cosα, cosβ, cos γ) = Jn + λϕ

gde je λ nepoznat parametar (Lagranºev multiplikator veze)






Eekstremum funkcije vi²e promenljivih

J∗n(cosα, cosβ, cos γ) = Jn + λϕ

se dobija iz potrebnog uslova da su parcijalni izvodi funkcije J∗n

po promenljivima cosα, cosβ, cos γ jednaki nuli:

∂J∗n

∂ cosα= 0

∂J∗n

∂ cosβ= 0

∂J∗n

∂ cos γ= 0

Dobija se homogen linearan sistem algebarskih jedna£ina popromenljivima cosα, cosβ, cos γ, u kome �guri²e i nepoznatskalarni parametar λ

Ovaj sistem jedna£ina se prikazuje u matri£nom oblikuS.Br£i¢, S.�ori¢ Tehni£ka mehanika 2





Odre�ivanje ekstremuma funkcije J∗n se svodi na Standardni

problem svojstvenih vrednosti matrice inercije: (Jξ − λ) Jξη JξζJξη (Jη − λ) JηζJξζ Jηζ (Jζ − λ)

cosαcosβcos γ

=

000

Dobija se homogen sistem linearnih algebarskih jedna£ina pokosinusima uglova, uz prisustvo nepoznatog parametra λ






Uslov za egzistenciju netrivijalnog re²enja je da jedeterminanta sistema jednaka nuli:

det

(Jξ − λ) Jξη JξζJξη (Jη − λ) JηζJξζ Jηζ (Jζ − λ)

= 0

Dobija se kubna jedna£ina (sekularna jedna£ina, ilikarakteristi£na jedna£ina) po nepoznatom parametru λ:

λ3 − JIλ2 + JIIλ− JIII = 0

gde su koe�cijenti u kubnoj jedna£ini invarijante matriceinercije






Invarijante matrice inercije (u odnosu na rotaciju koordinatnogsistema u ta£ki A) su date sa:

JI = Jξ + Jη + Jζ

JII =

∣∣∣∣ Jη JηζJηζ Jζ

∣∣∣∣+

∣∣∣∣ Jξ JξζJξζ Jζ

∣∣∣∣+

∣∣∣∣ Jξ JξηJξη Jη

∣∣∣∣JIII =

∣∣∣∣∣∣Jξ Jξη JξζJξη Jη JηζJξζ Jηζ Jζ

∣∣∣∣∣∣S.Br£i¢, S.�ori¢ Tehni£ka mehanika 2





Zbog simetrije matrice inercije i njene pozitivne de�nitnostire²enja sekularne jedna£ine su realni i pozitivni brojevi λi,(i = 1, 2, 3) -to su svojstveni brojevi

Pore�ani po veli£ini pretstavljaju glavne momente inercije:(λ1 = J1) > (λ2 = J2) > (λ3 = J3)

Odgovaraju¢i glavni pravci se dobijaju re²avanjem homogenihjedna£ina uno²enjem svojstvenih brojeva (za i = 1, 2, 3):

cosαi∣∣∣∣ Jη − λi JηζJηζ Jζ − λi

∣∣∣∣ =cosβi∣∣∣∣ Jηζ Jξη

Jζ − λi Jξζ

∣∣∣∣ =cos γi∣∣∣∣ Jξη Jη − λi

Jξζ Jηζ

∣∣∣∣S.Br£i¢, S.�ori¢ Tehni£ka mehanika 2





Ima dve jedna£ne za svako i, a tri nepoznata kosinusa, tako dase koristi i uslov veze:

cos2 αi + cos2 βi + cos2 γi = 1 (i = 1, 2, 3)

Za izabranu referentnu ta£ku A i za bilo koje izabrane pravcematerijalnih osa Aξηζ uvek se dobije ista karakteristi£nakubna jedna£ina, odn. uvek se dobiju isti glavni momentiinercije i glavni pravci

(koe�cijenti u karakteristi£noj jedna£ini su invarijante matriceinercije)

Ako je za referentnu ta£ku izabrano sredi²te mase, onda sedobijaju glavni centralni momenti inercije




Sadrºaj






Hajgens-�tajnerova teorema - translacija koordinata

Dva materijalna koordinatna sistema sa ‖ osama- u sredi²tu mase: Sξηζ- u proizvoljnoj ta£ki: Aξ̄η̄ζ̄

Mereno iz sredi²ta mase (sistem Sξηζ):- referentna ta£ka A . . . ~ρA = {a, b, c}- proizvoljna ta£ka P . . . ~ρ = {ξ, η, ζ}

Mereno iz referentne ta£ke A (sistem Aξ̄η̄ζ̄)- proizvoljna ta£ka P . . . ~̄ρ = {ξ̄, η̄, ζ̄}




Hajgens-�tajnerova teorema






Poloºaj ta£ke P u odnosu na sistem Sξηζ

~ρ = ~ρA + ~̄ρ

ili u skalarnom obliku:

ξ = a+ ξ̄

η = b+ η̄

ζ = c+ ζ̄

Transformacija koordinata za slu£aj translacije






Momenat inercije za osu ξ̄ u ta£ki A:

Jξ̄ =

∫m

(η̄2 + ζ̄2) dm =

∫m

[(η − b)2 + (ζ − c)2] dm

odn. razvijanjem binoma,

Jξ̄ =

∫m

(η2 + ζ2) dm− 2b

∫mη dm− 2c

∫mζ dm

+ (b2 + c2)

∫mdm

Kako je S sredi²te mase, to je∫m ξdm = 0,

∫m ηdm = 0,

∫m ζdm = 0














Izraz za Jξ̄ postaje

Jξ̄ =

∫m

(η2 + ζ2) dm+ (b2 + c2)m

odn. skra¢eno,Jξ̄ = Jsop + Jpol

gde su

- sopstveni aksijalni momenat inercije: Jsop =∫m(η2 + ζ2) dm

- poloºajni aksijalni momenat inercije: Jpol = (b2 + c2)m






Sli£no, centrifugalni momenat inercije za ose ξ̄η̄ je dat sa:

Jξ̄η̄ = −∫m

(ξ − a)(η − b) dm

tako da se dobija

Jξ̄η̄ = −∫mξη dm− a bm odn. Jξ̄η̄ = Jsop + Jpol

gde su

- sopstveni centrifugalni momenat inercije: Jsop = −∫m ξη dm

- poloºajni centrifugalni momenat inercije: Jpol = −a bm






Aksijalni moment inercije

Hajgens-�tajnerova teorema: Aksijalni momenat inercijeza proizvoljnu osu kroz ta£ku A jednak je zbiru sopstvenogi poloºajnog momenta inercije. Sopstveni momenatinercije je momenat inercije za paralelnu osu u sredi²tumase S, a poloºajni momenat inercije je jednak proizvodumase tela i kvadrata rastojanja izme�u osa.






Centrifugalni momenat inercije

Hajgens-�tajnerova teorema: Centrifugalni momenatinercije za dve ortogonalne ose kroz ta£ku A jednak jezbiru sopstvenog i poloºajnog momenta inercije. Sopstvenimomenat inercije je momenat inercije za dve paralelne oseu sredi²tu mase S, a poloºajni momenat inercije je jednaknegativnom proizvodu mase tela i proizvoda rastojanjaizme�u osa.


TEHNICKA MEHANIKA 2 - Osnovne akademske studije, III · PDF fileGeometrija mase krutog tela TEHNI KA MEHANIKA 2 Osnovne akademske studije, III semestar ... Ako je telo nepravilnog

Documents