Técnicas de Processamento Imagens - lcad.icmc.usp.brjbatista/procimg/2016/aula_fourier_11.pdf · Agenda Motivação / Introdução Revisão de conceitos matemáticos Série de Fourier

Técnicas de Processamento Imagens

Fourier 1D e 2D

Agenda

Motivação / Introdução Revisão de conceitos matemáticos Série de Fourier Transformada de Fourier – 1D & 2D

– Contínua & discreta

Principais propriedades

Motivação

Sinais são interpretados pelos nossos sentidos e enviados para o nosso sistema nervoso – percepção cor e sons

Sinais são representados por funções que se carac-terizam pela sua freqüência (cor vermelha, verde, azul; sons graves/agudos)

Bom começo para analisar tais funções é o estudo de sua freqüência

O que é freqüência de uma função ?

Fácil de ser entendido no caso de funções periódicas

A = amplitude da função (valores max e min assumidos)

= indica o número de ciclos completos de período existentes no intervalo [0, 1]

f ( t )=A cos (2 πωt ) , A>0

O que diz Fourier sobre a equação do slide anterior?

qualquer função periódica pode ser expressa como soma de senos e/ou cossenos de diferentes frequências, cada uma multiplicada por um coeficiente diferente.

Mesmo funções não periódicas, mas cuja área sob a curva é finita, podem ser expressas como integral de senos e /ou cossenos multiplicados por uma função peso. A formulação neste caso é a transformada de Fourier.


a b


Qual a região contém mais componentes de alta freqüência ?

Introdução Matemático francês Jean Baptiste Joseph Fourier (1768-1830) Teoria publicada em 1822

Qualquer função periódica pode ser representada como uma soma de senos e/ou cossenos de diferentes frequencias, cada uma multiplicada por um coef. diferente (Série de Fourier)

Funções não periódicas (porém tendo um valor finito de área sob a curva) podem também ser representadas por integrais de senos e/ou cossenos multiplicadas por uma função peso (Transformada de Fourier)

Ambas representações podem ser reconstruídas completamente por um processo inverso sem perda de informação

Introdução:Representação de sinais complexos

Série de Fourier

Série de Fourier

Resta achar uma forma de calcular os coeficientes

Série de Fourier – Valores médios de uma função

S = A Y

<Y> = (S1-S2)/A

<Y> = (S1-S2)/A = 0

Série de Fourier – Calculando coeficientes

< f(x)sen(3x) > = < a0 sen(3x) > + < a1 sen(x) sen(3x) > +< a2 sen(2x) sen(3x) > + < a3 sen2(3x) > + ... + < b1 cos(x) sen(3x) > + ...

f(x) = a0+ a1 sen(x) +a2 sen(2x) +a3 sen(3x)+ ... + b1 cos(x) + b2 cos(2x) + ...

Vamos calcular a3. Multiplicando os dois lados por sem(3x)

f(x)sen(3x) = a0 sen(3x) + a1 sen(x) sen(3x) + a2 sen(2x) sen(3x) + a3 sen2(3x) + ... + b1 cos(x) sen(3x)+ ...

Tomando as médias de cada termo da equação:)

a0 = < f(x) > = média de f(x).an = 2 < f(x) sen(nx) > = 2 vezes a média de f(x) sen(nx).bn = 2 < f(x) cos(nx) > = 2 vezes a média de f(x) cos(nx).

Série de Fourier – Exemplo Onda Quadrada

f(x) = a0+ a1 sen(x) +a2 sen(2x) +a3 sen(3x)+ ... + b1 cos(x) + b2 cos(2x) + ...

a0 = < f(x) > = média de f(x).an = 2 < f(x) sen(nx) > = 2 vezes a média de f(x) sen(nx).bn = 2 < f(x) cos(nx) > = 2 vezes a média de f(x) cos(nx).

f(x) = 1 (de 0 a )f(x) = 0 (de a 2)

a0 = 1/2


a1 = 2 < f(x) sen(x) > = 2/π

a2 = 0

a0 = 1/2;an = 0 - para todo n PAR;an = 2/n π - para todo n ÍMPAR.

a3 = 2 < f(x) sen(3x) > = 2/3π


f(x) = 1/2 + (2/ π) sen(x) + (2/(3 π)) sen(3x) + (2/(5 π)) sen(5x) + (2/(7 π)) sen(7x) + ...

Onda quadrada: 5 termos Onda quadrada: 15 termos

Quiz: O que é o termo constante?O que é o primeiro termos da equação?E os demais termos? Como são chamados??

Série de Fourier

1a. componente: constante. Se não existisse (se fosse nula), o sinal estaria centrado no zero do eixo y. Em Eng. Elétrica esse termo corresponderia a componente de corrente contínua.

2a. componente: (4sinx) tem o mesmo período ( ) do sinal. Portanto, é chamado de oscilação fundamental

As demais parcelas correspondem as oscilações harmônicas do sinal

Os coeficientes ak e bk são, na realidade, as amplitudes de cada harmônico

T=2 π

Série de Fourier – Outro exemplo

f ( x )=5+4 sin x+4

3sin 3 x+ 4

5sin 5 x+ 4

7sin 7 x+…

Transformada de Fourier

Definições matemáticas importantes

Número complexo

Conjugado complexo

Módulo

Fase

Fórmula de Euler

C ¿=R− jI

C=R+ jI

|C|=√ R2+ I 2

φ=arctan ( IR )

e− j θ=cos (θ)− j sin( θ)

Definições matemáticas importantes• IMPULSOS E A PROPRIEDADE DE DESLOCAMENTO (SHIFT) O conceito de impulso e sua propriedade de deslocamento, é central ao

estudo de sistemas lineares e transformada de Fourier. • Um impulso unitário de uma variável contínua t localizada em t=0,

denotado (t), é definido como

e deve satisfazer também a identidade

Fisicamente, se t é considerado tempo, um impulso pode ser visto como um pico de amplitude infinita e duração zero, tendo área unitária.

• Um impulso tem a propriedade de deslocamento com respeito a integração

δ ( t )={∞ se t=00 se t≠0

∫−∞

∞

δ ( t )dt=1

∫−∞

∞

f ( t )δ ( t )dt= f ( 0)

Propriedade Sift mais geral diz que o impulso pode estar localizado em um ponto arbitrário


∫−∞

∞f ( t )δ ( t−t0 )dt=∫−∞

∞f ( t +t0 )δ ( t )dt= f ( t0 )

A Aδ ( x−x0 )

x0

t 0

que resulta no valor da função na posição do impulso. Por exemplo, se f(t) = cos(t) , usando o impulso (t-) resulta em f() = cos()= -1.

Esta discussão vale para variáveis discretas...


• Seja x uma variável discreta. O impulso unitário discreto (x) funciona da mesma forma que em variáveis contínuas, e é definido como

E a definição satisfaz o equivalente discreto da eq. contínua:

δ ( x )={1 x=00 x≠0

∑x=−∞

∞

δ ( x )=1

• A propriedade de deslocamento para variáveis discretas tem a forma

ou mais genericamente, usando o impulso discreto em x = x0,

• A Fig. mostra o impulso discreto unitário diagramaticamente.

∑x=−∞

∞

f ( x )δ ( x−x0 )=f ( x0 )

∑x=−∞

∞

f ( x )δ ( x )=f (0 )


Trem de impulsos

s ΔT ( t )= ∑n=−∞

∞

δ( t−nΔT )

Série de Fourier

Transformada de Fourier (sinal contínuo 1D)

• A TRANSFORMADA DE FOURIER DE FUNÇÕES CONTÍNUAS DE UMA VARIÁVEL

A transformada de Fourier de uma função contínua f(t) , é definida pela equação

onde é também uma variável contínua. Dada F(), podemos obter f(t) usando a transformada inversa de

Fourier

Usando a fórmula de Euler podemos expressar

F (μ )=∫−∞

∞

f ( t ) [cos (2 πμ t )− jsin (2 πμ t )] dt

F (μ )=ℑ {f ( t )}=∫−∞

∞f ( t )e− j 2π μ t dt

f ( t )=ℑ−1 {F ( μ )}=∫−∞

∞F (μ )e j2 π μ t dμ

EXEMPLO 4.1 Transformada de Fourier da função da Fig.4.4a

onde a identidade foi usada

E o resultado é uma função sinc:

sin θ=( e jθ−e− jθ

)/2 j

F (μ )=∫−∞

∞f ( t )e− j 2 π μ t dt= ∫

−W /2

W / 2

A e− j2 π μ t dt

¿=−Aj 2 πμ

[e− j 2 πμ t ]−W /2

W /2=

−Aj2 πμ

[e− jπμ W −e j πμ W ]

¿=Aj 2 πμ

[e jπμW −e− j πμ W ]

¿=AWsin( πμ W )

( πμW )

sinc( m)=sin( π m)

( π m)

Vimos que

onde sinc(0) = 1 e sinc(m) =0 para todos os valores inteiros de m, coforme podemos observar na Fig.4.4b.

• Em geral a transformada de Fourier tem termos complexos, e é costume trabalhar com a magnitude da transformação (um valor real), que é chamada de espectro de Fourier ou espectro de frequência:

conforme Fig.4.4c.

É importante observar que: a) as posições de zeros em ambas as figuras são inversamente

proporcionais a largura W, da função. b) a altura dos picos decrescem com a distância da origem. c) a função estende a infinito positivo e negativo.

sinc( m)=sin( π m)

( π m)

|F ( μ)|=AT |sin (πμ W )

(πμ W )|

Transformada de Fourier

Exemplos:

Onda quadrada - Pulso

Algumas propriedades da FT

Linearidade

x(t) + y(t) X(f) + Y(f)

Simetria

H(t) h(-f)

Seja h(t) e H(f) pares da transformada de Fourier então:

Deslocamentos no tempo e na freqüência Deslocamentos no tempo (fase)

h(t-t0) H( f )e-j2ft0

Deslocamentos causam mudança apenas na fase e não na mag.

|C|=√ R2+ I 2

φ=arctan ( IR )

Convolução

Uma das propriedades mais importante da FT

h(t) H( f ) e g(t) G( f )

(h*g)(t) H( f )G( f )

h(t)g(t) (H * G)( f )

Convolução

Conservação da energia

Teorema de Parseval

Amplitude e Fase

O espaço FT pode ser visualizado diretamente através das suas componentes (real e imaginária)

Ou através da fase e amplitude do spectro

Calculando a fase e a amplitude Amplitude é determinada pelo módulo:

– seja z um número complexo definido como: z = x + yi

� z = |z| = x2 + y2

– | H(f) | = Re[H(f)]2 + Im[H(f)]2

Fase é dada por:

Im[ ( )]( ) arctan

Re[ ( )]

E tt

E t

Transformada de Fourier (sinal contínuo 2D)

Transformada de Fourier 2D

O par de transformada de Fourier para função f(x,y) de duas variáveis:

F (u , v )=∫−∞

∞

∫−∞

∞

f ( x , y )exp [− j 2 π (ux+vy ) ]dxdy

f ( x , y )=∫−∞

∞

∫−∞

∞

F( u , v )exp [ j 2 π (ux+vy ) ]dudv

onde u, v são os valores de freqüência

Transformada de Fourier 2D

Transformada Discreta de Fourier1D-DFT

Transformada Discreta de Fourier A função contínua f(x) é discretizada numa seqüência:

{f ( t0 ) , f ( t0+ ΔT ) , f ( t0+2 ΔT ) ,… , f ( t0+[ N−1 ] ΔT )}

Onde t assume valores discretos (0,1,2,…,N-1), então

A seqüência {f(0}, f(1), f(2), …, f(N-1)} denota qualquer amostragem de N valores uniformemente espaçados de uma função contínua correspondente

Transformada Discreta de Fourier

f ( t )= f ( t 0+[ N−1 ] ΔT )

O par de transformadas discretas de Fourier que se aplica a funções amostradas é dado por:


F (u)=1N

∑t=0

N−1

f ( t )exp [− j 2 π ut / N ] , para u=0,1,2,…,N-1

f ( t )=∑u=0

N −1

f (u )exp[ j 2 π ut / N ] , para t=0,1,2,…,N-1

Para calcular F(u), substituímos u=0 no termo exponencial e somamos para todos os valores de t

Repetimos para todos os N valores de u

Teremos então NxN adições e multiplicações. Então a complexidade computacional é de ordem O(N2)


F (u)=∑t=0

N−1

f ( t )exp [− j 2 π ut / N ] , para u=0,1,2,…,N-1

• EXEMPLO A Fig.4.11a mostra quatro amostras de uma função contínua, f(t),

tomada em intervalos de T. A Fig.4.11b mostra os valores amostrados no domínio x.

Nota-se que os valores de x são 0, 1, 2 e 3, indicando que poderiam referenciar quaisquer 4 amostras de f(t).

Usando a eq.4.4-6

O próximo valor de F(u) é

F (0 )=∑x=0

3

f ( x )=[ f (0 )+ f (1)+ f (2 )+ f (3 )]

¿=1+2+4+4=11

F (u)=∑x=0

M−1

f ( x )e− j2 π ux /M u=0,1,2, .. . , M −1

F (1 )=∑x=0

3

f ( x )e− j2 π (1)x / 4

¿=1 e0+2e− jπ /2+4e− jπ+4e− j3 π /2=−3+2 j

Similarmente

e

Todos os valores de amostras f(x) são usados para computar cada valor de F(u). Se fosse dado F(u) e o problema é de computar a inversa

o que está de acordo com a Fig.4.11b.

F (3)=−(3+2 j )

f (0 )=14∑u=0

3

F (u)e j2 πu (0)

¿=14∑u=0

3

F (u )

¿=14

[11−3+2 j−1−3−2 j ]

¿=14

[ 4 ]=1

F (2)=−(1+0 j)

DFT – shifting, (fftshift-matlab)

Transformada Discreta de Fourier2D-DFT

No caso de duas variáveis, o par DFT é:

F (u , v )=1MN

∑x=0

M −1

∑y=0

N−1

f ( x , y )exp [− j 2 π (ux /M +vy / N ) ]

f ( x , y )= ∑x=0

M−1

∑y=0

N −1

F (u , v )exp[ j 2 π (ux / M +vy / N ) ]

onde u, v são os valores de freqüência


A amostragem de uma função contínua agora é feita em uma grade bidimensional, com divisões de largura x e y nos eixos x e y, respectivamente

Como no caso unidimensional, a função discreta f(x,y) representa amostras da função

para x = 0,1,2,…,M-1 e y = 0,1,2, …, N-1


f ( x0+ xΔx , y0+ yΔy )

Δu=1

MΔx, Δv=

1NΔy

Trem de pulso usado para amostragem puntual

Aliasing fenômeno em imagem

Ajuste da escala dinâmica do espectro de Fourier

Algoritmo 2D de 1D

FFT 1D para cada linha

Matriz A Separar em linhas

Compor linhas em

matriz

Separar em colunas Matriz

FFT 1D para cada coluna

FFT 2D de A

Amplitude e Fase

original

amplitude

fase

|F(u,v)|

F(u,v)

DFT aplicada na detecção de defeitos

SEM = Scanning Electron Microscope

Transformada de Fourier discreta - 2D

0

2

4

6

8

10

12

14

16

Propriedades DFT - Translação

|F(u,v)| F(u,v)

Propriedades DFT - Translação

Rotação

Combinação Linear (soma)

+

+

=

=

Expansão

Relação de freqüência espaço/espectro

Alguns pares...

Combinando Amplitude e Fase

As funções complexas podem ser decompostas em suas magnitudes e fases.

f(t) pode ser escrita: f(t) = Mag{f(t)} exp[ i Phase{f(t)}]

Do mesmo modo, F() = Mag{F()} exp[ i Phase{F()}]

Com estas propriedades podemos combinar a amplitude e a fases em imagens.

Pictures reconstructedusing the Fourier phase

of another picture

The phase of the Fourier transform is much more important than the magnitude in reconstructing an image.

Rick Linda

Mag{Linda}Phase{Rick}

Mag{Rick} Phase{Linda}

Combinando Amplitude e Fase

Próxima aula: Filtragem no domínio da freqüência

Bibliografia Digital Image Processing, 3rd. Edition, Rafael

C. Gonzalez, Richard E. Woods, 2008

Digital Image Processing, Kenneth R. Castleman, 1996

21o. Colóquio Brasileiro de Matemática, Wavelets: Teoria, Software e Aplicações, Jonas Gomes, Luiz Velho, Siome Goldenstein, 1997

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